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Montage préparé par :
André Ross
Professeur de mathématiques
Cégep de Lévis-Lauzon
Le point le plus près
Le point le plus près
Introduction
Nous verrons comment déterminer le point d’une droite ou
d’un plan le plus rapproché d’un point hors de cette droite ou
de ce plan.
Le point le plus près dans R2
On peut développer diverses stratégies pour trouver les coordonnées de ce point. Nous verrons comment procéder en déterminant l’intersection de lieux géométriques.
Le point R d’une droite ∆ le plus proche d’un point Q hors de celle-ci est le pied de la perpendiculaire abaissée du point Q sur la droite ∆.
Le point le plus près dans R2
Intersection de lieux
pour déterminer le point R d’une droite le plus rapproché d’un point Q hors de cette droite par l’intersection de lieux.
1. Déterminer une équation de la droite passant par le point Q et perpendiculaire à la droite ∆.
2. Substituer les équations paramétriques dans l’équation carté-sienne.
3. Calculer la valeur du paramètre au point de rencontre des droites.
4. Substituer la valeur du paramètre dans les équations paramétriques pour déterminer les coordonnées du point de rencontre qui est le point le plus rapproché.
Procédure
Exemple 11.3.13
En substituant ces équations paramétriques dans l’équation de la droite ∆, on obtient :
SS
La description paramétrique de la droite passant par Q et perpendiculaire à ∆ est :
x = 4 + ty = 9 – 2t
(4 + t) – 2(9 – 2t) + 4 = 0
D’où : 4 + t – 18 + 4t + 4 = 0
Cela donne : 5 t – 10 = 0 et t = 2
En substituant cette valeur dans les équations paramétriques, on obtient :
x = 4 + 2 = 6y = 9 – 2 2 = 5
Le point le plus rapproché est donc R(6; 5).
(6; 5)
Utiliser la méthode de l’intersection de lieux pour trouver le point de ∆ : x – 2y + 4 = 0 le plus proche du point Q(4; 9).
On cherche le pied R de la perpendiculaire abaissée du point Q sur la droite ∆. Or, cette droite est parallèle au vecteur normal à ∆.
Exemple 10.3.5Utiliser la méthode de l’intersection de lieux
pour trouver le point de ∆ :
(x – 7; y – 2) • (4; 2) = 0
le plus proche du point Q(7; 2).
x = –1 + 4ty = 3 + 2t
L’équation cartésienne de la droite passant par Q et perpendiculaire à ∆ est donnée par :
D’où : 4x – 28 + 2y – 4 = 0
Et : 4x + 2y – 32 = 0
En substituant les équations paramétriques de ∆ dans l’équation de la perpendiculaire passant par Q, on obtient :
SS
4(–1 + 4t) + 2(3 + 2t) – 32 = 0
D’où : –4 + 16t + 6 + 4t – 32 = 0
Cela donne : 20 t – 30 = 0 et t = 3/2
En substituant cette valeur dans les équations paramétriques de ∆, on obtient :
x = –1 + 4(3/2) = 5y = 3 + 2(3/2) = 6
Le point le plus rapproché est donc R(5; 6).
(5; 6)
ExerciceUtiliser la méthode de l’intersection de lieux pour trouver le point de ∆ : 3x – 2y – 15 = 0 le plus proche du point Q(–2; 9).
En substituant ces équations paramétriques dans l’équation de la droite ∆, on obtient :
SS
La description paramétrique de la droite passant par Q et perpendiculaire à ∆ est :
x = –2 + 3ty = 9 – 2t
3(–2 + 3t) – 2(9 – 2t) – 15 = 0
D’où : –6 + 9t – 18 + 4t – 15 = 0
Cela donne : 13t – 39 = 0 et t = 3
En substituant cette valeur dans les équations paramétriques, on obtient :
x = –2 + 3 3 = 7y = 9 – 2 3 = 3
Le point le plus rapproché est donc R(7; 3).
(7; 3)
ExerciceUtiliser la méthode de l’intersection de lieux
pour trouver le point de ∆ :
(x – 3; y – 2) • (3; –2) = 0
le plus proche du point Q(3; 2).
x = –1 + 3ty = 9 – 2t
L’équation cartésienne de la droite passant par Q et perpendiculaire à ∆ est donnée par :
D’où : 3x – 9 – 2y + 4 = 0
Et : 3x – 2y – 5 = 0
En substituant les équations paramétriques de ∆ dans l’équation de la perpendiculaire passant par Q, on obtient :
SS
3(–1 + 3t) – 2(9 – 2t) – 5 = 0
D’où : –3 + 9t – 18 + 4t – 5 = 0
Cela donne : 13t – 26 = 0 et t = 2
En substituant cette valeur dans les équations paramétriques de ∆, on obtient :
x = –1 + 3 2 = 5y = 9 – 2 2 = 5
Le point le plus rapproché est donc R(5; 5).
(5; 5)
Le point le plus près dans R3
Le point d’une droite le plus près d’un point Q hors de cette droite dont on connaît un vecteur directeur (description paramétrique).
Le point cherché est le pied de la
perpendiculaire abaissée du point Q
sur la droite ∆.
Cette droite est dans un plan ∏
perpendiculaire à ∆ et passant par le
point Q.
On peut donc déterminer une équation cartésienne du plan ∏ et
trouver son intersection avec la droite ∆.
Méthode de l’intersection de lieux
Le vecteur directeur de la droite ∆ est
donc un vecteur normal au plan ∏.
SSS
Exemple 11.3.16 (Intersection de lieux)
Trouver sur la droite ∆ :x = 8 + 3t
y = –1 – 2t
z = –2 + t
le point le plus rapproché
du point Q(3; 8; 3).
En substituant les équations paramétriques de la droite dans l’équation du plan ∏, on obtient :
L’équation cartésienne du plan passant par Q et perpendiculaire à ∆ est :
3(8 + 3t) – 2(–1 – 2t) + (–2 + t) + 4 = 0
D’où : 24 + 9t + 2 + 4t – 2 + t + 4 = 0
Cela donne : 14t + 28 = 0 et t = –2
On cherche le pied R de la perpendiculaire abaissée du point Q sur la droite ∆. Or, cette droite est dans un plan perpendiculaire à ∆.
(3; –2; 1) • (x – 3; y – 8; z – 3) = 0, d’où :3x – 2y + z + 4 = 0
x = 8 + 3 –2) = 2y = –1 – 2 –2) = 3z = –2 + 1 –2) = –4
Le point le plus rapproché est donc R(2; 3; –4).
En substituant cette valeur dans les équations paramétriques, on obtient :
SSS
Exercice (Intersection de lieux)
Trouver sur la droite ∆ :x = 7 – 4t
y = –4 + 2t
z = –2 + 3t
le point le plus rapproché
du point Q(–2; 8; 7).
En substituant les équations paramétriques de la droite dans l’équation du plan ∏, on obtient :
L’équation cartésienne du plan passant par Q et perpendiculaire à ∆ est :
–4(7 – 4t) + 2(–4 + 2t) + 3(–2 + 3t) – 45 = 0
D’où : –28 + 16t – 8 + 4t – 6 + 9t – 45 = 0
Cela donne : 29t – 87 = 0 et t = 3
On cherche le pied R de la perpendiculaire abaissée du point Q sur la droite ∆. Or, cette droite est dans un plan perpendiculaire à ∆.
(–4; 2; 3) • (x + 2; y – 8; z – 7) = 0, d’où :–4x + 2y + 3z – 45 = 0
x = 7 – 4 = –5y = –4 + 2 = 2z = –2 + 3 = 7
Le point le plus rapproché est donc R(–5; 2; 7).
En substituant cette valeur dans les équations paramétriques, on obtient :
∏
Le point d’un plan le plus prèsd’un point hors du plan(méthode de l’intersection de lieux)
Le point d’un plan le plus près d’un point Q hors de ce plan dont on connaît un vecteur normal (équation cartésienne).
Le point cherché est le pied de la
perpendiculaire abaissée du point Q
sur le plan ∏.
Cette perpendiculaire est une droite
∆ passant par le point Q et ayant
comme vecteur directeur le vecteur
normal au plan ∏.
On peut donc déterminer une description paramétrique de la droite ∆
et trouver son intersection avec le plan ∏.
Exemple 11.3.17
En substituant ces équations paramétriques dans l’équation du plan ∏, on obtient :
SS
La description paramétrique de la droite passant par Q et perpendiculaire à ∏ est :
x = 7 + ty = 9 + 2tz = 15 + 3t
(7 + t) + 2(9 + 2t) + 3(15 + 3t) – 28 = 0
D’où : 7 + t + 18 + 4t + 45 + 9t – 28 = 0
Cela donne : 14t + 42 = 0 et t = –3
En substituant cette valeur dans les équations paramétriques, on obtient :
x = 7 + 1 –3) = 4y = 9 + 2 –3) = 3z = 15 + 3 –3) = 6
Le point le plus rapproché est donc R(4; 3; 6).
Utiliser la méthode de l’intersection de lieux pour trouver le point de ∏ : x + 2y + 3z –28 = 0 le plus proche du point Q(7; 9; 15).On cherche le pied R de la perpendiculaire abaissée du point Q sur le plan ∏. Or, cette droite est parallèle au vecteur normal à ∏.
Exercice
En substituant ces équations paramétriques dans l’équation du plan ∏, on obtient :
SS
La description paramétrique de la droite passant par Q et perpendiculaire à ∏ est :
x = 23 + 5ty = 14 + 3tz = –1 + t
5(23 + 5t) + 3(14 + 3t) + (–1 + t) – 16 = 0
D’où : 115 + 25t + 42 + 9t – 1 + t – 16 = 0
Cela donne : 35t + 140 = 0 et t = –4.
En substituant cette valeur dans les équations paramétriques, on obtient :
x = 23 + 5 –4) = 3y = 14 + 3 –4) = 2z = –1 + 1 –4) = –5
Le point le plus rapproché est donc R(3; 2; –5).
Utiliser la méthode de l’intersection de lieux pour trouver le point de ∏ : 5x + 3y + z – 16 = 0 le plus proche du point Q(23; 14; –1).On cherche le pied R de la perpendiculaire abaissée du point Q sur le plan ∏. Or, cette droite est parallèle au vecteur normal à ∏.
Les points les plus rapprochésde deux droites gauches
Lorsqu’on a deux droites gauches , il y a toujours des plans parallèles contenant les droites.
Méthode du vecteur normal
En notant A et B, les points les plus rapprochés, on a alors :
AB
Les coordonnées des points A et B doivent satisfaire aux équations para-métriques de leur droite respective.
= k
On peut donc établir un système de contraintes dont les variables sont les paramètres des équations des droites et le scalaire k. En résolvant ce système, on connaîtra la valeur des paramètres aux points les plus rapprochés.
N
Les vecteurs directeurs sont :
Exemple 11.3.18 (vecteur normal)Trouver les points les plus proches sur les droites gauches suivantes :
SS
= (–2; 4; –1) et D1
∆1 : x = 7 – 2ty = –6 + 4tz = 6 – t
= (1; –3; 2) D2
∆2 :
x = 1 + sy = –10 – 3sz = 8 + 2s
N
+ (6 – 4)i j k
–2 4 –11 –3 2
= (8 – 3) i – (–4 + 1) j kD1 D2 =
= 5 i + 3 j k+ 2
N =
Trouvons le vecteur normal :
= (5; 3; 2)
S
Notons A(a; b; c), le point cherché sur la droite ∆1, et B(d; e; f), le point cherché sur la droite ∆2. Il existe donc des valeurs de t et s telles que :
a = 7 – 2tb = –6 + 4tc = 6 – t
d = 1 + se = –10 – 3sf = 8 + 2s
AB = (d – a; e – b: f – c) = (s + 2t – 6; –3s – 4t – 4; 2s + t + 2)D’où :
ABPuisque : = k N, on a :
(s + 2t – 6; –3s – 4t – 4; 2s + t + 2) = k(5; 3; 2) = (5k; 3k; 2k)
D’où l’on tire le système d’équations : s + 2t – 5k = 6
–3s – 4t – 3k = 4
2s + t – 2k = –2
En résolvant, on a :
L1
≈L2 + 3L1
L3 – 2L1
1 2 –5
0 –18
6
220 –3 8 –14
2
L1 – L2
≈ L2
2L3 + 3L2
1 0 13
0 –18
–16
220 0 –38 38
2
L1
≈ L2 /2
L3 /(–38)
1 0 13
0 –9
–16
11
0 0 –11
L1 – 13L3
≈ L2 + 9L3
L3
1
1 0 0
0 0
–3
2
0 0 –11
1 S
On a donc s = –3 et t = 2, d’où :
A : B :
2 –5
–3 –4 –3
6
42 –2 –2
1
1
Les points les plus rapprochés sont donc A(3; 2; 4) sur ∆1 et B (–2; –1; 2) sur ∆2.
x = 7 – 2 2 = 3
y = –6 + 4 2 = 2z = 6 – 2 = 4
x = 1 – 3 = –2y = –10 – 3 (–3) = 1z = 8 + 2 (–3) = 2
Les vecteurs directeurs sont :
Exercice (vecteur normal)Trouver les points les plus proches sur les droites gauches suivantes :
SS
= (3; 7; 4) et D1
∆1 : x = –4 + 3ty = –10 + 7tz = –11 + 4t
= (1; –1; –1) D2
∆2 :
x = 1 + sy = 1 – sz = 11 – s
N
+ (–3 – 7)i j k3 7 41 –1 –1
= (–7 + 4) i – (–3 – 4) j kD1 D2 =
= –3 i + 7 j k– 10
N =
Trouvons le vecteur normal :
= (–3; 7; –10)
S
Notons A(a; b; c), le point cherché sur la droite ∆1, et B(d; e; f), le point cherché sur la droite ∆2. Il existe donc des valeurs de t et s telles que :
a = –4 + 3tb = –10 + 7tc = –11 + 4t
d = 1 + se = 1 – sf = 11 – s
AB = (d – a; e – b: f – c) = (s – 3t + 5; –s – 7t + 11; –s – 4t + 22)D’où :
ABPuisque : = k N, on a :
(s – 3t + 5; –s – 7t + 11; –s – 4t + 22) = k (–3; 7; –10) = (–3k; 7k; –10k)
D’où l’on tire le système d’équations :
s – 3t + 3k = –5
–s – 7t – 7k = –11
–s – 4t + 10k = –22
En résolvant, on trouve :
L1
≈L2 + L1
L3 + L1
1 –3 3
0 –4
–5
–160 –7 13 –27
–10
10L1 – 3L2
≈ L2
10L3 – 7L2
10 0 42
0 –4
–2
–160 0 158 –158
–10
L1
≈ L2
L3 /(–158)
10 0 42
0 –4
–2
–160 0 –1
–10
L1 – 42L3
≈ L2 + 4L3
L3
1
10 0 0
0 0
40
–20
0 0 –1–10
1S
On a donc s = 4 et t = 2, d’où :
A : B :
–3 3
–1 –7 –7
–5
–11–1 10 –22
1
–4
Les points les plus rapprochés sont donc A(2; 4; –3) sur ∆1 et B (–2; –1; 2) sur ∆2.
x = –4 + 3 2 = 2
y = –10 + 7 2 = 4z = –11 + 4 2 = –3
x = 1 + 4 = 5
y = 1 – 4 = –3
z = 11 – 4 = 7
ConclusionEn utilisant les vecteurs directeurs et les vecteurs normaux, on peut
déterminer l’équation d’une droite ou d’un plan perpendiculaire à un
plan ou à une droite donnée passant par un point extérieur à cette
droite.
L’intersection de ces lieux géométriques donne le point le plus
rapproché.
Exercices
Mathématiques pour la chimie et la biologie, section 11.4, p. 364 et 367.
Lecture
Mathématiques pour la chimie et la biologie, section 11.3, p. 340 à 354.