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Montage préparé par :Montage préparé par :

André Ross

Professeur de mathématiques

Cégep de Lévis-Lauzon

André Ross

Professeur de mathématiques

Cégep de Lévis-Lauzon

Régression logarithmiqueRégression

logarithmique

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Introduction

Nous allons maintenant établir une démarche rigoureuse permettant de définir une relation entre deux variables à partir d’une liste de données et, pour ce faire, nous présenterons les échelles logarithmiques.

Ces échelles ont une particularité intéressante qui est mise à profit dans les papiers graphiques appelés semi-log et log-log. La représentation graphique d’une fonction exponentielle sur papier semi-log donne une droite et la représentation graphique d’une fonction puissance sur papier log-log donne une droite.

Les représentations graphiques constituent un outil important de détection du lien entre deux variables puisque la forme graphique la plus facile à reconnaître est la droite.

La régression logarithmique nous permettra de déterminer les paramètres du modèle mathématique pour un lien exponentiel, un lien logarithmique ou un lien de puissance.

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S

Échelle linéaireOn dit qu’une échelle est linéaire lorsque son pas est constant.

Cela signifie que chaque nombre est situé à une distance de l’origine proportionnelle à sa valeur.

Illustrons ce propos à l’aide d’une droite comportant un point d’origine O et un point A qui détermine la valeur unitaire ou longueur du pas de l’échelle.

A

S

Sur une droite graduée avec une échelle linéaire, deux nombres positifs M et N sont représentés à des distances d1 et d2 de l’origine, en respectant la proportionnalité.

Leur somme est un nombre V = M + N représenté par un point à une distance d1 + d2 de l’origine.

De plus, si on considère un nombre N > 0 représenté à une distance d de l’origine et un nombre k > 0, alors le nombre kN sera représenté à une distance kd de l’origine.

S

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Échelle logarithmiqueSur une échelle logarithmique, la position d’un nombre est déterminée de telle sorte que sa distance à l’origine est proportionnelle au logarithme du nombre. L’origine est indiquée par le nombre 1, car (0; 0) = (0; log 1).

S

La disposition relative des nombres se conforme alors aux propriétés des logarithmes.

1. logbMN = logbM + logbN

3. logbNp = p logbN

2. logb

M

N= logbM – logbN

SS

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Échelle logarithmique

De plus, puisque le logarithme de 100 est 2, la distance de 1 à 100 est égale à deux fois la distance de 1 à 10. De la même façon, la distance entre 0,1 et 1 est égale à la distance entre 1 et 10 puisque le logarithme de 0,1 est égal à –1.

Chacun des intervalles représentant une unité logarithmique est appelé un cycle. Ainsi, l’intervalle de 0,1 à 1 est un cycle, tout comme l’intervalle de 1 à 10 et l’intervalle de 10 à 100.

S

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La représentation graphique d’une fonction exponentielle sur un papier dont l’échelle verticale est logarithmique donne une droite.

Échelle logarithmique et modélisation

Un papier quadrillé comportant une échelle linéaire et une échelle logarithmique est appelé papier semi-log et un papier quadrillé dont les deux échelles sont logarithmiques est appelé papier log-log.

Sur ces papiers quadrillés, il n’y a pas de nombres indiquant les graduations; l’échelle peut commencer à n’importe quel nombre suivant les besoins du problème.

Pour illustrer ce propos, représentons la fonction f(x) = 2x sur un papier semi-log à deux cycles.

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Pour illustrer ce propos, représentons la fonction f(x) = 2x sur un papier semi-log à deux cycles.

Papier semi-logUn papier quadrillé comportant une échelle linéaire et une échelle logarithmique est appelé papier semi-log et un papier quadrillé dont les deux échelles sont logarithmiques est appelé papier log-log.

Sur ces papiers quadrillés, il n’y a pas de nombres indiquant les graduations; l’échelle peut commencer à n’importe quel nombre suivant les besoins du problème.

S

(–3; 0,125)

(–2; 0,25)

(–1; 0,5)

(0; 1)

(1; 2)

(2; 4)

(3; 8)x f(x)–3

–2

–1

0

1

2

3

0,125

0,25

0,5

1

2

4

8

Le point désigné par (2; 4) correspond en réalité au point (2;log 4).

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Échelle logarithmique et modélisation

La base de la fonction exponentielle peut être différente de 10. La représentation graphique donnera quand même une droite. La raison en est fort simple. Considérons une fonction exponentielle de la forme :

S

y = abx

log y = log(abx), en prenant le logarithme des deux membres;

log y = log a + log bx,logarithme d’un produit;

log y = log a + x log b, logarithme d’une puissance;

log y = x log b + log a, commutativité de l’addition;

Y= Ax + B, en posant log y = Y, log b = A et log a = B.

Puisque log b et log a sont des constantes, on a donc une relation affine entre x et log y et c’est pourquoi la représentation graphique sur papier semi-log donne une droite.

En prenant plutôt le logarithme naturel, on obtient la relation :

ln y = x ln b + ln a

On peut effectuer les calculs dans l’une ou l’autre des bases, on obtient le même modèle.

Les caractéristiques des échelles logarithmiques nous indiquent comment utiliser le papier semi-log pour déceler un lien exponentiel entre des variables et comment trouver la règle de correspondance décrivant ce lien. L’exemple suivant illustre cette procédure.

On représente graphiquement les données et si le nuage de points forme une droite, le modèle exponentiel est pertinent. L’exemple suivant illustre cette procédure.

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SSSS

Exemple 5.1.2Au cours d’une expérience de laboratoire, on a obtenu les grandeurs physiques ci-contre.

Vérifier graphiquement l’hypothèse d’un lien exponentiel entre ces variables.

La représentation graphique sur papier semi-log donne un nuage de points qui semblent alignés.

L’hypothèse d’un lien exponentiel est donc plausible. x

Pour vérifier l’hypothèse, représen-tons graphiquement les données sur papier semi-log.

Déterminer la règle de correspon-dance décrivant le lien entre les variables.

On doit d’abord établir la relation affine entre les couples (x; log y) ou entre les couples (x; ln y), selon la base de calcul utilisée.

A = n xi ln yi – ( xi)( ln yi)

n xi2 – ( xi)2

B = lnyi – A xi

n

A = 6 (30,6149) – 21 7,0644

6 91 – 212

B = 7,0644 – 0,336521

6

= 0,3365

= –0,00048

Puisque la valeur de B est négligeable, le lien affine est alors :

ln y = 0,3365x

y

123456

1,401,962,743,845,387,53

0,33650,67291,00801,34551,68272,0189

0,33651,34593,023

5,38198,4134

12,1134

149

162536

x y ln y x ln y x2

21 22,85 7,0644 30,6149 91

En exprimant le modèle sous forme exponentielle, on obtient :

y = e0,03365x = 1,4x

REMARQUEEn représentant graphiquement les couples (x; ln x) ou les couples (x; log y) dans un système d’axes bilinéaire, le nuage de points aurait également donné une droite.

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SS

Exemple 5.1.3On désire analyser les capacités d’absorption des rayons X d’un matériau. Pour ce faire, on bombarde des plaques de différentes épaisseurs de ce matériau et on mesure l’intensité I(x) des radiations de l’autre côté de la plaque.

La représentation graphique étant une courbe, on peut conclure qu’il ne s’agit pas d’une correspondance affine

Trouver le type de correspondance entre les variables.

0,002,005,006,509,00

12,0016,0022,00

1,000,840,650,570,460,350,250,15

x I

xUtilisons un quadrillage semi-log.

La représentation graphique sur papier semi-log donne un nuage de points qui semblent alignés.

On peut donc faire l’hypothèse d’un lien exponentiel.

I

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SS

Exemple 5.1.3Déterminer la règle de correspon-dance.

Établissons la relation affine entre les couples (x; ln I).

A = n xi ln Ii – ( xi)( ln Ii)

n xi2 – ( xi)2

B = ln Ii – A xi

n

A = 8 (–89,6604) – 72,50 –6,2770

8 1036,50 – 72,502

B = –6,2770 – (–0,08642...72,50)

8

= –0,086428...

= –0,000138...

0,002,005,006,509,00

12,0016,0022,00

1,000,840,650,570,460,350,250,15

0,0000–0,1744–0,4308–0,5621–0,7765–1,0498–1,3863–1,8971

0,0000–0,3487–2,1539–3,6538–6,9888

–12,5979–22.1807–41,7366

0,004,00

25,0042,2581,00

144,00256,00484.00

x I ln I x ln I x2

72,50 4,27 –6,2770 –89,6604 1036,25

En exprimant le modèle sous forme exponentielle, on obtient :

I = e–0,086428x = 0,917x

I

xB est négligeable, le lien affine est alors :

ln I = –0,086428x

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Fonction puissance

Détection du lien entre variables

Une fonction puissance est de la forme y = axb. En prenant le logarithme des deux membres de l’équation, on a :

S

log y = log(axb)

log y = log a + log xb, logarithme d’un produit;

log y = log a + b log x, logarithme d’une puissance;

log y = b log x + log a, par commutativité de l’addition

Y = AX + B, en posant Y = log y, b = A, X = log x et B = log a.

Il y a donc correspondance affine entre log x et log y, correspondance que l’on peut détecter visuellement en représentant les données sur un papier log-log.

Une fonction logarithmique est de la forme :

Fonction logarithmique

y = a log x + b (ou y = a ln x + b)

On voit directement qu’il doit y avoir une relation affine entre y et log x que l’on peut écrire symboliquement :

y = AX + B, où A = a, X = log x et B = b.

On détecte une telle relation sur un papier semi-log en représentant la variable indépendante sur l’échelle logarithmique. Si le nuage forme une droite, le modèle est logarithmique.

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SSS

Exemple 5.1.4On a obtenu les données ci-contre en laboratoire. Établir le type de lien entre les variables.

Représentons graphiquement les données.

Sur papier bilinéaire, le nuage forme une courbe. Le lien n’est pas affine.

3,004,005,006,507,008,009,00

0,940,530,340,240,170,130,10

x I

Utilisons maintenant un papier semi-log vertical.

Sur papier semi-log vertical, le nuage forme une courbe. Le lien n’est pas exponentiel.

Utilisons maintenant un papier log-log.

Sur papier log-log, le nuage forme une droite. On détecte donc une relation de puissance.

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Décrire algébriquement cette relation.Établissons la relation affine entre les couples (ln x; ln I).

SSS

Exemple 5.1.4

3,004,005,006,507,008,009,00

0,940,530,340,240,170,130,10

42,00

I

A = nln xi ln Ii – ( ln xi)( ln

Ii)

n (ln xi)2 – ( ln xi)2

B = ln Ii – A ln xi

n=

–9,3174 – ( –2,032212,1087)7

= 2,1843...

= –2,0322...

Le lien affine est alors :ln I = –2,0322 ln x + 2,1843

2,45

x ln x ln I ln x ln I (ln x)2

1,09861,38631,60941,79181,94592,07942,1972

–0,0619–0,6349–1,0788–1,4271–1,7720–2.0402–2.3026

–0,0680–0,8801–1,7363–2,5570–3,4481–4,2425–5,0593

1,20691,92182,59033,21043,78664,32414,8278

12,10187 –9,3174 –17,9913 21,8679

7–17,9913 – 12,1087 –9,31747 21,8679 – (12,1087)2= Cela donne : ln I = ln x–2,0322 + 2,1843 I = x–2,0322 e2,1843

I = 8,8844x–2,0322

, d’où :

et :

En tenant compte de la précision des données, le lien de puissance est alors : I =

8,88

x2,0322

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SSS

Exemple 5.1.5On a obtenu les données ci-contre en laboratoire. Établir le type de lien entre les variables.

Représentons graphiquement les données.

Sur papier bilinéaire, le nuage forme une courbe. Le lien n’est pas affine.

1015254070

1,001,702,593,414,38

x y

Utilisons maintenant un papier semi-log vertical.

Sur papier semi-log vertical, le nuage forme une courbe. Le lien n’est pas exponentiel.

Utilisons maintenant un papier log-log.

Sur papier log-log, le nuage forme une courbe. Ce n’est pas un lien de puissance.

S

Utilisons maintenant un papier semi-log horizontal.

Sur papier semi-log horizontal, le nuage forme une droite. Le lien est logarithmique.

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Décrire algébriquement cette relation.Établissons la relation affine entre les couples (log x; y).

SS

Exemple 5.1.5

160

A = nlog xi yi – ( log xi)( yi)

n (log xi)2 – ( log xi)2

B = yi – A log xi

n=

13,08 – ( 4,00359…7,021) 5

= –3,005855...

= 4,00359...

Le modèle est alors :y = 4,004 log x – 3,0059

13,08

log x y log x (log x)2

1,0001,1761,3981,6021,845

1,0001,9993,6215,4638,081

1,0001,3831,9542,5673,404

7,021 20,165 10,308

520,165 – 7,021 13,085 10,308– (7,021)2=

1015254070

1,001,702,593,414,38

x y

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Équation d’Arrheniusforme logarithmique

où k est la constante de vitesse (L/mol·s), A, est une constante, Ea,

l’énergie d’activation (J/mol), R, la constante molaire des gaz (R = 8,315 J/K·mol) et T, la température en degré kelvins (K).

Considérons à nouveau l’équation d’Arrhenius :k = Ae–Ea/RT

En prenant le logarithme des deux membres de cette équation, on obtient :

On reconnaît la forme d’une relation affine du type y = ax + b, où :

ln k = ln A – Ea

R

1

T= – + ln A

Ea

R

1

Tou ln k

la variable dépendante est :

la pente est :

la variable indépendante est :

et l’ordonnée à l’origine est :

y = ln k,

a = –Ea /R,

x = 1/T

b = ln A.

+ b

+ ln A

a

– Ea

R

x

1

T

y =

ln k =

S

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Équation d’Arrheniusforme logarithmique

Lorsqu’on ne connaît que deux couples de valeurs correspondantes (T1; k1) et (T2; k2), le facteur a est obtenu à partir des

correspondances (1/T1; ln k1) et (1/T2; ln k2). Le taux de variation (ou

la pente) est alors :

Pour déterminer l’énergie d’activation Ea d’une réaction chimique, la

méthode la plus utilisée est de mesurer la constante de vitesse à différentes températures.

a = ln k2 – ln k1

1

T2

1

T1

=

ln k2

k1

1

T2

1

T1

On peut alors déterminer une relation affine entre le logarithme de la vitesse, ln k et l’inverse de la température, 1/T. Le paramètre a de cette relation affine est a = –Ea /R, d’où : Ea = –Ra.

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Exemple 5.1.6On a mesuré la vitesse de la réaction en phase gazeuse du méthane avec le soufre diatomique dont l’équation est :

SS

CH2(g) + 2S2(g) CS2(g) + 2H2S(g)

On a obtenu les résultats ci-contre. Déterminer l’énergie d’activation de la réaction.

a =

ln k2

k1

1

T2

1

T1

=

ln 10,8

1,8

1

923

1

843 –

= –17426,85...

Dans ce cas, on dispose de deux données, on trouvera donc la pente en calculant le rapport de la variation du logarithme naturel des vitesses sur la variation de l’inverse multiplicatif des températures en kelvins. Cela donne :

Température

(°C)

570

650

Vitesse

de réaction k

(L/mol·s)

1,8

10,8

Puisque Ea = –Ra, on obtient :

Ea = –8,315 –17426,85... = 144 904,29..

L’énergie d’activation est de 1,4 105 J/mol.

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Croissance exponentielleforme logarithmique

Considérons que la population N d’un certain organisme croît de façon exponentielle selon l’équation suivante :

 N = N0 bt

En prenant le logarithme des deux membres de l’équation, on obtient :

log N = t log b + log N0 ou log N = t ln b + ln N0

On reconnaît la forme d’une relation affine du type Y = Ax + B, où :Y = ln N et A = log b.

Lorsqu’on ne connaît que deux couples de valeurs (t1; N1) et (t2; N2) de

cette relation, le taux de variation (ou la pente) peut être obtenu de la façon suivante :

A = log N2 – log N1

t2 – t1 On peut en déduire le temps de dédoublement (TD) :

TD = log 2

log b=

log 2

A=

0,301

ATD =

log 2

A=

ln 2

A ln 10=

0,301

A 2,303ou

A = ln N2 – ln N1

t2 – t1 ou

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Exemple 5.1.7Lors d’une culture cellulaire, on a observé les quantités de cellules données dans le tableau ci-contre.

SS

Déterminer le temps de dédoublement de ces cellules.

Déterminons d’abord le taux de variation :

A = log(6,4 109) – log(6,4 109)

6 – 3 =

9,806 – 9,519

3 = 0,0958

Le temps de dédoublement est alors donné par :

Le temps de dédoublement est d’environ 3,14 jours.

TD = log 2

0,0958= 3,139...

Combien de cellules devraient être ensemencées le sixième jour si on désire obtenir environ 5 cellules cinq jours plus tard?

Nombre

de cellules

3,3 109

6,4 109

Temps

jours

3

6

Si le sixième jour on pose N = N0 2t/TD, on obtient N = N0 2t/3,14. Pour déterminer combien de cellules il faut ensemencer pour en obtenir 5 106 cinq jours plus tard, il faut résoudre l’équation :

N0 25/3,14 = 5

Cela donne :

Il faut donc ensemencer environ 1,7 106 cellules.

= 1658146N0 = 5

25/3,14

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Conclusion

La droite est la forme graphique la plus facile à reconnaître. Pour déceler un lien non affine entre deux variables, on peut utiliser un papier graphique dont l’une des échelles ou les deux sont graduées à l’aide du logarithme en base 10.

Par la régression logarithmique, on peut alors déterminer les paramètres de ces liens.

La régression logarithmique est un outil très puissant pour la modélisation de données expérimentales.

De cette façon, on peut détecter des liens exponentiels, des liens de puissance et des liens logarithmiques entre deux variables.

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Exercices

Mathématiques pour la chimie et la biologie, section 5.2, p. 131 à 134.

Lecture

Mathématiques pour la chimie et la biologie, section 5.1, p. 121 à 130.