1.- Circulo de Mohr

El Círculo de Mohr es una técnica usada

en ingeniería y geofísica para representar gráficamente un tensor simétrico (de 2x2 o

de 3x3) y calcular con ella momentos de inercia, deformaciones y tensiones,

adaptando los mismos a las características de una circunferencia (radio, centro, entre

otros). También es posible el cálculo del esfuerzo cortante máximo absoluto y la

deformación máxima absoluta.

Este método fue desarrollado hacia 1882 por el ingeniero

civil alemán Christian Otto Mohr (1835-1918).

2.- Circunferencia de Mohr para esfuerzos

2.1- Caso bidimensional

En dos dimensiones, la Circunferencia de Mohr permite determinar la tensión

máxima y mínima, a partir de dos mediciones de la tensión normal y tangencial sobre

dos ángulos que forman 90º:

Medida 1 (σ x ,−τ)

Medida 2 (σ y , τ )

Ha de hacer notar que el eje vertical se encuentra invertido, por lo que

esfuerzos positivos van hacia abajo y esfuerzos negativos se ubican en la parte

superior.

Usando ejes rectangulares, donde el eje horizontal representa la tensión

normal (σ ) y el eje vertical representa la tensión cortante o tangencial (τ ) para cada

uno de los planos anteriores. Los valores de la circunferencia quedan representados

de la siguiente manera:

1

Centro del círculo de Mohr:

C :=σ med ,0¿=(σ x+σ y

2, 0)

Radio de la circunferencia de Mohr:

r :=√( σ x−σ y

2 )2

+rxy2

Las tensiones máxima y mínima vienen dados en términos de esas magnitudes

simplemente por:

σ max=σmed+r σmax=σmed +r

Estos valores se pueden obtener también calculando los valores

propios del tensor tensión que en este caso viene dado por:

T|x , y=[σ x ττ σ y ]

2.2.- Caso tridimensional

El caso del estado tensional de un punto P de un sólido tridimensional es más

complicado ya que matemáticamente se representa por una matriz de 3x3 para la que

existen 3 valores propios, no necesariamente diferentes.

T|x , y, z=[ σ x τxy τ xz

τ yx σ y τ yz

τ xz τ yz σ z]

En el caso general, las tensiones normal (σ ) y tangencial (τ ), medidas sobre

cualquier plano que pase por el punto P, representadas en el diagrama (σ ,τ ) caen

siempre dentro de una región delimitada por 3 círculos. Esto es más complejo que el

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caso bidimensional, donde el estado tensional caía siempre sobre una única

circunferencia. Cada uno de las 3 circunferencias que delimitan la región de posibles

pares (σ ,τ ) se conoce con el nombre de circunferencia de Mohr.

3.2.- Círculo de Mohr para la tracción simple.

El círculo de Mohr es un círculo en el que las coordenadas de los puntos de su

circunferencia son la tensión normal y la tensión cortante que existen en una sección

inclinada cualquiera de la barra.

El círculo de Mohr es una técnica usada en ingeniería para representar

gráficamente un tensor simétrico y calcular con ella momentos de inercia,

deformaciones y tensiones, adaptando los mismos a las características de un círculo

(radio, centro, entre otros.). También es posible el cálculo del esfuerzo cortante

máximo absoluto y la deformación máxima absoluta.

El círculo de Mohr  se construye de la siguiente forma:

Se toman unos ejes coordenados de forma que en el eje de abscisas situamos

las tensiones normales y en el de las ordenadas las tensiones cortantes.

Los puntos representativos de las tensiones que actúan en 2 caras

perpendiculares definen un diámetro del círculo de Mohr.

Las tensiones cortantes que actúan en dos secciones perpendiculares  son

iguales y de sentido contrario.

Para dibujar correctamente el círculo de Mohr deben tenerse en cuenta los

siguientes detalles:

El sentido de giro del ángulo en el círculo se corresponde con el sentido de

giro del plano AB en la realidad.

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El signo de las tensiones tangenciales (t) se toma como positivo si giran en

sentido de las agujas del reloj alrededor del elemento diferencial y negativo en

caso contrario.

El ángulo entre dos radios del círculo equivale al doble del ángulo entre los

planos reales correspondientes.

4.- Esfuerzos principales.

Los esfuerzos principales son los mayores esfuerzos que actúan sobre el

elemento y se hallan por medio de una rotación de coordenadas. Los esfuerzos

normales principales se notan como σ 1 , σ2 , σ3, y donde σ 1>σ2>σ3, y en el ángulo de

rotación en el que sedan el esfuerzo cortante es cero. El esfuerzo cortante máximo

absoluto se nota como τ max y en el ángulo de rotación al que se da los esfuerzos

normales son el promedio de los esfuerzos normales del tensor de esfuerzos.

5.- Procedimiento para calcular el círculo de Mohr.

Para construir un círculo de Mohr que sirva en la solución de problemas, se usa el

siguiente procedimiento:

1.- Se traza un par de ejes coordenadas tomando a σ como eje de las abscisas ya τ

como eje de las ordenadas.

2.- Se trazan los valores de τ y σ correspondientes a dos superficies mutuamente

perpendiculares del cubo elemental, tales como las caras cd y ac de la Fig.

6.24 (a), obteniendo dos puntos en la periferia del círculo. De acuerdo con la

convención de signos, los esfuerzos de tensión son positivos y los esfuerzos

de compresión, negativos. Los esfuerzos cortantes que tienden a hacer girar al

bloque en sentido de las manecillas del reloj, tales como los de las caras ac y

bd, se consideran negativos. En el círculo de la Fig. 6.24 (b), el punto V con

coordenadas (+ σ x, + τ), y el punto H con coordenadas (+ σ y, - τ) son los

puntos que se trazarán.

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3.- Se traza la línea recta HCV  que une estos dos puntos. Esta recta es el

diámetro del círculo cuyo centro es el punto C.

4.- Se completa el círculo tomando como centro el punto C y como radio CV.

10-11. Determine los esfuerzos principales y el esfuerzo cortante máximo con

el circulo de Mohr. Las series de datos siguientes dan los esfuerzos en el elemento

sometido a esfuerzo inicial realice las operaciones siguientes:

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a) Dibuje el círculo de Mohr completo con los puntos críticos identificados

incluidos σ 1 , σ2 , τmáx , σ prom.

b) En el círculo de Mohr, indique la línea que presenta el eje x en el elemento

sometido a esfuerzo inicial.

c) En el círculo de Mohr, indique los ángulos a partir de la línea que representa

el eje x hacia el eje σ 1 y el eje τ máx.

d) Dibuje el elemento sometido a esfuerzo inicial y el elemento sometido a

esfuerzo cortante máximo orientados adecuadamente con respecto al elemento

sometido a esfuerzo inicial.

DATOS:

σ x=−840 KPa

σ y=−35 KPa

τ xy=650 KPa SAH

El lado inferior del triangulo: El centro O del circulo esta en σ prom:

a=12(σx−σ y ) σ prom=

12(σx+σ y)

a=12 (−840−(−35 ) )=−402,5 KPa σ prom=

12 (−840+(−35 ) )=−437,5 KPa

El radio del circulo: El lado vertical del triangulo

R=√a2+b2 b=τ xy=650 KPa

R=√(−402,5 )2+(650)2=764,53 KPa Esfuerzo cortante máximo = 764,53 KPa

σ 1=O+R O=σ prom

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σ 1=σ prom+R σ 2=O−R

σ 1=−437,5+764,53=327,03 KPa σ 2=−437,5−769,84=−1202,03 KPa

Ángulos:

2∅ '=90 º−2∅ 2∅=tan−1(ba )

2∅ '=90 º−(−58,23 )=148,23º 2∅=tan−1( 650−402,5 )=58,23º

∅ '=148,23 º2

=74,11º ∅=58,23º2

=29,11º

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10-27. Determine los esfuerzos principales y el esfuerzo cortante máximo con

el circulo de Mohr. Las series de datos siguientes dan los esfuerzos en el elemento

sometido a esfuerzo inicial realice las operaciones siguientes:

a) Dibuje el círculo de Mohr completo con los puntos críticos identificados

incluidos σ 1 , σ2 , τmáx , σ prom.

b) En el círculo de Mohr, indique la línea que presenta el eje x en el elemento

sometido a esfuerzo inicial.

c) En el círculo de Mohr, indique los ángulos a partir de la línea que representa

el eje x hacia el eje σ 1 y el eje τ máx.

d) Dibuje el elemento sometido a esfuerzo inicial y el elemento sometido a

esfuerzo cortante máximo orientados adecuadamente con respecto al elemento

sometido a esfuerzo inicial.

DATOS:

σ x=775 KPa

σ y=−145 KPa

τ xy=0 KPa

El lado inferior del triangulo: El centro O del circulo esta en σ prom:

a=12(σx−σ y ) σ prom=

12(σx+σ y)

a=12 (775− (−145 ) )=460 KPa σ prom=

12 (775+ (−145 ) )=315 KPa

El radio del circulo: El lado vertical del triangulo

R=√a2+b2 b=τ xy=0 KPa

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R=√( 460 )2+(0)2=460 KPa Esfuerzo cortante máximo = 460 KPa

σ 1=O+R O=σ prom

σ 1=σ prom+R σ 2=O−R

σ 1=315+460=775 KPa σ 2=315−460=−145 KPa

Ángulos:

2∅ '=90 º−2∅ 2∅=tan−1(ba )

2∅ '=90 º−0=90 º 2∅=tan−1( 0460 )=0 º

∅ '=90º2

=45 º ∅=02=0 º

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CONCLUSIÓN

El círculo de Mohr es una técnica usada en ingeniería para el cálculo de los

momentos de inercia, esfuerzos y en algunos casos deformaciones. Es un método

simple que opta las mismas características de un círculo (radio, centro, entre otros).

Con este método también es posible el cálculo rápido y exacto de los esfuerzos

principales máximo y mínimo, el esfuerzo cortante máximo, los ángulos de

orientación del elemento sometido al esfuerzo principal y del elemento sometido al

esfuerzo cortante máximo y el esfuerzo normal que existe junto con el esfuerzo

cortante máximo sobre el elemento sometido al esfuerzo cortante máximo. La razón

para este método este en vigencia con tanta tecnología a nuestro alrededor se

encuentra en la información, simultáneamente general y detallada, que el circulo de

Mohr suministra sobre determinados problemas de la ingeniería. Las aplicaciones de

esta construcción grafica tienen su fundamento en las leyes de transformación de

ciertas entidades matemáticas llamadas tensores, a las que el círculo de Mohr

representa con sencillez y claridad. Tan solo es necesario recurrir a relaciones

trigonométricas elementales para obtener ecuaciones de interés en la solución de

algunos problemas propios de la resistencia de materiales. El círculo de Mohr es una

de las pocas construcciones gráficas en ingeniería civil que no ha perdido importancia

con la introducción de las calculadoras y los computadores.

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

BECARRY, F., 2007 “Circulo de Mohr”. Libro en Línea. Disponible en:

http://ibiguridp3.wordpress.com/res/mohr/

LUNA, A., 2011 “Circulo de Mohr y Columnas”. Libro en Línea. Disponible en:

http://es.scribd.com/doc/49369439/Mecanica-de-Materiales-Circulo-de-Mohr-

y-Columnas.

CASTRO, C., 2009 “Esfuerzos principales y el Circulo de Mohr”. Libro en Línea.

Disponible en: http://es.scribd.com/doc/13955724/Esfuerzos-principales-y-el-

Circulo-de-Mohr

LEÓN, D., 2006 “Circulo de Mohr”. Libro en Línea. Disponible en:

http://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%ADrculo_de_Mohr

ANEXOS