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Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon Intégrale définie

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  • Montage prpar par : Andr Ross Professeur de mathmatiques Cgep de Lvis-Lauzon Intgrale dfinie Intgrale dfinie
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  • Introduction Il nous faut rflchir sur la dfinition daire sous la courbe dune fonction non ngative f pose dans la prsentation prcdente. Nous avons test cette dfinition laide de fonctions polynomiales, en considrant toujours une partition rgulire. o P = {x 0, x 1, x 2, , x n } est une partition de [a; b], i = 1 n f(c i ) x i A [a; b] = lim (maxx i ) 0 c i [x i1 ; x i ] et x i = x i x i1 Nous gnraliserons maintenant toute fonction continue, mais nous devons dabord traiter la question de lexistence de la limite dune telle somme.
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  • Fonction intgrable S - Dfinition Fonction intgrable au sens de Riemann Soit f, une fonction dfinie sur [a; b] et P = {x 0, x 1, x 2, , x n } une partition quelconque de [a; b]. Alors f est dite intgrable au sens de Riemann (ou simplement intgrable) sur [a; b] si la limite suivante existe : i = 1 n f(c i ) x i lim (maxx i ) 0 i = 1 n f(c i ) x i lim (maxx i ) 0 f(x) dx = a b Si f est intgrable sur [a; b], alors lintgrale dfinie de f sur [a; b] est dfinie par :, o c i [x i1 ; x i ] REMARQUE : Si f est non ngative sur [a; b], lintgrale dfinie donne laire sous la courbe. La valeur de a est appele borne infrieure de lintgration et b, borne suprieure de lintgration.
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  • Intgrale dfinie et indfinie S Il faut distinguer intgrale dfinie et intgrale indfinie. i = 1 n f(c i ) x i lim (maxx i ) 0 f(x) dx = a b, o c i [x i1 ; x i ] Lintgrale dfinie est un nombre rel qui est la limite dune somme : Lintgrale indfinie est une famille de fonctions, les primitives de la fonction f. f(x) dx = F(x) + k, o F '(x) = f(x) Dans cette prsentation, nous tablirons la relation entre lintgrale dfinie et lintgrale indfinie grce au thorme fondamental du calcul diffrentiel et intgral. Quelques thormes pralables nous seront utiles.
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  • Thorme des valeurs extrmes SS Le minimum et le maximum absolus peuvent tre atteints aux frontires de lintervalle [a; b]. Thorme des valeurs extrmes Soit f, une fonction continue sur [a; b]. Alors : il existe au moins un c [a; b] tel que f(c) soit gale au minimum absolu de f sur [a; b] et; il existe au moins un d [a; b] tel que f(d) soit gale au maximum absolu de f sur [a; b]. Le minimum et le maximum absolus peuvent tre des extremums relatifs.
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  • Thorme de Fermat SS On se souvient de ce thorme on lutilisait dans lanalyse des points critiques dune fonction pour dtecter les extremums relatifs. Thorme de Fermat Soit f, une fonction telle que : f est continue sur [a; b]; f est drivable sur ]a; b[; c ]a; b[, o (c; f(c)) est un point de maximum (ou de minimum) relatif ou absolu de f; alors, f '(c) = 0. On se souvient galement que le thorme ne permettait pas de dtecter tous les extremums relatifs. c REMARQUE : La fonction nest pas drivable x = c. Le thorme de Fermat ne sapplique pas.
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  • Thorme de Rolle SS Distinguons deux cas, selon que la fonction est constante ou non dans lintervalle [a; b]. Thorme de Rolle Soit f, une fonction telle que : f est continue sur [a; b]; f est drivable sur ]a; b[; f(a) = f(b), alors, il existe au moins un nombre c ]a; b[ tel que f '(c) = 0. Si la fonction est constante sur [a; b]. Alors, elle est de la forme f(x) = k, o k R. Par consquent. f '(x) = 0 pour tout x ]a; b[ et f '(c) = 0 quel que soit c ]a; b[. Si la fonction nest pas constante sur [a; b]. Daprs le thorme des valeurs extrmes, la fonction possde un minimum absolu et un maximum absolu sur [a; b]. Soit c ]a; b[, tel que (c; f(c)) est un point de maximum (ou de minimum), alors f '(c) = 0 par le thorme de Fermat. Puisque la fonction nest pas constante et que f(a) = f(b), elle a un minimum absolu ou un maximum absolu dans lintervalle ]a; b[. Ce qui dmontre le thorme de Rolle. REMARQUE : Le thorme indique quil y a au moins un point dans ]a; b[ o la tangente est horizontale, mais il peut y en avoir plus dun. S
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  • Exemple SS Dterminer si la fonction dfinie par f(x) = x 2 + x satisfait aux conditions du thorme de Rolle sur [1; 1]. Calculer la valeur (ou les valeurs) de c, le cas chant. La fonction est une polynomiale, elle est donc continue sur R et, en particulier, sur [1; 1]. Elle est drivable sur R et en particulier sur ]1; 1[. De plus, f(1) = 3 = f(1). Les conditions sont satisfaites et le thorme de Rolle sapplique. Il existe au moins un nombre 1 < c < 1 tel que f '(c) = 0. La drive de f est : f '(x) = 2x + 1 et : 2x + 1 = 0 donne x = 1/2 La valeur prdite par le thorme de Rolle est c = 1/2.
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  • Exercice SS Dterminer si la fonction dfinie par f(x) = sin x satisfait aux conditions du thorme de Rolle sur [0; 2]. Calculer la valeur (ou les valeurs) de c, le cas chant. La fonction est continue sur R, donc sur [0; 2]. Elle est drivable sur R, donc sur ]0; 2[. De plus, f(0) = 0 = f(2). Les conditions sont satisfaites et le thorme de Rolle sapplique. Il existe au moins un nombre 0 < c < 2 tel que f '(c) = 0. La drive de f est : f '(x) = cos x et : cos x = 0 /2 et 3/2 Les valeurs prdites par le thorme de Rolle sont c 1 = /2 et c 2 = 3/2.
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  • Exercice SS Dterminer si la fonction dfinie par f(x) = 1/x 2 satisfait aux conditions du thorme de Rolle sur [2; 2]. Calculer la valeur (ou les valeurs) de c, le cas chant. La fonction nest pas continue sur [2; 2]. En effet, elle a une trou linfini x = 0 (limite de la forme c/0). Lune des conditions nest pas satisfaite et le thorme de Rolle ne sapplique pas. On ne peut rien prdire. Le graphique permet cependant de conclure quil nexiste pas de valeur de c dans [2; 2] telle que f '(c) = 0
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  • Exercice SS Une fonction irrationnelle est continue sur son domaine. La fonction est donc continue sur R et, en particulier, sur [8; 8]. La fonction nest pas drivable x = 0 ]8; 8[, car : Lune des conditions nest pas satisfaite et le thorme de Rolle ne sapplique pas. Dterminer si la fonction dfinie par f(x) = x 2/3 satisfait aux conditions du thorme de Rolle sur [8; 8]. Calculer la valeur (ou les valeurs) de c, le cas chant. f '(x) = 1 3x 1/3 et le domaine de f ' est R\{0}.
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  • Thorme de Lagrange S Ce thorme affirme que si la fonction est continue et drivable sur lintervalle alors il existe un point (c; f(c)) o la tangente est parallle la scante passant par les points (a; f(a)) et (b; f(b)). Thorme de Lagrange (ou de la moyenne) Soit f, une fonction telle que : f est continue sur [a; b]; f est drivable sur ]a; b[; alors, il existe au moins un nombre c ]a; b[ tel que : f '(c) = f (b) f (a) b a REMARQUE : Le thorme de Rolle est un cas particulier du thorme de Lagrange. En effet, si f(a) = f(b), la pente de la scante est 0.
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  • SS Notons g, la fonction dont le graphique est la scante la courbe de la fonction f passant par les points (a; f(a)) et (b; f(b)). f (b) f (a) b a La pente de cette scante est : et la fonction g est dfinie par lquation de la droite : g(x) = f(a) + (x a) f (b) f (a) b a Dfinissons la fonction H dont limage pour une valeur de x dans lintervalle [a; b] est la distance verticale entre la courbe de f et celle de g. On a alors : H(x) = f(x) g(x), pour x [a; b] Par substitution, on obtient : H(x) = f(x) f(a) + (x a) f (b) f (a) b a Dmonstration du thorme de Lagrange H(x)H(x) Vrifions que cette nouvelle fonction satisfait aux hypothses du thorme de Rolle. 1.H est continue sur [a; b] car la somme de deux fonctions continues est continue. 2.H est drivable sur [a; b] car la somme de deux fonctions drivables est drivable. 3.Puisque f(a) = g(a), on a H(a) = 0. De la mme faon, H(b) = 0, et H(a) = H(b). Les hypothses sont satisfaites, le thorme de Rolle sapplique. On peut conclure quil existe au moins un nombre c ]a; b[ tel que H '(c) = 0 La drive de H est : H '(x) = f '(x) f (b) f (a) b a S Limage de c est : H '(c) = f '(c) f (b) f (a) b a = 0 Do : f '(c) = f (b) f (a) b a Ce qui complte la dmonstration.
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  • Exemple SS Dterminer si la fonction dfinie par f(x) = 3x x 2 satisfait aux conditions du thorme de Lagrange sur [1; 4]. Calculer la valeur (ou les valeurs) de c, le cas chant. La fonction est une polynomiale, elle est donc continue sur R et, en particulier, sur [1; 4]. Elle est drivable sur ]1; 4[. Les conditions sont satisfaites et le thorme de Lagrange sapplique. La drive de f est f '(x) = 3 2x et : 3 2x = 2 donne x = 5/2 La valeur prdite par le thorme de Lagrange est c = 5/2. La pente de la scante est : f (4) f (1) 4 1 = 4 2 4 1 = 2
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  • Exercice SS Une fonction irrationnelle est continue sur son domaine. La fonction f est donc continue sur R et, en particulier, sur [1; 4]. Cependant, la fonction nest pas drivable x = 2 ]1; 4[, car : Puisque lune des conditions nest pas satisfaite, le thorme de Lagrange ne sapplique pas. Dterminer si la fonction dfinie par f(x) = (x 2) 2/3 satisfait aux conditions du thorme de Lagrange sur [1; 4]. Calculer la valeur (ou les valeurs) de c, le cas chant. et le domaine de f ' est R\{2}. f '(x) = 1 3(x 2) 1/3 Il ny a pas de point (c; f(c)) sur lintervalle [1; 4] tel que la tangente en ce point soit parallle la scante passant par les points aux extrmits de lintervalle [1; 4].
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  • Thorme fondamental S Dmonstration Thorme fondamental du calcul diffrentiel et intgral Soit f, une fonction continue sur un intervalle [a; b] et F, lune de ses primitives sur [a; b], alors : Considrons une partition P = {x 0, x 1, x 2,..., x n1, x n } de lintervalle [a; b], o x 0 = a et x n = b. Ces valeurs subdivisent lintervalle [a; b] en n sous-intervalles : f(x) dx = F(b) F(a) a b [a; x 1 ], [x 1 ; x 2 ], [x 2 ; x 3 ], , [x i1 ; x i ],..., [x n1 ; b] dont les longueurs sont : x 1, x 2, x 3,...x i,...x n On peut alors exprimer F(b) F(a) par la somme tlescopique : F(b) F(a) = [F(x 1 ) F(a)] + [F(x 2 ) F(x 1 )] +... +[F(b) F(x n1 )]
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  • Dmonstration du thorme fondamental S Dmonstration Par hypothse, F est une primitive de f, on a donc : F '(x) = f(x) pour tout x dans lintervalle [a; b] Considrons le premier sous-intervalle, [a; x 1 ]. Puisque la fonction F est drivable sur cet intervalle, par le thorme de Lagrange, il existe une abscisse c 1 dans lintervalle telle que : F(x 1 ) F(a) = F '(c 1 ) (x 1 a) De la mme faon, dans chaque sous-intervalle, [x i1 ; x i ], on peut trouver une abscisse c i telle que : F(x i ) F(x i1 ) = F '(c i ) (x i x i1 ) On peut donc crire la somme tlescopique de F(b) F(a) sous la forme : F(b) F(a) = F '(c 1 ) (x1 (x1 a) + F '(c 2 ) (x2 (x2 x 1 )... + F '(c i ) (xi (xi x i1 ) +... +F '(c n ) (b (b x n1 )
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  • Dmonstration du thorme fondamental S Dmonstration De plus, puisque x i = x i x i1 et F '(x) = f(x), on a : F(b) F(a) = F '(c 1 ) x 1 + F '(c 2 ) x 2... + F '(c i ) x i +... + F '(c n ) x n = f (c 1 ) x 1 + f (c 2 ) x 2... + f (c i ) x i +... + f (c n ) x n En utilisant le symbole de sommation, on obtient alors la somme de Riemann suivante : Supposons que le nombre n de sous-intervalles saccrot linfini et que la largeur du plus grand de ceux-ci tend vers 0. Le membre de gauche de cette galit est constant et indpendant de n alors que le ct droit tend vers lintgrale dfinie dans lintervalle [a; b]. On a donc : Ce qui complte la dmonstration. i = 1 n f(c i ) x i F(b) F(a) = i = 1 n f(c i ) x i lim (maxx i ) 0 f(x) dx a b =
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  • Visualisation du thorme S Considrons les fonctions : F '(x) = f(x) = 18x 3x 2 i = 1 4 f(c i ) x i F(b) F(a) = F(b) F(a) f(x) dx a b = F(x) = 12 + 9x 2 x 3 sur lintervalle [0; 6]. Dterminons une partition. Par le thorme de Lagrange : A1A1 f(c1 f(c1 ) x 1 A2A2 A3A3 A4A4 c1c1 c2c2 f(c2 f(c2 ) x 2 f(c3 f(c3 ) x 3 f(c4 f(c4 ) x 4 c3c3 c4c4 i = 1 n f(c i ) x i lim (maxx i ) 0 = Et, la limite : F(b) F(a) f(x) dx a b = A
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  • Calcul de laire Procdure pour calculer lintgrale indfinie 2.Dterminer les bornes dintgration lorsquelle ne sont pas prcises. 3.Dterminer une primitive F(x) de lintgrande f(x). 4.valuer la diffrence F(b) F(a). Notation : 1.Vrifier que la procdure sapplique (f est continue sur lintervalle). La diffrence F(b) F(a) est gnralement note : baba F(x)F(x) On crira donc : f(x) dx a b baba F(x)F(x) = Lorsque la fonction est continue et non ngative sur [a; b], lintgrale dfinie donne laire sous la courbe sur lintervalle [a; b]. S
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  • Exemple SS Dterminer laire sous la courbe de la fonction dfinie par : La fonction est continue et non ngative dans lintervalle, on a donc : On trouve 27/4 units daire. Dans lintervalle [1; 4]. f(x) = x + 2 2 x + 2 2 dx 1 4 = 12 12 x dx + 2 dx 1 4 1 4 4141 = 12 12 + 2x x22x22 = + x x24x24 4141 + 4 16 4 = + 1 1414 = 27 4 8 5454 27 4 =
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  • Exercice SS Dterminer laire sous la courbe de la fonction dfinie par : La fonction est continue et non ngative dans lintervalle, on a donc : On trouve 68 units daire. Dans lintervalle [2; 4]. f(x) = 3x 2 + 2x (3x 2 + 2x) dx 2 4 = 3x 2 dx + 2x dx 2 4 2 4 4242 = x 3 + x 2 = (64 + 16) (8 + 4) = 68 80 12 = 68
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  • Exemple SS Une particule se dplace en ligne droite durant 6 s et sa vitesse est dcrite par : Calculer la variation de position (dpla- cement) durant lintervalle [0; 2]. Le mobile sest dplac de 28 m par rapport sa position initiale. o t est le temps en secondes. v(t) = 18t 3t 2 m/s (18t 3t 2 ) dt 0 2 = 18t dt 3t 2 dt 0 2 0 2 2020 = 9t 2 t 3 = (36 8) (0 0) = 28 La variation de position est donne par laire sous la courbe dans lintervalle [0; 2]. La fonction est continue et non ngative dans lintervalle, on a donc : 28 0 = 28
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  • Exercice SS Une particule se dplace en ligne droite durant 6 s et sa vitesse est dcrite par : Calculer la variation de position (dpla- cement) durant lintervalle [2; 5]. Le mobile sest dplac de 72 m par rapport sa position initiale. o t est le temps en secondes. v(t) = 18t 3t 2 m/s (18t 3t 2 ) dt 2 5 = 18t dt 3t 2 dt 2 5 2 5 5252 = 9t 2 t 3 = (225 125) (36 8) = 72 La variation de position est donne par laire sous la courbe dans lintervalle [2; 5]. 100 28 = 72
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  • Exercice SS Une particule se dplace en ligne droite durant 6 s et sa vitesse est dcrite par : Calculer la variation de position (dpla- cement) durant lintervalle [0; 6]. Le mobile sest dplac de 108 m par rapport sa position initiale. o t est le temps en secondes. v(t) = 18t 3t 2 m/s (18t 3t 2 ) dt 0 6 = 18t dt 3t 2 dt 0 6 0 6 6060 = 9t 2 t 3 = (324 216) (0 0) = 108 La variation de position est donne par laire sous la courbe dans lintervalle [0; 6]. 108 0 = 108
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  • Conclusion Le thorme fondamental nous permet galement dtablir une relation entre lintgrale dfinie et lintgrale indfinie, puisque : Lorsque la fonction est continue et non ngative sur [a; b], lintgrale dfinie donne laire sous la courbe sur lintervalle [a; b]. f(x) dx a b baba F(x)F(x) =, o F(x) est une primitive de f(x). Le thorme fondamental du calcul diffrentiel et intgral (premire partie) donne une procdure gnrale pour dterminer lintgrale dfinie dans un intervalle [a; b], qui est valide pour toute fonction continue sur cet intervalle.