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P u en te G o ld en G ate:
L o s in g en ie ro s m ecán ico s
deb en aseg u ra rse de
qu e to d as las fu e rza s y
m o m en to s de to rs ió n es tén
e q u ilib rad o s en e l d iseño
y la c o n s tru cc ió n de los
p u en tes .
(Foto © vol. 44 PhotoDisc/
Getty.)
M omento de torsión
y equilibrio rotacional
93
9 4 Capítulo 5 M om ento de torsión y equilibrio rotacional
Objetivos
C u a n d o te r m in e d e e s tu d ia r e s te c a p í tu lo e l a lu m n o :
1. I lu s tra rá m e d ia n te e je m p lo s y d e f in ic io n e s su c o m p re n s ió n d e lo s té rm in o s
brazo de palanca y m om ento de torsión.
2. C a lc u la rá e l m o m e n to d e to r s ió n r e s u lta n te re s p e c to a c u a lq u ie r e je , d a d a s las
m a g n itu d e s y p o s ic io n e s d e las fu e rz a s q u e a c tú a n s o b re u n o b je t o a la rg a d o .
3. D e te rm in a rá las fu e rz a s o d is ta n c ia s d e s c o n o c id a s a p l ic a n d o la p r im e ra y s e
g u n d a c o n d ic io n e s d e e q u i l ib r io .
4. D e f in irá c e n t r o d e g ra v e d a d y d a rá e je m p lo s d e d ic h o c o n c e p to .
E n lo s c a p ítu lo s a n te r io re s n o s h e m o s re fe r id o a la s fu e rz a s q u e a c tú a n en u n so lo p u n to . E x is
te u n e q u il ib r io tra s la c io n a l c u a n d o la su m a v e c to r ia l e s ce ro . S in e m b a rg o , e n m u c h o s ca so s
la s fu e rz a s q u e a c tú a n s o b re u n o b je to n o t ie n e n u n p u n to d e a p l ic a c ió n co m ú n . E s te t ip o de
fu e rz a s se l la m a n no concurrentes. P o r e je m p lo , u n m e c á n ic o e je rc e u n a fu e rz a e n e l m a n e ra l
d e u n a llav e p a ra ap re ta r u n perno . U n ca rp in te ro u tiliza u n a p a la n c a la rg a p a ra ex trae r la ta p a de
u n a c a ja d e m a d e ra . U n in g e n ie ro c o n s id e ra la s fu e rz a s d e to rs ió n q u e tie n d e n a a r ra n c a r u n a
v ig a d e la p a re d . E l v o la n te d e u n a u to m ó v il g ira p o r e l e fe c to d e fu e rz a s q u e no t ie n e n un
p u n to d e a p lic a c ió n c o m ú n . E n c a so s co m o é s to s , p u e d e h a b e r u n a tendencia a girar q u e se
d e f in e c o m o momento de torsión. S i a p re n d e m o s a m e d ir y a p re v e r lo s m o m e n to s d e to rs ió n
p ro d u c id o s p o r c ie r ta s fu e rz a s , s e rá p o s ib le o b te n e r lo s e fe c to s ro ta c io n a le s d e se a d o s . S i n o se
d e s e a la ro ta c ió n , e s p re c is o q u e n o h a y a n in g ú n m o m e n to d e to rs ió n re su lta n te . E s to c o n d u c e
e n fo rm a n a tu ra l a la c o n d ic ió n d e equilibrio rotacional, q u e es m u y im p o r ta n te e n a p l ic a c io
n e s in d u s tr ia le s y e n in g e n ie r ía .
' V i á U Condiciones de equilibrioC u a n d o u n c u e rp o e s tá e n e q u il ib r io , d e b e e n c o n tra s e e n re p o s o o e n e s ta d o d e m o v im ie n to
re c t i lín e o u n ifo rm e . D e a c u e rd o co n la p r im e ra ley de N e w to n , lo ú n ic o q u e p u e d e c a m b ia r
d ic h a s i tu a c ió n es la a p lic a c ió n de u n a fu e rz a re su lta n te . H e m o s v is to q u e si to d a s la s fu e rz a s
q u e a c tú a n so b re u n c u e rp o t ie n e n un so lo p u n to d e in te rs e c c ió n y si su s u m a v e c to r ia l es
ig u a l a c e ro , e l s is te m a d e b e e s ta r en e q u ilib r io . C u a n d o so b re u n c u e rp o a c tú a n fu e rz a s q u e
n o t ie n e n u n a línea de acción c o m ú n , ta l v e z e x is ta e q u il ib r io t ra s la c io n a l p e ro no e q u il ib r io
ro ta c io n a l . E n o tra s p a la b ra s , q u iz á n o se m u e v a n i a la d e re c h a n i a la iz q u ie rd a , ta m p o c o h a
c ia a r r ib a n i h a c ia a b a jo , p e ro p u e d e s e g u ir g ira n d o . A l e s tu d ia r el e q u il ib r io d e b e m o s to m a r
e n c u e n ta e l p u n to d e a p lic a c ió n d e c a d a fu e rz a a d e m á s d e su m a g n itu d .
C o n s id e re la s fu e rz a s q u e se e je rc e n so b re la lla v e d e tu e rc a s d e la f ig u ra 5 .1 a . D o s fu e r
z a s F ig u a le s y o p u e s ta s se a p lic a n a la d e re c h a y a la iz q u ie rd a . L a p r im e ra c o n d ic ió n de
e q u il ib r io n o s d ic e q u e la s fu e rz a s h o r iz o n ta le s y v e r tic a le s e s tá n e q u il ib ra d a s ; p o r lo ta n to ,
se d ic e q u e e l s is te m a e s tá e n e q u ilib r io . N o o b s ta n te , si la s m ism a s d o s fu e rz a s se ap lic a n
c o m o in d ic a la f ig u ra 5 .1 b , la lla v e d e tu e rc a s d e f in itiv a m e n te t ie n d e a g ira r. E s to es c ie r to
in c lu so si e l v e c to r q u e re s u lta d e la s u m a d e la s fu e rz a s s ig u e s ie n d o ce ro . E s o b v io q u e se
re q u ie re u n a s e g u n d a c o n d ic ió n d e e q u il ib r io q u e e x p liq u e e l m o v im ie n to ro ta c io n a l. U n
e n u n c ia d o fo rm a l d e e s ta c o n d ic ió n se p re s e n ta rá p o s te r io rm e n te , a u n q u e a n te s es n e c e sa r io
d e f in ir a lg u n o s té rm in o s .
E n la f ig u ra 5 .1 b , la s fu e rz a s F n o t ie n e n la m is m a línea de acción.
La lín e a d e a c c ió n d e u n a fu e rz a es u n a lín e a im a g in a r ia q u e se e x t ie n d e in d e
f in id a m e n te a lo la rg o d e l v e c to r e n a m b a s d ire c c io n e s .
C u a n d o la s l ín e a s d e a c c ió n d e la s fu e rz a s n o se in te rse c a n e n u n m ism o p u n to , p u e d e h a b e r
ro ta c ió n re s p e c to a u n p u n to l la m a d o eje de rotación. E n n u e s tro e je m p lo , e l e je d e ro ta c ió n
e s u n a l ín e a im a g in a r ia q u e p a s a a tra v é s d e l p e rn o e n d ire c c ió n p e rp e n d ic u la r a la p á g in a .
5 .2 El b ra z o d e p a la n c a 95
(b)
Figura 5.1 (a) H ay eq u ilib rio p u e s to q u e la s fu e rza s tien en la m ism a lín e a de acción , (b) N o h ay eq u ilib rio
p o rq u e las fu erzas o p u es ta s n o tie n en la m ism a lín e a de acción.
iñ,E! brazo de palanca
L a d is ta n c ia p e rp e n d ic u la r d e l e je d e ro ta c ió n a la lín e a d e a c c ió n d e la fu e rz a se l la m a brazo
de palanca d e la fu e rz a , el cu a l d e te rm in a la e f ic a c ia d e u n a fu e rz a d a d a p a ra p ro v o c a r el
m o v im ie n to ro ta c io n a l. P o r e je m p lo , s i se e je rc e u n a fu e rz a F a d is ta n c ia s c a d a v e z m a y o re s
d e l c e n tro d e u n a g ra n ru e d a , g ra d u a lm e n te se rá m ás fá c il h a c e r g ira r la ru e d a en re la c ió n co n
su c e n tro . (V é a se la f ig u ra 5 .2 .)
El b ra z o d e p a la n c a d e u n a fu e rz a es la d is ta n c ia p e r p e n d ic u la r q u e h a y d e la
lín e a d e a c c ió n d e la fu e rz a al e je d e r o ta c ió n .
S i la lín e a d e a c c ió n d e la fu e rz a p a s a p o r e l e je d e ro ta c ió n (p u n to A d e la f ig u ra 5 .2 ), el
b ra z o d e p a la n c a es ce ro . S e o b s e rv a q u e n o h a y e fe c to ro ta c io n a l , in d e p e n d ie n te m e n te d e la
I A | B c 1
\ I i Fi if A
\\ \ J m
\ \X v
Figura 5.2 L a fu e rz a no eq u ilib rad a F n o p ro d u ce n in g ú n e fec to ro ta c io n a l so b re el p u n to A, p ero ca d a vez
es m ás e fic az a m e d id a qu e a u m en ta su b razo de p alan ca.
96 Capítulo 5 M om ento de torsión y equilibrio rotacional
La Estación Espacial
In te rnaciona l se m on tó
usando una vers ión de
alta te cn o lo g ía de un
ta la d ro in a lá m brico .
La herram ie nta con
em puñadu ra de p is to la ,
o PGT, q u e func io na con
baterías, pu e d e con ta r
el núm ero de vue ltas y
lim ita r la can tid a d de
m o m e n to de to rs ió n
a p lica do a un perno .
La NAS A ex ige a los
d iseñadores usar sólo
un t ip o de perno ,
uno q u e puedan
agarrar fác ilm en te
los astro-nau tas en
sus tra jes de EVA
(extraveh icu la r activ ity ).
M o m e n to d e
torsió jjp j gativo
o
(a )
f v ío m é ñ to c le
(c)
Figura 5.3 E je m p lo s de b raz o s de p a lan ca r.
M o m e n to d e
to r s ió n p o s i t iv o
(d )
m a g n itu d de la fu e rza . E n e s te s e n c illo e je m p lo , lo s b ra z o s d e p a la n c a e n lo s p u n to s B y C
so n s im p le m e n te la d is ta n c ia d e lo s e je s d e ro ta c ió n al p u n to d e a p lic a c ió n d e la fu e rz a . S in
e m b a rg o , h a y q u e n o ta r q u e la lín e a d e a c c ió n d e la fu e rz a no es m á s q u e u n a se n c il la c o n s
t ru c c ió n g e o m é tr ic a . E l b ra z o d e p a la n c a se tra z a p e rp e n d ic u la r a e s ta lín ea . P u e d e s e r ig u a l
a la d is ta n c ia d e l e je al p u n to d e a p lic a c ió n d e la fu e rz a , p e ro e s to es c ie r to só lo c u a n d o la
fu e rz a a p l ic a d a es p e rp e n d ic u la r a e s ta d is ta n c ia . E n lo s e je m p lo s d e la fig u ra 5 .3 , r r e p re s e n ta
e l b ra z o d e p a la n c a y O, e l e je d e ro ta c ió n . E s tu d ie c a d a e je m p lo , o b se rv a n d o có m o se traz an
lo s b ra z o s de p a la n c a y ra z o n a n d o si la ro ta c ió n es e n e l m ism o s e n tid o o c o n tra r ia a l av a n c e
d e la s m a n e c illa s d e l re lo j c o n re s p e c to a O.
Momento de torsión
Se h a d e f in id o la fuerza c o m o u n t iró n o un e m p u jó n q u e t ie n d e a c a u s a r un m o v im ie n to . E l
m o m e n to d e torsión r se d e f in e c o m o la te n d e n c ia a p ro d u c ir u n c a m b io e n e l m o v im ie n to
ro ta c io n a l. E n a lg u n o s te x to s se le l la m a ta m b ié n momento de fuerza .* C o m o y a h e m o s v is to ,
e l m o v im ie n to ro ta c io n a l se v e a fe c ta d o ta n to p o r la m a g n itu d d e u n a fu e rz a F c o m o p o r su
b ra z o d e p a la n c a r. P o r ta n to , d e f in ire m o s el m o m e n to d e to rs ió n co m o e l p ro d u c to d e u n a
fu e rz a p o r su b ra z o d e p a la n c a .
Momento de torsión = fuerza X brazo de palanca
t = Fr (5 .1 )
E s p re c is o e n te n d e r q u e e n la e c u a c ió n (5 .1 ) r se m id e e n fo rm a p e rp e n d ic u la r a la l ín e a de
a c c ió n d e la fu e rz a F . L a s u n id a d e s d e l m o m e n to d e to rs ió n so n la s u n id a d e s d e fu e rz a p o r
d is ta n c ia , p o r e je m p lo , newton-metro (N • m ) y libra-pie (Ib • ft) .
Y a a n te s se e s ta b le c ió u n a c o n v e n c ió n d e s ig n o s p a ra in d ic a r la d ire c c ió n d e la s fu e rz a s .
L a d ire c c ió n d e l m o m e n to de to rs ió n d e p e n d e d e si é s te t ie n d e a p ro d u c ir la ro ta c ió n e n el
se n tid o d e a v a n c e d e la s m a n e c illa s d e l re lo j, o s e n tid o re tró g ra d o (s r) , o e n d ire c c ió n c o n tra
r ia a e l la s o s e n tid o d ire c to (sd ). S e g u ire m o s la m is m a c o n v e n c ió n q u e p a ra m e d ir á n g u lo s .
S i la fu e rz a F t ie n d e a p ro d u c ir u n a ro ta c ió n c o n tra r ia a la d e la s m a n e c illa s c o n re s p e c to a
u n e je , e l m o m e n to d e to rs ió n se c o n s id e ra rá p o s it iv o . L o s m o m e n to s d e to rs ió n e n e l se n tid o
d e a v a n c e d e la s m a n e c illa s d e l re lo j se c o n s id e ra rá n n e g a tiv o s . E n la f ig u ra 5 .3 , to d o s lo s
m o m e n to s d e to rs ió n so n p o s it iv o s (sd ), e x c e p to e l c o r re s p o n d ie n te a la f ig u ra 5 .3 a .
* E n a lg u n o s te x to s , a l m o m e n to d e to r s ió n ta m b ié n se le l l a m a to r q u e o to rc a . (N . d e l R . T .)
5 .3 M o m e n to d e to rs ió n 97
Se e je rc e u n a fu e rz a d e 2 5 0 N so b re u n c a b le e n ro lla d o a lre d e d o r d e u n ta m b o r d e 120
n im d e d iá m e tro . ¿ C u á l es e l m o m e n to d e to rs ió n p ro d u c id o a p ro x im a d a m e n te a l c e n tro
d e l ta m b o r?
Plan: T ra c e u n e sq u e m a , co m o e l d e la f ig u ra 5 .4 , y e x t ie n d a la lín e a d e a c c ió n d e la
fu e rz a . D e te rm in e e l b ra z o de p a la n c a r y lu e g o e n c u e n tre e l m o m e n to d e to rs ió n de
la e c u a c ió n (5 .1 ).
Solución: O b se rv e q u e la lín e a d e a c c ió n d e la fu e rz a d e 2 5 0 N e s p e rp e n d ic u la r a l d iá
m e tro d e l ta m b o r ; p o r lo ta n to , e l b ra z o d e p a la n c a e s ig u a l al r a d io d e l tam b o r.
D 120 m mr = — = ----------- o r = 6 0 m m = 0 .0 6 m
2 2
L a m a g n itu d d e l m o m e n to d e to rs ió n se o b tie n e a p a r t i r d e la e c u a c ió n (5 .1 ).
r = Fr = (2 5 0 N )(0 .0 6 m ) = 15.0 N • m
F in a lm e n te , d e te rm in a m o s q u e e l signo d e l m o m e n to de to rs ió n es n e g a tiv o p o rq u e tien d e
a c a u s a r u n a rotación a p ro x im a d a m e n te al c e n tro d e l tam b o r. P o r ta n to , la re s p u e s ta d e b e
e s c r ib ir s e co m o
r = — 15.0 N • m
Figura 5.4 F u e rz a tan g en c ia l e je rc id a p o r un c ab le en ro llad o a lre d ed o r de u n tam bor.
U n m e c á n ic o e je rc e u n a fu e rz a d e 20 Ib en e l e x tre m o d e u n a lla v e in g le s a d e 10 in , co m o
se o b s e rv a e n la f ig u ra 5 .5 . S i e s te t iró n fo rm a u n á n g u lo d e 60° c o n e l m a n g o d e la llav e ,
¿ c u á l e s el m o m e n to d e to rs ió n p ro d u c id o e n la tu e rc a ?
Plan: A p a r ti r d e l e s q u e m a o rd e n a d o , d e te rm in a re m o s el b ra z o d e p a la n c a , m u ltip líq u e lo
p o r la m a g n itu d d e la fu e rz a y lu e g o a s ig n e e l s ig n o a d e c u a d o se g ú n la c o n v e n c ió n .
Solución: P rim e ro tra c e u n e s q u e m a o rd e n a d o , e x t ie n d a la l ín e a d e a c c ió n d e la fu e rz a de
2 0 Ib, y d ib u je e l b ra z o de p a la n c a c o m o se m o s tró . O b s e rv e q u e e l b ra z o d e p a la n c a r es
p e rp e n d ic u la r ta n to a la l ín e a de a c c ió n d e la fu e rz a c o m o al e je d e ro ta c ió n . D e b e re c o rd a r
q u e e l b ra z o d e p a la n c a e s u n a c o n s tru c c ió n g e o m é tr ic a y p u e d e e s ta r o no so b re a lg u n a
98 Capítulo 5 M om ento de torsión y equilibrio rotacional
Figura 5.5 C álc u lo del m o m e n to de to rs ió n.
e s tru c tu ra f ís ic a , c o m o el m a n g o d e la lla v e d e tu e rc a s . A p a r ti r d e la fig u ra se o b tie n e
r = (1 0 in ) sen 6 0 ° = 8 .6 6 in
t = Fr — (2 0 lb )(8 .6 6 in ) = 173 Ib • in
S i se d e se a , e s te m o m e n to d e to rs ió n se p u e d e tra n s fo rm a r e n 1 4 .4 Ib • ft.
E n a lg u n a s a p lic a c io n e s , e s m á s ú til tra b a ja r co n la s componentes d e u n a fu e rz a p a ra
o b te n e r e l m o m e n to d e to rs ió n re su lta n te . E n e l e je m p lo a n te r io r se p o d r ía h a b e r se p a ra d o
e l v e c to r d e 20 Ib e n su s c o m p o n e n te s h o r iz o n ta l y v e r tic a l. E n v e z d e h a l la r e l m o m e n to de
to rs ió n d e u n a s o la fu e rz a , s e r ía n e c e s a r io e n c o n tra r e l m o m e n to d e to rs ió n d e la s d o s fu e rz a s
c o m p o n e n te s . C o m o in d ic a la f ig u ra 5 .6 , el v e c to r de 20 Ib tie n e su s c o m p o n e n te s Fx y F , la s
c u a le s se c a lc u la n p o r tr ig o n o m e tr ía :
Fx = (2 0 lb ) (c o s 6 0 ° ) = 10 Ib
Fy = (2 0 lb ) ( s e n 6 0 ° ) = 17.3 Ib
O b s e rv e e n la f ig u ra 5 .6 b q u e la l ín e a d e a c c ió n d e la fu e rz a d e 10 Ib p a s a p o r el e je de
ro ta c ió n . E s to n o p ro d u c e n in g ú n m o m e n to d e to rs ió n p o rq u e su b ra z o d e p a la n c a es ce ro . P o r
ta n to , e l m o m e n to d e to rs ió n to ta l se d e b e a la c o m p o n e n te de 17.3 Ib , q u e es p e rp e n d ic u la r
al m a n g o . E l b ra z o d e p a la n c a de e s ta fu e rz a e s la lo n g itu d d e la lla v e in g le s a , y el m o m e n to
d e to rs ió n es
t = Fr = (1 7 .3 lb ) (1 0 in ) = 173 Ib • in
O b se rv e q u e u ti liz a n d o e s te m é to d o se o b tie n e e l m ism o re s u lta d o . N o h a c e n fa l ta m ás
c á lc u lo s , p o rq u e la c o m p o n e n te h o riz o n ta l t ie n e u n b ra z o d e p a la n c a d e ce ro . S i e le g im o s las
c o m p o n e n te s d e u n a fu e rz a a lo la rg o y p e rp e n d ic u la rm e n te a la d is ta n c ia c o n o c id a , ta n só lo
n o s in te re s a el m o m e n to d e to rs ió n d e la c o m p o n e n te p e rp e n d ic u la r .
(a) (b)
Figura 5.6 M éto d o de las co m p o n en te s p a ra el cá lc u lo d e l m o m en to de to rs ión.
5 .4 M o m e n to d e to rs ió n re s u lta n te 99
Momento de torsión resultante
E n e l c a p ítu lo 3 se d e m o s tró q u e la r e s u lta n te d e v a r ia s fu e rz a s se p u e d e d e te rm in a r s u m a n d o
la s c o m p o n e n te s x y y d e c a d a fu e rz a , y a s í o b te n e r la s c o m p o n e n te s d e la re su lta n te .
R, = Ax + B x + Cx + • • • Ry = A y + By + Cy + • • •
E s te p ro c e d im ie n to se a p lic a a fu e rz a s q u e t ie n e n u n p u n to d e in te rs e c c ió n c o m ú n . L as fu e r
z a s q u e c a re c e n d e u n a l ín e a d e a c c ió n c o m ú n p ro d u c e n u n a re s u lta n te d e l m o m e n to d e to r
s ió n , a d e m á s d e u n a re s u lta n te d e la fu e rz a tra s la c io n a l. C u a n d o la s fu e rz a s a p lic a d a s a c tú a n
e n e l m ism o p la n o , e l m o m e n to d e to rs ió n re s u lta n te e s la su m a a lg e b ra ic a d e lo s m o m e n to s
d e to rs ió n p o s it iv o s y n e g a tiv o s d e b id o s a c a d a fu e rza .
rR = 2 T = Ti + t 2 + t 3 + " ' (5.2)
H a y q u e re c o rd a r q u e lo s m o m e n to s d e to rs ió n en c o n tra s e n tid o al a v a n c e d e la s m a n e c illa s
d e l re lo j son p o s it iv o s , y lo s q u e t ie n e n e l m ism o se n tid o d e a v a n c e d e la s m a n e c illa s so n
n e g a tiv o s .
U n e le m e n to e se n c ia l e n la s té c n ic a s e f ic a c e s p a ra re s o lv e r p ro b le m a s es la o rg a n iz a c ió n .
E l s ig u ie n te p ro c e d im ie n to re s u lta ú til p a ra c a lc u la r el m o m e n to de to rs ió n re su lta n te .
C a lc u le lo s b ra z o s d e p a la n c a si e s n e c e sa r io .
C a lc u le lo s m o m e n to s d e to rs ió n d e b id o s a c a d a fu e r
z a in d e p e n d ie n te m e n te d e o tra s fu e rz a s ; a s e g ú re se d e
a s ig n a r el s ig n o a p ro p ia d o (sd = + y s r = —).
E l m o m e n to d e to rs ió n re s u lta n te e s la s u m a a lg e b ra ic a
de lo s m o m e n to s d e to rs ió n d e c a d a fu e rz a . V é a se la
e c u a c ió n (5 .2 ).
C álculo d e l m o m e n to d e tors ión resu ltan te 5.
1 . L e a e l p ro b le m a y lu e g o d ib u je u n a f ig u ra y m a rq u e lo s
d a to s .
2. C o n s tru y a un d ia g ra m a d e c u e rp o lib re q u e in d iq u e to
d as la s fu e rz a s , d is ta n c ia s y e l e je d e ro ta c ió n . ^ '
3. E x tie n d a la s lín e a s d e a c c ió n d e c a d a fu e rz a u tiliz a n d o
l ín e a s p u n te a d a s .
4. D ib u je y m a rq u e lo s b ra z o s d e p a la n c a d e c a d a fu e rza .
U n a p ie z a a n g u la r d e h ie r ro g ira so b re u n p u n to A, c o m o se o b s e rv a e n la f ig u ra 5 .7 . D e
te rm in e e l m o m e n to d e to rs ió n re s u lta n te e n A d e b id o a la s fu e rz a s d e 60 N y 80 N q u e
a c tú a n a l m is m o tiem p o .
Plan: E x tie n d a las l ín e a s d e a c c ió n d e la s d o s fu e rz a s y d e te rm in e su s b ra z o s d e p a la n c a
u s a n d o la tr ig o n o m e tr ía y lo s á n g u lo s d ad o s . P a ra c a d a fu e rz a , h a y q u e n o ta r si la te n d e n -
* - 8 0
1 0 0 Capítulo 5 M om ento de torsión y equilibrio rotacional
c ia a ro ta r so b re e l p u n to A s e rá p o s it iv a o n e g a tiv a p o r c o n v e n c ió n . E l m o m e n to d e to rs ió n
r e s u lta n te es la su m a a lg e b ra ic a d e lo s m o m e n to s d e to rs ió n in d iv id u a le s .
Solución: L o s b ra z o s d e p a la n c a r y r , se m a rc a n , c o m o en la f ig u ra 5 .7 b . L a s lo n g itu d e s
d e lo s b ra z o s d e p a la n c a son :
rx = (1 2 cm ) sen 5 0 ° = 9 .1 9 cm
r2 = (1 0 cm ) sen 7 0 ° = 9 .4 0 cm
S i se c o n s id e ra A c o m o e je d e ro ta c ió n , e l m o m e n to d e to rs ió n d e b id o a F es n e g a tiv o (sr) y
e l c a u s a d o p o r F , es p o s it iv o (sd ). E l m o m e n to d e to rs ió n re s u lta n te se e n c u e n tra así:
t r = Ti + t 2 = Fxrx + F2r2
= —(6 0 N )(9 .1 9 cm ) + (8 0 N )(9 .4 0 cm )
= —5 5 2 N • cm + 7 5 2 N • c m
= 2 0 0 N • c m
E l m o m e n to d e to rs ió n re s u lta n te es 2 0 0 N • cm , en c o n tra s e n tid o al a v a n c e d e la s m a n e c illa s
d e l re lo j. E s ta re s p u e s ta se e x p re s a m e jo r c o m o 2 .0 0 N • m e n u n id a d e s d e l S I.
Equilibrio
A h o ra e s ta m o s l is to s p a ra a n a liz a r la c o n d ic ió n n e c e s a r ia p a ra e l e q u il ib r io ro ta c io n a l. L a
c o n d ic ió n p a ra el e q u il ib r io t ra s la c io n a l q u e d ó e s ta b le c id a e n fo rm a d e e c u a c ió n c o m o
'%FX = 0 = 0 (5 .3 )
S i se d e se a a se g u ra r q ue lo s e fec to s ro ta c io n a le s ta m b ié n e s té n e q u ilib rad o s , es p re c iso e s tip u la r
q u e n o h a y m o m e n to d e to rs ió n re su lta n te . P o r ta n to , la s e g u n d a c o n d ic ió n d e e q u il ib r io es:
La s u m a a lg e b ra ic a d e to d o s lo s m o m e n to s d e to r s ió n r e s p e c to d e c u a lq u ie r
e je d e b e s e r c e ro .
2 T = T i + T2 + ^3 + ' ' ' = 0 (5 .4 )
L a se g u n d a co n d ic ió n d e eq u ilib r io s im p le m e n te no s in d ic a q u e lo s m o m e n to s d e to rs ió n en
e l sen tid o d e av a n c e de la s m a n e c illa s d e l re lo j e s tá n e q u ilib ra d o s c o n p re c is ió n p o r lo s m o m e n
to s d e to rs ió n en co n tra se n tid o al a v a n c e de las m an ec illa s . M ás aú n , p u es to q u e la ro ta c ió n no
o cu rre re sp e c to a n in g ú n p u n to , p o d e m o s e le g ir c u a lq u ie r p u n to c o m o e je de ro tac ió n . M ien tra s
lo s b ra zo s de p a la n c a se m id a n re sp e c to al m ism o p u n to p a ra c a d a fu e rza , e l m o m e n to d e to rs ió n
re su lta n te se rá d e ce ro . L o s p ro b le m a s se s im p lific a n si se e lig e el e je d e ro ta c ió n en e l p u n to de
a p lica c ió n de u n a fu e rz a d e sc o n o c id a . S i u n a fu e rz a p a r tic u la r tien e u n b ra z o d e p a la n c a d e cero ,
n o c o n trib u y e al m o m e n to d e to rs ió n , in d e p e n d ie n te m e n te d e su m ag n itu d .
Estrategia para resolver problemas
E qu ilib rio ro tac ional
1 . T ra c e y m a rq u e u n e s q u e m a c o n to d o s lo s d a to s .
2 . D ib u je u n d ia g ra m a d e c u e rp o l ib re (s i es n e c e sa r io ) ,
in d ic a n d o la s d is ta n c ia s e n tre la s fu e rz a s .
3 . E l i ja u n e je d e ro ta c ió n e n e l p u n to d o n d e se p ro p o r
c io n e m e n o s in fo rm a c ió n , p o r e je m p lo , e n el p u n to d e
a p lic a c ió n d e u n a fu e rz a d e sc o n o c id a .
4 . S u m e lo s m o m e n to s d e to rs ió n c o r re s p o n d ie n te s a
c a d a fu e rz a co n re s p e c to al e je d e ro ta c ió n e le g id o y
e s ta b le z c a el r e s u lta d o ig u a l a ce ro .
t r = T \ = t 2 + r 3 + • • • = 0
5 . A p liq u e la p r im e ra c o n d ic ió n d e e q u il ib r io p a ra o b te
n e r d o s e c u a c io n e s a d ic io n a le s .
6 . C a lc u le la s c a n tid a d e s q u e n o se c o n o c en .
5 .5 E q u il ib r io 101
w,y
l l a r C o n s id e re la s itu a c ió n q u e se p re s e n ta en la f ig u ra 5 .8 : U n a n iñ a q u e p e s a 3 0 0 N y u n n iñ o
q u e p e s a 4 0 0 N e s tá n p a ra d o s so b re u n a p la ta fo rm a d e 2 0 0 N d e p e s o y s o s te n id a p o r do s
s o p o rte s A y B. ¿ Q u é fu e rz a s e je rc e n lo s s o p o rte s s o b re la p la ta fo rm a ?
Plan: T ra c e u n d ia g ra m a d e c u e rp o l ib re (v é a s e la f ig u ra 5 .8 b ) q u e m u e s tre c la ra m e n te
to d a s la s fu e rz a s y la s d is ta n c ia s e n tre e lla s . S i e l p e s o d e la ta b la se d is tr ib u y e d e m a n e ra
u n ifo rm e , se p u e d e c o n s id e ra r q u e to d o e l p e s o d e la ta b la a c tú a so b re su c e n tro g e o m é tr i
co . E s tu d ie e l centro de gravedad e n la s e c c ió n 5 .6 . L a s fu e rz a s d e sc o n o c id a s se d e te rm i
n a n al a p lic a r la s d o s c o n d ic io n e s d e eq u ilib r io .
Solución: A l ap lic a r la p r im e ra co n d ic ió n d e e q u ilib rio a la s fu e rz a s v e r tic a le s , o b ten em o s
5 ) /<; -= 0 ; A + B — 3 0 0 N — 2 0 0 N — 4 0 0 N = 0
S im p lif ic a n d o e s ta e c u a c ió n se o b tie n e
A + B = 9 0 0 N
P u e s to q u e e s ta e c u a c ió n p re s e n ta d o s in c ó g n ita s , e s p re c is o te n e r m ás in fo rm a c ió n . P o r
ta n to , a p lic a m o s la s e g u n d a c o n d ic ió n d e eq u ilib r io .
C o m o la ro ta c ió n n o o c u rre re sp e c to a n in g ú n p u n to , p o d e m o s e le g ir u n e je d e ro ta
c ió n e n c u a lq u ie r p a r te q u e d e se e m o s . U n a o p c ió n ló g ic a se r ía e le g ir u n p u n to d o n d e ac tú e
u n a d e la s fu e rz a s d e sc o n o c id a s p o rq u e a s í se te n d r ía u n b ra z o d e p a la n c a d e c e ro . T o m e
m o s la su m a d e lo s m o m e n to s d e to rs ió n re s p e c to al s o p o r te B. P o r la s e g u n d a c o n d ic ió n
d e e q u il ib r io se o b tie n e
2 ) rB = 0 ; — A (1 2 m ) + (3 0 0 N )(1 0 m ) + (2 0 0 N )(4 m ) - (4 0 0 N )(4 m ) = 0
(a ) E s q u e m a d e l s is te m a
A B
(b ) D ia g r a m a d e c u e r p o l ib re
Figura 5.8 D iag ra m a de cu e rp o lib re qu e in d ic a to d as las fu erzas y las d is tan c ia s en tre ellas. S u p o n g a
que to d o el p eso de la ta b la ac tú a en su cen tro g eo m étr ic o p a ra e l cá lc u lo de l m o m e n to de torsión.
102 Capítulo 5 M om ento de torsión y equilibrio rotacional
N o te q u e la fu e rz a d e 4 0 0 N y la fu e rz a A t ie n d e n a p ro d u c ir u n a ro ta c ió n e n el s e n tid o
d e a v a n c e d e la s m a n e c illa s d e l re lo j c o n re s p e c to a B. (S u s m o m e n to s d e to rs ió n fu e ro n
n e g a tiv o s .) S im p lif ic a n d o se o b tie n e
- ( 1 2 m )A + 3 0 0 0 N • m - 1600 N • m + 8 0 0 N • m = 0
A l a ñ a d ir (1 2 m )A a a m b o s la d o s y s im p lif ic a r q u e d a
2 2 0 0 N • m = (1 2 m )A
A l d iv id ir a m b o s la d o s e n tre 12 m , re s u lta
A = 183 N
A h o ra , p a ra d e te rm in a r la fu e rz a e je rc id a p o r e l s o p o r te B, to m e m o s en c u e n ta d e n u e
vo la e c u a c ió n o b te n id a a p a r t i r d e la p r im e ra c o n d ic ió n d e eq u ilib r io .
A + B = 9 0 0 N
A l d e s p e ja r B se o b tie n e
B = 9 0 0 N — A = 9 0 0 N - 183 N
= 7 1 7 N
C o m o c o m p ro b a c ió n d e e s te re s u lta d o , p o d e m o s e le g ir el e je d e ro ta c ió n e n A y lu e g o
a p lic a r la s e g u n d a c o n d ic ió n d e e q u il ib r io p a ra d e te rm in a r B.
U n a v ig a u n ifo rm e d e 5 0 0 N d e p e s o y 3 m d e lo n g itu d e s tá so s te n id a p o r u n ca b le , co m o
se o b s e rv a e n la f ig u ra 5 .9 . L a v ig a se a p o y a e n la p a re d y el c a b le fo rm a u n á n g u lo d e 30°
co n re s p e c to a la v ig a , q u e e s tá en p o s ic ió n h o riz o n ta l. S i u n a c a rg a d e 9 0 0 N se c u e lg a de l
e x tre m o d e re c h o , ¿ c u á l e s la te n s ió n T d e l c a b le ? ¿ C u á le s so n la s c o m p o n e n te s h o riz o n ta l
y v e r tic a l d e la fu e rz a e je rc id a p o r e l p iv o te ?
Plan: U n a v e z m á s s u p o n e m o s q u e to d o el p e s o d e la v ig a a c tú a en su p u n to m ed io . T ra
z a re m o s u n d ia g ra m a d e c u e rp o l ib re y a p lic a re m o s la s d o s c o n d ic io n e s d e e q u il ib r io p a ra
o b te n e r la s fu e rz a s d e sc o n o c id a s .
t __________ 30°V ^g .... > <
i T‘500 N
90 0 N(b)
F igu ra 5 .9 F u erza s q u e ac tú an so b re u n a v ig a h or izo n ta l.
