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Montage préparé par :Montage préparé par :
André Ross
Professeur de mathématiques
Cégep de Lévis-Lauzon
André Ross
Professeur de mathématiques
Cégep de Lévis-Lauzon
Combinaisons linéairesde vecteurs
géométriques
Combinaisons linéairesde vecteurs
géométriques
À partir de quelques vecteurs, il est possible, en utilisant les opérations
d’addition et de multiplication par un scalaire, d’engendrer une
multitude de vecteurs.
Introduction
On dit que les vecteurs ainsi obtenus sont des combinaisons linéaires
des vecteurs utilisés pour les engendrer. À partir de cette notion, nous
présenterons celles de dépendance linéaire et d’indépendance linéaire
ce qui nous amènera aux notions de base et de repère d’une droite,
d’un plan ou de l’espace.
Combinaison linéaireDÉFINITION
Combinaison linéaire de vecteurs
On appelle combinaison linéaire des vecteurs toute expression de la forme :Soit v1 , v2 , v3 , …,vn , des vecteurs.
v1 , v2 , v3 , …,vn
w
a1 v1 v2 v3 vn+ a2 + a3 + … + an
On dit également que
w est engendré par les vecteurs
v1 , v2 , v3 , ... vn
= a1 v1 v2 v3 vn+ a2 + a3 + … + an
si et seulement s’il existe des scalaires a1, a2, a3, …
an tels que :
est une combinaison linéaire des vecteurs On dit qu’un vecteur w
v1 , v2 , v3 , …,vn
Vecteurs engendrés par un vecteur
Les vecteurs engendrés sont les vecteurs de la forme :
w = a v1
v1 .Ces vecteurs sont tous parallèles à la droite support de
Considérons un vecteur géo-métrique v1 .
Le scalaire est obtenu en prenant le rapport des modules des vecteurs et en ajoutant un signe moins si les vecteurs sont de sens contraire. Par conséquent, tous les vecteurs ayant même direction sont engendrés.
w = a v1 ?
S
Peut-on dire que tous les vecteurs de même direction que v1 sont des combinaisons linéaires de v1 ? C’est-à-dire si on considère un vecteur w ayant même direction que v1, existe-t-il un scalaire a pour lequel :
Vecteurs engendrés par deux vecteurs
Les vecteurs engendrés sont les vecteurs de la forme :
Considérons deux vecteurs géo-métriques v1 et v2 .
w = a v1 + b v2
Tous ces vecteurs sont parallèles au plan déterminé par les directions de v1 et v2 .
Peut-on dire que tous les vecteurs situés dans un plan parallèle aux directions de ces
v1 et v2 ?deux vecteurs est une combinaison linéaire de
Les scalaires sont obtenus en prenant le rapport des modules des vecteurs et en ajoutant un signe moins si les vecteurs sont de sens contraire. Par conséquent, tous les vecteurs contenus dans un plan parallèle aux directions des deux vecteurs sont engendrés par v1 et v2 .
S
Dépendance linéaireDÉFINITION
Vecteurs linéairement dépendants
Lorsqu’il est possible d’exprimer au moins un des vecteurs de V comme com-binaison linéaire des autres vecteurs de V, on dit que les vecteurs de V sont linéairement dépendants.
Soit V = { v1 , v2 , v3 , …,vn}, un ensemble de vecteurs.
a1 v1 v2 v3+ a2 =
Considérons les vecteurs de l’illustration ci-contre.
v1 et v2 .
v3
comme une combinaison linéaire de
Ces trois vecteurs sont linéairement dépendants puisqu’il est possible d’exprimer
Il existe donc des scalaires non nuls tels que :
De façon équivalente, il existe des scalaires non nuls tels que : = 0a1 v1 v2 v3+ a2 + a3
C’est cette forme équivalente que nous utiliserons pour donner une définition plus efficace de la dépendance linéaire.
S
Dépendance et indépendance linéaire
DÉFINITION
Dépendance linéaire
On dit que les vecteurs de V sont linéairement dépendants si et seulement si il existe des scalaires a1, a2, a3, … an non tous nuls tels
que :
Soit V = { v1 , v2 , v3 , …,vn}, un ensemble de vecteurs.
a1 v1 v2 v3 vn+ a2 + a3 + … + an = 0
DÉFINITION
Indépendance linéaire
On dit que les vecteurs de V sont linéairement indépendants si et seulement si l’égalité :
Soit V = { v1 , v2 , v3 , …,vn}, un ensemble de vecteurs.
a1 v1 v2 v3 vn+ a2 + a3 + … + an = 0est vérifiée uniquement lorsque : a1 = a2 = a3 = … = an = 0.
Colinéarité et dépendance linéaireDÉFINITION
Vecteurs colinéaires
On dit que des vecteurs sont colinéaires si et seulement s’ils sont parallèles à une même droite.
Alors, il existe un scalaire k tel que :
u = k v
D’où : u – k v 0=
Il existe donc des scalaires non nuls tels que :
Par conséquent, deux vecteurs colinéaires sont linéairement dépendants.
u + b v 0=a
Réciproquement, s’il existe des scalaires non nuls satisfaisant à cette condition, on peut isoler l’un des vecteurs dans l’équation pour montrer qu’ils sont parallèles.
Soit deux vecteurs colinéaires u et v.
Colinéarité et dépendance linéaireTHÉORÈME
Dépendance linéaire et parallélisme de deux vecteurs
Deux vecteurs non nuls sont linéairement dépendants si et seu-lement s’ils sont parallèles (ou colinéaires).
THÉORÈMEIndépendance linéaire et non-parallélisme de deux vecteurs
Deux vecteurs non nuls sont linéairement indépendants si et seu-lement s’ils ne sont pas parallèles (ou non colinéaires).
ne sont pas coli-néaires, alors : Si des vecteurs u et v
u ≠ k v k R\{0},
On a donc : u + b v 0=a uniquement si a = b = 0. Les vecteurs sont donc linéairement indépendants.
Base d’une droiteDÉFINITION
Base d’une droite
Un ensemble B = { } est une base de la droite ∆ si et seulement si :e
• le vecteur est non nul;e
• tout vecteur de ∆ est une combinaison linéaire de e .
constitue une base pour plusieurs droites. Un vecteur e
Le vecteur de la base d’une droite définit l’orientation de celle-ci. Pour caractériser une droite particulière, il faut, en plus de son orientation, donner un point de cette droite.
Remarque
Repère d’une droiteDÉFINITION
Repère d’une droite
Un ensemble {O, } est un repère de la droite ∆ si et seulement si :e
• B = { } est une base de ∆.e
Le scalaire a pour lequel :
• O est un point de la droite ∆;
On dit que {O, e } est un repère d’origine O et de base e .
} , un repère de la droite ∆ et P un point de ∆. Le vecteur Soit {O,
est appelé vecteur position du point P (ou rayon vecteur) du point P.
e
OP
est appelé coordonnée du point P dans le repère {O, e}.
OP = a e
Composante d’un vecteurRemarqueLe repère d’une droite permet également de décrire la position de tout point de la droite par rapport à un point hors de cette droite.
Alors, le scalaire a pour lequel :
} , un repère de la droite ∆ etun vecteur dont la droite support est parallèle à ∆.
eSoit {O, v,
= a ev
dans le repère est appelé composante du vecteur
{O, e}.v
AP = + a eAO + OP = AOOn applique simplement la relation de Chasles.
Exercice
Dans la base de ce repère, on a :
= 2 eu
AP = + 1,5 eAO + OP = AO
En appliquant la relation de Chasles, on a :
Décrire la position des points P et Q par rapport au point A dans le repère {O, }.e
Donner la composante de chacun des vecteurs dans la base du repère {O, }.e
AQ = – 1 eAO + OQ = AO
Dans ce repère, la composante du vecteur
u est 2. On trouve également :
= –2,5 evDans ce repère, la composante du vecteur v est –2,5.
SSSS
Vecteurs coplanaires
Les vecteurs de l’illustration ci-contre sont coplanaires.
DÉFINITION
Vecteurùs coplanaires
On dit que des vecteurs sont coplanaires si et seulement s’ils sont parallèles à un même plan.
Nous verrons maintenant à quelles conditions des vecteurs coplanaires sont linéairement dépendants ou linéairement indépendants et nous verrons les notions de base d’un plan et de repère d’un plan.
S
Coplanarité et dépendance linéaireTHÉORÈME
Dépendance linéaire et coplanarité de trois vecteurs
Trois vecteurs non nuls sont linéairement dépendants si et seu-lement s’ils sont coplanaires.
Géométriquement, cela signifie qu’il est toujours possible de construire un parallélogramme dont le vecteur choisi est la diagonale et dont les côtés sont parallèles aux droites supports des deux autres vecteurs.
Il existe donc des scalaires non nuls a et b tels que :
Par conséquent, il existe des scalaires non tous nuls a, b et c tels que : Les vecteurs sont donc linéairement dépendants.
wa
u + b v =
u + b v 0=a w+ c
w.
Considérons u, v et w, trois vecteurs co-planaires. Alors, il est toujours possible d’exprimer au moins l’un de ces vecteurs comme combinaison linéaire des deux autres. Supposons que cela est le cas pour le vecteur
, d’où : =wa
u + b v – 0
SSupposons que c est un des scalaires non nuls . Alors :
wa
u + b v = – c
u + b v 0=a w+ c
trois vecteurs linéairement
dépendants.u, v et w,
Alors, il existe des scalaires non tous nuls a, b et c tels que :
Soit
Le vecteur est donc la diagonale d’un parallélogramme construit sur les droites support des deux autres vecteurs et les trois vecteurs sont coplanaires.
w
D’où : w–ac u v =
–bc
+
Non-coplanarité et indépendance linéaire
THÉORÈMEIndépendance linéaire et non- coplanarité de trois vecteurs
Trois vecteurs non nuls sont linéairement indépendants si et seu-lement s’ils ne sont pas coplanaires.
Si trois vecteurs ne sont pas copla-naires, il est impossible d’exprimer l’un quelconque de ces vecteurs comme combinaison linéaire des deux autres.
Du théorème précédent, on tire le suivant par contraposition :
Tous les vecteurs d’un plan peuvent s’exprimer comme combinaison liné-aire de deux vecteurs non colinéaires de ce plan. Une base d’un plan contient donc deux vecteurs.
Base d’un planDÉFINITION
Base d’un plan
Les vecteurs de la base d’un plan définissent les orientations de celui-ci. Pour caractériser un plan particulier, il faut, en plus, donner un point de ce plan.
Remarque
Un ensemble B = { } est une base d’un plan ∏ si et seulement si :e1 e2,
• les vecteurs sont linéairement indépendants;e1 e2,• tout vecteur de ∏ est une combinaison linéaire de .e1 e2et
constitue une base pour plusieurs plans.
Un ensemble de vecteurs linéairement indépendants B = { e1 e2, }
Repère d’un planDÉFINITION
Repère d’un plan
Les scalaires a1 et a2 de cette com-binaison linéaire sont appelés les coordonnées du point P dans ce repère. On le note P(a1; a2 ).
• O est un point du plan ∏;
Un ensemble {O, } est un repère d’un plan ∏ si et seulement si :e1 e2,
• B = { } est une base ordonnée de ∏.e1 e2,
}, un repère du plan ∏. Soit {O, e1 e2,
OP = a1 + a2e1 e2
Le vecteur position d’un point P a une expression unique comme combinaison linéaire des vecteurs de la base.
S
OP = 2 – 3e1 e2
Dans ce repère, le point P sera donc noté P(2; –3).
S
Dans ce repère, les composantes d’un vecteur sont les scalaires a1 et a2 de la combinaison linéaire exprimant ce vecteur dans la base du repère.
= –2 + 4e1 e2v
On note le vecteur = (–2; 4). v
S
On note le vecteur = (2; –2). u
On remarque que les coordonnées du point dépendent du repère considéré alors que les composantes des vecteurs dépendent seulement de la base du repère .
Exercice}, un repère du plan ∏. Soit {O, e1 e2,
Donner les coordonnées des points P et Q dans ce repère.
S
OP = –1 – 1,5e1 e2Dans ce repère, le point P sera donc noté P(–1; –1,5).
SS
OQ = –3 + 0,5e1 e2
Dans ce repère, le point Q sera donc noté Q(–3; 0,5).
S
Déterminer, dans ce repère, les composantes du vecteur PQ.Par la relation de Chasles, on a :
OP + PQ = OQ , d’où : PQ = OQ – OP
PQ = ( –3 + 0,5e1 e2 ) – (–1 – 1,5e1 e2 = –2 e1 + 2 e2)
SSSS
Exercice}, un repère du plan ∏. Soit {O, e1 e2,
Par l’addition des vecteurs, on a :
etDonner, dans ce repère, les composantes des vecteurs u v.
= –2 + 1,5e1 e2uDans ce repère, le vecteur sera donc noté
u = (–2; 1,5).= 1 – 2e1 e2v
Dans ce repère, le vecteur sera donc noté
v = (1; –2).Déterminer, dans ce repère, les composantes du vecteur u + v.
= (–2 + 1,5e1 e2 ) + (1 – 2e1 e2 = –1 e1 – 0,5 e2)u + v
On notera
= (–1; –0,5).u + v
Montrer en utilisant un argument algé-brique que les vecteurs :
sont linéairement indépendants.
Soit a et b des scalaires tels que :
a
u + b v = 0 , d’où :
= –2 + 1,5e1 e2u = 1 – 2e1 e2vet
S
a (–2 + 1,5e1 e2 ) + b ( – 2e1 e2 ) = 0 + 0e1 e2
(–2a + b) + (1,5a – 2b)e1 e2 = 0 + 0e1 e2
L’égalité des vecteurs donne le système d’équations
–2a + b = 0
1,5a – 2b = 0Par la méthode de Gauss, on a :
≈–2 1 0
0 –11 0L1
4L2 – 3L1
Il reste autant d’équations que d’inconnues, le système a une solution unique, a = 0 et b = 0. Les vecteurs sont donc linéairement indépendants.
1 0
1,5 –2 0
–2
}, un repère du plan ∏.
ExerciceSoit {O, e1 e2,Décrire, dans ce repère, la position d’un point X quelconque de la droite passant par le point P et parallèle au vecteur
S
Par la relation de Chasles, on a :
et
En substituant, on obtient :
= (–1 – 2t)e1 e2
u.
u= –1 – 1e1 e2
En exprimant les vecteurs dans la base, on a :
OX = OP + PX = OP + t u,
OP + 1e1 e2= –2
OX = ( –1 – 1e1 ) + t(–2e2 + 1e1 e2)
+ (–1 + t)
où t est un nombre réel.
, où t est un nombre réel.
Base de l’espace
Tous les vecteurs d’un espace tridimen-sionnel peuvent s’exprimer comme combinaison linéaire de trois vecteurs non coplanaires.
Pour constituer une base de l’espace, les trois vecteurs n’ont pas nécessairement une origine commune.
Ils doivent définir trois directions qui ne sont pas coplanaires.
Base et repère de l’espace
DÉFINITION
Base de l’espace
e1 e2, e3et} est une base de l’espace si et seulement
si les vecteursUn ensemble B = { e1
sont linéairement indépendants.e2, e3,
DÉFINITION
Repère de l’espace
• O est un point de l’espace;
Un ensemble {O, } est un repère de l’espace si et seulement si :e1 e2, e3,
• B = { } est une base ordonnée de l’espace.e1 e2, e3,
Exercice
S
Exprimer les vecteurs dans la base du repère }.e1 e2, e3,{O,
u, v et w
v e1 e2+ 3 + 1= 2 e3e1 e2+ 2 e3+ 0= 3u ,
w e1 e2+ 3 + 2= 0 e3
On veut savoir s’il existe des scalaires a, b et c non nuls tels que :
a
u + b
v + c
w = 0 , d’où :
Montrer en utilisant un argument algébri-que que les vecteurs sont linéairement indépendants.
e1 e2+ 2a( 3 e1 e2+ 3 + 1) + b(2 e2) + c( 3 + 2 e3e3 ) = 0, et :
( 3a + 2b )e1 + ( 2a + 3b + 3c)e2 + ( b + 2c)e3 = 0 e1 + 0 e2 + 0 e3
Par l’égalité des vecteurs, on obtient le système d’équations linéaires :
3a + 2b = 0
2a + 3b + 3c = 0
b + 2c = 0SS
Par la méthode de Gauss, on obtient :
≈L1
3L2 – 2L1
L3
2 0
2 3 3
0
00 1 2 0
3
≈5L1 – 2L2
L2
5L3 – L2
2 0
0 9
0
00 1 2 0
3
5
Il reste autant d’équations que d’inconnues, le système a donc une solution unique, a = 0, b = 0 et c = 0. Les vecteurs sont donc linéairement indépendants.
ExerciceDans le repère }e1 e2, e3,{O, de l’espace ci-contre, le point P et le vecteur forment le repère d’une droite.
r
OX = OP + PX = OP + t r
En exprimant les vecteurs dans la base, on a : OP = e1 e2+ e3+ et e1 e2+ e3+= 2r
On a donc : OX = ( e1 e2+ e3+ ) + t(2 e1 e2+ e3+ )
Par les propriétés des opérations sur les vecteurs :
OX = (1 + 2t) e1 e2 e3+ (1 + t) + (1 + t)
À l’aide d’un vecteur position, décrire la position d’un point X quelconque de cette droite par rapport au point O.
S
Exercice
En exprimant les vecteurs dans la base, on a :
OP = e1 e2+ e3+ , e1 e2+ e3+= 2r
On a donc :
Par les propriétés des opérations sur les vecteurs :
OX = (1 + 2a) e1 e2 e3+ (1 + a + b) + (1 + a + b)
Dans le repère }e1 e2, e3,{O, de l’espace ci-contre, le point P et les vecteursforment le repère d’un plan.
r et s
OX = OP + PX = OP + a r + b s
e2 e3+= set
OX = (e1 e2+ e3+ ) + a(2 e1 e2+ e3+ ) + b( e2 e3+ )
À l’aide d’un vecteur position, décrire la position d’un point X quelconque de ce plan par rapport au point O.
S
Puisque que tout vecteur du plan est une combinaison linéaire des vecteurs de la base de celui-ci.
Conclusion
À l’aide des opérations d’addition et de multiplication par un scalaire, on peut, non seulement engendrer une multitude de vecteurs, mais également décrire par un vecteur position les points d’une droite ou d’un plan. Cette description est l’équation vectorielle du lieu de ces points.
Grâce à la notion d’indépendance linéaire, on peut s’assurer que les vecteurs retenus pour décrire un lieu sont porteurs de toute l’information pertinente.
ExercicesAlgèbre linéaire et géométrie vectorielle avec applications en sciences de la nature, Section 5.4, p. 138 et 142.
Algèbre linéaire et géométrie vectorielle avec applications en sciences humaines, Section 5.4, p. 138 et 141.
LectureAlgèbre linéaire et géométrie vectorielle avec applications en sciences de la nature, Section 5.3, p. 124 à 133.Algèbre linéaire et géométrie vectorielle avec applications en sciences humaines, Section 5.3, p. 128 à 137
