“Año de la Diversificación Productiva y del Fortalecimiento de la Educación”

UNIVERSIDAD PERUANA LOS ANDES

FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS Y CONTABLES

“CARRERA PROFESIONAL DE ADMINISTACION Y SISTEMAS”

CATEDRA: METODOS CUANTITATIVOS DE NEGOCIOS

CATEDRATICO: Econ. ROMERO BELLEDONE, ARIEL

INTEGRANTES:

DE LA CRUZ MOSCOSO, Miqueas

ALVAREZ ROJAS, Jean

RUDAS BASALDUA, Yoselin

TAIPE MONTES, Angel

CICLO: V

SECCIÓN: B1

2015-I

Teoría de colas

INTRODUCCION

Básicamente los objetivos de la teoría de colas permiten identificar el nivel óptimo de capacidad del sistema que minimiza el coste global del mismo, sin dejar de lado la atención al tiempo de permanencia en el sistema o en la cola.

Esta teoría aparece a principios del siglo XX para estudiar los problemas de congestión de tráfico que se presentaban en las comunicaciones telefónicas. Erlang, destacado matemático danés, fue el primero en tratar el tráfico telefónico de forma científica (entre los años 1903 y 1905), y estableció la unidad de tráfico telefónico, que recibe su nombre.

TEORÍA DE COLAS

LINEAS DE ESPERA - OBSTRUCCION

DEFINICIÓN:

La teoría de colas es el estudio matemático de las colas o líneas de espera dentro de un sistema. Esta se presenta, cuando los “clientes” llegan a un “lugar” demandando un servicio a un “servidor”, el cual tiene una cierta capacidad de atención. Si el servidor no está disponible inmediatamente y el cliente decide esperar, entonces se forma la línea de espera.

¿QUE ES UNA COLA (líneas de espera)?

La cola, propiamente dicha, es el conjunto de clientes que hacen espera, es decir los clientes que ya han solicitado el servicio pero que aún no han pasado al mecanismo de servicio.

Una cola es una línea de espera y la teoría de colas es una colección de modelos matemáticos que describen sistemas de línea de espera particulares o sistemas de colas.

¿QUE SON LOS SISTEMAS DE COLAS?

Los sistemas de colas son modelos de sistemas que proporcionan servicio. Como modelo, pueden representar cualquier sistema en donde los trabajos o clientes llegan buscando un servicio de algún tipo y salen después de que dicho servicio haya sido atendido.El sistema de la cola: es el conjunto formado por la cola y el mecanismo de servicio, junto con la disciplina de la cola, que es lo que nos indica el criterio de qué cliente de la cola elegir para pasar al mecanismo de servicio.

ORIGEN:

El origen de la Teoría de Colas está en el esfuerzo de Agner Kraup Erlang (Dinamarca, 1878 - 1929) en 1909 para analizar la congestión de tráfico telefónico con el objetivo de cumplir la demanda incierta de servicios en el sistema telefónico de Copenhague. Sus investigaciones acabaron en una nueva teoría denominada teoría de colas o de líneas de espera. Esta teoría es ahora una herramienta de valor en negocios debido a que un gran número de problemas pueden caracterizarse, como problemas de congestión llegada-salida.

MODELO DE FORMACIÓN DE COLAS:

 En los problemas de formación de cola, a menudo se habla de clientes, tales como personas que esperan la desocupación de líneas telefónicas, la espera de máquinas para ser reparadas y los aviones que esperan aterrizar y estaciones de servicios, tales como mesas en un restaurante, operarios en un taller de reparación, pistas en un aeropuerto, etc. Los problemas de formación de colas a menudo contienen una velocidad variable de llegada de clientes que requieren cierto tipo de servicio, y una velocidad variable de prestación del servicio en la estación de servicio.

En la teoría de la formación de colas, generalmente se llama sistema a un grupo de unidades físicas, integradas de tal modo que pueden operar al unísono (un mismo tiempo) con una serie de operaciones organizadas.La teoría de la formación de colas busca una solución al problema de la espera prediciendo primero el comportamiento del sistema. Pero una solución al problema de la espera consiste en no solo en minimizar el tiempo que los clientes pasan en el sistema, sino también en minimizar los costos totales de aquellos que solicitan el servicio y de quienes lo prestan.

OBJETIVOS DE LA TEORÍA DE COLASLos objetivos de la teoría de colas consisten en:

Identificar el nivel óptimo de capacidad del sistema que minimiza el coste global del mismo.Evaluar el impacto que las posibles alternativas de modificación de la capacidad del sistema tendrían en el coste total del mismo.Establecer un balance equilibrado ("óptimo") entre las consideraciones cuantitativas de costes y las cualitativas de servicio.Hay que prestar atención al tiempo de permanencia en el sistema o en la cola: la "paciencia" de los clientes depende del tipo de servicio específico considerado y eso puede hacer que un cliente "abandone" el sistema.

ELEMENTOS EXISTENTES EN UN MODELO DE COLAS

Proceso Básico de Colas:

Los clientes que requieren un servicio se generan en una fase de entrada. Estos clientes entran al sistema y se unen a una cola. En determinado momento se selecciona un miembro de la cola, para proporcionarle el servicio, mediante alguna regla conocida como disciplina de servicio. Luego, se lleva a cabo el servicio requerido

por el cliente en un mecanismo de servicio, después de lo cual el cliente sale del sistema de colas.

Fuente de entrada o población potencial:

Es un conjunto de individuos (no necesariamente seres vivos) que pueden llegar a solicitar el servicio en cuestión.

Podemos considerarla finita o infinita. Aunque el caso de infinitud no es realista, sí permite (por extraño que parezca) resolver de forma más sencilla muchas situaciones en las que, en realidad, la población es finita pero muy grande. Dicha suposición de infinitud no resulta restrictiva cuando, aun siendo finita la población potencial, su número de elementos es tan grande que el número de individuos que ya están solicitando el citado servicio prácticamente no afecta a la frecuencia con la que la población potencial genera nuevas peticiones de servicio.

Cliente:

Es todo individuo de la población potencial que solicita servicio. Suponiendo que los tiempos de llegada de clientes consecutivos son 0<t1<t2<..., será importante conocer el patrón de probabilidad según el cual la fuente de entrada genera clientes. Lo más habitual es tomar como referencia los tiempos entre las llegadas de dos clientes consecutivos: clientes consecutivos: T{k} = tk - tk-1, fijando su distribución de probabilidad. Normalmente, cuando la población potencial es infinita se supone que la distribución de probabilidad de los Tk (que será la llamada distribución de los tiempos entre llegadas) no depende del número de clientes que estén en espera de completar su servicio, mientras que en el caso de que la fuente de entrada sea finita, la distribución de los Tk variará según el número de clientes en proceso de ser atendidos.

Capacidad de la cola:

Es el máximo número de clientes que pueden estar haciendo cola (antes de comenzar a ser servidos). De nuevo, puede suponerse finita o infinita. Lo más sencillo, a efectos de simplicidad en los cálculos, es suponerla infinita. Aunque es obvio que en la mayor parte de los casos reales la capacidad de la cola es finita, no es una gran restricción el suponerla infinita si es extremadamente improbable que no puedan entrar clientes a la cola por haberse llegado a ese número límite en la misma.

  Disciplina de la cola:

Es el modo en el que los clientes son seleccionados para ser servidos. Las disciplinas más habituales son:

 LA DISCIPLINA FIFO (FIRST IN FIRST OUT): También llamada FCFS (first come first served): según la cual se atiende primero al cliente que antes haya llegado.

LA DISCIPLINA LIFO (LAST IN FIRST OUT): También conocida como LCFS (last come first served) o pila: que consiste en atender primero al cliente que ha llegado el último.

LA RSS (RANDOM SELECTION OF SERVICE O SIRO (SERVICE IN RANDOM ORDER): Que selecciona a los clientes de forma aleatoria.

Encontraremos el resumen de símbolos más utilizados posteriormente en esta monografía.

Mecanismo de servicio:

Es el procedimiento por el cual se da servicio a los clientes que lo solicitan. Para determinar totalmente el mecanismo de servicio debemos conocer el número de servidores de dicho mecanismo (si dicho número fuese aleatorio, la distribución de probabilidad del mismo) y la distribución de probabilidad del tiempo que le lleva a cada servidor dar un servicio. En caso de que los servidores tengan distinta destreza para dar el servicio, se debe especificar la distribución del tiempo de servicio para cada uno.

La Cola: Propiamente dicha, es el conjunto de clientes que hacen espera, es decir los clientes que ya han solicitado el servicio pero que aún no han pasado al mecanismo de servicio.

El Sistema de la Cola:Es el conjunto formado por la cola y el mecanismo de servicio, junto con la disciplina de la cola, que es lo que nos indica el criterio de qué cliente de la cola elegir para pasar al mecanismo de servicio. Estos elementos pueden verse más claramente en la siguiente figura:

Los anteriores elementos bastan, de modo general, para describir cualquier proceso.

Evidentemente se puede encontrar una gran cantidad de problemas distintos y, por tanto, antes de comenzar cualquier análisis matemático se debería describir adecuadamente el proceso atendiendo a las anteriores características.

Una elección equivocada del modelo lleva a unos resultados erróneos, y en muchos casos no analizar adecuadamente nos puede llevar a pensar que el sistema no es posible de modelar.

DISTRIBUCIÓN DE LOS TIEMPOS DE SERVICIO Y LLEGADA EN UN SISTEMA DE COLA

El tiempo de servicio es el que el cliente o unidad deja de transcurrir en la instalación una vez que se inició el servicio.

Aunque a veces se sabe exactamente cuándo se van a producir las llegadas al sistema, en general el tiempo que transcurre entre dos llegadas consecutivas se modela mediante una variable aleatoria. En particular, cuando la fuente es infinita se supone que las unidades que van llegando al sistema dan lugar a un proceso estocástico llamado de conteo; si todos los tiempos entre llegadas son variables aleatorias independientes idénticamente distribuidas, se dice que es un proceso de renovación. Usualmente, el proceso que se utiliza es un proceso de Poisson

Cuando la fuente es finita se suele asumir que la probabilidad de que se produzca una llegada en un intervalo de tiempo es proporcional al tamaño de la fuente en ese instante.

Se llama capacidad del servicio al número de clientes que pueden ser servidos simultáneamente. Si la capacidad es uno, se dice que hay un solo servidor (o que el sistema es monocanal) y si hay más de un servidor, multicanal. El tiempo que el servidor necesita para atender la demanda de un cliente (tiempo de servicio) puede ser constante o aleatorio.

COMO MEDIR EL RENDIMIENTO DE UN SISTEMA

La tarea de un analista de colas puede ser de dos tipos:

a) establecer mecanismos para medir la efectividad del sistema o

b) diseñar un sistema “óptimo” (de acuerdo a algún criterio).

Diseñar eficientemente consiste, básicamente, en definir un sistema cuyo coste (de diseño y de operación) se justifique por el servicio que da. Dicho servicio se puede evaluar mediante el coste de “no darlo”. De este modo al diseñar se pretende minimizar unos supuestos costes totales.

A partir de los datos que nos suministra la teoría de colas se puede obtener la información necesaria para definir el número de asientos necesarios en una sala de espera, o la estructura de etapas de un proceso de atención al cliente.

En cualquier caso, para poder tomar decisiones hacen falta datos que la teoría de colas puede dar en alguno de los siguientes tres aspectos:

a) tiempo de espera (en el total del sistema o en la cola)

b) cantidad de clientes esperando (en el sistema o en las colas)

c) tiempo ocioso de los servidores (total o particular de cada servicio)

NOTACIÓN BÁSICA

PARÁMETROS DE LA TEORÍA DE COLA

An : Tasa media de llegadas de nuevos clientes cuando hay n clientes en el sistema (número promedio de llegadas por unidad de tiempo).

1/A = Tiempo promedio entre llegadas.

µn = Tasa media de servicio de nuevos clientes cuando hay n clientes en el sistema (número promedio de clientes al cual puede dar servicio la instalación en una unidad de tiempo, suponiendo que no hay escasez de clientes).

1/µ = Tiempo promedio servicio.

Lq = Número esperado de clientes en la cola (excluye los clientes que están en servicio).

L = Número esperado de clientes que se atienden y/o esperan en el sistema.

Wq = Tiempo estimado que emplea un cliente esperando en la cola.

W = Tiempo estimado que emplea un cliente esperando más el que emplea siendo atendido (tiempo esperado en el sistema).

Po = Probabilidad de encontrar el sistema vacío u ocioso.

Pn = Probabilidad de encontrar exactamente n clientes en el sistema.

A = Fracción esperada de tiempo que los servidores individuales están ocupados.

Nomenclatura básica

Con el paso del tiempo se ha implantado una notación para representar los problemas de colas que constan de 5 símbolos separados por barras.

A: indica la distribución de tiempo entre llegadas consecutivas

B: alude al patrón de servicio de servidores

X: es el número de canales de servicio

Y: es la restricción en la capacidad del sistema

Z: es la disciplina de cola

A / B / X /Y / Z

En la tabla 1 se presenta un resumen de los símbolos más utilizados.

CARACTERISTICA SIMBOLO EXPRECION

Distribución de tiempos de llegada (A)

Distribución de tiempos de servicio (B)

MDEkHkPHG

ExponencialDeterministaErlang tipo (k=1, 2,…)Mezcla de k exponencialesTipo faseGeneral

Número de servidores 1,2,…∞

Disciplina de cola FIFOLIFORSSPRGD

Servir al primero que llegaEl ultimo que llegue se sirve primeroSelección aleatoria de servicioPrioridadDisciplina general

El símbolo G representa una distribución general de probabilidad, es decir, que el modelo presentado y sus resultados son aplicables a cualquier distribución estadística (siempre que sean

DISCIPLINAS DE LA LINEA DE ESPERA:

Al describir un sistema de líneas de espera, debe definirse la forma en que se acomodan las unidades para darles el servicio. En general para la mayoría de las líneas manejadas de acuerdo con las necesidades de los clientes, las unidades que esperan recibir servicio se atiende sobre la base del primero que llega.

Cuando se atiende a las unidades de esta manera se dice que sigue una disciplina para la fila p cola.

La regla de prioridad determina a qué cliente se deberá atender a continuación. En la mayoría de los sistemas de servicio que conocemos, se aplica la regla de “a quien llega primero, se atiende primero” (FCFS; del inglés, first-come, first-served). El cliente que está en primer lugar en la fila de espera tiene la más alta prioridad, y el que llega al final tiene la prioridad más baja. En otras disciplinas para determinar órdenes de prioridad, se concede la prioridad al cliente que tenga la fecha prometida de vencimiento más próxima (EDD; del inglés, earliest due date) o al que corresponda el tiempo de procesamiento más corto (SPT; del inglés, shortest processing time).

Ejemplo:

Cuando hay personas esperando un ascensor, por lo general la última persona que sube es la primera en terminar con el servicio(es decir, es la primera en salir del elevador. Otros tipos de disciplinas de línea de esperan y atienden primero a la unidad que tiene prioridad as alta. En este capítulo se restringe la atención a líneas de espera que utilizan la disciplina de “primero que llega, primero que se atiende”

LA DISTRIBUCIÓN DE POISSON

Es una de las distribuciones discretas más importantes porque se aplica en muchos problemas prácticos. La distribución de Poisson puede deducirse de dos formas. La primera se deduce a partir de un proceso de Poisson. La segunda se muestra la distribución de Poisson como un límite binomial.Daremos entes la idea intuitiva de un proceso de Poisson. Muchos problemas consisten en observar la ocurrencia de eventos discretos en un intervalo continuo (unidad de medida)El experimento Poisson se caracteriza por:

1) Ser un fenómeno que se presenta aleatorio e independientemente Por ejemplo:Es contar el número de vehículos que llegan a una estación de servicio durante un intervalo de tiempo (digamos una hora) de un día determinado, pueden llegar 0 vehículos, 1 vehículo, 2 vehículos o más, es decir podemos contar con el número de vehículos que llegan. Pero no tiene sentido contar los que no llegan. Es discreto debido a que la hora de llegada es un punto en el periodo continuo de 1 hora. Aquí también, si la variable aleatoria, X se define por X(ω¿= número de vehículos que llegan a la estación en una hora; los valores que pueden tomar X es infinito numerable. Es decir, RX= (0, 1,2,…)

Otro ejemplo:Puede ser contar el número de llamadas que llegan a un tablero conmutador telefónico de una compañía grande en un intervalo de tiempo (digamos de 8 a.m. a 10 a.m. aquí también las llamadas que llegan al tablero es un evento discreto, ya que el tiempo de llegada de cualquier de ellas es un punto aislado en el periodo de 2 horas. Otro caso, puede ser contar el número de bacterias en un cm3 de agua y los eventos discretos, el número de bacterias, suponiendo que se puede considerar cada bacteria como un punto en el espacio.Diremos que los eventos discretos que se generan en un intervalo continuo (unidad de medida: longitud, área, volumen, etc.) forman un proceso de Poisson con parámetro λ. Si tiene las siguientes propiedades.

1) El número promedio de ocurrencias de eventos en una unidad de medida (intervalo de tiempo, una región especificada, volumen, etc.) es conocido e igual a λ.

2) La ocurrencia de un evento en una unidad de medida de medios h no afecta a la ocurrencia, o no ocurrencia de otra unidad h continua (es decir la ocurrencia de los eventos en unidades de medida continuas son independientes).

3) Sea una unidad de medida suficientemente pequeño de longitud h, luego: i. La probabilidad de un éxito en esta unidad pequeña es proporcional a la

longitud del intervalo, esto es λ h ii. La probabilidad de la ocurrencia de 2 o más éxitos en esta unidad pequeña

es aproximadamente 0.

iii. En un proceso de Poisson de parámetro λ se observa t unidades de medida

DISTRIBUCION FRECUENTE DE LA DISTRIBUCION DE POISSON

Esta distribución es muy frecuente en los problemas relacionados con la investigación operativa, sobre todo en el área de la gestión de colas. Suele describir, por ejemplo, la llegada de pacientes a un ambulatorio, las llamadas a una central telefónica, la llegada de coches a un túnel de lavado, etc. Todos estos casos pueden ser descritos por una variable aleatoria discreta que tiene valores no-negativo entero.

En la mayor parte de las situaciones de colas, el arribo de los clientes ocurre en forma totalmente aleatoria: este carácter aleatorio significa que la ocurrencia de un evento (por ejemplo la llegada de un cliente o el término de un servicio) no está influido por el tiempo que trascurre desde la ocurrencia del último evento.

Los tiempos aleatorios entre llegadas y de servicio se describe en forma cuantitativa con el propósito del modelado de colas mediante la distribución exponencial, que se define como:

Para ilustrar la aplicación de las distribuciones de Poisson y exponencial, se considera una situación de espera en la cual el número de llegadas y salidas (a las que se le da servicio), durante un intervalo de tiempo es controlado por los siguientes axiomas:

La probabilidad que un evento (llegada o salida) ocurra entre los tiempos t y t+h depende únicamente de la longitud de h lo que significa que la probabilidad no depende ni del número de evento que ocurren hasta el tiempo t

La probabilidad que ocurran eventos durante un intervalo de tiempo muy pequeño h es positiva, pero menos que uno.

Cuando mucho, puede ocurrir un evento durante un intervalo de tiempo muy pequeño h..

Estas tres condiciones describen un proceso donde el conteo de eventos durante un intervalo de tiempo dado

COLAS ESPECIALIZADAS DE POISSON

Se tiene una situación especializada de cola de poisson “c” servidores paralelos idénticos. Un cliente en espera se selecciona de la cola para inicial el servicio con el primer servidor libre. La tasa de llegada al sistema es λ clientes por unidad de tiempo. Todos los servidores ofrecen servicios iguales lo que significa que la tasa de servicio para cualquier servidor es μ clientes por unidad de tiempo. El número de cliente en el sistema está definido para incluir los que están en servicio y los que esperan en la cola.

La notación estándar descrita fue ideada originalmente por DG kendall en 1953 en la forma (a/b/c) y se le conoce en la literatura como notación de kendall después,

A.M. lee en 1966 agregó los símbolos d y e a la notación de kendall. En el modelo se aumenta la notación de kendall-lee mediante el uso del símbolo f, que representa la capacidad de las fuentes de llamadas.

(a/b/c):(d/e/f)

Dónde:

a: descripción de la distribución de llagadas b: descripción de la distribución del tiempo de servicio (o de salidas) c: número de servidores en paralelo d: disciplina general de servicio o de la cola

e: número máximo (finito o infinito) admitido en el sistema (en la cola y además en el servicio).

f: tamaño de la fuente de llegada (finito o infinito) La notación estándar para representar las distribuciones de llagada y salida

(símbolos a y b) son: M: distribución de llegadas o salidas Markovianas (o de poisson) o como de

forma equivalente, distribución de llegadas o de tiempo de servicio exponencial.

D: distribución degenerada (tiempos constantes) Ek: distribución Erlang o gama del tiempo (suma de distribuciones

exponenciales independientes) GI: distribución general (permite cualquier distribución arbitraria) del tiempo

de llegadas. G: distribución general (permite cualquier distribución arbitraria) del tiempo

de servicio.

La notación de la disciplina de colas (símbolo d) incluye:

FCFS: el primero que llega es el primero que se entiende LCFS: el último que llega es el primero que se atiende SIRO: servicio en orden aleatorio. GD: disciplina general, es decir, cualquier tipo de disciplina

1) EJEMPLO DE LÍNEAS DE ESPERA:

El minimarket “MARIANITA“ ha solicitado que se realicen un estudio de líneas de espera, el minimarket cuenta con una sola caja de pago y un empleado al servicio del cliente , cuando llega más clientes de lo que no es posible atender de forma inmediata así que se forma una fila y esperan a que sean atendidos. Obtenidos los datos sobre la llegadas de los clientes por el cual son de 30 clientes por hora, se deduce que para el lapso de tiempo de un minuto el numero promedio de llegadas seria λ=30/60= 0.5 llegadas por minuto.

Por tanto se utilizara la función de probabilidad de Poisson para hallar:

La probabilidad de x llegadas durante un lapso de tiempo de un minuto

P ( x )= λX e− λ

x !=P=0.5

x e−0.5

x !

x=numero de llegadasenel periodo(o intervalode tiempo)

λ=numero promedio de llegadas por periodo

e❑=2.71828

Las probabilidades de 0, 1, y 2 llegadas por minuto son las siguientes:

a) P (0 )= (0.5 )0 e−0.5

0!=e−0.5=0.6065

Por lo tanto se deduce que la probabilidad de que no haya llegadas en un lapso de tiempo de 1 minuto es de 0.6065

b) P (1 )= (0.5 )1 e−0.5

1 !=0.5(e¿¿−0.5)=0.5 (0.6065 )=0.30325 ¿

Aquí la probabilidad de que exista una llegada en un lapso de tiempo de 1 minuto es de 0.30325

c) P (2 )= (0.5 )2 e−0.5

2 !=0.52(e¿¿−0.5)

2=0.52 (0.6065 )

2=0.0758 ¿

La probabilidad de que hay exactamente dos llegadas en un lapso de tiempo de 1 minuto es de 0.0758

Tabla N°1: Probabilidades de Poisson para el número de llegadas al minimarket MARIANITA durante un periodo de un minuto (λ=0.5¿

Número de llegadas Probabilidad

0 0.60651 0.303252 0.0758

Para hallar las características de operación para solo una línea de espera con un solo canal

λ=numero promedio de llegadas por periodo(tasa promedio de llegada)μ=numero promediode servicios por periodo (tasa promediode servicio )

1. Probabilidad de que no haya unidades en el sistema :

P (0 )=1− λμ=1−0.5

1=0.5

2. Numero promedio de unidades en la línea de espera (largo de la fila)

Lq=λ2

μ(μ−λ)= 0.52

1(1−0.5)=0.5clientes

3. Numero promedio de unidades en el sistema (largo de la total)

L=Lq+λμ=0.5+ 0.5

1=1.0Clientes

4. Tiempo promedio que una unidad pasa en la línea de espera

W q=Lq

λ=0.50.5

=1.0minutos

5. Tiempo promedio que una unidad pasa en el sistema

W=W q+1μ=1.0+ 1

1=2Minutos

6. probabilidad de que una unidad que llega tenga que esperar para obtener el servicio

Pw=λμ=0.51

=0.5

7. probabilidad de que haya 2 llegadas en el sistema

Pn=( λμ)2

=P (2 )=0.51

2

=0.25 clientes

2) EJERCICIO PRÁCTICO PARTE 1

Un puesto de periódicos y revistas tiene en promedio a 100 personas por hora.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que solo tenga a una persona por minuto?b) ¿Cuál es la probabilidad de tenga 180 clientes en 1 horas?

SOLUCION:

Sabemos que λ (1hora )=100; λ (1minuto )=53

a) Para saber la probabilidad aplicamos la distribución de probabilidad de Poisson.

P ( x )= λx e− λ

x !;donde x=1(por minuto )

P ( x )=5 /31e−5 /3

1 !=0.3148

La probabilidad de atender una persona por minuto es de 31.48% puesto que nos lanza una aproximación de 0.3148 con respecto a la atención por minuto que en probabilidad tendrá el puesto de periódicos.

b) Para saber la probabilidad aplicamos la distribución de probabilidad de Poisson

P ( x )= λx e− λ

x !;donde x=180( por hora)

P ( x )=100180e−100

180!=0.1457

La probabilidad de atender una persona por minuto es de 14.57%

Es probable que el puesto de periódicos tenga menos clientes a más.

EJERCICIO PRÁCTICO PARTE 2:

La llegada de clientes con billetes de alta denominación, lo cual produce ausencia de cambio (sencillo) del vendedor de periódicos, lo cual retarda el proceso de venta de periódicos al existir solo una persona que atiende y va en busca de cambio debido a la carencia de este, así la probabilidad de llegada de 18 clientes por hora con billetes de alta denominación es 6/5 de que lleguen 6 clientes por hora.

a) Calcular el valor de λb) Calcular la probabilidad de que no llegue ninguna persona con billetes de

alta denominación en 2 horas.

SOLUCION:

a) En empleamos la distribución de probabilidad de Poisson para hallar el valor de λ, donde sabemos que:

P (18 )=65P (6 )

Sea:

P(x )= λxe− λ

x !

Entonces:

λ18 e−λ

18 !=65λ6 e−λ

6 !

56λ18

λ6=18!6!

λ12=18 !/6 !5 /6

λ=12.1810

Entonces el promedio de personas o clientes que llegan cada hora con billetes de alta denominación es de 12.18 personas pero para simplificar la matemática redondearemos a 12 personas.

b) Se empleara la distribución de probabilidad de Poisson, con un λ (dos horas )=24 ; x=0

P (0 )=240 e−24

0!P (0 )=0.00000000003775

La probabilidad de la llegada de personas con billetes de alta denominación es de 0%. Entonces podemos decir que siempre existirán personas asiduas al negocio con billetes de alta denominación.

EJERCICIO PRÁCTICO PARTE 3:

Supongamos ahora que el encargado del kiosco de periódicos puede atender a 90 personas hora, por lo cual la tasa media o promedio de servicio por minuto (μ¿=90

60=1.5 clientes por minuto . Calcular la probabilidad de atender a un cliente en

un minuto como máximo y en dos minutos como máximo.

P (tiempode servicio ≤t minutos )=1−e−μt

P ( tiempode servicio ≤1minutos )=1−e−1.5∗1=0.7769

P ( tiempode servicio ≤2minutos )=1−e−1.5∗2=0.9502

La probabilidad que obtenemos respecto a la atención de clientes en un minuto como máximo es de 77.69% y un 95.02% de que el proceso de venta concluya como máximo en 2 minutos.

Es más probable que se demore más del tiempo promedio de venta a que se demore el tiempo promedio de venta.

BIBLIOGRAFÍA

Arbonas, M.E. Optimización Industrial (I): Distribución de los recursos. Colección Productica No. 26. Marcombo S.A, 1989.

Ricardo Cao, Ricardo Cao Abad. Introducción a la Simulación y a la Teoría de Colas.

Thomas L. Saaty, Rafael Pro Bermejo. Elementos de la teoría de colas.

Arbonas, M.E. Optimización Industrial (II): Programación de recursos. Colección Productica No. 29. MarcomboInvestigaciónEdiciónhttp://www.eumed.net/www.gestiopolis.commonografiasXavier de Garayhttp://www.supositorio.com/rcalc/rcalclite_esp.htm

Teoría de colas - José Pedro García Sabater