Esttica 1010Momentos de Inercia Objetivos Mtodo para determinar el momento de inercia de un rea Introducor el producto de inercia y cmo determinar el mx y mn momentos de inercia para un rea Momento de inertia de una distribucin de masas ndice 1. Definicin de Momentos de Inercia para reas 2. Teorema del eje-paralelo 3. Radio de giro de un rea 4. Momentos of Inercia para reas compuestas 5. Producto de Inercia para un rea 6. Momento de Inercia para un rea 7. Crculo de Mohr para Momentos de Inercia 8. Momentos de inercia de una distribucin de masas 10.1 Momentos de Inercia para reas El Centroide de un rea se determina por el primer momento de un rea respecto a un eje El segundo momento de un rea respecto a un eje se conoce como momento de inercia El Momento de Inercia se origina siempre que uno relaciona la fuerza normal o la presin (fuerza por unidad de rea con el momento) 10.1 Momentos de Inercia para reas Momento de Inercia Consideremos el rea A en el plano x-y Por definicin, el momento de inercia del elemento de rea dA respecto a los ejes x, y resulta dI x=y 2dA dI y=x2dA Para el rea completa, los momentos de inercia son Ix =. y 2 dA Iy =.x2 dA 10.1 Momentos de Inercia para reas Momento de Inercia Tambin podemos tomar el segundo momento de dA respecto al polo O o eje z Esto se conoce como el momento polar de inercia dJ O=r 2dA siendo r la distancia perpendicular desde el polo (eje z) al elemento dA El momento polar de inercia para todo el rea resulta JO =.r2 dA =I x+I y 10.2 Teorema del eje paralelo para un rea Conocido el momento de inercia de un rea respecto a un eje que pasa por su centroide, determine el momento de inercia respecto a un eje peralelo. Consideamos el momento de inercia del rea Un elemento diferencial dA se localiza a una distancia arbitraria y respecto al eje x del centroide 10.2 Teorema del eje paralelo para un rea La distancia fija entre el eje x paralelo a x es dy El momento de inercia de dA respecto al eje x dI x =( y'+d y )2 dA Para el rea completa Ix =.( y'+d y )2 dA . y'2 dA +2d y . y'dA +d 2y .dA La primera integral representa el momento de inercia del rea respecto al eje centroidal 10.3 Radio de Giro de un rea El radio de giro de un rea plama tiene unidades de longitud y es una cantidad que se usa para disear columnas Se define como k x =v Ix A k y =vI y A k z =vJ O A Estas expresiones son a la expresin del momento de iniercia de un elemento de rea respecto a un eje Ix=k x2A dI x=y2dA Ejemplo Determine el momento de inercia para el rea rectangular respecto a: (a) el eje x centroidal, (b) el eje xb que pasa a travs de la base del rectngulo, y (c) el polo o eje z perpendicular al plano x-y plane y que pasa por el centroide C. Solucin Parte (a) Elemento diferencial, distancia y desde el eje x. Como dA = b dy, Ix =. y'2 dA=. y'2 (bdy' )=. y'2 dy= 1 bh3 12 Parte (b) Aplicando el teorema del eje paralelo, 1 h 21I=I x+Ad2 = bh3+bh= bh3 xb 12 ( 2 )3 Solucin Parte (c) Para el momento polar de inercia respecto al punto C, 1I y' = 12 hb3 1JC =Ix +I y' = 12 bh( h2 +b2 ) 10.4 Momentos de Inercia para reas compuestas Un rea compuesta consiste de una serie de partes simples conectadas El Momento de inercia del rea compuesta = suma algebracia de los momentos de inercia de todas sus partes Procedimiento de anlisis Partes Dividir el rea en partes y localizar el centroide de cada parte respecto al eje de referencia dadoi Teorema del eje paralelo Determinar el momento de inercia de cada parte respecto a sus ejes centroidales 10.4 Momentos de Inercia para reas compuestas Procedimiento de anlisis Teorema del eje paralelo Cuando el eje centroidal no coincide con el eje de referencia, se usa el teorema del eje paralelo Suma Momento de inercia total resulta de sumar los momentos de inercia de sus partes Ejemplo Calcule el momento de inercia respecto al eje x. Solucin Partes El rea compuesta se obtiene sustrayendo el crculo del rectngulo. Localizamos el centroide de cada parte sgn se muestra. Solucin Teorema de eje paralelo Crculo Ix =I x' +Ady2 1 22 4 4 p ( 25)4 +p ( 25 )( 75)=11. 4 (106) mmRectngulo Ix =I x' +Ady2 132 4( 100)( 150)+( 100)(150 )(75 )=112 .5 (106 ) mm12 Solucin Suma El momento de inercia del rea compuesta resulta, Ix =-11 . 4 (106 )+112 .5 ( 106 ) 101 (106 ) mm4 10.5 Producto de Inercia para un rea El Momento de inercia de un rea es diferente para cada eje respecto al que se calcula Calcularemos el producto de inercia para el rea adems de los momentos de inercia respcto a los ejes x, y dados El Producto de inercia para un elemento de rea dA localizado en el punto (x, y) se define como dIxy = xydA Y resulta para el total Ixy =.xydA 10.5 Producto de Inercia para un rea Parallel Axis Teorema de eje paralelo El producto de inercia de dA respecto a los ejes x,y dI xy =.( x'+d x )( y'+d y ) dA Para el rea total, dI xy =.( x'+d x )( y'+d y ) dA .x'y'dA+d . y' dA+d .x' dA+dd .dA x yxy La cuarta integral representa el rea total A, I=I y' +Addxy x'xy Ejemplo Determine el producto de inercia Ixy del tringulo. Solucin El elemento diferencial tiene un grosor de dx y de rea dA = y dx. Usando el teorema del eje paralelo, dI =dI +dA{ x~~y xy x'y' ( x,~ y~) localiza el centroide del elemento con origen el de los ejes x, y Solucin 1 Por simetra, dI x'y' =0 x~=x ~y =y /2 yh hh2 dI =0+( ydx ) x ( 2 )=( b xdx )x (2b x )= x3 dx xy 2b2 Integrando resulta h2 b2 h2 I=. x3 dx = xy 2b2 8 Solucin 2 El elemento diferencial tiene un grosor dy, y de rea dA = (b -x) dy. Para el centroide, x~=x +(b-x )/2=(b+x )/2, ~y= y Para el producto de inercia del elemento ( (b 2 +x )dI =dI~+dA { x~~y=0+(b-x )dy yxy xy bb+( b /h) y 1 b22=b-ydy y= yb2-ydy (h )[2 ] 2 (h2 )10.6 Momentos de Inercia respecto a ejes inclinados Es necesario a veces calcular I, Ie Ipara un rea u v uv respecto a un sisteman de ejes inclinados u, v conocidos los valores de ., I, Ie Ix y xy Usamos ecuaciones de transformacin que relacionan los ejes x, y con los u, v u=x cos .+y sin . v=y cos.-x sin . dIu=v2 dA=( y cos .-x sin . )2 dA dI v=u2dA=( x cos .+y sin . )2 dA dIuv =uvdA= ( x cos .+y sin . )( y cos .- x sin . )dA 10.6 Momentos de Inercia respecto a ejes inclinados Integrando, Iu=I x cos2 .+I y sin2 .-2Ixy sin . cos . I=I sin2 .+I cos2 .+ 2Isin . cos.vxy xy I=I sin . cos.-I sin . cos.+2I (cos2 .-sin2 . )uv xy xy Simplificando mediante identidades trigonomtricas, sin2.=2sin . cos . cos2.=cos2 .-sin2 . 10.6 Momentos de Inercia respecto a ejes inclinados Podemos simplificar a I +I I-Ixyx yI=+ cos2.-Isin2. u xy 22 I +I I-Ixy xyI=- cos2. +I sin2. v xy 22 Ix -IyI = sin2.+2Icos2. uv xy 2 El momento polar de inercia respecto al eje z que pasa a travs del punto O es, =I+I =I +I JOuvx y 10.6 Momentos de Inercia respecto a ejes inclinados Momentos principales de Inercia I, I, Idependen del ngulo de inclinacin . de los uv uv ejes u, v El ngulo . = .p define la orientacin de los ejes principales del rea dII-Iu xy=-2sin2. -2Icos2.=0xy d. (2 ).=.p -I xy tan2.= p ( Ix -Iy )/2 10.6 Momentos de Inercia respecto a ejes inclinados Momentos principales de Inercia Sustituyendo cada una de las razones para el seno y el coseno, tenemos Ix+I y Ix-Iy 2 max=+I 2I min 2 v( 2 )xy Los resultados dan el momento de inercia mx y mn para el rea Se puede demostrar que Iuv = 0, i.e. el producto de inercia respecto a los ejes principales es cero Cualquier eje simetrico representa un eje principal de inercia para el rea Ejemplo Determine los momento principales de iniercia para la seccin transversal de la viga respecto a un eje que pasa por el centroide. Solucin El momento y el producto de inercia de la seccin resulta, 44 4Ix =2 . 90 (109) mmIy =5 . 60 (109 ) mmIz=-3 . 00 (109) mmUsando los ngulos de inclinacin de los ejes principales u, v -I xy 3 . 00 (109 )tan2.== =-2 .22 p ( Ix -Iy )/2 [ 2. 90 (109 )-5 . 60 (109 )]/2 2.p1=-65 . 8 , 2.p2 =114 .2 . .p1=-32 . 9 ,.p2 =57 .1 Solucin Para los momento pricipales de inercia respecto a u, v: maxIx+I y Ix -Iy 2 2=+I Imin 2 v(2 )xy 2 .90 (109 )+5 . 60 (109 ) 2 2 . 90 (109)-5. 60 (109) 22 +[-3 . 00 (109 )]v[2 ]max=4 . 25 (109)3 . 29 (109)Imin . I max =7 .54 (109) mm4 ,Imin =0 .960 (109) mm4 10.7 Crculo de Mohr Se encuentra que I x+I y 2 Ix -Iy 2 I- +I 2 = +I 2 uuv xy (2 )(2 ) En un problema, Iy Ison la veriables y I, I, Ison u v xyxy conocidas ( I -a )2 +I 2 =R2 u uv Cuando pintamos esta ecuacin, sobre ejes que representan los momentos y productos de inercia, la grfica resulta un crculo 10.7 Crculo de Mohr El crculo construido se conoce como crculo de Mohr, de radio +I y 2Ix 2R= +I xy v( 2 )y centro (a, 0) donde a= ( I x+I y )/2 10.7 Crculo de Mohr Procedimiento de anlisis Determinar Ix, Iy, Ixy Establecer los ejes x, y para el rea, con el origen localizado en el punto P de inters y determinar Ix, Iy, Ixy Construccin del Crculo Construir un sistema de coord rectangular, de manera que la abscisa representa el momento de inercia I y la ordenada el producto de inercia Ixy 10.7 Crculo de Mohr Construccin del Crculo Determine el centro del crculo O, localizado a una distancia (Ix + Iy)/2 del origen, y pintar al punto de referencia A de corrdenadas (Ix, Ixy) Por definicin, Ix es siempre positivo, mientras que Ixy puede ser positivo o negativo. Conecte el punto de referencia A con el centro del crculo, y determinsar la distancia OA (el radio del crculo) por trigonometra Dibujar al crculo 10.7 Crculo de Mohr Momentos of Inercia Principales Los puntos en donde el crculo intersecta a la abscisa dan los valores de los momentos de inercia principales y IImin max El producto de inercia ser cero en esos puntos Ejes principales Este ngulo representa dos veces el ngulo desde el eje x axis del rea en questin al eje del momento de inercia mximo Imax El eje par ael momento de inercia mn Imin es perpendicular al eje del Imax Ejemplo Usando el crculo de Mohr, determine los momentos principales de la seccin transversal respecto a un eje qie pasa por el centroide. Solucin Determine Ix, Iy, Ixy Los momentos de inercia los hemos determinados en un ejercicio anterior 44 4Ix =2 . 90 (109) mmIy =5 . 60 (109 ) mmIxy =-3 .00 (109 ) mmConstruimos el Crculo El centro del crculo, O, desde el origen, est a la distancia ( I x+I y)/2=(2 .90 +5 . 60)/2=4 . 25 Solucin Construccin del crculo Con referencia al punto A (2.90, -3.00), el radio OA se determina usndo el teorema de Pitgoras OA= v( 1 . 35)2 +(-3 . 00)2 =3 . 29 Momentos principales de Inercia El Crculo intersecta el eje I axis en (7.54, 0) y (0.960, 0) Imax =7 .54 ( 109 ) mm4 Imin =0.960 (109 ) mm4 Solucin Ejes Principales ngulo 2.p1 determinado midiendo en el crculo en sentido antihorario desde OA en direccin del eje I positivo |BA| 3 .00 2.p1 =180 -sin-1 =180 -sin-1 =114 . 2 (|OA|)( 3 .29 )El eje principal para Imax = 7.54(109) mm4 est orientado con un ngulo .p1 = 57.1, medido en sentido antihorario desde el eje x positivo al eje u positivo. El eje v es perpendicular a este eje. 10.8 Momento de inercia de una distribucin El momento de inertia se define como la integral del segundo momento respecto a un eje de todos los elementos de masa que componen un cuerpo El momento de inercia respecto al eje z resulta I=.r2 dm El eje que se elige normalmente pasa a travs del centro de masa G del cuerpo 10.8 Momento de inercia de una distribucin Si el cuerpo consiste de un material de densidad variable . = .(x, y, z), el elemento de masa se puede expresar como dm = . dV Usando el elemento de volumen I=.r2 .dV Y si . es constante, I=..r2 dV 10.8 Momento de inercia de una distribucin Si el cuerpo consiste de un material de densidad variable . = .(x, y, z), el elemento de masa se puede expresar como dm = . dV Usando el elemento de volumen I=.r2 .dV Y si . es constante, I=..r2 dV 10.8 Momento de inercia de una distribucin Procedimiento de anlisis Elemento de capa Para una capa de altura z, radio y, espesor dy, el volumen resulta: dV = (2py)(z)dy Elemento de disco Para un disco de radio y, espesor dz, el volumen resulta: dV = (py2) dz Ejemplo Determine el momento de inercia del cilindro respecto al eje z. La densidad del material es constante. Solucin Elemento de capa El volumen del elemento, dV=( 2pr )( h ) dr Elemento de masa, dm=.dV=. ( 2p rh dr ) Ya que el elemento est a la misma distancia r del eje z, para el momento de inercia resulta, dI z=r2dm=.2phr 3dr Solucin Integrando sobre toda la regin del cilindro, .pIz =.r2 dm =.2ph.r 3 dr = 2 R4 h La masa del cilindro m=.dm =.2ph.rdr =.phR 2 As que 1Iz = 2 mR2 10.8 Momento de inercia de una distribucin Teorema de eje paralelo Si el momento de inercia de un cuerpo repecto a un eje que pasa por el centro de masa es conocido, el momento de inercia respecto a cualquier otro eje paralelo se determina por el teorema del eje paralelo, r 2 = (d+x)2+ y2 Para el momento de inercia respecto al eje z, I=.r2 dm=.[ ( d+x' )2 +y' 2 ] dm .( x'2+y' 2 ) dm+2d.x'dm+d2.dm 10.8 Momento de inercia de una distribucin Teorema del eje paralelo Para el momento de inercia respecto al eje z, I = IG + md2 Radio de giro Usando el radio de giro k, para expresar el momento de iniercia, I=mk2 or k= v I m Ejemplo Si la placa tiene una densidad de 8000 kg/m3 y un espesor de 10 mm, determine el mometo de inercia respecto a un eje perpendicular a la pgina y que pasa por el punto O. Solucin La placa consiste 2 partes, el disco de radio de 250 mm menos el de 125 mm. Disco 1 2Para el momento de inercia del disco,2 mrIG = El centro de masa del disco est a 0.25 m del punto O md=.dV d =8000 [ p ( 0. 25)2 ( 0 . 01) ]=15 . 71 kg 1212 22( IO )d = 2 md rd +mdd 2 =( 15 .71)( 0.25)+( 15 .71)( 0 . 25)=1.473 kg . m2 Solucin Hueco mh=.hV h =8000 [ p ( 0 .125) 2 ( 0 . 01) ]=3 .93 kg ( IO )h = 1 mh rh 2 +mhd 2 2 12+22( 3 .93)( 0 . 125)( 3 .93)( 0 .25)=0 .276 kg . m2 Para el momento de inercia de la placa respecto a O, IO =( IO )d-( IO )h 1. 473-0. 276=1. 20 kg .m2 QUIZ 1. La definicin del momento de inercia de un rea implica una integral de la forma A) x dA. el SI para el momento de C) kgm2 D) kgm3 QUIZ 3. Un tubera est sometida a un momento de flexin. Qu caracterstica de la tubera resulta con menos tensin? Asuma una seccin transversal constante)A a constant cross-sectional area)? MM A) menor Ix B) menor Iy y xC D) mayor Iy Pipe section y4. En la figura emento diferencial para el y=x3 momento de al eje y, dIy? A) x2 ydx x,y C) y2 x dy D) (1/3)ydy QUIZ 5. El teorema del eje paralelo se aplica entre s igual C) Adicin D) Producto QUIZ 7. Para el rea A, se conoce la localizacin del centroide (C), el rea, las distancias entre los 4 ejes paralelos y el momento de inercia respecto al eje 1. Se puede determinar el MoI respecto al eje 2 aplicando el teorema del eje paralelo___ . A) Directamente entre los ejes 1 y 2. d1 1 A

C Axis 4 d3 3 C) Entre los ejes 1 y 4, y entonces d2 2 entre los ejes 4 y 2. D) Ninguna de las respuestas interiores. QUIZ 8. Para el mismo caso, considere el MdI respecto a cada unos de los cuatro ejes. Respecto a cul ser el ms pequeo? A) eje1 Axis B) eje2 A Cd432 3 d2D) eje4 E) no se puede decir 1d1 QUIZ A=10 cm2 eje 3 ? A) C) 10. El mome specto al eje x 9. El momento de inercia respecto al eje 1 is 200 cm4. Cunto vale respecto al 90 cm4 B) 110 cm4 60 cm4 d2 d1 3 2 1

C d1 = d2 = 2 cm 3cm es igual a 2cm A) 8 cm4. C) 24cm4. D) 26cm4. 2cm x QUIZ 11. La definicin del momento de inercia de una masa respecto a un eje es ___________ . A) r dm e aplicar para MMI esta vale Nota: MoI es el momento de inercia de un rea y MMI es el momento de inercia de una distribucin de masa QUIZ 13. Considere una partcula de masa 1 kg localizada en p P, cuyas coordenadas estn dadas en metros. Determine el MMI de esa partcula respecto al eje z. z A) 9 kgm2 B) 16 kgm2 P(3,4, D) 36 kgm2 6) y x 14. Con a estructura rectangular hecha de 4 barras co o ejes perpendiculares que pasan a travs d , y S. Respecto a qu eje ser el Mmi de la est mayor? A) zP C) zR PQD) zS E) No es posible determinarlo S R QUIZ 15. Una partcula de masa 2 kg se localiza a 1 m en el eje y. Cul es el MMI de la partcula respecto a los ejes x, y, z respectivamente? z B) (0,2,2) 1 mC) (0,2,2) D) (2,2,0) y

x