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André Ross

Professeur de mathématiques

Cégep de Lévis-Lauzon

André Ross

Professeur de mathématiques

Cégep de Lévis-Lauzon

Modèles de LeontieffModèles de Leontieff

Introduction

L’économiste américain d’origine russe Wassily Leontieff a reçu, en

1973, le prix Nobel de sciences économiques pour ses travaux de

modélisation mathématique des échanges interindustriels.

Il s’intéresse en particulier à la question suivante : dans une économie

constituée de n industries interreliées, quelle doit être la production de

celles-ci pour répondre exactement à la demande?

Nous allons présenter sa démarche de modélisation de ce type de

problème à l’aide d’un exemple simple.

Une entreprise compte trois secteurs spécialisés dans la production d’une forme d’énergie : le mazout (M), le gaz naturel (G) et l’électricité (E). Les échanges entre les secteurs d’activité permettent de satisfaire aux besoins énergétiques de chacun.

Mise en situation

Pour produire une unité de mazout, il faut 0,2 unité de gaz naturel et 0,2 unité d’électricité; pour produire une unité de gaz naturel, 0,2 unité de mazout, 0,1 unité de gaz naturel et 0,3 unité d’électricité; pour produire une unité d’électricité, 0,1 unité de mazout, 0,2 unité de gaz naturel et 0,1 unité d’électricité.

Pour faciliter l’analyse de la situation, l’information est représentée sous forme matricielle.

Production d’une unité

Bes

oin

s

M G E

0 0,2 0,1

0,2 0,1 0,2

0,2 0,3 0,1

M

G

E

La matrice obtenue est la matrice de la consommation interne que nous noterons Q = (qij).

Matrice de consommation interne

L’élément qij représente le nombre d’unités du secteur i nécessaires pour produire une unité du secteur j.

Production d’une unité

Bes

oin

s

M G E

0 0,2 0,1

0,2 0,1 0,2

0,2 0,3 0,1

M

G

E

Ainsi, la première colonne indique que, pour produire une unité de mazout, il faut consommer 0,2 unité de gaz naturel et 0,2 unité d’électricité.

Quelle information est véhiculée par la deuxième colonne ?

Par la troisième colonne ?

0 0,2 0,1

0,2 0,1 0,2

0,2 0,3 0,1

Q =

Le carnet de commandes de l’entreprise (demande externe) pour le mois de juin est de 450 unités de mazout, 400 unités de gaz naturel et 430 unités d’électricité. Déterminer la production permettant de répondre aux besoins de la production et à la demande externe.

Calcul des besoins

La matrice de production est :

S

Pour répondre à la demande externe tout en satisfaisant à ses propres besoins, l’entreprise doit s’assurer que la condition suivante est satisfaite :

P =

p1

p2

p3

où pj est le nombre d’unités total qu’il faut produire dans chaque secteur : mazout, gaz et électricité.

P = Q • P + D, production = demande interne + demande externe;

P – Q • P = D, par les propriétés des opérations;

I • P – Q • P = D, puisque I est la matrice identité;

(I – Q) • P = D, par les propriétés des opérations.S

(I – Q) = 0 0,2 0,1

0,2 0,1 0,2

0,2 0,3 0,1

–

1 0 0

0 1 0

0 0 1

=

1 –0,2 –0,1

–0,2 0,9 –0,2

–0,2 –0,3 0,9

On a donc :

1 –0,2 –0,1

–0,2 0,9 –0,2

–0,2 –0,3 0,9

p1

p2

p3

• =

450

400

430

En résolvant, on obtient :

1 –0,2 –0,1

–0,2 0,9 –0,2

–0,2 –0,3 0,9

450

400

430≈

1 0 0

0 1 0

0 0 1

700

800

900

Il faut donc produire 700 unités de mazout, 800 unités de gaz naturel et 900 unités d’électricité.

REMARQUE :On dit que le système économique est en équilibre si la production est égale à la somme de la demande interne et de la demande externe, soit :

P = Q • P + D Le système est donc en équilibre lorsque la matrice de production P satisfait à la condition :

(I – Q) • P = DC’est cette équation qu’il faut résoudre pour trouver la matrice de production.

Modèle de Leontieff

S

DéfinitionModèle de Leontieff

Un modèle de Leontieff est un modèle économique constitué de n industries interdépendantes, chacune produisant pour :• répondre à ses besoins et aux besoins des (n – 1) autres industries,

ce qui constitue la demande interne;• répondre aux besoins des clients, ce qui constitue la demande

externe.

On se sert du modèle de Leontieff pour analyser l’économie d’une région, d’un secteur d’activité ou d’une entreprise qui a différents secteurs qui s’échangent des biens ou des services. Il est souvent utile de pouvoir chiffrer ces échanges en dollars. On peut construire un modèle économique de Leontieff en remplaçant les unités de biens échangés par leur valeur en dollars.

Représentation matricielle

Représentation matricielle du modèle de Leontieff

Dans un modèle de Leontieff, les échanges entre les industries sont décrits dans une matrice Q appelée matrice de consommation. On désigne par :• P la matrice de production et par D la matrice de la demande

externe;• pj la production de l’industrie j;

• qij le nombre d’unités de la production de l’industrie i nécessaires pour produire 1 unité de la production de l’industrie j;

• qij pj la quantité de la production de l’industrie i consommée par l’industrie j;

• di la demande externe adressée à l’industrie i : c’est la portion de la production qui excède la demande interne.

Modèle de Leontieff

Procédure

pour résoudre une problème satisfaisant à un modèle de Leontieff

2. Décrire la condition à satisfaire par une équation matricielle (I – Q)•P = D.

3. Résoudre l’équation matricielle.

4. Interpréter les résultat selon le contexte.

1. Structurer l’information sous forme matricielle si cela n’est pas déjà fait dans l’énoncé.

ExempleProduction d’une unité

Bes

oin

s

U1 U2 U3

0,1 0,2 0,3

0,3 0,3 0,1

0,2 0,1 0

U1

U2

U3

Une entreprise gère trois usines. La matrice de consommation des échanges interusines est :

Dans cette matrice, l’entrée qij indique la valeur en dollars des produits de l’usine Ui nécessaires pour fabriquer chaque dollar de produits de l’usine Uj.

La demande externe D en millions de dollars est :

Déterminer la valeur, en millions de dollars, de la production de chaque usine pour répondre à la demande externe.

25

31

92

D =

S

(I – Q) = 0,1 0,2 0,3

0,3 0,3 0,1

0,2 0,1 0

–

1 0 0

0 1 0

0 0 1=

0,9 –0,2 –0,3

–0,3 0,7 –0,1

–0,2 –0,1 1

On a donc :

0,9 –0,2 –0,3

–0,3 0,7 –0,1

–0,2 –0,1 1

p1

p2

p3

• =

25

31

92

En résolvant, on obtient :

0,9 –0,2 –0,3

–0,3 0,7 –0,1

–0,2 –0,1 1

25

31

92≈

1 0 0

0 1 0

0 0 1

90

100

120

La production de l’usine U1 doit être de 90 M$, celle de U2 de 100 M$ et celle de U3 de 120 M$.

Exercices

Algèbre linéaire et géométrie vectorielle, applications en sciences

humaines. Section 2.4, # 18 à 20.

Lecture

Algèbre linéaire et géométrie vectorielle, applications en

sciences humaines. section 2.3, p. 50 à 52.