Upload
doanhuong
View
224
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
� Bu bölümde düzlem gerilme dönüşüm denklemlerinin grafiksel bir yöntemile nasıl uygulanabildiğini göstereceğiz. Böylece dönüşüm denklemlerininkullanılması daha kolay olacak.
Mohr Dairesi – Düzlem Gerilme
� Ayrıca bu yöntem nün etkidikleri düzlemin oryantasyonu (açısı) değiştikçe nasıl değiştiklerini izlememiz açısından da kolaylık sağlayacaktır.
ve x x yσ τ′ ′ ′
cos2 sin 22 2
x y x y
x xy
σ σ σ σσ θ τ θ′
+ −− = +
sin 2 cos22
x y
x y xy
σ στ θ τ θ′ ′
−= − +
� Denklem (1) ve (2) aşağıdaki gibi yazılabilir:
Mohr Dairesi – Düzlem Gerilme (devam)
� Her iki denklemin karesini alıp birbirine eklersek θ değerinden kurtuluruz,sonuç aşağıdaki gibi olur:
2 2
2 2-
-2 2
x y x y
x x y xy
σ σ σ σσ τ τ′ ′ ′
+ + = +
(10)
(11)
(12)
� Spesifik bir problem için bilinen sabitler ise bu durumdayukarıdaki denklem daha kompakt formda yazılabilir:
Mohr Dairesi – Düzlem Gerilme (devam)
burada:
( )2 2 2-x ave x y Rσ σ τ′ ′ ′+ =
, ve x y xyσ σ τ
2
2
2
-
2
x y
ave
x y
xyR
σ σσ
σ στ
+=
= +
(13)
Mohr Dairesi – Düzlem Gerilme (devam)
ve σ τEğer için pozitif eksenler aşağıdaki gibi olacak şekilde düzenlenirsedenklem (13)’ün R yarıçaplı, merkezi C( , 0)’da olan bir daire denklemiolduğunu görürüz:
a veσ
( )2 2 2-x ave x y Rσ σ τ′ ′ ′+ =
2
2
2
-
2
x y
ave
x y
xyR
σ σσ
σ στ
+=
= +
Buna Mohr Dairesi denir ve Alman mühendis Otto Mohr tarafından geliştirilmiştir.
Mohr Dairesi – Düzlem Gerilme (devam)
� Mohr dairesi üzerindeki her bir nokta farklı bir gerilme durumunu temsileder. Örnek olarak aşağıdaki elemanı ele alalım:
90o derecedöndür
AG
Negatif
Eleman üzerinde θkadar dönme, Mohr dairesi üzerinde 2θ
kadar dönmeye karşılık gelmektedir.
Mohr Dairesi – Düzlem Gerilme (devam)
� Mohr dairesi çizildikten sonra asal düzlemler ve bunlara karşılık gelen asalgerilmeler veya herhangi bir düzlemdeki gerilmeler hesaplanabilir:
A noktası, θ = 0, C ve A birleştirilerek R
hesaplanır ve daire çizilir.
Asal eksenler 2θp1
(CA’dan CB’ye) ve 2θp2 (CA’dan
CD’ye) açıları ile gösterilmektedir. B
ve D noktaları.
A
B
Mohr Dairesi – Düzlem Gerilme (devam)
� Mohr dairesi çizildikten sonra asal düzlemler ve bunlara karşılık gelen asalgerilmeler veya herhangi bir düzlemdeki gerilmeler hesaplanabilir:
Asal kesme gerilmesi 2θs1
(CA’dan CE’ye) ve 2θs2 (CA’dan CF’ye)
açıları ile gösterilmektedir. E
ve F noktaları.
Herhangi bir θaçısındaki gerilme değeri (P noktası).
CA çizgisinden saat akrebinin tersi
yönünde 2θ kadar dönerek bulunur.
E
P
Mohr Dairesi – Örnek 1
� Üzerine etkiyen yüklemeden dolayı şaft üzerindeki A noktası şekildegösterilen düzlem gerilme durumuna maruz kalmıştır. Bu noktada oluşanasal gerilmeleri bulunuz.
MPa
MPa
Mohr Dairesi – Örnek 1 (devam)
� Pozitif yön kabullerini dikkate alarak, aşağıdaki ifadeler yazılabilir:
MPa MPa
�Ortalama gerilme:
� Bu durumda, referans noktası A(-12,-6) ve dairenin merkezi ise C(-6,0) noktaları olmaktadır. Dairenin yarı çapı ise aşağıdaki gibi hesaplanabilir:
MPa
MPa MPa
MPa
(+)
(+)
Mohr Dairesi – Örnek 1 (devam)
� Asal eksenler daireye referansla, B ve D noktalarıdır:
MPa
MPa
(+)
(+)
MPa
MPa
1 2σ σ> için:
Mohr Dairesi – Örnek 1 (devam)
� Asal eksenin olduğu düzlem referans noktası A’dan saat akrebinin tersiyönünde 2θP2 kadar dönülerek bulunur:
MPa
MPa
(+)
(+)
MPa
MPa
A: referans nok.Basınç gerilmesi var
Mohr Dairesi – Örnek 2
� Şekilde gösterilen düzlem gerilme durumu için maksimum düzlemsel kesmegerilmesini ve bulunduğu düzlemi hesaplayınız.
Mohr Dairesi – Örnek 2 (devam)
� Problem verisinden, aşağıdaki ifadeleri yazmak mümkündür:
�Ortalama gerilme:
� Bu durumda, referans noktası A(-20, 60) ve dairenin merkezi ise C(35,0) noktaları olmaktadır. Dairenin yarı çapı ise aşağıdaki gibi hesaplanabilir:
A
Mohr Dairesi – Örnek 2 (devam)
� Maksimum kesme gerilmeleri Mohr dairesi üzerinde E ve F noktaları ile gösterilmektedir. Dikkat edilirse, bu noktalarda normal gerilme ortalama değerdedir:
� Maksimum kesme gerilmesi düzlemi:
Dikkat edilirse, E noktasında hem kesme hem de normal gerilmeler pozitiftir!
EF
Mohr Dairesi – Örnek 3
� Şekilde gösterilen düzlem gerilme durumundaki eleman saat akrebinin tersiyönünde 30 derece döndürüldüğünde oluşan gerilme durumunuhesaplayınız.
MPa
MPa
MPa
Mohr Dairesi – Örnek 3
� Problem verisinden aşağıdaki ifadeleri yazmak mümkündür:
� Ortalama gerilme:
� θ = 0 noktası referans noktası olup koordinatları A(-8, -6) ve dairenin
merkezi C ise (2, 0) noktasındadır. Yarıçap ise aşağıdaki gibi hesaplanabilir:
MPa MPa MPa
MPa
MPa
MPa
MPa
MPa
A
Mohr Dairesi – Örnek 3
� Elemanın referans noktası olan A noktasından 30 derece dönmesi, Mohrdairesinde 2(30o) = 60o dönmeye karşılık gelmektedir (P noktası):
( , )x x yP σ τ′ ′ ′Değerler, trigonometriden kolaylıkla bulunur:
MPa
MPa
MPa
MPa
P
Mohr Dairesi – Örnek 3
� Elemanın DE yüzüne etkiyen gerilmeler ise Mohr dairesinde Q noktasına
denk gelmektedir. Q noktasının koordinatları ise aşağıdaki gibi bulunabilir:
( , )x x yQ σ τ′ ′ ′Değerler, trigonometriden kolaylıkla bulunur:
MPa
MPa
MPa
MPa
Dikkat: Q noktasına, A noktasında ve/veya P noktasından ulaşılabilir
A noktasından Q noktasına ulaşmak
için saat akrebi yönünde 60o
döndürülebilir.