MOHR CIRCLE Diperkenalkan oleh Otto Mohr pada tahun 1882, Mohr's Circle menggambarkan pokok tegangan dan transformasi stres melalui format grafis, Pokok dua tegangan ditampilkan dalam warna merah, dan tegangan geser maksimum ditunjukkan dalam oranye. Ingat bahwa stesses normal sebesar kepala sekolah menekankan ketika unsur stres sejajar dengan arah utama, dan tegangan geser sama dengan tegangan geser maksimal bila unsur stres diputar 45 jauh dari arah pokok. Sebagai unsur stres diputar jauh dari pokok (atau maksimum geser) arah, tegangan komponen dan normal selalu akan berbaring di atas Mohr's Circle. Mohr's Circle adalah alat utama yang digunakan untuk memvisualisasikan hubungan antara normal dan tegangan geser, dan untuk memperkirakan maksimal tegangan, sebelum kalkulator genggam menjadi populer. Bahkan saat ini, Mohr's Circle masih banyak digunakan oleh para insinyur di seluruh dunia. Penurunan Mohr's Circle Untuk menetapkan Mohr's Circle, pertama-tama kita mengingat stres formula transformasi untuk plane stress pada lokasi tertentu, Menggunakan hubungan trigonometri dasar (cos 2 2 q + sin 2 2 q = 1) untuk menggabungkan dua di atas persamaan yang kita miliki,

Ini adalah persamaan lingkaran, diplot pada grafik di mana absis adalah tegangan normal dan ordinat adalah tegangan geser. Hal ini lebih mudah untuk melihat apakah kita menafsirkan s x dan s y sebagai dua utama tegangan , dan xy t sebagai tegangan geser maksimum. Kemudian kita dapat mendefinisikan stres rata-rata, s avg, dan "radius" R (yang hanya sama dengan tegangan geser maksimum), Persamaan lingkaran di atas sekarang mengambil bentuk yang lebih akrab, Lingkaran berpusat pada nilai tegangan rata-rata, dan memiliki jari-jari R sama dengan tegangan geser maksimum, seperti yang ditunjukkan pada gambar di bawah ini, STRESS(MEKANIK) Dalam mekanika kontinum , stres adalah ukuran dari internal kekuatan bertindak dalam tubuh mampudeformasi . Secara kuantitatif, itu adalah ukuran rata-rata gaya per unit luas permukaan di dalam tubuh yang internal kekuatan bertindak. Kekuatan internal yang diproduksi antara partikel dalam tubuh sebagai reaksi terhadap gaya luar diaplikasikan pada tubuh. Karena tubuh mampudeformasi dimuat diasumsikan berperilaku sebagai kontinum , gaya-gaya internal didistribusikan terus menerus dalam volume tubuh material, dan menghasilkan deformasi dari bentuk tubuh. Di luar batas-batas tertentu dari kekuatan bahan , hal ini dapat menyebabkan perubahan permanen bentuk atau kegagalan fisik.

Dimensi stres adalah bahwa dari tekanan , dan karenanya SI unit untuk stres adalah pascal (simbol Pa), yang setara dengan satu newton (gaya) per meter persegi (area unit). Dalam unit Imperial , stres diukur dalam pound-force per square inch , yang disingkat sebagai psi. Normal dan tegangan geser Untuk kasus sederhana tubuh secara aksial dimuat, misalnya, sebuah bar prisma mengalami ketegangan ataukompresi oleh pasukan yang lewat melalui pusat massa (Angka 1.2 dan 1.3) stres , Atau intensitas kekuatan internal, dapat diperoleh dengan membagi gaya normal total , Ditentukan dari kesetimbangan kekuatan, dengan luas penampang prisma itu adalah bertindak atas. Gaya normal dapat menjadi kekuatan tarik jika bertindak keluar dari pesawat, atau gaya tekan jika bertindak dalam untuk pesawat. Dalam kasus sebuah bar prismatik aksial dimuat, stres diwakili oleh suatu skalar stresdisebut teknik atau stres nominal yang merupakan tegangan rata-rata ( ) Di daerah, yang berarti bahwa tegangan pada bagian cross terdistribusi secara merata. Dengan demikian, kita memiliki Jenis stres yang berbeda diperoleh ketika pasukan melintang diterapkan ke bar prismatik seperti yang ditunjukkan pada Gambar 1.4. Mengingat salib sama-section seperti sebelumnya, dari kesetimbangan statis gaya internal memiliki besar yang sama dengan dan secara paralel arah yang berlawanan ke bagian-lintas. disebut gaya geser. Membagi gaya geser dengan luas potongan penampang kita mendapatkan tegangan geser. Dalam hal ini tegangan geser adalah skalarkuantitas mewakili tegangan geser rata-rata ( ) Di bagian, yaitu stres dalam bagian-cross terdistribusi secara merata. Dalam Gambar 1.3, tegangan normal diamati dalam dua pesawat dan dari bar prismatik aksial dimuat. Tegangan di pesawat , Yang lebih dekat ke titik aplikasi beban , Lebih bervariasi di seluruh penampang dibandingkan dengan pesawat . Namun, jika luas penampang-penampang bar sangat kecil, yaitu bar yang ramping, variasi tegangan di daerah itu kecil dan tegangan normal dapat didekati dengan . Di sisi lain, variasi tegangan geser di bagian bar prisma tidak dapat diasumsikan seragam.

Gambar 1.2 stres aksial di sebuah bar prismatik dimuat secara aksial Gambar 1.3 Normal stres di sebuah bar prisma (anggota lurus luas penampang seragam).Distribusi tegangan atau kekuatan dalam penampang bar belum tentu seragam. Namun, rata-rata tegangan normal dapat digunakan Gambar 1.4 Shear stres di bar prismatik. Distribusi tegangan atau kekuatan dalam penampang bar belum tentu seragam. Namun, rata-rata tegangan geser adalah pendekatan yang beralasan. [1]

Analisis tegangan Analisis tegangan , yaitu penentuan distribusi internal menekankan diperlukan dalam rekayasa untuk studi dan desain struktur, misalnya, terowongan, bendungan, bagian mekanik, dan bingkai struktural, antara lain, di bawah atau diharapkan beban yang ditentukan. Untuk menentukan distribusi tegangan dalam struktur perlu memecahkan -masalah nilai batas dengan menetapkan kondisi batas, pemindahan yaitu dan gaya pada batas. persamaan Konstitutif , seperti yang Hukum Hooke untuk elastis linier material, digunakan untuk menggambarkan tegangan- regangan hubungan dalam perhitungan ini. A-masalah nilai batas berdasarkan teori elastisitas diterapkan untuk struktur diharapkan dapat merusak elastis , dengan strain yang sangat kecil , di bawah beban desain. Saat kemudian diterapkan pada struktur menyebabkan deformasi plastik, teori plastisitas diimplementasikan. Analisa tegangan dapat disederhanakan dalam kasus dimana dimensi fisik dan distribusi beban memungkinkan struktur yang akan diperlakukan sebagai satu-dimensi atau dua dimensi.Untuk analisis dua dimensi sebuah plane stress atau plane strain kondisi bisa diasumsikan. Atau, penentuan eksperimental tegangan dapat dilakukan. Perkiraan solusi untuk masalah batas-nilai dapat diperoleh melalui penggunaan metode numerik seperti Metode Elemen Hingga , pada Metode Beda Hingga dan Metode Elemen Batas , yang diimplementasikan dalam program komputer. Analitis atau ditutup-bentuk solusi dapat diperoleh untuk geometri sederhana, hubungan konstitutif, dan kondisi batas. Stres Cauchy Euler Gambar 2.1A distribusi Internal gaya kontak dan pasangan diferensial menekankan pada permukaan internal dalam sebuah kontinum, sebagai hasil dari interaksi antara dua bagian dari kontinum dipisahkan oleh permukaan

Gambar 2.1b distribusi Internal gaya kontak dan pasangan diferensial menekankan pada permukaan internal dalam sebuah kontinum, sebagai hasil dari interaksi antara dua bagian dari kontinum dipisahkan oleh permukaan Gambar vektor Stres 2.1c pada permukaan internal S dengan vektor normal n. Tergantung pada orientasi pesawat yang dipertimbangkan, vektor stres belum tentu tegak lurus dengan bahwa pesawat, paralel yaitu untuk , Dan dapat diselesaikan menjadi dua komponen: satu komponen normal untuk pesawat, disebut tegangan normal , Dan satu lagi sejajar komponen untuk pesawat ini, yang disebut tegangan geser . Tegangan Prinsip-Cauchy Euler menyatakan bahwa atas setiap permukaan (nyata atau imajiner) yang membagi tubuh, tindakan salah satu bagian tubuh di sisi lain adalah setara (yg nilainya sama) ke sistem kekuatan didistribusikan dan pasangan di permukaan membagi tubuh, [11] dan

ini diwakili oleh suatu medan vektor , Yang disebut vektor stres, didefinisikan di permukaan dan diasumsikan untuk tergantung terus-menerus pada permukaan unit vektor . [12] [9] Untuk menjelaskan prinsip ini, kami mempertimbangkan permukaan imajiner melewati jalur bahan internal membagi tubuh terus-menerus dalam dua segmen, seperti terlihat pada Gambar 2.1A atau 2.1b (beberapa penulis menggunakan diagram pesawat memotong [ rujukan? ] dan lain-lain [ rujukan? ] menggunakan diagram dengan volume sewenang-wenang dalam kontinum tertutup oleh permukaan ). Tubuh dikenai gaya permukaan eksternal dankekuatan tubuh . Pasukan menghubungi internal sedang dikirim dari satu segmen ke yang lain melalui pesawat membagi, karena aksi dari satu bagian dari kontinum ke yang lain, menghasilkan distribusi gaya pada area kecil , Dengan unit normal vektor , Di pesawat membagi . Distribusi gaya yg nilainya sama untuk suatu gaya kontak dan stres pasangan , Seperti yang ditunjukkan dalam Gambar 2.1A dan 2.1b. stres prinsip's Cauchy menegaskan [3] bahwa sebagai menjadi sangat kecil dan cenderung nol rasio menjadi dan vektor stres pasangan menghilang. Dalam bidang khusus mekanika kontinum stres pasangan diasumsikan tidak menghilang, namun, seperti yang dinyatakan sebelumnya, di cabang klasik mekanika kontinum kita berurusan dengan bahan non-polar yang tidak mempertimbangkan pasangan stres dan saat-saat tubuh. Vektor resultan didefinisikan sebagai vektor stres atau vektor traksi diberikan oleh pada titik terkait dengan pesawat dengan vektor normal : Persamaan ini berarti bahwa vektor stres tergantung pada lokasi yang dalam tubuh dan orientasi pesawat yang menjadi bertindak.Tergantung pada orientasi pesawat yang dipertimbangkan, vektor stres belum tentu tegak lurus dengan bahwa pesawat, paralel yaitu untuk , Dan dapat diselesaikan menjadi dua komponen: yang normal untuk pesawat, disebut tegangan normal mana adalah komponen gaya normal ke daerah diferensial dan paralel lainnya untuk pesawat ini, yang disebut tegangan geser .

mana merupakan komponen tangensial gaya ke daerah diferensial permukaan Tegangan geser dapat lebih diuraikan menjadi dua vektor yang saling tegak lurus. dalil Cauchy Menurut Postulat Cauchy, vektor stres tetap tidak berubah untuk semua permukaan melewati titik dan memiliki vektor normal yang sama di , [8] [13] yaitu memiliki singgung persekutuan di . Ini berarti bahwa vektor stres hanya fungsi dari vektor normal , Dan tidak dipengaruhi oleh kelengkungan dari permukaan internal. fundamental lemma's Cauchy Konsekuensi dari itu dalil Cauchy adalah Cauchy Fundamental Lemma [8] [4] [7] , juga disebut kebalikan teorema Cauchy [14] , yang menyatakan bahwa vektor stres yang bekerja pada sisi berlawanan dari permukaan yang sama adalah sama dalam besar dan berlawanan dalam arah. fundamental lemma's Cauchy setara dengan ketiga undang-undang Newton gerak aksi dan reaksi, dan ini dinyatakan sebagai stres teorema's Cauchy - tensor stres Keadaan tegangan pada suatu titik dalam tubuh ini kemudian didefinisikan oleh semua vektor stres terkait dengan semua pesawat (tak terbatas dalam jumlah) yang melalui titik [2]. Namun, menurut dasar teorema's Cauchy [4] , juga disebut stres teorema's Cauchy [7] , hanya dengan mengetahui vektor menekankan pada tiga tegak lurus pesawat saling, vektor tegangan pada setiap pesawat lain melewati titik yang dapat ditemukan melalui koordinat persamaan transformasi . Teorema Cauchy stres menyatakan bahwa terdapat medan tensor orde kedua , Yang disebut tensor stres Cauchy, independen sehingga merupakan fungsi linier dari : Persamaan ini menunjukkan bahwa vektor stres pada setiap titik dalam sebuah kontinum yang terkait dengan pesawat dengan vektor normal dapat dinyatakan sebagai fungsi dari vektor stres pada pesawat tegak lurus dengan sumbu koordinat, yaitu dalam hal komponen dari tensor stres . Untuk membuktikan ungkapan ini, mempertimbangkan tetrahedron dengan tiga wajah berorientasi pada koordinat pesawat, dan dengan luas yang sangat kecil berorientasi pada arah yang sewenang-wenang ditentukan oleh vektor normal (Gambar 2.2). tetrahedron ini

dibentuk oleh mengiris unsur sangat kecil sepanjang bidang sewenang-wenang . Vektor stress di pesawat ini dinotasikan dengan . vektor stres yang bekerja pada wajah tetrahedron adalah dinotasikan sebagai , , Dan , Dan menurut definisi komponen tensor stres . tetrahedron ini kadang-kadang disebut tetrahedron Cauchy. Dari keseimbangan kekuatan, yaitu pertama undang-undang Euler gerak ( kedua undang-undang Newton tentang gerak ), kita memiliki Gambar 2.2. Stres vektor yang bekerja pada pesawat dengan n vektor normal. Sebuah catatan pada konvensi tanda: tetrahedron ini dibentuk oleh seorang mengiris parallelepiped sepanjangn pesawat sewenang-wenang. Jadi, gaya yang bekerja pada pesawat n adalah reaksi yang diberikan oleh bagian lain dari parallelepiped dan memiliki tanda yang berlawanan. dimana kanan-sisi persamaan merupakan produk dari massa tertutup oleh tetrahedron dan percepatan: adalah densitas, adalah percepatan, dan adalah tinggi tetrahedron, mengingat pesawat sebagai basis. Area wajah para tetrahedron tegak lurus terhadap sumbu dapat ditemukan dengan memproyeksikan ke setiap wajah (menggunakan dot product): dan kemudian dapat diganti ke dalam persamaan untuk membatalkan keluar :

Untuk mempertimbangkan hal membatasi sebagai menyusut tetrahedron pada titik tertentu, h harus ke 0 (intuitif, pesawat diterjemahkan bersama terhadap O). Akibatnya, hak-tangan-sisi persamaan pendekatan 0, sehingga Gambar 2.3 Komponen stres dalam tiga dimensi Dengan asumsi elemen material (Gambar 2.3) dengan pesawat tegak lurus dengan sumbu koordinat dari sistem koordinat Cartesian, vektor stres yang terkait dengan masing-masing pesawat unsur, yaitu , , Dan dapat diuraikan menjadi komponen normal dan dua komponen geser, komponen yaitu dalam arah tiga sumbu koordinat. Untuk kasus tertentu dari permukaan dengan vektor satuan normal berorientasi pada arah -Sumbu, tegangan normal dilambangkan oleh , Dan geser dua tegangan dinotasikan sebagai dan : Dalam notasi indeks ini adalah Sembilan komponen dari vektor stres adalah komponen dari perintah-kedua Cartesian tensor tensor disebut stres Cauchy,yang benar-benar mendefinisikan keadaan tegangan pada suatu titik dan diberikan oleh

Indeks pertama menunjukkan bahwa stres bertindak atas pesawat normal ke sumbu, dan indeks kedua menunjukkan arah di mana tindakan stres. Sebuah komponen stres adalah positif jika ia bertindak dalam arah positif sumbu koordinat, dan jika pesawat dengan bertindak memiliki vektor normal luar menunjuk ke arah positif koordinat. The notasi Voigt representasi dari tensor stres Cauchy mengambil keuntungan dari simetri dari tensor tegangan untuk mengekspresikan stres sebagai dimensi vektor enam dalam bentuk: Notasi Voigt digunakan secara luas dalam mewakili hubungan tegangan-regangan dalam mekanika solid dan untuk efisiensi komputasi dalam perangkat lunak numerik mekanika struktural. Dengan demikian, menggunakan komponen tensor stres atau, sama, Atau, dalam bentuk matriks yang kita miliki aturan Transformasi dari tensor stres Hal ini dapat menunjukkan bahwa tensor stres adalah contravariant tensor urutan kedua , yang merupakan pernyataan tentang bagaimana mengubah bawah perubahan sistem

koordinat.Dari sistem ke sistem, komponen dalam sistem awal yang berubah menjadi komponen dalam sistem baru sesuai dengan aturan transformasi tensor (Gambar 2.4): mana adalah matriks rotasi dengan komponen . Dalam bentuk matriks ini Gambar 2.4 Transformasi dari tensor stres Memperluas operasi matriks, dan menyederhanakan beberapa istilah dengan mengambil keuntungan dari simetri dari tensor stres , memberikan:

Sebuah representasi grafis dari transformasi ini menekankan, selama dua-dimensi ( plane stress dan plane strain tiga-dimensi negara dan umum) yang menekankan, adalah yang lingkaran Mohr untuk tegangan. Sumber: http://en.wikipedia.org/wiki/Stress_(mechanics)