MONOGRAFIA Funciones y Limites

7/21/2019 MONOGRAFIA Funciones y Limites

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MONOGRAFIA

FUNCIONES Y LIMITES

ALUMNO

Jean Paul Núñez Domínguez

PROFESOR

Enrique Pacheco Aliaga

SECCIÓN

4to Secundaria

2015



DEDICATORIA

Quiero dedicar el presente traa!o en especial a Dios" quien guía mis pasos" # de manera especial a

mis padres" quienes me apo#an # acompañan para poder a$anzar en la realizaci%n de mis tareas

escolares" esperando poder retriuirles con mi es&uerzo # uenas notas

ÍNDICE GENERAL

DED'(A)*+'A,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,-

'N)+*D.(('/N,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,40.N('*NES,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,1

2



2, (*N(EP)* DE 0.N('/N,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,1

-, 0.N('*N (.AD+A)'(A,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,3

, 0.N('/N 5*6A+7)8'(A,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,9

4, 5*6A+')8*S,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,:

1, 0.N('/N E;P*NEN('A5,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,22

3, 0.N('/N 5'NEA5,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,21

<, DE0'N'('/N DE 5'8')ES,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,23

9, )E*+E8AS S*=+E 578')ES,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,29

:, P+*P'EDADES DE 5*S 578')ES>,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,-?

(*N(5.S'/NES,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,--

+E0E+EN('AS ='=5'*6+A0'(AS,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,-

INTRODUCCIÓN

5a presente monogra&ía nos mostrar todo lo relacionado a las &unciones # limites matem@ticos" se

inicia recordando el concepto de &unci%n # dando algunas nociones @sicas sore &unciones" para dar

paso al estudio del límite de una &unci%n" c@lculo de límites de &unciones # continuidad,

Es un tema mu# importante para nuestras $idas" #a que la matem@tica es un curso que $eremos en

casi toda nuestra $ida acadmica" #a que para estudiar alguna carrera en el &uturo se lle$a la

3



matem@tica en un ni$el m@s ele$ado # de ella &orman parte las &unciones # limites como puntos cla$e

para poder desarrollarnos ien en estos temas en el &uturo" deemos aprender sus conceptos #

desarrollo pero a un ni$el que podamos entender pues son temas un poco comple!os,

FUNCIONES

1. CONCEPTO DE FUNCIÓN

Es una regla de asociaci%n que relaciona dos o m@s con!untos entre síB generalmente cuandotenemos la asociaci%n dos con!untos las &unci%n se de&ine como una regla de asociaci%n entre

un con!unto llamado dominio con uno llamado condominio" tamin dominio e imagen

respecti$amente o dominio # rango, Esta regla de asociaci%n no perm!e relacionar un mismo

elemento del dominio con dos elementos del condominio,

F"#r$ 1, De&inici%n de &unci%n que se ampara a!o una regla de asociaci%n de elementos del

dominio con elementos del condominio" imponiendo la restricci%n de relacionar un elemento del

dominio con uno del condominio" sin importar si los elementos del condominio puedan estar

relacionados con dos o m@s del condominio,

4



Donde se dice que & > A = C& es una &unci%n de A en =" o & es una &unci%n que toma elementos del

dominio A # los aplica sore otro llamado condominio =

Se dice que el dominio de una función son todos los $alores que puede tomar el con!unto del

dominio # que encuentra correspondencia en el con!unto llamado condominio" generalmente

cuando se hala del plano" el dominio es el inter$alo de $alores que est@n sore el e!e de las ;s

# que nos generan una asociaci%n en el e!e de las Fs,

El otro con!unto que inter$iene en la de&inici%n es el con!unto llamado condominio o rango de la

función, en ocasiones llamado imagen, este con!unto es la gama de $alores que puede tomar

la &unci%nB en el caso del plano son todos los $alores que puede tomar la &unci%n o $alores en el

e!e de las Fs,

)amin" cuando se gra&ica en el plano cartesiano se tiene una relaci%n de dos $ariales"

considerando como $ariale aquella literal que esta su!eta a los $alores que puede tomar la otra,

• %$r$&'e( )epen)en!e(

Son aquellas $ariales que como su nomre lo indica" dependen del $alor que toma las otras

$ariales Por e!emplo> f(x)= x " y o f(x) es la $ariale dependiente #a que est@ su!eta a los

$alores que se le suministre a x ,

• %$r$&'e n)epen)en!e

Es aquella $ariale que no depende de ninguna otra $ariale" en el e!emplo anterior la x es la

$ariale independiente #a que la # es la que depende de los $alores de x.

• %$r$&'e *on(!$n!e

Es aquella que no est@ en &unci%n de ninguna $ariale # siempre tiene el mismo $alor e!emplo>

FG-" la constante gra$itacional" entre otras,

2. FUNCION CUADRATICA

.na &unci%n cuadr@tica es aquella que puede escriirse de la &orma>

+,- / $-2 &- *

Donde $" & # * son números reales cualesquiera # $ distinto de cero,

5



Si representamos HtodosH los puntos CI"&CI de una &unci%n cuadr@tica" otenemos siempre una

cur$a llamada parábola,

(omo e!emplo" ahí tienes la representaci%n gr@&ica de dos &unciones cuadr@ticas mu# sencillas>

• &CI G I-

• &CI G I-

• O&!en*n

El $rtice de una par@ola est@ situado en el e!e de sta #" por tanto" su ascisa ser@ el punto

medio de las ascisas de dos puntos de la par@ola que sean simtricos,

(omo toda &unci%n cuadr@tica pasa por el punto C?" c # el simtrico de ste tiene de ascisa I G

Ka" la del $rtice ser@ 3 / 4&2$, 5a ordenada Y3 se calcula sustitu#endo el $alor de 3 en la

ecuaci%n de la &unci%n,

• Intersección de la parábola con los ejes

• In!er(e**n *on e' e6e OY7 (omo todos los puntos de este e!e tienen la ascisa I G ?" el

punto de corte de la par@ola con el e!e *F tendr@ de coordenadas ,08*

• In!er(e**n *on e' e6e O7 (omo todos los puntos del e!e *; tienen la ordenada # G ?" para

$er estos puntos de corte se resuel$e la ecuaci%n de segundo grado aI- L I L c G ?,

Dependiendo del $alor del )(*rmn$n!e ,D de la ecuaci%n" se pueden presentar tres

situaciones distintas>

• Si D 9 0" la ecuaci%n tiene dos soluciones reales # distintas # '$ p$r:&o'$ *or!$r: $' e6e O en

)o( p#n!o(,• Si D / 0" la ecuaci%n tiene una soluci%n real #" por tanto" '$ p$r:&o'$ *or!$r: $' e6e O en #n

p#n!o Cque ser@ el $rtice,

• Si D ; 0" la ecuaci%n no tiene soluciones reales #'$ p$r:&o'$ no *or!$r: $' e6e O,

RESUMEN

)oda &unci%n cuadr@tica +,- / $-2 &- *" representa una par@ola tal que>

• Su &orma depende eIclusi$amente del coe&iciente $ de I-,

• 5os coe&icientes & # * trasladan la par@ola a izquierda" derecha" arria o aa!o,

• Si $ 9 0" las ramas $an hacia arria # si $ ; 0" hacia aa!o,

6



• (uanto m@s grande sea el $alor asoluto de $" m@s cerrada es la par@ola,

• EIiste un único punto de corte con el e!e *F" que es el ,08*

• 5os cortes con el e!e *; se otienen resol$iendo la ecuaci%n $-2 &- */0" pudiendo ocurrir

que lo corte en dos puntos" en uno o en ninguno,

• 5a primera coordenada del $rtice es 3 / 4&2$,

<. FUNCIÓN LOGARÍTMICA

(on el uso de los logaritmos" los procesos de multiplicaci%n" di$isi%n" ele$aci%n a potencias #

eItracci%n de raíces entre números reales pueden simpli&icarse notoriamente,

El proceso de multiplicaci%n es reemplazado por una sumaB la di$isi%n" por una sustracci%nB laele$aci%n a potencias" por una simple multiplicaci%n" # la eItracci%n de raíces" por una di$isi%n,

8uchos c@lculos algeraicos" que son di&íciles o imposiles por otros mtodos" son &@ciles de

desarrollar por medio de los logaritmos,

Se llama &unci%n logarítmica a la &unci%n real de $ariale real>

aM2

?a2

5a &unci%n logarítmica es una aplicaci%n i#ecti$a de&inida de +O L en +>

• 5a &unci%n logarítmica solo est@ de&inida sore los números Positi$os,

• 5os números negati$os # el cero no tienen logaritmo

• 5a &unci%n logarítmica de ase a es la recíproca de la 0unci%n

EIponencial de ase =$=,

• 5as &unciones logarítmicas m@s usuales son la de ase 2? # la de ase e G -<29-92,,,

Deido a la continuidad de la &unci%n logarítmica" los límites de la 0orma

Se hallan por medio de la &%rmula>

>. LOGARITMOS

A las operaciones" #a conocidas" de Adici%n" Sustracci%n" 8ultiplicaci%n" Di$isi%n" Potenciaci%n #

+adicaci%n" añadimos una nue$a que llamamos Lo"$r!m$*n,

7



5os logaritmos &ueron introducidos en las matem@ticas con el prop%sito de &acilitar" simpli&icar o

incluso" hacer posile complicados c@lculos numricos, .tilizando logaritmos podemos con$ertir >

productos en sumas" cocientes en restas" potencias en productos # raíces en cocientes,

De+n*n

Se llama logaritmo en ase a del número I al eIponente al que ha# que ele$ar la ase para

otener dicho número, Que se lee > Hel logaritmo en ase a del número I es H " o tamin >

Hel número se llama logaritmo del número I respecto de la ase aH,

(omo podemos $er" un logaritmo no es otra cosa que un eIponente" hecho que no deemos

ol$idar cuando traa!emos con logaritmos,

5a constante $ es un número real positi$o distinto de 2" # se denomina ase del sistema de

logaritmos, 5a potencia a para cualquier $alor real de solo tiene sentido si a M ?,

5a &unci%n logarítmica Co &unci%n logaritmo es una aplicaci%n i#ecti$a del con!unto de los

números reales positi$os" sin el cero" en el con!unto de los números reales>

Es la &unci%n in$ersa de la &unci%n eIponencial,

5a operaci%n logaritmaci%n CeItracci%n de logaritmos" o tomar logaritmos es siempre posile en

el campo real cuando tanto la ase a del logaritmo como el número I son positi$os" Csiendo"

adem@s" a distinto de 2

• Prope)$)e(

• Lo"$r!mo( De*m$'e(

Se llaman logaritmos decimales o $ulgares a los logaritmos que tienen por ase el número 2?, Al

ser mu# haituales es &recuente no escriir la ase,

• Lo"$r!mo( Neper$no(

Se llaman logaritmos neperianos" naturales o hiper%licos a los logaritmos que tienen por ase el

número e,

• C$m&o )e ?$(e

• An!'o"$r!mo

Es el número que corresponde a un logaritmo dado, (onsiste en el prolema in$erso al c@lculodel logaritmo de un número, es decir" consiste en ele$ar la ase al número resultado

8



• Co'o"$r!mo

Se llama cologaritmo de un número N al logaritmo de su recíproco,

• E@#3$'en*$( !'e(

• E*#$*one( Lo"$rB!m*$( 7

Aquella ecuaci%n en la que la inc%gnita aparece sometida a la operaci%n de logaritmaci%n,

5a igualdad de los logaritmos de dos eIpresiones implica la igualdad de amas, Cprincipio en el

que se &undamenta la resoluci%n de ecuaciones logarítmicas" tamin se llama Htomar

antilogaritmosH

0recuentemente se resuel$en aplicando las propiedades de los logaritmos antes enunciadas" en

orden in$erso" simpli&icando # realizando trans&ormaciones oportunas,

• S(!em$( )e E*#$*one( Lo"$rB!m*$(

Se llaman sistemas de ecuaciones logarítmicas a los sistemas de ecuaciones en los que las

inc%gnitas est@ sometida a la operaci%n logaritmo,

Se resuel$en como los sistemas ordinarios pero utilizando las propiedades de los logaritmos

para realizar trans&ormaciones con$enientes,

• C$r$*!erB(!*$( !'e(

Si a M 2

5os números menores que 2 tienen logaritmo negati$o

5os números ma#ores que 2 tienen logaritmo positi$o

Si ? a 2

5os números menores que 2 tienen logaritmo positi$o

5os números ma#ores que 2 tienen logaritmo negati$o

5. FUNCIÓN EPONENCIAL

En la naturaleza # en la $ida social eIisten numerosos &en%menos que se rigen por le#es de

crecimiento eIponencial, )al sucede" por e!emplo" en el aumento de un capital in$ertido a inters

continuo o en el crecimiento de las polaciones, En sentido in$erso" tamin las sustancias

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radiacti$as siguen una le# eIponencial en su ritmo de desintegraci%n para producir otros tipos de

@tomos # generar energía # radiaciones ionizantes,

• De+n*n

Se llama +#n*n e-ponen*$' de &$(e a aquella cu#a &orma genrica es & CI G aI" siendo a unnúmero positi$o distinto de 2, Por su propia de&inici%n" toda &unci%n eIponencial tiene por

dominio de de&inici%n el con!unto de los números reales +,

5a &unci%n eIponencial puede considerarse como la in$ersa de la &unci%n logarítmica" por cuanto

se cumple que>

+epresentaci%n gr@&ica de $arias &unciones eIponenciales,

0unci%n eIponencial" según el $alor de la ase,

• Prope)$)e( )e '$( +#n*one( e-ponen*$'e(

Para toda &unci%n eIponencial de la &orma &CI G aI" se cumplen las siguientes propiedades

generales>

• 5a &unci%n aplicada al $alor cero es siempre igual a 2>

& C? G a? G 2,

• 5a &unci%n eIponencial de 2 es siempre igual a la ase>

10



& C2 G a2 G a,

• 5a &unci%n eIponencial de una suma de $alores es igual al producto de la aplicaci%n de dicha

&unci%n aplicada a cada $alor por separado,

& CI L IR G aILIR G aI aIR G & CI & CIR,

• 5a &unci%n eIponencial de una resta es igual al cociente de su aplicaci%n al minuendo di$ididapor la &unci%n del sustraendo>

& CI IR G aIIR G aIKaIR G & CIK& CIR,

• L$ +#n*n e-

.n caso particularmente interesante de &unci%n eIponencial es & CI G eI, El número e" de $alor

-"<29-929-91,,," se de&ine matem@ticamente como el límite al que tiende la eIpresi%n>

C2 L 2Knn

(uando el $alor de n crece hasta aproIimarse al in&inito, Este número es la ase elegida para los

logaritmos naturales o neperianos,

5a &unci%n eI presenta algunas particularidades importantes que re&uerzan su inters en las

descripciones &ísicas # matem@ticas, .na de ellas es que coincide con su propia deri$ada,

• E*#$*one( e-ponen*$'e(

Se llama e*#$*n e-ponen*$' a aquella en la que la inc%gnita aparece como e-ponen!e, .n

e!emplo de ecuaci%n eIponencial sería aI G ,

Para resol$er estas ecuaciones se suelen utilizar dos mtodos alternati$os>

• I"#$'$*n )e '$ &$(e> consiste en aplicar las propiedades de las potencias para lograr que en

los dos miemros de la ecuaci%n aparezca una misma ase ele$ada a distintos eIponentes>

AI G A#,

En tales condiciones" la resoluci%n de la ecuaci%n proseguiría a partir de la igualdad I G #,

• C$m&o )e 3$r$&'e> consiste en sustituir todas las potencias que &iguran en la ecuaci%n por

potencias de una nue$a $ariale" con$irtiendo la ecuaci%n original en otra m@s &@cil de resol$er,

--I -I 4 G ? t- t 4 G ?

luego se RdeshaceR el camio de $ariale,

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Por otra parte" un sistema de ecuaciones se denomina eIponencial cuando en alguna de sus

ecuaciones la inc%gnita aparece como eIponente, Para la resoluci%n de ((!em$( )e

e*#$*one( e-ponen*$'e( se aplican tamin" según con$enga" los mtodos de igualaci%n de

la ase # de camio de $ariale,

• E' $6e)re 'o( "r$no( )e !r"o

.na conocida le#enda oriental o&rece una descripci%n mu# eIacta de una &unci%n eIponencial,

(uentan que un re# quiso premiar las dotes adi$inatorias del sumo sacerdote que haía predicho

una eItraordinaria $ictoria en una atalla, El sacerdote pidi% - granos de trigo por la primera

casilla de un talero de a!edrez" 4 por la segunda" 9 por la tercera" # el dole cada $ez por cada

nue$a casilla, El re# pareci% complacido por la modestia del sacerdote,,, hasta que compro% la

magnitud de su petici%n>

-34L -3 L ,,, L -- L - granos de trigo" una cantidad inimaginale" que no se almacenaa entodo el reino, 5os sumandos de esta eIpresi%n responderían" en la notaci%n matem@tica actual" a

la &unci%n -I" para el dominio

I G 2" -" " ,,," 34,

• EL n!er( *on!no

El capital otenido de la in$ersi%n de un capital inicial (? a un inters compuesto r en n periodos

anuales sigue la &%rmula>

( G (? C2 L r K nnt"siendo t el tiempo transcurrido desde el inicio de la in$ersi%n ,

Se llama inters continuo a una in$ersi%n de este tipo en la que se considera que los inter$alos

de tiempo son cada $ez m@s pequeños" hasta que la acumulaci%n de intereses es instant@nea,

5a &%rmula del inters continuo es de tipo eIponencial>

( G (? T ert,

De(n!e"r$*n r$)$*!3$

5as sustancias radiacti$as se desintegran paulatinamente trans&orm@ndose en otras clases de

@tomos # emitiendo energía # radiaciones ionizantes, 5a le# de desintegraci%n radiacti$a es de

tipo eIponencial decreciente" de manera que si +? es la cantidad inicial de sustancia # U la

constante de desintegraci%n asociada al elemento químico" la cantidad remanente al cao de un

tiempo t ser@>

+ G +? V eUt,

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Cre*men!o )emo"r:+*o

5as cur$as de crecimiento $egetati$o de una polaci%n" estalecido como la di&erencia entre

nacimientos # muertes para un inter$alo de tiempo dado" siguen una le# eIponencial, siendo P?

la polaci%n inicial e i el índice de crecimiento anual en tanto por uno" # se considera una tasa de

crecimiento continuo" la polaci%n seguir@ la le# eIponencial>

P G P? V eit,

. FUNCIÓN LINEAL

Son líneas rectas que representan camios de constante" es decir que el $alor de es igual a un

número real por el $alor de la

Su ecuaci%n es> / m - &" donde HH es un número real al que se lo llama ordenada al origen

# HmH se denomina pendiente,

/ m-

su gr@&ica es una linea recta que pasa por el origen de coordenadas, # G -I

- 0 1 2 < >

/

2

- 0 2 >

• Pen)en!e

5a pendiente es la inclinaci%n de la recta con respecto al e!e de ascisas,

Si m M ? la &unci%n es creciente # @ngulo que &orma la recta con la parte positi$a del e!e *; es

agudo

Si m ? la &unci%n es decreciente @ngulo que &orma la recta con la parte positi$a del e!e *; es

otuso,

H. DEFINICIÓN DE LIMITES

13



Antes de empezar" con$iene recordar el concepto de HtenderH, (uando decimos" por e!emplo" a

qu $alor tiene la &unci%n nos re&erimos a qu $alor se acerca la &unci%n Ccae aclarar que

halamos de HacercarseH" pero no de HllegarH a ese $alor,

De&inici%n intuiti$a de límite> Si los $alores de &CI pueden hacerse aritrariamente cercanos a un

número Cúnico 5" cuando I se acerca a un número A por amos lados" entonces decimos que Hel

límite de &CI es 5 cuando I tiende a AH

5im &CIG5

IW A

De&inici%n &ormal de límite> la &unci%n &CI tiene como límite 5 en el punto de acumulaci%n IGA

cuando el $alor asoluto Cel m%dulo de la di&erencia entre los $alores &CI # 5 se puede hacer tan

pequeño como se quiera con tal de considerar $alores de I su&icientemente pr%Iimos a A,

5im &CIG5

IW A

,,, si para todo E ?" eIiste un X ? tal que K&CI5K E cuando KIAK X

Quiz@s te sir$a $erlo me!or en un e!emplo> hacemos la tala de $alores de la &unci%n &CIG I-L2,

I ,,,,,,,,,,,,,,,,&CIG I-L2

-"-,,,,,,,,,,,,,,,,,,1"94

-"2,,,,,,,,,,,,,,,, ,1"42

-"?2,,,,,,,,,,,,,,,,1"?4

-"??2,,,,,,,,,,,,,,1"??4

2":,,,,,,,,,,,,,,,,,,4"32

2"::,,,,,,,,,,,,,,,,4":3

2":::,,,,,,,,,,,,,,4"::3

5os $alores de I que est@n en $erde son aquellos que se aproIiman a - por la derecha" por

$alores ma#ores que -, 5os que est@n en rosa son los $alores de I que se aproIiman a - por la

izquierda" por $alores menores que -,

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(omo se puede $er en el gr@&ico" a medida que los $alores de I se aproIiman cada $ez m@s a -"

tanto por la derecha como por la izquierda" los $alores que determina la &unci%n se aproIiman

cada $ez m@s al número 1, Esto se eIpresa diciendo que la &unci%n &CIG I-L2 tiene límite 1 en

el punto IG- o cuando I tiende a -" que se indica sim%licamente>

5im &CI-L2G1

IW -

Eso se lee así> límite de CI-L2 para I tendiendo a - es igual a 1, )amin se dice que dicha

&unci%n tiende a 1 cuando I tiende a -" que se indica así> CI-L2W 1 cuando IW -

. TEOREMAS SO?RE LÍMITES

Teorem$ 17 límite de una &unci%n constante,

Sea &CIGUCconstante" entonces>

5im &CIG5imUGU

IW A,,,,,IW A

Teorem$ 2> límite de &CIGI cuando IW A

Sea &CIGI" entonces

5im &CIG5imIGA

IW A,,,,,IW A

Teorem$ <> límite de una &unci%n multiplicada por una constante

15



Sea U una constante # &CI una &unci%n dada" entonces>

5im U&CIGU5im&CIGA

IW A,,,,,IW A

Teorem$ >7 límite de una suma" resta" producto # cociente de &unciones

Supongamos que,, 5im &CIG52 # 5im gCIG5-

IW A,,,, ,,,,,,,,IW A

Entonces>

5im C&CILgCIG52 L5-

IW A,,,

5im C&CIgCIG525-

IW A,

,,,,,,,, ,5im C&CIOgCIG52O5-

,,IW A,

,,,,,,,,,,5im C&CIYgCIG52Y5-

,,,IW A

Teorem$ 57 límite de una potencia

Sea n un número entero positi$o" entonces>

5im InGan

IW A,,,

Teorem$ 7 límite de un polinomio

Sea &CI una &unci%n polinominal" entonces>

5im &CIG&CA

IW A,,,

Teorem$ H7 límite de una &unci%n racional

Sea &CIG pCIYqCI un cociente de polinomios" entonces>

16



5im &CIGpCAYqCA Csi qCA no es cero

IW A,,,

Teorem$ 7 límite de una &unci%n que contiene un radical

Sea A ? # n es cualquier entero positi$o" o ien" si A ? # n es un entero positi$o impar" entonces>

5im I2YnGA2Yn

IW A,,,

Teorem$ 7 límite de una &unci%n compuesta

Supongamos que,, 5im gCIG5 # 5im &CIG &C5

IW A,,,, ,,,,,,IW 5

Entonces>

5im & CgCIG &C5

IW A,,

. PROPIEDADES DE LOS LÍMITES72 Si dos &unciones &CI # gCI toman $alores iguales en un entorno reducido de un punto de

acumulaci%n IGa # una de ellas tiene límite l en ese punto" la otra tamin tiene límite l en

a,- Si una &unci%n tiene límite en un punto" ese límite es único, .na &unci%n no puede tener dos

límites distintos en un punto, Si una &unci%n tiene límite l en un punto" en un entorno reducido del mismo" la &unci%n toma

$alores menores que cualquier número ma#or que el límite # ma#ores que cualquier

número menor que el límite

Si una &unci%n tiene en un punto un límite distinto de cero" en un entorno reducido del punto" la

&unci%n determina $alores del mismo signo que su límite

)oda &unci%n que tiene límite &inito en un punto" est@ acotada en un entorno reducido del mismo

4 Si en un entorno reducido de un punto" los $alores que determina la &unci%n est@n

comprendidos entre los de otras dos &unciones que tienen el mismo límite en ese punto" ella

tamin tiene ese mismo límite en el punto,

LBm!e( '$!er$'e(7

17



(uando las condiciones que eIigen la eIistencia de límite de una &unci%n en un punto a" se

$eri&ican solamente para $alores de I menores que a" se dice que eIiste límite por la izquierda

de a,

Si las condiciones se $eri&ican únicamente para $alores de I ma#ores que a se dice que eIiste

límite por la derecha de a,

)omemos el siguiente e!emplo de la &unci%n discontinua &CI>

CONCLUSIÓNES

)ras el estudio de las &unciones matem@ticas" podemos concluir en que son mu# importantestanto para las matem@ticas como para muchas otras ciencias,

18



El o!eti$o planteado en la introducci%n se cumpli%" #a que se pudo oser$ar a lo largo del

desarrollo del traa!o los di&erentes usos de las &unciones # límites" al haer tamin estudiado

las ecuaciones matem@ticas" queda como un modelo que podemos aplicar &rente a cierta

prolem@tica,

REFERENCIAS ?I?LIOGRAFICAS

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http://analisismatematico.wordpress.com/2008/05/21/funcion-constante/

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MONOGRAFIA Funciones y Limites