Monografia Érica Matemática 2012

UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA – UNEB

DEPARTAMENTO DE EDUCAÇÃO – CAMPUS VII

CURSO DE LICENCIATURA EM MATEMÁTICA

ÉRICA CRISTINA GUIRRA LISBOA

ERROS: ESTUDO DE ERROS COMETIDOS PELOS ALUNOS NA

RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS ALGÉBRICOS

SENHOR DO BONFIM

2012

UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA – UNEB

DEPARTAMENTO DE EDUCAÇÃO – CAMPUS VII

CURSO DE LICENCIATURA EM MATEMÁTICA




SENHOR DO BONFIM

2012




Monografia apresentada ao Departamento de

Educação da Universidade do Estado da Bahia–

UNEB/CAMPUS VII, como parte dos requisitos para

conclusão do Curso de Licenciatura em Matemática.

Prof.ª Msc. Maria Celeste Souza Castro

(Orientadora)

Senhor do Bonfim

2012

FOLHA DE APROVAÇÃO




BANCA EXAMINADORA

Prof.ª Msc (orientadora) Maria Celeste Souza de Castro_____________________

Universidade do Estado da Bahia - UNEB

Mestre em Educação Matemática/UNEB

Prof. Ivan Souza Costa_________________________________________


Mestre em Física/UFBA

Prof. Alayde Ferreira dos Santos_______________________________________


Mestre em Educação Matemática/QUEBEC-UNEB

Senhor do Bonfim, março-2012

Dedico à Edgard Lisboa (in memorian)

AGRADECIMENTOS

Agradecer às pessoas que muito contribuíram para que este trabalho fosse realizado

também é uma forma de demonstrar o quanto precisamos do outro e somos

pequenos sozinhos. Neste meu percurso tenho muitas pessoas para agradecer, que

de uma forma ou de outra me ajudaram com o seu incentivo, apoio, materiais,

críticas e sugestões valiosas, contribuindo para melhorar meus escritos ao longo da

jornada.

Primeiramente, agradeço a Deus, pela oportunidade de realizar este sonho, que em

muitos momentos me pareceu bastante difícil.

Agradeço à minha orientadora e professora Maria Celeste, que se mostrou sempre

disponível para me ajudar em minhas angústias enquanto licencianda. Não poderia

deixar de agradecer a banca examinadora nas pessoas do Professor Ivan Costa e a

Professora Alayde Ferreira e a coordenadora do curso Elizete barnosa. À minha

família, principalmente à minha mãe Ivonete e irmãos Helbert e Érick, que muito me

incentiva a seguir o caminho, estando sempre, ao meu lado.

Aos meus colegas, com os quais aprendi muito, assim como com os meus mestres,

que estavam sempre prontos para fornecer informações e ideias.

Quero também agradecer aos meus amigos que, apesar da minha ausência,

compreenderam o momento sempre com uma palavra otimista e de estímulo.

Agradeço, de forma especial, à minha colega Ademaria, amiga de todas as horas,

que esteve ao meu lado compartilhando alegrias e percalços neste percurso e

também às minhas colegas e amigas Ana Paula, Paula Jeane, Sheila, Eliene,

Etelvina, Manuela, Naat, Luciara, Deise.

Enfim, agradeço a todos que colaboraram para que pudesse subir mais este degrau.

Sorte minha ter tantas pessoas especiais em minha vida. Muito obrigada.

RESUMO

Este estudo tem como foco principal investigar quais os erros mais frequentes

cometidos pelos alunos na resolução de problemas algébricos tendo como sujeitos

investigados os alunos do 8º ano do Colégio Estadual José da Silva Marques,

localizado no município de Campo Formoso. Utilizando os conceitos de Cury (2007),

Pinto (2000), Booth (1995), entre outros, o presente estudo, de cunho qualitativo e

quantitativo, relata um estudo através de testes investigativos realizado no âmbito

escolar com os estudantes supracitados. Na análise foram identificados os erros a

partir de categorias definidas pela matriz SAEB tendo uma análise qualitativa e

quantitativa. Os resultados obtidos apontam que a maioria dos erros identificados na

análise das resoluções tem suas origens em conhecimentos aritméticos mal

formados, bem como no uso incorreto de regras e procedimentos aritméticos. Assim,

reafirma-se a importância da análise e reflexão sobre os erros dos estudantes na

resolução de problemas matemáticos.

Palavras-chave: Erros. Aritmética. Álgebra.

ABSTRACT

This study focuses primarily investigate what the most frequent errors made by

students in solving algebraic problems with students as subjects investigated the 8th

year of the State College José Marques da Silva, located in Campo Formoso. Using

the concepts of Cury (2007), Pinto (2000), Booth (1995), among others, the present

study, a qualitative and quantitative reports a study conducted by investigative tests

in schools with students above. In analyzing the errors were identified based on the

categories defined by the matrix SAEB having a qualitative and quantitative analysis.

The results obtained indicate that the majority of errors identified in the analysis of

the resolutions has its origins in malformed arithmetic skills, as well as the misuse of

rules and procedures arithmetic. Thus, we reaffirm the importance of analysis and

reflection on the mistakes of the students in solving mathematical problems.

Keywords: Errors. Arithmetic. Algebra.

LISTA DE ILUSTRAÇÕES

ILUSTRAÇÃO 1: Resposta da questão 01 dada pelo aluno Ametista. .................... 31

ILUSTRAÇÃO 2: Resposta da questão 01 dada pelo aluno Esmeralda. .................. 32

ILUSTRAÇÃO 3: Resposta da questão 01 dada pelo aluno Cristal. ......................... 32

ILUSTRAÇÃO 4: Resposta da questão 01 dada pelo aluno Rubi. ............................ 33

ILUSTRAÇÃO 5: Resposta da questão 02 dada pelo aluno Topázio. ....................... 36

ILUSTRAÇÃO 6: Resposta da questão 02 dada pelo aluno Turmalina. ................... 37

ILUSTRAÇÃO 7: Resposta da questão 04 dada pelo aluno Ágata. .......................... 39

ILUSTRAÇÃO 8: Resposta da questão 04 dada pelo aluno Água-marinha. ............. 40

ILUSTRAÇÃO 9: Resposta da questão 04 dada pelo aluno Diamante. .................... 40

ILUSTRAÇÃO 10: Resposta da questão 04 dada pelo aluno Jade........................... 41

ILUSTRAÇÃO 11: Resposta da questão 03 dada pelo aluno Ônix. .......................... 44

ILUSTRAÇÃO 12: Resposta da questão 03 dada pelo aluno Turquesa. .................. 45

ILUSTRAÇÃO 13: Resposta da questão 03 dada pelo aluno Pedra-lua. .................. 45

ILUSTRAÇÃO 14: Resposta da questão 05 dada pelo aluno Safira. ........................ 48

ILUSTRAÇÃO 15: Resposta da questão 05 dada pelo aluno Malaquita. .................. 49

ILUSTRAÇÃO 16: Resposta da questão 05 dada pelo aluno Amazonita. ................ 49

ILUSTRAÇÃO 17: Resposta da questão 05 dada pelo aluno Fluorita. ..................... 50

ILUSTRAÇÃO 18: Resposta da questão 05 dada pelo aluno Berilo. ........................ 50

LISTA DE GRÁFICOS

GRÁFICO 1: Análise quantitativa da questão 01. ......................................................................... 30

GRÁFICO 2: Análise quantitativa dos erros cometidos na resolução da questão 01. ............ 31

GRÁFICO 3: Análise quantitativa da questão 02 .......................................................................... 35

GRÁFICO 4: Análise quantitativa dos erros cometidos na resolução da questão 02 ............. 36






GRÁFICO 10: Análise quantitativa dos erros cometidos na resolução da questão 05. .......... 48

SUMÁRIO

INTRODUÇÃO .......................................................................................................... 12

CAPITULO I .............................................................................................................. 18

1. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA ....................................................................... 18

1.1. Uma breve revisão do ensino da Álgebra ................................................. 18

1.2. Resolução de problemas algébricos e os erros na construção do seu

conhecimento ..................................................................................................... 19

1.3.O erro na visão de alguns autores ................................................................ 22

CAPÍTULO II ............................................................................................................. 26

2. METODOLOGIA ............................................................................................... 26

CAPÍTULO III ............................................................................................................ 29

3.ANÁLISE DOS DADOS ...................................................................................... 29

3.1. Analisando os erros – O que pode sinalizar os erros cometidos .............. 29

3.2. Interpretando os erros encontrados na questão 01–O que sinalizam. ...... 33

3.3. Interpretando os erros encontrados na questão 02 e 04 – O que revelou o

teste investigativo. .............................................................................................. 41

3.4. Interpretando os erros cometidos na questão 03 – Revelando os erros. .. 45

3.5. Interpretando os erros encontrados na questão 05 – Um olhar sobre os

testes investigativos. ........................................................................................... 51

CONSIDERAÇÕES FINAIS ...................................................................................... 52

Referências ............................................................................................................... 57

APÊNDICE ................................................................................................................ 63

INTRODUÇÃO

O surgimento da questão de pesquisa: Estudo de erros cometidos pelos

alunos da 8º ano do Ensino Fundamental II na resolução de problemas algébricos

surgiu de inquietações vividas ao longo da trajetória escolar. O ingresso na

universidade permitiu perceber que dificuldades apresentadas em determinadas

disciplinas, eram oriundas de deficiência de conteúdos matemáticos que deveriam

ser aprendidos na Educação Básica.

Durante o Ensino Fundamental II no ensino de matemática, há os conteúdos

que envolvem problemas aritméticos contendo as quatro operações, trabalhadas

numa complexidade crescente. Inicialmente letras são usadas somente para

representar grandezas como “g” para grama, “l” para litro, “m” para metro. No ensino

Fundamental, a partir da 6ª série surgem as primeiras aproximações com a álgebra,

parte da matemática que envolve números e letras. A mesma apresenta-se como

um veículo para a resolução de certos problemas de matemática, onde desenvolve

meios para a compreensão, já que nem toda situação-problema é resolvida somente

com a aritmética. Segundo os Parâmetros Curriculares Nacionais (1998):

Embora nas séries iniciais já se possa desenvolver alguns aspectos de álgebra, é especialmente nas séries finais do ensino fundamental que as atividades algébricas serão ampliadas. Pela exploração de situações problema, o aluno reconhecerá diferentes funções da Álgebra (generalizar padrões aritméticos, estabelecer relação entre duas grandezas, modelizar, resolver problemas aritmeticamente difíceis), representará problemas por meio de equações e inequações (diferenciando parâmetros, variáveis, incógnitas, tomando contato com fórmulas), compreenderá a “sintaxe” (regras para resolução) de uma equação (BRASIL, 1998 p. 50 - 51).

É interessante lembrar que a Álgebra tem destaque significante, apesar de

ser constatada que para muitos discentes “a compreensão em Álgebra é uma fonte

de confusão” (Booth 1986, pág. 299). Essa confusão que os discentes fazem com o

uso das variáveis leva também ao não entendimento para calcular o valor numérico

de uma expressão algébrica, ou seja, a compreensão do significado da álgebra e do

conteúdo dado. O ensino de Álgebra enfatiza demais os procedimentos formais de

transformação de expressões simbólicas e resolução de equações que buscam

determinar o valor desconhecido de variáveis (FEY, 1990, 70)

No entanto percebe-se que o trabalho com o estudo algébrico não vai muito

adiante de manipulações de símbolos que na maioria das vezes não possuem

nenhum significado, sendo o seu estudo desenvolvido de forma mecânica.Como

salienta Nery (2008) que “ Fazendo uma analogia, seria acreditar que dar uma caixa

de ferramentas para um aluno já seria suficiente para transformá-lo num

mecânico.”(p.20). Esta forma de ensino tem sido limitadora, na qual o papel do

discente se restringe a memorização de regras já que não propicia relação dos

procedimentos algébricos com situações reais. De acordo com os PCN’s:

[...] para que a aprendizagem possa ser significativa é preciso que os conteúdos sejam analisados e abordados de modo a formarem uma rede de significados. Se a premissa de que compreender é apreender o significado, e de que para apreender o significado de algum objeto ou acontecimento é preciso vê-lo em suas relações com outros objetos ou acontecimentos, é possível dizer a idéia de conhecer assemelha-se a idéia de tecer uma teia. (BRASIL, 1998, p. 75)

De fato, é possível que muitas das dificuldades que os alunos encontram na

aprendizagem da Álgebra sejam resultados de um ensino pautado em

procedimentos e regras, limitando a capacidade dos discentes de compreender os

conceitos, as representações e as atividades que são importantes neste domínio do

conhecimento. Mas o que se sabe sobre como os alunos produzem significado para

a Álgebra? Como eles fazem Álgebra, ou seja, o que se sabe sobre sua “atividade

algébrica”?

Hoje já se sabe muito sobre as dificuldades que discentes e docentes

enfrentam no ensino e aprendizagem da Álgebra. O pesquisador americano James

Fey (1990) resumiu estas dificuldades assim:

Na Matemática escolar atual os estudantes empregam um tempo enorme em tarefas envolvendo variáveis, enquanto nomes literais para números desconhecidos, e com equações e inequações, que impõem condições nestes números. (pag.70)

Face à leitura de pesquisas em artigos relacionados á conteúdos algébricos e

erros, e após a percepção de que a maioria dos docentes de matemática relata uma

grande dificuldade por parte dos discentes na compreensão deste conteúdo

matemático, surgiu a necessidade de saber quais os fatores que tem contribuído

para os erros e dificuldades de compreensão em relação aos conteúdos algébricos.

É necessário conhecer avanços e retrocessos enfrentados pela disciplina

matemática ao longo de sua constituição enquanto saber matemático. Fatos como o

Movimento da Matemática Moderna, desencadeado no Brasil na metade do século

passado, que trazia a promessa de um ensino mais atraente e descomplicado, em

superação à rigorosa matemática tradicional. Porém a brusca mudança do

conteúdo/forma do livro didático de matemática naquele momento histórico trouxe,

acima de tudo, uma grande resistência de seus principais usuários, ou seja, os

professores. (PINTO, 2005). Para Piaget (1984, pág. 14), “mesmo no campo da

matemática, muito fracassos escolares se deve àquela passagem muito rápida do

qualitativo (lógica) para o quantitativo (numérico)”, referindo-se ao ensino da

Matemática Moderna.

Alguns estudos, como o de Carraher (1989), têm mostrado que as pessoas

realizam cálculos matemáticos próprios, diferentes daqueles ensinados pela escola.

Isso nos leva a pensar que as dificuldades dos discentes e os erros por eles

cometidos na matemática escolar talvez não sejam decorrentes do caráter abstrato

da disciplina, mas originário de sua descontextualização. Godet apud Pinto (1994)

afirma que:

a matemática é uma maneira de conceptualizar certos aspectos do mundo real.Como matéria escolar, não pode perder todo seu poder explicativo da realidade; portanto, não pode ser concebida como um objeto já construído, passível de ser transmitido por si mesma, fora de todo contexto.(GODET, 1994 P. 70).

Neste sentido a compreensão de que existem lacunas no ensino-aprendizagem da Álgebra e que estes podem ocorrer pela falta de compreensão dos significados, nos leva a refletir sobre os obstáculos no sentido colocado por Brosseau (1983) apud Cury (2008):

O erro não é somente o efeito da ignorância, da incerteza, do acaso, como se acredita nas teorias empiristas ou behavioristas da aprendizagem, mas o efeito de um conhecimento anterior, que tinha seu interesse, seu sucesso, mas que agora se revela falso, ou simplesmente inadaptado. Os erros desse tipo não são instáveis e imprevisíveis, eles são constituídos em obstáculos. (p.171).

E no sentido colocado por Pais apud Cury (2008):

“No plano pedagógico é mais pertinente se referir à existência de obstáculos didáticos, [...] conhecimentos que se encontram relativamente estabilizados no plano intelectual e que podem dificultar a evolução da aprendizagem do saber escolar”. (p. 44. Grifo do autor).

Essas reflexões são importantes para situar o estudo dos erros cometidos

pelos alunos na resolução de problemas algébricos.

Pinto (2000) esclarece que “o erro é o componente mais arraigado do

processo educativo – mais do que qualquer outro elemento”. (p. 36). Analisando

numa perspectiva formal, muitas vezes, em Educação, o erro é visto como algo ruim,

algo mau, algo a ser evitado e punido. Outra idéia formal do erro é a de que deve ser

apagado, corrigido o mais depressa possível. O que interessa, em último lugar, é se

o discente aprendeu ou não.

Podemos considerar que a compreensão das causas dos erros deve estar

ligada a uma realidade de uma comunidade escolar ou a um Sistema de Ensino do

qual os alunos fazem parte.

No entanto, o erro pode acontecer por diversos motivos; seja por falta de

atenção, dificuldades com os conteúdos que conseqüentemente ainda não são

dominados pelo aluno e quando este utiliza resoluções inadequadas.Por isso o

professor deve estar atento às condições em que os erros acontecem e quais as

maneiras e as estratégias para superá-los. Nessas condições, pretende-se que o

professor também possa desenvolver com alunos essa observação, a fim de que

tome consciência da fragilidade de um suposto fracasso escolar diante dele.

Segundo Cury (1995):

Se focalizarmos a natureza da Matemática em si, a eliminação do erro está ligada ao entendimento da incompreensão do aluno sobre o conceito apresentado e à retomada do assunto sob novos enfoques, se pretendemos explorar o erro, esse pode nos levar à reflexão sobre os limites e características da própria Matemática. (p.09)

Todavia analisar os erros nas provas e testes dos alunos faz parte da rotina

do professor de Matemática, é um hábito. Muitos educadores, ao corrigir os testes,

avaliam o erro de seus educandos atribuindo uma nota de acordo com o número de

acertos e erros obtidos em cada teste, sendo o mesmo observado pelo professor

como um indicador do mau desempenho do aluno, sem jamais ser utilizado para o

redimensionamento do ensino, ao contrário do que propõe Cury. Mas, vale ressaltar

que o erro pode ser considerado como ponto de partida, como fonte de informação,

proporcionando aprendizagens. Deve ser encarado como uma etapa a ser vencida

pelos discentes. Ele denuncia o percurso que o discente traçou, o caminho que ele

percorreu até chegar a uma determinada resposta, e esses caminhos, esses

percursos fazem parte de possibilidades na construção do seu conhecimento.

Hoje, o erro é objeto de estudos e debates, pois a partir dele pode aprender.

Quando queremos entender suas causas e conseqüências, o erro pode parecer uma

falha no processo de ensino e aprendizagem, mas é condizente com o processo de

construção de conhecimento matemático. Segundo Cury:

Se estamos interessados no processo de aprendizagem da Matemática, o erro pode ser visto como instrumento de identificação dos problemas do currículo e da metodologia, e, ao resolvê-los, os erros serão eliminados; se, no entanto, queremos explorar o erro, esse pode constituir-se em instrumento para a compreensão dos processos cognitivos. (1995, p. 9-10),

O erro configura-se como elemento integrante de seu processo de construção

do conhecimento, sinalizando ao professor a existência de níveis provisórios de

aproximação com relação ao objeto de conhecimento.

Tendo como pressuposto de que o erro é uma fonte de dualizações do

processo de construção do conhecimento é que surge a questão de objeto de

estudo: quais são os erros e dificuldades mais freqüentes dos alunos da 8º ano do

Ensino Fundamental II da Escola Estadual José da Silva Marques, na resolução de

problemas algébricos?

Para responder a esse questionamento faz-se necessário:

Identificar e categorizar as estratégias e os tipos de erros que os discentes

cometem com maior frequência durante a resolução de problemas algébricos

Analisar e classificar os erros elencados;

Refletir a cerca dos erros cometidos pelos alunos na resolução do teste

investigativo.

Este trabalho é composto por três capítulos. O capítulo I busca suporte teórico

para a pesquisa e está dividido em três momentos: o primeiro trás o histórico do

ensino da álgebra, o segundo fala sobre a aprendizagem através da resolução de

problemas algébricos e consequentemente dos erros na construção do

conhecimento e o terceiro momento trás algumas concepções do erro.

O capítulo II trata do desenvolvimento da pesquisa contemplando: lócus da

pesquisa, sujeitos da pesquisados, instrumentos, procedimentos da coleta e a

finalidade da pesquisa.

O capítulo III trás a análise e interpretação dos dados e dos resultados

encontrados. Nas considerações finais é feito a conclusão da pesquisa.

CAPITULO I

1. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA

1.1. Uma breve revisão do ensino da Álgebra

O cenário atual do ensino de álgebra no Brasil pode ser um reflexo de como a

álgebra evoluiu com o passar dos tempos e, uma breve revisão do ensino dessa

parte da matemática torna-se necessária para compreender o que hoje acontece

com o seu ensino.

Na década de sessenta, com o surgimento do Movimento da Matemática

Moderna, que possuía como um dos seus objetivos a unificação dos três campos

fundamentais da matemática, através da introdução de elementos unificadores,

como a teoria dos conjuntos e as estruturas algébricas, a álgebra passou a ocupar

um lugar de destaque. O Movimento da Matemática Moderna também tinha a

preocupação de superar a forma mecânica e reprodutiva do ensino da Álgebra.

Sobre as principais alterações no ensino da Matemática durante a implantação da

Matemática Moderna, Miorim, Miguel e Fiorentini (1993), destacam que:

[...] há uma tentativa de superar o caráter pragmático, mecânico e não justificado do ensino de álgebra, substituindo-o por uma abordagem que enfatiza a precisão da linguagem matemática, o rigor e a justificação das transformações algébricas através das propriedades estruturais; [...] (p. 21).

As modificações que a Educação Matemática sofreu foram sempre através de

influências de outros países, sem um posicionamento crítico sobre estas e sem

avaliações do que estava dando certo ou não nestas modificações. Após a

implantação da Matemática Moderna e seu declínio, os educadores movimentaram-

se para recuperar o ensino da Geometria, e a Álgebra acaba perdendo o seu lugar

de destaque, que havia adquirido com o Movimento da Matemática Moderna,

através dos elementos unificadores, indicando uma tendência de a Geometria

ocupar este lugar. Com estas novas propostas, a Álgebra parece retornar ao papel

exercido anteriormente, conforme o citado abaixo:

Mas se, por um lado, na proposta da CENP (Coordenadoria de Estudos e Normas Pedagógicas) a Geometria passa a dar sustentação à metodologia do ensino da Aritmética e da Álgebra, por outro lado, o próprio ensino de Álgebra não apenas perde aquelas características que a Matemática moderna lhe havia atribuído como também parece retomar – sem, é claro, aquelas regras e aqueles excessos injustificáveis do algebrismo - o papel que ele desempenhava no currículo tradicional, qual seja o de um estudo introdutório – descontextualizado e estático – necessário à resolução de problemas e equações (MIGUEL, FIORENTINI E MIRIOM, 1992, p.51).

O papel significativo da álgebra, assumido no MMM, trás para a atualidade, a

ocupação de um lugar privilegiado nos livros didáticos, mas as reflexões realizadas

sobre o seu ensino ainda não foram suficientes para minimizar o problema das

dificuldades de compreensão dos seus conceitos e procedimentos.

1.2. Resolução de problemas algébricos e os erros na construção do seu

conhecimento

As necessidades cotidianas fazem com que os indivíduos desenvolvam

capacidades de natureza prática para lidar com a atividade matemática, o que lhes

permite reconhecer problemas, buscar e selecionar informações, tomar decisões.

Quando essa capacidade é potencializada pela escola, a aprendizagem apresenta

melhor resultado.

É consensual a idéia de que, a principal razão de estudar matemática é

aprender como resolver problemas, ou problemáticas e assim estimular nos alunos a

aplicação de regras, raciocínio lógico, criatividade e ter a capacidade de resolver os

problemas dados em sala de aula e conseqüentemente, no cotidiano da vida adulta.

Como afirma Dante (2002)

As finalidades do ensino de matemática indicam, como objetivo do ensino fundamental, resolver situações-problemas, sabendo validar estratégias, e resultados, desenvolvendo formas de raciocínio e processos, como dedução, indução, intuição, analogia, estimativa e utilizando conceitos e procedimentos matemáticos, bem como instrumentos tecnológicos, disponíveis (Dante, p. 15).

No entanto todo problema requer uma solução e para isso é preciso buscar as

alternativas. Em matemática “problema é uma situação que um indivíduo ou grupo

quer ou precisa resolver e para o qual não dispõe de um caminho rápido e direto que

o leve a solução” (LESTER 1983 apud OLIVEIRA et al 2009,pág 18)

De acordo com os Parâmetros Curriculares Nacionais:

No processo de ensino aprendizagem, conceitos, idéias e métodos matemáticos devem ser abordados mediante a exploração de problemas, ou seja, de situações em que os alunos precisem desenvolver algum tipo de estratégias para resolvê-las. (BRASIL, 1998, p. 40)

Os problemas de Matemática devem envolver muito mais aspectos do que a

simples aplicação de operações é necessário desenvolver habilidades que permitam

pôr à prova os resultados, testar seus efeitos, comparar diferentes caminhos, para

obter a solução.

O modelo proposto por Polya (1994), para resolução de problemas, prevê

quatro etapas para a resolução de um problema: (a) compreensão do problema, (b)

construção de uma estratégia de resolução, (c) execução da estratégia escolhida e,

(d) revisão da solução.

O primeiro passo para a resolução do problema é a interpretação do mesmo,

a forma como o aluno formula, os métodos e as estratégias que ele utiliza. “Só há

problema se o aluno for levado a interpretar o enunciado da questão que lhe é posta

e a estruturar a situação que lhe apresentada” (PCNEM, 1997, pág 42). No processo

de interpretação o aluno constrói um campo de conceito que dá sentido ao

problema.

Diante do mundo globalizado e tecnológico que estamos inseridos, surge

mais um desafio, acompanhar a informação tecnológica para apresentar propostas

de acordo com o meio que os alunos estão inseridos, e assim facilitar na vivencia do

dia-a-dia e fazê-los pensar produtivamente. Segundo Lima(2007) apud Rodrigues:

... As aplicações são empregos das noções e teorias da matemática para obter resultados, conclusões e previsões em situações que vão desde problemas triviais do dia a dia a questões mais sutis que surgem noutras áreas, quer científica, quer tecnológica, quer mesmo social. As aplicações constituem a principal razão pelo qual o ensino da matemática é tão difundido e necessário, desde os primórdios da civilização até os dias de hoje e certamente Cada vez mais no futuro[...] (2011 pág. 25).

Após a compreensão do problema, deverá ser traçado um plano para

alcançar os resultados que satisfaçam a situação. Depois de ter sido traçado um

plano, o terceiro passo é a execução desse plano, ou seja, desenvolver o que havia

sido planejado e transformar o problema através do algoritmo que mais se adequar

na situação em questão. E por último, o quarto passo, que é não somente chegar na

solução do problema, mas também checar sua validade, ou seja, analisar a resposta

obtida e verificar se ela satisfaz as condições iniciais do problema proposto.

Segundo Pozo:

“ensinar a resolver problemas não consiste somente em dotar os alunos de habilidades e estratégias eficazes, mas também em criar neles o hábito e a atitude de enfrentar a aprendizagem como um problema para o qual deve ser encontrada uma resposta”. (1998, p.14)

O estudo algébrico envolve uma interpretação exigindo a tradução da

linguagem escrita para a linguagem matemática, e muitas vezes as dificuldades

apresentadas pelos alunos na tradução de situação da linguagem corrente para a

linguagem formal residem na interpretação. Não sendo capaz de interpretar, o aluno

não conseguirá representar formalmente a situação.

Dentre alguns fatores influentes na apropriação do conceito algébrico está a

sua relação com a aritmética. Para Oliveira (2002), algumas barreiras se configuram

na Álgebra pelo fato do aluno trazer para o contexto algébrico, dificuldades herdadas

do aprendizado no contexto aritmético ou por estenderem para o estudo algébrico,

procedimentos aritméticos que não procedem.

De acordo com os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCNs de Matemática):

“a ênfase que os professores dão a esse ensino não garante o sucesso dos alunos, a julgar tanto pelas pesquisas em Educação Matemática como pelo desempenho dos alunos nas avaliações que têm ocorrido em muitas escolas. Nos resultados do Sistema Nacional de Avaliação da Educação Básica (SAEB), por exemplo, os itens referentes à álgebra raramente atingem um índice de 40% de acerto em muitas regiões do país.” (BRASIL, 1998, p.115-116).

De acordo Fiorentini, Miorim e Miguel (1993), a linguagem simbólica, na

álgebra, desempenha um papel essencial para a formação do pensamento abstrato,

pois é através dele que se pode solucionar um problema matemático, abrangendo

todo o contexto da situação, além de simplificar os cálculos.

No entanto o pensamento algébrico é muito amplo, revela-se em todas as

áreas da matemática e outros campos do conhecimento, sendo que, a construção

do mesmo não é feita de maneira isolada, mas juntamente com tais áreas e campos.

Hoje a Álgebra tem muitas aplicações se mostrando muito útil como estratégia

de resolução de problemas, mas assim como os outros campos da Matemática, a

sua aprendizagem apresenta dificuldades.

1.3.O erro na visão de alguns autores

Em termos de ensino de Matemática em sala de aula, o foco de atenção

ainda está nos conteúdos que serão trabalhados, e qual conteúdo deve ser

apropriado pelo aluno em cada série e nas aulas de Matemática, valoriza-se

prioritariamente o acerto como resultado de aprendizagem dos conteúdos, sendo o

“erro”, nesse caso, condição de “fracasso”.

Diante disso, muitos professores, deixam de explorar em seus alunos, o

questionamento, a experimentação, a criatividade, a inquietação, reduzindo as aulas

de Matemática a um mero treinamento baseado na repetição e memorização.

(ROCHA, 1998)

O conhecimento em matemática alimenta o raciocínio, promove à auto-

estima, a imaginação e compensa o reforço em aprender. O aprendizado exige

dedicação e principalmente treino, que significa prática e aprender com os erros. O

erro, segundo Aurélio, significa o raciocínio incoerente, falta de atenção, a

incompreensão do enunciado. “Na aprendizagem o erro é inevitável, porque se faz

inúmeras tentativas buscando estratégias a partir do que se conhece para solucionar

os problemas propostos” (CARVALHO, 2005).

Entre professores há pontos de vista controversos a respeito do erro, alguns

defendem o ponto de vista de que não se pode permitir que o erro aconteça, pois

uma vez fixado dificilmente será eliminado. Outros ainda defendem que o erro deve

ser apagado, corrigindo-o o mais rápido possível, pois ele é sentencioso.

Esses pontos de vista indicam que os erros não têm sido problematizados

para poderem ser discutidos e, a partir dele tomar novas direções, o que precisa

ficar claro, e não é compreendido, é que, para o aluno chegar ao “errado” ele precisa

raciocinar e o entendimento do que foi trabalhado está representado no processo

que conduz à resposta errada.

[...] de modo geral os erros devem ser vistos como um indicativo de que o aluno sabe alguma coisa, porém não totalmente ou corretamente e que, portanto, é preciso trabalhar com esses erros e não apenas ignorá-los, lembrando que, dependendo da natureza do erro e que se determina qual conduta pedagógica deve ser adotada na busca de sua superação. Essa é uma das contribuições pessoais que o professor pode fazer na busca de diminuir o fracasso escolar. (CADERNO AVA 2000, p.55).

A teoria piagetiana discorre sobre o papel construtivo dos erros dizendo que,

o desenvolvimento da criança é permeado de invenções e descobertas em que os

erros e acertos são inevitáveis na construção do conhecimento e reconhecidos como

parte intrínseca desse processo.

A produção da criança é entendida como parte de um processo e, por trás de

seu erro, há um rico processo de construção de conhecimento; o erro é relativizado,

é entendido como um momento de síntese provisória, que revela o movimento do

indivíduo em seu processo de conhecimento (ESTEBAN, 1992).

É necessário considerar que, quando o discente dá uma resposta errada a um

problema ou questão, é preciso avaliar se isso ocorreu por confusão ou

esquecimento de um dado, por raciocínio incorreto ou por aplicação errônea de

princípios ou regra que evidencie lacunas na aprendizagem. É necessário que o

professor saiba distinguir os tipos de erros, bem como conhecer a origem deles,

tomando-os como sinal de uma estruturação em construção para, então, direcionar a

sua ação pedagógica a fim de criar condições para que o aluno possa reelaborar o

problema em questão.

Outro fato a considerar é que os acertos casuais podem também ser

identificados pela justificativa do discente. Às vezes o aluno dá uma resposta certa,

mas a justificativa que apresenta não é coerente ou se mostra incorreta diante da

resposta. Por isso, é importante que os alunos sejam levados a justificar suas

respostas, pois esse ato leva o sujeito a refletir sobre a questão e a demonstrar

melhor seu nível de compreensão do problema.

Na visão de Centeno (1988), conhecimentos insuficientes devem ser

considerados como uma etapa necessária para alcançar o conhecimento pleno e

seu aparecimento é de grande valia para o professor.

A análise da produção escrita de estudantes, em qualquer nível de ensino, é

uma possibilidade de trabalho que pode ser considerada sob o ponto de vista da

investigação ou do ensino.

Cury (2007) defende a idéia de que a análise de erros é uma abordagem de

pesquisa e também uma metodologia de ensino, se for empregada em sala de aula

com o objetivo de levar os alunos a questionarem suas próprias soluções.

Uma ênfase muito comum em pesquisas envolvendo Análise de Erros é a proposição de sistemas de classificação para os erros em Matemática cometidos por estudantes em diversos níveis, que existem desde o início do século XX e persistem até os dias atuais, porém, com enfoques diferentes. O ponto forte dessas pesquisas é que, além de proporem maneiras de classificar os erros cometidos pelos alunos, elas acabam suscitando discussões interessantes sobre a natureza destes erros de acordo com o foco que utilizam para classificá-los (BARICHELLO, 2008 p.32-33)

Cury discorre que Bardin assinala três etapas básicas para o trabalho de

análise de erros: pré-análise, exploração do material e tratamento dos resultados,

afirmando que “a categorização tem por primeiro objectivo (da mesma maneira que

a análise documental), fornecer, por condensação, uma representação simplificada

dos dados brutos”. (Bardin(1979) apud Cury et al, p. 3).

Nos Parâmetros Curriculares Nacionais fala-se da necessidade de repensar

as finalidades da avaliação, sobre o que e como se avalia. Enfatizando que a tarefa

do avaliador deve ser um permanente exercício de interpretação de sinais, de

indícios, e da reunião de elementos que lhe permitem uma reorganização da sua

atividade pedagógica. O professor deve, não somente buscar indícios sobre o

desempenho dos alunos, mas também ter claro o que pretende obter, bem como o

uso que fará desses indícios. Nesse sentido, segundo os PCN (1998), a análise do

erro pode ser uma pista interessante e eficaz.

Se numa avaliação seletiva, o erro tem um papel delimitado pelos resultados, ao perder sua função controladora, ele passa a ocupar um papel relevante na aprendizagem: o erro é um conhecimento; ele mostra o caminho do acerto que já está ali implícito. Nesta dialética, o erro aparece como um divisor de águas de duas tendências fortes na educação. Se na pedagogia tradicional, centrada no professor, o relevante era saber o que se ensina na pedagogia nova a preocupação do professor é saber como as crianças aprendem. (PINTO, 2000, p. 12).

Por isso no processo de ensino e aprendizagem, não basta apenas conhecer

os erros e os acertos, a correção ou incorreção das respostas dos discentes

justificá-los ou evitá-los, mas sim, e principalmente, conhecer os processos que o

levam a produzir estas respostas, analisando-os e transformando-os numa situação

de aprendizagem. Mais do que medir determinados comportamentos, importa

compreender as razões do erro.

CAPÍTULO II

2. METODOLOGIA

A pesquisa em educação é uma ocasião privilegiada que reúne pensamento e

ação na elaboração dos conhecimentos sobre os aspectos da realidade. Essa

pesquisa pode ser abordada de forma empírica (quantitativa) ou de forma qualitativa

(Baraldi, 1999). Minayo (1999) diz que a abordagem qualitativa não pode pretender

o alcance da verdade, com o que é certo ou errado; deve ter como preocupação

primeira a compreensão da lógica que permeia a prática que se dá na realidade.

Os procedimentos para a execução desta pesquisa foram de cunho qualitativo

e quantitativo, pretendendo identificar e categorizar as estratégias e os tipos de erros

que os discentes cometem com maior freqüência durante a resolução de problemas

que envolvem conteúdos algébricos. A pesquisa foi predominantemente qualitativa,

e inicialmente foi feito um levantamento bibliográfico sobre o tema abordado.

Segundo Amaral (2007) é imprescindível, antecipar em todo e qualquer trabalho

científico uma esgotante pesquisa bibliográfica sobre o tema em estudo, e

posteriormente iniciar a coleta os dados.

Os sujeitos da pesquisa foram 33 alunos do 8º ano do Ensino Fundamental do

Colégio Estadual José da Silva Marques situado à Praça Onze, no município de

Campo Formoso. A escolha da referida Escola, se deve ao fato de ter realizado os

estágios na escola supracitada e pelo fato da mesma ser referencia no município.

Os instrumentos utilizados para a coleta de dados desta pesquisa consistiu na

aplicação de teste investigativo sobre equação de 1º grau aos alunos do referido

colégio. Quanto à série, a escolha efetuou-se por acreditar que o aluno nesta série,

se depara com um cenário novo, e algumas vezes contraditório ao dos

procedimentos aritméticos que estava acostumado pelos seus vários anos de

estudo, notando-se que o discente tem grande dificuldade em compreender os

procedimentos que fazem parte do estudo algébrico que são enfatizados nesta série

e serão utilizados até o final do Ensino Médio.

Porém, os dados foram analisados com maior ênfase na pesquisa qualitativa.

Segundo Chizzotti (2003) apud Silva (2006) a pesquisa qualitativa é uma dinâmica

entre a pessoa e o mundo real, entre o sujeito e o objeto, entre o mundo da

objetividade e da subjetividade. A interpretação do fenômeno é baseada no sujeito-

pesquisador e este faz parte de todo o processo de análise, dando significância ao

trabalho. Portanto não é um individuo isolado, inerente e neutro.

Como essa pesquisa foi realizada onde ocorrem os problemas dos erros

matemáticos, mais especificamente dentro da sala de aula, trata-se de uma

pesquisa de campo. Também, como ela ocorreu de forma natural no ambiente onde

acontecem esses erros, sem a manipulação intencional em mudar os dados

encontrados, essa pesquisa é naturalística. (LÜDKE, ANDRÉ, 1986).

Fiorentini e Lorenzato (2006) completam que a pesquisa de campo:

[...] é aquela modalidade de investigação na qual a coleta de dados é realizada diretamente no local em que o problema ou fenômeno acontece e pode se dar por amostragem, entrevista, observação participante, pesquisa-ação, aplicação de questionário, teste, entre outros. (p. 106).

Para elaborar esses instrumentos, foi feito consultas desse conteúdo em

livros didáticos do Ensino Fundamental. Várias foram às referências, porém os

escolhidos foram “A Conquista da Matemática” de, Giovanni Jr e Castrucci (2009) e

“Matemática fazendo a diferença” de Bonjorno e Ayrton( 2006). A escolha destes

exemplares se deve ao fato de serem os livros utilizados pela professora da

disciplina. Copiadas as questões abertas com o objetivo de que pudéssemos

perceber o caminho percorrido pelo aluno para a resolução das questões propostas

no teste investigativo.

Foi analisada uma amostra de 33 testes com questões abertas, pois a

produção escrita dos discentes pôde revelar muito do conhecimento apropriado

durante o ciclo educacional. Para Rudio (1986)

Amostra é, portanto, uma parte da população com uma regra ou plano. O mais importante, ao selecioná-la, é seguir determinados procedimentos, eu nos garantam representação adequada da população, donde foi retirada, dando-nos assim confiança de generalizar para o universo o que nela for observado. (RUDIO, 1986, p. 62)

Portanto foi desenvolvida uma investigação com a abordagem interpretativa

na busca da compreensão por meio da análise de dados construída através do teste

investigativo desenvolvido pelos sujeitos pesquisados, onde foram feitas

transcrições das resoluções, análise dos erros cometidos, descrição destes erros,

levantamento de hipótese sobre suas causas, construções gráficas para elucidar

valores numéricos e posteriormente comentários fundamentados sobre cada

resposta realizada pelos objetos de pesquisa.

Para identificar os erros tivemos como base os descritores SAEB1. Feita a

análise dos testes investigativos, observando a forma de resolução e na análise e

interpretação, foi feito um cruzamento com os descritores e os objetivos propostos

por questão a partir da compreensão de Aritmética e Álgebra.

É sabido que a superação ou a erradicação do erro no processo ensino-

aprendizagem é inatingível, pois é por meio dos erros que os alunos podem se

conscientizar de suas dificuldades e construir seu conhecimento, mas acredito que é

necessário, através de uma pesquisa, questionar e problematizar essas dificuldades.

Moraes (2004, p.14) alerta que “Questionar o conhecer é problematizar o

conhecimento” e ainda acrescenta “Entretanto não podemos ficar no questionar. O

problema faz-nos agir.” (p. 15).

1 SAEB – Sistema de Avaliação da Educação Básica.

CAPÍTULO III

3.ANÁLISE DOS DADOS

3.1. Analisando os erros – O que pode sinalizar os erros cometidos

A pesquisa Análise de erros cometidos pelos alunos do 8º ano do Ensino

Fundamental na resolução de problemas algébricos, foi realizada com a aplicação

de testes investigativos, à turma supracitada da Escola Estadual José da Silva

Marques no município de Campo Formoso.

Optamos pela a análise quantitativa e qualitativa para a análise dos dados

para fornecer elementos para uma melhor interpretação. A análise quantitativa trás

os dados organizados em gráficos e permite visualizar o quantitativo de alunos que

erraram e acertaram as questões. Cada questão será representada por um gráfico

que trará a porcentagem de erros, acertos e em branco, permitindo assim uma

visualização imediata da situação encontrada.

A partir dos erros, serão feitas interpretações dos mesmos, cometidos pelos

alunos na resolução da questão proposta e suas respectivas causas, seguida da

análise qualitativa de cada questão. Esta trás um detalhamento sendo distribuídos

por temas que relacionam um conjunto de objetivos educacionais conforme os

descritores da matriz SAEB. . Essas categorizações foram feitas baseadas nas

matrizes de Matemática que são estruturadas por anos e séries avaliadas. Para

cada uma das questões foram escolhidos descritores que melhor se encaixavam na

questão de estudo observando objetivos propostos para a questão e habilidades que

deve ter sido desenvolvida nessa fase de ensino.

Na matriz SAEB temos os seguintes temas: Tema I – Espaço e forma, Tema

II – Grandezas e medidas, Tema III – Número e operação/Álgebra e funções e Tema

IV – Tratamento da informação.

Com referencia ao Tema III – Número e operações/ Álgebra e funções. Este

tema foi utilizado para a questão 01 do teste investigativo, tendo como referencia o

descritor D 30.

Segundo a matriz esse descritor deve verificar a habilidade de o aluno realizar

as quatro operações da aritmética. As regras das operações e suas justificativas

devem ser destacadas, como por exemplo, a operação distributiva e a não

existência da divisão por zero, sem esquecer de destacar que a divisão de dois

inteiros pode não resultar em um número inteiro. (PROVA BRASIL, 2008)

Analisando a questão 012 proposta no teste investigativo do objeto de estudo

que tem no seu enunciado:

Resolva a equação5(x + 2) – 4(x + 1) = 3 + x

Analisando quantitativamente a questão 01, observa-se que 97% (noventa e

sete por cento) dos alunos erraram e 3% (três por cento) deixaram em branco e 0%

(zero por cento) acertou. O gráfico abaixo mostra o desempenho dos alunos quanto

aos resultados da questão em análise:

GRÁFICO 1: Análise quantitativa da questão 01.

2 Conforme informado no Cap. II da metodologia esta questão foi retirada do livro Matemática Fazendo a

diferença dos autores Bonjorno & Ayrton.

Estes foram classificados em:

Erro 01: refere à falta de habilidade em balancear os membros da equação;

Erro 02: que se refere ao jogo de sinal na resolução do cálculo;

Erro 03: diz respeito à propriedade distributiva e

Erro 04: que demonstra cálculos incoerentes, sendo classificado em outros

tipos de erros.

Abaixo segue o gráfico com os dados referentes aos erros seguidos de uma

interpretação das possíveis causas dos erros cometidos pelos alunos na resolução

da questão proposta.

0%

5%

10%

15%

20%

25%

30%

35%

Questão 01

Erro 01

Erro 02

Erro 03

Erro 04

GRÁFICO 2: Análise quantitativa dos erros cometidos na resolução da questão 01.

Em relação aos erros cometidos, conforme pode ser visto a seguir, têm

diversas origens:

01)Erros de sinal na mudança de membro:

ILUSTRAÇÃO 1: Resposta da questão 01 dada pelo aluno Ametista3.

3 A designação dada aos alunos pesquisados deu-se ao fato de Campo Formoso ser considerada a terra das

pedras preciosas.

A possível causa consiste na incompreensão do processo que implica o

isolamento da incógnita em um dos membros e a realização da operação inversa

para desfazer a operação inicial (incompreensão da notação do símbolo de

igualdade como um equilíbrio em dois sentidos em operações algébricas).

02)Erro de cálculo e regras/jogo de sinais:

ILUSTRAÇÃO 2: Resposta da questão 01 dada pelo aluno Esmeralda.

Os alunos efetuaram com acerto a operação que envolve a propriedade

distributiva, mas erraram nos cálculos (- 4. (1) = - 4 ) e na manipulação das regras

de sinais. Sinalizamos que 31% dos alunos erraram na situação descrita acima, mas

conseguem isolar os termos semelhantes corretamente e pelo erro cometido

anteriormente finalizam a questão com a solução incorreta.

03)Dificuldade em operar com a propriedade distributiva

ILUSTRAÇÃO 3: Resposta da questão 01 dada pelo aluno Cristal.

Nesta questão encontramos vários alunos com o mesmo erro (31%) o que

levou a erros mais simples como adição de termos semelhantes, operação de

simplificação de frações.

Este erro evidencia a compreensão insuficiente dos princípios da propriedade

distributiva bem como dos procedimentos para resolução de uma equação.

04)Demonstra cálculos incoerentes sendo classificado em: Outros tipos de

erros

ILUSTRAÇÃO 4: Resposta da questão 01 dada pelo aluno Rubi.

Nota-se que o aluno desenvolve a propriedade distributiva, porém soma os

elementos que se encontram depois da igualdade.

3.2. Interpretando os erros encontrados na questão 01–O que sinalizam.

Compreendo que a manipulação dos números com operações e o significado

destas é um dos requisitos necessários para o tratamento com números e suas

operações são indispensáveis no dia-a-dia dos alunos. Os números, presentes em

diversos campos da sociedade, além de utilizados em cálculos e na representação

de medidas, sem falar no papel fundamental para o exercício da cidadania.

Os descritores deste tema enfocam os números com suas operações, noções

de álgebra e funções. Porém diante do levantamento dos tipos de erros e da

inferência de possíveis causas, fica evidente que grande parte dos erros que os

alunos cometem ao trabalhar com expressões algébricas tem origem, na

insuficiência de aprendizagens anteriores, que vão se sobrepondo e reaparecendo

de diferentes maneiras. É possível perceber que os alunos não têm domínio

suficiente das propriedades básicas como a distributiva, bem como dos

procedimentos operativos para resolução da expressão.

Podemos destacar assim que, dentre alguns fatores influentes na

apropriação do conceito algébrico está a sua relação com a aritmética. Para Oliveira

(2002) algumas barreiras se configuram na álgebra pelo fato do aluno trazer para o

contexto algébrico, dificuldades herdadas do aprendizado no contexto aritmético ou

por estenderem para o estudo algébrico, procedimentos aritméticos que não

procedem o que ficou comprovado com esta investigação.

O uso das letras em álgebra constituiu uma grande dificuldade para os

alunos. As letras, em aritmética, já eram conhecidas por eles, mas serviam para

representar apenas medidas como metro (m), litro (l), etc., e não número ou

quantidade qualquer. Na álgebra, as letras aparecem de uma maneira diferente que

na aritmética. Elas indicam valores numéricos e essa mudança, comumente, causa

confusão.

Ao analisar os erros cometidos pelos alunos na aprendizagem de Álgebra,

Booth (1995) considera que a Álgebra e a Aritmética, apesar de suas diferenças,

não são isoladas, e que, em vários aspectos a álgebra apresenta-se como uma

Aritmética generalizada. Para a autora, a fonte de dificuldades em álgebra é a

aritmética, ou seja, as relações e procedimentos aritméticos não apreendidos afetam

o desempenho em Álgebra, então as dificuldades em álgebra não são tanto de

álgebra propriamente dita, mas de problemas em aritmética que não foram

corrigidos (BOOTH, 1995, p. 33).

Podemos destacar que os alunos que participaram esta pesquisa tem seu

desempenho em álgebra prejudicados porque não conseguem construir conceitos

aritméticos básicos como expressão numérica, propriedade da adição, regra e/ou

jogo de sinal, soma te termos semelhantes.

Questão 02

Para a questão 02, ainda em referencia ao Tema III - Números e operações/

Álgebra e funções foi utilizado o descritor D33, que objetiva a habilidade de o aluno

exprimir, com uma equação ou inequação do 1º grau, situações apresentadas em

problemas contextualizados (PROVA BRASIL, 2008).

Abaixo temos exemplos do item que são as questões 02 e 04 propostas no

teste investigativo:

QUESTÃO 02: Qual é o número inteiro cujo dobro aumentado de 9 é igual ao

seu quádruplo diminuído de 21?4

Abaixo temos o gráfico que demonstra o desempenho dos alunos na

resolução da questão 02 proposta no teste investigativo:

0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

Questão 02

Errada

Em branco

Correta

GRÁFICO 3: Análise quantitativa da questão 02



Percebe-se que 64% (sessenta e quatro por cento) dos alunos erraram, 12% (doze

por cento) deixaram em branco e 24% (vinte e quatro por cento) acertaram a

questão proposta no teste investigativo.

Em relação aos erros, entendemos ter diversas origens conforme podemos

ver no gráfico abaixo:

GRÁFICO 4: Análise quantitativa dos erros cometidos na resolução da questão 02

Os erros cometidos, conforme pode ser visto a seguir, e classificando como:

Erro 05: referente à representação matemática a partir do problema proposto;

Erro 06 que diz respeito à resolução do cálculo aritmético – Expressar a

equação na questão dada.

Fazendo uma análise qualitativa podemos perceber que as origens dos erros

são:

05)Tradução para a linguagem simbólica (Representação matemática)

ILUSTRAÇÃO 5: Resposta da questão 02 dada pelo aluno Topázio.

Foi utilizada a resposta dada pelo aluno Topázio considerando que há uma

semelhança com os erros cometidos por outros alunos. Nota-se que a aluna não

constrói a equação corretamente, porque aparentemente não consegue expressar

algebricamente o enunciado de uma situação-problema.

A possível causa da incompreensão consiste na dificuldade que os alunos

sentem na generalização das relações e procedimentos aritméticos dentro do

contexto algébrico.

06)Procedimento da resolução da equação

ILUSTRAÇÃO 6: Resposta da questão 02 dada pelo aluno Turmalina.

Nota-se que o aluno não compreende o sinal de igualdade como uma

representação de equivalência entre os membros, mas sim como antecessor do

resultado. por este motivo ele comete os seguintes erros: erros na troca de sinal,

erro nas operações algébricas.

Questão 04

Outro exemplo de questão que envolve a compreensão da transformação da

linguagem corrente para a representação matemática é a questão 04, a qual se

encontra a seguir:

Questão 04 – No estacionamento de um edifício há carros e motos,

totalizando 13 veículos e 46 rodas. Quantos carros e quantas motos há nesse

estacionamento?5

Analisando quantitativamente o gráfico abaixo demonstra os dados do

desenvolvimento dos alunos na resolução da questão proposta:

0%

5%

10%

15%

20%

25%

30%

35%

40%

45%

50%

Questão 04

Errada

Em branco

Correta


A partir da leitura do gráfico percebemos que 45% (quarenta e cinco por

cento) acertaram 9% (nove por cento) deixaram em branco e 46% (quarenta e seis

por cento) dos alunos erraram a questão e em relação aos erros podemos constatar

as possíveis causas dos erros cometidos classificando em:

Erro 07: o aluno que apenas assinala uma alternativa errada;

Erro 08: referente a representação matemática;

Erro 09: outros tipos de erros caracterizado pelo pensamento incoerente;

Erro 10: no desenvolvimento do cálculo.

5 5 Conforme informado no Cap. II da metodologia esta questão foi retirada do livro A conquista da matemática

dos autores Giovanni Jr & Castrucci.


Em relação aos erros podemos perceber que o aluno:

07)Apenas assinala a alternativa errada.

ILUSTRAÇÃO 7: Resposta da questão 04 dada pelo aluno Ágata.

Nota-se que o aluno preocupa-se apenas em assinalar uma alternativa de forma

aleatória sem desenvolver o cálculo preocupando-se apenas em dar uma resposta à

questão.

08)Representação matemática

ILUSTRAÇÃO 8: Resposta da questão 04 dada pelo aluno Água-marinha.

Percebe-se que o aluno não consegue traduzir da linguagem corrente para a

linguagem matemática.

09) Incoerência de pensamento – Dificuldade em realizar as operações

agébricas.

ILUSTRAÇÃO 9: Resposta da questão 04 dada pelo aluno Diamante.

Nota-se que o aluno não consegue representar algebricamente a questão e

demonstra não ter domínio no desenvolvimento da expressão.

10)Desenvolvimento do cálculo – Adição de termos semelhantes.

ILUSTRAÇÃO 10: Resposta da questão 04 dada pelo aluno Jade.

A aluna traduz da linguagem corrente para a linguagem simbólica com

clareza, porém se atrapalha no cálculo o que provoca o erro na questão.

3.3. Interpretando os erros encontrados na questão 02 e 04 – O que

revelou o teste investigativo.

Tendo a Matemática uma linguagem própria, com uma grande variedade de

símbolos, pode fazer uma codificação desta simbologia para a tradução de um

problema na linguagem escrita para a linguagem matemática. É notório que uma das

barreiras enfrentadas pelos alunos no estudo da Álgebra está na hora de fazer a

passagem de uma situação-problema na linguagem corrente para a linguagem

algébrica. Parte da dificuldade de interpretação está relacionada com o fato de o

aluno ter uma deficiência na linguagem escrita. Talvez falte propiciar um espaço

para que os alunos expliquem as suas formas de raciocínio. Malta (2002, p.216)

ilumina essa discussão quando afirma que:

[...] o desenvolvimento da capacidade de expressão do próprio raciocínio promove o desenvolvimento da capacidade de compreensão matemática. O desenvolvimento da capacidade de expressão está acoplado ao desenvolvimento da capacidade de leitura [...].

De início, a dificuldade dos alunos em resolver uma equação simples, com

incógnitas somente no primeiro membro mostra-se significativa. Mais adiante,

quando as incógnitas passaram a aparecer também no segundo membro e que,

para determinar o Conjunto Verdade, o aluno teria que isolar a incógnita no primeiro

membro e os termos conhecidos no segundo, realizando operações inversas (ou

inversão de sinal) ao migrar de um membro para o outro, o índice de erros

aumentou. É também possível perceber que eles não compreenderam a

representação do sinal de igualdade na resolução de equações como uma relação

de equivalência, como um equilíbrio em dois sentidos, diferentemente do que ocorre

em operações da aritmética que geralmente é interpretado como um símbolo que

precede a escrita de uma resposta (BOOTH, 1994).

Percebe-se também, que os alunos não conseguiram identificar a operação

correta, subtraindo os valores ao invés de adicioná-los, o que evidencia a falta de

habilidade em realizar os cálculos necessários (algoritmos). No entanto, tal

inabilidade se explique na passagem entre Álgebra e Aritmética, quando existe a

continuidade, procedimentos aritméticos que procedem no contexto algébrico, os

alunos trazem consigo as dificuldades da Aritmética, fator que causa dificuldades no

estudo algébrico.

Questão 03

Ainda com referencia ao Tema III – Número e operações/ Álgebra e funções

foi proposto aos alunos, objeto de estudo, a questão 03 a qual foi utilizado o

descritor D12. Segundo a Matriz com esse descritor o aluno deve resolver problema

envolvendo o cálculo de perímetro de figuras planas. (PROVA BRASIL, 2008),

demostrando a habilidade de o aluno calcular o perímetro de uma figura plana cujo

contorno é uma única linha poligonal fechada.

A seguir temos um exemplo do item que é a questão 03 do teste investigativo

aplicado aos alunos estudados:

Questão 03: As medidas das dimensões de um terreno retangular são dadas em

metros e estão indicadas na figura. Para cercá-lo com arame farpado, foram gastos

134 metros desse material. Quais são as dimensões desse terreno?6

Analisando quantitativamente temos o gráfico que representa os dados da

resolução da questão pelos alunos:


A partir do gráfico acima podemos perceber que 94% (noventa e quatro por

cento) dos alunos erraram, 6% (seis por cento) deixaram em branco e 0% (zero por

cento) acertaram. Em relação aos erros classificamos em:

Erro 11: interpretação do enunciado,

Erro 12: pela incompreensão do conceito de perímetro

Erro 13: na resolução das operações no desenvolvimento da questão.

Abaixo temos o gráfico que mostra o desempenho dos alunos a partir dos

erros cometidos e as possíveis causas desses erros na resolução da questão:




Analisando qualitativamente a questão podemos concluir que os erros

cometidos pelos alunos são:

11)Interpretação do enunciado

ILUSTRAÇÃO 11: Resposta da questão 03 dada pelo aluno Ônix.

O aluno demonstra ter noção de perímetro e encontra o valor de “x”, mas não

atenta para o enunciado e não encontra as dimensões do terreno que era o que

pedia o enunciado.

12)Falhas conceituais

ILUSTRAÇÃO 12: Resposta da questão 03 dada pelo aluno Turquesa.

Podemos perceber que a aluna não demonstra o conhecimento de perímetro,

pois a mesma multiplica o valor da área do terreno por quatro.

13)Procedimento do cálculo – Balanceamento da equação

ILUSTRAÇÃO 13: Resposta da questão 03 dada pelo aluno Pedra-lua.

O aluno demonstra ter conhecimento de perímetro, mas no desenvolvimento

da questão ao tentar balancear a equação para encontrar o valor de x se atrapalha.

3.4. Interpretando os erros cometidos na questão 03 – Revelando os

erros.

Segundo Pérez Echeverría (1998) e Mialaret (1975) apud Spolar (2002), a

compreensão de um problema matemático pode ser influenciada por diversos

fatores como: o conteúdo das tarefas; a sua relação com os conhecimentos que o

aluno detém; o vocabulário utilizado no enunciado; o contexto no qual ocorre. Enfim,

a forma de linguagem que as expressões assumem faz com que haja uma variação

considerável na sua tradução para as representações matemáticas, influindo

decisivamente na forma de resolvê-las e, conseqüentemente, no êxito do aluno na

resolução do problema proposto.

Como é possível notar, o índice de erros no cálculo de perímetro mostra-se,

talvez ao fato de a figura apresentar somente a medida de um dos lados da largura e

do comprimento, onde o grau de dificuldade aumentou e foi comum a apresentação

da soma apenas dos dados presentes. A idéia de perímetro, para Backendorf (2010,

p. 136), está ligada a capacidade de medir. Além disso, é preciso enfatizar que

perímetro é a medida do tamanho do contorno de determinada figura. (ANDRINI e

VASCONCELLOS, 2006). Porém de um modo geral, neste item, a origem das

dificuldades e erros provém de conhecimentos anteriores, principalmente

relacionados aos procedimentos de cálculos no que se refere às operações

matemáticas. Apesar da grande maioria dos alunos demonstrarem ter compreendido

a idéia envolvida no problema muitos cometeram erros na resolução do algoritmo,

pois como já observado os alunos apresentam, maior dificuldade na resolução da

operação a ser utilizada.

Questão 05

Por fim, ainda dentro do Tema III – Número e operações/ Álgebra e funções,

para a questão 05, proposta no teste investigativo, foi utilizado o descritor D36.

Segundo a matriz esse descritor objetiva resolver problema envolvendo informações

apresentadas em tabelas e/ou gráficos (PROVA BRASIL, 2008). O aluno deverá

expressar a habilidade de analisar tabelas ou gráficos, extrair informações neles

contidas e, a partir destas, resolver problemas.

Pra exemplificar este item foi proposto aos alunos a questão 05, como

podemos ver abaixo:

Questão 05 – Numa lanchonete, a despesa de R$ 48,00 foi dividida entre três

pessoas da seguinte forma:

Quantos reais coube a cada uma dessas três pessoas?7

O gráfico a seguir mostra o desempenho dos alunos na resolução da questão

proposta:

0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

Questão 05

Errada

Em branco

Correta


A partir do gráfico acima podemos perceber que 24% (vinte e quatro por

cento) acertaram, 9% (nove por cento) deixaram em branco e 67% Sessenta e sete

por cento) dos alunos erraram a questão 05 proposta no teste investigativo. Em

relação aos erros cometidos pelos alunos temos que estes foram classificados em:

Erro 14: relativo ao desenvolvimento da questão proposta,

Erro 15: referente à dificuldade de representação matemática,

Erro 16: na utilização das operações adequadas para resolução da questão

proposta,

Erro 17: incoerência de pensamento



Erro 18: interpretação do enunciado.

O gráfico a seguir traz os dados quanto aos erros cometidos pelos alunos na

resolução da questão em estudo:

GRÁFICO 10: Análise quantitativa dos erros cometidos na resolução da questão 05.

Em relação aos erros cometidos pelos alunos na resolução da questão

proposta, podemos perceber que estes foram:

14)Desenvolvimento da questão – Dificuldade em realizar as operações

algébricas

ILUSTRAÇÃO 14: Resposta da questão 05 dada pelo aluno Safira.

A aluna arma a expressão através da leitura do gráfico, demonstrando ter

compreendido que para encontrar o resultado teria que somar os dados expressos

no gráfico. Porém não efetua as operações, deixando a entender que para chegar

ao resultado a mesma apenas dividiu o total da conta por três.

15)Representação matemática

ILUSTRAÇÃO 15: Resposta da questão 05 dada pelo aluno Malaquita.

O aluno não consegue expressar algebricamente a questão e posteriormente

resolvê-la.

16)Interpretação (uso das equações)

ILUSTRAÇÃO 16: Resposta da questão 05 dada pelo aluno Amazonita.

O aluno não consegue utilizar a operação adequada para a resolução da

questão, além de se atrapalhar no desenvolvimento da questão.

17)Pensamento incoerente -

ILUSTRAÇÃO 17: Resposta da questão 05 dada pelo aluno Fluorita.

O aluno se preocupa em dar a resposta não conseguindo ter clareza no

procedimento utilizado para a resolução da equação.

18) Interpretação - Falta de conclusão

ILUSTRAÇÃO 18: Resposta da questão 05 dada pelo aluno Berilo.

Nota-se que os alunos compreendem o enunciado desenvolve acertadamente

a questão, porém por falta de atenção não concluem a questão. Acreditam que só

precisam encontrar o valor de “x” e esquecem que deveriam ver a quantia paga por

cada um dos garotos.

3.5. Interpretando os erros encontrados na questão 05 – Um olhar sobre

os testes investigativos.

A capacidade de ler gráfico e tabelas também devem ser consideradas na

formação do leitor nas aulas de matemática. A leitura e a interpretação de gráficos e

tabelas desenvolvem as habilidades de questionar, levantar e verificar hipóteses,

bem como procurar relações, habilidades inerentes ao processo de ler qualquer tipo

de textos e posteriormente resolver o problema solicitado. A resolução de um

problema algébrico consiste em determinar o valor da incógnita, ou seja, de um

termo desconhecido apresentado no problema. Isso requer uma leitura atenta do

enunciado, sua compreensão, mudança da linguagem escrita para a linguagem

simbólica da Matemática, identificação das operações a serem efetuadas e

processos de resolução, ou seja, requer o uso de uma série de habilidades, técnicas

e procedimentos que já devem ser de domínio dos alunos. É possível perceber a

falta de domínio dos alunos quanto aos procedimentos para resolver essa equação

ou talvez por falta de atenção. Há alunos, também, que perante um enunciado,

depois de uma rápida leitura, tendem a resolver a tarefa de forma imediata, sem

reflexão prévia; se atiram, simplesmente, para as operações sem terem a visão do

conjunto do problema. Fazem qualquer coisa, precipitam-se, somam ou dividem ao

acaso, porque entendem (ou lhes é cobrado) que devem atuar, transformando, por

vezes, os dados do problema em solução.

CONSIDERAÇÕES FINAIS

Este texto reflexivo não quer, nem de longe, encerrar qualquer discussão que

se abra sobre os erros cometidos pelos alunos na resolução de problemas

algébricos, visa antes, dar impulso para posteriores investigações mais profundas a

este respeito.

Refletirmos sobre o erro escolar e, conseqüentemente, sobre a avaliação nos

leva a criar novas hipóteses. Ao buscarmos algumas possíveis respostas, também

nos deparamos com novas perguntas ou com novos modos de organizar antigas

questões, ou ainda, com outras possibilidades de percepção das trajetórias

realizadas e dos nós atados e desatados no percurso. Assim, vamos criando novas

possibilidades de compreensão, de formulação e de atuação.

Analisar as estratégias utilizadas e os tipos de erros mais freqüentes durante

a resolução de problemas envolvendo conceitos algébricos auxilia a obter uma visão

geral da situação dos alunos quanto ao desenvolvimento desses conceitos durante a

transição do pensamento aritmético ao pensamento algébrico.

Após a análise dos testes investigativos, percebeu-se que os alunos, objetos

do estudo, não possuem todas as habilidades e competências desejadas, na parte

algébrica da matemática para este nível de ensino. Isso foi observado pela

porcentagem de acertos e erros das questões aplicadas na pesquisa. Vale ressaltar

que as questões foram retiradas de livros de Ensino Fundamental, todas com

conteúdos já vistos pelos alunos deste nível do Ensino. Mesmo assim, os alunos

demonstraram muitas deficiências algébricas e alguns conceitos equivocados, tais

como perímetro.

Embora o desempenho dos alunos possa ser considerado baixo para a série

em que se encontram, achamos importante destacar que os professores precisam

conhecer essas formas de pensamento dos alunos e considera-las como um ponto

de partida para elaboração do pensamento algébrico.

Os achados desse estudo foram encontrados na aplicação individual e

resolução escrita dos testes investigativos, o qual pôde constatar os mais diversos

tipos de erros.

Segundo Davis e Espósito (1991), erros de naturezas distintas exigem

condutas pedagógicas diferenciadas. Conforme vimos, erros considerados

construtivos são aqueles que exigem analogias, uso de teorias, mesmo que logo o

aluno tenha que abandoná-las num processo de idas e vindas, de conflitos e

momentos de longa elaboração; são erros que evidenciam progressos na atividade

mental, que sinalizam a formação de novas estruturas e indicam possibilidades de

progresso. Os chamados não-construtivos diferem dos demais por não estarem

relacionados com a construção do conhecimento; revelam que o aluno já possui a

estrutura de pensamento necessária à solução da tarefa, ou seja, ele já

compreendeu e sabe como chegar à resposta correta, mas erra por distração ou por

falta de fixação de algum procedimento.

Os erros que reaparecem de forma sistemática no teste investigativo, durante

a pesquisa que são os erros de cálculo e os erros que envolvem troca de operações

e regras de sinais. Sendo assim, o aluno precisa ter bem claro o significado do sinal

do número e da operação para poder conviver com essa simultaneidade.

A superação de dificuldades como estas necessita primeiro que elas sejam

diagnosticadas e depois analisadas para que se identifique a origem e a natureza e

depois que haja uma intervenção para suscitar reformulações conceituais de modo a

produzir modificações na maneira que o aluno trabalha levando-o a pensar e

descobrir que estava errado ao fazer a generalização e vir a visualizar onde e por

que estava errando.

Possivelmente a dificuldade seja em decorrência da metodologia usada pelo

professor que trabalhou com conteúdos prontos sem que o aluno tivesse a

percepção clara de equacionamento, sem uma preparação adequada para trabalhar

com estruturas algébricas.

É sabido que a aprendizagem por processos de memorização e repetições

não leva a uma compreensão significativa: trata-se de processos superficiais e mais

vulneráveis ao esquecimento e a confusões perceptivas que levam o aluno a

cometer erros sistemáticos. E essa pode ser uma das principais causas dos erros

constatados. Os erros podem ter ocorrido por falta de atenção ou por falta de

compreensão.

Notou-se, que alguns dos alunos, aplicaram corretamente o conceito de

perímetro, escrevendo a expressão correspondente ao perímetro da figura. No

entanto, ao finalizarem a questão, isto é, ao agruparem os termos semelhantes,

confundiram processos de resolução das operações.

Diante dos resultados obtidos, creio poder afirmar que os erros constituem

uma importante ferramenta que possibilita o diagnóstico dos problemas presentes no

processo tanto de ensino como de aprendizagem. Ressalte-se que no processo de

ensino, os erros podem ajudar o professor a concluir que a estratégia de ensino

adotada se mostra inadequada e necessita ser redefinida mediante novas ações

metodológicas e pedagógicas. Na aprendizagem, os erros podem ser tomados como

objeto de reflexão; como fonte de tomada de consciência proporcionando ao aluno a

possibilidade de reavaliar as suas ações, as estratégias e o caminho seguido em

busca do resultado que se revelou inadequado; de compreender o seu erro e então

retomar o processo de construção do seu conhecimento.

Tornar relevante o papel educacional do erro pode até provocar mudanças

em atitudes e crenças com relação à disciplina, tanto por parte do aluno como do

professor. Portanto, promover atividades estimulantes sobre determinados tipos de

erros nos ajudam a descobrir quão longe sua análise pode levar-nos ajudando-nos a

alterar concepções e crenças, vencer preconceitos tanto em relação ao próprio erro

como à disciplina e a proporcionar ganhos extremamente importantes para o

professor e para o aluno.

Não basta dizermos quais são os caminhos corretos e qual é o caminho que

nossos educandos devem percorrer em suas estratégias para a superação de seus

próprios erros. Mas é necessário que o aluno reconheça suas dificuldades, que os

seus conhecimentos ainda são insuficientes, pois só assim ele perceberá que, se

insistir nas estratégias erradas, continuará tendo dificuldades e não chegará a

conhecer o que a comunidade escolar considera como saber básico.

Segundo Rico (1995), o aparecimento de erros nas produções dos alunos

acontecem por várias causas, entre elas, as concepções inadequadas sobre os

aspectos fundamentais da Matemática, resultados de utilização de procedimentos

imperfeitos que, às vezes, não podemos reconhecer ou exemplos de métodos e

estratégias inventadas, não formais mais originais, para solução de alguns

problemas propostos.

Vejo, assim, que a análise de erros constitui um importante campo de estudo

e investigação em Educação Matemática, sendo também referenciada como ponto

de partida para inovações dentro do ensino de Matemática.

A Matemática é uma das Ciências que trabalha o raciocínio lógico, através da

exploração de diversos caminhos nas resoluções de problemas. Podem-se cometer

erros nessa caminhada, que também podem ser aproveitados para promover novas

aprendizagens. Este olhar sobre a Matemática é único, pois, se compararmos com a

área médica ou outras, como a Economia, por exemplo, as conclusões após um erro

podem ser desastrosas. Na Matemática, podem-se visualizar os erros como fonte de

motivação para os alunos, quando discutimos estratégias de resoluções, exploramos

de forma criativa as atividades valiosas de planejamentos e resoluções de

problemas.

Portanto o erro pode assumir, no ensino, o papel de um instrumento que

possa identificar problemas, de acordo com o nível e as séries envolvidas. Quando

os erros são analisados, podem ser superados, pois erro e acerto faz parte do

processo do ensino e aprendizagem. Por outro lado, a investigação que parte da

análise dos erros permite compreender o processo cognitivo dos nossos alunos e

assim auxiliá-los a construir novos conhecimentos. Esta é a idéia que ficou deste

trabalho e espero ter contribuído para que novas pesquisas sejam feitas sob o

mesmo enfoque, para que a análise de erros seja mais uma ferramenta para auxiliar

professores e alunos em sua caminhada na busca de uma aprendizagem

matemática mais adequada às necessidades da sociedade.

Alerta-se para a necessidade do educador identificar e refletir sobre os erros

cometidos pelos educandos, como sugerem autoras como Cury (2007) e Pinto

(2000), para através dessa análise, desenvolver propostas didáticas pedagógicas

que auxiliem os alunos a transpor esses obstáculos e construir conhecimentos bem

estruturados, bem como auxiliar os estudantes para que aos poucos, estes também

sejam capazes de refletir sobre seus próprios erros e corrigi-os autonomamente.

Apesar deste estudo não ter contemplado um retorno aos alunos em forma de

propostas didático-pedagógicas, buscou-se auxiliá-los na compreensão e correção

dos erros.

Referências

AMARAL, João J. F. Como fazer uma pesquisa bibliográfica. Fortaleza, 2007.

Disponível em: br.geocities.com/abs5famed/bibliografia.pdf . Acesso em: 15 de maio

de 2011.

ANDRINI, Álvaro; VASCONCELLOS, Maria José. Novo Praticando Matemática.

Volume 4. 1ª edição. São Paulo: Editora do Brasil, 2006. 248p.

BACKENDORF, V. R. Uma seqüência didática de medidas de comprimento e

superfície no 5° ano do ensino fundamental: um estudo de caso. 2010. 187f.

Dissertação (Mestrado em Educação Matemática) – Instituto de Matemática,

UFRGS, Porto Alegre, 2010. Disponível em:

<http://www.lume.ufrgs.br/bitstream/handle/10183/25221/000752787.pdf?sequence=

1>. Acesso em: 05 de janeiro de 2012.

BARALDI, I. M. Matemática na escola: que ciência é esta? Bauru, SP: Editora

Edusc, 1999.

BARICHELLO, L. Análise de resolução de problemas de cálculo diferencial em um

ambiente de interação escrita. Dissertação de Mestrado. Rio Claro, SP:

Universidade Estadual Paulista/IGCE. 2008. Disponível em:

<http://www.athena.biblioteca.unesp.br/exlibris/bd/brc/33004137031P7/2008/barichel

lo_l_me_rcla.pdf>. Acesso em: 25 de outubro de 2011.

BONJORNO, José Roberto; BONJORNO, Regina Azenha; AYRTON, Olivares.

Matemática: Fazendo a diferença 8º ano. 1ª Ed. São Paulo: FTD, 2006 – Coleção

Fazendo a diferença.

BOOTH, L. R. Children’s difficulties in beginning Álgebra. 1986. P.299-306.

Disponível em:

<http://elementaryalgebra.cmswiki.wikispaces.net/file/view/Childrens+Difficulties+in+

http://www.lume.ufrgs.br/bitstream/handle/10183/25221/000752787.pdf?sequence=1

http://www.lume.ufrgs.br/bitstream/handle/10183/25221/000752787.pdf?sequence=1

http://www.athena.biblioteca.unesp.br/exlibris/bd/brc/33004137031P7/2008/barichello_l_me_rcla.pdf

http://www.athena.biblioteca.unesp.br/exlibris/bd/brc/33004137031P7/2008/barichello_l_me_rcla.pdf

http://elementaryalgebra.cmswiki.wikispaces.net/file/view/Childrens+Difficulties+in+Beginning+Algebra.pdf/142535729/Childrens+Difficulties+in+Beginning+Algebra.pdf

Beginning+Algebra.pdf/142535729/Childrens+Difficulties+in+Beginning+Algebra.pdf>

. Acesso em : 09 dezembro de 2011

BOOTH, L. R. Dificuldades das Crianças que se Iniciam em Álgebra. In: COXFORD,

A. F.; SHULTE, A. P. (Orgs.). As Idéias da Álgebra. Tradução por Hygino H.

Domingues. São Paulo: Atual, 1994.

BOOTH, R. L. Dificuldades das crianças que se iniciam com álgebra. In: COXFORD,

A. F. & SHULTE, A. P. (org.). As idéias da Álgebra. São Paulo: Atual, 1995.

BRASIL. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais:

terceiro e quarto ciclos do ensino fundamental - Brasília: MEC/SEF, 1998.

CADERNO AVA 2000 Matemática: uma análise pedagógica. Secretaria de Estado

da Educação. Curitiba 2001. Disponível em:

<http://dc142.4shared.com/doc/w_OluzZt/preview.html>. Acesso em: 04 de maio de

2011

CARRAHER, T. N., SCHLIEMANN, A. D. Na vida dez, na escola zero. São Paulo:

Cortez Editora, 1989.

CARVALHO, Marlene. Alfabetizar e letrar: um diálogo entre a teoria e a prática.

Petrópolis: Vozes, 2005.

CENTENO, J. P. Números Decimales. Por qué? Para qué? Madrid: Editorial

Sínteses, 1988. Disponível em:

<http://maralboran.org/web_ma/Anaya/Anaya07/2ESO_PROFESOR/datos/05/02/02.

pdf>. Acesso em: 21 e Setembro e 2010.

CURY, H. N. Retrospectiva história e perspectivas atuais da análise de erros em

educação matemática. Zetetiké, v.3, n.4, p. 39-50, nov. 1995.

http://dc142.4shared.com/doc/w_OluzZt/preview.html

http://maralboran.org/web_ma/Anaya/Anaya07/2ESO_PROFESOR/datos/05/02/02.pdf

http://maralboran.org/web_ma/Anaya/Anaya07/2ESO_PROFESOR/datos/05/02/02.pdf

Cury, H. N. (2007). Análise de erros: o que podemos aprender com as respostas dos

alunos. Belo Horizonte: Autêntica.

CURY, Helena Noronha; BISOGNIN, Eleni; BISOGNIN, Vanilde. A ANÁLISE DE

ERROS COMO METODOLOGIA DE INVESTIGAÇÃO. Disponível em:

<http://www.apm.pt/files/142359_CO_Cury_Bisognin_Bisognin_4a36c5d50a09a.pdf>

Acesso em: 23 de setembro de 2011

DANTE, Luiz Roberto. Didática da Resolução de Problemas de Matemática.12ª ed.,

São Paulo: Ática, 2002

DAVIS, C. ; ESPÓSITO, Y. O Papel e a Função do Erro na Avaliação Escolar.

Revista Brasileira de estudos Pedagógicos, Brasília, v.72, n.171, p. 196-206, 1991.

ESTEBAN, M. T. Repensando o trabalho escolar. In: O sucesso escolar: um desafio

pedagógico. Caderno Cedes. São Paulo: Papirus, 1992.

FIORENTINI, D.; LORENZATO, S. Investigações em educação matemática; percursos

teóricos e metodológicos. Campinas: Autores Associados, 2006.

GIOVANNI, R. J.;CASTRUCCI, B.; GIOVANNI JR. R.J. A Conquista da Matemática.

São Paulo: FTD, 2009.

LÜDKE, M.; ANDRÉ, M.E.D.A. Pesquisa em educação; abordagens qualitativas. São

Paulo: EPU, 1986.

MALTA, Iaci. Sobre um Método não Tradicional para Aprender Cálculo. In:

CARVALHO, L. M.; GUIMARÃES, L. C. (org.). História e Tecnologia no Ensino de

Matemática, vol 1. Rio de Janeiro: IME - UERJ, 2002.

MEIRA, Luciano. Produção de sentidos na atividade algébrica. In: Atividade

Algébrica: Atividade algébrica e o problema do significado. Disponível em:

http://www.apm.pt/files/142359_CO_Cury_Bisognin_Bisognin_4a36c5d50a09a.pdf

<http://www.moderna.com.br/lumis/portal/file/fileDownload.jsp?fileId=4028818B2DE8

5E2F012DEB57644E5092>. Acesso em: 06 de novembro de 2011.

MIGUEL, Antônio; FIORENTINI, Dario; MIORIM, Maria Ângela. Álgebra ou

Geometria: Para onde Pende o Pêndulo? Pró-Posições, v. 3, n. 1(7), p. 39 – 54, mar.

1992.

MINAYO, M. C. S. O desafio do conhecimento - pesquisa qualitativa em saúde. São

Paulo: Hucitec, 1999. Disponível em:<http://www.scielo.br/pdf/csp/v9n3/02.pdf>

Acesso em: 10 dezembro de 2010.

MIORIM, Maria Ângela; MIGUEL, Antônio; FIORENTINI, Dario. Ressonâncias e

dissonâncias do movimento pendular entre álgebra e geometria no currículo escolar

brasileiro. Zetetiké, São Paulo, ano 1, n. 1, p. (19 – 39), 1993.

MORAES, R. Semeadores semeando suas sementes: A sala de aula na perspectiva

do educar pela pesquisa. 2004.

NERY, Chico. A Geometria Analítica no ensino médio. In: Revista do Professor de

Matemática. Sociedade Brasileira de Matemática. Nº 67, 3º quadrimestre de 2008. P.

19-30. ISSN 0102-4981

OLIVEIRA, Ana Teresa de C.C. Reflexões sobre a aprendizagem da Álgebra.

EDUCAÇÃO MATEMÁTICA EM REVISTA, ANO 09, N. 12, P 35-39, JUNHO DE

2002.

OLIVEIRA, Glenda Tharciana Felix Silva de et al. Aprendendo Matemática na

Educação Infantil. São Paulo- SP. 2009. Disponível em:

http://revistapaideia.unimesvirtual.com.br/index.php?journal=paideia&page=article&o

p=viewPDFInterstitial&path%5B%5D=129&path%5B%5D=70. Acesso em: 12 de

Fevereiro de 2012.

http://www.moderna.com.br/lumis/portal/file/fileDownload.jsp?fileId=4028818B2DE85E2F012DEB57644E5092

http://www.moderna.com.br/lumis/portal/file/fileDownload.jsp?fileId=4028818B2DE85E2F012DEB57644E5092

http://www.scielo.br/pdf/csp/v9n3/02.pdf

http://revistapaideia.unimesvirtual.com.br/index.php?journal=paideia&page=article&op=viewPDFInterstitial&path%5B%5D=129&path%5B%5D=70

http://revistapaideia.unimesvirtual.com.br/index.php?journal=paideia&page=article&op=viewPDFInterstitial&path%5B%5D=129&path%5B%5D=70

SPOLAR, Sueli. Erros em matemática UM ESTUDO DIAGNÓSTICO COM ALUNOS

DE 6ª SÉRIE DO ENSINO FUNDAMENTAL. Maríla-SP. 2002. Disponível em:

<http://educadores.diaadia.pr.gov.br/arquivos/File/2010/artigos_teses/MATEMATICA

/Sueli.pdf>. Acesso em 12 e Janeiro de 2012.

PIAGET, J. Para onde vai a educação? 8 ed. Rio de Janeiro: José Olympio Editora,

1984.

PINTO, N. B. O Erro como Estratégia Didática. Campinas: Papirus, 2000.

PINTO, N.B. Marcas históricas da matemática moderna no Brasil. Curitiba:

Champagnat. Pontifícia Universidade Católica do Paraná. Revista Diálogo

Educacional. V.5, n.16, 2005, pp. 25-38.

POLYA, George. A arte de resolver problemas: um novo aspecto do método

matemático. Tradução e Adaptação Heitor Lisboa Araújo. Rio de Janeiro:

Interciência, 1994.

POZO, Juan Ignacio. A solução de problemas. Porto Alegre: Artmed, 1998.

RICO, L. Errores en el Aprendizaje de las Matemáticas. In: KILPATRICK J. ; GOMEZ

P. ; Rico, L. Educación Matemática. Colômbia: Grupo Editorial Iberoamérica, 1995.

p. 69-108.

ROCHA, I. C. B., Ensino da Matemática: Formação para exclusão ou para a

cidadania? Educação Matemática em Revista. Sociedade Brasileira de Educação

Matemática. nº 9/10. Abril 2001. São Paulo. p.22-31

RODRIGUES, Wagner Pulido. Uma abordagem conceitual de volumes no Ensino

Médio. São Paulo – SP. 2011. Disponível em:

http://www.pucsp.br/pos/edmat/ma/dissertacao/wagner_pulido_rodrigues.pdf Acesso

em 22 e Outubro de 2011.

http://educadores.diaadia.pr.gov.br/arquivos/File/2010/artigos_teses/MATEMATICA/Sueli.pdf

http://educadores.diaadia.pr.gov.br/arquivos/File/2010/artigos_teses/MATEMATICA/Sueli.pdf

http://www.pucsp.br/pos/edmat/ma/dissertacao/wagner_pulido_rodrigues.pdf

RUDIO, Franz Victor. Introdução ao projeto de pesquisa científica. Petrópolis, RJ:

Vozes, 1986.

SILVA, E. L. e MENEZES, E. M. Metodologia da Pesquisa e Elaboração de

Dissertação. Florianópolis: UFSC, 2001. Disponível em:

<http://projetos.inf.ufsc.br/arquivos/Metodologia%20da%20Pesquisa%203a%20edica

o.pdf>. Acesso em 25 de Junho de 2010.

http://projetos.inf.ufsc.br/arquivos/Metodologia%20da%20Pesquisa%203a%20edicao.pdf

http://projetos.inf.ufsc.br/arquivos/Metodologia%20da%20Pesquisa%203a%20edicao.pdf

APÊNDICE

Universidade do Estado da Bahia – UNEB

Departamento de Educação de Senhor do Bonfim – DEDC Campus VII

Curso: Licenciatura em Matemática Semestre 2011.2

Disciplina: TCC III

QUESTÃO 01

Resolva a equação 5(x + 2) – 4(x + 1) = 3 + x.

QUESTÃO 02

Qual é o número inteiro cujo dobro aumentado de 9 é igual ao seu quádruplo

diminuído de 21?

QUESTÃO 03

As medidas das dimensões de um terreno retangular são dadas em metros e estão

indicadas na figura. Para cerca-lo com arame farpado, foram gastos 134 metros

desse material. Quais são as dimensões desse terreno?

QUESTÃO 04

No estacionamento de um edifício há carros e motos, totalizando 13 veículos e 46

rodas. Quantos carros e quantas motos há nesse estacionamento?

a) 11 carros e 2 motos

b) 10 carros e 3 motos

Nome completo do aluno(a):________________________________________________________________

c) 9 carros e 4 motos

d) 8 carros e 5 motos

QUESTÃO 05

Numa lanchonete, a despesa de R$ 48,00 foi dividida entre três pessoas da

seguinte forma:

Quantos reais coube a cada uma dessas três pessoas?

Documents

Monografia Érica Matemática 2012