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Momento lineal y choques

Enviado por Pablo Turmero

Contenido Momento lineal y su conservacin Conservacin de la cantidad de movimiento para dos partculas Impulso y momento Colisiones

Clasificacin de las colisiones Colisiones perfectamente inelsticas Choques elsticos Colisiones en dos dimensiones Centro de masa Centro de masa de

un objeto extendido Movimiento de un sistema de partculas

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La cantidad de movimiento de una partcula se define como el producto de la velocidad v por la masa de la partcula: p = mv La segunda ley de Newton

establece que la fuerza sobre un objeto es igual a la rapidez de cambio de la cantidad de movimiento del objeto. En trminos de la cantidad de

movimiento, la segunda ley de Newton se escribe como: Momento lneal y su conservacin

Para dos partculas que interactan se cumple que: De la tercera ley de Newton, tenemos que: Conservacin de la cantidad de movimiento para dos

partculas m1 m2 F12 F21 P1 = m1v1 P2 = m2v2

De aqu se obtiene que: Esto significa que: ptotal = p1 + p2 = constante La ley de la conservacin del momento lineal establece que siempre que dos

partculas aisladas interactan entre s, su momento total permanece constante.

Impulso y momento El impulso se define como el cambio en la cantidad de movimiento de un cuerpo: El impulso de la fuerza F es igual al cambio de

momento de la partcula. El impulso es un vector que tiene una magnitud igual al rea bajo la curva de fuerza-tiempo. (Gp:) ti (Gp:) tf (Gp:) t (Gp:) F

La fuerza F que acta en un tiempo muy corto, y se le llama fuerza de impulso. El impulso se puede escribir como: I = Fm Dt. Donde Fm es la fuerza

promedio durante el intervalo. ti tf t F Fm rea = Fm Dt

Ejemplo Una pelota de golf de 50 g es golpeada por un palo de golf y sta alcanza una distancia de 200m, calcule el impulso aplicado por el palo,

suponga un ngulo de 45 el la velocidad inicial. El alcance esta dado por: A B C I = Dp = mvB mvA = (0.050)(44) = 2.2 kg m/s El alcance esta dado

por: Si el tiempo de contacto dura 4.5 x 104 s la fuerza es: F = I/Dt = 4900 N

Colisiones Llamamos colisin a la interaccin de dos (o ms) cuerpos mediante una fuerza impulsiva. Si m1 y m2 son las masas de los cuerpos, entonces

la conservacin de la cantidad de movimiento establece que: m1v1i + m2v2i = m1v1f + m2v2f Donde v1i, v2i, v1f y v2f son las velocidades iniciales y

finales de las masas m1 y m2. m1 m2 F12 F21 v1f v1i v2f v2i antes despus

Ejemplo Un automvil de 1800 kg est detenido y es golpeado por atrs por otro automvil de 900 kg y los dos quedan enganchados. Si el auto

pequeo se mova a 20 m/s cul es la velocidad final de los dos? pi = m1v1i = (900)(20) = 18000 kg m/s pf = m1vf + m2vf = (m1 + m2) vf = 2700 vf vf

= 18000/2700 = 6.67 m/s

Consideraremos colisiones en una dimensin. Las colisiones se clasifican en: Elsticas: cuando se conserva la energa cintica total, es decir: Inelsticas:

cuando parte de la energa cintica total se transforma en energa no recuperable (calor, deformacin, sonido, etc.). Perfectamente inelsticas: cuando

los objetos permanecen juntos despus de la colisin. v1f = v2f Clasificacin de las colisiones

Para colisiones perfectamente inelsticas se cumple lo siguiente: Si m2 est inicialmente en reposo, entonces: Si m1 m2, entonces v ? v1i. Si m1 m2,

entonces v ? 0. Si v2i = -v1i , entonces: Si en este caso m1= m2, entonces: v = 0 Colisiones perfectamente inelsticas m1 m2 v1i v2i m1+m2 vf

En colisiones elsticas se conserva el momento y la energa total. Entonces se tiene que: y Es fcil mostrar, a partir de lo anterior, que: m1 m2 v1i v2i

v2f v1f Antes de la colisin Despus de la colisin Choques elsticos

Es fcil mostrar que las velocidades finales de los dos objetos son: En una colisin elstica la velocidad relativa de los cuerpos en colisin cambia de

signo, pero su magnitud permanece inalterada. Si denotamos por u la velocidad relativa de los objetos, entonces:

Si m1 = m2, entonces v1f = 0 y v2f = v1i. Es decir, dos objetos de masas iguales intercambian sus velocidades. Si m1 m2, entonces v1f ? v1i y v2f ?

2v1i. Quiere decir que un objeto grande que choca con otro pequeo casi no altera su velocidad pero el objeto pequeo es arrojado con una velocidad

del doble de la del pesado. Si m1 m2, entonces v1f ? -v1i y v2f ? (2 m1/m2)v1i ? 0. Cuando un objeto ligero choca con otro pesado, adquiere una

velocidad opuesta a la que traa. Si v2i = 0, entonces:

Colisiones en dos dimensiones Para el caso de dos dimensiones la conservacin del momento se expresa para cada componente como: m1v1ix +

m2v2ix = m1v1fx + m2v2fx m1v1iy + m2v2iy = m1v1fy + m2v2fy m1 m2 v1i v2f v1f Antes de la colisin Despus de la colisin v2i

Consideraremos el caso en que m2 est en reposo inicialmente. Despus del choque m1 se mueve a un ngulo q con la horizontal y m2 se mueve a un

ngulo f con la horizontal. Las ecuaciones anteriores quedan como: m1v1i = m1v1fcos q + m2v2fcos f 0 = m1v1f sen q - m2v2fsen f m1 m2 v1i v2f v1f

Antes de la colisin Despus de la colisin f q La ley de la conservacin de la energa suministra otra ecuacin. Sin embargo, dadas las masas y la

velocidad inicial deber darse alguna de las cantidades restantes v1f,v2f, f, q.

Ejemplo Un auto de 1500 kg a 25 m/s hacia el este choca con una camioneta de 2500 kg que se mueve hacia el norte a 20 m/s en un cruce. Encuentre la

magnitud y direccin de la velocidad de los autos despus del choque, suponga un choque perfectamente inelstico. 25 m/s 20 m/s vf Momento en x:

Antes Despus (1500 kg)(25 m/s) = (4000 kg) vf cos(q) Momento en y: Antes Despus (2500 kg)(20 m/s) = (4000 kg) vf sen(q) Resolviendo q = 53.1

vf = 15.6 m/s q

Ejemplo q 35 v1i v1f v2f y x En un juego de billar un jugador desea meter la bola objetivo en la buchaca de la esquina. Conservacin de la energa

Conservacin del momento (bidimensional) Efectuando el producto punto q = 55

Centro de masa El centro de masa de un sistema de partculas es un punto en el cual paracera estar concentrada toda la masa del sistema. En un sistema

formado por partculas discretas el centro de masa se calcula mediante la siguiente frmula: (Gp:) m1 (Gp:) m2 (Gp:) mn (Gp:) mi (Gp:) r1 (Gp:) r2 (Gp:)

ri (Gp:) rn (Gp:) rCM (Gp:) x (Gp:) y (Gp:) z

Centro de masa de un objeto extendido rCM x y z ri Dmi El centro de masa de un objeto extendido se calcula mediante la integral: El centro de masa de

cualquier objeto simtrico se ubica sobre el eje de simetra y sobre cualquier plano de simetra.

Movimiento de un sistema de partculas Si se deriva respecto al tiempo el centro de masa de un sistema de partcula se obtiene la velocidad del centro

de masa: El momento total del sistema es:

La aceleracin del centro de masa es: De la segunada ley de Newton: Tomando en cuenta la 3era. Ley de Newton: El centro de masa se mueve como una

partcula imaginaria de masa M bajo la influencia de la fuerza externa resultante sobre el sistema.

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