Monte-Carlo-Verfahren nach GUM Supplement 1 - ptb.de · 1 Monte-Carlo-Verfahren nach GUM Supplement 1 Gerd Wübbeler Physikalisch-Technische Bundesanstalt 260. PTB-Seminar, 21-22

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Monte-Carlo-Verfahren nach GUM Supplement 1

Gerd Wübbeler

Physikalisch-Technische Bundesanstalt

260. PTB-Seminar, 21-22 März 2011


Inhalt

Wahrscheinlichkeitsverteilungen

Monte-Carlo Verfahren

Beispiele

Adaptive Monte-Carlo Verfahren

3

)(, 22 xux

)(,33

xux

)(, 11 xux

)(, yuy),,( 321 XXXfY

Schätzwerte

Unsicherheiten

Modell Schätzwert

Unsicherheit


Warum GUM S1 ?

)()( 2

2

1

2i

N

i i

xux

fyu

),,( 1 Nxxfy

Einschränkungen seitens des GUM

Linearität des Modells

Annahmen über VerteilungenGUM S1

GUM


Bayessche Datenanalyse

MessgrößeSchätzwert(Messergebnis)

Unsicherheit

PDF

Messdaten

Modell

weitere Information

Quantitative Beschreibung der Kenntnis über die Messgröße via PDF

Numerische Berechnung der PDF mittels Monte Carlo Verfahren

Wahrscheinlichkeitsdichte PDF


Modell

PDFs der Eingangsgrößen

Transformation von Zufallsvariablen

Berechnungsmethode: Monte-Carlo Methode (MCM)

- i.i.d. Samples aus der Verteilung (PDF) der Messgröße

- Anwendbar in vielen Fällen (nichtlineare Modelle)

GUM S1: Fortpflanzung von Verteilungen


ns

xt

nsxxp nn

//

1),,|( 11

Skalierte und verschobene t-Verteilung

mit Freiheitsgraden 1n

Festlegung von Verteilungen

Messwerte aus

Gauss-Verteilung

nxx ,,1

n

i

ixn

x1

1n

i

i xxn

s1

22 )(1

1

InformationInformation PDF

t-Verteilung

n=4



Gleichverteilung über [a,b]

Gauss-Verteilung

bxa

x̂ )ˆ(ˆ xux)ˆ(ˆ xux

)ˆ(,ˆ xux

Tabelle 1 im GUM S1

Information PDF


GUM Supplement 1 (2008)



GUM S1 : Fortpflanzung von Verteilungen

ξξξX d)]([)()( fggY

))(()()()( Txxξxξ fff GUM-Formeln

Lineare Näherung der Modell-Funktion


321 XXXY

Ziehungen

Monte-Carlo Methode

M=1e5;

x1=5+randn(M,1);

x2=1+rand(M,1)+rand(M,1);

x3=1+rand(M,1);

y=x1.*x2.*x3;

hist(y,100);


MessgrößeSchätzwert(Messergebnis)

Unsicherheit

PDF

Vertrauensintervall

Ergebnis der MCM


Vergleich: GUM - GUM S1

22

21 XXY

121 xx

1)()( 21 xuxu

Resultate von GUM und GUM S1 können unterschiedlich sein

GUM S1 im Zweifelsfall verbindliche MU Methode

Überdeckungsintervalle (95%)

GUM GUM S1

Schätzwert 1.41 1.81

Unsicherheit 1.00 0.845

Modell

Schätzwerte

Unsicherheiten

Gauss-Verteilungen(unkorreliert)


Vergleich: GUM - GUM S1 mit Korrelation

22

21 XXY

121 xx

1)()( 21 xuxu

Resultate von GUM und GUM S1 können unterschiedlich sein

GUM S1 im Zweifelsfall verbindliche MU Methode

Modell

Schätzwerte

Unsicherheiten

Gauss-Verteilungen(korreliert)

8.0

Überdeckungsintervalle (95%)

GUM GUM S1

Schätzwert 1.41 1.71

Unsicherheit 1.34 1.04


IUR /

1 V und 2 A Gleichverteilungen(unkorreliert)

Monte-Carlo Methode (MCM)

A12

001.0 V,

12

001.0

Vergleich: GUM - GUM S1

Modell

Schätzwerte

Unsicherheiten

Digitalmultimeter



Ziel Durchführen der MCM bis eine gewählte Genauigkeit mit

einer vorgegebenen Wahrscheinlichkeit erreicht ist

(mit möglichst wenigen Ziehungen)

Monte-Carlo Resultate weisen i.A. zufällige Schwankungen auf

Spezifikation der Genauigkeit der Ergebnisse notwendig



)1,0(~ NX i


)1,0(~ NX i


)1,0(~ NX i

Gesucht

Abbruchkriterium zum Erreichen

einer spezifizierten Genauigkeit



• Zweistufiges Schema nach Stein

• Spezifizierte Genauigkeit beweisbar

Alternatives Adaptives Verfahren

Adaptives Verfahren nach GUM S1 (7.9) nicht optimal


+ MCM flexibles Werkzeug zur Berechnung von Messunsicherheiten,

insbes. für nichtlineare Modelle und beliebige Verteilungen

+ GUM S1 im Zweifelsfall verbindliche MU Methode

+ GUM als Spezialfall enthalten (Linearisierung)

Fazit: Chancen und Risiken

- Monte-Carlo Ergebnisse selbst unsicher

- Messunsicherheitsbudget erfordert zusätzliche Berechnungen

- Weitergabe von Verteilungen nicht geregelt

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