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MOTO MOTO ROTAZIONALEROTAZIONALE
Rotazione
in 2 dimensioni: particella sull’anello
in 3 dimensioni: particella sulla sfera
PARTICELLA SULL’ANELLO
Il momento angolare di una particella di massa m in moto su un anello di raggio r nel piano xy è rappresentato da un vettore Jz di grandezza pr perpendicolare al piano.
MOTO RETTILINEO MOTO CIRCOLARE
v
m I p J = r x p
m
pT
2
2
I
JT
2
2
2v2
1mT 2
2
1 IT
Ipotesi di de Broglie: alla particella associamo un’onda di lunghezza d’onda =h/mv
)()2(
secondogiro
primogiro
NON accettabile
Secondogiro
Primogiro
accettabile
numero intero di lunghezze d’ondaACCETTABILE
numero non intero di lunghezze d’ondaNON ACCETTABILE
ORIGINE QUALITATIVA DELLA QUANTIZZAZIONE
l
l
m
r
rm
2
2
ml = 0, ± 1, ± 2, ….ml numero quantico
Solo certi valori di λ sono accettabiliλ = h/mv sono accettabili solo certi valori della velocità e quindi dell’energia cinetica, cioè dell’energia totale
Condizioni cicliche al contorno Una circonferenza di raggio r deve contenere un numero intero ml di λ
I
m
rm
hmm
m
hmmE ll
222
1
2
1v
2
1 2222
2
Quantizzazione dell’energia
Solo i valori sono accettabili
solo i valori sono accettabili
Quantizzazione del momento angolare
rh
prJ z
J = r x p
Jz = ± p r
Per la relazione di de Broglie λ = h/p
lm
r 2
2
hmJ l
z
k
j
i
x
y
z
r
2
22
2
2
2
22
2I-
dy
d
dx
d
2m- =H
)()(ˆ
d
d
EH
Trattazione quantistica
22
222
2
2
22
2
)()(2
)(
)()(2
IEm
mIE
d
d
Ed
d
I
l
l
lime )(
)()2(
lll
ll
imimim
imim
eee
ee
2
)2(
12 lime
ml = 0, ± 1, ± 2, ….
I
mE l
2
22 Energia è quantizzata
ml
3
2
10
Energia di punto zero = 0
I
mE l
2
22
Stati doppiamentedegeneri
Stato non degenere
I valori positivi e negativi di ml corrispondono a rotazioni in direzioni opposte
I
mE l
2
22
E non dipende dal senso della rotazione
lz
zl
mJI
J
I
mE
22
222
1)(0
)(
0
l
imm
m
e l
l
AUTOFUNZIONI
Parte reale della Ψ
sincos)(
1
1 ie
mi
l
Nodo
Numero di nodi = 2
Numero di nodi = ml
Al crescere di ml la lunghezza d’onda diminuisce ↓p=h/ cresce ↓E=p2/2m cresce
Momentoangolare
Il momento angolare è quantizzato
2
hmJ l
z
La posizione della particella sull’anello è completamente indeterminata
1* lll imimim eee
Polieni ciclici
Energia di eccitazione e lunghezza dell’anello
Benzene λ = 204 nm
Azulene λ = 340 nm
222
2mrI
I
mE l
I livelli energetici si avvicinano al crescere del raggio dell’anello
Regola di Huckel 4 n + 2
Sistemi con 4n elettroni sono in stato di tripletto
n = 1 n = 2
PARTICELLA SULLA SFERA
Coordinate sferiche
Latitudine Longitudine
distanza
Una particella su una sfera deve soddisfare 2 condizioni al contorno cicliche
Questa richiesta porta a 2 numeri quantici per definire il momento angolare
Le 2 condizioni al contorno cicliche sono collegate
I due numeri quantici hanno una relazione
),(2),(
),(),(2
2
2
IEL
EHI
LTTH
),()1(),( 22 llL
I
llE
2
)1( 2
L’energia è • quantizzata • indipendente da ml
l = 0, 1, 2, …ml = l, l-1, …, -l
Il momento angolare è quantizzato.
l
2
1
0
I
llE
2
)1( 2
ml -1 0 +1
ml 0
ml -2 -1 0 +1 +2
C60
)( 12
2
IE I = me (0.7 nm)2
)1''(''2
)1'('2
22
IIE
Ponendo l’’ = 4 e l’ = 5 calcoliamo ΔE = 398 nm. Una transizione è stata osservata nell’UV-VIS a 404 nm.
C60
Au32
Aromaticità sferica2 (N+1)2
N 2 (N+1)2
0 21 82 183 324 505 72.. ..
Autofunzioni: armoniche sferiche
Gli autovalori di L2 sono l(l+1)ħ2 con l = 0, 1, 2, …
L’intero l è il numero quantico principale del momento angolare
Determina la grandezza del momento angolare
Gli autovalori di Lz sono mlħ con -l ≤ ml ≤ l
L’intero ml è il numero quantico magnetico
Determina la componente z del momento angolare
Per ciascun valore di l ci sono 2l+1 possibili valori di ml
lll imml
ml ePY cos,,
Conclusione
• La meccanica quantistica afferma che un corpo ruotante NON può avere un’orientazione arbitraria rispetto ad un asse. Questa vincolo sull’orientazione è detto quantizzazione spaziale.
• Il numero quantico ml è detto numero quantico magnetico perché indica l’orientazione di un campo magnetico causato dalla rotazione di un corpo carico attorno ad un asse.
ARMONICHE SFERICHE
ml = 0
Il numero di linee nodali aumenta al crescere di l: tanto più grande il momento angolare, tanto maggiore l’energia cinetica.
ARMONICHE SFERICHE
l
ml
La distanza dall’origine corrisponde alla grandezza (modulo) della quantità disegnata
Rappresentazione vettoriale del momento angolare
La lunghezza è costante.L’orientazione nei 5 stati è diversa.
l = 2
B = 0 B 0
l = 1
l = 0
Effetto Zeeman (1896)
+1
0
-1
0
2l+1 livelli energetici
Conosciamo la proiezione del momento angolare lungo l’asse z
Che valori hanno le proiezioni lungo x e y ?
ESPERIMENTO DI STERN-GERLACH (1921)
N
S
Problema le particelle hanno momento angolare intrinseco?
Particelle cariche con momento angolare intrinseco hanno momento magneticoInteragiscono con un campo magnetico B non uniforme
a) Apparato sperimentale
b) Risultato classico atteso
c) Risultato sperimentale con atomi di Ag
Sorgente
Agvapore di Ag collimatore
schermo
z
x
Fascio di Ag
N
S
Magnete
0
B
N
S
Fascio di Ag
zz ezBB
non
uniformez0
Nu
mer
o a
tom
i Ag
B
0B unifB non unif
B uniforme
Atomi in un campo magnetico
Teoria classica : interazione di un elettrone orbitante con il campo magnetico
L’elettrone orbitante si comporta come una spira percorsa da correnteMomento magnetico μ momento angolare LIn un campo magnetico B, l’energia di interazione è E = -μ.B
v
r
μ
B
μ
Teoria classica: tutti i valori di μ in modulo e direzione sono accettabiliFascio deflesso in modo continuo
B = 0
(2l+1) stati degeneri con ml = -l, …, +l B ≠ 0
(2l+1) stati con energie diverse
ml = 0
ml = -1
ml = +1
ml numero quantico magnetico
Teoria quantistica: quantizzazione spaziale solo certe orientazioni sono accettabili
Particella con spin ½ ( 107Ag o 1H)
0
z
Β
Particella con spin 1 (2H)
0
z
Β
Particella con spin 3/2 (7Li)
0
z
Β
Nell’esperimento di Stern-Gerlach con atomi di Ag non compaiono (2 l + 1) fasci
Variazioni sull’esperimento di Stern-Gerlach
Particella con spin ½ (107Ag)
0
z
Β
0
z
Β
?
0
z
Β
0
z
Β
Una volta che abbiamo selezionato una componente pura lungo l’asse z, rimane in quello stato
Variazioni sull’esperimento di Stern-Gerlach
Particella con spin ½ (107Ag)
0
z
Β
0
x
Β
?
Variazioni sull’esperimento di Stern-Gerlach
Particella con spin ½ (107Ag)
0
z
Β
0
x
Β
Quello che è successo lungo l’asse z non ha importanza se ora guardiamo lungo l’asse x.
Il fascio si divide ancora in 2.
davanti
dietro
Variazioni sull’esperimento di Stern-Gerlach
Particella con spin ½ (107Ag)
Esperimenti di Stern-Gerlach in sequenza
Sorgente SGz SGzComponente Sz+Nessuna comp. Sz-
comp.Sz+
comp. Sz-
SGz SGx Fascio Sx+Fascio Sx-
Fascio Sz+
Fascio Sz-
Sorgente
Fascio Sx-
Fascio Sz+Fascio Sz-
Fascio Sx+
SGz SGx SGz
Fascio Sz-
Fascio Sz+
Sorgente
Possiamo conoscere una sola delle componenti
Il modello vettoriale
La componente z può avere 2l+1 valori corrispondenti a
Nel modello vettoriale questo vuol dire che solo certi angoli fra il vettore momento angolare e l’asse z sono permessi
Un dato numero quantico l determina la grandezza del vettore L
Immaginiamo che L precessi attorno all’asse z. Quindi la grandezza di L e della componente lungo z Lz sono costanti, mentre le componenti x e y possono avere qualunque valore e il loro valor medio è zero
2 2( 1)
( 1)
L l l
l l
L
z
L
θllL llz mm
Il modello vettoriale
Esempio: l = 2
La grandezza del momento angolare è
La componente del momento angolare lungo z può essere Lx
Ly
Lz
2 2 2( 1) 6
( 1) 6
L l l
l l
L
2,,0,,2m zl Lll
Rappresentazione del momento angolare
Proiezione lungo zdefinita
Proiezioni lungo x ed y non specificate.
Un cono è una rappresentazione più realistica di un vettore.
L
Lz
Lz
|L| =
LL
Lz
=
L z = -
= 0
2
|L| = 6
L
Lz
Lz
= 0L
L
Lz =2
Lz
= -
Lz
=
2
Lz
= -
Principio di corrispondenza
SPINSPIN
• Momento angolare intrinseco
• Non esiste un analogo classico, è un effetto puramente quantistico
s
Il risultato dell’esperimento di Stern-Gerlach NON è in accordo
1) con la fisica classica che predice una distribuzione continua
2) con quanto visto sinora sul momento angolare in meccanica quantistica: 2 l + 1 numero dispari di gruppi.
Lo Spin è una proprietà quanto meccanica di molte particelle fondamentali o di combinazioni di particelle.
E’ detto “spin” perché è un tipo di momento angolare ed è descritto dalle equazioni che trattano il momento angolare.
Il momento angolare è un vettore.
Dovremmo essere capaci di determinare l’orientazione 3D e la lunghezza di questo vettore.
L’esperimento rivela che è impossibile.
Possiamo conoscere una sola orientazione (per convenzione l’asse z) e la sua grandezza simultaneamente, ma le altre orientazioni sono completamente incognite.
elettronedell' spin
S
S
2
1s
2
1m s
2
31)+
2
1(
2
1= 1)+s(s= ||
S
La lunghezza del momento angolare di spin è
Un elettrone (↓) è un elettrone con ms = - 1/2
Un elettrone (↑) è un elettrone con ms = + 1/2
Lo spin dell’elettrone (s = 1/2) può avere solo 2 orientazioni rispetto ad un asse specificato
NUMERI QUANTICI MOMENTO ANGOLARE
Nome Simbolo Intervallo di valori
Momento angolare orbitale
l 0, 1, 2, …..
Momento magnetico orbitale
ml 0, ±1, …, ±l
Momento angolare di spin
s 1/2 per un elettrone
Momento magnetico di spin
ms ±1/2 per un elettrone
Spin Nucleare I
Isotopi con numero di massa pari spin 0 o intero
Numero pari di protoni + numero pari di neutroni nessuno spin (12C and 18O)
Numero dispari di protoni + numero dispari di neutroni spin = intero > 0 (14N)
Isotopi con numero di massa dispari spin semi-intero
(13C, 1H, 31P, 19F, 15N)
