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UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAISINSTITUTO DE CIENCIAS EXATASDEPARTAMENTO DE MATEMATICA

Rogerio Carvalho Picanco

Morfismos Irredutıveis na CategoriaDerivada de Algebras Gentle

Belo Horizonte

2010

Rogerio Carvalho Picanco

Morfismos Irredutıveis na CategoriaDerivada de Algebras Gentle

Tese apresentada ao corpo docente da

Pos Graduacao em Matematica do Ins-

tituto de Ciencias Exatas da Univer-

sidade Federal de Minas Gerais, como

parte dos requisitos para obtencao do

tıtulo de Doutor em Matematica.

Orientador: Prof. Viktor Bekkert

Universiade Federal de Minas Gerais

Agradecimentos

A minha mae, Recima Picanco, por tudo que fez para me deixar tao belaheranca, o amor pelo estudo.

A minha esposa, Rita Picanco, pelo enorme apoio, incentivo e pelo carinhocom que sempre contei.

A minha gata, Albertina, pela companhia constante em minha mesa nasmuitas horas de estudo e pelos momentos de distracao.

Ao meu orientador, Viktor Bekkert, por ter acreditado em mim desdeo inıcio, pela oportunidade do convıvio no trabalho do dia a dia e pelocrescimento pessoal e profissional que me proporcionou. Agradeco aindapela paciencia e compreensao que sempre estiveram presentes ao longo destajornada.

Aos membros da banca pelas sugestoes, observacoes e comentarios.

Aos professores, colegas e funcionarios do Departamento de Matematicada UFMG.

Aos colegas do Departamento de Matematica da UFV, especialmente asprofessoras Marines Guerreiro e Sonia Fernandes, pela confianca e apoio.

A CAPES pelo apoio financeiro.

Muito obrigado a todos voces!!!!

i

Resumo

O conceito de categorias trianguladas e, mais especıficamente de categoriasderivadas, foi introduzido na Teoria de Representacoes por Happel [20] em1987 e tem se mostrado de grande utilidade. Em que pese sua importancia,somente para poucas classes de algebras e conhecida a estrutura de sua cate-goria derivada.

Neste trabalho, apresentamos uma descricao explıcita de morfismos queformam bases do bimodulo de morfismos irredutıveis entre complexos string,na categoria derivada limitada de algebras gentle de dimensao finita. Estadescricao e feita por meio de string generalizadas, introduzidas por Bekkerte Merklen [8]. Curiosamente observa-se uma certa similaridade entre taldescricao e a feita por Butler e Ringel [13] para morfismos irredutıveis entremodulos string em algebras string, das quais as algebras gentle sao um casoparticular.

Reforcando a similaridade acima, introduzimos os conceitos de cumes eabismos generalizados e descrevemos todos os triangulos de Auslander-Reitenque envolvem complexos string na categoria derivada limitada de algebrasgentle.

Os conceitos basicos sobre categorias trianguladas e derivadas sao apre-sentados, de forma suscinta, no primeiro capıtulo. O texto pode ser utilizadopelo leitor ainda nao familiarizado com categorias derivadas mas interessadoem algebras string e algebras gentle. Neste caso ele pode se dirigir direta-mente aos capıtulos dois e tres.

ii

Abstract

Triangulated categories and, more precisely, derived categories were in-troduced in the Representation Theory by Happel [20] in 1987 and has beenvery useful. Despite their importance, just for a few classes of algebras, it isknown the structure of their derived categories.

In this work, we give an explicit description of morphisms which form abasis of the bimodule of the irreducible morphisms between string complexesin the bounded derived categories of gentle algebras of finite dimension. Weuse generalized strings introduced by Bekkert and Merklen [8] to make thisdescription. We observe certain similarities with the description made byButler and Ringel [13] for irreducible morphisms between string modulesover string algebras from which the gentle algebras are a particular case.

We introduce the definition of generalized deep and peak and describeexplicitly all Auslander-Reiten triangles that involve string complexes in thebounded derived category of gentle algebras.

Chapter 1 of this work presents some background material. The text ofthe thesis can be useful to the reader unfamiliar with derived categories butwishing to learn string and gentle algebras, which are presented in Chapters2 and 3.

iii

Sumario

Introducao 1

1 Conceitos Basicos 51.1 Representacoes de Quivers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2 Algebras e Quivers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3 Categorias Derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.4 Categorias Trianguladas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.5 Teoria de Auslander-Reiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.6 Quiver de Auslander-Reiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2 Algebras String 232.1 Modulos String . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.2 Modulos Band . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.3 Morfismos Irredutıveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.4 Sequencias de Auslander-Reiten . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3 Algebras Gentle 373.1 Complexos string e complexos band . . . . . . . . . . . . . . . 383.2 Cumes e abismos generalizados . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4 Morfismos Irredutıveis 514.1 Imersoes e projecoes naturais . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524.2 Casos especiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

5 Triangulos de Auslander-Reiten 66

Referencias Bibliograficas 100

Indice Remissivo 102

iv

Introducao

O estudo da categoria de modulos de uma algebra e, entre outros, um dosprincipais interesses na Teoria de Representacoes. De certa forma, sua im-portancia se justifica pela existencia de diversos invariantes associados a umaalgebra A, a saber, seu grupo de Grothendieck K0(A) (e demais K-gruposKi(A)), seus grupos de cohomologia de Hochshild HH∗(A), seu centro Z(A)etc. Para cada um destes invariantes existe um teorema dizendo que, seduas algebras A e B sao Morita equivalentes, isto e, suas respectivascategorias de modulos sao equivalentes, entao seus respectivos invariantessao isomorfos. Uma condicao necessaria e suficiente para equivalencia entrecategorias de modulos foi estabelecida pelo Teorema de Morita ao final dadecada de 50 [25]. Duas categorias de modulos mod A e mod B sao equi-valentes se e somente se existe um A-modulo projetivo e gerador PA tal queB ∼= HomA(PA, PA). Entretanto, a categoria de modulos nao e o maiorambiente onde os elementos acima sao invariantes.

Categorias derivadas de categorias abelianas foram introduzidas no inıciodos anos 60 por Grothendieck e Verdier (ver [30]) no ambito da Geome-tria Algebrica e da Algebra Homologica. Rapidamente suas aplicacoes seestenderam a outras areas da Matematica tais como Equacoes DiferenciaisParciais [28], Topologia etc. e se tornaram linguagem padrao em estudosde natureza local. Algum tempo depois Happel [20] introduziu o conceitode categorias trianguladas e, mais especificamente, de categorias derivadasda categoria de modulos de uma algebra, na Teoria de Representacoes. Opasso determinante nesta direcao foi a prova obtida pelo proprio Happel deque categorias derivadas sao invariantes na teoria de inclinacao. Se A e umaalgebra de dimensao finita sobre um corpo algebricamente fechado e TA e ummodulo inclinante entao as categorias derivadasDb(A) e Db(HomA(TA, TA))sao equivalentes como categorias trianguladas. Observe neste resultado umacerta semelhanca com o Teorema de Morita. De fato, para cada um dosinvariantes listados no primeiro paragrafo (e para outros nao listados) existeum teorema assegurando que sua invariancia nao passa somente pela catego-ria de modulos de uma algebra mas, sim, por sua categoria derivada que, a

1

grosso modo, contem a categoria de modulos. Neste sentido, como diz Keller[23], categorias derivadas aparecem como um invariante “mais grosso” quea categoria de modulos porem “fino” o suficiente para determinar todos osinvariantes homologicos e homotopicos associados a uma algebra A.

A //

²²

K0(A); Ki(A); Z(A); HH∗(A); . . .

mod A // D(A)

OO

Uma condicao necessaria e suficiente para equivalencia, como categoriastrianguladas, entre as categorias derivadas Db(A) e Db(B) de duas algebrasA e B, foi provada por Rickard [26]. Neste caso existe um complexo T ∙ deB-modulos, chamado complexo inclinante, tal que: T ∙ e perfeito, gera Db(B)como categoria triangular, HomDb(B)(T

∙, T ∙(n)) = 0 para todo n ∕= 0 eHomDb(B)(T

∙, T ∙) ∼= A. Pela semelhanca nos resultados costuma-se dizer queRickard desenvolveu uma teoria de Morita para categorias derivadas. Noteque todo modulo inclinante produz um complexo inclinante (concentrado) eo resultado de Happel acima e um caso particular do teorema de Rickard.

Em que pese sua importancia, sao poucas as classes de algebras em quesabemos descrever, explicitamente, sua categoria derivada. Nem mesmo oquiver de Auslander-Reiten, isto e, objetos indecomponıveis e morfismos ir-redutıveis, e conhecido na grande maioria dos casos. Como exemplo de umdos poucos casos onde a categoria derivada e conhecida podemos citar aclasse de algebras hereditarias (ver [20]).

Algebras gentle foram introduzidas por Assem e Skowronski [4] e estaopresentes em diversos problemas de classificacao. Por exemplo, em [31]Vossieck provou que a categoria derivada Db(A) de uma algebra A e discretase e somente se ela e do tipo Dynkin, isto e, A ∼= KQ e isomorfa a umaalgebra de caminhos de um quiver Q do tipo Dynkin, ou se e uma algebragentle com exatamente 1 ciclo e com numeros distintos de relacoes com sen-tido de orientacao horario e anti-horario. Algebras gentle tambem ocorremem outras areas da Matematica como, por exemplo, em problemas relaciona-dos a triangulacoes de superfıcies [6]. Daı a importancia do estudo destaclasse de algebras.

Como um caso particular de algebras string, a categoria de modulosde uma algebra gentle e completamente conhecida. Seus objetos indecom-ponıveis e morfismos irredutıveis podem ser obtidos por uma tecnica combi-natoria, aplicada diretamente no quiver da algebra, desenvolvida por Butler

2

e Ringel [13]. Ainda mais, o espaco de morfismos entre dois A-modulosHomA(M,N) e conhecido e pode ser calculado tambem de forma combi-natoria (veja [29] secao 2). Um especial interesse pela categoria derivada dealgebras gentle vem do fato, provado por Schroer e Zimmermann [29], daclasse destas algebras ser fechada por equivalencia derivada. Se A e umaalgebra gentle e B e uma algebra derivadamente equivalenteDb(A) ≃ Db(B)entao B e uma algebra gentle. Este fato motiva obter uma classificacao dealgebras gentle derivadamente equivalentes. Alguns resultados nesta direcaosao conhecidos. Em [3] e provado que algebras gentle cujo quiver e uma arvorecom n vertices sao derivadamente equivalentes a algebra de caminho do tipoAn . Tambem existem classificacoes para algebras gentle cujo quiver possuium ciclo [4] e resultados parciais para algebras com dois ciclos [1, 9]. Emproblemas de classificacao sao aplicados invariantes conhecidos para algebrasgentle tais como o determinante de Cartan [22] e o invariante de Avella-Alaminos [2], entre outros.

Quanto a estrutura intrınseca da categoria derivada de uma algebra gen-tle, Bekkert e Merklen [8] obtiveram uma descricao completa dos complexosindecomponıveis por meio de string e band generalizadas que, por sua vez, saoobtidas diretamente no quiver da algebra (veja tambem [11] para uma outradescricao destes indecomponıveis). Em [29] Schroer provou que a algebrarepetitiva A de uma algebra gentle A e bisserial especial. Utilizando este fatoe o funtor de Happel F : Db(A) −→ modA na categoria estavel da algebrarepetitiva, Bobinski obteve os triangulos de Auslander-Reiten de complexosperfeitos na categoria derivada de algebras gentle [10]. Entretanto esta des-cricao, sendo feita via algebra repetitiva, nao e obtida diretamente sobre oquiver da algebra, o que dificulta o calculo efetivo dos triangulos em exemplosconcretos. Ate o presente nao existe uma descricao do espaco de morfismosHomDb(A)(X

∙, Y ∙) entre complexos indecomponıveis na categoria derivadade algebras gentle.

O principal resultado deste trabalho e a descricao completa dos morfis-mos irredutıveis entre complexos string na categoria derivada limitada deuma algebra gentle de dimensao finita, feita por tecnica combinatoria a seraplicada diretamente no quiver da algebra (teorema 4.1). Esta tecnica per-mite ainda obter todos os triangulos de Auslander-Reiten que envolvem com-plexos string, de uma forma simples e tambem diretamente no quiver daalgebra (teorema 5.1 e exemplos no capıtulo 5). Para obter estes resultadosutilizamos representacoes de clans. Mais especificamente, aplicamos os resul-tados sobre morfismos irredutıveis e teoria de Auslander-Reiten obtidos porChristof Geiss [16]. No entanto, as provas apresentadas aqui utilizam apenasconceitos basicos de algebra homologica.

3

4

O texto esta organizado da seguinte forma: no primeiro capıtulo saoapresentados os conceitos basicos utilizados ao longo do trabalho e fixadanotacao. No capıtulo 2 apresentamos os principais resultados ja conhecidossobre algebras string. Mais especificamente, descrevemos objetos indecom-ponıveis e morfismos irredutıveis na categoria de modulos de algebras string.Nele estao contidos os conceitos de cume e abismo introduzidos por Butlere Ringel [13] e que serviram de inspiracao em algumas definicoes feitas noscapıtulos seguintes. No capıtulo 3 definimos algebras gentle e apresentamosos resultados de Bekkert e Merklen [8] sobre complexos indecomponıveis, in-cluindo as definicoes de passeios, string e band generalizadas e a construcaode complexos induzidos por estes. Ainda neste capıtulo introduzimos o con-ceito de cumes e abismos generalizados, agora para passeios e string general-izadas, de forma um pouco similar a que Butler e Ringel fizeram para string.O resultado principal deste trabalho e apresentado no capıtulo 4. O teorema4.1 apresenta uma lista de morfismos entre complexos string, que provamosserem irredutıveis, obtidos por tecnica combinatoria a partir dos conceitosde cumes e abismos generalizados. Ao longo do capıtulo, em diversos lemas,explicitamos tais morfismos. No final do capıtulo incluımos alguns exemp-los onde os resultados sao aplicados. O capıtulo 5 contem uma descricaodos triangulos de Auslander-Reiten envolvendo complexos string (teorema5.1) obtidos a partir dos morfismos listados no capıtulo anterior. Mostramosque estes irredutıveis sao suficientes para produzir todos os triangulos, deonde concluımos que a lista do teorema 4.1 e completa. Fechamos o capıtulocom exemplos, onde aplicamos os resultados obtidos para obter triangulos deAuslander-Reiten na categoria derivada de algumas algebras.

Capıtulo 1

Conceitos Basicos

1.1 Representacoes de Quivers

Neste capıtulo apresentamos, de forma suscinta, resultados que serao utiliza-dos ao longo deste trabalho e fixamos notacao. Para detalhes e demonstracoesde resultados sobre teoria de representacoes deixamos como referencias [5] e[7]. Para categorias derivadas e trianguladas ficam as referencias [20], [19] e[17]. Uma palavra sobre a notacao de composicao de morfismos que utilizare-mos no texto. A composicao de um morfismo f seguida de um morfismo ge denotada fg. No entanto, quando aplicada sobre um elemento x preserva-mos a forma mais comum g(f(x)). Acreditamos que este criterio facilitara aleitura.

Um quiver Q = (Q0, Q1, s, t) e formado por um conjuntoQ0 de vertices,um conjunto Q1 de flechas e duas aplicacoes s, t : Q1 → Q0, respectivamenteo inıcio s(®) e o fim t(®) de toda flecha ® ∈ Q1. Em geral um quiver erepresentado por um grafo orientado onde toda flecha ® ∈ Q1 e graficamenterepresentada por s(®)

®−→ t(®). Desta maneira podemos denotar um quiversimplesmente por Q = (Q0, Q1). Um quiver Q = (Q0, Q1) e dito finitose Q0 e Q1 sao conjuntos finitos e e dito conexo se o grafo obtido peloesquecimento da orientacao das flechas e conexo. Neste trabalho todos osquivers sao finitos e conexos com Q1 ∕= ∅.

Seja Q = (Q0, Q1) um quiver e sejam os vertices i, j ∈ Q0 (nao necessaria-mente distintos). Um caminho C = ®1 . . . ®n de comprimento l(C) = n > 0de i para j e uma sequencia de flechas ®k ∈ Q1, 1 ≤ i ≤ n tais ques(®1) = i, t(®n) = j e t(®k) = s(®k+1) para todo 1 ≤ k < n.

i®1 // t(®1)

®2 // t(®2) ⋅ ⋅ ⋅ ®n−1 // t(®n−1)®n //j

5

CAPITULO 1. CONCEITOS BASICOS 6

Definimos s(C) = s(®1) o inıcio e t(C) = t(®n) o fim do caminho C. Umcaminho C de comprimento l(C) > 0 com mesmo inıcio e fim i = j e chamadociclo. Um ciclo de comprimento l(C) = 1 e um loop. Para todo vertice i ∈ Q0

associamos um caminho trivial denotado ei de comprimento l(ei) = 0 cominıcio e fim s(ei) = t(ei) = i.

Seja Q = (Q0, Q1) um quiver finito e seja K um corpo. Uma re-presentacao V = ( Vi, T® )i∈Q0, ®∈Q1

do quiver Q e definida associando-se atodo vertice i ∈ Q0 um K-espaco vetorial Vi e para toda flecha ® ∈ Q1 umaaplicacao linear T® : Vs(®) −→ Vt(®). Uma representacao e dita de dimensaofinita se todo espaco vetorial Vi, i ∈ Q0, e de dimensao finita. Neste trabalhotodas as representacoes sao de dimensao finita.

Seja Q = (Q0, Q1) um quiver finito e sejam V = (Vi, T®), V′ = (V ′

i , T′®)

duas representacoes de Q. Um morfismo entre representacoes Φ : V −→V ′ e um conjunto de aplicacoes lineares {Φi : Vi → V ′

i , i ∈ Q0} tais que odiagrama

Vs(®)T® //

Φs(®)

²²

Vt(®)

²²Φt(®)

²²V ′s(®)

T ′® // V ′

t(®)

e comutativo para toda flecha ® ∈ Q1. Um morfismo Φ entre representacoese um isomorfismo se Φi e um isomorfismo para todo i ∈ Q0. Os objetos emorfismos acima definem uma categoria RepK(Q) (resp. repK(Q)) de re-presentacoes (resp. representacoes de dimensao finita) de um quiver Q sobreum corpo K. Nao e difıcil verificar que RepK(Q) e repK(Q) sao categoriasabelianas. O nucleo, conucleo, objeto nulo e a soma de morfismos sao obtidosde maneira natural. Por exemplo, a soma direta de duas representacoesV = (Vi, T®) e V ′ = (V ′

i , T′®) e a representacao V ⊕V ′ = (Vi ⊕ V ′

i , T® ⊕ T ′®).

Uma representacao W e dita decomponıvel se e isomorfa a uma soma diretaW ∼= V ⊕ V ′ com V, V ′ ∕= 0. Caso contrario W e uma representacaoindecomponıvel.

Seja Q um quiver e seja V = (Vi, T®) uma representacao de Q sobre umcorpo K. Seja C = ®1 . . . ®n um caminho de um vertice i para um verticej em Q. Uma avaliacao de C sobre V e uma aplicacao linear TC : Vi → Vj

definida pela composicao TC = T®1 ⋅ T®2 ⋅ . . . ⋅ T®n .

Exemplo 1. Seja Q o quiver dado pelo grafo orientado abaixo e seja Kum corpo.

2 a // 1 3boo


Uma representacao de Q e dada por

K(1 0) // K2 K

(0 1)oo

que e decomponıvel pois e soma direta das representacoes abaixo.

K1 // K 0 ⊕ 00oo 0 // K K

1oo .

O mergulho natural de cada somando direto e dado pelos morfismos

K1 //

1²²

K

(1 0)²²

0oo

²²K

(1 0) // K2 K(0 1)oo

0 //

²²

K

(0 1)²²

K1oo

1²²

K(1 0) // K2 K

(0 1)oo

Para as representacoes W : K // 0 0oo e W ′ : K1 // K K

1oo efacil ver que HomrepK(Q) (W, W ′) = 0.

1.2 Algebras e Quivers

Seja Q = (Q0, Q1) um quiver e seja K um corpo. Denotamos Pa (resp.Pa≥1) o conjunto de caminhos (caminhos nao triviais) em Q. DenotamosKQ o K-espaco vetorial que tem como base o conjunto de caminhos Pa.Em KQ definimos uma operacao associativa induzida pela composicao decaminhos da seguinte forma: se C,D ∈ Pa sao caminhos em Q entao C ⋅D =CD se t(C) = s(D) e C ⋅ D = 0 caso contrario. E facil ver que, comesta operacao, o espaco vetorial KQ e uma K-algebra associativa chamadade algebra de caminhos sobre Q. Neste trabalho estamos interessados emalgebras de dimensao finita e, por esta razao, em quivers finitos. Nestasituacao a K-algebra de caminhos KQ possui unidade 1 =

∑i∈Q0

ei e econexa se e somente se Q e conexo. Alem disso, a algebra de caminhos KQe de dimensao finita se e somente se Q nao possui ciclos.

Seja Q = (Q0, Q1) um quiver finito. Denotamos RQ o ideal da algebrade caminhos KQ gerado pelas flechas ® ∈ Q1. Um ideal bilateral I ⊲ KQe dito admissıvel se existe m ≥ 2 tal que Rm

Q ⊂ I ⊂ R2Q. Neste caso

prova-se que I e gerado por um conjunto finito de elementos da algebra KQ,isto e, I =< ½1, . . . , ½n >, onde os elementos geradores ½i =

∑mi=1 ¸iCi, ¸i ∈

K, Ci ∈ Pa≥1 sao combinacoes lineares de caminhos de comprimento l(Ci) ≥2 com mesmo inıcio e fim. Tais geradores sao chamados de relacoes em Q.


Uma relacao ½ ∈ Pa≥1 formada por um unico caminho e chamada relacaonula. Uma relacao da forma ½ = C − D, C,D ∈ Pa≥1 e chamada relacaocomutativa. Se I =< ½i >i∈J e um ideal admissıvel, denotamos (Q, I) oquiver com relacoes pelas relacoes (½i)i∈J e a algebra KQ/I e chamada dealgebra de caminhos sobre o quiver com relacoes e denotada A = K(Q, I).

Seja (Q, I) um quiver com relacoes com I =< ½i >i∈J . Uma representacaoV = (Vi, T®) de Q e dita limitada por I se e somente se, para todo i ∈ J ,a avaliacao T½i = 0 e nula. Denotamos repK(Q, I) a subcategoria plenade repK(Q) formada pelas representacoes de dimensao finita do quiver Qlimitadas por I. Esta subcategoria desempenha um importante papel naTeoria de Representacoes. Com efeito, a categoria mod A de A-modulosde uma algebra de caminhos A = K(Q, I) pode ser estudada via categoriade representacoes do quiver com relacoes, tendo em vista uma conhecidaK-equivalencia linear F : mod A

∼−→ repK(Q, I).

Seja A uma K-algebra de dimensao finita e seja { e1, . . . , en} um conjuntocompleto de idempotentes ortogonais primitivos. Dizemos que a algebra Ae basica se os A-modulos projetivos eiA e ejA nao sao isomorfos paratodos i ∕= j. Prova-se que a algebra de caminhos A = K(Q, I) de um quivercom relacoes e basica e de dimensao finita. Um fato conhecido e que todaalgebra e Morita equivalente a uma algebra basica (isto e, suas categorias demodulos sao equivalentes). Em razao disto, neste trabalho todas as algebrassao basicas e de dimensao finita.

Seja A uma algebra basica e seja { S1, . . . , Sn } um conjunto completo deA-modulos simples nao isomorfos dois a dois. Como de praxe, denotamos Pi

(resp. Ii) a cobertura projetiva (resp. envolvente injetiva) de Si. DenotamosPA ⊂ mod A a subcategoria plena de A-modulos projetivos. Como A e basicatemos A = P1 ⊕ . . .⊕ Pn com Pi ∕∼= Pj para todo i ∕= j.

Seja A = K(Q, I) uma algebra de caminhos de um quiver com relacoes.A equivalencia mod A ≃ repK(Q, I) permite descrever os modulos simples,projetivos e injetivos indecomponıveis como representacoes do quiver comrelacoes (Q, I). Seja i ∈ Q0 um vertice de Q. O modulo simples Si corre-sponde a representacao (Si(j), Ti(®))j∈Q0, ®∈Q1 definida por:

Si(j) =

⎧⎨⎩

0, se j ∕= i;

K, se j = i;Ti(®) = 0, ∀ ® ∈ Q1.

O A-modulo (a direita) projetivo Pi corresponde a representacao

(Pi(j), Ti(®))j∈Q0, ®∈Q1


onde Pi(j) e o K-espaco vetorial cuja base e

{C = C + I; C caminho com s(C) = i e t(C) = j

}

e Ti(®) : Pi(s(®)) −→ Pi(t(®)) e a aplicacao linear definida nesta base porTi(®)(C) = C®. A representacao que corresponde ao A-modulo (a direita)injetivo indecomponıvel Ii e obtida por dualidade.

Exemplo 2. Seja (Q, I) o quiver com relacoes

1 2aoo

b

pp I =< b2 >

e seja A = K(Q, I) a respectiva algebra de caminhos limitada. Os modulossimples correspondem as representacoes

S1 : K 00oo

0

pp S2 : 0 K0oo

0

rr

Os modulos projetivos indecomponıveis sao

P1 : K 00oo

0

pp P2 : K2 K2Idoo

M

ss

onde M =

(0 10 0

), uma base de P2(1) e { a, ba }, uma base de P2(2) e

{ e2, b }.

Os modulos injetivos indecomponıveis sao

I1 : K K2(1 0)Too

N

ss I2 : 0 K20oo

N

ss

onde N =

(0 01 0

)e as bases sao I1(1) = { e1 }, I1(2) = { a, ba } e

I2(2) = { e2, b }.

Um importante resultado na Teoria de Representacoes, devido a Gabriel[15], permite estudar a categoria de modulos de uma algebra de dimensaofinita qualquer por meio da representacao de um quiver com relacoes.


Teorema 1.1 (Gabriel) Seja A uma algebra basica e de dimensao finitasobre um corpo K. Entao existe um quiver finito QA e um ideal admissıvelI da algebra de caminhos KQA tal que A ∼= KQA/I e um isomorfismo deK-algebras.

Com este fato em mente, ao longo deste trabalho toda algebra A e umaalgebra de caminhos de um quiver com relacoes A = K(Q, I).

1.3 Categorias Derivadas

Seja A uma categoria abeliana. Neste trabalho estamos interessados na cate-goria de A-modulos finitamente gerados de uma algebra A, assim assumimosque a categoria A possui suficientes objetos injetivos e projetivos. Umcomplexo X∙ = (X i, dix)i∈ℤ em A e uma sequencia de objetos X i ∈ A euma sequencia de morfismos dix : X i −→ X i−1, chamados diferenciais docomplexo, tais que a composicao dix ⋅ di−1

x = 0 para todo i ∈ ℤ. Um mor-fismo entre dois complexos f ∙ : X∙ −→ Y ∙ e um conjunto de morfismos{f i : X i −→ Y i; i ∈ ℤ} tais que, para todo i ∈ ℤ, o diagrama

X idix //

f i

²²

X i−1

f i−1

²²Y i

diy // Y i−1

e comutativo. E facil ver que tais objetos e morfismos definem uma categoriaabeliana Com(A) de complexos em A onde nucleo, conucleo, soma direta eobjetos nulos sao obtidos de forma natural. Por exemplo, o nucleo de ummorfismo f ∙ : X∙ −→ Y ∙ e o complexo (Ker f i, dik)i∈ℤ onde a diferencial dike obtida no diagrama abaixo 1.

Kerf idik //______

Ä _

²²

Kerf i−1Ä _

²²X i

dix //

f i

²²

X i−1

f i−1

²²Y i

diy // Y i−1

1Poderiamos simplesmente dizer que Ker f∙ e o complexo obtido pela aplicacao dofuntor Ker (⋅).


Seja um complexo X∙ ∈ Com(A). Para cada z ∈ ℤ definimos o complexotransladado X∙(z) por X i(z) = X i−z e dix(z) = di−z

x . Por exemplo, se z > 0entao

X∙ : ⋅ ⋅ ⋅ // Xzdzx // ⋅ ⋅ ⋅ // X1

d1x // X0d0x // X−1

d−1x // ⋅ ⋅ ⋅

X∙(z) : ⋅ ⋅ ⋅ // X0d0x // ⋅ ⋅ ⋅ // X1−z

d1−zx // X−z

d−zx // X−1−z

d−1−zx // ⋅ ⋅ ⋅

Um complexo X∙ e dito limitado superiormente (resp. limitado infe-riormente) se existe n ∈ ℤ tal que X i = 0 para todo i > n (resp. i < n).E dito limitado se for limitado superiormente e inferiormente. DenotamosCom+(A), Com−(A), Comb(A) as respectivas subcategorias de complexoslimitados inferiormente, superiormente e limitados.

Um morfismo de complexos f ∙ e homotopico a zero, e denotamos f ∙ ∼ 0,se existe um conjunto de morfismos {ℎi : X i −→ Y i+1, i ∈ ℤ } tais quef i = dix ⋅ ℎi−1 + ℎi ⋅ di+1

y para todo i ∈ ℤ.

X i+1di+1x //

f i+1

²²

X idix //

f i

²²

ℎi

wwooooooooooooo X i−1

f i−1

²²ℎi−1

wwooooooooooooo

Y i+1

di+1y

// Y idiy

// Y i−1

E facil ver que o conjunto de morfismos homotopicos a zero forma umideal bilateral em Com(A). Definimos a categoria homotopicaKom(A) cujosobjetos sao os mesmos de Com(A) e morfismos sao morfismos de complexosmodulo homotopicos a zero, isto e,

HomKom(A)(X∙, Y ∙) = HomCom(A)(X

∙, Y ∙)/ ∼ .

Dois morfismos entre complexos f ∙, g∙ ∈ HomCom(A)(X∙, Y ∙) sao ditos

homotopicos se a diferenca f ∙ − g∙ ∼ 0 e homotopica a zero. Definimos assubcategorias homotopicas Kom−(A), Kom+(A) e Komb(A) de formaanaloga.

Para cada inteiro i ∈ ℤ definimos o funtor de cohomologia

H i : Com(A) −→ A

da seguinte forma. Para objetos fazemos H i(X∙) = Ker dix / Im di+1x . Dado

um morfismo f ∙ : X∙ −→ Y ∙ definimos H i(f ∙) : H i(X∙) −→ H i(Y ∙) por


H i(f ∙)(x) = f i(x). E simples o calculo para verificar que H i(⋅) e um funtor.Dizemos que um complexo X∙ tem cohomologia limitada se H i(X∙) ∕= 0para um conjunto finito de ındices i. Denotamos Com−,b(A) e Com+,b(A)as respectivas categorias de complexos limitados superiormente e inferior-mente com cohomologia limitada. Denotamos Kom−,b(A) e Kom+,b(A) asrespectivas categorias homotopicas.

Lema 1.1 Se f ∙, g∙ : X∙ −→ Y ∙ sao homotopicos entao H i(f ∙) = H i(g∙)para todo i ∈ ℤ.

Demonstracao. Seja x ∈ H i(X∙). Pela definicao temos H i(f ∙)(x) = f i(x)e H i(g∙)(x) = gi(x). Como f ∙ ∼ g∙ sao homotopicos existem ℎi−1 : X i−1 −→Y i e ℎi : X i −→ Y i+1 tais que (f i − gi)(x) = di+1

y ℎi(x) + ℎi−1dix(x).

X idix //

ℎi

}}{{{{

{{{{

{{{{

{{{{

{

f i

²²

gi

²²

X i−1

ℎi−1

}}{{{{

{{{{

{{{{

{{{{

{

Y i+1

di+1y

// Y i

Como x ∈ H i(X∙) temos que x ∈ Ker dix e portanto f i(x) − gi(x) =di+1y ℎi(x) ∈ Im di+1

y , ou seja, f i(x) = gi(x). □

A recıproca deste lema nao e verdadeira. Seja o complexo X∙ cujasentradas sao grupos abelianos ℤ/4ℤ e cujas diferenciais sao multiplicacoespor dois. Considere o morfismo de complexos 1X∙ : X∙ → X∙.

⋅ ⋅ ⋅ // ℤ4ℤ

⋅ 2 // ℤ4ℤ

⋅ 2 //

?

yys s s s s s sℤ4ℤ

//

?

yys s s s s s s⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅ // ℤ4ℤ

⋅ 2 // ℤ4ℤ

⋅ 2 // ℤ4ℤ

// ⋅ ⋅ ⋅

E facil ver que, para todo i ∈ ℤ, temos H i(1X∙) = 0 mas, no entanto, 1X∙

nao e homotopica a zero.

Um morfismo entre complexos f ∙ : X∙ → Y ∙ e chamado um quase-isomorfismo se H i(f ∙) e um isomorfismo para todo i ∈ ℤ. Prova-se quea colecao Quis de todos os quase-isomorfismos em Com(A) e um sistema


multiplicativo 2 na categoria homotopica Kom(A) (resp. em Kom∗(A) onde(∗) = +,−, b). Portanto existe um funtor de localizacao Q : Kom(A) −→Kom(A)[Quis−1] tal que Q(f ∙) e um isomorfismo emKom(A)[Quis−1] paratodo quase-isomorfismo f ∙ ∈ Quis, com a seguinte propriedade universal.Seja F : Kom(A) → D um funtor tal que F (f ∙) e um isomorfismo em D paratodo quase-isomorfismo f ∙. Entao existe um funtor G : Kom(A)[Quis−1] →D tal que o diagrama

Kom(A)Q //

F**UUUUUUUUUUUUUUUUUUUU Kom(A)[Quis−1]

G²²ÂÂÂ

De comutativo.

Seja A uma categoria abeliana. Definimos a categoria derivada D(A) =Kom (A)[Quis−1] como a localizacao da categoria homotopica pela colecaode quase-isomorfismos. Desta forma, objetos em D(A) sao complexos e mor-fismos sao classes de homotopia com inversos de quase-isomorfismos. Demaneira similar obtemos as categorias D−(A), D+(A) e Db(A) cujosobjetos sao respectivamente complexos limitados superiormente, limitadosinferiormente e limitados.

Em geral as categorias homotopicas Kom(A) e derivada D(A) de umacategoria abeliana A nao sao abelianas. No entanto, elas possuem uma es-trutura de categorias trianguladas.

1.4 Categorias Trianguladas

Seja C uma categoria aditiva e seja T : C −→ C uma equivalencia em C. Umtriangulo em C e uma tripla (u, v, w) de morfismos em C na forma abaixo.

Xu //Y

v //Zw //T (X)

A sequencia acima muitas vezes e encontrada na literatura num diagrama naforma

Zw

~~~~~~

~~~

X u// Y

v__@@@@@@@

2Para definicao de um sistema multiplicativo numa categoria veja [24] pagina 5, ou [19]capıtulo 1.


onde a barra sobre w denota que w : Z → T (X). Daı o uso da palavratriangulo. Um morfismo entre dois triangulos (u, v, w) e (u′, v′, w′) e umatripla (Φ1, Φ2, Φ3) de morfismos em C tal que o diagrama

Xu //

Φ1

²²

Yv //

Φ2

²²

Zw //

Φ3

²²

T (X)

T (Φ1)²²

X ′ u′// Y ′ v′ // Z ′ w′

// T (X ′)

e comutativo. Um categoria C e dita pre-triangulada se existe uma classe detriangulos distinguidos T , tambem chamados triangulos exatos, satisfazendoas 3 condicoes seguintes.

(T1) T e fechada para isomorfismos. Para todo objeto X ∈ Ob C o

triangulo 0 −→ X1−→ X −→ 0 e exato e para todo morfismo u ∈ Mor C

existe um triangulo exato (u, v, w) ∈ T .

(T2) Um triangulo (u, v, w) e exato se e somente se (v, w,−T (u)) e umtriangulo exato. Esta condicao e conhecida na literatura como rotacao dotriangulo o que se justifica pelos diagramas abaixo.

Zw

~~~~~~

~~~

X u// Y

v__@@@@@@@

T (X)−T (u)

||yyyyyyyy

Y v// Z

wbbEEEEEEEE

(T3) Sejam (u, v, w) e (u′, v′, w′) dois triangulos exatos. Para todo parde morfismos Φ1 e Φ2 tais que uΦ2 = Φ1u

′ existe Φ3 tal que o diagrama

Xu //

Φ1

²²

Yv //

Φ2

²²

Zw //

Φ3

²²ÂÂÂ T (X)

T (Φ1)²²

X ′ u′// Y ′ v′ // Z ′ w′

// T (X ′)

e um morfismo de triangulos.

Lema 1.2 Seja C uma categoria pre-triangulada e seja (u, v, w) um trianguloexato em C. Entao uv = vw = 0.

Demonstracao. Usando (T1), (T2) e (T3) obtemos o diagrama de mor-fismo de triangulos abaixo.


Yv //

v

²²

Zw // TX

−Tu //

²²ÂÂÂ TY

Tv²²

Z Z // 0 // TZ

Pela comutatividade do diagrama obtemos −Tu ⋅ Tv = T (−uv) = 0 euv = 0. Por rotacao temos vw = 0. □

Uma categoria pre-triangulada C e dita triangulada se satisfaz o axiomado octaedro (T4). Este axioma esta vinculado a um diagrama que pode serapresentado na forma tridimensional de um octaedro, daı a justificativa donome utilizado na literatura. Apresentamos uma versao equivalente, poremmais intuitiva. Uma prova da equivalencia e feita por H. Krause em [24].Um quadrado comutativo na categoria C

Xu //

u′²²

Y

v

²²Y ′ v′ // Z

e dito cartesiano homotopico se existe um triangulo exato

X(u u′) // Y ⊕ Y ′ (v −v′)T // Z

° // T (X) .

O morfismo ° e chamado diferencial do quadrado cartesiano homotopico.

(T4) Todo par de aplicacoes u : X → Y e Φ1 : X → X ′ pode sercompletado num morfismo entre triangulos exatos

Xu //

Φ1

²²

Yv //___

Φ2

²²ÂÂÂ Z

w //___ T (X)

T (Φ1)²²

X ′ u′//___ Y ′ v′ //___ Z

w′//___ T (X ′)

tal que o quadrado a esquerda e cartesiano homotopico e a composicao v′w :Y ′ → T (X) e uma diferencial.

Esta versao do axioma do octaedro possui uma semelhanca com existenciade pull-back e push-out em categorias abelianas.

Seja A uma categoria abeliana (temos em mente a categoria mod A demodulos sobre uma K-algebra A). Seja Kom(A) a categoria homotopicade A e seja T : Kom(A) −→ Kom(A) a equivalencia definida da forma


seguinte. Para todo X∙ ∈ Kom(A) fazemos (TX∙)i = X i−1 e diTX∙ =−di−1

x . Seja f ∙ : X∙ −→ Y ∙ um morfismo de complexos em A. Definimoso cone Cf∙ de f ∙ como o complexo (Cf∙)i = X i−1 ⊕ Y i e diferencial

diCf∙ =

( −di−1x f i−1

0 diy

).

Cf∙ : ⋅ ⋅ ⋅X i ⊕ Y i+1

⎛⎝ −dix f i

0 di+1y

⎞⎠

//X i−1 ⊕ Y i

⎛⎝ −di−1

x f i−1

0 diy

⎞⎠

//X i−2 ⊕ Y i−1 ⋅ ⋅ ⋅

Para todo morfismo entre complexos f ∙ : X∙ −→ Y ∙ temos um triangulodistinguido

X∙ f∙//Y ∙ i∙ //Cf∙

−¼∙//TX∙

onde i∙ e ¼∙ sao imersoes e projecoes naturais, como mostra o diagramaabaixo.

X i+1di+1x //

f i+1

²²

X idix //

f i

²²

X i−1

f i−1

²²Y i+1

di+1y //

(0 1)²²

Y idiy //

(0 1)²²

Y i−1

(0 1)²²

X i ⊕ Y i+1di+1Cf∙ //

(−1 0)T

²²

X i−1 ⊕ Y idiCf∙ //

(−1 0)T

²²

X i−2 ⊕ Y i−1

(−1 0)T

²²X i

−dix // X i−1−dix // X i−2

Seja T a classe de todos os triangulos em Kom(A) isomorfos a triangulosdistinguidos da forma acima. Prova-se que T satisfaz as condicoes (T1) a(T4) e Kom(A) e uma categoria triangulada.

Seja C uma categoria triangulada e seja T a classe de triangulos exatosem C. Seja ℳ um sistema multiplicativo de morfismos em C. Dizemos queℳ e compatıvel com a triangulacao de C se for fechado para a equivalenciaT : C −→ C e, para todo morfismo (Φ1, Φ2, Φ3) se Φ1, Φ2 ∈ ℳ entaoΦ3 ∈ ℳ. Se tais condicoes sao satisfeitas entao o funtor de localizacaoQ : C −→ C[ℳ−1] induz uma estrutura triangular em C[ℳ−1]. Alem dissoQ e um funtor exato, isto e, leva triangulos em triangulos.

Se A e uma categoria abeliana prova-se que o sistema multiplicativo emKom(A) formado pelos quase-isomorfismos e compatıvel com a triangulacao.


Assim o funtor de localizacao Q : Kom∗(A) −→ D∗(A) e exato e D∗(A) euma categoria triangulada, onde (∗) = +, −, ou b.

Seja A uma K-algebra e seja mod A a categoria de A-modulos finita-mente gerados. Para simplificar notacao denotamos Db(A) := Db(mod A) acategoria derivada limitada de A-modulos. Seja PA ⊂ mod A a subcategoriaplena de A-modulos projetivos e seja Kom−,b(PA) a categoria homotopica decomplexos de modulos projetivos limitados superiormente com cohomologialimitada. Temos uma equivalencia triangular de categorias dada por um fun-tor exato F : Kom−,b(PA)

∼−→ Db(A). Se a algebra A tem dimensao globalfinita prova-se que esta equivalencia se restringe a F : Komb(PA)

∼−→ Db(A).Tais equivalencias sao de grande utilidade uma vez que uma descricao demorfismos na categoria derivada e bem mais complicada que na categoriahomotopica.

Um complexo de modulos projetivos P ∙ ∈ Com(PA) e chamado complexominimal se dix(X

i) ⊂ rad(X i−1), para todo i ∈ ℤ, onde rad(X i−1) denota oradical do A-modulo X i−1. A subcategoria plena de Com(PA) formada porcomplexos minimais e chamada categoria minimal de A e denotada P ∙

min(A).Prova-se que todo complexo P ∙ ∈ Com(PA) e isomorfo, em Kom(PA), a umcomplexo minimal (veja [18] teorema 5). Sob alguns aspectos tais como, porexemplo, para estudar objetos indecomponıveis ou morfismos irredutıveis(veja teorema 4.2) e mais conveniente trabalhar na categoria minimal, cujosmorfismos sao morfismos de complexos, que na categoria homotopica.

1.5 Teoria de Auslander-Reiten

Seja A uma algebra de dimensao finita sobre um corpo K e seja A = mod Aa categoria de A-modulos finitamente gerados ou A = Db(A) a categoriaderivada limitada de A. Um morfismo s : M −→ N em A e uma secao(resp. retracao) se existe r : N −→ M tal que sr = 1M (resp. rs = 1N). Ummorfismo f : X −→ Y em A e dito irredutıvel se f nao e secao nemretracao e, para toda decomposicao f = f1f2,

Xf //

f1 ÃÃBBB

BBBB

B Y

Wf2

>>}}}}}}}}

f1 e secao ou f2 e retracao. Em outras palavras, morfismos irredutıveisnao admitem fatoracao nao trivial. Podemos pensar em irredutıveis como


geradores de morfismos na categoria A. Daı sua importancia na descricao,seja da categoria de A-modulos seja da categoria derivada. Morfismos irre-dutıveis nestas categorias vivem, respectivamente, em sequencias e triangulosde Auslander-Reiten.

Uma sequencia exata de A-modulos

0 // Xu // Y

v // Z // 0 (1.1)

e uma sequencia de Auslander-Reiten se nao cinde e satisfaz as duas condicoesseguintes:

(AR1) X e Z sao indecomponıveis.

(AR2) Se f : W −→ Z nao e uma retracao entao existe g : W −→ Ytal que gv = f .

Se a condicao (AR1) e satisfeita prova-se que a condicao (AR2) e equiv-alente a condicao seguinte.

(AR2’) Se f ′ : X −→ W nao e uma secao entao existe g′ : Y −→ W talque ug′ = f ′.

Um importante resultado, obtido por Auslander e Reiten, estabelece quepara todo A-modulo indecomponıvel nao injetivo X (resp. nao projetivo Z)existe uma unica sequencia de Auslander-Reiten comecando com X (resp.terminando com Z), a menos de isomorfismo. Prova-se que uma sequenciaexata 1.1 em mod A e uma sequencia de Auslander-Reiten se e somente seX e Z sao indecomponıveis e u e v sao irredutıveis (veja [5] capıtulo IV,pag. 105, teorema 1.13).

Um triangulo exato em Db(A)

X∙ u // Y ∙ v // Z∙ w // TX∙ (1.2)

e um triangulo de Auslander-Reiten se satisfaz as condicoes (AR1) e(AR2) acima e a condicao (AR3) w ∕= 0. O teorema seguinte provadopor Happel [21] estabelece condicoes necessarias e suficientes para existenciade triangulos de Auslander-Reiten na categoria derivada de uma algebra.

Teorema 1.2 (Happel) Seja A uma K-algebra de dimensao finita e sejaZ∙ ∈ Kom−,b(PA) um complexo indecomponıvel. Entao existe um triangulode Auslander-Reiten X∙ → Y ∙ → Z∙ → TX∙ se e somente se Z∙ ∈Komb(PA).


Segue do teorema que se a algebra A possui dimensao global finita entaopara todo complexo indecomponıvel Z∙ ∈ Db(A) existe um triangulo deAuslander-Reiten na forma acima. Neste caso dizemos que Db(A) possuitriangulos de Auslander-Reiten.

Lema 1.3 Seja A uma categoria triangulada. Um triangulo exato

Xu // Y

v // Zw // TX

e de Auslander-Reiten se e somente se X e Z sao indecomponıveis, w ∕= 0e os morfismos u e v sao irredutıveis.

Demonstracao. (⇒) E suficiente mostrar que u e irredutıvel, tendo emvista o axioma de rotacao. Suponha que exista uma fatoracao u = ℎ1ℎ2 talque ℎ1 nao e secao.

Xu //

ℎ1

²²

Y

Wℎ2

>>}}}}}}}}

Por (AR2’) existe ℎ′1 : Y → W tal que ℎ1 = uℎ′

1, ou seja, u = uℎ′1ℎ2.

Aplicando (T3) obtemos o diagrama comutativo abaixo.

Xu // Y

v //

ℎ′1ℎ2

²²

Zw //

ℎ²²ÂÂÂ TX

Xu // Y

v // Zw // TX

Se ℎ nao e isomorfismo entao nao e retracao pois Z e indecomponıvel. Apli-camos (AR2) para obter ℎ′ : Z → Y tal que ℎ′v = ℎ. Pela comutatividadee pelo lema 1.2 segue w = ℎw = ℎ′vw = 0 contradizendo (AR3). Portantoℎ e isomorfismo e daı ℎ′

1ℎ2 tambem e isomorfismo e portanto ℎ2 e retracao.

(⇐) E suficiente provar (AR2’). Seja Φ : X → X ′ um morfismo quenao e secao. Sem perda de generalidade podemos assumir que X ′ e indecom-ponıvel (tomando uma componente se necessario). Aplicando o axioma (T4)obtemos um morfismo entre triangulos exatos como no diagrama abaixo.

Xu //

Φ²²

Ym′

//___

Φ2

²²ÂÂÂ Z ′ n′

//___ TX

T (Φ)

²²X ′ u′

//___ Y ′ p′ //___ Z ′ q′ //___ TX ′


Aplicando (TR3) obtemos o morfismo de triangulos abaixo, onde ® e isomor-fismo.

Xu // Y

v // Zw //

®

²²ÂÂÂ TX

Xu //

Φ²²

Ym′

//___

Φ2


//___ TX

T (Φ)

²²X ′ u′

//___ Y ′ p′ //___ Z ′ q′ //___ TX ′

Obtemos o diagrama comutativo abaixo.

Xu // Y

v // Zw //

®

²²ÂÂÂ TX

Xu //

Φ²²

Ym′

//___

Φ2


//___ TX

T (Φ)

²²X ′ u′

//___ Y ′ p′ //___ Z ′ q′ //___

®−1

²²

TX ′

X ′ u′// Y ′ p′®−1

// Z®q′ // TX ′

O triangulo da linha de baixo e exato (pois e isomorfo ao triangulo da terceiralinha). Fazendo v′ = p′®−1 e w′ = ®q′ obtemos o morfismo entre ostriangulos exatos abaixo.

Xu //

Φ²²

Yv //

Φ2

²²

Zw // TX

T (Φ)²²

X ′ u′// Y ′ v′ // Z

w′// TX ′

Pela hipotese de irredutibilidade de v temos Φ2 secao ou v′ retracao.

(i) Se v′ e retracao entao u′ e secao. De fato a sequencia

Hom(Y ′, X ′)Hom(u′,X′) //Hom(X ′, X ′)

Hom(T−1w′,X′) //Hom(T−1(Z), X ′)

e exata (Hom(−, X ′) e um funtor cohomologico) e, como v′w′ = 0, a suposicaode v′ epi implica w′ = 0 e assim Hom(T−1w′, X ′) = 0. Portanto existet ∈ Hom(Y ′, X ′) tal que u′t = 1X′ e u′ e secao. Assim temos que Φ =Φu′t = u(Φ2t) e fatorado por u.

(ii) Se Φ2 e secao entao admite uma retracao °, ou seja, Φ2° = 1Y .Temos u = uΦ2° = Φ(u′°). Como u e irredutıvel e Φ nao e secao entao u′°


e retracao. Logo existe uma secao ´ : Y → X ′ tal que ú′° = 1Y . Assimtemos

Φu′° = uΦ2°︸︷︷︸1Y

= uú′°.

Como X ′ e indecomponıvel e u′° e retracao segue que u′° e invertıvel eportanto Φ = u´ e fatorado por u. □

Para dois objetos indecomponıveis X, Y ∈ ObA prova-se que

IrrA(X, Y ) := radA(X, Y )/rad2A(X, Y )

e a classe de morfismos irredutıveis de X para Y . E facil ver que IrrA(X, Y )e F (X)op − F (Y ) bimodulo, onde F (X) := EndA(X)/rad(EndA(X)). Obimodulo IrrA(X, Y ) assim definido e chamado bimodulo de morfismos ir-redutıveis de X para Y .

Ja sabemos que os morfismos que formam um triangulo (ou uma sequencia)de Auslander-Reiten sao irredutıveis. Alem disso, temos o resultado seguinteprovado por Ringel [27]:

Lema 1.4 (Ringel) Seja C uma categoria triangulada com triangulos deAuslander-Reiten. Sejam X e M objetos indecomponıveis em C e seja

Xu // Y

v // Zw // TX um triangulo de Auslander-Reiten. Seja Y =

⊕ri=1Y

dii com Yi indecomponıvel e Yi ∕∼= Yj para i ∕= j. Entao existe

um morfismo irredutıvel f : X → M se e somente se M ∼= Yi para algum1 ≤ i ≤ r. Mais ainda, denotando as componentes ui,j : X → Yi de u, onde1 ≤ j ≤ di, o conjunto {ui,1, . . . , ui,di} e uma base do bimodulo Irr(X, Yi)sobre F (X)op.

Demonstracao. Veja [20], pag. 40.

Um resultado similar para sequencias de Auslander-Reiten encontra-seem [5], pag. 103.

1.6 Quiver de Auslander-Reiten

Seja A = K(Q, I) uma algebra e seja A = mod A ou A = Db(A) sua ca-tegoria de modulos ou sua categoria derivada limitada. Muitas informacoessobre A podem ser descritas por meio de um quiver com valorizacao

−→ΓA


(veja [7], [20], [32]). Como A e Krull-Schmidt (veja, por exemplo: [12], [14])seus objetos sao somas diretas de indecomponıveis. Portanto e natural queos vertices de

−→ΓA sejam classes de isomorfismos [X] de objetos indecom-

ponıveis X ∈ ObA. Tambem e natural que as setas deste quiver representemmorfismos que nao apresentam fatoracao nao trivial, isto e, morfismos irre-dutıveis.

Se A = Db(A) entao para dois vertices [X] e [Y ] existe uma flecha comvalorizacao (dXY , d

′XY ),

X(dXY , d′XY )

// Y

se existem triangulos de Auslander-Reiten

Z // XdXY⊕

M // Y // TZ ,

X // Y d′XY⊕

N // Z // TX ,

com X nao isomorfo a nenhum somando direto de M e Y nao isomorfo anenhum somando direto de N . Se A = mod A procedemos de forma analogausando sequencias de Auslander-Reiten. O quiver

−→ΓA assim definido e

chamado quiver de Auslander-Reiten de A.

Um fato bem conhecido e que dXY = dimF (X)opIrrA(X, Y ) e que d′XY =

dimF (Y )IrrA(X,Y ). E bem conhecido tambem que se o corpo K e algebri-camente fechado, temos F (X) ∼= K e dXY = d′XY = dimKIrrA(X,Y ). Nestecaso vamos colocar dXY flechas entre objetos X e Y .

Um quiver Γ e chamado quiver de translacao se e localmente finito, semloops e se existe uma bijecao ¿ : Γ′

0 −→ Γ′′0, onde Γ′

0, Γ′′0 ⊂ Γ0, chamada

translacao, tais que para todo Z ∈ Γ′0, e para todo M ∈ Γ0, o numero de

setas de M para Z e igual ao numero de setas de ¿Z para M . Prova-se que−→ΓA e um quiver de translacao onde, se A = mod A entao Γ′

0 (resp. Γ′′0) e

formado pelos modulos nao projetivos (resp. nao injetivos) indecomponıveis.

Se A = Db(A) entao Γ′0 = Γ′′

0 =−→Γ0A. Neste caso dizemos ter um quiver

de translacao estavel.

Capıtulo 2

Algebras String

Uma importante classe de algebras, introduzidas por Butler e Ringel em [13],sao as algebras string. Neste mesmo artigo existe uma descricao de todas assequencias de Auslander-Reiten e, consequentemente, de todos os morfismosirredutıveis na categoria de modulos de uma algebra string. Tais sequenciassao obtidas, de forma simples, por uma tecnica combinatoria aplicada noquiver da algebra. Neste capıtulo todos os modulos sao modulos a direita.

Definicao. Uma algebra A = K(Q, I) e uma algebra string se satisfazas 3 condicoes seguintes.

(S1) Todo vertice de Q0 e origem e fim de no maximo duas flechas.

(S2) Para toda flecha ¯ ∈ Q1 existe no maximo uma flecha ® ∈ Q1 (resp.° ∈ Q1) tal que ®¯ ∕∈ I (resp. ¯° ∕∈ I).

(S3) O ideal I e gerado por relacoes nulas (caminhos).

Exemplo 2.1 Os quivers com relacoes abaixo definem algebras string.

(2.1.1) 3b // 2

a

²²

4coo

1

I =< ca >

(2.1.2) 1 2aoo

b

pp I =< b2 >

(2.1.3) 3c

££¥¥¥¥

¥¥¥¥

1 a//2

b

\\::::::::

I =< abc >

23

CAPITULO 2. ALGEBRAS STRING 24

Seja A = K(Q, I) uma algebra string. Para toda flecha ¯ ∈ Q1 definimossua inversa formal ¯−1 com s(¯−1) = t(¯) e t(¯−1) = s(¯). Um passeio Pde comprimento l(P ) = n > 0 e uma sequencia P = p1 . . . pn, onde pi ∈ Q1

ou p−1i ∈ Q1 e uma flecha e s(pi) = t(pi−1) para todo 1 < i ≤ n. Seu

inverso formal e o passeio P−1 = p−1n . . . p−1

1 . Uma string S = s1 . . . snde comprimento l(S) = n > 0 e um passeio tal que si ∕= s−1

i−1 para todo1 < i ≤ n e tal que nenhuma subpalavra de S ou de S−1 pertence ao idealI. Uma string e dita direta (resp. inversa) se e o produto de flechas (resp.inversas de flechas). Para todo vertice i ∈ Q0 definimos duas string triviaise½i , onde ½ ∈ {1, −1} de comprimento l(e½i ) = 0. Com o proposito de definircomposicao entre string definimos duas aplicacoes que polarizam o quiver Q.

Polarizacao do quiver. Seja A = K(Q, I) uma algebra string. Pode-mos definir duas aplicacoes de polarizacao ¾, " : Q1 → {±1}, de maneirasimilar a [13] conforme [29], satisfazendo as quatro condicoes abaixo: 1

(1) Se ®1 ∕= ®2 sao flechas tais que t(®1) = t(®2) entao "(®1) = −"(®2).

(2) Se ¯1 ∕= ¯2 sao flechas tais que s(¯1) = s(¯2) entao ¾(¯1) = −¾(¯2).

(3) Se ® e ¯ sao flechas com t(®) = s(¯) e ®¯ ∕∈ I entao "(®) = −¾(¯).

(4) Se ® e ¯ sao flechas com t(®) = s(¯) e ®¯ ∈ I entao "(®) = ¾(¯).

Visando simplificar notacao vamos usar ± no lugar de ±1. Nos quivers ediagramas usamos a notacao grafica ®

¾(®)"(®) para indicar a polarizacao de uma

flecha ® ∈ Q1.

Estendemos as aplicacoes acima, inicialmente para flechas inversas, definindo¾(®−1) = "(®) e "(®−1) = ¾(®) para toda flecha ® ∈ Q1. Agora estendemos¾ e " para string definindo ¾(S) = ¾(s1) e "(S) = "(sn) para toda stringS = s1 . . . sn com l(s) > 0. Para string triviais definimos ¾(e½i ) = −"(e½i ) = ½.

A composicao SS ′ entre duas string S e S ′ esta definida se e somentese t(S) = s(S ′) e "(S) = −¾(S ′). Sobre o conjunto S de todas as stringdefinimos uma relacao de equivalencia S ∼s S ′ ⇔ S ′ = S ou S ′ = S−1.Denotamos S um conjunto de representantes das classes de S/ ∼s.

Seja S ′ ⊂ S o conjunto formado pelas string S nao triviais tais que acomposicao Sn esta definida para todo n ∈ ℕ e S nao e potencia de stringde comprimento menor. Definimos uma relacao de equivalencia em S ′ porS ∼r S ′ ⇔ S ′ e uma permutacao cıclica de S, ou seja, S = s1 . . . sn eS ′ = st . . . sns1 . . . st−1. Denotamos S ′ um conjunto de representantes dasclasse de S ′/ ∼r.

1¾ e " estao definidas em [13] sem a condicao 4. Nao existe unicidade na definicao deaplicacoes que satisfacam estas 4 condicoes.


2.1 Modulos String

Seja A = K(Q, I) uma algebra string e seja a string S = s1s2 . . . sn ∈ Suma representante de classe. Vamos construir um modulo M(S) partindoda string S. Antes de definirmos formalmente este modulo apresentamos umexemplo ilustrativo de sua construcao. Seja A = K(Q, I) a algebra stringdefinida pelo quiver com relacoes

1a //c

// 2b //d

// 3 I =< ab, cd >

e seja a string S = s1s2s3s4s5s6 = a−1cbd−1a−1c. Considere a seguinte re-presentacao grafica de S.

2 1aoo c // 2

b // 3 2doo 1

aoo c // 2

Temos a seguinte representacao grafica do modulo M(S), onde M(S)1 = K2

com base {z1, z5}, M(S)2 = K4 com base {z0, z2, z4, z6}, M(S)3 = K combase {z3}.

z0 z1aoo c // z2

b // z3 z4doo z5

aoo c // z6

As flechas no diagrama indicam as acoes das correspondentes transformacoeslineares nos elementos da base. Desta forma obtemos o modulo

K2M //

N// K4

P //

Q// K

onde,

M =

(1 0 0 00 0 1 0

)N =

(0 1 0 00 0 0 1

)P =

⎛⎜⎜⎝

0100

⎞⎟⎟⎠ Q =

⎛⎜⎜⎝

0010

⎞⎟⎟⎠ .

Vamos formalizar a construcao acima. Considere a aplicacao u : {0, 1, . . . , n} →Q0 definida por u(0) = s(s1) e u(i) = e(si) para todo 1 ≤ i ≤ n.

u(0)s1 // u(1)

s2 // ⋅ ⋅ ⋅ u(n− 1)sn // u(n)

Vamos definir uma representacao M(S) do quiver com relacoes (Q, I). Paracada vertice v ∈ Q0 seja o conjunto de ındices ℐv = u−1(v) ⊂ {0, 1, . . . , n}.Atribuimos a cada vertice v o espaco vetorial M(S)v = K♯ℐv , onde ♯ℐv de-nota a cardinalidade do conjunto ℐv. Para aplicacoes lineares fixamos uma


base {z0, z1, . . . , zn} de Kn+1. Tomamos nesta base os elementos corre-spondentes aos ındices em ℐv para obter uma base do espaco vetorial K♯ℐv ,para cada v ∈ Q0. Definimos, para toda flecha ¯ ∈ Q1 tal que M(S)s(¯) ∕= 0e M(S)t(¯) ∕= 0, a aplicacao linear °¯ : M(S)s(¯) −→ M(S)t(¯) por

⎧⎨⎩

°¯(zi) = zi+1 se si+1 = ¯.

°¯(zi) = zi−1 se si = ¯−1.

°¯(zi) = 0 se si+1 ∕= ¯ e si ∕= ¯−1.

Nao e difıcil verificar que

M(S) = (M(S)v, °¯)v∈Q0, ¯∈Q1

define uma representacao de (Q, I), uma vez que string respeitam as relacoesque geram I. Tambem e facil verificar que existe um isomorfismo M(S) ∼=M(S ′) se e somente se S ′ = S±1. Pela equivalencia mod A ≃ repK(Q, I)obtemos um A-modulo. Tais A-modulos sao chamados modulos string.

Exemplo. Seja A = K(Q, I) a algebra string definida pelo quiver comrelacoes do exemplo 2.1.2

1 2aoo

b

pp I =< b2 >

Um conjunto de representantes de classes de string e

S = {e1, e2, a, b, ba, b−1a, a−1ba}.

Seja a string S = a−1ba. A aplicacao u : {0, 1, 2, 3} → Q0 e dada por

u(0) = 1 a−1// u(1) = 2 b // u(2) = 2 a // u(3) = 1 .

Assim os conjuntos de ındices sao ℐ1 = {0, 3} e ℐ2 = {1, 2}. Temosportanto M(S)1 = K2 e M(S)2 = K2. Seja {z0, z1, z2, z3} uma basede K4. Tomamos as bases dos espacos vetoriais acima de acordo com oscorrespondentes conjuntos de ındices, ou seja, para M(S)1 temos a base{z0, z3} e para M(S)2 a base {z1, z2}. Para as flechas a, b ∈ Q1 temos asaplicacoes lineares

°a :< z1, z2 >−→< z0, z3 > °b :< z1, z2 >−→< z1, z2 >


{z1 7→ z0z2 7→ z3

{z1 7→ z2z2 7→ 0

Desta forma obtemos o modulo string.

M(a−1ba) : K2 K2Idoo

⎛⎝ 0 1

0 0

⎞⎠

ss

Observe que os modulos M(ba) e M(b−1a) nao sao isomorfos. De fatotemos as representacoes nao isomorfas abaixo.

M(ba) : K K2(0 1)Too

⎛⎝ 0 1

0 0

⎞⎠

ss M(b−1a) : K K2(0 1)Too

⎛⎝ 0 0

1 0

⎞⎠

ss

Em breve veremos que, neste caso, os 7 representantes em S definem todosos modulos indecomponıveis em mod A, a menos de isomorfismos.

2.2 Modulos Band

Seja A = K(Q, I) uma algebra string e seja a string S = s1s2 . . . sn ∈ S ′

representante de uma classe em S ′/ ∼r, isto e, Sn e string para todo n ∈ ℕe nao e potencia de string de comprimento menor. Seja Z um K-espacovetorial e seja ' : Z → Z um automorfismo de Z. O par (Z, ') induz umaestrutura de K[T, T−1]-modulo sobre Z, onde a acao (a direita) e definidanos geradores T e T−1 por (z, T ) 7→ '(z) e (z, T−1) 7→ '−1(z), para todoz ∈ Z.

Vamos construir um modulo M(S, ') partindo da string S e do automor-fismo '. Antes de definirmos formalmente este modulo apresentamos umexemplo ilustrativo de sua construcao. Seja A = K(Q, I) a algebra stringdefinida pelo quiver com relacoes

1a //c

// 2b //d

// 3 I =< ab, cd >

e seja a string S = s1s2s3s4s5s6 = a−1cbd−1a−1c. Considere a seguinte re-presentacao grafica de S. (Note que ela diferente da representacao graficada string correspondente S ∈ S.)


2 1aoo c // 2

b // 3 2doo 1

aoo

c

gg

Temos a seguinte representacao grafica do modulo M(S, '), onde M(S, ')1 =Z1⊕Z5, M(S, ')2 = Z0⊕Z2⊕Z4, M(S, ')3 = Z3 com Zi = Z para 0 ≤ i ≤ 5.

Z0 Z1Idoo Id // Z2

Id // Z3 Z4Idoo Z5

Idoo

'

hh

As flechas no diagrama indicam as acoes das correspondentes transformacoeslineares nos somandos diretos. Desta forma obtemos o modulo

Z2M //

N// Z3

P //

Q// Z

onde,

M =

(Id 0 00 0 Id

)N =

(0 Id 0' 0 0

)P =

⎛⎝

0Id0

⎞⎠ Q =

⎛⎝

00Id

⎞⎠ .

Vamos formalizar a construcao acima. Como antes (para modulos string),para cada vertice v ∈ Q0 seja ℐv = u−1(v) o conjunto de ındices formado pelapre-imagem de v por u. Seja ℐ ′

v = ℐv

∩{0, . . . , n− 1} e sn : u(n− 1) → u(0).

u(0)s1 // u(1)

s2 // ⋅ ⋅ ⋅ sn−2 // u(n− 2)sn−1 // u(n− 1)

sn

ii

Definimos o K-espaco vetorial M(S, ')v = ⊕i∈ℐ′vZi tomando ♯ℐ ′

v copias doespaco vetorial Z indexadas pelos ındices de ℐ ′

v.Para definir as aplicacoes lineares

°¯ : (⊕Zi)i∈ℐ′s(¯)

−→ (⊕Zj)j∈ℐ′t(¯)

com domınio e contradomınio nao nulos, denotamos fi, para todo 1 ≤ i ≤ n,aos seguintes morfismos:


fi =

⎧⎨⎩

Id : Zi−1 −→ Zi, se si ∈ Q1 e i < n,

Id : Zi −→ Zi−1, se s−1i ∈ Q1 e i < n,

' : Zn−1 −→ Z0, se si ∈ Q1 e i = n,

'−1 : Zn−1 −→ Z0, se s−1i ∈ Q1 e i = n.

Fixada um ordem para as somas diretas (⊕Zi)i∈ℐ′s(¯)

e (⊕Zj)j∈ℐ′t(¯)

definimos

a matrizdx = ( grs )m×n

onde m e n sao as cardinalidades de ℐ ′s(¯) e ℐ ′

t(¯) respectivamente, fazendo

grs = fi se s(fi) e a r-esima componente da soma direta ordenada (⊕Zi)i∈ℐ′s(¯)

e t(fi) e a s-esima componente da soma direta ordenada (⊕Zj)j∈ℐ′t(¯)

. Caso

contrario fazemos grs = 0.Nao e difıcil verificar que obtemos uma representacao M(S, ') sobre o

quiver com relacoes (Q, I). E facil ver que duas representacoes M(S, ') ∼=M(S ′, '′) sao isomorfas se e somente se K[T, T−1]-modulos (Z, ') e (Z,'′)sao isomorfos e S ∼r S ′ sao equivalentes, isto e, se S ′ e uma permutacaocıclica de S. Pela equivalencia mod A ∼ repK(Q, I) obtemos um A-moduloM(S, ') chamado modulo band.

Exemplo. Seja A = K(Q, I) a algebra string definida pelo quiver

1 2b

oo

aoo

conhecida na literatura como algebra de Kronecker. A string S = a−1bclaramente define modulos band M(a−1b, ') para cada ' automorfismo deum espaco vetorial. Tome por exemplo Z = K e ' = ¸ ∈ K, ¸ ∕= 0. Oconjunto de ındices esta representado no diagrama abaixo.

0a−1

// 1

b

dd

Como s2 = b e flecha obtemos, para cada ¸ ∈ K nao nulo, uma representacao

K K¸

oo

1oo.


Temos uma outra band S ′ = ba−1. No entanto, ela e permutacao cıclica deS e assim produz uma representacao M(S ′, ¸) isomorfa a anterior.

K K1

oo

¸−1oo

.

Para escolhas de espacos vetoriais Z = Kn, n > 1, obtemos representacoescujas aplicacoes lineares distintas da identidade sao blocos de Jordan Jn,¸.O teorema seguinte foi provado por Butler e Ringel em [13].

Teorema 2.1 (Butler, Ringel) Seja A = K(Q, I) uma algebra string dedimensao finita. Os modulos string M(S), S ∈ S e os modulos band M(S ′, '),onde S ′ ∈ S ′ e ' : Z → Z um automorfismo de espacos vetoriais, formamum conjunto completo de A-modulos indecomponıveis, a menos de isomor-fismo.

2.3 Morfismos Irredutıveis

Uma descricao de todos os morfismos irredutıveis na categoria de A-modulosde uma algebra string A foi feita por Butler e Ringel. Esta descricao temcomo base uma tecnica combinatoria sobre o quiver Q que define a algebrae vamos apresenta-la a seguir. Provas e detalhes podem ser encontradas em[13].

Seja A = K(Q, I) uma algebra string de dimensao finita. Pela carac-terizacao das representacoes que sao correspondentes a modulos projetivos(injetivos) indecomponıveis (veja capıtulo anterior) nao e difıcil verificar que,para todo vertice i ∈ Q0, o correspondente modulo projetivo (resp. injetivo)indecomponıvel Pi = M(S) (resp. Ii = M(S ′)) e um modulo string. Alemdisso a string que o determina possui comprimento maximal na forma abaixo.

∙ Pi = M(S) onde S = S1S2 com t(S1) = i = s(S2), S1 inversa outrivial e S2 direta ou trivial.

∙ Ii = M(S ′) onde S ′ = S ′1S

′2 com t(S ′

1) = i = s(S ′2), S ′

1 direta outrivial e S ′

2 inversa ou trivial.

Exemplo. Seja A = K(Q, I) a algebra string definida pelo quiver comrelacoes abaixo.


1 2aoo 3c

oo

booI =< ca >

Temos:

P1 = M(e1) I1 = M(ba)

P2 = M(a) I2 = M(bc−1)

P3 = M(c−1ba) I3 = M(e3).

Definicao (cume e abismo). Seja A = K(Q, I) uma algebra string.

(a) Dizemos que uma string S comeca (resp. termina) em um cumese nao existe ¯ ∈ Q1 tal que ¯S (resp. S¯−1) e uma string.

(b) Dizemos que uma string S comeca (resp. termina) em um abismose nao existe ® ∈ Q1 tal que ®−1S (resp. S®) e uma string.

Seja S uma string que nao comeca (resp. nao termina) em um cume, entaoexiste ¯0 ∈ Q1 tal que ¯0S (S¯−1

0 ) e uma string. Levamos ¯0S (S¯−10 ) a

comecar (resp. terminar) em um abismo acrescentando, se necessario, todasas composicoes de flechas inversas (resp. flechas) permitidas, obtendo

ℎS : ¯−1r . . . ¯−1

2 ¯−11 ¯0S. ( Sℎ : S¯−1

0 ¯1 . . . ¯r. )

Seja S uma string que nao comeca (resp. nao termina) em um abismo,entao existe °0 tal que °−1

0 S (S°0) e uma string. Levamos °−10 S (S°0) a

comecar (resp. terminar) em um cume acrescentando, se necessario, todasas composicoes de flechas (resp. flechas inversas) permitidas, obtendo

cS : °r . . . °2°1°−10 S. ( Sc : S°0°

−11 °−1

2 . . . °−1r . )

As string definidas acima induzem morfismos irredutıveis entre modulosstring como mostra o lema seguinte provado em [13].

Lema 2.1 (Butler, Ringel) Seja A = K(Q, I) uma algebra string de di-mensao finita.

(a) Se S e uma string que nao comeca (resp. nao termina) em um cumeentao a imersao canonica

0 −→ M(S) −→ M( ℎS) (resp. 0 −→ M(S) −→ M(Sℎ))


e irredutıvel na categoria de A-modulos.

(b) Se S e uma string que nao comeca (resp. nao termina) em umabismo entao a projecao canonica

M( cS) −→ M(S) −→ 0 (resp. M(Sc) −→ M(S) −→ 0)

e irredutıvel na categoria de A-modulos.

Na proxima secao veremos que os morfismos irredutıveis entre modulosstring apresentados no lema acima formam bases de bimodulos de morfismosirredutıveis entre modulos string.

2.4 Sequencias de Auslander-Reiten

Seja A = K(Q, I) uma algebra string de dimensao finita e seja M(S, ')um modulo band. Butler e Ringel mostram em [13] que sequencias deAuslander-Reiten envolvendo modulos band podem ser obtidas via sequenciasde Auslander-Reiten na categoria deK[T, T−1]-modulos, por um funtor exatoFC : mod K[T, T−1] −→ mod A. E conhecido que sequencias de Auslander-Reiten em mod K[T, T−1] sao da forma 0 −→ X −→ Y −→ X −→ 0.Tais sequencias induzem as sequencias de Auslander-Reiten que envolvemmodulos band

0 −→ M(S, ') −→ FC(Y ) −→ M(S, ') −→ 0.

Portanto, no quiver de Auslander-Reiten−→Γ (mod A), modulos band vivem

em tubos homogeneos (de posto 1). Os proximos resultados determinam assequencias de Auslander-Reiten que envolvem modulos string.

Seja ¯ ∈ Q1 uma flecha no quiver Q. Tendo em vista a dimensao finita daalgebra, podemos compor a esquerda e a direita de ¯ tantas flechas inversasquanto necessarias para obter uma string

°−1r . . . °−1

1︸︷︷︸u

¯ ®−11 . . . ®−1

k︸︷︷︸v

que comeca em um abismo e termina em um cume, onde u ou v podem sertriviais. Como u nao termina em um abismo (u¯ e string) temos uc = u¯ve, pelo lema 2.1, existe uma projecao canonica M(u¯v) −→ M(u) −→ 0que e irredutıvel. Por outro lado, v nao comeca em um cume (¯v e string)e ℎv = u¯v. Logo existe uma imersao canonica 0 −→ M(v) −→ M(u¯v)


irredutıvel. E facil ver que tais morfismos definem uma sequencia exata. Emresumo, cada flecha ¯ ∈ Q1 induz uma sequencia exata

0 −→ M(v) −→ M(u¯v) −→ M(u) −→ 0

que e uma sequencia de Auslander-Reiten uma vez que e formada por mor-fismos irredutıveis. Em breve veremos que estas sequencias induzidas porflechas sao as unicas contendo modulos string onde o termo central e inde-componıvel.

Vamos obter outras sequencias de Auslander-Reiten que comecam comum dado modulo string M(S). Seja S uma string tal que M(S) nao e injetivo(sequencias exatas comecando com modulos injetivos cindem e portanto naosao de Auslander-Reiten) e tal que M(S) nao e o primeiro termo de umasequencia induzida por uma flecha (estas ja conhecemos). Podem ocorrer 4casos.

Caso 1. S nao comeca nem termina em um cume. Neste caso temosdefinidos ℎS e Sℎ. E facil ver que ( ℎS)ℎ = ℎ(Sℎ) := ℎSℎ. Temos asequencia exata (calcule o conucleo)

0 −→ M(S) −→ M(ℎS)⊕M(Sℎ) −→ M(ℎSℎ) −→ 0

que e Auslander-Reiten pois seus morfismos sao irredutıveis.

Caso 2. S nao comeca mas termina em um cume. Como S nao comecaem um cume existe ¯ tal que ¯S e string. Segue que S nao e inversa poissenao M(S) seria o primeiro termo da sequencia induzida por ¯. Assimpodemos escrever S na forma

S = D°0°−11 . . . °−1

r

onde °0 e a ultima flecha nao inversa de S, todas °i, i ≥ 1 sao flechasou string triviais e D pode ser trivial. Assim temos S = Dc. Como S naocomeca em um cume e s(S) = s(D) segue que D tambem nao comeca em umcume e assim existe ℎD. Isto nos da a sequencia exata (calculando conucleo)

0 −→ M(S) −→ M(ℎS)⊕M(D) −→ M(ℎD) −→ 0

que e Auslander-Reiten por ser formada por morfismos irredutıveis.

Caso 3. S comeca mas nao termina em um cume. Este caso e dual aoanterior. Escrevemos

S = °1°2 . . . °n°−10 D


onde °i sao flechas ou string triviais e D pode ser trivial. Temos portantoS = cD. Obtemos a sequencia de Auslander-Reiten

0 −→ M(S) −→ M(Sℎ)⊕M(D) −→ M(Dℎ) −→ 0.

Caso 4. S comeca e termina em um cume. Nestas condicoes, e pelahipotese de nao ser injetivo, S nao e da forma S = S1S2 com S1 diretoe S2 inverso. Assim S tem uma “mistura” de flechas e inversas e pode serescrito na forma

S = ¯k¯k−1 . . . ¯1¯−10 D°0°

−11 °−1

2 . . . °−1r .

Logo S e da forma S = cDc, onde D pode ser trivial. Usando o lema2.1 obtemos projecoes canonicas irredutıveis que produzem a sequencia deAuslander-Reiten

0 −→ M(S) −→ M(cD)⊕M(Dc) −→ M(D) −→ 0.

Proposicao 2.1 As sequencias exatas contidas nos casos 1, 2, 3 e 4 saotodas as sequencias de Auslander-Reiten contendo modulos string.

Uma demonstracao desta proposicao se encontra em [13] pagina 172.

Corolario 2.1 As sequencias de Auslander-Reiten contendo modulos stringcom termo central indecomponıvel sao as induzidas por flechas.

Seja A uma algebra gentle e seja f : M → N um morfismo irredutıvelentre modulos strings indecomponıveis. Sabemos que existe uma sequencia deAuslander-Reiten contendo f como uma componente de seus morfismos (vejapagina 21). Pela proposicao 2.1 esta sequencia e uma das 4 apresentadas noscasos 1 a 4. Como tais sequencias sao obtidas pelos morfismos irredutıveisdo lema 2.1 segue que f e um destes. Desta forma temos o corolario.

Corolario 2.2 Seja A uma algebra gentle de dimensao finita. A lista demorfismos do lema 2.1 formam bases dos bimodulos de morfismos irredutıveisentre A-modulos string.


Exemplo. Seja A a algebra string definida pelo quiver com relacoes abaixo.

1 2aoo

b

pp I =< b2 >

Um conjunto de string representantes de classes e

S ={e1, e2, a, b, ba, b−1a, a−1ba

}.

Nao temos modulos band, logo a categoria de A-modulos possui 7 modulosindecomponıveis, sendo todos modulos string. Os projetivos sao P1 = M(e1)e P2 = M(a−1ba) e os injetivos sao I1 = M(ba) e I2 = M(b). Calculandoas sequencias induzidas por flechas obtemos:

∙ Flecha a. A string correspondente que comeca em um abismo e terminaem um cume e

a−1b−1︸︷︷︸u

a e1︸︷︷︸v

.

Portanto temos a sequencia de Auslander-Reiten.

0 −→ M(e1) −→ M(a−1ba) −→ M(ba) −→ 0.

∙ Flecha b. Escrevendo a−1︸︷︷︸u

b e2︸︷︷︸v

obtemos a sequencia de Auslander-

Reiten

0 −→ M(e2) −→ M(b−1a) −→ M(a) −→ 0.

As demais sequencias de Auslander-Reiten sao iniciadas pelos modulosM(a),M(b−1a) e M(a−1ba). Os outros quatro modulos ou estao no inıcio dassequencias acima ou sao injetivos.

∙ A string a nao comeca em um cume (ba e string) e termina em umcume. Logo estamos no caso 2. Escrevendo a na forma

e2︸︷︷︸D

a︸︷︷︸°0

e1

obtemos a sequencia de Auslander-Reiten

0 −→ M(a) −→ M(a−1ba)⊕M(e2) −→ M(b−1a) −→ 0.


∙ A string b−1a comeca e termina em um cume. Estamos no caso 4.Escrevendo na forma

b−1 e2︸︷︷︸D

a

temos cD = b−1 e Dc = a. Assim obtemos a sequencia de Auslander-Reiten

0 −→ M(b−1a) −→ M(b)⊕M(a) −→ M(e2) −→ 0.

∙ A string a−1ba comeca e termina em um cume. Novamente estamosno caso 4. Escrevendo a−1ba na forma

a−1︸︷︷︸¯−10

b︸︷︷︸D

a︸︷︷︸°0

temos cD = a−1b e Dc = ba. Portanto temos a sequencia deAuslander-Reiten

0 −→ M(a−1ba) −→ M(ba)⊕M(b−1a) −→ M(b) −→ 0.

Obtidas todas as sequencias de Auslander-Reiten e, consequentemente, todosos morfismos irredutıveis, podemos construir o quiver de Auslander-Reitenda categoria de modulos da algebra.

M(e1)

&&LLLLLLLLLLM(ba)

%%KKKKKKKKK

M(a−1ba)

88pppppppppp

&&MMMMMMMMMMMM(b)

$$HHHHHHHHH

M(a)

99rrrrrrrrrr

&&LLLLLLLLLLM(b−1a)

%%KKKKKKKKK

99ttttttttttM(e2)

M(e2)

88ppppppppppM(a)

::vvvvvvvvv

Observe que o quiver nao e plano. Existe uma “colagem” de copias dosmodulo M(a) e M(e2).

Ate o momento nao existe uma descricao dos triangulos de Auslander-Reiten ou dos morfismos irredutıveis na categoria derivada limitada de umaalgebra string. Na verdade, nem os complexos indecomponıveis sao conheci-dos. Para uma certa classe de algebras string, as chamadas algebras gentle,Bekkert e Merklen [8] obtiveram uma descricao dos objetos indecomponıveisem Db(A), em termos combinatorios sobre o quiver de A, o que sera tratadono proximo capıtulo.

Capıtulo 3

Algebras Gentle

Uma importante classe de algebras string sao as algebras gentle. Como casoparticular de algebras string suas sequencias de Auslander-Reiten sao conhe-cidas. Quanto a sua categoria derivada limitada temos alguns importantesresultados. Schroer e Zimmermann [29] provaram que a classe de algebrasgentle e fechada por equivalencia derivada, isto e, se A e uma algebra gentleentao toda algebra B tal que Db(A) e Db(B) sao equivalentes e gentle.Alem disso, a menos de Morita equivalencia, existe um numero finito dealgebras derivadamente equivalentes a algebra A.

Quanto a estrutura da categoria derivada de uma algebra gentle, Bekkerte Merklen [8] descreveram seus objetos indecomponıveis. Esta descricao seraapresentada neste capıtulo. Em [10] Bobınski utiliza o funtor de HappelF : Db(A) −→ mod A na categoria estavel da algebra repetitiva A para obteruma descricao de triangulos de Auslander - Reiten em Db(A). Porem estadescricao nao e explicita o que dificulta sua aplicacao em exemplos concretos.

Tendo em vista o uso frequente que passaremos a fazer de morfismosentre modulos projetivos, a partir deste capıtulo consideramos modulos aesquerda. Com isto, os morfismos entre projetivos indecomponıveis Pi e Pj

sao induzidos diretamente pelos caminhos de i para j no quiver da algebra.

Definicao. Uma K-algebra A = K(Q, I) e chamada gentle se satisfazas condicoes seguintes:

(S1) Todo vertice de Q0 e origem e fim de no maximo duas flechas.

(S2) Para toda flecha ¯ ∈ Q1 existe no maximo uma flecha ® ∈ Q1 (resp.° ∈ Q1) tal que ®¯ ∕∈ I (resp. ¯° ∕∈ I).

(S2’) Para toda flecha ¯ ∈ Q1 existe no maximo uma flecha ´ ∈ Q1

(resp. ± ∈ Q1) tal que ´¯ ∈ I (resp. ¯± ∈ I).

37

CAPITULO 3. ALGEBRAS GENTLE 38

(S3’) O ideal I e gerado por relacoes nulas (caminhos) de comprimentodois.

Exemplo. As algebras string dos exemplos 2.1.1 e 2.1.2 sao gentle. Noentanto a algebra string do exemplo 2.1.3 nao e gentle pois seu ideal e geradopor um caminho de comprimento tres.

As condicoes (S1), (S2) e (S3’) implicam que algebras gentle sao umaclasse particular de algebras string. Desta forma todos os resultados docapıtulo 2 se aplicam em algebras gentle. Em particular, se A = K(Q, I) euma algebra gentle entao o quiver Q admite uma polarizacao ¾, " : Q1 −→{±1}. Ainda mais, as sequencias de Auslander-Reiten em mod A, e portantoseus morfismos irredutıveis, possuem uma completa descricao combinatoriasobre o quiver Q.

3.1 Complexos string e complexos band

Seja A = K(Q, I) uma algebra gentle. Um passeio generalizado w = wn ⋅wn−1 ⋅ . . . ⋅ w1 em Q e uma sequencia de string wi, 1 ≤ i ≤ n, comt(wi) = s(wi−1) para todo 1 < i ≤ n, tais que wi ou w−1

i e um caminho decomprimento l(wi) > 0 1. Como de praxe definimos seu inıcio s(w) = s(wn)e fim t(w) = t(w1). A composicao de dois passeios generalizados w ew′ esta definida se w ⋅ w′ e passeio generalizado. O inverso de um passeiogeneralizado w = wn ⋅ . . . ⋅ w1 e o passeio generalizado w−1 = w−1

1 ⋅ . . . ⋅ w−1n .

Um passeio generalizado e dito direto (resp. inverso) se w = ®n ⋅ . . . ⋅ ®1

(resp. w = ¯−1n ⋅ . . . ⋅ ¯−1

1 ) e uma sequencia de flechas (resp. inversas deflechas). Estendemos as aplicacoes de polarizacao ¾ e " para o conjunto depasseios generalizados definindo ¾(w) = ¾(wn) e "(w) = "(w1). No conjuntode passeios generalizados definimos uma relacao de equivalencia w ∼s w

′ ⇔w′ = w±1. Seja SG o conjunto formado por caminhos triviais e seus inversosformais e±1

v , v ∈ Q0 e pelos passeios generalizados que satisfazem as condicoesseguintes:

(i) Se wi, wi−1 ∈ Pa≥1 entao wiwi−1 ∈ I.

(ii) Se w−1i , w−1

i−1 ∈ Pa≥1 entao w−1i−1w

−1i ∈ I.

1Note que, diferente do que fizemos para passeios e string, no caso generalizado usamosordem decrescente nos ındices. O motivo e tecnico e esta relacionado com a ordem decres-cente usada nos complexos. Utilizamos um ponto ⋅ entre as string para diferenciar string

generalizadas de string. Por exemplo, no quiver 2a // 1 3

boo temos a string ab−1 e astring generalizada a ⋅ b−1.


(iii) Se (i) e (ii) nao ocorrem entao wiwi−1 e uma string.

No restante deste texto consideramos apenas passeios generalizados conti-dos em SG. Seja SG um conjunto de representantes das classes em SG =SG / ∼s. Os elementos de SG sao chamados string generalizadas.

Para todo elemento w ∈ SG associamos um complexo M(w). Antes dedefinirmos formalmente este complexo apresentamos um exemplo ilustrativode sua construcao. Seja A = K(Q, I) a algebra gentle definida pelo quivercom relacoes

1a //c

// 2b //d

// 3 I =< ab, cd >

e seja o passeio generalizado w = a−1 ⋅ c ⋅ d ⋅ (cb)−1. Considere a seguinterepresentacao grafica de w.

1cb // 3

1c //

a

&&MMMMMMMMMMMMM 2

d

88qqqqqqqqqqqqq

2

Na figura acima dispomos os vertices t(w1) = 1; t(w2) = 3; t(w3) = 2;t(w4) = 1 e s(w4) = 2 sequencialmente para direita se wi e inverso decaminho e para esquerda se wi e caminho. Transcrevendo sobre este esquemaos morfismos induzidos entre os modulos projetivos P (wi) : Ps(wi) −→ Pt(wi)

se wi e caminho e P (w−1i ) : Pt(wi) −→ Ps(wi) se wi e inverso de caminho,

obtemos o diagrama abaixo.

P1P (cb) // P3

P1P (c) //

P (a)

&&MMMMMMMMMMMMM P2

P (d)88qqqqqqqqqqqqq

P2

O diagrama acima representa o seguinte complexo M(w).

⋅ ⋅ ⋅ 0 //P1(0 P (c) P (a)) // P1 ⊕ P2 ⊕ P2

(P (cb) P (d) 0)T //P3// 0 ⋅ ⋅ ⋅


Vamos formalizar a construcao acima. Se w ∈ SG e uma string triviale±1i definimos M(w) como o complexo concentrado no nıvel zero

⋅ ⋅ ⋅ 0 // 0 // Pi// 0 // 0 ⋅ ⋅ ⋅

Se w = wn ⋅ . . . ⋅w1 e um passeio generalizado construımos o complexo M(w)da seguinte forma. Definimos uma funcao 'w : {1, 2, . . . , n + 1} −→ ℤindutivamente por 'w(1) = 0 e, para 1 < i ≤ n+ 1,

'w(i) =

⎧⎨⎩

'w(i− 1) + 1 se wi−1 ∈ Pa≥1

'w(i− 1)− 1 se w−1i−1 ∈ Pa≥1.

Denotamos o modulo projetivo Mi = Pt(wi) para todo 1 ≤ i ≤ n e Mn+1 =Ps(wn) (note que pode ocorrer Mi = Mj com i ∕= j). Para cada x ∈ ℤ sejaJx = '−1

w (x) a pre-imagem de x por 'w. Definimos o elemento do complexoM(w)x = ⊕i∈JxMi se Jx ∕= ∅ e M(w)x = 0 se Jx = ∅. Para definir asdiferenciais

dx : (⊕Mi)i∈'−1w (x) −→ (⊕Mj)j∈'−1

w (x−1)

com domınio e contradomınio nao nulos, denotamos fi, para todo 1 ≤ i ≤ n,aos seguintes morfismos induzidos por caminhos entre modulos projetivosindecomponıveis.

fi =

⎧⎨⎩

P (wi) : Mi+1 −→ Mi, se wi ∈ Pa≥1

P (w−1i ) : Mi −→ Mi+1, se w−1

i ∈ Pa≥1.

Fixada um ordem para as somas diretas (⊕Mi)i∈'−1w (x) e (⊕Mj)j∈'−1

w (x−1)

definimos a matrizdx = ( grs )m×n

onde m e n sao a cardinalidade de '−1w (x) e '−1

w (x − 1) respectivamente,fazendo grs = fi se s(fi) e a r-esima componente da soma direta ordenada(⊕Mi)i∈'−1

w (x) e t(fi) e a s-esima componente da soma direta ordenada(⊕Mj)j∈'−1

w (x−1). Caso contrario fazemos grs = 0.

E facil ver que a construcao acima define um complexo M(w) chamadocomplexo string. Tambem nao e difıcil verificar queM(w) e M(w−1) diferemapenas por translacao, ou seja, a menos de translacao o complexo esta bemdefinido para toda string generalizada S ∈ SG.

Seja w = wn ⋅ . . . ⋅ w1 ∈ SG um passeio generalizado fechado (isto et(w1) = s(wn)), tal que w2 = w ⋅ w ∈ SG e um passeio generalizado, w nao


e potencia de um passeio generalizado de menor comprimento e ainda, que'w(n+1) = 'w(1). Sobre o conjunto Ba ⊂ SG de passeios generalizados quesatisfazem as condicoes acima definimos a relacao de equivalencia w ∼r w

′ ⇔w′ e permutacao cıclica de w, ou seja, w′ = wt ⋅ . . . ⋅ w1 ⋅ wn ⋅ . . . ⋅ wt+1. SejaBa um conjunto de representantes de classes de equivalencia de Ba / ∼r.Todo elemento de Ba e chamado band generalizada.

Seja Z um espaco vetorial de dimensao d ≥ 1 e seja Φ : Z → Z umautomorfismo de Z. Lembramos que o par (Z, Φ) induz uma estrutura deK[T, T−1]-modulo sobre Z, onde a acao (a direita) e definida nos geradoresT e T−1 por (z, T ) 7→ Φ(z) e (z, T−1) 7→ Φ−1(z), para todo z ∈ Z.

Vamos construir um complexo M(w,Φ) partindo da band generalizadaw e do automorfismo Φ. Antes de definirmos formalmente este complexoapresentamos um exemplo ilustrativo de sua construcao.

Seja A = K(Q, I) a algebra gentle definida pelo quiver limitado

1a //c

// 2b //d

// 3 I =< ab, cd >

e seja a band generalizada w = c−1 ⋅ a ⋅ b ⋅ d−1. Considere a seguinte repre-sentacao grafica de w. (Note que ela diferente da representacao grafica dastring generalizada correspondente.)

2b // 3

1c //

a

88qqqqqqqqqqqqq2

d

88qqqqqqqqqqqqq

Na figura acima dispomos os vertices t(w1) = 2; t(w2) = 3; t(w3) = 2;t(w4) = 1 e s(w4) = 2 sequencialmente para direita se wi e inverso decaminho e para esquerda se wi e caminho. Transcrevendo sobre este esquemaos morfismos induzidos entre os modulos projetivos P (wi) : Ps(wi) −→ Pt(wi)

se wi e caminho e P (w−1i ) : Pt(wi) −→ Ps(wi) se wi e inverso de caminho,

obtemos o diagrama abaixo.

P d2

P (b)Id // P d3

P d1

P (c)Φ //

P (a)Id

88rrrrrrrrrrrrrP d2

P (d)Id

88rrrrrrrrrrrrr

O diagrama acima representa o seguinte complexo M(w,Φ).


⋅ ⋅ ⋅ 0 //P d1

(P (c)Φ P (a)Id) // P d2 ⊕ P d

2

(P (b)Id P (d)Id)T //P d3

// 0 ⋅ ⋅ ⋅

Vamos formalizar a construcao acima. Como antes, para todo x ∈ ℤ sejaJx = '−1

w (x) o conjunto de ındices formado pela pre-imagem de x por 'w.Seja J ′

x = Jx∩{1, . . . , n}. Definimos o elemento do complexo M(w, Φ)x =

⊕i∈J ′xMd

i se J ′x ∕= ∅ e M(w)x = 0 se J ′

x = ∅. Para definir as diferenciais

dx : (⊕Mi)i∈J ′x−→ (⊕Mj)j∈J ′

x−1

com domınio e contradomınio nao nulos, denotamos fi, para todo 1 ≤ i ≤ n,aos seguintes morfismos entre modulos projetivos induzidos por caminhos

fi =

⎧⎨⎩

P (wi)Id : Mdi+1 −→ Md

i , se wi ∈ Pa≥1 e i < n,

P (w−1i )Id : Md

i −→ Mdi+1, se w−1

i ∈ Pa≥1 e i < n,

P (wn)Φ : Md1 −→ Md

n, se wn ∈ Pa≥1 e i = n,

P (w−1i )Φ−1 : Md

n −→ Md1 , se w−1

n ∈ Pa≥1 e i = n.

Fixada um ordem para as somas diretas (⊕Mi)i∈J ′x

e (⊕Mj)j∈J ′x−1

seja Ωr,s

conjunto de todos i, 1 ≤ i ≤ n, tais que s(fi) e a r-esima componente dasoma direta ordenada (⊕Mi)i∈J ′

xe t(fi) e a s-esima componente da soma

direta ordenada (⊕Mj)j∈J ′x. Note que ♯Ωr,s ≤ 2 e ♯Ωr,s = 2 se e somente se

l(w) = 2. Definimos a matriz

dx = ( grs )m×n

onde m e n sao as cardinalidades de J ′x e J ′

x−1 respectivamente, fazendo

grs =∑

i∈Ωr,sfi. E facil ver que obtemos um complexo M(w, Φ) chamado

complexo band. Tambem nao e difıcil verificar que se w′ e uma permutacaocıclica de w entaoM(w,Φ) e M(w′,Φ) sao isomorfos, a menos de translacao.Portanto complexos band estao bem definidos no conjunto Ba de band gen-eralizadas, a menos de translacao.

A construcao de complexos string se estende de forma similar para stringgeneralizadas infinitas . . . ⋅wn ⋅wn−1 ⋅ . . . ⋅w1 ⋅ . . .. Neste caso pode-se provarque o complexo e limitado, e portanto pertence a Db(A), se e somente se eletem uma das formas abaixo:


(a) . . . ⋅ u ⋅ u ⋅ . . . ⋅ u ⋅ w;(b) w ⋅ u−1 ⋅ u−1 ⋅ . . . ⋅ u−1 ⋅ . . .;(c) . . . ⋅ u ⋅ u ⋅ w ⋅ v−1 ⋅ v−1 . . .;

onde w e uma string generalizada, u e v sao string generalizadas diretascıclicas. Tais complexos sao chamados complexos string periodicos. Entrecomplexos periodicos alguns podem ser isomorfos. E necessario pedir que ociclo u seja minimal e que o final de w nao tenha u. Para detalhes veja [8].

Para simplificar notacao, nos complexos string ou band que aparecemnos exemplos deste texto denotamos wi aos morfismos P (wi) entre modulosprojetivos.

Seja A uma algebra gentle de dimensao finita. Os complexos indecom-ponıveis na categoria derivada limitada Db(A) foram primeiramente obtidospor Bekkert e Merklen em [8] em termos de string e band generalizadas,como mostra o teorema abaixo cuja prova encontra-se em [8] (veja tambem[11] para uma outra descricao destes indecomponıveis).

Teorema 3.1 (Bekkert - Merklen) Seja A uma algebra gentle de dimen-sao finita sobre um corpo K. Um complexo X∙ e indecomponıvel em Db(A)se e somente se X∙ e isomorfo, a menos de translacao, a algum complexostring, string periodico ou band.

Exemplo. Seja A = K(Q, I) a algebra gentle definida pelo quiver comrelacoes abaixo.

1 2aoo 3

coo

booca = 0

(i) Seja a string generalizada w = b−1 ⋅ c ⋅ a. Neste caso temos 'w :{1, 2, 3, 4} −→ ℤ definida por 'w(1) = 0; 'w(2) = 1; 'w(3) = 2 e'w(4) = 1. Os conjuntos de ındices sao J0 = {1}; J1 = {2, 4}; J2 = {3}e Jx = ∅ para todo x ∕∈ {0, 1, 2}. Os modulos projetivos M1 = P1;M2 = P2; M3 = P3 e M4 = P2. Portanto o complexo e formado pelosmodulos M(w)0 = P1; M(w)1 = P2 ⊕ P2; M(w)2 = P3 e M(w)x = 0para todo x ∕∈ {0, 1, 2}. Para obter as diferenciais do complexo denotamos

os morfismos f1 : P2a−→ P1; f2 : P3

c−→ P2; f3 : P3b−→ P2.

Desta forma, em termos de Mi e fi, temos o diagrama


M3f2 //

f3

''NNNNNNNNNNNNN M2f1 // M1

M4

E assim obtemos o complexo string abaixo.

M(b−1ca) : ⋅ ⋅ ⋅ 0 //P3(b c) //P2 ⊕ P2

(0 a)T //P1//0 ⋅ ⋅ ⋅

(ii) Seja w = b−1 ⋅ c. Temos 'w : {1, 2, 3} −→ ℤ definida por 'w(1) = 0;'w(2) = 1; 'w(3) = 0. Alem disso, (b−1 ⋅ c)2 = b−1 ⋅ c ⋅ b−1 ⋅ c ∈ SG epasseio generalizado e w nao e potencia de passeio generalizado de menorcomprimento. Portanto w = b−1 ⋅ c e uma band generalizada. Seja Φ = J2,¸o bloco de Jordan de ordem 2 com 0 ∕= ¸ ∈ K. Temos J ′

0 = {1} e J ′1 = {2}.

Os modulos projetivos saoM1 = P2 e M2 = P3. Assim o complexo e formadopelos modulos M(w,Φ)0 = P 2

2 ; M(w,Φ)1 = P 23 e M(w,Φ)x = 0 para todo

x ∕∈ {0, 1}. Para obter as diferenciais do complexo, observando que b−1 euma seta inversa, temos:

f1 : P 23

⎛⎝ c 0

0 c

⎞⎠

// P 22 f2 : P 2

3

⎛⎝ ¸−1b 0

b ¸−1b

⎞⎠

// P 22

Desta forma, em termos de Mi e fi, temos o diagrama

M2

f1 //

f2// M1

Temos Ω1,1 = {1, 2}. Assim, para cada 0 ∕= ¸ ∈ K obtemos o complexo band

M(b−1c, J2,¸) : ⋅ ⋅ ⋅ 0 // P 23

L // P 22

// 0 ⋅ ⋅ ⋅

onde L = f1 + f2 =

(c+ ¸−1b 0

b c+ ¸−1b

).


3.2 Cumes e abismos generalizados

Nesta secao vamos introduzir algumas definicoes e lemas de natureza tecnicaque, no entanto, serao de grande importancia nos capıtulos seguintes. Algu-mas definicoes e notacoes usadas nesta secao foram inspiradas em [13].

Seja A = K(Q, I) uma algebra gentle de dimensao finita, onde Q e umquiver finito, conexo e polarizado, isto e, munido de aplicacoes de polarizacao(fixadas) ¾, " : Q1 → { ±1}. Seja e½v, onde ½ = ±1, uma string trivialsobre um vertice v ∈ Q0. Lembremos que ja temos definidas as polarizacoes¾(e½v) = −"(e½v) = ½. Usamos a polarizacao do quiver para definir umacomposicao entre string triviais e passeios generalizados. Com isto teremosuma regra de composicao entre entre pares de elementos de SG. Seja ® ∈ Q1

tal que t(®) = v e seja ¯ ∈ Q1 tal que s(¯) = v. Definimos

® ⋅ e½v = ® ⇔ "(®) = ¾(e½v) = ½

e½v ⋅ ¯ = ¯ ⇔ −"(e½v) = ¾(¯) = ½.

Estendemos a composicao acima para flechas inversas definindo, para todoi ∈ Q0,

®−1 ⋅ e½i = ®−1 ⇔ e−½i ⋅ ® = ®

e½i ⋅ ®−1 = ®−1 ⇔ ® ⋅ e−½i = ®.

A composicao entre string triviais e passeios generalizados e definida demaneira usual. Primeiramente estendemos a composicao entre string triv-iais e flechas ou flechas inversas para caminhos C = ®1®2 . . . ®n fazendoe½i ⋅ C = C (resp. C ⋅ e½i ) se e somente se e½i ⋅ ®1 = ®1 (resp. ®n ⋅ e½i = ®n).Procedemos de forma similar para inverso de caminhos. Em seguida estende-mos para passeios generalizados w = wn ⋅ . . . ⋅w1 definindo e½i ⋅w = w (resp.w ⋅ e½i = w) se e somente se e½i ⋅ wn = wn (resp. w1 ⋅ e½i = w1).

Seja A = K(Q, I) uma algebra gentle de dimensao finita e seja SG oconjunto formado por passeios generalizados e pelas string triviais e±1

i , i ∈Q0.

Definicao (cume e abismo generalizado). Seja A = K(Q, I) umaalgebra gentle de dimensao finita.

(a) Dizemos que um elemento w ∈ SG comeca (resp. termina) em umcume se nao existe ® ∈ Q1 tal que ® ⋅ w (resp. w ⋅ ®−1) e um elemento deSG.


(b) Dizemos que w comeca (resp. termina) em um abismo se nao existe¯ ∈ Q1 tal que ¯−1 ⋅ w (resp. w ⋅ ¯) e um elemento de SG.

Um elemento w ∈ SG pode ser levado a comecar em um cume (resp.abismo) se ele ja comeca em um cume (resp. abismo) ou se existe um passeiogeneralizado direto u ∈ SG tal que u⋅w (resp. u−1 ⋅w) comeca em um cume(resp. abismo). Por dualidade obtemos o conceito de ser levado a terminarem um cume (resp. abismo).

Pelo fato de trabalharmos com algebras de dimensao finita, toda stringS ∈ S pode ser levada a comecar (terminar) em um cume ou abismo acrescen-tando-se, se preciso, tantas flechas ou flechas inversas quanto necessarias. Noentanto, no caso generalizado, nem todo elemento w ∈ SG pode ser levado acomecar (terminar) em um cume ou em um abismo como mostra o exemploabaixo.


1

a

§§a2 = 0

O passeio generalizado a−1 nao pode ser levado a comecar em um abismopois possui infinitas composicoes de flechas inversas . . . a−1 ⋅ a−1 ⋅ a−1. Damesma forma o passeio generalizado a nao pode ser levado a comecar emum cume.

Veremos que, em alguns casos, podemos garantir a possibilidade de levarum passeio generalizado, ou uma string trivial, a comecar (terminar) em umcume ou em um abismo.

Lema 3.1 Seja A = K(Q, I) uma algebra gentle de dimensao finita.

(a) Se w ∈ SG e um passeio generalizado, ou uma string trivial, quenao pode ser levado a comecar em um cume (resp. em um abismo) entaoexiste um passeio generalizado direto fechado u que comeca em s(w) tal queu ⋅ w ∈ SG (resp. u−1 ⋅ w ∈ SG).

(b) Se w ∈ SG e um passeio generalizado, ou uma string trivial, que naopode ser levado a terminar em um cume (resp. em um abismo) entao existeum passeio generalizado direto v que comeca em t(w) tal que w ⋅ v−1 ∈ SG(resp. w ⋅ v ∈ SG).


Demonstracao. Vamos provar somente a versao para cume do item (a) poisa versao para abismo e o item (b) sao analogos. Seja w ∈ SG um elementoque nao pode ser levado a comecar em um cume. Pela definicao w naocomeca em um cume. Seja ¯1 ∈ Q1 a (unica) flecha tal que ¯1 ⋅ w e passeiogeneralizado que, por hipotese, nao comeca em um cume. Prosseguindo deforma indutiva obtemos uma sequencia infinita de flechas ¯i, i ∈ ℕ (naonecessariamente distintas) tal que ¯n ⋅¯n−1 ⋅ . . . ⋅¯1 ⋅w e passeio generalizadopara todo n ∈ ℕ. Como A e de dimensao finita temos uma quantidadefinita de flechas ¯i distintas nesta sequencia infinita. Seja r ∈ ℕ tal que¯r ⋅ ¯r−1 ⋅ . . . ⋅ ¯1 e formado por flechas distintas e ¯r+1 = ¯i para algum1 ≤ i ≤ r. Se i > 1 temos o diagrama

¯r+1=¯i //

¯r

??ÄÄÄÄÄÄÄ¯i−1

ÂÂ???

????

e de ¯i¯i−1 ∈ I, ¯r+1¯r ∈ I segue, por A ser gentle, que ¯r = ¯i−1 con-tradizendo a escolha de r. Daı temos ¯r+1 = ¯1, ou seja, temos um ciclo sefechando em ¯1. □

Lema 3.2 Seja A = K(Q, I) uma algebra gentle de dimensao finita, sejaw ∈ SG um passeio generalizado, ou uma string trivial, que nao comeca emum cume e seja C o caminho de comprimento maximal tal que C ⋅ w e umpasseio generalizado. Entao C ⋅w pode ser levado a comecar em um abismo.

Demonstracao. Suponha que C ⋅ w nao possa ser levado a comecar emum abismo. Pelo lema 3.1 existe um passeio generalizado inverso fechado¯−1r ⋅¯−1

r−1 ⋅ . . . ¯−11 com t(¯−1

1 ) = s(¯−1r ) = s(C ⋅w). Seja ®1 a primeira flecha

do caminho C. De ¯−11 ⋅ C ∈ SG obtemos o diagrama

¯r //®1

ÂÂ???

????

¯1

??ÄÄÄÄÄÄÄ

com ¯r¯1 ∈ I e ¯1 ∕= ®1. Como a algebra A e gentle obtemos ¯r®1 ∕∈ Icontradizendo a maximalidade do comprimento de C. □


Lema 3.3 Seja A = K(Q, I) uma algebra gentle de dimensao finita e sejaw ∈ SG um passeio generalizado direto, ou uma string trivial, que comecaem um cume. Entao w pode ser levado a terminar em um abismo.

Demonstracao. Se w termina em um abismo entao nada temos a fazer.Suponha que w nao termine em um abismo, ou seja, existe ° ∈ Q1 tal quew ⋅ ° ∈ SG e passeio generalizado. Se w ⋅ ° pode ser levado a terminarem um abismo entao claramente o mesmo vale para w. Suponha que w ⋅ °nao pode ser levado a terminar em um abismo, ou seja, que nao existe umpasseio direto v ∈ SG tal que w ⋅ ° ⋅ v termina em um abismo. Usando olema 3.1 obtemos um passeio generalizado direto fechado ¯1 ⋅¯2 ⋅ . . . ⋅¯r comt(¯r) = s(¯1) = t(°) e ° ⋅ ¯1 ∈ SG.

¯r

ÃÃAAA

AAAA

A

u¯1 //

°

>>}}}}}}}}

De ¯r¯1 ∈ I, °¯1 ∈ I e de A ser gentle obtemos ¯r = °. Se w = e½j , ½ = ±1,e trivial

¯r−1 // j° //

temos de e½j ⋅ ° ∈ SG que ¾(°) = −"(e½j ) = ½. De ¯r−1° ∈ I obtemos"(¯r−1) = ¾(°) = ½. Assim "(¯r−1) = ¾(e½j ) = ½ implica que ¯r−1 ⋅ e½j estadefinido contradizendo a hipotese de w comecar em um cume.

Se w = ®n ⋅ . . . ⋅ ®1 e um passeio generalizado direto temos t(¯r−1) = s(°) =t(®1)

¯r−1

ÂÂ???

????

° //

®1

??ÄÄÄÄÄÄÄ

com ¯r−1° ∈ I e ®1° ∈ I (pois w ⋅ ° e passeio generalizado) e daı, por Aser gentle, temos ¯r−1 = ®1. Prosseguindo indutivamente para 1 < i ≤ n

¯r−i

ÂÂ???

????

®i−1 //

®i

??ÄÄÄÄÄÄÄ


obtemos ¯r−i = ®i, ou seja, w = ®n ⋅ . . . ⋅ ®1 esta contido no passeiogeneralizado formado pelas flechas ¯i, 1 ≤ i ≤ r. Daı segue que ¯n+1 ⋅ w epasseio generalizado contradizendo a hipotese de w comecar em um cume. Acontradicao e consequencia de supor que w ⋅° nao pode ser levado a terminarem um abismo. □

Lema 3.4 Seja A = K(Q, I) uma algebra gentle de dimensao finita e sejaw = wm ⋅ wm−1 ⋅ . . . ⋅ w1 ∈ SG um passeio generalizado que comeca em umcume.

(a) Se wm = ®1®2 . . . ®n ∈ Pa>1 e uma string direta de comprimentomaior que 1, entao seja w′

m = ®2 . . . ®n. O passeio generalizado w′ = w′m ⋅

wm−1 ⋅ . . . ⋅ w1 pode ser levado a comecar em um abismo.

(b) Se w−1m ∈ Pa≥1 e uma string inversa que nao comeca em um abismo

como string, isto e, existe ° ∈ Q1 tal que w′m = °−1wm e uma string (inversa)

entao o passeio generalizado w′ = w′m ⋅wm−1 ⋅. . .⋅w1 pode ser levado a comecar

em um abismo.

Demonstracao. (a) Suponha que o passeio generalizado w′ ∈ SG naopode ser levado a comecar em um abismo. Pelo lema 3.1 existe um passeiogeneralizado direto fechado ¯1 ⋅ ¯2 ⋅ . . . ⋅ ¯r com s(¯1) = s(®2) = t(¯r).

¯r

''OOOOOOOOOOOOO¯1

77ooooooooooooo

®2''OOOOOOOOOOOOO

®1

77ooooooooooooo

Como ®1®2 ∕∈ I e A e uma algebra gentle obtemos ®1¯1 ∈ I e daı ®1 = ¯r

(pois A e gentle). Logo de ¯r−1¯r ∈ I obtemos que ¯r−1®1 ∈ I contradizendoa hipotese de w comecar em um cume. A contradicao e consequencia dasuposicao de w′ nao poder ser levado a comecar em um abismo.

(b) Suponha que w′ = w′m ⋅wm−1 ⋅ . . . ⋅w1 nao pode ser levado a comecar

em um abismo. Pelo lema 3.1 existe um passeio generalizado direto fechado¯1 ⋅ ¯2 ⋅ . . . ⋅ ¯r tal que s(¯1) = t(¯r) = s(w′

m) e ¯−11 ⋅ w′

m e um passeiogeneralizado. Desta forma no vertice inicial da string w′

m = °−1®−11 . . . ®−1

n

temos o diagrama abaixo.

¯r

''OOOOOOOOOOOOO¯1

77ooooooooooooo

®1 //

°77ooooooooooooo


Como ¯−11 ⋅

w′m︷︸︸︷(

°−1®−11 . . . ®−1

n

)e passeio generalizado temos °¯1 ∈ I. Sendo A

uma algebra gentle e ¯r¯1 ∈ I obtemos ° = ¯r e segue o diagrama

¯r−1

ÂÂ???

????

° //

®1

??ÄÄÄÄÄÄÄ

com ¯r−1° ∈ I e ®1° ∕∈ I. Assim obtemos o passeio generalizado ¯r−1 ⋅(®−11 . . . ®−1

n

)︸︷︷︸

wm

⋅wm−1 ⋅ . . . ⋅ w1 contradizendo a hipotese de w comecar em um

cume. □

Capıtulo 4

Morfismos Irredutıveis

Seja A = K(Q, I) uma algebra gentle de dimensao finita munida de aplica-coes de polarizacao (fixadas). Apresentamos no teorema 4.1 uma lista demorfismos entre complexos string que sao irredutıveis na categoria derivadalimitada Db(A). Uma descricao explıcita destes morfismos e feita nos lemasseguintes. No capıtulo 5 mostramos que esta lista e completa, ou seja, eladescreve, a menos de translacao, todos os morfismos irredutıveis entre com-plexos string na categoria derivada limitada da algebra A.

Teorema 4.1 Seja A = K(Q, I) uma algebra gentle de dimensao finita eseja w ∈ SG um passeio generalizado ou uma string trivial. Os morfismosabaixo sao irredutıveis na categoria derivada limitada Db(A).

(i) Imersao Natural.

Se w nao comeca em um cume: ℎ¹ : M(w) −→ M(v−1 ⋅ C ⋅ w).Se w nao termina em um cume: ¹ℎ : M(w) −→ M(w ⋅C−1 ⋅v)(1−l(v)).

(ii) Projecao Natural.

Se w nao comeca em um abismo: c¼ : M(u ⋅D−1 ⋅ w) −→ M(w).

Se w nao termina em um abismo: ¼c : M(w⋅D⋅u−1) −→ M(w)(1−l(u)).

(iii) Casos Especiais.

(a) ®∙ : M(u ⋅ (®q) ⋅ w) −→ M(v−1 ⋅ q ⋅ w).

(a′) ®∙ : M(w ⋅ (®q)−1 ⋅ u−1) −→ M(w ⋅ q−1 ⋅ v)(−l(u)− l(v)).

(b) ®∙ : M(u ⋅ p−1 ⋅ w) −→ M(v−1 ⋅ (p®)−1 ⋅ w).

51

CAPITULO 4. MORFISMOS IRREDUTIVEIS 52

(b′) ®∙ : M(w ⋅ p ⋅ u−1) −→ M(w ⋅ (p®) ⋅ v)(−l(u)− l(v)).

(c) ®∙ : M(u) −→ M(v−1), se existe u ⋅ ® ⋅ v.

(c’) ®∙ : M(u−1) −→ M(v)(−l(u)− l(v)), se existe v−1 ⋅®−1 ⋅u−1.

Onde:

∙ u, v ∈ SG sao passeios generalizados diretos ou string triviais com vterminando em um abismo e u comecando em um cume.

∙ C,D sao passeios diretos nao triviais, com C comecando em um cumecomo passeio e D terminando em um abismo como passeio.

∙ p e q sao passeios diretos nao triviais com p nao terminando em um abismocomo passeio e q nao comecando em um cume como passeio.

∙ ® ∈ Q1 e uma flecha.

A demonstracao deste teorema se encontra ao final deste capıtulo (pagina62). Os morfismos listados no teorema estao explicitados nas secoes seguintes.

4.1 Imersoes e projecoes naturais

Seja A = K(Q, I) uma algebra gentle de dimensao finita munida de aplicacoesde polarizacao ¾, " : Q1 → {±1}. Seja w ∈ SG um passeio generalizadow = wn ⋅ . . . ⋅ w1 ou uma string trivial w = e½i , ½ = ±1, i ∈ Q0, que naocomeca em um cume. Seja C o (unico) passeio direto nao trivial que comecaem um cume como passeio tal que C ⋅ w e passeio generalizado. Pelo lema3.2 existe um unico passeio generalizado direto v ∈ SG ou uma string trivialv = e½i tal que v

−1 ⋅C ⋅w comeca em um abismo. SejamM(w) e M(v−1 ⋅C ⋅w)os correspondentes complexos string na categoria minimal P ∙

min(A).

Lema 4.1 Seja w ∈ SG um passeio generalizado, ou uma string trivial, quenao comeca em um cume. Entao o mergulho natural

ℎ¹ : M(w) ↪→ M(v−1 ⋅ C ⋅ w)

e um morfismo de complexos irredutıvel na categoria minimal P ∙min(A).


Demonstracao. Pela construcao de complexos string, o mergulho naturalacima contem o diagrama comutativo abaixo.

0 //

²²

Pt(C)

1²²

Ps(C)C // Pt(C)

Se ℎ¹ cinde entao e facil ver que o quadrado acima tambem cinde, o que naoocorre pois C ∕= 0. Portanto ℎ¹ nao cinde.

Suponha que exista um complexo X∙ que fatora ℎ¹.

M(w)ℎ¹ //

'∙##GGGGGGGG

M(v−1 ⋅ C ⋅ w)

X∙Ã∙

88ppppppppppp

Seja w = wn ⋅ . . . ⋅w1 nao trivial, w = v−1 ⋅C ⋅w e v = ¯1 ⋅¯2 ⋅ . . . ⋅¯m. Entaopodemos escrever os modulos no nıvel i dos complexos M(w) e M(w) naforma M(w)i = (⊕Mk)k∈'−1

w (i) e M(w)i = (⊕Mk)k∈'−1w (i), onde Mi = Pt(wi)

para 1 ≤ i ≤ n, Mn+1 = Ps(wn), Mn+1+j = Ps(¯j) e Mn+m+2 = Pt(¯m) (vejadefinicao de complexos string).

Sejam diw = diM(w), diw = diM(w) e i0 = 'w(n + 2). E facil ver que

M(w)i = M(w)i⊕Li para todos i, onde alguns componentes na soma direta

podem ser nulos, diw = diw ⊕ µi para i ∕= i0 e di0w =

(di0w 0½i0 µi0

).

(I) Vamos supor que X∙ e um complexo indecomponıvel.

Seja supp M(w) = {i ∈ ℤ ∣M(w)i ∕= 0}. Na componente M(w)i parai ∈ supp M(w) temos a decomposicao

M(w)i'i

//X iÃi=(Ãi

1 Ãi2) //M(w)i ⊕ Li .

Pelo fato de Ãi1 ser epimorfismo eM(w)i ser projetivo temosX i = M(w)i⊕Y i

para alguns Y i e a decomposicao acima assume a forma

M(w)i(1 °i) //M(w)i ⊕ Y i 1⊕¿ i //M(w)i ⊕ Li ,

onde °i¿ i = 0. No caso em que i ∕∈ supp M(w) temos a mesma decomposicaoX i = M(w)i ⊕ Y i com M(w)i = 0 e Ãi = ¿ i. Podemos assumir °i = 0,usando isomorfismo no diagrama abaixo:


M(w)i(1 °i) // M(w)i ⊕ Y i 1⊕¿ i //

R²²

M(w)i ⊕ Li

M(w)i(1 0) // M(w)i ⊕ Y i 1⊕¿ i // M(w)i ⊕ Li

onde R =

(1 −°i

0 1

)e invertıvel.

Das comutavidades 'idix = diw'i−1 e Ãidiw = dixÃ

i−1 para i ∕= i0, temos dix =diw⊕í. Vamos supor que i0 ∕∈ supp M(w) (o caso i0 ∈ supp M(w) e similar).Neste caso temos i0 − 1 ∈ supp M(w), Li = 0 para i > i0, L

i0 = Ps(C) eLi0−j = Pt(¯j). Considere a decomposicao M(w)i0−1 = Ps(wn)⊕Zi0−1. Temoso diagrama seguinte:

Y i0(° ± í0 ) //

¿ i0

²²

Ps(wn) ⊕ Zi0−1 ⊕ Y i0−1

1⊕1⊕¿ i0−1

²²Ps(C)

(C 0 ¯1) // Ps(wn) ⊕ Zi0−1 ⊕ Pt(¯1)

Da comutatividade temos ¿ i0C = °, ± = 0 e ¿ i0¯1 = í0¿ i0−1. Se ° = 0entao e facil ver que X∙ = M(w) e '∙ e secao.

Seja agora ° ∕= 0. Como C comeca em um cume como passeio e ° ∕= 0,temos que Ãi0 e epimorfismo (decompondo Y i0 em soma direta de indecom-ponıveis e sendo ¿ i0 = (¿ i01 . . . ¿ i0k ) temos que ¿ i0j e invertıvel para algum j),

logo Y i0 = Ps(C) ⊕ Y i0 , ¿ i0 = (1 0)T , ° = (C °)T . Da comutatividade segueque ° = 0. Vamos supor primeiramente que v e string trivial. Neste casoLi = 0 para i ∕= i0. Temos o diagrama

Ps(C)(C 0 ») // Ps(wn) ⊕ Zi0−1 ⊕ Y i0−1

(1 0 0)T

²²Ps(C)

C // Ps(wn)

Afirmamos que » = 0.De fato, » ∕= 0 produz um subcomplexo indecomponıvel de X∙ cuja stringgeneralizada e w′ ⋅ G−1 ⋅ C ⋅ w′′, onde a string G corresponde ao ». Comos(C) = s(G), pela definicao de string generalizada temos c1 ∕= g1 onde c1 eg1 sao as primeiras flechas de C e G respectivamente.


t(c1)

s(C)

c1;;xxxxxxxx

g1// t(g1)

Desta forma g−11 ⋅ C ∈ SG contradizendo a hipotese de v ser trivial. Com

» = 0 e v trivial e facil ver que X∙ = M(C ⋅ w) e Ã e retracao.

Seja agora v = ¯1 ⋅ . . . ⋅ ¯m nao trivial. Temos o diagrama comutativo

Ps(C)(C 0 ») // Ps(wn) ⊕ Zi0−1 ⊕ Y i0−1

1⊕1⊕¿ i0−1

²²Ps(C)

(C 0 ¯1) // Ps(wn) ⊕ Zi0−1 ⊕ Pt(¯1)

Pela comutatividade obtemos »¿ i0−1 = ¯1. Decompondo Y i0−1 em projetivosindecomponıveis e sendo » = (»1, . . . , »k), ¿ i0−1 = (¿ i0−1

1 , . . . , ¿ i0−1k ) temos∑

i »i¿i0−1i = ¯1. Como estamos na categoria minimal e ¯1 e uma flecha

temos que ¿ i0−1i e invertıvel para algum i, logo ¿ i0−1 e epimorfismo. Por isso

temos Y i0−1 = Pt(¯1) ⊕ Y i0−1, ¿ i0−1 = (1 0)T e » = (¯1 »). Temos agora odiagrama

Ps(C)(C 0 ¯1 ») // Ps(wn) ⊕ Zi0−1 ⊕ Pt(¯1) ⊕ Y i0−1

1⊕1⊕(1 0)T

²²Ps(C)

(C 0 ¯1) // Ps(wn) ⊕ Zi0−1 ⊕ Pt(¯1)

Pelo fato de que existem somente duas flechas que comecam em s(C), analoga-

mente ao caso com v trivial acima, temos » ∕= 0. Prosseguindo indutivamentechegamos ao diagrama abaixo.

M(w)q+1 ⊕ Pt(¯m−1) ⊕ Y q+1

Ãq+1

²²

dq+1x // M(w)q ⊕ Pt(¯m) ⊕ Y q

Ãq

²²

dqx // M(w)q−1 ⊕ Y q−1

(1 0)T

²²M(w)q+1 ⊕ Pt(¯m−1)

dq+1w // M(w)q ⊕ Pt(¯m)

(1 0)T // M(w)q−1

onde q = i0 −m, dq+1w = dq+1

w ⊕ ¯m, Ãq+1 = Ãq = 1⊕ (1 0)T ,


dq+1x =

⎛⎝

dq+1w 0 00 ¯m ±0 0 ˜q+1

⎞⎠ , dqx =

⎛⎝

dqw 00 y0 ´q

⎞⎠ .

Como no caso anterior podemos afirmar que ± = 0. Como v−1 comeca emum abismo temos y = 0. Logo X∙ = M(v−1 ⋅ C ⋅ w) e Ã∙ e retracao.

Se w e trivial o procedimento e similar.

(II) Vamos supor que X∙ = ⊕ki=1X

∙i para alguns indecomponıveis X∙

i .Neste caso temos '∙ = ('∙

1 . . . '∙k), Ã

∙ = (Ã∙1 . . . Ã∙

k)T e '∙Ã∙ =

∑ki=1 '

∙iÃ

∙i .

Como o complexo M(w) e indecomponıvel, temos que restricao ±∙i de '∙iÃ

∙i

para imagem e invertıvel para algum i. Seja i = 1.Logo ℎ¹ = 1 ⋅ℎ ¹ = '∙

1Ã∙1, onde '∙

1 = (±∙1)−1'∙

1 e Ã∙1 = Ã∙

1 ⋅ℎ ¹.Temos de (I) que ou '∙

1 e uma secao, ou Ã∙1 e uma retracao. No primeiro

caso temos que '∙ e uma secao e no segundo caso temos que Ã∙ e umaretracao. Realmente, se '∙

1»∙ = 1 para algum »∙, entao '∙°∙ = 1, onde

°∙ = (°∙1 . . . °∙

k)T , °∙

1 = (±∙1)−1»∙ e °∙

i = 0 para i > 1. O segundo caso eanalogo e a demonstracao esta completa. □

Observe que a demonstracao deixa clara a necessidade de v−1 ⋅ C ⋅ wcomecar em um abismo pois, caso contrario, existiria um complexo C(°−1 ⋅ℎw) fatorando ℎ¹.

Seja w ∈ SG um passeio generalizado w = wn ⋅ . . . ⋅ w1, ou uma stringtrivial w = e½i , que nao comeca em um abismo. Por versao dual ao lema 3.2obtemos um passeio generalizado u ⋅D−1 ⋅w ∈ SG que comeca em um cume,onde u e (unico) passeio generalizado direto ou string trivial e D e (unico)passeio direto nao trivial que termina em um abismo como passeio.

Lema 4.2 Seja w ∈ SG um passeio generalizado, ou uma string trivial, quenao comeca em um abismo. Entao a projecao natural

c¼ : M(u ⋅D−1 ⋅ w) ↠ M(w)


Demonstracao. Similar a do lema anterior. □

Os lemas acima tem suas versoes (e demonstracoes) duais. Se w ∈ SG naotermina em um cume entao existe w ⋅C−1 ⋅ v que termina em um abismo e se


w ∈ SG nao termina em um abismo entao existe w⋅D⋅u−1 que termina em umcume (por versoes duais a do lema 3.2). Nestes casos estamos alterando o ladodireito da string generalizada. Lembrando que a construcao de complexosstring e feita via aplicacao 'w que, por sua vez, e definida indutivamente apartir deste lado direito, procedemos a devida translacao de forma a fazercoincidir, no mesmo nıvel do complexo, as componentes de w. Com istoobtemos os lemas duais abaixo.

Lema 4.3 Seja w ∈ SG um passeio generalizado, ou uma string trivial, quenao termina em um cume. Entao o mergulho natural

¹ℎ : M(w) ↪→ M(w ⋅ C−1 ⋅ v)(1− l(v))


Lema 4.4 Seja w ∈ SG um passeio generalizado, ou uma string trivial, quenao termina em um abismo. Entao a projecao natural

¼c : M(w ⋅D ⋅ u−1) ↠ M(w)(1− l(u))


4.2 Casos especiais

Seja u ∈ SG um passeio generalizado direto u = ®m ⋅ . . . ⋅ ®1 ou uma stringtrivial u = e½i que comeca em um cume e nao termina em um abismo. Seja° ∈ Q1 a (unica) flecha tal que u ⋅ ° e passeio generalizado. Pelo lema 3.3existe um unico passeio generalizado direto v = ¯k ⋅ . . . ⋅ ¯1 ou uma stringtrivial v = e½j tal que u ⋅° ⋅v termina em um abismo. Sejam M(u) e M(v−1)os correspondentes complexos string na categoria minimal P ∙

min(A).

Lema 4.5 A flecha ° induz um morfismo de complexos °∙ : M(u) −→M(v−1) que e irredutıvel na categoria minimal P ∙

min(A).


Demonstracao. O morfismo °∙ : M(u) −→ M(v−1) esta explicitado nodiagrama abaixo.

Ps(®m)®m //

²²

⋅ ⋅ ⋅ ®2 // Pt(®2)®1 //

²²

Pt(®1)//

f1=°²²

0 //

²²

⋅ ⋅ ⋅ // 0

²²0 // ⋅ ⋅ ⋅ // 0 // Pt(°)

¯1 // Pt(¯1)¯2 // ⋅ ⋅ ⋅ ¯k // Pt(¯k)

que e comutativo pois, dos passeios generalizados u ⋅ ° e ° ⋅ v, obtemos®1° = °¯1 = 0. Os casos em que u ou v sao triviais sao analogos (omitindo-se algumas flechas). Portanto °∙ e morfismo de complexos que e irredutıvelem P ∙

min(A) em virtude da irredutibilidade de ° em mod A e procedimentosimilar ao lema 4.3, isto e, a fatoracao ® = 1® produz uma fatoracao pelocomplexo M(u) e a decomposicao ® = ®1 produz uma fatoracao de ®∙ porM(v−1). □

Seja w ∈ SG um passeio generalizado nao trivial que comeca em um cumee nao e direto. Podemos escrever w na forma (I) w = u ⋅ p−1 ⋅ w ou (II)w = u ⋅ (®p) ⋅ w onde u = ul ⋅ . . . ⋅ u1 e um passeio generalizado direto ouu = e½i e uma string trivial, p e um passeio generalizado direto nao trivial ew e um passeio generalizado ou uma string trivial. Em cada um destes casostemos:

(I) w = u ⋅ p−1 ⋅ w. Se p termina em um abismo como passeio, istoe, p° nao e passeio para toda flecha ° ∈ Q1, entao ja temos uma projecaocanonica c¼ : M(w) −→ M(w). O caso (nao canonico) que nos interessae quando existe (unica) flecha ® tal que p® e passeio. Pelo lema 3.4 (b)existe v = v1 ⋅ . . . ⋅ vk ∈ SG um passeio generalizado direto ou v = e½j ∈ SGuma string trivial tal que v−1 ⋅ (p®)−1 ⋅ w comeca em um abismo. SejamM(u ⋅ p−1 ⋅ w) e M(v−1 ⋅ (p®)−1 ⋅ w) os respectivos complexos string emP ∙min(A). A flecha ® induz o seguinte morfismo ®∙ entre tais complexos. Nas

componentes definidas por w tome ®i = 1. Nas demais considere o diagramaabaixo (se u ou v e trivial desconsidere os respectivos morfismos ui e vi).

⋅ ⋅ ⋅ // Ps(u2)(u2 0) //

²²

Ps(u1) ⊕ Ps(p)(u1 p)T //

(0 1)T

²²

Pt(p)//

®

²²

0 //

²²

⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅ // 0 // Ps(p)p® // Pt(®)

v1 // Pt(v1)v2 // ⋅ ⋅ ⋅

Como p® e passeio e A e gentle temos u1® = 0. Do passeio generalizado(p®) ⋅ v obtemos ®v1 = 0 e o diagrama e comutativo. A comutatividade nascomponentes mostra que temos bem definido um morfismo ®∙.


Lema 4.6 O morfismo de complexos

®∙ : M(u ⋅ p−1 ⋅ w) −→ M(v−1 ⋅ (p®)−1 ⋅ w)definido acima e irredutıvel na categoria minimal P ∙

min(A).

Demonstracao. Se ®∙ cinde entao toda componente de ®∙ cinde o quenao ocorre pois ® e irredutıvel em mod A. Seja X∙ um complexo que fatora®∙.

M(u ⋅ p−1 ⋅ w) ®∙//

'∙&&MMMMMMMMMMM

M(v−1 ⋅ (p®)−1 ⋅ w)

X∙Ã∙

66nnnnnnnnnnnnn

E suficiente analisar as diferenciais que nao envolvem as string wi em w, umavez que, procedendo como no lema 4.1, a decomposicao nestas diferenciaisocorre como no diagrama abaixo (assumindo sem perda de generalidade wi

caminho).

Ps(wi)wi //

(1 0)

²²

Pt(wi)

(1 0)²²

Ps(wi) ⊕ Y t

⎛⎝ wi 0

0 ∂t

⎞⎠

//

(1 0)T

²²

Pt(wi) ⊕ Y t−1

(1 0)T

²²Ps(wi)

wi // Pt(wi)

onde X t = Ps(wi) ⊕ Y t e X t−1 = Pt(wi) ⊕ Y t−1.

Sejam u = um ⋅ . . . ⋅ u1 e v = v1 ⋅ . . . ⋅ vn (se uma delas e trivial ademonstracao e similar). Como no lema 4.1 a decomposicao de ®∙ nos levaao diagrama

Ps(p) ⊕ Pt(u1)(p u1)T //

⎛⎝ 1 0

0 ´

⎞⎠

²²

Pt(p)

±r−1

²²Ps(p) ⊕ Y r (x y)T //

(1 0)T

²²

Xr−1

"r−1

²²Ps(p)

p® // Pt(®)v1 // Pt(v1)


onde ±r−1 e "r−1 sao restricoes de 'r−1 e Ãr−1 respectivamente, com±r−1"r−1 = ®. Como ® e irredutıvel temos ±r−1 secao ou "r−1 retracao.

Se ±r−1 e secao temos o diagrama

Ps(p) ⊕ Pt(u1)(p u1)T //

⎛⎝ 1 0

0 ´

⎞⎠

²²

Pt(p)

(1 0)

²²Ps(p) ⊕ Y r

⎛⎝ p 0

µ ∂r

⎞⎠

//

(1 0)T

²²

Pt(p) ⊕ Y r−1

(® ")T

²²Ps(p)

p® // Pt(®)v1 // Pt(v1)

Pela comutatividade temos ´µ = u1 e µ® = 0. Logo Y r = Pt(u1) ⊕ Y r e

µ = (u1 µ). Procedendo como no lema 4.1 obtemos µ = 0. Prosseguindoindutivamente como no lema 4.1, usando o fato de u comecar no cume e®v1 = 0 obtemos X∙ = M(u ⋅ p ⋅ w)⊕ Y ∙ e que '∙ e secao.

Se "r−1 e retracao temos o diagrama

Ps(p) ⊕ Pt(u1)(p u1)T //

⎛⎝ 1 0

0 ´

⎞⎠

²²

Pt(p)

(® ±)

²²

// 0

²²Ps(p) ⊕ Y r

⎛⎝ p® µ

0 ∂r

⎞⎠

//

(1 0)T

²²

Pt(®) ⊕ Y r−1

(1 0)T

²²

(! ³)T // Xr−2

²²Ps(p)

p® // Pt(®)v1 // Pt(v1)

Suponha que µ ∕= 0. Entao pela comutatividade temos p± ∕= 0 o que implicaY r−1 = Pt(®) ⊕ Y r−1 (A gentle e p® caminho implica que ® e uma das

componentes de ±). Segue µ = (p® µ) o que nos da, como no lema 4.1, umcomplexo indecomponıvel que nao e string (p® ⋅ (p®)−1). Portanto temosµ = 0. Temos ainda pela comutatividade Xr−2 = Pt(v1) ⊕ Y r−1 e assimobtemos o diagrama


Pt(®) ⊕ Y r−1

⎛⎝ v1 !

0 ∂r−1

⎞⎠

//

(1 0)T

²²

Pt(v1) ⊕ Y r−2

(1 0)T

²²Pt(®)

v1 // Pt(v1)

Procedendo como no lema 4.1 obtemos ! = 0. De fato, pela comutatividadetemos ®! = 0 implicando ! possui v1 como uma componente produzindoum complexo indecomponıvel que nao e string. Prosseguindo indutivamentecomo no lema 4.1 e usando que v comeca no abismo obtemos que X∙ =M(v−1 ⋅ (p®) ⋅ w)⊕ Y ∙ e que Ã∙ e retracao. □

Usando dualidade no lema acima e apos proceder a devida translacao demodo a fazer coincidir, no mesmo nıvel, as componentes de w, obtemos oproximo lema dual.

Lema 4.7 Seja w = w ⋅ p ⋅ u−1 um passeio generalizado que termina em umcume, onde u = ®1 ⋅ . . . ⋅ ®m e um passeio generalizado direto ou uma stringtrivial e p um passeio direto nao trivial que nao termina em um abismo (comopasseio). Seja ® a unica flecha tal que p® e passeio (direto). Entao ® induzum morfismo de complexos

®∙ : M(w ⋅ p ⋅ u−1) −→ M(w ⋅ (p®) ⋅ v)(−l(u)− l(v))

irredutıvel na categoria minimal P ∙min(A).

(II) w = u ⋅ (®p) ⋅w. Pelo lema 3.4 (a) existe um passeio generalizadodireto v = v1 ⋅v2 ⋅ . . . ⋅vk ∈ SG ou uma string trivial v = e½j tal que v−1 ⋅p ⋅wcomeca em um abismo. Sejam M(u ⋅ (®p) ⋅w) e M(v−1 ⋅p ⋅w) os respectivoscomplexos string em P ∙

min(A). Definimos ®i = 1 nas componentes de w e,para as demais componentes considere o diagrama abaixo (se u ou v saotriviais desconsidere os respectivos morfismos ui ou vi).

⋅ ⋅ ⋅ // Ps(u1)u1 //

²²

Ps(®)®p //

®

²²

Pt(®p)//

(1 0)²²

0 //

²²

0 //

²²

⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅ // 0 // Ps(p)(p v1) // Pt(p) ⊕ Pt(v1)

(0 v2)T// Pt(v2)v3 // Pt(v3)

// ⋅ ⋅ ⋅


Como ®p ∕= 0 e A e gentle temos ®v1 = 0. Como u ⋅ (®p) e passeiogeneralizado temos u1® = 0. O diagrama e comutativo nas componentes etemos bem definido um morfismo de complexos ®∙.

Lema 4.8 O morfismo de complexos

®∙ : M(u ⋅ (®p) ⋅ w) −→ M(v−1 ⋅ p ⋅ w).acima e irredutıvel na categoria minimal P ∙

min(A).

Demonstracao. Similar a do lema 4.6 □

Apos a devida translacao, que faz coincidir as componentes de w, obtemospor dualidade o lema seguinte.

Lema 4.9 Seja w = w ⋅ (®p)−1 ⋅ u−1 um passeio generalizado que terminaem um cume, onde u = ®1 ⋅ . . . ⋅ ®m e um passeio generalizado direto ouuma string trivial e p um passeio direto nao trivial. Entao ® ∈ Q1 induz ummorfismo de complexos

®∙ : M(w ⋅ (®p)−1 ⋅ u−1) −→ M(w ⋅ p−1 ⋅ v)(−l(u)− l(v))

que e irredutıvel na categoria minimal P ∙min(A).

Os lemas anteriores fornecem uma lista de morfismos irredutıveis na cate-goria minimal P ∙

min(A). Um correspondencia biunıvoca entre irredutıveis nacategoria minimal e na categoria homotopica Kom−(PA) foi estabelecida em[18], onde se encontra uma prova do teorema seguinte.

Teorema 4.2 Seja Ã um morfismo na categoria homotopica K−(PA) e sejaf ∙ ∈ P ∙

min(A) um seu representante, isto e, Ã = [f ∙]. Entao Ã e irredutıvelem Kom−(PA) se e somente se f ∙ e irredutıvel em P ∙

min(A).

Demonstracao do teorema 4.1. Aplique os lemas 4.1 a 4.9, o teorema4.2 e a equivalencia entre as categorias K−,b(PA) e Db(A).

Exemplos. (1) Seja A = K(Q, I) a algebra gentle definida pelo quiver com

relacoes abaixo, ja com polarizacao fixada (notacao x¾(x)"(x) ).


1b−+ //

a++

.. 2

c−−

pp I =< a2, c2 >

(i) O passeio generalizado c nao comeca e nao termina em um cumepois, respectivamente, c ⋅ c e c ⋅ b−1 sao passeios generalizados. Aplicandoa proposcao 4.1 obtemos os mergulhos naturais irredutıveis ℎ¹ : M(c) −→M(b−1 ⋅ abc ⋅ c) e ¹ℎ : M(c) −→ M(c ⋅ (ab)−1 ⋅ b)(1 − 1) explicitados nosrespectivos diagramas abaixo.

M(c)

ℎ¹

²²

0 //

²²

P2c //

(0 1)

²²

P2

M(b−1 ⋅ abc ⋅ c) P1(b abc) // P2 ⊕ P2

(0 c)T // P2

M(c)

¹ℎ

²²

0 //

²²

P2c //

(0 1)

²²

P2

(0 1)

²²M(c ⋅ (ab)−1 ⋅ b) 0 // P1 ⊕ P2 ⎛

⎝ b ab0 c

⎞⎠

// P2 ⊕ P2

(ii) O passeio generalizado b nao comeca em um abismo pois a−1 ⋅ b epasseio generalizado. O passeio D que contem a e termina em um abismocomo passeio e D = abc. Levando (abc)−1 ⋅b a comecar em um cume obtemosa projecao natural c¼ : M(b ⋅ (abc)−1 ⋅ b) −→ M(b) explicitada no diagramaabaixo.

0 //

²²

P1 ⊕ P1

⎛⎝ b abc

0 b

⎞⎠

//

(1 0)T

²²

P2 ⊕ P2

(1 0)T

²²

// 0

²²0 // P1

b // P2// 0

(iii) O passeio generalizado c nao termina em um abismo pois c ⋅ c epasseio generalizado. Como c termina em um abismo como passeio (D = c)levamos c ⋅ c a terminar em um cume obtendo a projecao natural ¼c : M(c ⋅c ⋅ b−1) −→ M(c)(1− 1).


0 //

²²

P2(0 c) // P1 ⊕ P2

(0 1)T

²²

(b c)T // P2

²²

// 0

²²0 // P2

c // P2// 0 // 0

(iv) O passeio generalizado bc ⋅ c ⋅ b−1 comeca em um cume (ab ∈ I). Vejaque ele e da forma

e−11︸︷︷︸u

⋅ bc︸︷︷︸®p

⋅ c ⋅ b−1︸︷︷︸w

.

Portanto pelo item iii(a) do teorema 4.1 temos um morfismo irredutıvel in-duzido pela flecha b

b∙ : M(bc ⋅ c ⋅ b−1) −→ M(c ⋅ c ⋅ b−1)

explicitado no diagrama abaixo.

0 //

²²

P1(0 bc) //

b²²

P1 ⊕ P2

Id²²

(b c)T // P2// 0

²²0 // P2 (0 c)

// P1 ⊕ P2(b c)T

// P2// 0

(2) Seja A = k(Q, I) a algebra gentle definida pelo quiver com relacoesabaixo, com polarizacao ja fixada.

5

d+−²²

1a−+ // 2

b−+ // 3c+− // 4

I =< bc >

(i) A string trivial e2 nao comeca em um cume pois a composicao a+ ⋅ e+2esta definida (temos "(a) = ¾(e2) = +1). Como a comeca em um cumecomo passeio obtemos o mergulho natural irredutıvel M(e2) ↪→ M(a).

0 //

²²

P2// 0

²²P1

a // P2// 0

Por outro lado, como −"(e−12 ) = ¾(b) = −1 temos que e−1

2 ⋅ b = b estadefinido. Logo b−1 ⋅ e2 = b−1 e daı obtemos c−1︸︷︷︸

v−1

⋅ b−1︸︷︷︸®−1

⋅ e2︸︷︷︸u−1

. Portanto


pelo item (iii c) do teorema 4.1 a flecha b induz o morfismo irredutıvel b∙ :M(e2) → M(c)(−1), onde a translacao obtida segue de l(e2) = 0 e l(v) = 1.

0 //

²²

P2//

b²²

0

²²0 // P3

c // P4

(ii) O passeio generalizado b ⋅ d−1 comeca em um cume. Escrevemos naforma b︸︷︷︸

u

⋅ d−1︸︷︷︸p−1

⋅ e5︸︷︷︸w

. Pelo ıtem (iii b) do teorema 4.1 obtemos o morfismo

irredutıvel c∙ : M(b ⋅ d−1) → M((dc)−1) induzido pela flecha c.

P2 ⊕ P5(b d)T //

(0 1)T

²²

P3

c

²²P5

dc // P4

Por outro lado b ⋅ d−1 termina em um cume e, deste ponte de vista, podemosescreve-lo na forma e−1

2︸︷︷︸w

⋅ b︸︷︷︸D

⋅ d−1︸︷︷︸u−1

. Como b termina em um abismo

como passeio obtemos uma projecao natural M(b ⋅ d−1) ↠ M(e−12 ).

P2 ⊕ P5(b d)T //

(1 0)T

²²

P3

²²P2

// 0

Capıtulo 5

Triangulos de Auslander-Reiten

No capıtulo anterior apresentamos, no teorema 4.1, uma lista de 10 morfis-mos entre complexos string que sao irredutıveis na categoria derivada limi-tada Db(A) de uma algebra gentle A. Neste capıtulo mostraremos que estalista e completa, ou seja, a menos de translacao, sao estes morfismos que for-mam bases dos bimodulos de morfismos irredutıveis entre complexos stringna categoria derivada limitada de uma algebra gentle. Apresentamos aindauma descricao explıcita e relativamente simples de todos os triangulos deAuslander-Reiten formados por complexos string em Db(A). Nao custa lem-brar que, neste capıtulo, trabalhamos com modulos a esquerda.

Seja A = K(Q, I) uma algebra gentle de dimensao finita sobre um corpoK munida de aplicacoes de polarizacao ¾, " : Q1 → { ±1}. Ao longo destecapıtulo as letras u, v, C, D, p, q e ® sao como no teorema 4.1.

Se w ∈ SG e um passeio generalizado, ou uma string trivial, que naocomeca em um cume entao, pelo teorema 4.1, existe uma imersao naturalentre os complexos

ℎ¹ : M(w) −→ [1]M(w) := M(v−1 ⋅ C ⋅ w)

que e irredutıvel em Db(A).

Se w comeca em um cume e facil ver que ele possui uma das quatro formasabaixo.

(i) w = u ⋅D−1 ⋅ w (iii) w = u ⋅ (®q) ⋅ w

(ii) w = u ⋅ p−1 ⋅ w (iv) w = u

Vamos assumir que, estando na forma (iv), w nao termine em um abismo,ou seja, existe u ⋅ ® ⋅ v com v passeio generalizado direto terminando em

66

CAPITULO 5. TRIANGULOS DE AUSLANDER-REITEN 67

um abismo. Pelo teorema 4.1 para cada uma das formas acima existe ummorfismo de complexos irredutıvel em Db(A).

(i) c¼ : M(u ⋅D−1 ⋅ w) −→ [1]M(w) := M(w)

(ii) ®∙ : M(u ⋅ p−1 ⋅ w) −→ [1]M(w) := M(v−1 ⋅ (p®)−1 ⋅ w)

(iii) ®∙ : M(u ⋅ (®q) ⋅ w) −→ [1]M(w) := M(v−1 ⋅ q ⋅ w)

(iv) ®∙ : M(u) −→ [1]M(w) := M(v−1)

De maneira dual, se w nao termina em um cume o teorema 4.1 define ummergulho canonico irredutıvel em Db(A).

¹ℎ : M(w) −→ M(w)[1] := M(w ⋅ C−1 ⋅ v)(1− l(v))

Ainda por dualidade, se w termina em um cume entao ele possui uma dasformas abaixo.

(i)′ w = w ⋅D ⋅ u−1 (iii)′ w = w ⋅ (®q)−1 ⋅ u−1

(ii)′ w = w ⋅ p ⋅ u−1 (iv)′ w = u−1

Assumindo que na forma (iv)′ w nao comeca em um abismo o teorema 4.1define, para cada uma das formas acima, um morfismo irredutıvel em Db(A).

(i)′ ¼c : M(w ⋅D ⋅ u−1) −→ M(w)[1] := M(w)(1− l(u))

(ii)′ ®∙ : M(w ⋅ p ⋅ u−1) −→ M(w)[1] := M(w ⋅ (p®) ⋅ v)(t)

(iii)′ ®∙ : M(w ⋅ (®q)−1 ⋅ u−1) −→ M(w)[1] := M(w ⋅ q−1 ⋅ v)(t)

(iv)′ ®∙ : M(u−1) −→ M(w)[1] := M(v)(t)

onde t = −l(u) − l(v). Uma verificacao simples mostra que todos os 10morfismos listados no teorema 4.1 estao presentes em um dos casos acima.Tambem e facil ver, pela dualidade, que nas condicoes acima temos [1]M(w) =M(w−1)[1]. Assim, a menos nos casos em que w = u termina em um abismo


ou w = u−1 comeca em um abismo, existem dois morfismos irredutıveispartindo de um complexo string M(w).

[1]M(w)

M(w)

99ttttttttt

%%JJJJJJJJJ

M(w)[1]

Outra consequencia da dualidade e que estes dois morfismos que partem deM(w) independem (a menos de translacao) da polarizacao ¾, " escolhida parao quiver Q, uma vez que polarizacoes distintas implicam somente troca dorepresentante da string generalizada de M(w), ou seja, M(w−1) (pela cons-trucao, os complexos M(w) e M(w−1), em geral, diferem por translacao).No restante deste texto denotamos w[1] (resp. [1]w) o passeio generalizadoou a string trivial tal que M(w)[1] = M(w[1]) (resp. [1]M(w) = M([1]w)).

Sejam os conjuntos

ℎℐ = {w ∈ SG; w = u e direto ou trivial, comeca em um cume e terminaem um abismo };

ℐℎ = {w ∈ SG; w = u−1 e inverso ou trivial, comeca em um abismo etermina em um cume };

ℐ = ℎℐ ∪ ℐℎ.

Ja vimos que se w ∕∈ ℎℐ entao existe um morfismo irredutıvel M(w) −→[1]M(w). Por outro lado, se w ∕∈ ℐℎ existe M(w) −→ M(w)[1] irredutıvelem Db(A). O proximo lema mostra que, para todo w ∈ SG, pelo menos umdeles existe.

Lema 5.1 ℎℐ ∩ ℐℎ = ∅, ou seja, para todo w ∈ SG existe um morfismoirredutıvel em Db(A) partindo de M(w).

Demonstracao. Suponha que w ∈ ℎℐ, ou seja, w = u e direto ou trivial,comeca em um cume e termina em um abismo. Se w nao e trivial entao elenao e inverso e portanto w ∕∈ ℐℎ. Se w = e½i e trivial entao, pela conexidadedo quiver Q, existe uma flecha ® ∈ Q1 com s(®) = i ou existe uma flecha


¯ ∈ Q1 com t(¯) = i 1. No primeiro caso, como por suposicao w termina emum abismo e½i ⋅® nao esta definido, logo ¾(®) = −½. Segue que a composicaoe−½i ⋅ ® esta definida o que implica ®−1 ⋅ e½i = ®−1. Assim w = e½i nao comecaem um abismo e portanto w ∕∈ ℐℎ. O caso t(¯) = i e analogo. □

Em breve mostraremos que se w ∈ ℐ entao existe um morfismo irredutıvelpartindo de M(w), a saber, aquele definido pelo teorema 4.1, e que este eunico no seguinte sentido. Qualquer outro morfismo irredutıvel partindo deM(w) e multiplo deste, a direita ou a esquerda, por um morfismo invertıvel.

Lema 5.2 Seja w ∈ SG um passeio generalizado ou uma string trivial.

(a) Se w ∕∈ ℐℎ entao existe um morfismo M(w)[1] −→ [1]

(M(w)[1]

)irredutıvel em Db(A).

(b) Se w ∕∈ ℎℐ entao existe um morfismo [1]M(w) −→ ([1]M(w)

)[1]

irredutıvel em Db(A).

Demonstracao. Vamos provar (a). A prova de (b) e dual (usando w−1

em (a)). Se w ∕∈ ℐℎ entao existe M(w) → M(w)[1]. Seja w[1] ∈ SG talque M(w[1]) = M(w)[1]. Se nao existe M(w)[1] −→ [1]

(M(w)[1]

)entao

w[1] ∈ ℎℐ, isto e, w[1] = u e direto ou trivial, comeca em um cume etermina em um abismo. Observe que w[1] = u se e somente se um dos casosabaixo ocorre:

(i) w = u ⋅D ⋅ (u′)−1, mas neste caso a existencia de D contradiz o fatode u terminar em um abismo.

(ii) w = (u′)−1 e existe ® ∈ Q1 tal que u−1 ⋅ ®−1 ⋅ (u′)−1 ∈ SG. Nestecaso a existencia de ® ⋅ u ∈ SG contradiz o fato de w[1] = u comecar em umcume.

Portanto w[1] ∕∈ ℎℐ e a demonstracao esta completa. □

Vejamos algumas consequencias dos lemas acima. Seja w ∈ SG um pas-seio generalizado ou uma string trivial. Se w ∈ ℎℐ entao pelo lema 5.1 temosque w ∕∈ ℐℎ e existe um morfismo irredutıvel M(w) −→ M(w)[1]. Pelo lema5.2 obtemos a sequencia

M(w) −→ M(w)[1] −→[1]

(M(w)[1]

).

1Lembre que, desde o inıcio, estamos considerando Q1 ∕= ∅. Se o quiver nao possuiflechas a algebra e semisimples e sua categoria derivada e conhecida.


Por dualidade, se w ∈ ℐℎ o lema 5.2 fornece a sequencia de morfismos irre-dutıveis

M(w) −→ [1]M(w) −→ ([1]M(w)

)[1].

Em breve veremos que as duas sequencias acima definem triangulos de Aus-lander - Reiten em Db(A). Por outro lado, se w ∕∈ ℐ entao as letras (a) e (b)do lema 5.2 produzem o diagrama abaixo formado por morfismos irredutıveisem Db(A).

[1]M(w) //(

[1]M(w))[1]

M(w)

::uuuuuuuuuu

$$JJJJJJJJJ

M(w)[1] //[1]

(M(w)[1]

)

Vamos mostrar a seguir que, neste caso, temos(

[1]M(w))[1]

=[1]

(M(w)[1]

).

Antes sera necessario identificarmos as possıveis formas que w pode assumir.

Lema 5.3 Seja w ∈ SG um passeio generalizado, ou uma string trivial.Entao w possui uma das seguintes formas:

1. Existe uma triseccao w = Ã−w ⋅ w ⋅ −→w tal que [1]w = w′ ⋅ w ⋅ −→w ew[1] =

Ã−w ⋅ w ⋅ w′′.

2. w = u ⋅ u−1, onde u e u sao nao triviais. Neste caso existem asseguintes possibilidades:

(a) w = u ⋅D−1 ⋅ w = w ⋅ D ⋅ u−1, onde u = u′ ⋅ D e u = u′′ ⋅D.

(b) w = u ⋅D−1 ⋅ w = w ⋅ p ⋅ u−1, onde u = u′ ⋅ p e u = u′′ ⋅D.

(c) w = u ⋅ p−1 ⋅ w = w ⋅D ⋅ u−1, onde u = u′ ⋅D e u = u′′ ⋅ p.(d) w = u ⋅ p−1 ⋅ w = w ⋅ p ⋅ u−1, onde u = u′ ⋅ p e u = u′′ ⋅ p.

3. w = u ⋅ L ⋅ u−1, onde L e uma string direta ou inversa nao trivial.Neste caso existem as seguintes possibilidades:

(a) w = u ⋅D−1 ⋅ w = w ⋅ (®q)−1 ⋅ u−1, onde w = u−1 e w = u.


(b) w = u ⋅ (®q) ⋅ w = w ⋅D ⋅ u−1, onde w = u−1 e w = u.

(c) w = u ⋅ p−1 ⋅ w = w ⋅ (®q)−1 ⋅ u−1, onde w = u−1 e w = u.

(d) w = u ⋅ (®q) ⋅ w = w ⋅ p ⋅ u−1, onde w = u−1 e w = u.

4. w = u ou w = u−1. Neste caso existem as seguintes possibilidades:

(a) w = u−1 e nao comeca em um cume.

(b) w = u e nao termina em um cume.

(c) w = u ⋅D−1 ⋅ w = u−1, onde u e uma string trivial.

(d) w = w ⋅D ⋅ u−1 = u, onde u e uma string trivial.

(e) w = u ⋅ p−1 ⋅ w = u−1, onde u e uma string trivial.

(f) w = w ⋅ p ⋅ u−1 = u, onde u e string trivial.

(g) w = u = u−1, onde u e u sao string triviais.

Onde:

∙ u, u ∈ SG sao passeios generalizados diretos ou string triviais que comecamem um cume.

∙ D, D sao passeios diretos nao triviais que terminam em um abismo comopasseios.

∙ p, p e q sao passeios diretos nao triviais com p, p nao terminando em umabismo como passeios e q nao comecando em um cume como passeio.

∙ ® ∈ Q1 e uma flecha.

Demonstracao. Vamos considerar todos os casos.

(I) w nao comeca e nao termina em um cume. Neste caso temos

[1]w = v−1 ⋅C ⋅w e w[1] = w⋅C−1 ⋅v. Entao, existe uma triseccao w = Ã−w ⋅w⋅−→wcom w = w e Ã−w , −→w string triviais.

(II) w nao comeca mas termina em um cume. Entao temos asseguintes possibilidades (veja pagina 67).

(i)′ w = w ⋅ D ⋅ u−1. Neste caso temos [1]w = v−1 ⋅ C ⋅ w e w[1] = w.Entao, existe triseccao w = Ã−w ⋅ w ⋅ −→w com w = w, Ã−w trivial e −→w = D ⋅u−1.

(ii)′ w = w ⋅p ⋅u−1. De maneira analoga ao caso anterior temos triseccaow = Ã−w ⋅ w ⋅ −→w com w = w, Ã−w trivial e −→w = p ⋅ u−1.


(iii)′ w = w ⋅ (®q)−1 ⋅ u−1. De maneira analoga ao caso anterior temostriseccao w = Ã−w ⋅ w ⋅ −→w com w = w, Ã−w trivial e −→w = (®q)−1 ⋅ u−1.

(iv)′ w = u−1. Neste caso nao existe triseccao e temos o caso 4(a).

(III) w comeca mas nao termina em um cume. Segue por dual-idade de (II) que o unico caso quando nao existe triseccao e o caso w = uque corresponde ao caso 4(b).

(IV) w comeca e termina em um cume. De acordo com as paginas66 e 67, temos as seguintes possibilidades:

1. w = u ⋅ D−1 ⋅ w = w ⋅ D ⋅ u−1. Em virtude de D−1 ∕= D temos duaspossibilidades:

∙ D−1 fica a esquerda de D em w. Entao, existe triseccao w =Ã−w ⋅ w ⋅ −→w com Ã−w = u ⋅D−1 e −→w = D ⋅ u−1.

∙ D−1 fica a direita de D em w. Este caso corresponde ao caso2(a).

2. w = u ⋅D−1 ⋅w = w ⋅ p ⋅ u−1. Tendo em vista que D−1 ∕= p temos duaspossibilidades:

∙ D−1 fica a esquerda de p em w. Entao, existe triseccao w =Ã−w ⋅ w ⋅ −→w com Ã−w = u ⋅D−1 e −→w = p ⋅ u−1.

∙ D−1 fica a direita de p em w. Este caso corresponde ao caso 2(b).

3. w = u ⋅D−1 ⋅ w = w ⋅ (®q)−1 ⋅ u−1. Em virtude de l(®q) > 0, D−1 naopoder ficar a direita de (®q)−1 em w temos duas possibilidades:

∙ D−1 fica a esquerda de (®q)−1 em w. Entao, existe triseccaow = Ã−w ⋅ w ⋅ −→w com Ã−w = u ⋅D−1 e −→w = (®q)−1 ⋅ u−1.

∙ D−1 = (®q)−1. Este caso corresponde ao caso 3(a).

4. w = u ⋅D−1 ⋅ w = u−1. Este caso corresponde ao caso 4(c).

5. w = u ⋅ p−1 ⋅w = w ⋅D ⋅ u−1. Por dualidade com (2) temos ou triseccaoou caso que corresponde a 2(c).

6. w = u ⋅ p−1 ⋅ w = w ⋅ p ⋅ u−1. Em virtude de p−1 ∕= p temos duaspossibilidades:


∙ p−1 fica a esquerda de p em w. Entao, existe triseccao w =Ã−w ⋅ w ⋅ −→w com Ã−w = u ⋅ p−1 e −→w = p ⋅ u−1.

∙ p−1 fica a direita de p em w. Este caso corresponde ao caso 2(d).

7. w = u ⋅ p−1 ⋅ w = w ⋅ (®q)−1 ⋅ u−1. Em virtude de l(®q) > 0, p−1 naopoder ficar a direita de (®q)−1 em w temos duas possibilidades:

∙ p−1 fica a esquerda de (®q)−1 em w. Entao, existe triseccaow = Ã−w ⋅ w ⋅ −→w com Ã−w = u ⋅ p−1 e −→w = (®q)−1 ⋅ u−1.

∙ p−1 = (®q)−1. Este caso corresponde ao 3(c).

8. w = u ⋅ p−1 ⋅ w = u−1. Este caso corresponde ao 4(e).

9. w = u ⋅ (®q) ⋅w = w ⋅D ⋅ u−1. Por dualidade com (3) temos ou triseccaoou caso que corresponde ao ıtem 3(b).

10. w = u ⋅ (®q) ⋅w = w ⋅p ⋅ u−1. Por dualidade com (7) temos ou triseccaoou caso que corresponde ao ıtem 3(d).

11. w = u ⋅ (®q) ⋅ w = w ⋅ (®q)−1 ⋅ u−1. Em virtude de l(®q) > 0, segueque ®q nao pode ficar a direita de (®q)−1 em w. Temos ainda que®q ∕= (®q)−1. Por isso neste caso existe triseccao w = Ã−w ⋅ w ⋅ −→w comÃ−w = u ⋅ (®q) e −→w = (®q)−1 ⋅ u−1.

12. w = u ⋅ (®q) ⋅ w = u−1. Este caso e impossıvel pois l(®q) > 0.

13. w = u = w ⋅D ⋅ u−1. Este caso corresponde ao item 4(d).

14. w = u = w ⋅ p ⋅ u−1. Este caso corresponde ao item 4(f).

15. w = u = w ⋅ (®q)−1 ⋅ u−1. Este caso e impossıvel pois l(®q) > 0.

16. w = u = u−1. Este caso corresponde ao item 4(g).

A demonstracao esta completa. □

Lema 5.4 Seja w ∈ (SG−ℐ) um passeio generalizado, ou uma string trivial,que nao pertence a ℐ. Entao

([1]M(w)

)[1]

= [1]

(M(w)[1]

):= [1]M(w)[1].


Demonstracao. Vamos analisar todas as possibilidades.


Ã−w ⋅ w ⋅ w′′. Neste caso o lema segue de forma imediata.

2. w = u ⋅ u−1, onde u e u sao nao triviais. Neste caso existem as seguintespossibilidades:

(a) w = u ⋅D−1 ⋅ w = w ⋅ D ⋅ u−1, onde u = u′ ⋅ D e u = u′′ ⋅D.

Temos w = u′ ⋅ D ⋅ D−1 ⋅ (u′′)−1. De w = u ⋅ D−1 ⋅ w temos

[1]w = (u′′)−1 e de w = w ⋅ D ⋅ u−1 temos w[1] = u′. Temos

l(D) = l(D) = 1. Em virtude de D e D terminarem em um

abismo como passeios, nao existe flecha a tais que Da ou Dae passeio, mas isso implica tambem (A - gentle) que nao existe

flecha b tal que D ⋅ b ou D ⋅ b e passeio generalizado. Por issoD e D terminam em um abismo como passeios generalizados eobtemos: [1]u

′ = ((u′′)−1)[1] = e½t(D).

M ((u′′)−1)

D∙''OOOOOOOOOOO

M(w)

c¼

99ttttttttttt

¼c%%KKKKKKKKKKK

M(e½t(D)

)(t)

M(u′)(t)D∙

77ooooooooooo

onde t = 1− l(u).

(b) w = u ⋅D−1 ⋅ w = w ⋅ p ⋅ u−1, onde u = u′ ⋅ p e u = u′′ ⋅D. Temosw = u′ ⋅ p ⋅ D−1 ⋅ (u′′)−1. De w = u ⋅ D−1 ⋅ w com w = (u′′)−1

temos [1]w = (u′′)−1 e de w = w ⋅ p ⋅ u−1 com w = u′ temosw[1] = u′ ⋅ (p®) ⋅ v para algum v.

De w[1] = u′ ⋅ (p®) ⋅ w com w = v e p uma flecha temos [1](w[1]) =v−1 ⋅® ⋅v para algum v. Mas como D termina em um abismo comopasseio segue que nao existe flecha a com Da ∈ S, logo nao existeflecha a com a−1 ⋅ ® ∈ SG o que implica que v e um string triviale [1](w[1]) = ® ⋅ v.Tendo em vista que u′′ ⋅ D ⋅ (® ⋅ v) ∈ SG, temos ([1]w)[1] =((u′′)−1)[1] = ® ⋅ v.


M ((u′′)−1)

D∙))RRRRRRRRRRRRRR

M(w)

c¼

66nnnnnnnnnnnn

®∙((PPPPPPPPPPPP

M (® ⋅ v) (t)

M(u′ ⋅ (p®) ⋅ v)(t)p∙

55llllllllllllll

onde t = −l(u)− l(v).

(c) w = u ⋅ p−1 ⋅w = w ⋅D ⋅ u−1, onde u = u′ ⋅D e u = u′′ ⋅ p. Temosw = u′ ⋅D ⋅p−1 ⋅ (u′′)−1. De w = u ⋅p−1 ⋅w com w = (u′′)−1 temos

[1]w = v−1 ⋅ (p®)−1 ⋅ (u′′)−1 para algum v e de w = w ⋅D ⋅ u−1 comw = u′ temos w[1] = u′.De [1]w = w ⋅ (p®)−1 ⋅ (u′′)−1 com w = v−1 e p uma flecha temos([1]w)[1] = v−1 ⋅ ®−1 ⋅ v para algum v. Como em 2(b) temos que ve um string trivial e ([1]w)[1] = v−1 ⋅ ®−1.

Em virtude de u′ ⋅D ⋅ (® ⋅ v) ∈ SG, temos [1](w[1]) = [1]((u′)−1) =

v−1 ⋅ ®−1.

M (v−1 ⋅ (p®)−1 ⋅ (u′′)−1)

p∙ **UUUUUUUUUUUUUUUU

M(w)®∙

55lllllllllllllll

¼c))RRRRRRRRRRRRRRR M (v−1 ⋅ ®−1) (t)

M(u′)(t)D∙

44iiiiiiiiiiiiiiiii

onde t = 1− l(u).

(d) w = u ⋅ p−1 ⋅ w = w ⋅ p ⋅ u−1, onde u = u′ ⋅ p e u = u′′ ⋅ p. Temosw = u′ ⋅ p ⋅ p−1 ⋅ (u′′)−1.

De w = u ⋅ p−1 ⋅ w com w = (u′′)−1 temos [1]w = v−1 ⋅ (p®)−1 ⋅(u′′)−1 para algum v e de w = w ⋅ p ⋅ u−1 com w = u′ temosw[1] = u′ ⋅ (p®) ⋅ v para algum v.

De [1]w = w ⋅ (p®)−1 ⋅ (u′′)−1 com w = v−1 e p uma flecha temos([1]w)[1] = v−1 ⋅ ®−1 ⋅ v para algum v.

De w[1] = u′ ⋅ (p®) ⋅ w com w = v e p uma flecha temos

[1](w[1]) = v−1 ⋅ ® ⋅ v para algum v. Mas claro que v = ® ⋅ v e

v = ® ⋅ v. Por isso ([1]w)[1] = [1](w[1]) = v−1 ⋅ ®−1 ⋅ ® ⋅ v.


M (v−1 ⋅ (p®)−1 ⋅ (u′′)−1)

p∙ **VVVVVVVVVVVVVVVVVV

M(w)®∙

55lllllllllllllll

®∙))RRRRRRRRRRRRRRR M (v−1 ⋅ ®−1 ⋅ ® ⋅ v) (t)

M(u′ ⋅ p® ⋅ v)(t)p∙

44hhhhhhhhhhhhhhhhhh


3. w = u ⋅ L ⋅ u−1, onde L e uma string direta ou inversa nao trivial.Neste caso existem as seguintes possibilidades:

(a) w = u ⋅D−1 ⋅ w = w ⋅ (®q)−1 ⋅ u−1, onde w = u−1 e w = u.

Temos w = u ⋅D−1 ⋅ u−1 = u ⋅ (®q)−1 ⋅ u−1.

De w = u ⋅ D−1 ⋅ w com w = (u)−1 temos [1]w = u−1 e dew = w ⋅ (®q)−1 ⋅ u−1 com w = u temos w[1] = u ⋅ q−1 ⋅ v paraalgum v.

Uma vez que D = ®q, q termina em um abismo segue w[1] =

u ⋅ D−1 ⋅ w com w = v e D = q. Por isso temos [1](w[1]) = v.

Em virtude de u ⋅ ® ⋅ v ∈ SG, temos ([1]w)[1] = (u−1)[1] = v.

M (u−1)

®∙((QQQQQQQQQQQQ

M(w)

c¼

77oooooooooooo

®∙''OOOOOOOOOOOO

M (v) (t)

M(u ⋅ q−1 ⋅ v)(t)c¼

66mmmmmmmmmmmm


(b) w = u ⋅ (®q) ⋅ w = w ⋅ D ⋅ u−1, onde w = u−1 e w = u. Temosw = u ⋅ (®q) ⋅ u−1 = u ⋅D ⋅ u−1.

De w = u ⋅ (®q) ⋅ w com w = (u)−1 temos [1]w = v−1 ⋅ q ⋅ u−1

para algum v e de w = w ⋅D ⋅ u−1 com w = u temos w[1] = u.

Tendo em vista que D = ®q, q termina em um abismo, entao

[1]w = w ⋅ D ⋅ u−1 com w = v−1 e D = q. Por isso temos( [1]w)[1] = v−1.


Por causa de u ⋅ ® ⋅ v ∈ SG, temos [1](w[1]) = [1](u) = v−1.

M (v−1 ⋅ q ⋅ u−1)

¼c ((QQQQQQQQQQQQQ

M(w)

®∙

77oooooooooooo

¼c ''OOOOOOOOOOOOM (v−1) (t)

M(u)(t)

®∙

66mmmmmmmmmmmmm

onde t = 1− l(u).

(c) w = u ⋅ p−1 ⋅w = w ⋅ (®q)−1 ⋅ u−1, onde w = u−1 e w = u. Temosw = u ⋅ (®q)−1 ⋅ u−1 = u ⋅ p−1 ⋅ u−1.

De w = u ⋅ p−1 ⋅w com w = (u)−1 temos [1]w = v−1 ⋅ (p¯)−1 ⋅ u−1

para algum v e de w = w ⋅ (®q)−1 ⋅ u−1 com w = u temosw[1] = u ⋅ q−1 ⋅ v para algum v.

Por causa de p = ®q temos [1]w = w ⋅ (®q)−1 ⋅ u−1 com w = v−1

e q = q¯. Por isso temos ( [1]w)[1] = v−1 ⋅ (q¯)−1 ⋅ v para algum

v. E facil ver que v = v.

Como q¯ ∈ S temos w[1] = u ⋅ p−1 ⋅ w com w = v e p = q. Por

isso temos [1](w[1]) = v−1 ⋅ (q¯)−1 ⋅ v para algum v. E facil ver

que v = v.

Por isso ([1]w)[1] = [1](w[1]) = v−1 ⋅ (q¯)−1 ⋅ v.

M (v−1 ⋅ (p¯)−1 ⋅ u−1)

®∙**UUUUUUUUUUUUUUUUU

M(w)¯∙

66mmmmmmmmmmmmmm

®∙((QQQQQQQQQQQQQQ M (v−1 ⋅ (q¯)−1 ⋅ v) (t)

M(u ⋅ q−1 ⋅ v)(t)¯∙

44iiiiiiiiiiiiiiiii


(d) w = u ⋅ (®q) ⋅ w = w ⋅ p ⋅ u−1, onde w = u−1 e w = u. Temosw = u ⋅ (®q) ⋅ u−1 = u ⋅ p ⋅ u−1.

De w = u⋅(®q)⋅w com w = (u)−1 temos [1]w = v−1 ⋅q ⋅u−1 paraalgum v e de w = w ⋅ p ⋅ u−1 com w = u temos w[1] = u ⋅ (p¯) ⋅ vpara algum v.


Como p = ®q e p¯ ∈ S temos [1]w = w ⋅ p ⋅ u−1 com w = v−1 e

p = q. Por isso temos ( [1]w)[1] = v−1 ⋅ (q¯) ⋅ v para algum v. Efacil ver que v = v.

Em virtude de p = ®q temos w[1] = u ⋅ (®q) ⋅ w com w = v e

q = q¯. Por isso temos [1](w[1]) = v−1 ⋅ (q¯) ⋅ v para algum v. E

facil ver que v = v.

Por isso ([1]w)[1] = [1](w[1]) = v−1 ⋅ (q¯) ⋅ v.

M (v−1 ⋅ q ⋅ u−1)

¯∙**TTTTTTTTTTTTTTT

M(w)

®∙

77nnnnnnnnnnnn

¯∙''PPPPPPPPPPPP

M (v−1 ⋅ (q¯) ⋅ v) (t)

M(u ⋅ (p¯) ⋅ v)(t)®∙

44jjjjjjjjjjjjjjj


4. w = u ou w = u−1. Neste caso existem as seguintes possibilidades:

(a) w = u−1 e nao comeca em um cume. De w nao comecar em umcume temos [1]w = v−1 ⋅ C ⋅ u−1 para alguns v e C.

Existem dois casos:

i. u nao termina em um abismo. Neste caso existe uma flecha® tal que u ⋅ ® ∈ SG. Logo, temos w[1] = v para algum v talque u ⋅ ® ⋅ v ∈ SG. De u ⋅ ® ∈ SG temos que C® ∈ S, logo[1]w = w ⋅ p ⋅ u−1 com w = v−1 e p = C. Por isso temos

([1]w)[1] = v−1 ⋅ (C®) ⋅ v para algum v. E facil ver que v = v.De v nao comecar em um cume (® ⋅ v ∈ SG), temos [1](w[1]) =

(v)−1 ⋅C ⋅ v para alguns v e C. E facil ver que C = C® e v = v.Por isso ([1]w)[1] = [1](w[1]) = v−1 ⋅ (C®) ⋅ v.

M (v−1 ⋅ C ⋅ u−1)

®∙**TTTTTTTTTTTTTTTT

M(w)

ℎ¹

77nnnnnnnnnnnn

®∙''PPPPPPPPPPPP

M (v−1 ⋅ (C®) ⋅ v) (t)

M(v)(t)

ℎ¹

44jjjjjjjjjjjjjjjj



ii. u termina em um abismo. Neste caso nao existe w[1].De u terminar em um abismo segue que C termina em umabismo como passeio (de C® ∈ S para alguma flecha ® temosu ⋅® ∈ SG). Logo [1]w = w ⋅D ⋅ u−1 com w = v−1 e D = C.Por isso ( [1]w)[1] = v−1.

(b) w = u e nao termina em um cume. De w nao terminar em umcume temos w[1] = u ⋅ C−1 ⋅ v para alguns v e C.

Existem dois casos:

i. u nao termina em um abismo. Neste caso existe uma flecha® tal que u ⋅ ® ∈ SG. Logo, temos [1]w = v−1 para algumv tal que u ⋅ ® ⋅ v ∈ SG. De u ⋅ ® ∈ SG temos que C® ∈ S,logo w[1] = u ⋅ p−1 ⋅ w com w = v e p = C. Por isso temos

[1](w[1]) = v−1 ⋅ (C®)−1 ⋅v para algum v. E facil ver que v = v.De v−1 nao terminar em um cume ( ® ⋅ v ∈ SG), temos

( [1]w)[1] = v−1 ⋅ C−1 ⋅v para alguns v e C. E facil ver que C =C® e v = v. Por isso ([1]w)[1] = [1](w[1]) = v−1 ⋅ (C®)−1 ⋅ v.

M (v−1)

¹ℎ **UUUUUUUUUUUUUUUUU

M(w)

®∙

77nnnnnnnnnnnn

¹ℎ ''PPPPPPPPPPPPM (v−1 ⋅ (C®)−1 ⋅ v) (t)

M(u ⋅ C−1 ⋅ v)(t)®∙

44iiiiiiiiiiiiiiii

onde t = 1− l(v).

ii. u termina em um abismo. Neste caso nao existe [1]w. De uterminar em um abismo segue que C termina em um abismocomo passeio (de C® ∈ S para alguma flecha ® temos u ⋅ ® ∈SG). Logo w[1] = u ⋅D−1 ⋅ w com w = v e D = C. Por isso

[1](w[1]) = v.

(c) w = u ⋅D−1 ⋅ w = u−1, onde u e string trivial. Temos u = u′ ⋅D.De w = u ⋅ D−1 ⋅ w com w = (u′)−1 temos [1]w = (u′)−1. Deu′ ⋅D ∈ SG e l(D) = 1 temos ( [1]w)[1] = v para algum v.

Existe dois casos:

i. u nao termina em um abismo. Neste caso existe uma flecha® tal que u ⋅ ® ∈ SG. Temos v = ® ⋅ v′ e w[1] = v′. Porcausa que v′ nao comeca em um cume (® ⋅ v′ ∈ SG) temos


[1](w[1]) = (v)−1 ⋅ C ⋅ v′ para algum v com C = C®. Mas

w comeca em um cume e por isso C e string trivial. TemosC = ®. De D terminar em um abismo como passeio temosque v e trivial. Por isso ([1]w)[1] = [1](w[1]) = ® ⋅ v′ = v.

M ((u′)−1)

D∙''NNNNNNNNNNN

M(w)

c¼

88rrrrrrrrrr

®∙&&LLLLLLLLLL

M (v) (t)

M(v′)(t)ℎ¹

77ppppppppppp

onde t = −l(u)− l(v′).ii. u termina em um abismo. Neste caso nao existe w[1] e v e

string trivial. Por isso [1](w[1]) = e½t(u) para algum ½.

(d) w = w ⋅D ⋅ u−1 = u, onde u e string trivial.

Temos w = u = u′ ⋅D.

De w = w ⋅D ⋅ u−1 com w = u′ temos w[1] = u′. De u′ ⋅D ∈ SGe l(D) = 1 temos [1](w[1]) = v−1 para algum v.

Existem dois casos:

i. u nao termina em um abismo. Neste caso existe uma flecha® tal que u ⋅ ® ∈ SG. Temos v = ® ⋅ v′ e [1]w = (v′)−1. Umavez que (v′)−1 nao termina em um cume (® ⋅ v′ ∈ SG) temos

( [1]w)[1] = (v′)−1 ⋅ C−1 ⋅ v para algum v com C = C®. Mas

w termina em um cume e por isso C e string trivial. TemosC = ®. DeD terminar em um abismo como passeio temos quev e trivial. Por isso ([1]w)[1] = [1](w[1]) = (v′)−1 ⋅ ®−1 = v−1.

M ((v′)−1)

¹ℎ ''OOOOOOOOOOO

M(w)

®∙

88rrrrrrrrrr

¼c &&LLLLLLLLLLM (v−1) (t)

M(u′)(t)D∙

77ooooooooooo

onde t = 1− l(u) = 1.

ii. u termina em um abismo. Neste caso nao existe [1]w e v estring trivial. Por isso [1](w[1]) = e½t(u) para algum ½.


(e) w = u ⋅ p−1 ⋅ w = u−1, onde u e string trivial.

Temos u = u′ ⋅ p e l(p) = 1 .

De w = u⋅p−1⋅w com w = (u′)−1 temos [1]w = v−1⋅(p®)−1⋅(u′)−1

para algum v. De [1]w = w ⋅ (p®)−1 ⋅ (u′)−1 com w = v−1 temos( [1]w)[1] = v−1 ⋅ ®−1 ⋅ v para algum v.

Existem dois casos:

i. u nao termina em um abismo. Neste caso existe uma flecha¯ tal que u ⋅ ¯ ∈ SG. Temos v = ¯ ⋅ v′ e w[1] = v′. Emvirtude de v′ nao comecar em um cume (¯ ⋅ v′ ∈ SG) temos

[1](w[1]) = (v)−1 ⋅ C ⋅ v′ para algum v com C = C¯. Mas

w comeca em um cume e por isso C e string trivial. TemosC = ¯ e v = ® ⋅ v.Por isso ([1]w)[1] = [1](w[1]) = v−1 ⋅ ®−1 ⋅ v.

M (v−1 ⋅ (p®)−1 ⋅ (u′)−1)

p∙ **UUUUUUUUUUUUUUUUU

M(w)®∙

55lllllllllllllll

¯∙))RRRRRRRRRRRRRRR M (v−1 ⋅ ®−1 ⋅ v) (t)

M(v′)(t)ℎ¹

44iiiiiiiiiiiiiiiiii

onde t = −l(u)− l(v′).ii. u termina em um abismo. Neste caso nao existe w[1] e v e

string trivial. Por isso [1](w[1]) = v−1 ⋅ ®−1.

(f) w = w ⋅ p ⋅ u−1 = u, onde u e string trivial. Temos w = u = u′ ⋅ p.De w = w ⋅ p ⋅ u−1 com w = u′ temos w[1] = u′ ⋅ (p®) ⋅ v paraalgum v. De w[1] = u′ ⋅ (p®) ⋅ w com w = v e l(p) = 1 temos

[1](w[1]) = v−1 ⋅ ® ⋅ v para algum v.

Existem dois casos:

i. u nao termina em um abismo. Neste caso existe uma flecha¯ tal que u ⋅ ¯ ∈ SG. Temos v = ¯ ⋅ v′ e [1]w = (v′)−1. Porcausa de (v′)−1 nao terminar em um cume (¯ ⋅v′ ∈ SG) temos

( [1]w)[1] = (v′)−1 ⋅C−1 ⋅ v para algum v e com C = C¯. Mas

w termina em um cume e por isso C e string trivial. TemosC = ¯ e v = ® ⋅ v.Por isso ([1]w)[1] = [1](w[1]) = v−1 ⋅ ® ⋅ v.


M ((v′)−1)

¹ℎ ))TTTTTTTTTTTTTTT

M(w)

¯∙

77nnnnnnnnnnnn

®∙((PPPPPPPPPPPP

M (v−1 ⋅ ® ⋅ v) (t)

M(u′ ⋅ (p®) ⋅ v)(t)p∙

55jjjjjjjjjjjjjjj

onde t = l(v).

ii. u termina em um abismo. Neste caso nao existe [1]w e v estring trivial. Por isso [1](w[1]) = ® ⋅ v.

(g) w = u = u−1, onde u e u sao string triviais.

Existem os seguintes casos:

i. w nao termina e nao comeca em um abismo. Neste casoexistem flechas ® e ¯ tais que u ⋅ ®, u ⋅ ¯ ∈ SG. Logotemos [1]w = v−1 e w[1] = v para alguns v e v tais queu ⋅ ® ⋅ v, u ⋅ ¯ ⋅ v ∈ SG.De ® ⋅ v ∈ SG temos que v−1 nao termina em um cume, logo( [1]w)[1] = v−1 ⋅ C−1 ⋅ v para alguns v e C. E facil ver que

C = C®. Mas de w comecar em um cume temos que C estring trivial e v = ¯ ⋅ v.De ¯ ⋅ v ∈ SG temos que v nao comeca em um cume, logo

[1](w[1]) = v−1 ⋅C ⋅v para alguns v e C. E facil ver que C = C¯.

Mas de w comecar em um cume temos que C e string triviale v = ® ⋅ v. Logo ([1]w)[1] = [1](w[1]) = v−1 ⋅ ®−1 ⋅ ¯ ⋅ v.

M (v−1)

¹ℎ ))RRRRRRRRRRRRRR

M(w)

®∙

99ttttttttt

¯∙%%JJJ

JJJJJJ

JM (v−1 ⋅ ®−1 ⋅ ¯ ⋅ v) (t)

M(v)(t)

ℎ¹

55llllllllllllll

onde t = −l(v).

ii. w nao termina mas comeca em um abismo. Neste caso naoexiste w[1]. Como em item anterior temos [1]w = v−1 e( [1]w)[1] = v−1 ⋅ ®−1 ⋅ v. De w comecar em um abismo temosque v - trivial, logo ( [1]w)[1] = v−1 ⋅ ®−1.


iii. w nao comeca mas termina em um abismo.Como no primeiro item temos w[1] = v e [1](w[1]) = v

−1 ⋅® ⋅v.De w terminar em um abismo temos que v e trivial, logo

[1](w[1]) = ® ⋅ v.iv. w termina e comeca em um abismo. Neste caso nao existem

flechas saindo ou terminando em t(w) e da conexidade doquiver temos que a algebra e simples.

A demonstracao esta completa. □

Teorema 5.1 Seja A = K(Q, I) uma algebra gentle de dimensao finita eseja M(w) ∈ Db(A) um complexo string, onde w ∈ SG e um passeio genera-lizado ou uma string trivial.

(a) Se w ∈ ℎℐ entao

M(w) //M(w)[1] //[1]

(M(w)[1]

)//TM(w)

e um triangulo de Auslander-Reiten em Db(A).

(b) Se w ∈ ℐℎ entao

M(w) //[1]M(w) //

([1]M(w)

)[1]

//TM(w)


(c) Se w ∕∈ ℐ entao

M(w) //[1]M(w)⊕M(w)[1] //

[1](M(w))[1] //TM(w)


A demonstracao do teorema esta feita no final deste capıtulo.

Corolario 5.1 Seja A = K(Q, I) uma algebra gentle de dimensao finita.A lista de morfismos irredutıveis em Db(A) do teorema 4.1 formam basesdos bimodulos de morfismos irredutıveis entre complexos string, a menos detranslacao.


Demonstracao. Seja f ∙ : M(w) → M(w′) um morfismo irredutıvel entrecomplexos string. Como M(w) ∈ Komb(PA), pelo teorema 1.2 de Happelexiste um triangulo de Auslander-Reiten comecando em M(w). Pelo teorema5.1 temos M(w′) = M(w)[1] ou M(w′) = [1]M(w). Pelo teorema 1.4 segueque f ∙ e resultado da multiplicacao, a direita ou a esquerda, de um dosmorfismos listados no teorema 4.1, a menos de translacao, por um morfismoinvertıvel. □

A demonstracao do teorema 5.1 sera feita por calculo de cones que, emgeral, nao irao pertencer a categoria minimal. De fato, nossos morfismos

apresentam muitas componentes da forma P1−→ P que se transformam,

no cone, em componentes de diferenciais. Como complexos string sao cons-truıdos na categoria minimal, sera necessario identificar o cone obtido com ocomplexo minimal ao qual ele e homotopicamente isomorfo. Para tal identi-ficacao usaremos frequentemente o lema seguinte.

Lema 5.5 Seja C uma categoria aditiva e seja M∙ = (M i, diM) um complexode objetos de C na forma abaixo

⋅ ⋅ ⋅ // Y i+2 ⊕X i+1 ⊕ Y i+1di+1M // Y i+1 ⊕X i ⊕ Y i

diM // Y i ⊕X i−1 ⊕ Y i−1 // ⋅ ⋅ ⋅

onde diM = (dijk) com di31 = 1 e di12 = di23 = 0.

diM =

⎡⎣

di11 0 di13di21 di22 01 di32 di33

⎤⎦ .

Entao M∙ e isomorfo ao complexo N∙ = (N i, diN) com N i = M i e

diN =

⎡⎣

0 0 00 di22 − di21d

i32 0

1 0 0

⎤⎦ .

Em particular M∙ e isomorfo ao complexo abaixo na categoria homotopicaKom(C).

⋅ ⋅ ⋅ // X i+1(di+1

22 −di+121 di+1

32 )// X i

(di22−di21di32) // X i−1 // ⋅ ⋅ ⋅


Demonstracao. Inicialmente verificamos que N∙ e de fato um complexo.De diM ⋅ di−1

M = 0 obtemos:

di22di−122 = 0; di21d

i−111 = −di22d

i−121 ;

di32di−122 = −di33d

i−132 ; di−1

11 + di32di−121 + di33 = 0.

Usando estas relacoes temos:

(di22 − di21di32)

(di−122 − di−1

21 di−132

)=

= di22di−122 − di22d

i−121 di−1

32 − di21di32d

i−122 + di21d

i32d

i−121 di−1

32 =

= di21(di−111 + di33 + di32d

i−121

)di−132 = 0 e N∙ e um complexo.

Vamos exibir explicitamente o isomorfismo. Em cada quadrado dos com-plexos considere o diagrama na forma abaixo.

Y i+1 ⊕X i ⊕ Y i

⎡⎢⎢⎢⎣

di11 0 di13di21 di22 01 di32 di33

⎤⎥⎥⎥⎦

//

⎡⎢⎢⎢⎣

1 di+132 di11

0 −1 di210 0 1

⎤⎥⎥⎥⎦

²²

Y i ⊕X i−1 ⊕ Y i−1

⎡⎢⎢⎢⎣

1 di32 di−111

0 −1 di−121

0 0 1

⎤⎥⎥⎥⎦

²²Y i+1 ⊕X i ⊕ Y i⎡

⎢⎢⎢⎣

0 0 00 (di22 − di21d

i32) 0

1 0 0

⎤⎥⎥⎥⎦

// Y i ⊕X i−1 ⊕ Y i−1

E suficiente verificar a comutatividade do quadrado. Esta verificacao e sim-ples bastando usar as relacoes obtidas no produto nulo das diferenciais docomplexo. Explicitamos este calculo com respeito a primeira linha e se-gunda coluna das matrizes, onde a comutatividade e menos clara. Usandoas relacoes de di+1

M ⋅ diM = 0 obtemos:

di+132

(di22 − di21d

i32

)=

(−di+133 − di+1

32 di21)di32 = di11d

i32.

Na categoria homotopica podemos eliminar as componentes homotopica-

mente nulas do tipo Y i 1−→ Y i da soma direta. □


Observacao. Nos permitimos no lema acima casos em que X i = 0 ouY j = 0 para alguns i e j. Por exemplo, se temos Y i = 0 para um fixo i,entao temos

diM =

[0 di12di21 0

]e di

N =

[0 0di21 0

].


1a // 2

b //

c// 3 I =< ac >

O passeio generalizado c nao comeca e nao termina em um cume. Peloteorema 4.1 obtemos os mergulhos naturais ℎ¹ : M(c) −→ M(a ⋅ c) e¹ℎ : M(c) −→ M(c ⋅ (ab)−1)(1). Considere o morfismo ¹ abaixo.

¹ : M(c)( ℎ¹ ¹ℎ) //M(a ⋅ c)⊕M(c ⋅ (ab)−1)(1)

Explicitamos ¹ no diagrama abaixo.

0 //

²²

P2c //

(0 1 1)²²

P3

(1 1)²²

P1 (0 0 a)// P1 ⊕ P2 ⊕ P2 ⎛

⎜⎜⎜⎝

ab 0c 00 c

⎞⎟⎟⎟⎠

// P3 ⊕ P3

Calculando o cone C¹ deste morfismo obtemos o complexo nao minimal

⋅ ⋅ ⋅ 0 // P1 ⊕ P2M // P2 ⊕ P1 ⊕ P2 ⊕ P3

N // P3 ⊕ P3//0 ⋅ ⋅ ⋅

onde M =

(0 0 a 01 0 1 −c

)e N =

⎛⎜⎜⎝

c 0ab 00 c1 1

⎞⎟⎟⎠.

Agora aplicamos o lema 5.5 e obtemos o complexo minimal abaixo, isomorfoao cone C¹ na categoria homotopica Komb(PA).

⋅ ⋅ ⋅ 0 //P1M ′

//P1 ⊕ P2N ′

//P3//0 ⋅ ⋅ ⋅


onde

(0 a)− (0 1) ⋅ 0 ⇒ M ′ = (0 a)

e (0c

)−

(ab0

)⋅ 1 ⇒ N ′ =

( −abc

).

Desta forma obtemos o triangulo exato

M(c) −→ M(a ⋅ c)⊕M(c ⋅ (ab)−1)(1) −→ M(a ⋅ c ⋅ (ab)−1)(1) −→ TM(c).

Observe que utilizando o teorema 4.1 podemos obter [1]c[1] = a ⋅ c ⋅ (ab)−1, oque mostra que o segundo morfismo no triangulo acima e irredutıvel. Temosportanto um triangulo de Auslander-Reiten.

Segue um lema tecnico que sera utilizado na demonstracao do teorema5.1.

Lema 5.6 Se °∙ : X∙ −→ X∙ ⊕ Y ∙ e um morfismo que apresenta a formaabaixo

X i+1

(1 f i+1)²²

di+1// X i

(1 f i)²²

di // X i−1

(1 f i−1)²²

X i+1 ⊕ Y i+1 ⎛⎝ di+1 0

0 ∂i+1

⎞⎠

// X i ⊕ Y i ⎛⎝ di 0

0 ∂i

⎞⎠

// X i−1 ⊕ Y i−1

entao o cone C°∙ e isomorfo ao complexo obtido pela elimnacao da compo-nente 1Xi, ou seja,

Y i+1 ∂i+1//Y i ∂i

//Y i−1 .

Demonstracao. Calculando o cone C°∙ obtemos o diagrama abaixo.

X i+1 ⊕ Y i+1 ⊕X i M //X i ⊕ Y i ⊕X i−1 N //X i−1 ⊕ Y i−1 ⊕X i−2


onde M =

⎛⎝

di+1 0 00 ∂i+1 01 f i −di

⎞⎠ e N =

⎛⎝

di 0 00 ∂i 01 f i−1 −di−1

⎞⎠.

Aplicando o lema 5.5 obtemos o isomorfismo procurado. □

Demonstracao do teorema 5.1 (a) Pelo lema 1.3 e suficiente mostrarque a sequencia define um triangulo em Db(A) uma vez que e formada pormorfismos irredutıveis. Vamos mostrar que, de fato, [1]

(M(w)[1]

)e isomorfo,

em Komb(PA), ao cone do primeiro morfismo da sequencia. Seja w ∈ ℎℐ umpasseio generalizado direto w = ®n ⋅ ®n−1 ⋅ . . . ⋅ ®1 que comeca em um cumee termina em um abismo.

(I) Suponha inicialmente que existe ° ∈ Q1 tal que ®1° e passeio. Peloteorema 4.1 temos o morfismo irredutıvel

°∙ : M(®n ⋅ . . . ⋅ ®1) −→ M(®n ⋅ . . . ⋅ ®2 ⋅ (®1°) ⋅ v)(−l(v)).

Ainda pelo teorema 4.1 temos [1]

(w[1]

)= (u′)−1 ⋅ ° ⋅ v. No diagrama abaixo

®1 // ° //

u′²²

obtemos que u′ e uma string trivial pois caso contrario ®1° passeio e a algebraA gentle implicam ®1 ⋅ u′ ∈ SG contradizendo a hipotese de w terminar emum abismo. Assim temos [1]

(M(w)[1]

)= M(° ⋅ v)(−l(v)).

Por outro lado, no diagrama abaixo explicitamos o morfismo °∙.

Pn+1®n // Pn ⋅ ⋅ ⋅ ®3 // P3

®2 // P2®1 // P1

//

°

²²

0 ⋅ ⋅ ⋅ //

²²

0

²²Pn+1

®n // Pn ⋅ ⋅ ⋅ ®3 // P3®2 // P2

®1° // Pt(°)¯1 // Q1 ⋅ ⋅ ⋅ ¯m // Qm

onde v = ¯1 ⋅. . .⋅¯m; Pi = Pt(®i) para 1 ≤ i ≤ n; Qj = Pt(¯j) para 1 ≤ j ≤ m.Aplicando o lema 5.6 segue que o cone C∙

° e isomorfo, na categoria homotopicaKomb(PA), ao complexo obtido pela simples eliminacao das componentesPi, 1 < i ≤ (n + 1), ou seja, C°∙ ∼= M(° ⋅ v)(−l(v)) ∼= [1]

(M(w)[1]

).

Portanto a sequencia define um triangulo de Auslander-Reiten.

(II) Se ®1 termina em um abismo como passeio entao, pelo teorema 4.1,temos uma projecao natural

¼∙c : M(®n ⋅ . . . ⋅ ®1) −→ M(®n ⋅ . . . ®2︸︷︷︸

w[1]=u′

)(1− 0).


Para obter [1]M(w[1]) = [1]M(u′) observe que u = u′ ⋅ ®1 terminando emum abismo implica que em u′ ⋅ ®1 ⋅ v dada pelo teorema 4.1 temos v = et(®1).Assim, pelo teorema 4.1 segue que [1]M(w[1]) = Pt(®1)(1).

Por outro lado, calculando o cone C¼∙cda projecao obtemos o complexo abaixo

⋅ ⋅ ⋅P4 ⊕ P3M //P3 ⊕ P2

N //P2 ⊕ P1//0

M =

(®3 01 −®2

)N =

(®2 01 −®1

)

com P2 ⊕ P1 no nıvel 1. Aplicando o lema 5.5 temos que C¼∙ce isomorfo

em Komb(PA) ao complexo obtido pela eliminacao das componentes Pi, 1 <i ≤ n + 1, ou seja, temos o isomorfismo C¼c

∼= Pt(®1)(1)∼= [1]

(M(w)[1]

)em

Db(A) e a sequencia define um triangulo de Auslander-Reiten. O caso emque w e trivial e similar.

(b) Segue por dualidade do item (a).

(c) Novamente, a irredutibilidade dos morfismos que compoe a sequenciatorna suficiente mostrar que ela define um triangulo em Db(A). Desta forma,e suficiente mostrar que [1]M(w)[1] e isomorfo, emDb(A), ao cone do primeiromorfismo da sequencia. Analisamos cada um dos casos listados no lema 5.4.


Ã−w ⋅ w ⋅ w′′. Neste caso temos o diagrama

M(w′ ⋅ w ⋅ −→w )

))TTTTTTTTTTTTTTT

M(Ã−w ⋅ w ⋅ −→w )

55kkkkkkkkkkkkkk

))SSSSSSSSSSSSSSM(w′ ⋅ w ⋅ w′′)(t).

M(Ã−w ⋅ w ⋅ w′′)(t)

55jjjjjjjjjjjjjjj

para algum t. Por outro lado, aplicando seguidamente o lema 5.6 no cone doprimeiro morfismo da sequencia eliminamos primeiramente a parte comumÃ−w ⋅ w (na componente que vai para baixo) e em seguida −→w (na componenteque vai para cima) e obtemos que, de fato, M(w′ ⋅ w ⋅ w′′)(t) e isomorfo aocone do primeiro morfismo da sequencia.

2(a). w = u′ ⋅ D ⋅D−1 ⋅ (u′′)−1 produz o diagrama abaixo.


M ((u′′)−1)

D∙''OOOOOOOOOOO

M(w)

c¼

99ttttttttttt

¼c%%KKKKKKKKKKK

M(e½t(D)

)(t)

M(u′)(t)D∙

77ooooooooooo

onde t = 1 − l(u). Aplicando o lema 5.6 eliminamos u′ e (u′′)−1 e, conse-quentemente, os modulos projetivos Ps(D) = Pt(u′) e Ps(D) = Pt(u′′). Desta

forma ficamos com o complexo concentrado (no nıvel t) Pt(D) isomorfo aocone de ( c¼ ¼c).

2(b). w = u′ ⋅ p ⋅D−1 ⋅ (u′′)−1 produz o diagrama

M ((u′′)−1)

D∙))RRRRRRRRRRRRRR

M(w)

c¼

66nnnnnnnnnnnn

®∙((PPPPPPPPPPPP

M (® ⋅ v) (t)

M(u′ ⋅ (p®) ⋅ v)(t)p∙

55llllllllllllll

onde t = −l(u) − l(v). Considerando o lema 5.6 e suficiente analisar odiagrama abaixo, onde v = v1 ⋅ . . . ⋅ vm.

Ps(p)p // Pt(p)

®

²²

// 0

²²Ps(p)

p® // Pt(®)v1 // Pt(v1)

v2 // ⋅ ⋅ ⋅No cone temos

Ps(p)(1 −p) //Ps(p) ⊕ Pt(p)

(p® ®)T //Pt(®)v1 //Pt(v1) ⋅ ⋅ ⋅

que pelo lema 5.5 e isomorfo a M(® ⋅ v)(t).

2(c). Analogo a 2(b).

2(d). w = u′ ⋅ p ⋅ p−1 ⋅ (u′′)−1 produz o diagrama abaixo.


M (v−1 ⋅ (p®)−1 ⋅ (u′′)−1)

p∙ **VVVVVVVVVVVVVVVVVV

M(w)®∙

55lllllllllllllll

®∙))RRRRRRRRRRRRRRR M (v−1 ⋅ ®−1 ⋅ ® ⋅ v) (t)

M(u′ ⋅ p® ⋅ v)(t)p∙

44hhhhhhhhhhhhhhhhhh

onde t = −l(u)−l(v). Considerando o lema 5.6 e suficiente analisar o seguintediagrama comutativo, onde v = v1 ⋅ . . . ⋅ vm e v = v1 ⋅ . . . ⋅ vl.

Ps(p) ⊕ Ps(p)(p p)T //

Id²²

Pt(p)//

(® ®)²²

0

²²Ps(p) ⊕ Ps(p) ⎛

⎝ p® 00 p®

⎞⎠

// Pt(®) ⊕ Pt(®) ⎛⎝ v1 0

0 v1

⎞⎠

// Pt(v1) ⊕ Pt(v1)

Aplicando o lema 5.5 eliminamos a identidade a esquerda e obtemos que ocone e isomorfo ao complexo M (v−1 ⋅ ®−1 ⋅ ® ⋅ v) (t).

3(a). Analogo ao 3(b).

3(b). w = u ⋅ (®q) ⋅ u−1 = u ⋅D ⋅ u−1 produz o diagrama abaixo.

M (v−1 ⋅ q ⋅ u−1)

¼c ((QQQQQQQQQQQQQ

M(w)

®∙

77oooooooooooo

¼c ''OOOOOOOOOOOOM (v−1) (t)

M(u)(t)

®∙

66mmmmmmmmmmmmm

onde t = 1− l(u). Considerando o lema 5.6 precisamos analisar o diagramaabaixo, onde v = v1 ⋅ . . . ⋅ vm.

Ps(®)®q //

(1 ®)²²

Pt(q)//

(1 0)²²

0

²²Ps(®) ⊕ Ps(q) ⎛

⎝ 0 0q v1

⎞⎠

// Pt(q) ⊕ Pt(v1) ⎛⎝ 0

v2

⎞⎠

// Pt(v2)v3 // ⋅ ⋅ ⋅


No cone o diagrama acima induz

Ps(®) ⊕ Ps(q) ⊕ Pt(q)

⎛⎜⎜⎜⎝

0 0q v11 0

⎞⎟⎟⎟⎠

//Pt(q) ⊕ Pt(v1)

⎛⎝ 0

v2

⎞⎠

//Pt(v2) ⋅ ⋅ ⋅

Agora aplicando o lema 5.5 obtemos o isomorfismo do cone com o complexoM (v−1) (t).

3(c). w = u ⋅ (®q)−1 ⋅ u−1 = u ⋅ p−1 ⋅ u−1 produz o diagrama abaixo

M (v−1 ⋅ (p¯)−1 ⋅ u−1)

®∙**UUUUUUUUUUUUUUUUU

M(w)¯∙

66mmmmmmmmmmmmmm

®∙((QQQQQQQQQQQQQQ M (v−1 ⋅ (q¯)−1 ⋅ v) (t)

M(u ⋅ q−1 ⋅ v)(t)¯∙

44iiiiiiiiiiiiiiiii


E suficiente analisar o quadrado que envolve a diferencial ®q. Para as demais(v−1, u−1, u, v) basta aplicar o lema 5.6. Temos o diagrama abaixo.

Ps(®)®q //

(1 ®)²²

Pt(q)

(1 ¯)²²

Ps(®) ⊕ Ps(q)⎛⎝ 0 ®q¯

q 0

⎞⎠

// Pt(q) ⊕ Pt(¯)

Este quadrado induz, no cone, a diferencial escrita abaixo na forma do lema5.5.

Ps(®) ⊕ Ps(q) ⊕ Pt(q)

⎛⎜⎜⎜⎝

0 ®q¯q 01 ¯

⎞⎟⎟⎟⎠

//Pt(q) ⊕ Pt(¯) ⊕ 0

que, pelo lema 5.5, e homotopicamente isomorfo a


Ps(q)q¯ // Pt(¯)

e assim o cone do primeiro morfismo da sequencia e isomorfo ao complexoM (v−1 ⋅ (q¯)−1 ⋅ v) (t) ∼= [1]M(w)[1].

3(d). Analogo ao 3(c).

4(a)i. w = u−1 e nao comeca em um cume produz o diagrama.

M (v−1 ⋅ C ⋅ u−1)

®∙**TTTTTTTTTTTTTTTT

M(w)

ℎ¹

77nnnnnnnnnnnn

®∙''PPPPPPPPPPPP

M (v−1 ⋅ (C®) ⋅ v) (t)

M(v)(t)

ℎ¹

44jjjjjjjjjjjjjjjj


O morfismo ( ℎ¹ ®∙) esta explicitado no diagrama abaixo, onde u = ®n ⋅ . . . ⋅®1, v = ±1 ⋅ . . . ⋅ ±m e v = ¯1 ⋅ . . . ⋅ ¯l.

Pt(®2)®1 //

(1 0)²²

Pt(®1)//

(1 0 ®)²²

0

²²Pt(®2) ⊕ Ps(C)

M // Pt(®1) ⊕ Pt(±1) ⊕ Pt(®)N // Pt(±2) ⊕ Pt(¯1)

M =

(®1 0 0C ±1 0

); N =

⎛⎝

0 0±2 00 ¯1

⎞⎠ .

O cone deste morfismo pode ser escrito como

⋅ ⋅ ⋅Pt(®2)(1 0 0)//Pt(®2) ⊕ Ps(C) ⊕ Pt(®1)

M ′//Pt(®1) ⊕ Pt(±1) ⊕ Pt(®)

//

onde N =

⎛⎝

®1 0 0C ±1 01 0 ®

⎞⎠ .

Aplicando o lema 5.5 efetuamos (±1 0) − C(0 ®) e obtemos o complexoM (v−1 ⋅ (C®) ⋅ v) (t) isomorfo ao cone.


4(b). Analogo ao 4(a).

4(c)i. w = u ⋅D−1 ⋅ w = u−1 produz o diagrama

M ((u′)−1)

D∙''NNNNNNNNNNN

M(w)

c¼

88rrrrrrrrrr

®∙&&LLLLLLLLLL

M (v) (t)

M(v′)(t)ℎ¹

77ppppppppppp

onde t = −l(u)− l(v′). O lema 5.6 elimina (u′)−1. Agora e suficiente analisaro diagrama abaixo, onde v′ = v′1 ⋅ . . . ⋅ v′m.

Ps(D)

²²

D // Pt(D)

®

²²

// 0 //

²²

⋅ ⋅ ⋅

0 // Pt(®)v′1 // Pt(v′1)

// ⋅ ⋅ ⋅

Como Ps(D) = Pt(u′) foi eliminado obtemos que o cone e isomorfo aM(®v′)(t) =M(v)(t).

4(d). Analogo a 4(c).

4(e). Analogo a 4(f).

4(f). w = u = u′ ⋅ p produz o diagrama

M ((v′)−1)

¹ℎ ))TTTTTTTTTTTTTTT

M(w)

¯∙

77nnnnnnnnnnnn

®∙((PPPPPPPPPPPP

M (v−1 ⋅ ® ⋅ v) (t)

M(u′ ⋅ (p®) ⋅ v)(t)p∙

55jjjjjjjjjjjjjjj

onde t = −l(v). O lema 5.6 elimina u′. E suficiente analisar o diagramaabaixo, onde v = v1 ⋅ . . . ⋅ vm e v′ = v′1 ⋅ . . . ⋅ v′l.


Ps(p)p // Pt(p)

(¯ ®)

²²

// 0

²²Ps(p)

(0 p®) // Pt(¯) ⊕ Pt(®) ⎛⎝ v′1 0

0 v1

⎞⎠

// Pt(v′1) ⊕ Pt(v1)

Lembrando que ¯v′ = v obtemos que o cone de (®∙ ¯∙) e isomorfo ao com-plexo M (v−1 ⋅ ® ⋅ v) (t).

4(g)i. w = u = u−1, onde u e u sao string triviais, produz o diagrama

M (v−1)

¹ℎ ))RRRRRRRRRRRRRR

M(w)

®∙

99ttttttttt

¯∙%%JJJ

JJJJJJ

JM (v−1 ⋅ ®−1 ⋅ ¯ ⋅ v) (t)

M(v)(t)

ℎ¹

55llllllllllllll

onde t = −l(v). O morfismo (®∙ ¯∙) esta explicitado no diagrama abaixo,onde v = v1 ⋅ . . . ⋅ vm e v = v1 ⋅ . . . ⋅ vl.

0

²²

// Pi//

(® ¯)²²

0

²²

// ⋅ ⋅ ⋅

0 // Ps(v1) ⊕ Ps(v1) ⎛⎝ v1 0

0 v1

⎞⎠

// Pt(v1) ⊕ Pt(v1)// ⋅ ⋅ ⋅

Um calculo direto mostra que o cone de (®∙ ¯∙) e o complexoM (v−1 ⋅ ®−1 ⋅ ¯ ⋅ v) (t).

A demonstracao esta completa. □.

Exemplos. (1) Seja A = K(Q, I) a algebra gentle definida pelo quivercom relacoes abaixo, ja com polarizacao fixada.

1a+− //2

b++

pp I =< b2 >


A polarizacao define as seguintes composicoes entre string triviais e flechas.

e2 ⋅ b = b ⋅ e2 = b e1 ⋅ a = a ⋅ e−12 = a

A string trivial e1 comeca e termina em um cume mas nao termina emum abismo. Aplicando o caso iii(c) do teorema 4.1 temos e1 ⋅ a ⋅ e−1

2 . Assimobtemos a∙ : M(e1) −→ M(e2) e [1]M(e1) = M(e2). Para obter M(e2)[1]temos que e2 nao termina em um cume. Assim obtemos o mergulho naturalM(e2) −→ M(a−1)(1). Pelo teorema 5.1 temos o triangulo de Auslander-Reiten:

M(e1) −→ M(e2) −→ M(a−1)(1) −→ TM(e1).

A string trivial e2 nao comeca e nao termina em um cume. Temos por-tanto os mergulhos naturais

ℎ¹ : M(e2) −→ M(ab) ¹ℎ : M(e2) −→ M(a−1)(1)

Por um lado o passeio generalizado ab nao termina em um cume, assimtemos um mergulho natural ¹ℎ : M(ab) → M(ab ⋅ a−1)(1). Por outro ladoo passeio generalizado a−1 nao comeca em um cume e obtemos o mergulho

[ℎ]¹ : M(a−1)(1) −→ M(ab ⋅ a−1)(1). Em ambos os casos, como previsto nolema 5.4, fechamos o triangulo de Auslander-Reiten.

M(ab)

((QQQQQQQQQQQQ

M(e2)

88rrrrrrrrrr

&&LLLLLLLLLLM(ab ⋅ a−1)(1) // TM(e2)

M(a−1)(1)

66mmmmmmmmmmmm

Como o passeio generalizado a−1 comeca em um abismo (b−1a−1 ∕∈ I) etermina em um cume temos a−1 ∈ ℐℎ. Ja temos [1]a

−1 = ab ⋅ a−1. Paraobter (ab ⋅ a−1)[1] observe que este passeio generalizado termina em um cumee e da forma w ⋅ D ⋅ u−1, com w = e1. Temos portanto uma projecao ¼c :M(ab ⋅ a−1)(1) −→ M(e1)(1). Pelo teorema 5.1 obtemos o triangulo deAuslander-Reiten

M(a−1)(1) −→ M(ab ⋅ a−1)(1) −→ M(e1)(1) −→ TM(a−1).


Veja que os triangulos sao obtidos de forma simples e direta. Prosseguindoestes calculos obtemos uma parte do quiver de Auslander-Reiten da categoriaderivada limitada Db(A)

M(ab)(1)

T T T T T T T T

kkkkkkkk

M(ab ⋅ b ⋅ a−1)(1)

R R R R R R R R R

55lllllllllllllM(e2)(1)

hhQQQQQQQQQQQQQ

nnnnnnnn

M(ab ⋅ b)

55llllllllllllllM(b ⋅ a−1)(1)

iiRRRRRRRRRRRRR

66mmmmmmmmmmmmmM(e1)(1)

hhPPPPPPPPPPPP

M(b)

iiRRRRRRRRRRRRRRR

55lllllllllllllllM(ab ⋅ a−1)(1)

hhQQQQQQQQQQQQQ

66nnnnnnnnnnnn

M(b ⋅ b ⋅ a−1)

55lllllllllllllllM(ab)

iiRRRRRRRRRRRRRRR

66mmmmmmmmmmmmmM(a−1)(1)

hhPPPPPPPPPPPP

M(ab ⋅ b ⋅ a−1)

55llllllllllllll

iiRRRRRRRRRRRRR

M(e2)

hhQQQQQQQQQQQQQQ

66nnnnnnnnnnnn

M(ab ⋅ b)(−1)

55llllllllllllllM(b ⋅ a−1)

66mmmmmmmmmmmmm

iiRRRRRRRRRRRRR

M(e1)

hhPPPPPPPPPPPPP

ÂÂÂ

ÂÂÂ

(2) Seja A = K(Q, I) a algebra gentle definida pelo quiver com relacoesabaixo, ja com polarizacao definida.

1

a−+&&

c+−

88 2

b+−&&

d−+

88 3 I =< ab, cd >

Temos definidas as seguintes composicoes entre flechas e string triviais.

e1 ⋅ c; a ⋅ e2; e2 ⋅ b; b ⋅ e−13 ;

e−11 ⋅ a; c ⋅ e−1

2 ; e−12 ⋅ d; d ⋅ e3.


A string trivial e1 comeca e termina em um cume. Aplicando o item iii(c)do teorema 4.1 temos o passeio generalizado e1 ⋅c ⋅d e o morfismo irredutıvelM(e1) −→ M(d−1). Temos ainda o passeio generalizado b−1 ⋅ a−1 ⋅ e1 epelo ıtem iii(c′) o morfismo irredutıvel M(e1) −→ M(b)(−1). Assim temos

[1]M(e1) = M(d−1) e M(e1)[1] = M(b)(−1).

M(d−1)

M(e1)

88rrrrrrrrrr

&&LLLLLLLLLL

M(b)(−1)

Para obtermos M(d−1)[1] observamos que d−1 nao termina em um cume(d−1 ⋅c−1 e passeio generalizado), logo temos o mergulho M(d−1) −→ M(d−1 ⋅c−1 ⋅ a ⋅ b). Por outro lado, b nao comeca em um cume e [1]M(b) = M(d−1 ⋅c−1 ⋅ a ⋅ b). Pelo teorema 5.1 temos o triangulo de Auslander-Reiten

M(e1)(c∙ d∙) //M(d−1)⊕M(b)(−1)

(¹ℎ ℎ¹) //M(d−1 ⋅ c−1 ⋅ a ⋅ b) //TM(e1)

Os morfismos estao explicitados no diagrama

0 //

²²

P1//

(a c)²²

0

²²0 //

²²

P2 ⊕ P2M //

Id²²

P3 ⊕ P3

Id²²

P1(a c) // P2 ⊕ P2

M //

²²

P3 ⊕ P3

²²P1

// 0 // 0

onde M =

(b 00 d

).

O passeio generalizado direto a comeca em um cume. Aplicando oitem iii(c) do teorema 4.1 temos a ⋅ b ⋅ e−1

3 e assim [1]M(a) = M(e3). Poroutro lado, a nao termina em um cume e obtemos o mergulho ¹ℎ : M(a) −→M(a⋅c−1⋅a⋅b)(−1). A string trivial e3 nao termina em um cume (e3⋅b−1 = b−1)


e assim temos o mergulho ¹ℎ : M(e3) −→ M((cb)−1 ⋅ a ⋅ b)(−1), ou seja,M(e3)[1] = M((cb)−1 ⋅ a ⋅ b)(−1). Pelo teorema 5.1 obtemos o triangulo deAuslander-Reiten abaixo.

M(e3)¹ℎ

**UUUUUUUUUUUUUUUUUUU

M(a)

b∙66mmmmmmmmmmmmmm

¹ℎ ((QQQQQQQQQQQQQ M((cb)−1 ⋅ a ⋅ b)(−1) // TM(a)

M(a ⋅ c−1 ⋅ a ⋅ b)(−1)

b∙

44iiiiiiiiiiiiiiiii

Note que tambem poderıamos ter obtido o cone calculando [1]M(a ⋅c−1 ⋅a ⋅b).Neste caso, o passeio generalizado a ⋅ c−1 ⋅ a ⋅ b comeca em um cume e e daforma u ⋅ p−1 ⋅ w, com p = c. Pelo item iii(b) do teorema 4.1 obtemos

[1]M(a ⋅ c−1 ⋅ a ⋅ b) = M((cb)−1 ⋅ a ⋅ b).O primeiro morfismo do triangulo esta explicito no diagrama abaixo.

P1a //

(0 1)²²

P2//

(0 1 b)²²

0

²²P1 ⊕ P1⎛

⎝ a c 00 a 0

⎞⎠

// P2 ⊕ P2 ⊕ P3(b 0 0)T

// P3

Calculando diretamente o cone destes morfismos obtemos o complexo abaixo.

P1(1 0 −a) //P1 ⊕ P1 ⊕ P2

M //P2 ⊕ P2 ⊕ P3(0 b 0)T //P3

//0

onde M =

⎛⎝

a 0 0c a 01 0 b

⎞⎠.

Na matriz M efetuamos 1 ⋅ (a 0)− c ⋅ (0 b) = (a − cb). Pelo lema 5.5 obtemoso complexo abaixo, isomorfo ao cone na categoria homotopica.

0 //P1(a cb) //P2 ⊕ P3

(b 0)T //P3//0

de acordo com o triangulo anteriormente obtido.

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Indice Remissivo

Algebra, 7basica, 8de caminhos, 7gentle, 37string, 23

Abismo, 31Comeca em um, 31Termina em um, 31

Aplicacoes de polarizacao, 24Axioma do octaedro, 15

Band generalizada, 41Bimodulo de morfismos irredutıveis,

21

Caminho, 5avaliacao, 6trivial, 6

Cartesiano homotopico, 15diferencial, 15

Categoria derivada, 13Categoria Homotopica, 11Categoria minimal, 17Categoria pre-triangulada, 14Categoria triangulada, 15ciclo, 6Cohomologia, 11

limitada, 12Complexo, 10

limitado, 11limitado inferiormente, 11limitado superiormente, 11minimal, 17

transladado, 11Complexo band, 42Complexo string, 40Complexos

diferenciais, 10Cone, 16Cume, 31

comeca em um, 31termina no, 31

Homotopico a zero, 11

Ideal admissıvel, 7

Modulo band, 29Modulo string, 26Morfismo irredutıvel, 17

Passeio, 24Passeio generalizado, 38

comeca em um abismo, 45comeca em um cume, 45direto, 38fechado, 40inverso, 38termina em um abismo, 45termina em um cume, 45

Quase-isomorfismo, 12Quiver, 5

com relacoes, 8conexo, 5de Auslander-Reiten, 22de translacao, 22de translacao estavel, 22

103

INDICE REMISSIVO 104

finito, 5representacao, 6

Relacao, 7comutativa, 8nula, 8

Retracao, 17

Secao, 17Sequencia de Auslander-Reiten, 18String, 24

direta, 24inversa, 24triviais, 24

String generalizada, 39

Triangulo, 13de Auslander-Reiten, 18

Triangulosdistinguidos, 14exatos, 14

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Morflsmos Irredut¶‡veis na Categoria Derivada de Algebras ...€¦ · portância se justiflca pela existência de diversos invariantes associados a uma algebra A, a saber, seu