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Moto armonico semplice

Consideriamo il sistema presentato in figura in cui un corpo di massa m si muove lungo l’asse delle x sotto l’azione della molla ideale di costante elastica k ed in assenza di forze dissipative, la massa m si muoverà avanti ed indietro lungo x compiendo un moto oscillatorio periodico. Dalla seconda legge di Newton abbiamo

Ricordiamo ora che a è legata ad x (derivata seconda) ed otteniamo

L’equazione ottenuta è l’equazione rappresentativa del moto armonico semplice (MAS) ed è caratterizzata da avere coefficiente unitario per la derivata seconda, essere omogenea ed avere il segno + fra i due termini.

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La soluzione di questa equazione risulta essere

In cui A e φ sono due costanti che dipendono dalle condizioni iniziali del moto (la loro origine sta nel fatto che per risolvere la derivata seconda dobbiamo integrare due volte) e rappresentano rispettivamente l’ampiezza massima del moto oscillatorio (A) e la fase iniziale (φ), mentre ω è la pulsazione ed è legata alle caratteristiche del moto dalla relazione

Ricordando che la funzione trigonometrica coseno ha periodo 2π, si ottiene che il moto si ripete dopo un tempo T, detto periodo, che vale

Analizziamo ora meglio il significato di quanto appena ricavato

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La figura mostra due moti oscillatori semplici con uguale fase e uguale periodo, la differenza sta nell’ampiezza dei moti che è x’m per la curva rossa e xm per la curva azzurra.

La figura mostra due moti oscillatori semplici con uguale fase e uguale ampiezza, la differenza sta nel periodo dei moti che è T per la curva rossa e T’ per la curva azzurra (in particolare è T = 2T’).

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La figura mostra due moti oscillatori semplici con uguale ampiezza e periodo, la differenza sta nella fase dei moti che è φ = -π/4 per la curva rossa e φ = 0 per la curva azzurra. Cerchiamo ora di vedere se la x(t) proposta come soluzione effettivamente soddisfa l’equazione del moto trovata. Abbiamo che

€

x(t) = A cos ωt +φ( )dxdt

= v(t) = −Aωsin ωt +φ( )

d2xdt 2

= a(t) = −Aω2 cos ωt +φ( ) = −ω2x(t)

Vediamo così che effettivamente la x(t) proposta soddisfa l’equazione. Ci resta ora da vedere come determinare le costanti A e φ presenti in x(t).

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Analizziamo ora il processo dal punto di vista energetico. Ricordiamo che, non essendoci forze dissipative in gioco, il sistema deve risultare conservativo per quanto riguarda l’energia meccanica.

Abbiamo già detto che queste due costanti dipendono dalle condizioni iniziali del moto, allora supponiamo che il moto del sistema (molla + massa) abbia inizio all’istante t0 = 0 con v(0) = 0 e x(0) = xm e introduciamo queste informazioni nelle equazioni appena trovate.

Vediamo quindi che, con le condizioni iniziali del moto appena date, la legge oraria diviene

Se invece che da una soluzione con il coseno fossimo partiti da una con la funzione seno, avremmo trovato la medesima ampiezza per il moto, e una fase iniziale di π/2, pari allo sfasamento tra le due funzioni trigonometriche.

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Abbiamo

Ricordando ora che

Otteniamo

L’energia ottenuta è una costante e dipende solo dalla molla e dall’ampiezza iniziale del moto; essa rappresenta l’energia dell’oscillatore armonico.

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In pratica in funzione della deformazione della molla abbiamo che sia EK che Ep hanno un’andamento parabolico tale che la loro somma sia sempre costante ed uguale a Em. In questo modo il moto è limitato agli x compresi tra -xm ed xm. Infatti superare questi due punti implica una EK negativa (impossibile). Notiamo che Ep = 0 per x = 0 (molla a riposo) mentre Ep = Ep

MAX per x = ± xm; EK = 0 per x = ± xm e EK = EK

MAX per x = 0. Dal punto di vista temporale invece abbiamo la situazione seguente

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Esaminiamo ora altri casi di moto armonico semplice (MAS). Iniziamo con il caso del pendolo semplice.

Consideriamo il sistema rappresentato in figura e costituito da un corpo, di massa m e dimensioni trascurabili, sospeso ad una trave tramite una fune ideale di lunghezza L.

Spostiamo il pendolo dalla verticale, mantenendolo nel piano della pagina, e lasciamolo libero. Il pendolo inizierà ad oscillare attorno alla verticale ed il suo moto, in assenza di attriti, è periodico. Analizziamo il moto.

Sulla massa m agiscono due forze: la forza di gravità Fg e la tensione della fune T. Scomponiamo il moto in moto tangenziale ed in moto normale. Analizziamo prima il moto tangenziale cui è dovuta l’oscillazione.

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Scriviamo la seconda legge di Newton

Se ora limitiamo il moto alle piccole oscillazioni, cioé consideriamo θ ≤ 15o, possiamo approssimare sinθ con θ, quindi

Otteniamo così che, per piccole oscillazioni, il moto del pendolo semplice è un MAS. La legge oraria del moto del pendolo è

€

θ t( ) = θ0 cos ωt +φ( )con θ0 e φ costanti dipendenti dalle condizioni iniziali del moto. Il periodo del moto risulta indipendente dalla massa del pendolo quindi tutti i pendoli con fune lunga L hanno lo stesso periodo (isocronismo)

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Esaminiamo ora il problema dal punto di vista energetico.

Il sistema è conservativo in quanto le forze agenti o sono conservative (forza di gravità) o non compiono lavoro (T è sempre ⊥ allo spostamento)

€

Wg =mgy0 −mgy = ΔEK

mgy0 −mgy =12mv2

y0 − y = B'C'=OC'−OB'= L cosθ − cosθ0( )

Infine per la velocità del pendolo si ha

θ

θ0

O

B C C’

B’ y y0

L

In particolare se θ0 = π/2, v = √2gL. Va notato che l’espressione trovata per la velocità del pendolo è sempre valida, non essendo ricorsi ad alcuna approssimazione per θ.

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Quindi la tensione della fune non è costante, varia in funzione dell’angolo θ. Ricordando ora il risultato ottenuto in precedenza per la velocità del pendolo, abbiamo

La relazione ottenuta è stata ricavata senza ricorrere all’approssimazione di piccole oscillazioni e quindi è sempre valida.

Vediamo ora cosa avviene in direzione normale. Notiamo innanzitutto che la massa m descrive un arco di circonferenze e pertanto dovrà essere sottoposta ad una forza centripeta. Dalla seconda legge di Newton si ha

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Esempi ed esercizi Un punto materiale di massa m è appeso ad una molla di costante elastica k. Detta x = 0 la posizione dell’estremo della molla quando il punto materiale è staccato, la posizione di equilibrio statico vale xS. Si tira il punto materiale fino alla posizione x = 2xS e lo si abbandona al tempo t0 = 0 con v0 = 0. Determinare, per il punto materiale, x(t), v(t), a(t) e la posizione del centro di oscillazione.

-kx

x

0 2xS

m xS

mg

Determiniamo innanzitutto la posizione di equilibrio del sistema (le forze dissipative sono trascurabili)

€

mg− kx = 0⇒ xS =mgk

Quando il sistema è in moto, ad un istante generico è

€

m d2xdt 2

= mg− kx

d2xdt 2

+kmx = g

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L’equazione ottenuta non è omogenea, tuttavia rappresenta un moto armonico semplice di pulsazione ω2 = (k/m). La soluzione di questa equazione sarà la somma della soluzione dell’equazione omogenea ad essa associata e di una soluzione particolare xP, costante, data da g/ω2.

€

xP =gω2 =

mgk

= xS

Quindi xP equivale ad xS

Dalle condizioni iniziali otteniamo per A e φ

Infine

€

x(t) =mgk(1+ cosωt) = x(t) − xS = xS cosωt

v(t) = −mgωk

sinωt

a(t) = −g cosωt = −ω2 x(t) − xS( )

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Il centro di oscillazione è dato dalla posizione di equilibrio statico xS, esso si può determinare ponendo a(t) = 0, oppure cercando il valore massimo della velocità.

€

a(t) = 0 = −ω2 x(t) − xS( )xcentr.oscill. = xSv(t) = vMAX ⇒ sinωt = 1

t centr.oscill. =π2

mk

x t c.o.( ) =mgk

= xS

Infine si può notare che ω non dipende dalle condizioni iniziali del moto, come è giusto che sia.

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Il pendolo fisico o composto Il pendolo semplice appena trattato è un caso limite, nella realtà si ha a che fare con pendolo in cui la parte massiva è di dimensioni non trascurabili, si parla allora di pendolo fisico o pendolo composto.

In questo caso, avendo a che fare con un corpo rigido, dovremo ricorrere alla seconda equazione cardinale.

€

Mext∑ = Iα

Come punto fisso per il calcolo dei momenti è naturale scegliere il punto di sospensione O.

L’unica forza con un momento diverso da 0 rispetto ad O è la forza di gravità, che risulta essere una forza di richiamo in quanto tende a riportare il corpo rigido alla posizione di equilibrio stabile lungo la verticale.

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€

M = −mghsinθM = Iα

I d2θ

dt 2= −mghsinθ

Infine, ricorrendo all’approssimazione delle piccole oscillazioni (sinθ ≈ θ), troviamo

€

d2θdt 2

+mghI

θ = 0

Quindi, nelle ipotesi fatte, il pendolo composto è un oscillatore armonico. Se ora ricordiamo che ogni momento d’inerzia può essere visto come il prodotto della massa del corpo rigido per un fattore che dipende solo dalla geometria del corpo (raggio giratore K) elevato al quadrato (I = mK2), otteniamo

€

d2θdt 2

+ghK2 θ = 0

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Quindi la pulsazione ed il periodo del pendolo composto risultano essere

€

ω2 =ghK2 e T = 2π K2

gh

Il pendolo fisico equivale ad un pendolo semplice avente lunghezza L’ (lunghezza ridotta).

€

L'= K2

h

Il pendolo di torsione

La figura qui a lato mostra un pendolo di torsione che ruota tra –θm e θm in un piano perpendicolare al filo di sospensione. Il filo esercita un momento sul disco proporzionale al suo coefficiente di torsione χ; sia inoltre I il momento d’inerzia del disco rispetto all’asse OC

O

C

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€

I d2θ

dt 2= −χθ

d2θdt 2

+χIθ = 0

Il moto risultante è un moto armonico semplice (va notato che non si è fatta alcuna approssimazione nel ricavare le equazioni del moto) con pulsazione e periodo dati da

€

ω2 =χI

e T = 2π Iχ

Noto quindi il coefficiente di torsione χ della fune, è possibile, misurando il periodo, ricavare il momento d’inerzia del disco (o del corpo rigido appeso alla fune).