Upload
agusyarif-rezka-nuha
View
237
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
7/26/2019 Monte Carlo.pdf
1/31
Metode Monte Carlo
dan Simulasi
7/26/2019 Monte Carlo.pdf
2/31
MONTE CARLO DAN
SIMULASI
Bilangan Acak
Estimasi Luas danVolume dengan Metode
Monte CarloSimulasi
7/26/2019 Monte Carlo.pdf
3/31
Pendahuluan
Arus lalu lintas
7/26/2019 Monte Carlo.pdf
4/31
13 1 Bilangan Acak
Metode Monte Carlo merupakan
metode yang menggunakan komputer
untuk membuat tiruan sebuahfenomena nyata yang memiliki
perubahan pada setiap saat. Sehingga
pembahasan pertama adalah Bilangan
Acak.
7/26/2019 Monte Carlo.pdf
5/31
Ciri-ciri barisan bilangan acak:
Bilangan menyebar pada seluruh
interval dan tidak ada pola.
misal : 0.2 0.4 0.6
Tidak meningkat secara monoton
Setiap elemen tidak diperoleh dari
elemen sebelumnya
misal : 0.2 0.4 0.8
7/26/2019 Monte Carlo.pdf
6/31
>> rand(10,1)ans =
0.28590.5437
0.98480.7157
0.8390
0.4333
0.4706
0.5607
0.2691
0.7490
Membangkitkan 10 bilangan acak
pada interval (0,1)
7/26/2019 Monte Carlo.pdf
7/31
Program:function x = acak2(a,b,n)
x=(b-a)*rand(n,1)+a;
Contoh:>> acak2(2,5,5)
ans =
3.0874
4.3643
4.3409
4.0055
2.4005
Membangkitkan n bilangan acak
pada interval (a,b)
7/26/2019 Monte Carlo.pdf
8/31
Program:function x = acak3(a,b,n)
r=(b-a)*rand(n,1)+a;
x=round(r); Contoh:>> acak3(2,10,5)
ans =
6
7
4
3
6
Membangkitkan n bilangan bulat
secara acak pada interval [a,b]
7/26/2019 Monte Carlo.pdf
9/31
13 2 Estimasi Luas dan Volume
dengan Metode Monte Carlo
Integral Numerik
Contoh 1Contoh 2
Contoh 3
7/26/2019 Monte Carlo.pdf
10/31
Integral Numerik
Aproksimasi integral tentu dengan
Metode Monte Carlo
Pertama memilih n elemen
dari barisan acak pada interval (0,1)
n
i
ixfn
dxxf1
1
0
)(1)(
nxxx ,...,, 21
7/26/2019 Monte Carlo.pdf
11/31
Erroratau galat dari aproksimasi :
Pada dimensi yang lebih besar metode ini
sangat atraktif
Contoh pada dimensi yang lebih besar :
n
1
1
0
1
0 1
1
0
),,(1
),,(n
i
iii zyxf
n
dxdydzzyxf
7/26/2019 Monte Carlo.pdf
12/31
Pada interval (a,b)
b
a
n
i
i
b
a
n
i
i
xfn
abdxxf
xfn
dxxfab
1
1
)()(
)(1
)(1
7/26/2019 Monte Carlo.pdf
13/31
Contoh:
n
i
iii
n
i
iii
zyxfn
dxdydzzyxf
zyxfn
dxdydzzyxf
1
3
1
1
1
2
0
1
3
1
1
1
2
0
),,(8),,(
),,(1
),,(8
1
7/26/2019 Monte Carlo.pdf
14/31
Secara Umum :
(ukuran A)x(rata-rata f dari n elemen pada A)
Sehingga rata-rata sebuah fungsi pada sebuah
himpunan sama dengan integral fungsi padahimpunan dibagi dengan ukuran himpunan.
fA
7/26/2019 Monte Carlo.pdf
15/31
Contoh 1
Tentukan nilai integral di bawah ini denganmenggunakan Metode Monte Carlo
Dimana:
dxdyyxfdxdyyx
),()1ln(sin
4
1)
2
1()
2
1(:),(
22yxyx
7/26/2019 Monte Carlo.pdf
16/31
Jawaban:
(luas )x(rata-rata f dari n titik acak) dxdyyxf ),(
n
i
ii
n
i
ii
yxfn
yxf
n
r
1
1
2
),()4
(
),(1
)(
7/26/2019 Monte Carlo.pdf
17/31
Program:
function doubleintegral(n)
x = rand(n,1);
y = rand(n,1);
total=sum(sin(sqrt(log(x+y+1)))
);vol=((pi/4)*total)/n
Contoh:
>> doubleintegral(10000)vol =
0.5618 (mendekati 0.57)
7/26/2019 Monte Carlo.pdf
18/31
Contoh 2
Tentukan nilai integral di bawah inidengan menggunakan Metode Monte
Carlo
1
1
1
1
1
1
222 )( dxdydzzyx
7/26/2019 Monte Carlo.pdf
19/31
Jawaban:
1
1
1
1
1
1 1
1
1
1
1
1
1 1
),,(8),,(
),,(1
),,(222
1
n
i
iii
n
i
iii
zyxfn
dxdydzzyxf
zyxfn
dxdydzzyxf
7/26/2019 Monte Carlo.pdf
20/31
Program:function integral(n)
z=acak2(-1,1,n);
y=acak2(-1,1,n);
x=acak2(-1,1,n);
total=sum((x.^2) + (y.^2) +(z.^2));
vol=((8)*total)/n
Contoh:
>> integral(10000)vol =
7.9807 (mendekati 8)
7/26/2019 Monte Carlo.pdf
21/31
Contoh 3
Gunakan metode Monte Carlo untuk mencarisecara numerik bahwa
dengan menggunakan 2500 bilangan acak
dxx 2/1
2
0
2 )4(
7/26/2019 Monte Carlo.pdf
22/31
Jawaban:
n
i
i
n
i
i
xn
dxx
xn
dxx
1
2/122/12
0
2
1
2/122/1
2
0
2
)4(2
)4(
)4(1
)4(02
1
7/26/2019 Monte Carlo.pdf
23/31
Program:
function integral2(n)
x=acak2(0,2,n);
total=sum((4-x.^2).^(1/2));
hasil_integral=(2*total)/n
Hasil program:
>> integral2(2500)
hasil_integral =
3.1403 (mendekati nilai )
7/26/2019 Monte Carlo.pdf
24/31
13 3 Simulasi
Buffons needle problem
Two dice problem
7/26/2019 Monte Carlo.pdf
25/31
Buffons needle problem
7/26/2019 Monte Carlo.pdf
26/31
Buffons needle problem
u = jarak garis kertas terdekat dengan
titik tengah jarum
v = sudut antara jarum dengan garis
tegak lurus u
Secara teori:
peluang jarum memotong salah satu
garis adalah 0.63662
7/26/2019 Monte Carlo.pdf
27/31
Buffons needle problem
Perpotongan terjadi jika dan hanya jika
Sehingga u adalah bilangan acak padainterval (0,1/2) dan v adalah bilanganacak pada interval (0,/2)
Secara Numerik (simulasi) :Melakukan sejumlah percobaan dalamjumlah yang sangat besar.
)sin(2
1vu
7/26/2019 Monte Carlo.pdf
28/31
Two dice problem
36 kemungkinan hasil pelemparan 2 dadu
7/26/2019 Monte Carlo.pdf
29/31
Two dice problem
Berapa peluang muncul angka 12 pada2 dadu dengan 24 kali pelemparan?
Secara teori:
Untuk 1 kali pelemparan:
Peluang tidak muncul angka 12 :
Sehingga untuk 24 kali pelemparan:
Peluang tidak muncul angka 12 :
49140.036
351
24
36
35
7/26/2019 Monte Carlo.pdf
30/31
Two dice problem
Peluang muncul angka 12:
Secara Numerik (simulasi) :
Melakukan percobaan (24 kali
pelemparan 2 dadu) dalam jumlah yang
sangat besar. Dengan menggunakan
bilangan acak bulat pada interval [1,6].
49140.036351
24
7/26/2019 Monte Carlo.pdf
31/31