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MONOGRAFÍA
“MÓDULO DE ACTIVIDADES PARA EL DESARROLLO DEL
PENSAMIENTO VARIACIONAL”
SANDRA HARLAIDY CABALLERO RODRÍGUEZ
2000140010
LILIANA PAOLA RAMOS RAMÍREZ
2000140041
ASESOR
MAURICIO BAUTISTA BALLÉN
UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA NACIONAL
FACULTAD DE CIENCIA Y TECNOLOGÍA
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
PROYECTO CURRICULAR DE LICENCIATURA EN MATEMÁTICAS
BOGOTÁ D. C.
2006
A mis padres por su
dedicación y esfuerzo, y
aquellos que me han
brindado su apoyo en el
transcurso de mi
carrera.
SANDRA C.
A Dios por haberme
inspirado. A mi Papá, a
mi Mamá y a mi
Hermano por todo su
amor y colaboración, y a
mi gran amiga y
compañera de tesis por
su apoyo incondicional.
LILIANA R.
TABLA DE CONTENIDO
Pág.
RESUMEN ANALÍTICO 5
INTRODUCCIÓN 8
JUSTIFICACIÓN 9
OBJETIVO GENERAL 10
OBJETIVOS ESPECIFICOS 10
1. MARCO TEÓRICO 11
1.1. MARCO DIDÁCTICO 11
1.1.1. SITUACIONES DIDÁCTICAS 11
1.1.2. SITUACIÓN PROBLEMA 15
1.2. MARCO DEL PENSAMIENTO VARIACIONAL, SISTEMAS
ALGEBRAICOS Y ANALÍTICOS 18
1.2.1. ASPECTOS HISTÓRICOS DE LA VARIACIÓN Y EL CAMBIO 19
1.2.2. CARACTERIZACIÓN DEL PENSAMIENTO VARIACIONAL, SISTEMAS
ALGEBRAICOS Y ANALÍTICOS. 22
1.2.3. DESARROLLO DEL PENSAMIENTO VARIACIONAL: UNO DE LOS
LINEAMIENTOS BÁSICOS EN EL CURRÍCULO DE MATEMÁTICAS DE
COLOMBIA. 23
1.2.4. VARIABLE 26
1.2.5. LA GENERALIZACIÓN Y EL ALGEBRA 26
1.2.5.1. LAS FASES DE LA GENERALIZACIÓN 27
1.2.6. ESTÁNDARES BÁSICOS DE CALIDAD EN MATEMÁTICAS
“PENSAMIENTO VARIACIONAL, SISTEMAS ALGEBRAICOS Y
ANALÍTICOS” 28
1.3. MARCO MATEMÁTICO 29
1.3.1. ASPECTOS HISTÓRICOS 29
1.3.1.1. RAZONES Y PROPORCIONES 29
1.3.1.2. EXPRESIONES ALGEBRAICAS Y ECUACIONES 30
1.3.1.3. FUNCIONES 34
1.3.2. ASPECTOS MATEMÁTICOS 43
1.3.2.1. PROPORCIONALIDAD 43
1.3.2.1.1. MAGNITUDES Y MEDIDA 43
1.3.2.1.2. PROPORCIONALIDAD ENTRE MAGNITUDES 46
1.3.2.1.3. CONSTANTE DE PROPORCIONALIDAD 48
1.3.2.1.4 RAZONES ENTRE MAGNITUDES 52
1.3.2.1.5 TEORÍA DE LA PROPORCIÓN 55
1.3.2.4 LA RELACIÓN ARITMÉTICA – ÁLGEBRA 59
1.3.2.5 FUNCIÓN 61
2. ACTIVIDADES 70
2.1 DESCRIPCIÓN Y GENERALIDADES 70
2.2 TALLERES 73
3. CONCLUSIONES 134
4. BIBLIOGRAFÍA 136
5. ANEXOS (TALLERES REALIZADOS EN LA PRÁCTICA EDUCATIVA) 138
5
RESUMEN ANALÍTICO
TÍTULO: MÓDULO DE ACTIVIDADES PARA EL DESARROLLO DEL
PENSAMIENTO VARIACIONAL.
AUTOR: Caballero Rodríguez Sandra Harlaidy
Ramos Ramírez Liliana Paola
PUBLICACIONES: Bogotá, Universidad Pedagógica Nacional. 2006.
UNIDAD PATROCINANTE: Universidad Pedagógica Nacional. Facultad de
Ciencia y Tecnología. Departamento de
Matemáticas.
PALABRAS CLAVES: Pensamiento variacional, situación problema, estándares
básicos de calidad para la educación en el área de
matemáticas.
DESCRIPCIÓN: En está monografía se presenta una propuesta para potenciar el
desarrollo del pensamiento variacional. Parte del trabajo
realizado por estudiantes de licenciatura en matemáticas de la
Universidad Pedagógica Nacional, durante la práctica
Educativa, bajo la asesoria de la profesora Lorenza Lozano en
el colegio Distrital República de Costa Rica. Se plantea un
módulo de actividades reconocidas como situación problema y
que pertenecen al pensamiento variacional, sistemas
algebraicos y analíticos. Este componente del currículo tiene en
cuenta una de las aplicaciones más importantes de la
matemática: la formulación de modelos matemáticos, para
diversos fenómenos.
6
FUENTES: Documentos relacionados con las situaciones didácticas, problema,
estándares curriculares en matemáticas, fundamentos teóricos
matemáticos sobre contenidos reconocidos en el pensamiento
variacional.
CONTENIDOS: El trabajo comienza con un marco teórico, que se compone de un
marco didáctico, identificación de una situación problema, un
marco histórico de los contenidos matemáticos, un marco teórico
del sustento matemático de la propuesta, las actividades propuestas
y los anexos.
METODOLOGÍA: Inicialmente se revisó el material que surge a partir de la
práctica de la cual se escogieron las actividades que
colaborarían con la construcción de la propuesta final y estudio
de bibliografía relativa a las situaciones didácticas, problema,
teoría matemática sobre proporcionalidad, generalización,
variable, ecuaciones y funciones. Luego se adaptaron cada uno
de los talleres de tal forma que se reconocieran como situación
problema y fueran clasificados en los estándares curriculares
en matemáticas para los grupos de séptimo y noveno grado.
CONCLUSIONES:
Los trabajos producidos a partir de la práctica docente
de diversos estudiantes de la Licenciatura en
Matemáticas, permitieron organizar las actividades a
partir del sustento didáctico referente a las situaciones
didácticas según Brousseau, hacia las situaciones
problema y el sustento matemático de
proporcionalidad, expresiones algebraicas, ecuaciones
y funciones. Se hizo la clasificación de cada una de
las actividades, con logros, estándares y temáticas
especificas, de donde surge la inquietud de que existe
7
material productivo realizado en las prácticas
educativas y que sería de gran provecho que no se
quede solo para el momento y para la institución en
donde se produjo.
Las situaciones problema en la educación matemática
pueden ser asumidas como un instrumento de
enseñanza y aprendizaje que propicia niveles de
conceptualización y simbolización de manera
progresiva hacia la significación matemática.
Se espera que el módulo propuesto sea una ayuda
práctica y organizada referente al pensamiento
desarrollado en está monografía enfocando cada una
de las actividades al planteamiento de situaciones
problema, utilizando aspectos numéricos, geométricos
y analíticos.
8
INTRODUCCIÓN
En este trabajo de grado se presenta un módulo basado en actividades que potencian
el desarrollo del pensamiento variacional, sistemas algebraicos y analíticos, a partir
de un material producido por estudiantes de práctica del Departamento de
Matemáticas en los años 2003-2005 en el colegio Distrital Republica de Costa Rica, a
quienes agradecemos su dedicación y compromiso con la educación a la hora de
proponer actividades ya que permitieron generar ideas que fueron contextualizadas
para originar situaciones problema, basadas en la teoría de las situaciones didácticas
de Brousseau, además del sustento teórico de los contenidos matemáticos que serán
determinados en cada una de las actividades para la propuesta que se pretende
plantear.
En la parte temática los contenidos se establecen en la educación básica secundaria
(de sexto a noveno grado) referente al pensamiento variacional, en las cuales se
realiza una fundamentación didáctica y se evalúa dicho pensamiento variacional
como estructura, contestando ¿qué es? y ¿cómo se reconoce?, teniendo en cuenta el
vinculo directo con los estándares de matemáticas, con su respectivo sustento
respecto a los contenidos matemáticos. En el pensamiento variacional reconocemos
una gran importancia en cuanto al desarrollo de la comprensión en matemáticas, ya
que logra articular los campos matemáticos definidos en los estándares como lo es el
pensamiento numérico, aleatorio, geométrico, y métrico, teniendo en cuenta que para
la enseñanza de conceptos estructurados como el de función, se debe contar con
herramientas que involucren a los estudiantes no solo en el qué hacer en clase, sino
además en el cómo hacer, convirtiéndose en un proceso de aprendizaje dinámico,
que desarrolle varios campos como la interpretación, la relación y la comprensión no
sólo como concepto matemático.
9
JUSTIFICACIÓN
A partir de las actividades propuestas por estudiantes de Licenciatura en Matemáticas
de la Universidad Pedagógica Nacional, durante la práctica educativa, bajo la asesoría
de la Profesora Lorenza Lozano en el Colegio Distrital Republica de Costa Rica, se
pretende plantear un módulo basado en actividades que potencian el desarrollo del
pensamiento variacional, sistemas algebraicos y analíticos, puesto que esté
componente del currículo “tiene en cuenta una de las aplicaciones más importantes
de la matemática, como es la formulación de modelos matemáticos para diversos
fenómenos. Por ello, este currículo debe permitir que los estudiantes adquieran
progresivamente una comprensión de patrones, relaciones y funciones, así como
desarrollar su capacidad de representar, analizar situaciones y estructuras
matemáticas mediante símbolos algebraicos y gráficas apropiadas. Así mismo, debe
desarrollar en ellos la capacidad de analizar el cambio en varios contextos y de
utilizar modelos matemáticos para entender y representar relaciones cuantitativas”
(M.E.N, 2002).
La fundamentación didáctica tendrá como base el aprendizaje por medio de
situaciones problema basadas en la teoría de las situaciones didácticas de Brousseau,
analizando la construcción del sentido de los conocimientos, la institucionalización de
los saberes, asumiendo una epistemología para llegar a conocer el lugar del alumno,
donde éste “implica una interacción constante con situaciones problemáticas,
interacción dialéctica (porque el sujeto anticipa y finaliza sus acciones) somete a
revisión los conocimientos, los modifica, los completa o los rechaza para formar
concepciones nuevas. Determinando así, que el objeto principal de la didáctica es
justamente estudiar las condiciones que deben cumplir las situaciones o los
problemas propuestos al alumno para favorecer la aparición, el funcionamiento y el
rechazo de esas concepciones” (Brousseau 1983).
Es así como se pretende brindar una herramienta sustentada para el trabajo escolar,
dirigido a la enseñanza del pensamiento variacional, sistemas algebraicos y analíticos,
en donde el docente tenga a su alcance una situación apropiada para favorecer el
10
aprendizaje a partir del contenido que pretenda desarrollar y así poder propiciarlo
adaptándolo a su medio.
OBJETIVO GENERAL
Conformar un módulo de actividades con el fin de orientar a docentes de educación
básica secundaria en la articulación del pensamiento variacional, sistemas algebraicos
y analíticos, a partir de actividades realizadas por estudiantes de la Universidad
Pedagógica Nacional, durante la práctica educativa, bajo la asesoría de la Profesora
Lorenza Lozano en el Colegio Distrital Republica de Costa Rica, de las cuales se hará
el análisis pertinente para determinar si se adecúan a una situación problema basada
en la teoría de las situaciones didácticas de Brousseau, analizando la construcción del
sentido de los conocimientos, la institucionalización de los saberes y asumiendo una
epistemología. Además de sus contenidos matemáticos, se establecerá su pertinencia
a partir de los estándares básicos de calidad para la educación en el área de
matemáticas, específicamente en la educación básica secundaria.
OBJETIVOS ESPECIFICOS
Clasificar las actividades pertinentes al pensamiento variacional, sistemas
algebraicos y analíticos a partir de los estándares básicos de calidad para la
educación en el área de matemáticas.
Analizar las actividades identificando el contenido temático que se maneja.
Sustentar los contenidos para cada una de las actividades tanto matemática como
didácticamente analizando la construcción del sentido de los conocimientos, la
institucionalización de los saberes y asumiendo una epistemología.
Organizar las actividades a partir del sustento matemático y didáctico.
11
1. MARCO TEÓRICO
1. 1 MARCO DIDÁCTICO
Los fundamentos didácticos que inspiran esta propuesta para la enseñanza del
pensamiento variacional, sistemas algebraicos y analíticos tendrá como base el
aprendizaje por medio de situaciones problema basadas en la teoría de las situaciones
didácticas de Brousseau, las cuales son apoyadas en fuentes directas o en análisis
realizados por otros investigadores, de ésta forma se expondrán dichas percepciones y
se harán algunas reflexiones sobre su valor en el campo de la enseñanza.
1.1.1 SITUACIONES DIDÁCTICAS
Los lineamientos curriculares de matemáticas (M.E.N; 1998), proponen como
alternativa para lograr involucrar al estudiante en su proceso de aprendizaje, el diseño
e implementación de situaciones problema, de modo que generen en los estudiantes
procesos que faciliten la construcción del conocimiento. El profesor como profesional
reflexivo, decide, diseña, implementa y experimenta estrategias de acción para lograr
el aprendizaje de sus estudiantes, de tal manera que aprender matemáticas no se
reduzca a recordar fórmulas, teoremas o definiciones, para resolver problemas
mediante la imitación de explicaciones dadas por el profesor en clase o con apego a
los métodos ilustrados en los textos escolares.
Uno de los puntos que permite la reflexión del profesor es proponer “el estudio de las
condiciones en las cuales se constituyen los conocimientos matemáticos; y se
considera que el control de estas condiciones permitirá reproducir y optimizar los
procesos de adquisición escolar del conocimiento” (Cantoral, R. y Farfán, R. M.,
2000). Los profesores deben ser transformadores y constructores del conocimiento,
mas no reproductores de él, con el fin de optimizar los procesos que construya el
estudiante a partir de planteamientos que cuestionan su conocimiento y, por tanto,
12
que busquen transformarlo, razón que pone al descubierto la necesidad de utilizar
ciertas herramientas que permitan acercarse a esta construcción. Una de las más
importantes herramientas, en este sentido, es la didáctica, la cual “no consiste en
ofrecer un modelo para la enseñanza, sino en producir un campo de cuestiones que
permita poner a prueba cualquier situación de enseñanza, corregir y mejorar las que
se han producido, y formular interrogantes sobre lo que sucede” (Brousseau, 1994).
El campo de cuestiones sugerido por Brousseau debe ser una asociación entre buenas
preguntas y buenas respuestas, donde se pide al profesor que realice las adaptaciones
deseadas, con una elección acertada de los “problemas” que proponen. Estos son
elegidos para que el estudiante actúe, hable, reflexione y evolucione por si mismo, así
como se espera que “el profesor al mismo tiempo que los problemas, debe dar los
medios para resolverlos y mostrar que los medios ya enseñados permitirán construir
la solución” (Brousseau, 1986). Teniendo en cuenta que la labor no se limita solo a la
construcción de preguntas, se debe vislumbrar un camino de respuesta de los
estudiantes, donde se tenga en cuenta la pertinencia de unas y otras.
Se entiende “el aprendizaje como una modificación del conocimiento que el alumno
debe producir por sí mismo y que el maestro sólo debe provocar, donde la labor del
maestro es hacer vivir el conocimiento, hacerlo producir por los alumnos como
respuesta razonable a una situación familiar” (Brousseau, 1994), considerando que
el docente debe buscar situaciones apropiadas que den sentido a los conocimientos
por enseñar, “ es necesario que la respuesta inicial que el alumno piensa frente a la
pregunta planteada no sea la que queremos enseñarle: si ya fuese necesario poseer el
conocimiento por enseñar para poder responder, no se trataría de una situación
problema” (Brousseau, 1994). Se espera entonces que las actividades planteadas
busquen la construcción de un camino que les permita llegar a un fin y no que lleguen
a éste antes de abordar el camino.
“Las situaciones de aprendizaje son el portador casi exclusivo del conocimiento de
los alumnos, esta idea surge de una concepción epistemológica bastante discutible,
una idea empirista de la construcción del conocimiento: el alumno, colocado frente a
13
una situación bien elegida, en contacto con un cierto tipo de realidades, debería
construir su saber idéntico al saber humano de su época” (Brousseau, 1994). Estas
situaciones le permitirán al estudiante adquirir conocimiento, determinando que sus
contenidos, todos sus conceptos, incluso los más generales y abstractos proceden
únicamente de la experiencia y que ésta es su única base de valor.
Para esto se debe tener en cuenta que “la hipótesis básica de la teoría de situaciones
de Brousseau es que el conocimiento construido o usado en una situación es definido
por las restricciones de esta situación, y que, por tanto, creando ciertas restricciones
artificiales el profesor es capaz de provocar que los estudiantes construyan un cierto
tipo de conocimiento” (Sierpinska, A. y Lerman, S., 1996), es decir, se debe tener
claro a la hora de plantear una situación problema las restricciones necesarias para
que éstas en verdad provoquen el tipo de conocimiento deseado.
Un aspecto fundamental es tener claro que “enseñar un conocimiento matemático
concreto” es, en una primera aproximación, hacer posible que los alumnos
desarrollen con dicho conocimiento una actividad matemática, lo que significa que
formule enunciados y pruebe proposiciones, que construya modelos, lenguajes,
conceptos y teorías, que los ponga a prueba e intercambie con otros, que reconozca
los que están conformes con la cultura matemática y que tome los que son útiles para
continuar su actividad” (Chevallard, Y. Bosch, M. Hascon, J.). Se espera, entonces,
que las actividades sean utilizadas en un medio pertinente, no como una actividad
más sino como un proceso reflexivo y en construcción, que sea un precursor del uso
del lenguaje matemático, como de la misma lógica.
Brousseau identificó varios tipos de situaciones didácticas, que, para él, crearían un
esquema general de una “secuencia didáctica” o situaciones que provocan una
“génesis artificial” de un concepto matemático” (Sierpinska, A. y Lerman, S., 1996).
14
Las situaciones se centran en:
1) Las situaciones de acción, en las que se genera una interacción entre los
alumnos y el medio físico. Los alumnos deben tomar las decisiones que hagan
falta para organizar su actividad de resolución del problema planteado.
2) Las situaciones de formulación, cuyo objetivo es la comunicación en
informaciones entre alumnos. Para esto deben modificar el lenguaje que
utilizan habitualmente, precisándolo y adecuándolo a las informaciones que
deben comunicar.
3) Las situaciones de validación, en las que se trata de convencer a uno o varios
interlocutores de la validez de las afirmaciones que se hacen. En este caso, los
alumnos deben elaborar pruebas para demostrar sus afirmaciones. No basta la
comprobación empírica de que lo que dicen es cierto; hay que explicar que
necesariamente debe ser así.
4) Las situaciones de institucionalización, destinadas a establecer convenciones
sociales. En estas situaciones se intenta que el conjunto de alumnos de una
clase asuma la significación socialmente establecida de un saber que ha sido
elaborado por ello en situaciones de acción, de formulación y de validación.
Finalmente “se dice que un situación didáctica es especifica de un conocimiento
concreto si cumple las dos condiciones siguientes:
1) Es comunicable sin utilizar dicho conocimiento.
2) La estrategia óptima del juego formal a la situación didáctica se obtiene a
partir de la estrategia, utilizando el conocimiento en cuestión” (Chevallard,
Y. Bosch, M. Hascon, J.).
Se ha realizado una caracterización de las situaciones didácticas en las que es
fundamental la implementación de las situaciones problema, las cuales permitirán a
los estudiantes obtener herramientas para acceder a un conocimiento, por tanto, la
siguiente tarea es caracterizar las situaciones problema.
15
1.1.2 SITUACIÓN PROBLEMA
Para Brousseau (1986), desde “la concepción más general de la enseñanza, el saber
es una asociación entre buenas preguntas y buenas respuestas”. Teniendo en cuenta
esto, es importante diseñar “buenas preguntas” que sean los detonadores del
aprendizaje; “estas buenas preguntas constituyen las situaciones didácticas”
(Moreno, L. y Waldegg, G. 2002), donde el docente debe hacer una elección acertada
de las preguntas que propone, para que así el estudiante logre acceder al
conocimiento y no solo aprenda a repetir el saber de los libros de texto, siendo
incapaz de utilizar los conocimientos aprendidos en nuevas situaciones.
A partir de situaciones problema se genera la construcción conceptual por parte de los
estudiantes de aquello que se les desea enseñar, que además de integrar redes
conceptuales y analizar las herramientas metodológicas, a través de las cuales se
diseñan propuestas de aula, se constituyen en una herramienta importante para la
implementación de los estándares básicos de matemáticas.
Según Brousseau “saber matemáticas no es solamente aprender definiciones y
teoremas para reconocer la ocasión de utilizarlas y aplicarlas; sabemos bien que
hacer matemáticas implica ocuparse de problemas, sin perder de vista que resolver
un problema no es más que parte del trabajo; encontrar buenas preguntas es tan
importante como encontrarles solución. Una buena reproducción por parte del
alumno de una actividad científica exigirá que actúe, formule, observe, construya
modelos, lenguajes, conceptos, teorías, que los intercambie con otros, que reconozca
las que están conformes con la cultura, que tome las que son útiles” (1993), es decir,
la importancia de la situación problema es vincular de manera activa al estudiante en
la elaboración teórica, y hacer del arte de conocer un proceso no acabado,
permitiendo utilizar aspectos contextuales como herramientas dinamizadoras del
aprendizaje, relacionando las conceptualizaciones particulares con las formas
universales socialmente construidas.
16
“Cuando las matemáticas se originan de forma natural a partir de situaciones
problemas que tienen sentido para los niños y están regularmente relacionadas con
su entorno, pasan a ser relevantes y ayudan al niño a ligar su conocimiento con
distintos tipos de situaciones. A medida que el niño avanza de nivel, debe encontrarse
con tipos más diversos y complejos de problemas que surjan tanto del mundo real
como de contextos matemáticos” (NCTM, 1989), siendo necesario que las actividades
a proponer mantengan una complejidad adecuada al nivel de los estudiantes.
A continuación se darán algunas definiciones de “situación problema” para lograr
definir las pautas mediante las cuales se hará la elección de cada uno de los talleres
que conformaran el “Módulo de actividades para el desarrollo del pensamiento
variacional”.
“La situación problema constituye el punto de partida de las situaciones didácticas”
(Moreno, L. y Waldegg, G. 2002). Si en una situación problema se plantean buenas
preguntas, esto hará que un determinado conocimiento aparezca como una solución
optima a ésta, siendo esto parte fundamental en las situaciones didácticas. Donde se
“pone en juego, como instrumento implícito, los conocimientos que el alumno debe
aprender. La situación problema se convierte en el detonador de la actividad
cognitiva; para que esto suceda debe tener las siguientes características:
Involucrar implícitamente los conceptos que se van a aprender.
Representar un verdadero problema para el estudiante, pero a la vez debe
ser accesible a él.
Permitir al alumno utilizar conocimientos anteriores.
Ofrecer una resistencia suficiente para llevar al alumno a poner en duda
sus conocimientos y a proponer nuevas soluciones.
Contener su propia validación.
17
La resolución de la situación problema supone una serie de interacciones simétricas
entre estudiantes y de interacciones asimétricas entre los estudiantes y el profesor,
pero también supone la superación de un conflicto cognitivo interno del sujeto entre
sus conocimientos anteriores y los que resuelven la situación planteada” (Moreno, L.
y Waldegg, G. 2002). Al resolver una situación problema, el estudiante interactúa a
un mismo nivel con otros estudiantes y con el profesor en un nivel distinto, ya que la
fundamentación del docente es más amplia, el alumno también logra superar un
conflicto interno de aprendizaje entre sus conocimientos anteriores y aquellos que
necesita para resolver la situación problema planteada.
“Una situación problema la podemos interpretar como un contexto de participación
colectiva para el aprendizaje, en el que los estudiantes, al interactuar entre ellos
mismos, y con el profesor, a través del objeto de conocimiento, dinamizan su
actividad matemática generando procesos conducentes a la construcción de nuevos
conocimientos. Así, ella debe permitir la acción, la exploración y la hetero-
evaluación” (Obando, G. y Múnera, J. 2003), estableciendo que la situación problema
como constructo de todos los elementos que intervienen, permite a los estudiantes a
través del objeto de conocimiento, a medida que interactúan entre ellos mismos y el
profesor, forjar procesos oportunos que generan la construcción de nuevos
conocimientos.
“La formación de conceptos es un proceso creativo, no mecánico ni pasivo” en donde
se pone en juego el espíritu inventivo, siendo este un proceso activo; […] “un
concepto surge y toma forma en el curso de una operación compleja encaminada a la
solución de un problema, y […] la mera presencia de condiciones externas
favorables a una vinculación mecánica de la palabra y el objeto no basta para
producir un concepto” (Vigotsky 1995). Es así como la situación problema se
constituye en una vía fundamental para la conceptualización.
“Una situación problema la podemos interpretar como un espacio para el
aprendizaje, en el que los estudiantes al interactuar con los conceptos, dinamizan la
actividad cognitiva, generando procesos de reflexión conducentes a la adquisición de
18
nuevos conocimientos” (Munera, J. 2003), constituyéndose en una herramienta
adecuada para que los estudiantes a medida que resuelven la situación planteada
desarrollen diferentes campos del saber.
Determinando la importancia que tienen las situaciones problema como
implementación en el aula y teniendo en cuenta las definiciones anteriores, para
realizar este trabajo se definirá “situación problema” como aquella que cumple las
siguientes condiciones:
Se convierte para el estudiante en formas de conocer.
Contiene implícitos los conceptos que queremos que el estudiante
aprenda.
Contiene preguntas que no son demasiado abiertas.
Permite utilizar conocimientos anteriores.
Representa un verdadero problema para el estudiante, pero a la vez, es
accesible a él.
1.2 MARCO DEL PENSAMIENTO VARIACIONAL, SISTEMAS
ALGEBRAICOS Y ANALÍTICOS
Para la clasificación de actividades pertinentes al pensamiento variacional, sistemas
algebraicos y analíticos a partir de los estándares básicos de calidad para la educación
en el área de matemáticas, se requiere del sustento didáctico con base en la
construcción del sentido de los conocimientos, la institucionalización de los saberes y
asumiendo los principios generales de éstos. Por lo tanto, es pertinente abordar
algunos aspectos teóricos que logren ubicar esta propuesta en el marco didáctico
planteado.
19
1.2.1 ASPECTOS HISTÓRICOS DE LA VARIACIÓN Y EL
CAMBIO
Es importante abordar aspectos históricos del pensamiento variacional, sistemas
algebraicos y analíticos que permitan un acercamiento a la construcción histórica, de
tal forma que se caracterice la distancia entre dicha construcción y la manera como se
reelaboran para incluirlos en el currículo.
En la siguiente tabla se ubican los aspectos más relevantes en el transcurso de
diferentes épocas, culturas, y se presentan los autores que se han destacado:
ÉPOCA ASPECTOS
4000 a.c. Los babilonios iniciaron el trabajo de resolver ecuaciones de
la forma bxx =+ 23 .
3100-322 a.c. Los egipcios formularon y solucionaron problemas de su vida
cotidiana, donde involucraban aspectos algebraicos.
540 a.c- 445 a.c Algunos griegos, como Apolonio de Perga, establecieron las
primeras relaciones funcionales ligadas a problemas
astronómicos con la aplicación de modelos geométricos al
movimiento de los planetas.
2800a.c.-600
Los griegos transformaron la matemática en una ciencia
deductiva.
Euclides en algunas de sus demostraciones hizo uso de
operaciones algebraicas.
250d.c Diofanto introdujo las incógnitas dentro del lenguaje
algebraico.
20
Los árabes incrementaron el número de funciones de los
griegos, principalmente las funciones trigonométricas.
Siglo XII Omar Jayyam, matemático Persa, generalizó los métodos
indios de extracción de raíces cuadradas y cúbicas para
calcular raíces cuartas, quintas y de grado superior. El
matemático árabe Al-Jwārizmī (de su nombre procede la
palabra algoritmo, y el título de uno de sus libros es el origen
de la palabra álgebra) desarrolló el álgebra de los polinomios;
al-Karayi la completó para polinomios incluso con infinito
número de términos.
Siglo XIII Se realizó un estudio cuantitativo de fenómenos de la
naturaleza, ejemplo: Luz, calor, densidad y velocidad.
Siglo XIV Se realizó un estudio cuantitativo del movimiento local no
uniforme.
Hacia 1545 Nicolás Oresme, empezó a hacer uso de
representaciones para estudiar diferentes tipos de cambio.
Se construyó el álgebra simbólica, trabajo en el cual se
destacaron: Tartaglia, Cardan; Vieta, Galileo, Descartes,
Wallis, Newton, Leibniz.
Siglo XV-XVII Se dio paso al nacimiento de la geometría analítica y el
cálculo infinitesimal.
Galileo, (1636) estudió el movimiento y estableció leyes
funcionales entre magnitudes.
Descartes, (1637) hizo una algebrización de la geometría.
Se introdujeron signos para algunas operaciones y letras para
21
representar cantidades.
Fermat, (1679) propuso la ecuación de la recta, la
circunferencia y otras cónicas.
Newton, (1664-1666) desarrolló en series de potencias una
función, lo cual fue un método fundamental para el estudio de
las funciones; desarrolló la diferenciación y la integración en
términos de movimiento.
Leibniz, (1684) utilizó representación gráfica para la
diferenciación e integración.
Bernoulli, (1718) definió una función arbitraria de x como una
cantidad formada de manera cualquiera a partir de x e y
constantes.
Siglo XVIII-XIX Se consolidó el sistema de representación simbólica del
álgebra actual y la noción de función como representación de
procesos de variación y cambio.
El análisis matemático pierde su carácter geométrico y
mecánico en favor del uso exclusivo del álgebra.
Euler, denota la función como F(x) utilizada en nuestros días.
Fourier, desarrolla funciones arbitrarias por medio de series
trigonométricas.
Cauchy, Riemann y Weierstrass; desarrollaron la teoría de
funciones de variable compleja.
Siglo XIX-XX Surgen nuevas definiciones generales de conceptos como
función, limite, integral y magnitud variable.
22
Weierstrass, Dedekind y Cantor, introdujeron los cimientos de
la teoría de los conjuntos transfinitos.
Surge una nueva rama del análisis matemático, la teoría de
funciones de una variable ligada principalmente a los
matemáticos franceses Borel y Lebesge.
Surge el análisis funcional construido a partir de los trabajos
de Hilbert, Riesz y Banach.
1.2.2 CARACTERIZACIÓN DEL PENSAMIENTO
VARIACIONAL, SISTEMAS ALGEBRAICOS Y ANALÍTICOS
Ya que se ha tenido en cuenta al Pensamiento Variacional, Sistemas Algebraicos y
Analíticos, es necesario hacer claridad del por qué ha sido tomado como un eje de
construcción de conocimiento fundamental y para ello recurrimos a los estándares
curriculares en el cual se entiende este pensamiento como el componente del
currículo que “tiene en cuenta una de las aplicaciones más importantes de la
matemática: la formulación de modelos matemáticos para diversos fenómenos. Por
ello, debe permitir que los estudiantes adquieran progresivamente una comprensión
de patrones, relaciones y funciones, así como desarrollar su capacidad de
representar y analizar situaciones y estructuras matemáticas mediante símbolos
algebraicos y gráficas apropiadas. Así mismo, debe desarrollar en ellos la capacidad
de analizar el cambio en varios contextos y de utilizar modelos matemáticos para
entender y representar relaciones cuantitativas” (MEN, Estándares Curriculares para
Matemáticas 2003), convirtiéndose en un eje articulador del currículo puesto que está
ligado estrechamente a las aplicaciones de la Geometría y al Análisis de datos
vinculando las interpretaciones matemáticas con datos de otras áreas, más
específicamente con fenómenos y características de modelos cotidianos, teniendo en
cuenta que las temáticas van de la mano con procesos de generalización tanto de
23
ideas aritméticas como geométricas que era como en la antigüedad se entendía el
álgebra .
1.2.3 DESARROLLO DEL PENSAMIENTO VARIACIONAL:
UNO DE LOS LINEAMIENTOS BÁSICOS EN EL CURRÍCULO
DE MATEMÁTICAS DE COLOMBIA.
En los lineamientos curriculares para matemáticas de 1998, se plantea contribuir al
desarrollo del pensamiento matemático a partir del trabajo con situaciones problemas
provenientes del contexto sociocultural, de otras ciencias o de las mismas
matemáticas. Entre los pensamientos propuestos en los lineamientos curriculares de
matemáticas se plantea el “pensamiento variacional”.
Los lineamientos proponen el inicio y desarrollo del pensamiento variacional como
uno de los logros para alcanzar en la educación básica, presupone superar la
enseñanza de contenidos matemáticos fragmentados y compartimentalizados, para
ubicarse en el dominio de un campo conceptual que involucra conceptos y
procedimientos interestructurados y vinculados que permiten analizar, organizar y
modelar matemáticamente situaciones y problemas tanto de la actividad práctica del
hombre, como de las ciencias y las propiamente matemáticas donde la variación se
encuentre como sustrato de ellas (MEN, 1998).
Uno de los primeros acercamientos en la búsqueda de las interrelaciones que permite
identificar algunos de los núcleos conceptuales matemáticos en los que está
involucrada la variación son:
Las magnitudes.
La función como dependencia y modelos de función con sus respectivas
representaciones (diagramas, expresiones verbales generalizadas,
tabulares, gráficas).
24
El álgebra en su sentido simbólico, liberada de su significación
geométrica, particularmente la noción y significado de variable son
determinantes en el campo del pensamiento variacional.
Modelos matemáticos de tipos de variación aditiva, multiplicativa,
variación para medir el cambio absoluto y relativo. La proporcionalidad
cobra especial significado.
La variación se encuentra en contextos de dependencia entre variables o en contextos
donde una misma cantidad varía (se conoce como medición de la variable absoluta o
relativa), estos contextos como por ejemplo las relaciones físicas de movimiento y
velocidad propician en el estudiante actitudes de observación, registro, justificación y
utilización del lenguaje matemático.
A partir de esto se asume que el aprendizaje del Pensamiento Variacional es un
proceso que debe ir madurando progresivamente para hacer más natural y manejable,
la comprensión de una estructura matemática de tal forma que utilice varias
interpretaciones entre los diferentes sistemas de representación asociados a la
variación, entre los que se encuentran:
Los enunciados verbales.
Representaciones tabulares.
Las gráficas de tipo sagital y cartesiano.
Las representaciones pictóricas e icónicas.
La instruccional (programación).
La mecánica (molinos).
Las fórmulas y expresiones analíticas.
El significado y sentido de la variación se puede establecer a partir de las situaciones
problema cuyos escenarios sean referidos a los fenómenos de cambio y variación de
la vida práctica. De los sistemas de representación antes mencionado podemos
resaltar utilidades como la organización de la variación en tablas, ya que se constituye
25
en un elemento para iniciar el estudio de la función, pues es un ejemplo concreto de
función presentada numéricamente. Y aunque en algunas ocasiones enfatiza la
variación numérica discreta, es necesario avanzar en la construcción de la variación
numérica continua, además puede ser usada para iniciar en los estudiantes el
desarrollo del pensamiento variacional por cuanto la solución de tareas que
involucren procesos aritméticos, inicia también la comprensión de la variable y de las
fórmulas. En estos problemas los números usados deben ser controlados y los
procesos aritméticos también se deben ajustar a la aritmética que se estudia.
Igualmente, la aproximación numérica y la estimación deben ser argumentos y usados
en la solución de los problemas. La calculadora numérica se convierte en una
herramienta necesaria en la iniciación del estudio de la variación. Tal como lo señala
Demana (1990), la exposición repetida de construcciones de fórmulas, como
expresiones que explicitan un patrón de variación, ayuda a los estudiantes a
comprender la sintaxis de las expresiones algebraicas que aparecerán después del
estudio del álgebra.
Las gráficas cartesianas hacen posible el estudio dinámico de la variación. La relación
explícita entre las variables que determinan una gráfica puede ser iniciada con
situaciones de variación cualitativa y con la identificación de nombres para los ejes
coordenados. Particularmente, tiene como fin abordar los aspectos de la dependencia
entre variables, gestando la noción de función como dependencia.
Los contextos de la variación proporcional integran el estudio y comprensión de
variables intensivas con dimensión, así como también ayudan al estudiante a
comprender el razonamiento multiplicativo.
En conclusión, en los Lineamientos curriculares se hace alusión explicita a la
promoción y desarrollo del Pensamiento Variacional a partir de situaciones de la
realidad, de las matemáticas y otras ciencias relacionadas con fenómenos o procesos
de variación y cambio, proponiendo el uso de diferentes sistemas de representación
en su exploración, compresión y estudio sistemático.
26
En éste caso se tiene una estructura del pensamiento variacional para los grados de
sexto a noveno de educación media en los estándares de matemáticas, que son
registrados en dos grupos para séptimo grado y noveno grado.
1.2.4 VARIABLE
Para la enseñanza y aprendizaje del álgebra es fundamental el concepto de variable
(Schoenfeld,1988) y, sin embargo, la mayoría de las veces las variables se utilizan
como si pudieran entenderse sin ningún problema, simplemente, después de una
cierta práctica; el uso de las variables se confunde con el uso de las x, las y …, o de
otras letras, manejándolas habitualmente con naturalidad, sin llegar a valorar ni la
complejidad que tiene el concepto, ni los múltiples significados y usos que pueden
tener las letras para los alumnos.
Adquirir el concepto de variable supone la conjunción de dos procesos:
Generalización: que permite pasar de un conjunto de situaciones concretas a
algún aspecto común a todas ellas.
Simbolización: que permite expresar de forma abreviada lo que tienen en común
todas las situaciones.
1.2.5 LA GENERALIZACIÓN Y EL ÁLGEBRA
Uno de los procesos esenciales de la actividad matemática, y de los que más a
menudo se pone en juego, es la generalización. El establecimiento de proposiciones,
la resolución de problemas y otras muchas formas de “hacer matemáticas” requieren
a menudo procesos de generalización. La expresión de las relaciones cuantitativas, el
lenguaje natural o simbólico, hace posible razonar sobre estas relaciones, compararlas
y deducir otras.
La generalización en muchas ocasiones lleva consigo un proceso de abstracción de
orden elevado, de cierta dificultad. No en vano la capacidad para apreciar lo general
27
es utilizada a menudo como uno de los indicadores de la inteligencia y, por ello, los
instrumentos que suelen utilizarse para medirla suelen contener un buen número de
cuestiones en los que ha de ponerse de manifiesto. Ver y expresar los aspectos
generales tiene interés en sí mismo, como una potente actividad intelectual que tiene
que ponerse en juego en muchas ocasiones. Pero es además una capacidad que puede
desarrollarse.
El lenguaje natural es suficiente en muchos casos para expresar las relaciones
cuantitativas, pero lo que proporciona la potencia al lenguaje algebraico con respecto
al natural es, precisamente, la posibilidad de expresar lo general utilizando símbolos.
Los símbolos y las reglas usuales para utilizarlos aumentan su funcionalidad y
permiten expresar las relaciones con mayor precisión y simplicidad, mezclar
información sobre distintas relaciones, entre otras.
1.2.5.1 LAS FASES DE LA GENERALIZACIÓN
Los procesos de generalización, y sobre todo aquéllos que tiene relación con el
álgebra, permiten una división en fases (Mason y otros, 1985). Como primera
aproximación se puede distinguir entre la visión de la regularidad, la configuración,
en definitiva el proceso, y, por otra, su expresión. Desde el punto de vista del álgebra,
esta expresión debe tender a ser simbólica, y por ello, escrita. Por tanto, se considera
que el proceso de generalización requiere tres pasos bien diferenciados:
1) La visión de la regularidad, la diferencia, la relación.
2) Su exposición verbal.
3) Su expresión escrita, de la manera más conocida posible (simbolismo).
28
1.2.6 ESTÁNDARES BÁSICOS DE CALIDAD EN
MATEMÁTICAS “PENSAMIENTO VARIACIONAL, SISTEMAS
ALGEBRAICOS Y ANALÍTICOS”
SÉPTIMO GRADO
1) Describir y representar situaciones de variación relacionando diferentes
representaciones (diagramas, expresiones verbales, generalizadas y tablas).
2) Reconocer el conjunto de valores de una variable en situaciones concretas de
cambio (variación).
3) Analizar las propiedades de variación lineal e inversa en contextos aritméticos
y geométricos.
4) Utilizar métodos informales (ensayo-error, complementación) en la solución
de ecuaciones.
5) Identificar las características de las diversas gráficas cartesianas (de puntos,
continuas, formadas por segmentos, etc.) en relación con la situación que
representan.
NOVENO GRADO
1) Identificar relaciones entre propiedades de las gráficas y propiedades de las
ecuaciones algebraicas.
2) Construir expresiones algebraicas equivalentes a una expresión algebraica
dada.
3) Usar procesos inductivos y lenguaje algebraico para verificar conjeturas.
4) Modelar situaciones de variación con funciones polinómicas.
5) Identificar diferentes métodos para solucionar sistemas de ecuaciones lineales.
6) Analizar los procesos infinitos que subyacen en las notaciones decimales.
29
7) Interpretar los diferentes significados de la pendiente en situaciones de
variación.
8) Interpretar la relación entre el parámetro de funciones con la familia de
funciones que genera.
9) Analizar en representaciones gráficas cartesianas los comportamientos de
cambio de funciones polinómicas, racionales y exponenciales.
1.3 MARCO MATEMÁTICO
1.3.1 ASPECTOS HISTÓRICOS
1.3.1.1 RAZONES Y PROPORCIONES
El esfuerzo del hombre por entender y expresar el mundo ha sido una preocupación
permanente desde los primeros albores de la historia. Este esfuerzo se concretó no
solo en la necesidad de utilizar los números para contar objetos sino también para
expresar la relación entre las cosas.
La noción de proporción se ha tenido desde la antigüedad. El griego Thales de Mileto
(640-550 a.C.) la utilizó en sus experimentos para determinar la altura de una gran
pirámide comparando la sombra de ésta con la de una vara vertical.
Las formas de comparar objetos de la misma especie descritas a través de las
relaciones se convirtieron en un medio para ordenar y jerarquizar el mundo. Fue
durante la edad de oro en Grecia donde el estudio de las comparaciones se estructuró
como un cuerpo de conocimientos matemáticos, llamado teoría de las proporciones
numéricas. Eudoxio Cnido (408-355 a. C.) las concibió como uno de los principios
generadores del conocimiento matemático. Siglos más tarde, Galileo las utilizó para
estudiar la caída libre de los cuerpos. Hasta el siglo XVII, la teoría de las
proporciones numéricas fue una herramienta sólida de las matemáticas para resolver
problemas.
30
Las razones y proporciones fueron de gran utilidad durante el renacimiento, época en
la que se desarrollaron el arte y las letras. Los artistas con un buen dominio de las
proporciones y la perspectiva lograban tener imágenes de figuras humanas y grandes
lienzos y murales.
1.3.1.2 EXPRESIONES ALGEBRAICAS Y ECUACIONES
Para dar una idea de los inicios del álgebra es impredecible remontarse al concepto de
número. Los números eran percibidos por los antiguos como una propiedad
inseparable de una colección de objetos, propiedad que ellos no podían distinguir
claramente. Más adelante, aparecen operaciones con números como reflejo de las
relaciones entre los objetos concretos, y los hombres fueron descubriendo y
asimilando las relaciones entre los números. Finalmente, a medida que la vida social
se hizo más intensa y complicada, fueron apareciendo problemas más complejos que
impulsaron a perfeccionar los nombres y “símbolos” de los números.
La primera etapa hacia los signos matemáticos y las fórmulas en general, la
constituye la aparición de los símbolos numéricos, que aparentemente se produjo al
mismo tiempo que la escritura y jugó un papel fundamental en el desarrollo de la
aritmética. Todavía en ese tiempo, cualquier ley o la resolución de un problema
matemático se expresaba con palabras, pues la utilización de signos para las
operaciones aritméticas y la designación literal para la incógnita tuvo lugar mucho
más tarde.
La palabra “ÁLGEBRA” proviene del titulo de un libro Al-jabr (algunos usan Al-
gebr) w’al-muqabqlah, escrito en Bagdad, alrededor del año 825 por el matemático
y astrónomo Mohammed ibn-Musa al-Khwarizmi (Mohammed hijo de Musa
nativo de Khwarizm), que muestra en sus trabajos la primera fórmula general para la
resolución de ecuaciones de primero y segundo grado.
El titulo Al-jabr w’al-muqabalah significa “ciencia de la restauración y oposición”
o “transposición y eliminación” o, como expresa Carl Boyer, la transferencia de
31
términos al otro miembro de la ecuación (al-jabr) y la cancelación de términos iguales
en ambos miembros de la ecuación (al-muqabalah).
Así dada la ecuación
32 42773 xxxx +−=++
al-jabr da (transferencia de términos al otro miembro de la ecuación)
32 4775 xxx +=++
y al-muqabalah da (cancelación de términos iguales en ambos miembros de la
ecuación)
32 45 xxx =+
Esta obra fue traducida al latín en los primeros años del siglo XII por Juan de Sevilla
y Gerardo de Cremona, y con el tiempo se le llamo simplemente Álgebra.
El origen del vocablo responde satisfactoriamente al contenido real de la ciencia
misma. El álgebra comienza en realidad cuando los matemáticos empiezan a
interesarse por las “operaciones” que se pueden hacer con cualquier número, más que
por los mismos números; es, en esencia, la doctrina de las operaciones matemáticas
considerada formalmente desde un punto de vista general con abstracción de los
números concretos.
La primera fase de la construcción de la idea de álgebra, comprende el periodo de
1700 a. C. al 1700 d. C., se caracterizó por la invención gradual de símbolos y la
resolución de ecuaciones. Dentro de esta fase encontramos un álgebra desarrollada
por los griegos (300 a. C.), llamada álgebra geométrica, rica en métodos geométricos
para resolver ecuaciones algebraicas.
La introducción de la notación simbólica asociada a Viéte (1540-1603), marca el
inicio de una nueva etapa en la cual Descartes (1596-1650) contribuye de forma
importante al desarrollo de dicha notación. En este momento, el álgebra se convierte
en la ciencia de los cálculos simbólicos y de las ecuaciones. Posteriormente, Euler
(1707-1783) la define como la teoría de los “cálculos con cantidades de distintas
32
clases” (cálculos con números racionales enteros, fracciones ordinarias, raíces
cuadradas y cúbicas, progresiones y todo tipo de ecuaciones).
Cabe señalar en este periodo los trabajos de George Peacock (1791-1858), en los que
se buscó fundamentar y justificar las operaciones con expresiones literales. A él se
debe el principio de “permanencia” que decía:
“Todos los resultados del álgebra aritmética que se deducen por aplicación de sus
reglas, y que son generales en su forma, aunque particulares en su valor, son
igualmente resultados del álgebra simbólica, donde son generales tanto en su valor
como en su forma”
Se distingue entre álgebra y aritmética, en el que letras representan números naturales
y los signos + y – tienen el significado aritmético ordinario, y el álgebra simbólica,
donde siguen actuando las leyes del álgebra aritmética, pero se elimina la restricción
a los naturales.
El principio de permanecía afirmaba que las reglas que se verifican con los naturales,
por ejemplo, conmutativa y asociativa de la suma y de la multiplicación respecto a la
suma, seguían verificándose para todos los números u objetos representados por las
letras. Así, la importancia del significado de los símbolos quedó relegada a un
segundo término ante la primacía de los símbolos por sí mismos y sus leyes de
combinación; por ejemplo, la adición significa cualquier proceso que se ajuste a
determinadas leyes, ya que está se cumple tanto para los números como para las
letras.
En la antigüedad fue necesario inventar símbolos para representar y operar los
números naturales. Al generalizar los procedimientos matemáticos con cualquier
clase de números, se hizo indispensable crear una nueva simbología. Esta tarea fue
iniciada por los griegos y desarrollada por los árabes; pero no se complementó hasta
el siglo XVII, cuando el sistema simbólico actual fue expuesto en los trabajos de
Descartes y otros autores. Así se da inicio al estudio del álgebra que en esencia es, la
33
ciencia que estudia las operaciones matemáticas consideradas formalmente desde un
punto de vista general, con abstracción de los números concretos.
En la segunda fase a finales del siglo XVIII y primera mitad del XIX, el álgebra era
la ciencia de las ecuaciones y su problema fundamental radica en la teoría de
resolución de ecuaciones algebraicas.
En la segunda mitad del siglo XIX, el álgebra presentó un notable impulso debido a
grandes matemáticos, entre los cuales destacamos las ideas de Galois (1801-1832)
sobre la teoría de ecuaciones algebraicas. Teorías tales como la de grupos,
determinantes y matrices, por citar algunas, alcanzaron un profundo desarrollo.
Todo esto favoreció el nacimiento del álgebra abstracta contemporánea (3a fase),
llamada algunas veces álgebra moderna. En este periodo se prescinde de los números,
de ahí el nombre de abstracta, y los objetos utilizados pueden ser cualesquiera
(matrices, vectores, tensores, etc.) sobre los cuales se definen ciertas operaciones que
verifican unas determinadas propiedades construyéndose el álgebra a partir de
axiomas previamente definidos.
En la actualidad, la revolución de los ordenadores está creando nuevos problemas
sobre la mecanización de los cálculos algebraicos, lo que lógicamente conducirá a un
desarrollo aun mayor del álgebra.
La notación algebraica presenta también tres periodos claramente diferenciados:
El periodo retórico o verbal, en el cual las operaciones se describían con
palabras. Este periodo se extiende desde los babilonios (1700 a. C.) hasta
Diophante (250 d. C.).
El periodo sincopado o abreviado, cuando empiezan a utilizarse algunas
abreviaciones para simplificar la resolución de problemas. Este periodo
comienza con Diophante y dura hasta comienzos del siglo XVI.
La ecuación ( ) 444582 23 =+−+ xxx se escribía en notación de Diophante
así:
34
4441582 23
´
=⋅−
∆∧≈≈••
xxxMsK µδστξζεδεηβ
El periodo simbólico aparece en el siglo XVI y utiliza ya diferentes símbolos
y signos matemáticos. Esta notación que fue más o menos estable en tiempos
de Isaac Newton (1642-1727), se mantiene actualmente sin uniformidad total.
Este periodo coincide con la 2a fase anteriormente indicada que, como hemos
señalado, está asociada al nombre de Viéte, el cual comenzó a denotar por las
letras no sólo las incógnitas, sino números dados previamente.
Así, la ecuación
1202742258515 2345 =+−+− xxxxx
Se escribía como
1202742258515 aequaturNQCQQIQC +−+−
Nuestra notación moderna es debida a Descartes (1596-1650), con ligeras
modificaciones posteriores
0101363 α−+− xxxx
1.3.1.3. FUNCIONES
Para el desarrollo del concepto de función se fundamentan tres espacios definidos por
Youschkevitch (1976).
1) El mundo antiguo: A pesar de la existencia de casos particulares de
dependencia entre dos cantidades, no aparecen nociones generales sobre
cantidades variables y funciones.
El aporte de los Babilonios: fue de carácter astronómico en el cual
muestran la caracterización de una función de forma tabular, en el
35
sentido de no limitarse a una tabulación de datos empíricos sino al uso
de interpolaciones, y extrapolaciones y a la búsqueda de regularidades.
El aporte de los Griegos: Es atribuible a los pitagóricos la
determinación de las leyes simples de la acústica que representan el
intento por buscar relaciones cuantitativas de dependencia entre
variables físicas, como por ejemplo las longitudes de las cuerdas y los
tonos emitidos al pulsarlas, por otra parte, el trabajo con las
proporciones desarrolladas en este momento esconden la dependencia
que existe entre magnitudes distintas, por ejemplo, cuando se
comparan el área de dos círculos y se establece que están en la misma
proporción que los cuadrados de sus diámetros, se esconden la
dependencia de que existe entre el diámetro y el área de un circulo,
relación que nos acerca a la idea de función.
2) La edad media: aparecen ciertas nociones generales, en forma geométrica o
mecánica, los casos de dependencia obtenidos en este momento eran
expresados por descripciones verbales o mediante gráficos; de esta época se
destaca el trabajo realizado por:
Nicolás Oresme (s. XIV) como método para representar las cualidades
cambiantes de los objetos. Oresme utiliza la continuidad de los
segmentos para expresar la relación de variabilidad entre cantidades
variables, pues no disponen de un continuo numérico para representar
el movimiento, de esta forma, las gráficas se consideraron modelos
geométricos de las relaciones funcionales. Con la teoría de las
Latitudes, Oresme elabora una teoría pura comprobable, exenta de
experiencias, pues se abstrae la forma o las cualidades concretas de los
problemas.
Para Youschkevitch, esta teoría está basada “en el uso consciente de
ideas generales acerca de las cantidades variables dependientes e
independientes” (1976) pues cada una de las cantidades involucradas,
36
latitud y longitud, se “interpretaban de manera general pero
dependientemente de su longitud”, en la representación gráfica las dos
cantidades corresponden a lo que en el lenguaje moderno se denomina
ordenada y abcisa. La representación planteada por Oresme a partir de
la idea que todo lo medible puede imaginarse como una cantidad
continúa y luego pasando a la representación de diversos tipos de
cambio, por ejemplo para representar la velocidad de un móvil a lo
largo del tiempo, Oresme traza un segmento horizontal cuyos puntos
representan los sucesivos instantes de tiempo (longitudes) y para cada
instante traza un segmento perpendicular (latitud) cuya longitud
representa la velocidad en aquel instante.
Los extremos superiores de las latitudes
determinan una curva, en el ejemplo una
recta, y si el movimiento parte del
reposo, la totalidad de las latitudes
cubren un triángulo rectángulo.
3) El periodo moderno: aparición del concepto de función como aproximaciones
cada vez más amplias y generales, en el cual el estudio del movimiento se
convierte en un problema esencial, al mismo tiempo que el descubrimiento de
la geometría analítica, permite el desarrollo de las expresiones algebraicas de
funciones. Posteriormente, en la segunda mitad del siglo XVII, la expresión
de funciones por medio de series de potencias permitió ampliar el campo de
las funciones tratadas analíticamente. Fue el método analítico para introducir
funciones lo que revolucionó las matemáticas. Más tarde se dio lugar a
nuevas definiciones del concepto de función que han sido universalmente
aceptadas en el análisis matemático.
Galileo (1564-1642) introdujo lo numérico en las representaciones
gráficas e hizo una interpretación de la teoría para expresar las leyes
del movimiento, a la que le incorporó el lenguaje de la teoría de las
37
proporciones, dando un sentido de variación directa e indirectamente
proporcional. Este lenguaje junto con la teoría matemática de la
época cubrió aspectos de la variación continua, pues sólo se
consideraban ciertos valores para las variables debido a la ruptura que
se tenía entonces, sobre número y magnitudes y el problema de la
inconmensurabilidad. Es así como las representaciones gráficas aun
siendo cualitativas, o los enunciados verbales en términos cinemáticos
se convirtieron en la forma de introducir las funciones, Galileo aborda
el problema de la correspondencia entre conjuntos infinitos y trata
cuestiones concernientes al continuo, haciendo referencia a las
“heréticas” ideas de Demócrito.
Con los trabajos de Descartes y Fermat (s. XVII) sobre las curvas se
introduce por primera vez la idea de una ecuación en x y y como un
medio para expresar la dependencia entre dos cantidades variables.
Surge así la primera concepción de función asociada a lo analítico-
geométrico. Este aporte en el contexto del desarrollo de la matemática,
es el de relacionar dos ramas: Geometría y Álgebra, buscando
establecer métodos de expresión de relaciones numéricas entre
propiedades de objetos geométricos. Con el apoyo del desarrollo del
Álgebra, se aporta la introducción de signos para las operaciones, la
utilización de letras para representar cantidades desconocidas y letras
para las constantes, junto con los progresos alcanzados en la extensión
del concepto de número “aparición de los imaginarios”, la
dependencia entre variables comienza a ser reconocida como una
relación que se expresa por medio de expresiones analíticas. Descartes
y Fermat introducen el método analítico para la representación de las
funciones en ecuaciones algebraicas, asociadas a las curvas
geométricas, y denominaron curvas mecánicas a los que no sean de
naturaleza geométrica.
38
Con los trabajos de Newton (s. XVI) se hizo posible representar
analíticamente cualquier relación funcional. Newton al resolver
problemas del movimiento asociando ideas físicas y matemáticas
introduce el método de representarlas en series infinitas de potencias,
pero las ideas principales eran expresadas en términos mecánicos y
plantea de esta manera los dos problemas fundamentales del cálculo
infinitesimal: la diferenciación y la integración. Para Newton el
movimiento esta caracterizado por la velocidad, en el movimiento la
variable independiente (fluyente) es una cantidad correlacionada
(quantitas correlato) con la cantidad dependiente (relata).
Leibniz (s. XVII) introduce por primera vez el término función
asociándolo a las representaciones geométricas, pero separándolo de la
variación de magnitudes físicas al caracterizarlo como: “ciertas
longitudes tales como abcisas, ordenadas tangentes, normales, etc.,
asociadas con la posición de un punto en una curva”. Sin embargo el
vocablo función sigue ligado a lo geométrico, segmentos en general, lo
que seguía preocupando, porque no indicaba de manera general
“cantidades arbitrarias dependientes de alguna variable”. Con base en
estos argumentos Bernoulli intenta generalizar la noción al formular la
siguiente definición “llamamos función a las diversas cantidades dadas
de alguna forma por una (cantidad) indeterminada x y por constantes
ya sea algebraicas o trascendentes”, ésta se convierte en la primera
definición de función como expresión analítica. Bernoulli propone
también las notaciones ϕ y f para distinguir la característica de una
función y x para describir el argumento.
Con este avance y con el desprendimiento paulatino de los conceptos
del Cálculo de lo geométrico, lo mecánico da lugar a iniciar el estudio
del análisis matemático como una disciplina científica autónoma.
39
Euler (s. XVII) continúa el camino de precisar la noción de función,
comenzando a definir nociones iniciales como son constante y
cantidad variable. Define: “Una cantidad variable es una cantidad
indeterminada, o universal que comprende en sí misma a
absolutamente todos los valores determinados”, con esta definición, la
cantidad variable comprende todos los números tanto positivos, como
fracciones, racionales, irracionales y trascendentales.
Con estas aclaraciones define la noción cambiando el termino
cantidad, propuesto en la definición de Bernoulli por el de expresión
analítica “La función de una cantidad variable es una expresión
analítica compuesta de cualquier manera a partir de esa cantidad
variable y de números o cantidades constantes” Luego entra a precisar
Lo que se debe entender por expresión analítica, la cual determina
como serie infinita de potencias 32 DzCzBzA +++ , pero no llega a
determinar claramente si abarca las funciones trascendentes, o las
obtenidas en el Calculo Integral. De esta forma, la definición de
función como expresión analítica fue aceptada por los matemáticos de
la época.
Por otra parte Dirichlet, discípulo de Fourier propuso una definición
muy general: si una variable Y está relacionada con otra variable X de
tal manera que siempre que se atribuya un valor numérico a x hay una
regla según la cual queda determinado un único valor de y, entonces se
dice que y es una función de la variable x.
Al considerar la definición en términos conjuntistas decimos que
dados dos conjuntos arbitrarios A y B, una función de A en B es una
ley que a cada elemento de x en A hace corresponder un solo elemento
y de B; o si se prefiere una función de A en B es un subconjunto F del
producto cartesiano A x B tal que si (x, y) y (x, z) pertenecen a F
entonces y = z.
40
El largo proceso de abstracción (3.700 años, aproximadamente) donde
se suceden una tras otras las invariantes, representaciones (gráficas,
simbólicas) que van perfilando la abstracción y el nivel de
generalización que comporta la definición moderna ha eliminado la
idea de variación, para poner de relieve caracterizaciones más
generales y precisas del concepto, este proceso permite inferir
presupuestos para convertir el concepto en objeto de enseñanza.
A partir del trabajo histórico, pueden encontrarse diferentes concepciones sobre el
reconocimiento del concepto de función.
Búsqueda de regularidades entre cantidades de magnitudes variables:
(A partir de la edad antigua): las cuales permitían predecir periodos de
visibilidad de un planeta, relacionando fenómenos naturales sujetos al
cambio (calor, distancia, velocidad, etc.), y la variación entre
magnitudes “relaciones de causa -efecto”, con representación tabular
donde se identifican los elementos que varían en el análisis
cuantitativo de un fenómeno.
Razón o Proporción:(A partir de la edad media), la proporcionalidad se
buscaba como una relación privilegiada y modelizadora entre
magnitudes variables. Que permitían relacionar magnitudes físicas y
en particular en dominios geométricos y astronómicos. desarrollando
la conmensurabilidad entre magnitudes de la misma naturaleza, con
representación descriptiva de las relaciones establecidas,
comparaciones entre magnitudes homogéneas (longitudes con
longitudes, áreas con áreas, etc.).
Gráfica: (A partir de la edad media), con el fin de entender la
naturaleza de los cambios llevó a crear una representación geométrica
que permitiera tener una visión del fenómeno analizado. Permitían
reconocer fenómenos en los que aparecen magnitudes físicas
dependientes, relacionando la dependencia cualitativa de las
41
magnitudes de diferente naturaleza, su representación se realizo por
medio de figuras geométricas, a partir de esta concepción se utiliza la
continuidad de los segmentos para representar todo lo que varia (no se
disponía de un continuo numérico). Por ejemplo para representar la
velocidad de un móvil a lo largo del tiempo se representa como:
Donde los puntos del segmento horizontal representan los sucesivos
instantes de tiempo y para cada instante se traza un segmento
perpendicular (latitud), cuya longitud representa la velocidad de cada
instante. Los extremos superiores de las latitudes determinan una curva,
otras configuraciones fueron:
El fenómeno puede ser descrito por toda figura y no por una de sus partes
como seria la línea superior obtenida de la variación de latitudes.
Curva: (A partir de la edad moderna). El fin que se pretende es
expresar la relación de dependencia entre las cantidades variables
mediante una ecuación, la cual surge al intentar conectar los problemas
42
de geometría y álgebra. Donde a partir de propiedades geométricas de
un objeto se establezcan relaciones entre números y se encuentra una
expresión algebraica que permite expresar la relación. Trabajando así
la dependencia y continuidad, su representación se hizo por medio de
una curva en el sistema cartesiano y representación algebraica.
Expresión Analítica: (A partir de la edad moderna), Bernoulli y Euler
plantean definiciones de función que vinculan directamente la
dependencia entre cantidades y la correspondencia, su representación
fue dada en expresiones analíticas y curvas.
Correspondencia arbitraria: Se reconoce la correspondencia arbitraria
pero no la unicidad en funciones tal que: “en los puntos de
discontinuidad la función tiene dos valores”, se relaciona la
correspondencia univaluada restringida a números, la representación
genérica y = f(x), agregándose a las anteriores representaciones los
diagramas sagitales.
Terna: Las situaciones matemáticas que pueden ser modelizadas por
funciones. Donde f = (A, B, G) es una función si y solo si G = A x B,
donde x ∈ A, y ∈ B, tal que (x, y) ∈ G. R es una función si y Solo si
para todo x, y, z (x, y) ∈ R y (x, z) ∈ R, entonces y = z.
En el campo semántico, el concepto de función se presenta a través de
la variación y transformación de magnitudes, dependencia entre
variables. Las formas de representación del concepto de función:
precisan la concepción dinámica o estática. La representación gráfica
cartesiana globaliza y permite encontrar características puntuales y
43
dinámicas (crecimiento, continuidad); en los enunciados verbales se
define la variación entre magnitudes físicas o cantidades. Por otra
parte, la representación algebraica permite asumirla como fórmula,
para calcular la variable dependiente a partir de la independiente,
obteniendo una idea dinámica, cuando se asume como y =f(x) sin
referentes de los elementos se obtiene una idea estática.
Para finalizar, a partir de la teoría de las representaciones planteadas por Janvier
(1989) en particular para el caso de las funciones, el aprendizaje del concepto se dará
siempre y cuando el estudiante desarrolle la interpretación y uso de cada una de las
representaciones del concepto de función, así mismo, la capacidad de traducir de una
representación a otra. Donde, los niveles de representación al que llega el estudiante
determinan un orden creciente de abstracción en la construcción del concepto.
1.3.2 ASPECTOS MATEMÁTICOS
1.3.2.1 PROPORCIONALIDAD
1.3.2.1.1 MAGNITUDES Y MEDIDA
Se entiende por magnitud a un conjunto M el cual no es vacío, con una relación
de orden y una operación definida de tal forma que para todo a, b, c ∈ M, se
cumplen las siguientes propiedades:
44
Ordenación: abóbaóba <=<
Transitiva: caqueimplicacbyba <<<
Propiedad asociativa: )()( cbacba ++=++
Simplificación: baqueimplicacbba =+=+
Propiedad conmutativa: abba +=+
Diferencia: bcaquetalcunexistesisoloysiba =+<
Divisibilidad: Para cada a en M y n número natural existe un b, b ∈
M, tal que bna ⋅= donde nb = b + … + b con n-sumandos. Con estas
condiciones M admite la multiplicación y la división por números
naturales y en consecuencia por números racionales positivos.
Postulado de Arquímedes: Para cada c y d ∈ M existe un número
natural n tal que cnd ⋅< .
A los elementos de M se denominan como cantidades.
Cada elemento e de M se llama unidad.
Cada a ∈ M permite dividir a los racionales positivos, en dos partes:
{ }aeqQqC ≤⋅∈= + /1
{ }aeqQqC >⋅∈= + /2
Estos dos conjuntos determinan lo que llamaremos una cortadura en Q+.
Esta cortadura determina un número real r ∈ R, de la siguiente manera:
{ } SupAaeqQqr =≤⋅∈= + /sup
Es decir, r es la cota superior mínima de A.
45
Por definición r representa la medida de a con respecto a e . Es decir, el
número r puede tomarse como una representación de la cantidad a . De
donde podemos indicar que:
)(;;)(;)( cantidadesentrerazóneareraramramed ee =⋅===
Si r es un número racional se dice que las cantidades a y e son
conmensurables (esto es, con medida común).
Sea nmr = se tiene que a contiene m divisiones n-ésimas de e .
Recíprocamente a todo número racional ,nm corresponde una cantidad,
cuya medida es este número (hasta considerar la cantidad n
em ⋅ ). Así
entre las cantidades conmensurables con la unidad y los números
racionales positivos existe un Isomorfismo1.
En caso contrario, si r es un número irracional se dice que a y e son
inconmensurables. La correspondencia entre las cantidades
inconmensurables y los números irracionales no tiene porque ser
biunívoca. Para que se tenga un isomorfismo debe existir otro axioma.
Axioma de continuidad
Si las cantidades conmensurables con una unidad e de una magnitud
se clasifican en dos clases no vacías de modo que toda cantidad de la
primera sea menor que todas las cantidades de la segunda.
1. ISOMORFISMO: decimos que dos grupos son isomorfos si son idénticos en su estructura pero con variación en los
elementos de cada uno de los grupos y sus operaciones. Con una transformación lineal wvT →: , T es un
isomorfismo si T es uno a uno y sobre.
46
Hay una cantidad que separa a ambas es decir, mayor o igual que
cualquiera de ellas y menor o igual que todas estas, según pertenezca a
una u otra clase. Diremos en este caso, que la magnitud M es continua y
entonces M = eR ⋅+ .
En el caso de las magnitudes continuas, la medida establece un
isomorfismo entre M y R+ : tal que para cada Ma∈ y fijada una cantidad
e , )()( amamed ee = .
1.3.2.1.2 PROPORCIONALIDAD ENTRE MAGNITUDES
Diremos que dos magnitudes son proporcionales si se puede establecer un
isomorfismo entre sus cantidades NMf →: tal que:
I. Si )()( bfafimplicaba << la relación de orden es monótona.
II. )()()( bfafbaf +=+ , es decir, se conserva el orden y la suma.
III. Si la magnitud es continua la proporcionalidad f queda unívocamente
determinada dando la cantidad homóloga )(af de una cantidad
cualquiera y en particular las cantidades correspondientes a una
unidad. En efecto si
)()()(; erferfafentoncesera =⋅=⋅=
Así, las medidas de cantidades correspondientes, a , )(af con unidades
correspondientes, e , )(ef son iguales.
)()(; erfafrea ==
Basta para ello distinguir los siguientes casos:
1) Nr∈ , 2) +∈Qr , 3) ++∈ QRr \
47
1) Nr∈ , r = n, 48476 ostérn
eeenamin
...++=⋅= y por tanto
)()(...)()...()(min
efnefefeefafosnter
⋅=++=++=48476
2) +∈Qr ,
48476 ostérm
nnnmr
min
1...1++== y como
444 8444 764484476ostérnostérn
en
fen
fen
en
fennfef
minmin
1...11...1)(
++
=
++=
= Por tanto
)(11 efn
en
f ⋅=
y por tanto.
)(1...11...1)(
minmin
efnme
nfe
nfe
ne
nfe
nmfaf
ostérmostérm
⋅=
++
=
++=
=
444 8444 764484476
3) ++∈ QRr \ , significa que a es inconmensurable con e
Sea (C1, C2) la cortadura sobre los números racionales definida por r, si
formamos las clases eC ⋅1 , eC ⋅2 esta clasificación es una cortadura en el
conjunto de las cantidades conmensurables y definen según el axioma de
continuidad, una cantidad de separación tal cantidad tiene evidentemente
como medida el número dado por (C1,C2).
Por tanto, de la monotonía de f y de las condiciones I, II se verificará
automáticamente la condición III, es decir, si
)()()(; erferfafentoncesera =⋅=⋅= , es decir, la medida de )(af , con
la unidad )(ef , será la misma que la medida de a con unidad e .
48
En efecto todas las operaciones de medida de a con unidad e , se
fundamentan en las relaciones de desigualdad y suma, las cuales se conservan
íntegramente en la correspondencia establecida. Por tanto los resultados para
medir a con unidad e serán los mismos que para medir )(af , con la unidad
)(ef y por consiguiente, las medidas obtenidas serán iguales. Este resultado
permite reducir la medida de ciertas cantidades a las de otras proporcionales a
ella, con lo cual se justifica la medida indirecta de cantidades.
1.3.2.1.3 CONSTANTE DE PROPORCIONALIDAD
Sean M y N dos magnitudes proporcionales continuas, sea f la correspondencia entre
sendas cantidades e y u , dos unidades respectivas de M y N.
ueNMf
→→:
Se puede escribir ukef ⋅=)(
Diremos entonces que k es la constante de proporcionalidad respecto de las unidades
e y u . En este sentido la constante de la proporcionalidad es una representación de la
correspondencia y por eso la denotaremos por:
[ ]{ }{ }uefk =
Como las magnitudes M y N pueden ser descritas completamente por sus medidas
ue mym respectivamente, entonces la proporcionalidad f puede expresarse como
una aplicación g de R+ en R+, específicamente: 1−= eu mofomg así
( ) ))(( erfmrg u ⋅= .
Por lo tanto g satisface la ecuación formal de Cauchy (1821).
g(x + y) = g(x) +g(y) con, x, y ∈ R
49
Y al ser g monótona, es decir que conserva el orden, admite como única solución, que
caracteriza la proporcionalidad:
+∈⋅= Rrconrkrg )(
Efectivamente, para cualquier constante k , ( ) rkrg •= , satisface la ecuación
g(x + y) = g(x) +g(y) con, x, y ∈ R
Recíprocamente, si g es monótona y satisface la ecuación
g(x + y) = g(x) +g(y) con, x, y ∈ R
Dados los números naturales m, n >0 se cumple
⋅=
++
=
++=
=
ngn
ng
ng
nng
mngg
osternostern
11...11...1)1(
minmin 444 8444 7648476
Por tanto
)1(11...11...1minmin
gnm
ngm
ng
ng
nng
nmg
ostermosterm
⋅=
⋅=
++
=
++=
444 8444 7648476
es decir, para
cualquier número racional positivo ,nmr =
)1()( gkconrkrg =⋅=
Por último, como todo número real viene determinado por cortaduras sobre los
números racionales definidos mediante la relación de orden, al ser g monótona, se
cumplirá la expresión anterior sobre los números reales.
La aplicación g se llama la función lineal representante de la proporcionalidad.
Se cumple que )()1( efmgk u== , es precisamente la constante en la
proporcionalidad f. Evidentemente [ ]{ } ( ){ } 1=efef , lo cual significa que si para medir
dos magnitudes proporcionales, se adoptan unidades correspondientes, en la
proporcionalidad las cantidades correspondientes tienen la misma medida, en efecto:
50
Sea a una cantidad M y )(af ∈ N la cantidad correspondiente a la proporcionalidad
f. Sea r la medida de a con respecto a la unidad e , ,era ⋅= entonces como
)()()( erferfaf =⋅= , r también será la medida de la cantidad homologa con la
unidad correspondiente. En contraposición si la cantidad )(af no se mide con la
unidad correspondiente )(ef sino con otra unidad u, su medida r’ ya no será la
misma r, sino ésta multiplicando por k, siendo k la constante de proporcionalidad, en
efecto:
uraf ⋅= ')(
ukrefrerfaf ⋅⋅=⋅=⋅= )()()(
En conclusión ukrurur ⋅⋅=⋅=⋅' , de donde r’=k r⋅
En general si { },...,, 321 aaaM = son cantidades de M con medidas correspondientes
respecto de la unidad e, { }nrrrr ,...,,, 321 entonces { },...',','' 321 aaaM = son las
cantidades homologas respecto de una proporcionalidad f con medidas
correspondientes { }nrrrr ,...,,, 321 respecto de la unidad u entonces se tiene:
krr
rr
rr
rr
n
n ====== ...'...'''
3
3
2
2
1
1 Constante de proporcionalidad
Este número k, cociente de las medidas de la magnitud N por las medidas de la
magnitud M es fija para cada proporcionalidad, pero varia de una a otra, y sirve para
caracterizar cada proporcionalidad. Dos proporcionalidades se dicen iguales cuando
son iguales los cocientes k de la medida de las cantidades correspondientes.
Este número k se puede a su vez tomar como medida de una nueva magnitud V que se
llama razón entre magnitudes. Si las unidades de ambas son e y u, la nueva unidad
v se representará simbólicamente así euv = .
En el caso particular de que las magnitudes M y N sean homogéneas, es decir, M = N,
la constante de proporcionalidad es independiente de la unidad elegida:
51
[ ] [ ]uuee ffk == Para cada Mue ∈,
En efecto, para cualquier unidad u la medida m con respecto a u cumple las
siguientes propiedades.
m es una biyección entre M y +R
ba < implica ( ) ( )bmam <
( ) ( ) ( )bmambam +=+
( ) 1=em
( ) ( )aqmqam = para +∈Qq
Estas propiedades aseguran que m es una proporcionalidad entre M y +R por tanto
las medidas de las cantidades correspondientes ( ) ( )( )efmef , con unidades
correspondientes e y ( )em respecto a m son iguales.
( ) ( ) ( )( )efmmedefmed eme =
Así
[ ] ( ) ( ) ( )( )[ ] ( )( )( )
( )( )( )emed
efmedemefmefmmedefmedfk
u
uemeee =====
Ahora si e = r u⋅ se tendrá que f(e)=rf(u) y en consecuencia
[ ] ( )( )( )
( ) ( ) [ ]uuuu
u
u
uee fufmed
medrufmedr
urmedefmedf ==
⋅⋅
=⋅
=
Como se quería demostrar.
En resumen la constante de proporcionalidad entre dos magnitudes homogéneas, es la
razón de sus cantidades y es igual a la razón de sus medidas tomadas con la misma
unidad.
52
1.3.2.1.4 RAZONES ENTRE MAGNITUDES
Dadas dos cantidades a y b , la razón entre ambas se puede definir sin hacer
referencia directa a la medida.
Basta para ello considerar la cortadura ( )21, PP sobre los números racionales
positivos:
≥∈=
<∈=
mbnaNnmnmP
mbnaNnmnmP
/,;
/,;
1
1
Entonces el número real r que se define será la razón entre dichas cantidades a y b .
Indicaremos simbólicamente que
rba=
Toda razón entre cantidades determina una proporcionalidad entre las cantidades de
la misma magnitud.
En efecto, definimos ( ) cdfba = si y solo si
Mendcbaparadc
ba ,,,=
Diremos que { }dcba ,,, son proporcionales y a la cantidad c la llamaremos la cuarta
proporcional.
baf Es un automorfismo2 en M , efectivamente.
2. AUTOMORFISMO: Un automorfismo de un cuerpo es una transformación entre sus elementos que hace
corresponder a la suma de dos de ellos la suma de sus transformados y, al producto, el producto.
53
Sea 2
2
1
1
uv
uv
ba
== para ,,,,, 2121 Mdevvuu se tendrá que 21
21
uuvv
ba
++
= por tanto
( ) ( ) ( )212121 ufufvvuufba
ba
ba +=+=+
Se cumple también que sí ( ) ( )rfufruba
ba << , .
Así baf será una proporcionalidad en M .
La constante de proporcionalidad de baf coincidirá precisamente con su razón.
En efecto sea uub
afk,
= para u unidad en M .
( ) ukufba ⋅=
Ahora por la definición de baf se tendrá simbólicamente
uku
ba=
es decir que ( )ba, y ( )uku, definen la misma cortadura y como la cortadura definida
por ( )uku, es k , se concluye que rk = , razón de ( )ba, .
Como la cortadura ( )21, PP , es equivalente a la cortadura ( )21,CC donde
{ }abqQqC >⋅∈= + /1
{ }abqQqC <⋅∈= + /2
Y como ( )21,CC define la medida de a con respecto a b , podemos concluir que la
razón ba coincide con la medida de a respecto a b y por tanto con el cociente de sus
54
medidas tomadas con la misma unidad. En efecto recordemos que a partir de la
definición 6 del libro V de Euclides dice que:
a y b están en la misma razón que c y d , cuando, para todos los números
naturales n y m , se tiene las implicaciones siguientes según los tres casos posibles:
Si mbna > entonces mdnc > .
Si mbna = entonces mdnc = .
Si mbna < entonces mdnc < .
Esta definición es equivalente a decir que ( )dcba ,;, son proporcionales, es decir,
a y b determinan la misma cortadura que c y d . La cortadura determinada para
dos cantidades a y b sobre los números racionales positivos es ( )21, PP
Por otra parte, con el anterior resultado podemos reducir a proporciones numéricas las
proporciones entre cantidades y aplicar a éstas las denominaciones y propiedades de
la aritmética. Así podemos determinar efectivamente la razón entre dos cantidades
ba, aplicando el mismo esquema (algoritmo de Euclides) que sirve para calcular el
máximo común divisor de sus correspondientes medidas s y t
restorcocientes
i
i
−−
1s 2s 3s 2−ns 1−ns ns 1+ns
s t 1r 2r ... 3−nr 2−nr 1−nr nr
1r 2r 3r 4r ... 2−nr nr 0
ni ≤≤1
Si s y t son primos entre si, resulta =nr m.c.d ( )ts, =1.
55
Si, 1≠nr representa el máximo común divisor o máxima parte alícuota común a las
dos magnitudes dadas a y b ; pero sean o no sean primos entre si, s y t
obtendremos como expresión de la razón ba la expresión siguiente, que se llama
fracción continua.
1
21
1
11
+
+
++==
nn s
s
ss
ts
ba
OO
Como las cantidades ,...,, 321 rrr van disminuyendo, pronto llegan a no ser apreciados.
Si despreciamos por ejemplo el segundo resto 2r tenemos 2
11s
s + como valor
aproximado de la razón.
1.3.2.1.5 TEORÍA DE LA PROPORCIÓN
Dadas dos cantidades a y b , se define la proporción ( )ba, como el cociente
( ) ( )( )tsmín
tsmáxbap,,, =
siendo ts, las medidas respectivas de a y b en una unidad determinada.
La proporción es una aplicación P que, a todo par de cantidades asigna un número
mayor o igual que 1, es decir:
( )( ) ( )bapbaMxMP
,.,1:
→+→ α
56
Que cumple:
I. Propiedad de simetría
( ) ( )abPbaP ,, = , para todo Mba ∈,
II. Propiedad de semejanza
( ) ( )baPrbraP ,, = para todo Mbayr ∈> ,0
III. Aditividad
( ) ( ) ( )cbaPcaPbaP +=+ ,,, si Mcbasiendocbyba ∈≤≤ ,,
IV. Continuidad
( ) ( )baPbaP nnn
,,lim =→α
si nn
nn
bbaa limlimαα →→
==
A partir de las propiedades de la teoría de la proporción podemos identificarlas a
partir de su relación geométrica.
Relaciones geométricas de la proporcionalidad
57
Se define:
( ) ( )( ) 1
,,, ≥=tsmíntsmáxbap
1) ( ) ( )( )
( )( ) ( )abp
stmínstmáx
tsmíntsmáxbap ,
,,
,,, ===
2) ( ) ( )( )
( )( ) ( ) 0,
,,
,,, >=== rsibap
tsmíntsmáx
rtrsmínrtrsmáxrbrap
3) Si ( )cbmína ,≤ entonces resulta
58
4) ( ) ( ) ( )( )
( )( ) ( )cbap
srt
sr
st
rsmínrsmáx
tsmíntsmáxcapbap +=
+=+=+=+ ,
,,
,,,,
5) si ( ) ( ) ( ) rcmtbmsam === ,,
6) ( ) ( )( )
( )( ) ( )baP
tsmíntsmáx
nsnmín
nsnmáx
nsnmínnsnmáxbaP
nn
nn
nnn
n,
,,
,
,
,,,
limlim
limlimlimlim ==
==
∞→∞→
∞→∞→
∞→∞→
De hecho estas propiedades geométricas de la proporción son esenciales, es decir,
caracterizan la fórmula usual del cociente de la dimensión mayor por la menor.
Así podemos concluir que la proporción de dos magnitudes es la razón entre la
mayor y la menor.
La proporción de la media geométrica
cb
ba
ba
cbba
==−− ;
Donde dados segmentos a y c, sea un segmento b, tal que se verifica
la relacióncb
ba= , se dice en este caso que b es media proporcional
de a y c.
La proporción armónica
En la que el término medio excede al primero en una fracción de éste
igual a la fracción en que aquel es sobrepasado por el último. Por
ejemplo, los números 6, 8 y 12.
caacb
ca
caab
+=⇒=
+− 2
59
La proporción aritmética
Donde el término medio excede al primero en una cantidad en la que
este es excedido por el último. Por ejemplo, los números 2, 4 y 6.
2cabcbba +
=⇒−=−
1.3.2.4 LA RELACIÓN ARITMÉTICA – ÁLGEBRA
En este punto se ve la necesidad de utilizar conceptos dados por el pensamiento
numérico, que representan una gran utilidad para el desarrollo del álgebra y de la idea
de variación, por tal razón se recurre a las propiedades ya establecidas para operar
cantidades numéricas y que permiten establecer un puente o relación entre la
aritmética y el álgebra. El conocimiento aritmético adquirido por los estudiantes
sobre la construcción de los distintos significados del número, se constituyen en
pilares fundamentales para acercarse significativamente a las nociones de variable,
incógnita y a los métodos para resolver ecuaciones lineales, por eso se ve la
importancia de definir las operaciones y propiedades de los números reales.
Pese a que se podría inducir los números naturales por medio de los axiomas de
Peano, se mostrará de manera inductiva. Suponemos la existencia del conjunto de los
números reales ℜ , al igual que dos operaciones llamadas adición y multiplicación,
tales que para cada par de números reales x e y se puede formar la suma de x e y, que
es otro número real designado por x + y y el producto de x por y designado por xy o
x.y. La suma x + y y el producto xy están unívocamente determinados por xe y.
Axiomas de Cuerpo: Sean x, y, z números reales, entonces:
Axioma 1: Propiedad Conmutativa x + y = y + x, xy =yx.
Axioma 2: Propiedad Asociativa x + (y + z) = (x + y) + z,
x(yz) = (xy)z.
Axioma 3: Propiedad Distributiva x(y + z) = xy + xz.
60
Axioma 4: Existencia de Elementos Neutros. Existen dos números reales
distintos, que se indican por 0 y 1 tales que para cada número real x se
tiene: 0 + x = x + 0 y 1.x = x.1 =x
Axioma 5: Existencia de Negativos. Para cada número real x existe un
número real y tal que x + y = y + x = 0.
Axioma 6: Existencia del Recíproco. Para cada número real x ≠ 0 existe
un número real y tal que xy = yx = 1.
Ahora para definir los números naturales se utilizará el conjunto de los números
enteros positivos.
Definición de conjunto inductivo. Un conjunto de números reales se denomina
conjunto inductivo si tiene las siguientes propiedades:
El número 1 pertenece al conjunto.
Para todo x en el conjunto, el número x + 1 pertenece también al conjunto.
Definición de Enteros Positivos. Un número real se llama entero positivo si
pertenece a todo conjunto inductivo.
Sea P el conjunto de todos los enteros positivos. Definimos entonces el conjunto N de
los números naturales como la unión de los números enteros positivos y 0.
Definición (múltiplo y divisor). Si n y d son enteros y n = cd para algún entero c,
diremos que d es un divisor de n, o que n es un múltiplo de d, y escribiremos nd (se
lee: d divide a n). Adicionalmente, un entero n es primo si n>1 y si los únicos
divisores positivos de n son 1 y n. Si n no es primo, entonces n es compuesto. El
entero 1 no es ni primo ni compuesto.
61
1.3.2.5 FUNCIÓN
Definición: Una función puede considerarse como una correspondencia de un
conjunto X de números reales x en un conjunto Y de números reales y,
donde el número y es único para cada valor especifico de x.
Definición: Una función es una relación en la cual no existen dos o más parejas
distintas con la misma primera componente; o lo que es lo mismo:
f es una función ⇔ f es una relación y
( ) ( ) ( )( )zyfzxfyxzyx =→∈∧∈∀ ,,,, .
Por ejemplo, ( ) ( ) ( ) ( ){ }3,4,1,3,2,2,2,1=f es una función.
Su dominio es ( ) { }4,3,2,1=fD y su recorrido es ( ) { }3,2,1=fR .
La relación ( ) ( ) ( ){ }baR ,,2,2,1,2= no es una función ya que las parejas
ordenadas ( )1,2 y ( )2,2 poseen la misma primera componente.
Definición: Una función de A en B es una función f tal que
( ) AfD = y
( ) BfR ⊆
En otras palabras una función de A en B es una relación f de A en B tal
que todo elemento de A está relacionado (por f ) con un único
elemento de B.
Debido a este hecho, es costumbre notar por )(xf a este único elemento
de B con el cual x se esta relacionado mediante ( )xfy = en vez de
( ) fyx ∈, . Se dice que y (o que ( )xf ) es la imagen por f de x, o el
valor tomado por f en x.
Una función es simplemente un conjunto de parejas ordenadas tal que
todas sus primeras componentes son distintas. En cambio, una función
62
de A en B (o una aplicación de A en B), es una tripla ordenada ( )BAf ,,
en la cual ( )fDA = y ( )fRB ⊇ . Por este motivo es costumbre notarla
BABAf f→→ ,: , ó ,: BAf a , con ( )xfx → .
Al conjunto B se reconoce como, el conjunto de llegada de f o el
condominio de f .
Ejemplos de funciones:
1) Sean { }edcbaA ,,,,= y { }zyxB ,,= . A la función de A en B que posee como
diagrama sagital
Se le llama una función constante, debido a que toma el mismo valor en todos
los elementos de A.
Generalizando: Una función BAf →: con φ≠B se llama una función
constante, si existe Bb ∈0 que 0)( bxf = cualquiera sea x en A.
Nótese que aun cuando todos los elementos de A tienen la misma imagen, no
se esta contradiciendo la definición de función ya que cada elemento de A
sigue estando relacionado con un único elemento de B. Lo que la definición
prohíbe es que algún elemento de A este relacionado con dos o más de B.
63
2)
Observamos que cada elemento de A se le hace corresponder precisamente él
mismo. Por eso se le acostumbra llamar la función idéntica de A o la
identidad de A y se le representa pos IA. Generalizando: Si A es un conjunto
cualesquiera, se llama identidad de A a la función de AAI A →: tal que para
todo elemento de x de A, se tiene que .)( xxI A =
Simbolismo de una función:
Se puede determinar cuando se está hablando de una función, si se tienen en cuenta
los siguientes simbolismos:
)(xfy = , simboliza que una función cualquiera f a x se le llama variable
independiente, a y se le llama variable dependiente.
)(xfxoyx →→
Características de una función:
Se define un dominio en un conjunto específico, para la variable
independiente x, a la que denominamos dominio de la función.
Se define el conjunto de llegada de la función, llamada codominio de la
función.
64
Se define una regla, tal que a cada elemento del primer conjunto del
dominio le corresponde un elemento del codominio; de acuerdo con la
regla.
Para que la función esté bien definida es necesario que la regla cumpla las siguientes
condiciones:
Que toda x tenga una imagen, es decir que la función este definida para
todas y cada una de las x en el dominio.
Que para cada x en el dominio se tenga una sola imagen, es decir que no
haya ambigüedad respecto a la imagen de cada x, se dice que la función
debe estar unívocamente definida.
Gráfica de una función:
La representación gráfica se realiza en el sistema de coordenadas cartesianas,
rectangulares, que consiste en dos rectas perpendiculares, el eje x “horizontal de las
abscisas” y el eje y “vertical de las ordenadas”, fijando una dirección positiva y una
negativa para cada una de ellas. El punto de intersección se reconoce como el punto
0, origen de las coordenadas, para cada punto en el plano se asigna un punto
determinado por la pareja (x, y) que indica la distancia con sentido del punto a los
ejes de las ordenadas y abscisas respectivamente.
Definición: Si f es una función, entonces la gráfica de f es el conjunto de
todos los puntos (x, y) del plano R2 para los cuales (x, y) es un
par ordenado de f.
65
Donde D es uno de los puntos (x, y) del plano R2 para los cuales
(x, y) es un par ordenado de f )(xf
Tablas de una función:
Cuando se utilizan tablas como representación de las funciones está tiene dos
columnas (o dos filas), en la que se determina una de ellas para los valores del
dominio y la otra para los valores correspondientes al conjunto de llegada. Cuando el
dominio de la función corresponde a un conjunto finito de pocos elementos la tabla
contiene todas las relaciones, si por el contrario el dominio es un conjunto infinito
solo se puede hacer una representación parcial, escogiendo valores representativos
para la función.
Ejemplo: Dado un x arbitrario del subconjunto Z, 10< x <20, al dividirlo por 7 tiene
asociado un resto y.
x 11 12 13 14 15 16 17 18 19
y 4 5 6 0 1 2 3 4 5
Las tablas permiten visualizar regularidades como diferencias constantes, diferencias
crecientes y productos constantes.
66
Clasificación de una función:
Función lineal:
Su nombre se debe al hecho de que su representación gráfica en el plano
cartesiano es una línea recta que pasa por el origen.
La función lineal se define por la expresión algebraica a ( ) mxxfy == con
0≠m y constante, el dominio de f es el conjunto de los números reales, esta
función es de primer grado en x.
La expresión algebraica ( ) bmxxfy +== que nos sirve para definir las
familias de ecuaciones lineales en dos indeterminadas x, y.
Para el caso especifico de f(x)= x se denomina función identidad. La cual en su
gráfica es una línea recta que biseca los cuadrantes primero y tercero.
Función polinomial
Aquellas funciones que sean definidas de la forma:
012
21
1 ...)( axaxaxaxaxf nn
nn
nn +++++= −
−−
−
Donde naaa ,...,, 10 son reales )0( ≠na y n es un número entero no negativo son
reconocidas como funciones polinomiales de grado n, de esta manera si el grado
polinomial de la función es 2, entonces es una función cuadrática; si es de grado
3, entonces es una función cúbica.
67
Función cuadrática
Sean cyba, números reales cualesquiera. Entonces si 0≠a , decimos que la
función definida por ( ) cbxaxxf ++= 2 es una función cuadrática. Además, el
conjunto que define la función cuadrática es:
( ) ( ){ }0,tan,,,,/, 2 ≠ℜ∈++==ℜ∈= atesconscbacbxaxxfyxyxC donde
el dominio de la función es el conjunto de todos los números reales ℜ=fD .
En la definición de función cuadrática, a representa el coeficiente del término
de segundo grado, b el coeficiente del término de primer grado y c el término
independiente.
Función cúbica
68
Sean cyba, números reales cualesquiera. Entonces si 0≠a , decimos que la
función definida por ( ) ( ) khxaxf +−= 3 .
Función racional
Cuando se puede expresar una función como el cociente de dos funciones
polinomiales, se denomina función racional.
Función algebraica
Son aquellas expresiones formadas por un número finito de operaciones
algebraicas sobre la función identidad y una función constante. Donde se
incluyen operaciones tales como (la adición, sustracción, multiplicación,
división, potenciación y radicación)
A su vez la anterior clasificación de las funciones puede ser de dos clases pares o
impares;
Función par
Una función f es una función par si para cada x del dominio de f,
)()( xfxf =− .
69
Función impar
Una función f es una función impar si para cada x del dominio de f,
)()( xfxf −=− .
ASPECTOS A RESALTAR
Una función matemática intuitivamente corresponde a unas reglas que regulan
la dependencia entre cantidades u objetos variables.
Sea un conjunto D dado, se dice que la variable x varía en el dominio D para
expresar que x puede ser cualquier elemento de D. Un dominio es un conjunto
que puede ser numérico o no, finito o infinito.
Para cada valor de una variable x, se asocia un valor determinado de otra
variable y, se dice que y es función de x y se reconoce como: )(xfy = .
Para cualquier función está se conforma de: un dominio, un conjunto de
llegada, una regla tal que cada elemento del dominio le hace corresponder un
elemento único del conjunto de llegada.
70
2. ACTIVIDADES
2.1 DESCRIPCIÓN Y GENERALIDADES
La implementación de los estándares básicos de matemáticas en las instituciones
educativas del país debe generar espacios de reflexión, debate, análisis, confrontación
entre otros; a partir de los cuales se introducen formas nuevas de comprender,
implementar, evaluar y transformar el currículo de matemáticas en nuestro país, en
tanto que es un conjunto de formulaciones que tienen como meta normalizar el
currículo, pero a la vez, dejando espacios para la autonomía curricular de las
instituciones, exigiendo el diseño de planes de estudio acordes con las necesidades
institucionales, pero con pertinencia en el marco nacional propuesto por los
estándares.
Al resaltar elementos decisivos referentes a la intención pedagógica de los estándares
se encuentra, por ejemplo lo relativo al contexto como elemento fundamental para
recrear los conceptos matemáticos en el aula. Desde los Lineamientos curriculares se
propone que los contextos deben ser entendidos como espacios creados en el seno del
aula de clase cuyo objetivo es permitir el desarrollo de la actividad matemática en los
estudiantes y una manera de generar tales contextos es a través de las situaciones
problema, el presente módulo se fundamentara didácticamente a partir del aprendizaje
por medio de situaciones problema basadas en la teoría de las situaciones didácticas
de Brousseau.
En un primer momento se realizó la clasificación de las actividades que se creen
pertinentes en sus contenidos matemáticos, basados en los estándares básicos de
calidad para la educación en el área de matemáticas. Estos tienen en cuenta tres
procesos generales que deben estar presentes en la actividad matemática:
Planteamiento y resolución de problemas, razonamiento matemático (formulación,
argumentación, demostración) y la comunicación matemática (consolidación de la
manera de pensar (coherente, clara y precisa)), éstos se encuentran organizados en
cinco tipos de pensamiento matemático
71
1) Pensamiento numérico y sistemas numéricos.
2) Pensamiento espacial y sistemas geométricos.
3) Pensamiento métrico y sistemas de medidas.
4) Pensamiento aleatorio y sistemas de datos.
5) Pensamiento variacional y sistemas algebraicos y analíticos.
De éstos se seleccionaron aquellos que se considera potencian el desarrollo del
pensamiento variacional y sistemas algebraicos y analíticos.
Después de seleccionar las actividades, se realizó una elección de éstas a partir de su
estructura, determinando su coherencia, de tal manera que se pueda presentar como
una situación problema, como aquella que cumple las siguientes condiciones:
Se convierte para el estudiante en formas de conocer.
Contiene implícitos los conceptos que queremos que el estudiante aprenda.
Contiene preguntas que no son demasiado abiertas.
Permite utilizar conocimientos anteriores.
Representa un verdadero problema para el estudiante, pero a la vez, es
accesible a él.
De esta manera, se da un sustento matemático a la propuesta y se organizan las
actividades por niveles temáticos dando el sustento matemático correspondiente a los
contenidos y procedimientos asociados a cada tema, a partir de los fundamentos
teóricos respectivos, así mismo talleres que cumplían con un mismo objetivo se
unieron y se complementaron.
72
Finalmente al tener un sustento didáctico definido respecto a la situaciones problema
y un sustento matemático, se encuentran las actividades, generando una propuesta
para el trabajo escolar que permita brindar a los docentes un esquema que pueda ser
empleado en el aula de clase para el desarrollo del pensamiento variacional en
estudiantes de básica secundaria, un módulo que presente diferentes tipos de
actividades que desarrollen el pensamiento variacional, sistemas algebraicos y
analíticos por medio de situaciones problema. Es así que surgen las actividades que se
proponen a continuación, las cuales se encuentran enmarcadas por los estándares
básicos de calidad para la educación en el área de matemáticas, manejando los temas
de proporcionalidad, variable, generalización, algebra y funciones, donde en cada una
de ellas se presenta el(los) estándar(es) que le corresponde(n), la temática manejada y
el objetivo que pretende cumplir, buscando con cada una de ellas que el estudiante
desarrolle estrategias de resolución de problemas, generalice por inducción sobre
casos particulares, plantee conjeturas y las compruebe, organice información y realice
la traducción correspondiente de las diferentes maneras en que ésta se presenta.
73
2.2 TALLERES
TALLER # 1
Estándar (Sexto a séptimo grado):
Describir y representar situaciones de variación relacionando
diferentes representaciones (diagramas, expresiones verbales
generalizadas y tablas).
Identificar las características de las diversas gráficas cartesianas
(de puntos, continuas, formadas por segmentos, etc.) en relación
con la situación que representan.
Temática: Razones y proporciones.
Objetivo: Reconocer que la igualdad de dos razones conduce al planteamiento
de proporción entre los datos de dos variables.
Julio y Marisol son dos grandes atletas que vienen preparándose para la media
maratón de Bogotá, ellos entrenan diariamente. En la primera semana que
entrenaron juntos, se notaron grandes avances en el rendimiento de cada uno,
ya que han incrementado su recorrido.
Los recorridos realizados durante la semana fueron:
El lunes Marisol recorrió 1 km y Julio recorrió 2 km.
M J
0km 1km 2km 3km 4km 5km 6km 7km 8km 9km 10km 11km 12km 13km 14km 15km 16km 17km 18km
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S
74
El martes Marisol recorrió 2 km y Julio 4 km. Represéntalo
gráficamente.
0km 1km 2km 3km 4km 5km 6km 7km 8km 9km 10km 11km 12km 13km 14km 15km 16km 17km 18km
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S
El miércoles Marisol recorrió 6 km y Julio recorrió 8 km. Represéntalo
gráficamente.
0km 1km 2km 3km 4km 5km 6km 7km 8km 9km 10km 11km 12km 13km 14km 15km 16km 17km 18km
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S
El jueves Marisol recorrió 12 km y Julio recorrió 16 km. Represéntalo
gráficamente.
0km 1km 2km 3km 4km 5km 6km 7km 8km 9km 10km 11km 12km 13km 14km 15km 16km 17km 18km
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S Registra los recorridos realizados por Marisol y Julio en la siguiente tabla:
LUNES MARTES MIÉRCOLES JUEVES MARISOL
JULIO A partir de los datos obtenidos en los recorridos realizados por Marisol y
Julio, determina en forma escrita la relación entre los recorridos de:
a) El día lunes de Marisol y Julio.
b) El día martes de Marisol y Julio.
c) El día miércoles de Marisol y Julio.
75
d) El día jueves de Marisol y Julio.
e) Los días lunes y martes de Marisol.
f) Los días lunes y martes de Julio.
g) Los días miércoles y jueves de Marisol.
h) Los recorridos de los días miércoles y jueves de Julio.
A partir de tus respuestas completa:
JULIO MARISOL RELACION RAZÓN
LUNES
2 km
1 km
Julio recorrió el doble de lo que recorrió
Marisol
212=
MARTES
MIÉRCOLES
JUEVES
De las relaciones que has encontrado ¿Puedes decir si hay algunas razones
equivalentes?, escríbelas en la siguiente tabla:
76
RELACIÓN RAZÓN RELACIÓN RAZÓN PROPORCIÓN
Julio recorrió el
doble de lo que
recorrió Marisol
21
77
TALLER # 2
Estándar (Sexto a séptimo grado):
Describir y representar situaciones de variación relacionando
diferentes representaciones (diagramas, expresiones verbales
generalizadas y tablas).
Identificar las características de las diversas gráficas cartesianas
(de puntos, continuas, formadas por segmentos, etc.) en relación
con la situación que representan.
Temática: Razones y proporciones.
Objetivo: Reconocer que la igualdad de dos razones conduce al planteamiento
de proporción entre los datos de dos variables.
Materiales: metro de costura, hojas de papel en blanco, lápiz y toda su
disposición.
1) Conforma grupos de 3 estudiantes donde se tomen las siguientes
medidas y recopila los datos en la siguiente tabla.
Tu estatura (E)
Medida de los pies hasta el ombligo(O)
Medida del ombligo a la cima del cráneo (S)
Medida de la muñeca hasta el codo (I)
Medida de la cintura (C)
Medida de la cabeza (Ca)
78
Medida de un hombro al otro (P)
Medida desde los dedos de una mano a los dedos de la otra
mano con los brazos extendidos a los lados(B)
Nombre del
estudiante
E
O
S
I
C
Ca
P
B
2) Establece las siguientes relaciones a partir de los datos de la tabla
anterior.
Nombre del
estudiante
E/O E/S S/O C/I I/ Ca C/Ca E/B P/Ca
3) Escribe las relaciones que encontraste en la tabla anterior y describe el
porque crees que esta relación se tiene.
79
4) ¿Existe alguna relación entre los datos obtenidos en la última tabla y la
de tus compañeros?
5) ¿Existe alguna relación similar a las anteriores con las medidas de la
cara?
PROPORCIONES IDEALES A VARIAS EDADES
80
TALLER # 3
Estándar (Sexto a séptimo grado):
Describir y representar situaciones de variación relacionando
diferentes representaciones (diagramas, expresiones verbales
generalizadas y tablas).
Identificar las características de las diversas gráficas cartesianas
(de puntos, continuas, formadas por segmentos, etc.) en relación
con la situación que representan.
Reconocer el conjunto de valores de una variable en situaciones de
cambio (variación).
Temática: Razones y proporciones.
Objetivo: Utilizar un sistema de coordenadas cartesianas para representar
dos magnitudes relacionadas.
En una competencia de perros que se hizo entre Lucas y Mateo, dos
labradores, hemos observado lo siguiente (en intervalos de tiempos iguales):
81
En la situación 1, Mateo avanza hasta el segmento OB que mide _______ y
Lucas avanza hasta el segmento _______ que mide 1 unidad, entonces
Mateo ha recorrido _______ por cada unidad que recorre Lucas.
En la situación 2, Mateo avanza hasta el segmento_______ que mide
______y Lucas avanza hasta el segmento _____ que mide _____, entonces
el Mateo ha recorrido 4 unidades mientras que Lucas ha recorrido
________.
Escribe conclusiones similares para las demás situaciones y responda las
siguientes preguntas:
En la situación 3, ¿Hasta donde avanza Mateo y hasta donde avanza el
Lucas?
En la situación 3, ¿Qué segmento le lleva de ventaja Mateo a Lucas y
cuanto mide este segmento?
82
En la situación 4, ¿Hasta donde avanza Mateo? ¿Cuánto mide este
segmento?
En la situación 4, ¿Hasta donde avanza Lucas? ¿Cuánto mide este
segmento?
En la situación 4, ¿Qué relación se puede establecer entre la medida de
los segmentos recorridos por Mateo y Lucas?
¿Cuánto avanza (segmento y medida) de una situación a la otra?
Completa el cuadro que aparece a continuación, en las casillas de Mateo y Lucas
escriba el segmento y la longitud recorrida, según corresponda el caso (siendo
u: unidades):
MATEO LUCAS RAZÓN 1 RAZÓN 2
Situación
1
OB
OB = 2 u
OA
OA = 1 u uu
OAOB
12
= uu
OBOA
21
=
Situación
2
Situación
3
Situación
4
Situación
5
OJ = 10 u
83
Situación
6
uu
OFOL
612
=
Situación
7
OG = 7 u
84
TALLER # 4
Estándar (Octavo a noveno grado):
Describir y representar situaciones de variación relacionando
diferentes representaciones (diagramas, expresiones verbales
generalizadas y tablas).
Identificar las características de las diversas gráficas cartesianas
(de puntos, continuas, formadas por segmentos, etc.) en relación
con la situación que representan.
Temática: Expresiones algebraicas.
Objetivo: Analiza información suministrada en tabla o en cualquier otra forma
para interpretar relaciones cuantitativas.
La empresa Colombiana “Colflores” exporta
flores a diferentes países del mundo. Está
empresa fue fundada con el capital de dos
hermanos Jorge y Ricardo, cuenta con un
centro administrativo ubicado en Bogotá y
una hacienda en Funza llamada “Porvenir”
donde tienen sus cultivos de flores.
Cuando iniciaron la empresa Jorge y Ricardo aportaron cada uno cierta
cantidad de dinero. La cuarta parte de lo invertido por Jorge menos
85
$3.570.000 equivale a lo invertido por Ricardo. Si Jorge aportó a la empresa
$27.000.000.
¿Cuánto capital aportó Ricardo?
¿Con cuánto capital se fundó la empresa?
Si Ricardo decidiera aportar el doble de lo que aportó, pero teniendo en
cuenta que la empresa se funda con el mismo capital. ¿En cuánto se
reduciría el capital aportado por Jorge?
A los cuatro años de fundada la empresa se presenta el siguiente
informe: en el primer año hubo ganancias por $3.000.000, en el segundo
año por una mala inversión la empresa perdió $5.000.000, en el tercer
año tuvo una leve mejoría y ganó $2.000.000 y en el cuarto año fue un
excelente año en ventas y se ganaron $12.000.000. ¿Cuánto dinero tiene
en este momento la empresa? Representa en una recta numérica los
cambios registrados.
El terreno de la hacienda “Porvenir” ubicada en Funza, tiene de largo 750
metros y 450 metros de ancho; en una esquina se ha construido una casa de
37 metros de largo por 20 metros de ancho. La zona del cultivo debe
repartirse para producir rosas, para producir cartuchos y para producir
claveles.
¿Qué área del terreno no esta construida?
¿De cuántos m2 dispone el cultivo para cada tipo de flor?
¿Cuál de los dos perímetros es mayor, el de la casa o el del terreno?, ¿En
cuánto lo excede?
86
Para colocar el piso de la casa se invirtieron $841.380, ¿Cuánto se gastó
por m2?
Si se cerca el terreno dando 3 vueltas con alambre, ¿Cuánto alambre se
necesita?
En vista de las buenas ganancias que se han obtenido en la empresa, los dueños
de Colflores adquirieron otro terreno. Las nuevas plantaciones están ubicadas
en Funza, el terreno tiene forma rectangular y los cultivos son de igual área y
forma como se muestra en el diagrama:
La mitad del perímetro del terreno es 64 metros. Si el ancho es 26
metros, ¿Cuál es el largo del terreno?
¿Cuáles son las dimensiones de cada plantación?
¿Cuál es el área de cada plantación?
87
Si desea colocar una primera fila de ladrillos alrededor de cada
plantación. Si un ladrillo mide 25 centímetros de largo ¿Cuántos ladrillos
se necesitan para el borde de cada plantación?
Se desea embaldosinar el corredor del terreno. ¿Cuántas baldosas de
50 x 50 centímetros se necesitan?
Daniel es el contador de Colflores, debe entregar un informe solicitado por el
gerente de la empresa, sobre las ventas de los meses de Enero a Julio de este
año, para lo cual utiliza la siguiente gráfica.
05000
100001500020000250003000035000400004500050000
En Fb Mr Ab My Jn Jl Ag
Meses
vent
as Ventas (en miles decajas)
Daniel no ha terminado todavía el informe, completa la gráfica teniendo en
cuenta que:
• En el mes de Mayo se vendieron 15000 cajas más que en Marzo.
• En Junio las ventas son aumentadas a las de Enero, en 7000 cajas.
• Para el siguiente mes las cajas vendidas fueron el triple de las ventas en
Marzo, disminuidas en lo vendido en Mayo.
¿Cuál ha sido el mejor mes en la venta de flores?
¿En qué meses la venta ha sido la misma?
88
¿Qué puede decir Daniel de la venta de flores de mayo con respecto a
julio?
Para Agosto la meta es vender 38600 cajas. ¿Colflores debe vender más
cajas o menos cajas o menos que en junio? ¿Cuántas cajas más o menos
debe vender?
El gerente de mercadeo de Colflores recibió la siguiente gráfica, que contiene
los datos de las ventas de otra empresa de flores llamada “Mercaflores”, en lo
que va este año.
ENEROFEBREROMARZOABRILMAYOJUNIOJULIO
¿En qué mes se presentaron las mayores ventas? ¿En cual las más bajas?
En Febrero ¿Cuál empresa vendió más cajas de flores?
En Mayo, ¿qué empresa vendió más? ¿Cuál fue la diferencia?
Si el total de las ventas fue de 200.000 cajas. ¿Cuál de las dos empresas
han vendido más cajas de flores este año?
Sebastián, el administrador de la Hacienda “Porvenir” revisa el trabajo de sus
empleados; en la sección de empaques contabiliza el tiempo que demoran dos
89
trabajadores, Arturo y Pedro en empacar las flores. Sebastián registra los
datos en las siguientes tablas.
ARTURO Tiempo (minutos)
5 10 15 20 25
Número de flores
3 6 9 12 15
PEDRO
Tiempo (minutos)
5 10 15 20 25
Número de flores
4 8 12 16 20
Teniendo en cuenta los datos en las tablas, contesta:
¿Puedes decir que cantidad de flores habrá empacado Arturo al cabo de
35 minutos?
¿Quién ha empacado más flores después de 15 minutos?
¿Cuántas flores le lleva Pedro a Arturo en 20 minutos? ¿Es la misma
cantidad que a los 10 minutos?
La jornada de trabajo comienza a las 8 a.m, para que entre Arturo y
Pedro empaquen 72 flores en una hora, ¿Cuánto tiempo puede descansar
cada uno si deben empacar la misma cantidad?
90
TALLER # 5
Estándar (Octavo a noveno grado):
Describir y representar situaciones de variación relacionando
diferentes representaciones (diagramas, expresiones verbales
generalizadas y tablas).
Reconocer el conjunto de valores de una variable en situaciones
concretas de cambio (variación)
Temática: Expresiones algebraicas
Objetivo: Reconocer que el valor de una expresión con literales varía según se
asignen valores a cada letra.
Santiago recibió de cumpleaños un juego Egipcio en el cual tiene que descifrar
ciertos códigos para poder avanzar y terminarlo satisfactoriamente.
En el primer nivel debe usar las siguientes letras y su posición para
descifrar el mensaje oculto:
91
En el segundo nivel debe terminar la estrella mágica en la que la suma de
los cuatro números alineados es siempre la misma (donde a, b, c y de son
números enteros):
En el tercer nivel debe completar las siguientes pirámides con números
enteros usando la regla que se indica en cada caso:
92
93
TALLER # 6
Estándar (Octavo a noveno grado):
Construir expresiones algebraicas equivalentes a una expresión
algebraica dada.
Usar procesos inductivos y lenguaje algebraico para verificar
conjeturas.
Temática: Iniciación al uso de literales.
Objetivo: Comprender que las matemáticas ofrecen un lenguaje para
interpretar las relaciones cuantitativas.
Camila fue a la papelería y compro siete cuadernos, tres bolígrafos y cuatro
libros.
Si c es el costo de cada cuaderno, ¿Cómo se puede expresar
algebraicamente el valor total de los cuadernos?
Si b es el costo de cada bolígrafo, ¿Cómo se puede expresar
algebraicamente el valor total de los bolígrafos?
Si l es el costo de cada libro, ¿Cómo se puede expresar algebraicamente
el valor total de los libros?
¿De que depende el valor total que Camila debe cancelar?
¿Cuál es la expresión algebraica que indica el valor total que pago
Camila?
94
Además de estos útiles, Camila fue a comprar la sudadera del colegio la cual le
costó dos veces el precio de los cuadernos. ¿Cuál es el precio de la sudadera?
Después de realizar todas sus compras, Camila se va para su casa y decide
construir una caja con láminas de madera para guardar los útiles escolares que
compro. Si las dimensiones de las láminas son las siguientes (x e y son
medidas):
¿Cuál es el perímetro de cada lámina?
¿Cuál es el área de cada lámina?
¿Cuál es el área total de la caja, si esta construida por las láminas que
tienen?
¿Cuál es el volumen de la caja?
95
TALLER # 7
Estándar (Octavo a noveno grado):
Construir expresiones algebraicas equivalentes a una expresión
algebraica dada.
Usar procesos inductivos y lenguaje algebraico para verificar
conjeturas.
Temática: Iniciación al uso de literales.
Objetivo: Comprender que las matemáticas ofrecen un lenguaje para
interpretar las relaciones cuantitativas.
Mauricio debe expresar y traducir los siguientes enunciados en forma verbal al
lenguaje simbólico para encontrar la clave que le permitirá avanzar al siguiente
nivel del juego DOOM.
96
Ayuda a Mauricio a expresar algebraicamente el área de:
______________
________________
_______________
____________________
97
Ahora ayúdalo a expresar cada oración como una expresión algebraica:
98
TALLER # 8
Estándar (Octavo a noveno grado):
Construir expresiones algebraicas equivalentes a una expresión
algebraica dada.
Usar procesos inductivos y lenguaje algebraico para verificar
conjeturas.
Temática:
Iniciación al uso de literales.
Situaciones aditivas en el álgebra.
Objetivo: Expresar y traducir enunciados dados en forma verbal y gráfica al
lenguaje simbólico.
Alberto es uno de los dueños del Club “La Fraguita” y quiere construir una pista
de baile con 3 tipos de baldosa diferentes, cuyas dimensiones se presentan en
el siguiente gráfico. Siendo m y n medidas de los lados.
99
1) El área de la baldosa 1 es:
2) El área de la baldosa 2 es:
3) El área de la baldosa 3 es:
Un arquitecto le presentó dos modelos que se pueden realizar con una
distribución diferente de las baldosas.
Modelo 1
El área del modeló 1 es:
Modelo 2
100
EL área del modeló 2 es:
Si se unen los dos modelos, el área resultante es:
El arquitecto se ha dado cuenta que las áreas de los modelos son diferentes;
¿En cuánto difieren las áreas de los dos modelos?
Liliana la socia de Alberto ha conseguido otro tipo de material para la pista de
baile, si está tiene como área 429 2 ++= xyxA , y el arquitecto determina que
se debe construir otro modelo que mida el triple del área de esté, para poder
cubrir toda la pista de baile. ¿Qué área tiene la pista de baile? Dibuja algunas
de las posibilidades que tiene el arquitecto, para realizar la distribución de los
materiales.
Modelo 3
A Liliana se le ocurrió entapetar y colocar guarda escobas alrededor de la
pared de la zona bohemia, para ello es necesario determinar cuanto tapete y
metros de baldosa se deben comprar: (si x representa una medida de longitud)
429 2 ++= xyxA
101
Determina la opción que el arquitecto debe tomar, para poder remodelar la
zona bohemia.
a)
xx
x159comprar debe se que Baldosa
1012comprar debe se que Tapete2 +=
+=
b)
1012comprar debe se que Baldosa159comprar debe se que Tapete 2
+=+=x
xx
c)
56comprar debe se que Baldosa159comprar debe se que Tapete 2
+=+=
xxx
d)
xxx
159comprar debe se que Baldosa56comprar debe se que Tapete
2 +=
+=
El Club “La Fraguita” está conformado por: la zona bohemia, la pista de baile y
las siguientes zonas.
102
(Donde x, k, m, r, q, s, y, n son medidas de longitud)
El área del Club “La fraguita” es: En la barra se encuentran diferentes tipos de bebida dependiendo la zona: “BARRA”
A es la zona de cerveza C es la zona de tragos extranjeros B es la zona de vino caliente D es la zona de cócteles
El área de la zona A y la zona B es:
El área de la zona C y la zona D es:
103
TALLER # 9
Estándar (Octavo a noveno grado):
Usar procesos inductivos y lenguaje algebraico para verificar
conjeturas.
Temática: Generalización
Objetivo: Comprender que las matemáticas ofrecen un lenguaje para
interpretar las relaciones cuantitativas, expresando enunciados
dados de forma verbal a un lenguaje simbólico.
El lote de la finca de Don Pablo es de forma rectangular y está dividida en dos
partes. La primera parte es de forma cuadrada, donde se encuentra la casa de
la finca. En la segunda parte del lote, se encuentra la piscina y los parasoles,
está es de forma rectangular y el lado que no comparte con la casa mide
3 metros.
1) Si el área total es de 15 metros cuadrados.
El área de la parte donde se encuentra la casa es:
El área de la parte donde se encuentra la piscina es:
2) Con la ayuda de la calculadora completa la siguiente tabla teniendo en
cuenta el valor que se le asigna al área total de la finca.
104
Área
total
Medida del lado donde se encuentra la
casa
Medida del lado más largo de la parte de
la piscina,
Área del terreno donde se encuentra la
casa
Área del terreno donde se encuentra
la piscina 221m 227m 239m 254m
3)
Describe la forma de cálculo de los datos encontrados en la tabla.
¿Cuáles de esas cantidades son fijas y cuales varían?
4)
Escribe una expresión que determine el lado de la parte de la
casa.
Escribe una expresión que determine el lado más largo de la
parte de la piscina.
5) Don Pablo contrató al arquitecto López para remodelar su casa, él debe
diseñar el plano de la casa en el cual el área de la cocina debe ser de
forma cuadrada y el área del baño, que se encuentra enseguida de la
cocina, debe ser un área fija de 2 metros cuadrados. Si el lado del lote
donde ira la cocina y el baño mide 3 metros, haciendo uso de la
calculadora, ayuda al arquitecto a completar la siguiente tabla y a
encontrar las posibles medidas del lado de la cocina.
105
Medidas de los lados del baño
Medida del lado de la cocina
Área del baño
Área de la cocina
22m
22m
22m
6)
Describe la forma como hallaste cada uno de los datos de la
tabla.
¿Cuáles de esas cantidades son fijas y cuales varían?
7)
Escribe una expresión que determine el lado de la parte del
baño.
Escribe una expresión que determine el lado de la parte de la
cocina.
106
TALLER # 10
Estándar (Octavo a noveno grado):
Construir expresiones algebraicas equivalentes a una expresión
algebraica dada.
Usar procesos inductivos y lenguaje algebraico para verificar
conjeturas.
Temática: Ecuaciones
Objetivo: Comprender el concepto de ecuación aditiva para aplicarla cuando se
requiera.
Se ha celebrado el día del niño en el colegio Burritos Alegres, para el grado
séptimo el comité organizador dio 328 dulces que son repartidos entre cierto
número de niños, a cada uno le corresponden 5 dulces y sobran 13 dulces. ¿Cuál
es el número de estudiantes de grado séptimo?
Realiza la siguiente tabla:
DULCES
DULCES
REPARTIDOS
POR NIÑO
DULCES
SOBRANTES
EXPRESIÓN
MATEMÁTICA
NÚMERO DE
NIÑOS
328 15 13 15 N +13=328
656 5 2
322 6 4
430 20 10
107
Para cada situación escribe una expresión matemática como la encontrada
en la tabla anterior y contesta:
Si se tienen 509 dulces para grado octavo y:
El número de niños aumenta el doble respecto a los de séptimo, y a
cada uno le corresponde la misma cantidad, sobrando cinco dulces.
¿Cuántos dulces se reparten por niño?
Si los dulces se reparten entre la tercera parte de los niños y a cada
uno le corresponden 12 dulces. ¿Cuántos dulces quedaron?
Si sobran 20 dulces al ser repartidos 15 dulces por niño entre 20
niños. ¿Cuántos dulces habrá en total?
Si al repartir 430 dulces entre los niños, a cada uno le corresponde 20
dulces y sobran 10, ¿Cuántos niños hay?
108
TALLER # 11
Estándar (Octavo a noveno grado):
Construir expresiones algebraicas equivalentes a una expresión
algebraica dada.
Usar procesos inductivos y lenguaje algebraico para verificar
conjeturas.
Temática: Ecuaciones
Objetivo: Comprender el concepto de ecuación aditiva para aplicarla cuando se
requiera.
Tatiana la esposa de Carlos decide hacer una torta para celebrar el cumpleaños
de su hijo Alberto, pero solamente tiene en la alacena 15 huevos, 800 gramos
de azúcar y 500 gramos de harina; al revisar la receta determinó los
ingredientes faltantes y se los encargo a su esposo. Ayuda a Tatiana a
encontrar la cantidad exacta que necesita de cada ingrediente.
La cantidad de harina en gramos es el doble de la cantidad de azúcar,
agregándole los 54 de la harina que hay en la alacena.
Los huevos utilizados son 57 de los que hay en la alacena.
El azúcar corresponde a los 32 de la diferencia entre la cantidad de
harina y el azúcar que hay en la alacena.
109
El número de cucharaditas de leche corresponde a la quinta parte de los
huevos, cuadruplicando está cantidad.
Si el costo de todos los ingredientes para la torta es de $15000 y se paga en
cuatro días: el primer día la tercera parte, el segundo día la quinta parte de lo
que falto por pagar, el tercer día los tres cuartos del resto y en el cuarto día
el excedente.
110
TALLER # 12
Estándar (Octavo a noveno grado):
Construir expresiones algebraicas equivalentes a una expresión
algebraica dada.
Usar procesos inductivos y lenguaje algebraico para verificar
conjeturas.
Temática: Ecuaciones
Objetivo: Comprender el concepto de ecuación aditiva para aplicarla cuando se
requiera.
Pablo necesita contestar algunas preguntas sobre el peso de algunos objetos y
necesitará la ayuda de una balanza.
Si Pablo observa que los pesos de cada lado son iguales.
111
Determina la igualdad numérica que expresa la situación de la balanza.
OBJETO PESO
Pelotas
Botellas
Libros
Ladrillos
Tabletas
Bultos de cemento
112
Dibuja la situación.
Pablo debe buscar un peso que logre equilibrar la balanza.
Pablo debe calcular el peso de cada botella con respecto al peso de los vasos.
(Todas las botellas pesan igual)
113
TALLER # 13
Estándar (Octavo a noveno grado):
Construir expresiones algebraicas equivalentes a una expresión
algebraica dada.
Usar procesos inductivos y lenguaje algebraico para verificar
conjeturas.
Temática: Ecuaciones
Objetivo: Comprender el concepto de ecuación aditiva para aplicarla cuando se
requiera.
El día viernes, Juan, el padre de Camilo le compro a su hijo dos camisetas del
mismo precio. Además, le dio $5000 a Camilo para una salida al parque con sus
amigos. En total gastó $17800.
El sábado, Camilo y sus amigos fueron a jugar fútbol al parque. Después de un
rato, Camilo decidió invitar a sus amigos a comer helado. Ellos pidieron cono, a
excepción de tres personas que quisieron paleta. Camilo pago con un billete de
$5000 y le devolvieron $1700. Cada cono costo $450 y cada paleta $500.
114
En la tarde, se fueron todos a jugar maquinitas. Allí pagaron $4800. Como
Camilo solo tenía lo que le había sobrado de los helados, Alejandro y Cristian
pagaron lo que faltaba aportando cada uno la misma cantidad de dinero.
La edad de Juan es cuatro veces más que la edad de Camilo, si la suma de las
dos edades es 35 años.
115
TALLER # 14
Estándar (Octavo a noveno grado):
Construir expresiones algebraicas equivalentes a una expresión
algebraica dada.
Usar procesos inductivos y lenguaje algebraico para verificar
conjeturas.
Temática: Adicción y multiplicación de polinomios.
Objetivo: Comprender el algoritmo que se sigue para sumar y multiplicar
expresiones algebraicas.
Para asistir a un concierto de Rock, a cada uno de los estudiantes del colegio le
dieron una boleta, la cual tenia escrita una clave secreta. Al llegar al concierto
se hizo un concurso para ganarse un puesto en la primera fila. Los ganadores
fueron: Ana, José, Fredy, Lucy, Andrés, David, Pilar, Jenny, Laura y Miguel.
La idea del concurso era formar parejas “hombre-mujer” de tal forma que al
multiplicar sus claves secretas diera como resultado una de las siguientes
opciones:
22 622016 yyxxyx +−−+
22 6242016 yyxxyx +−+−
22 308030 baba −−
22 303230 baba −+
22 6682016 yyxxyx +−+−
116
Organiza las parejas con ayuda de las boletas de cada uno de los ganadores y
escribe con quien tuvo que entrar cada niña al concierto.
Ana con _____________________
Pilar con _____________________
Jenny con ____________________
Lucy con ____________________
Laura con ____________________
117
118
TALLER # 15
Estándar (Octavo a noveno grado):
Construir expresiones algebraicas equivalentes a una expresión
algebraica dada.
Usar procesos inductivos y lenguaje algebraico para verificar
conjeturas.
Temática: Factorizacion de trinomios de la forma cbxx ++2
Objetivo: Comprender el proceso para factorizar un trinomio de la forma
cbxx ++2 .
Carlos Camargo quiere obsequiar a sus hijos algo con el dinero que recibió de la
prima navideña y por esto desea realizar los cálculos pertinentes para
determinar sus gastos.
Lorena su hija quiere empapelar las paredes de su cuarto usando el siguiente
papel tapiz.
119
El área de la pared que quiere tapizar Lorena es:
Estando la pared tapizada. ¿Cuál es la medida de cada lado?
Expresa de dos formas distintas el área de la pared. Halla una
relación entre ellas.
Santiago quiere una caja para guardar todos sus juguetes, puesto que ya tiene
muchas cajas y quiere guardarlas en una sola.
120
¿Cuál es el volumen de la caja de juguetes que quiere Santiago?
Expresa de dos formas distintas el volumen de la caja. Halla una
relación entre ellas.
121
TALLER # 16
Estándar (Octavo a noveno grado):
Construir expresiones algebraicas equivalentes a una expresión
algebraica dada.
Usar procesos inductivos y lenguaje algebraico para verificar
conjeturas.
Temática: Adicción y multiplicación de polinomios.
Objetivo: Comprender el algoritmo que se sigue para sumar y multiplicar
expresiones algebraicas.
122
¿Cuál es el área de la baldosa sombreada?
b
a
1
Don José dijo que el área de la siguiente baldosa es 3x2y y que uno de sus lados mide xy ¿Puedes dar el otro lado de la figura?, di cuál es.
xy
?
2
Busca el término que hace falta en la siguiente multiplicación.
( ) 2173 aa −=− 3
Al preguntarle a Leonor cuanto es el producto de 8a2b y 6ab, contesto que es 14a3b2. Sustenta si la respuesta es V o F .
Escoge cual de las siguientes expresiones se pueden reducir a una sola expresión si se suman, multiplican o dividen.
a) (a), (a) b) (a), (-3a) c) (abc), (cd) d) (-4m2), (-5mn2p)
Debes completar la siguiente tabla para avanzar.
o 3x 2xy 3 xy y 2xy2 4 12
4
5
6
Ahora piensa un número que multiplicado por 3a2bx, nos de 12a3bxy. ¿Cuál es el número?
7
8
Por inspección relaciona la columna a con la columna B. Columna A Columna B
=
baa 32
54
21.1 1
51.1 +ma
( )( )aa m.2 ba5
52.2
=
maa
53
31.3 1.3 +ma
Completa los términos que hacen falta en las siguientes multiplicaciones. ( )( )( )( )( )
( )( ) ??214
4?2
21??
11
?4351
51
32?
2?2?
bababa
xxxx
baaaaxx
nn
n
bb
=−
−=
−
=
−=−
++
+
++
Di si es posible reducir las siguientes expresiones.
a) =
− 5243
61
53 byayx
b) ( )( ) =− +++ 112 32 mnmn yxyx
9
10
123
TALLER # 17
Estándar (Octavo a noveno grado):
Identificar relaciones entre propiedades de las gráficas y
propiedades de las ecuaciones algebraicas.
Modelar situaciones de variación con funciones polinómicas.
Temática: Funciones lineales y gráfica de una función lineal.
Objetivo: Representar funciones de la forma bmxy += e interpretar cada una
de las variables y sus elementos.
Si un camión tiene, una velocidad constante, realiza un recorrido como el
descrito en el siguiente cuadro, ¿qué distancia recorre en 3 horas, en cuatro,
etc.?
Tiempo (Horas)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Distancia(Km)
60 120 180 240 360 420 540
Aquí se relacionan dos cantidades, las cuales una depende de la otra; ¿De qué
forma?, revisa los datos anteriores en el siguiente gráfico.
124
¿Cómo varía el tiempo con relación a la distancia?
¿Qué significa que se mueve con velocidad constante?
¿Cuál era ésta velocidad?
¿Cómo varía la distancia con respecto a cada tiempo?
¿Cuál sería la distancia que recorre a las 5 horas, a las 8 horas, las 10
horas, las 11 horas?
Analiza las siguientes gráficas y contesta las anteriores preguntas, de acuerdo
a las magnitudes en cada una de las situaciones planteadas y completa los
datos.
En un almacén ofrecen cuadernos de $ 500
125
El número de trabajadores de una fábrica y la cantidad de días que
se demoran en terminar una obra.
126
TALLER # 18
Estándar (Octavo a noveno grado):
Identificar relaciones entre propiedades de las gráficas y
propiedades de las ecuaciones algebraicas.
Modelar situaciones de variación con funciones polinómicas.
Temática: Funciones lineales y gráfica de una función lineal.
Objetivo: Representar funciones de la forma bmxy += e interpretar cada una
de las variables y sus elementos.
Como es bien sabido, el país afronta una de las mayores crisis económicas de su
historia. Una de las estrategias diseñadas por el presidente Álvaro Uribe para
activar e impulsar el turismo colombiano fue la creación “Vive Colombia Viaja
por Ella”, que consiste en una serie de caravanas que se desplaza a los sitios de
interés nacional: Costa Atlántica, costa pacifica, sur del país entre otros
lugares.
Con esto se busca que el pueblo colombiano transite a través de las principales
carreteras del país en conjunto, la colaboración y vigilancia de las fuerzas
militares.
El programa ha tenido tanto éxito que el turismo mejoro en un 80% durante las
festividades de la semana santa.
127
Una de las caravanas que se dirigían al sur del país, iba Pablo con su familia en
un pequeño automóvil. Habían partido desde la ciudad de Bogotá a las 8:00 a.m.
con una velocidad constante. Dos horas mas tarde hacen arribo a una pequeña
ciudad y se dan cuenta que han recorrido 120km. Continuaron su trayecto,
llegando al sitio destino a las 4:00 p.m. ¿qué distancia recorrió Pablo desde la
ciudad de Bogotá?
Más tarde venían Ramiro hermano de Pablo, el cual realizó un registro de las
distancias recorridas, pero cada 10 min. Por espacio de una hora ¿cómo haría el
registro?
Si su preocupación es hallar la distancia en un tiempo cualquiera ¿que
sugerencias le harías?. Cuando la caravana partió de Bogotá hacia el sur del
país, no toda la familia siguió a Pablo y a Ramiro uno de sus primos prefirió
tomar la caravana que se dirigía a Cartagena y se observó que dicha caravana
presentaba el siguiente registro:
1) Elabora una tabla (distancia Vs tiempo) donde registre los datos que se
pueden abstraer del grafico.
2) ¿Qué tiempo se utilizará para recorrer una distancia de 10 km, 30 km,
50 km, 60 km y 70 km?.
128
3) ¿Cuál es la velocidad de la caravana?
4) Si deseamos conocer la distancia en un tiempo cualquiera, ¿cómo lo
haríamos? Si la velocidad se reduce a la mitad, ¿cómo se ve alterada la
gráfica?
5) Si la velocidad se duplica ¿cómo varía la gráfica?
129
TALLER # 19
Estándar (Octavo a noveno grado):
Identificar relaciones entre propiedades de las gráficas y
propiedades de las ecuaciones algebraicas.
Modelar situaciones de variación con funciones polinómicas.
Temática: Función cuadrática.
Objetivo: Reconocer cuando una función es cuadrática y como se representa
gráficamente.
Las inquietudes de Juan Manuel en la caravana “VIVE COLOMBIA VIAJA POR
ELLA”
Juan Manuel uno de los primos de Pablo y Ramiro, llevo a cabo las mediciones
de la velocidad del automóvil de su padre durante los cinco primeros segundos
de recorrido cuando salían de la ciudad de Sogamoso. La intención de Juancho
cuando llegue a casa nuevamente, es poder calcular la distancia recorrida en
cada uno de los tiempos tomados.
El registro quedo consignado en la siguiente tabla:
T (seg.) V(m/s) D(m/s) 0 0 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5
130
Lo primero que hace Juan Manuel es elaborar la gráfica velocidad versus
tiempo. El graficó obtenido es como se muestra a continuación.
Esta representación corresponde a una función de la forma y = kx +b
Si el eje horizontal corresponde al tiempo (t) y el eje vertical corresponde a
la velocidad (v).
(v) es una ecuación que se puede expresar de la forma v = kt + b, donde b
puede tomar el valor 0. Como tdv = , donde (d) es la distancia, donde la
constante k representa lo que conocemos como “aceleración”. Que para el caso
en mención, esta constante.
Posteriormente Juan Manuel procede a calcularla para cada segundo y coloca
los valores en la tercera columna de la tabla.
Ahora bien, para un movimiento con aceleración constante Juan Manuel sabe
que la velocidad final está dada por:
atvv if +=
131
Y ya que con esta consideración se calcula el desplazamiento en la formula d =
vt, el obtiene el resultado dado en la siguiente expresión 2
21 attvd i += , para
nuestro caso podemos escribir como 2
21 td = .
Juancho al parecer puede responder su pregunta. Pero no contento con esto
decide elaborar una gráfica distancia versus tiempo con los resultados
obtenidos. Ayudémosle a Juancho.
Juan Manuel encontró que esta gráfica no corresponde a una recta.
132
Observa las siguientes gráficas:
133
134
3. CONCLUSIONES
Registrar las actividades propuestas durante el trabajo realizado en espacios de
práctica, fue reconocer los grandes aportes de planeación para el desarrollo
educativo de estudiantes de colegios públicos como el “Colegio Distrital
Republica de Costa Rica,” y mostrar que éste es una herramienta de trabajo
escolar que permite brindar a los docentes un esquema que puede ser aplicado en
el aula de clase para el desarrollo del pensamiento variacional en estudiantes de
básica secundaria, un módulo que presente diferentes tipos de actividades que
desarrollen el pensamiento variacional, sistemas algebraicos y analíticos por
medio de situaciones didácticas.
Los talleres propuestos por estudiantes de práctica se convirtieron en un apoyo
valioso para el proceso desarrollado, ya que éstos, facilitaron la construcción de
la propuesta final, que presenta una serie de talleres enfocados a las situaciones
problema que pretenden desarrollar temáticas relacionadas con el pensamiento
variacional.
Reconocer la situación problema como herramienta para el aprendizaje brinda la
posibilidad de relacionar los intereses curriculares, los del docente y por supuesto
los de los estudiantes. El diseño de estas situaciones permite al docente hacer
planteamientos flexibles en diversos campos, tanto de lenguaje, de comprensión
como de las temáticas matemáticas propuestas. En este caso, el pensamiento
variacional, sistemas algebraicos y analíticos, permitieron conocer el trabajo
previo a la propuesta ya que muestra la dirección de la clase, teniendo en cuenta
el qué se enseña, cómo y el quehacer de los estudiantes para lograr enfocar un
aprendizaje.
Dada la importancia que resaltan los lineamientos curriculares sobre el
pensamiento variacional sistemas algebraicos y analíticos, se escogieron aspectos
como la proporcionalidad, ecuaciones, expresiones algebraicas, variables y
135
funciones que en conjunto desarrollan este pensamiento para grados de básica
secundaria en el cual se vislumbra que uno de los conceptos centrales que se
quiere construir, y en el que todos los conceptos previos van enfocados hacia él,
es el de función, el cuál muestra el trasfondo del pensamiento, en donde se
requiere trabajar esta temática progresivamente, brindando la oportunidad de ver
que los conceptos matemáticos son una unión de ideas progresivas y que lo
aprendido en un momento determinado se utilizará en la temática siguiente.
Organizar las actividades a partir del sustento didáctico referente a las situaciones
didácticas a partir de Brousseau, hacia las situaciones problema y el sustento
matemático de proporcionalidad, expresiones algebraicas, ecuaciones y funciones
permiten obtener la clasificación de cada una de las actividades, con logros,
estándares y temáticas especificas.
Según el módulo propuesto se espera que sea una ayuda practica y organizada
referente al pensamiento desarrollado en está monografía enfocando cada una de
las actividades a un planteamiento de situación problema, utilizando aspectos
numéricos, geométricos y analíticos.
Las situaciones problema se muestran como una alternativa conceptual y
metodológica para la implementación de los estándares básicos de matemáticas.
Por supuesto que esto plantea un reto fundamental: ¿cómo lograr el diseño de
situaciones problema que sean fuente integradora de redes conceptuales, y por
tanto, que permitan el desarrollo e implementación de los estándares de una
manera armónica e integrada?. Un intento de respuesta no es simple, ni inmediato,
pero si positiva en términos de las posibilidades de desarrollo de la educación
matemática del país.
136
4. BIBLIOGRAFIA
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curriculares, Matemáticas. Bogotá (1998).
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of mathemathicas education. En: A. J. Bishop et al. (eds.),
International Handbook of Mathemathicas Education[Traducción de
Juan D. Godino] (1996).
138
5. ANEXOS
(TALLERES REALIZADOS EN LA PRÁCTICA
EDUCATIVA)
139
140
141
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