MOVIMIENTO RECTILÍNEOl movimiento que se produce en una línea recta recibe el nombre de

movimiento rectilíneo. En esta sesión te comenzarás a familiarizar con algunos conceptos generales relacionados con el movimiento: desplazamiento, velocidad y aceleración. Estos se encuentran estrechamente relacionados con el tiempo y será nuestra misión determinar por ejemplo, calcular la distancia recorrida por un ciclista al cabo de 10 segundos, si emprende su movimiento con velocidad constante de 3 m/s (tres metros por segundo) Te convertirás entre otras cosas, en un experto en la interpretación de gráficas cinemáticas; una de nuestras principales herramientas para la descripción del movimiento. Sin más preámbulos entremos en materia. Para tal efecto es necesario que conozcas algunas definiciones. Sistema de referencia. Todo movimiento es relativo. Cuando vas sentado en un bus y observas al conductor, éste con relación a ti no se encuentra en movimiento ya que todo el tiempo se encuentra sentado manejando. Otro observador que se encuentra esperando el bus, si verá como el conductor se aproxima hacia él, entonces para éste (el observador), el conductor si se encuentra en movimiento. Tanto tú, como la persona que se encuentra esperando el bus son llamados sistemas de referencia. En esta unidad nos ocuparemos de sistemas de referencia únicamente para la posición, es decir como en un plano cartesiano pero solo con el eje horizontal. Posición: Es el lugar que ocupa un objeto según el sistema de referencia. Observa la siguiente ilustración:Si nuestro sistema de referencia es el árbol A, el niño se encontraría tres metros a su derecha. En cambio, si el sistema de referencia es el árbol B, el niño se encontrará a nueve metros a su izquierda. Ten en cuenta dos cosas: el signo para la posición, y que estas apreciaciones dependen de donde te encuentres, ya que un observador que se encuentra más allá de los árboles (por atrás de la hoja) con seguridad dirá algo diferente que tu.

Pregunta individual: ¿Cuáles serán las apreciaciones con respecto a la posición, de un de un observador que se encuentra más allá de los árboles? Desplazamiento y espacio recorrido: Cuando un cuerpo cambia de

posición, se conoce como desplazamiento y de define como la posición final menos la inicial:

X = Xf - X0

De esta forma, si el niño se desplaza hacia el árbol A, su desplazamiento al igual que su recorrido, será: X = Xf - X0 = (0 metros) – (3 metros)= - 3 metros

Supongamos que el niño se devuelve a donde se encontraba inicialmente, en este caso su desplazamiento será cero y su recorrido será de seis metros ¿Cómo así?

Pregunta Individual: Determina la diferencia entre desplazamiento y espacio recorrido y determina la razón por la cual el signo del desplazamiento es negativo. Para ayudarte en la solución del segundo interrogante, calcula el desplazamiento que

realiza el niño si se moviera hacia el árbol B.

Velocidad y rapidez: Cuando decimos que algo cambia de posición es necesario especificarlo con relación al tiempo que tarda en hacerlo. Supongamos que el niño de la figura anterior se dirige corriendo hacia el árbol B tardando tres segundos. Esto nos indica que recorrió nueve metros en tres segundos. Esto último puede ser una velocidad o una rapidez:

Si simplificas lo anterior obtendrás 3 metros por segundo, es decir que por cada segundo transcurrido recorre tres metros: en un segundo recorrió tres metros, en dos segundos recorrió seis metros y en tres segundos recorrió nueve metros. La diferencia que hay entre velocidad y rapidez es muy sencilla; la velocidad es una rapidez con dirección determinada. De esta forma si hablamos de rapidez del niño diremos tres metros por segundo, pero si hablamos de velocidad, diremos tres metros por segundo de izquierda a derecha, por ejemplo. Por otra parte la velocidad se define como le división del desplazamiento entre un intervalo de tiempo, mientras que la rapidez se define como la división del espacio recorrido entre un intervalo de tiempo. Toma Nota: El cambio de la posición en el tiempo se llama velocidad. Rapidez Promedio: Cuando caminas para el colegio, tal vez salgas de tu casa y camines no tan aprisa. De repente sientes que se esta haciendo tarde y aligeras el ritmo de tus pasos. Tu rapidez no ha sido la misma desde que saliste y comenzaste a caminar. Por esta razón se establece una rapidez promedio que se calcula dividiendo el espacio total recorrido entre el tiempo total empleado:

Esta última es la definición de rapidez promedio. Velocidad Promedio: La velocidad promedio tiene una definición análoga a la de rapidez promedio pero difiere en el siguiente aspecto:

Observa con detenimiento las siguientes situaciones:Situación A: La gráfica que se presenta a continuación describe la posición en función del tiempo para una partícula. La siguiente es la descripción de dicho movimiento; Una partícula tarda cinco segundos alejado 20 m del sistema de referencia, luego se aleja veinte metros con respecto de donde se encontraba inicialmente, tardando cinco segundos en hacerlo. En esta posición permanece 5 segundos para luego devolverse, llegando al sistema de referencia, empleando otros cinco segundos.

Cinco segundos más tarde ha pasado por el sistema de referencia encontrándose a 20 metros de la izquierda de éste. Allí se demora 5 segundos para luego regresar al sistema de referencia empleando otros cinco segundos. Como pudiste darte cuenta hay mucha palabra en la interpretación de un gráfico de estos y aún no hemos terminado.Calcularemos la velocidad media para cada intervalo de tiempo. En este caso todo intervalo de tiempo tiene 5 segundos. Primer Intervalo: Desplazamiento / intervalo de

tiempo 20 m – 20 m / 5s – 0 s = 0 m / 5s = 0 m/s Segundo Intervalo: 40 m – 20 m / 10s – 5s = 20 m / 5s =

4 m/s Tercer Intervalo: 40 m – 40 m / 15 s – 10 s = 0 m / 5s =

0 m/s Cuarto Intervalo: 0 m – 40 m / 20s – 15s = -40 m / 5s = -

8 m/s Quinto Intervalo: -20 m – 0 m /25s – 20s= - 20 m /5s = -4

m/s

Sexto Intervalo: -20 m – (-20 m) / 25s – 20s = 0m /5s = 0 m/s Séptimo Intervalo: 0m – (-20m) / 30s- 25s= 20m/ 5s = 4m/sLa velocidad media de todo el recorrido: Esta se calcula obteniendo el desplazamiento y luego dividiéndolo sobre el tiempo empleado.Desplazamiento: Posición final – Posición inicial

0m – (20m) = -20 mEl tiempo empleado fue de 35 segundos, entonces: - 20m/ 35s = - 0,8 m/sEl desplazamiento también se puede calcular por intervalos así:0m + 20m+ 0m+(-40m)+(-20m)+0m+(20m)= -20m El espacio recorrido: El espacio recorrido se calcula simplemente sumando los valores absolutos de cada desplazamiento, es decir:0m + 20m+ 0m + 40m + 20m + 0m + 20m = 100mRapidez media: Es simplemente la división entre el espacio total recorrido en el tiempo total es decir:100m/35s = 2,85 m/sEn una gráfica de velocidad contra tiempo en el movimiento rectilíneo uniforme, la velocidad es constante y el área sombreada, bajo la recta es el espacio total recorrido y se obtiene de la fórmula del área del rectángulo.

MOVIMIENTO UNIFORMEMENTE ACELERADO

VELOCIDAD VARIABLE Si la rapidez o la dirección (o ambas) cambian, la velocidad cambia. No es lo mismo rapidez constante que velocidad constante. Por ejemplo, si un cuerpo se mueve con rapidez constante a lo largo de una trayectoria curva, su velocidad no es constante porque su dirección está cambiando a cada instante. Un auto tiene tres mandos que sirven para cambiar la velocidad. El primero es el acelerador, que se usa para aumentar la rapidez. El segundo es el freno, que sirve para reducir la rapidez. El tercero es el volante, que sirve para cambiar de dirección.

ACELERACIONPodemos cambiar el estado de movimiento de un objeto haciendo cambiar su rapidez, su dirección, o ambas cosas. Cualquiera de estos cambios constituye un cambio de velocidad. En ocasiones nos interesa saber qué tan aprisa cambia la velocidad. Un conductor que quiere adelantar a otro auto en una carretera de dos carriles desearía ser capaz de aumentar su rapidez y adelantarlo en el menor tiempo posible. La razón de cambio de la velocidad se conoce como aceleración. Ya que la aceleración es una razón de cambio, se trata de una medida de qué tan aprisa cambia la velocidad respecto al tiempo:

Aceleración = cambio de velocidad Intervalo de Tiempo

Todos conocemos bien los efectos de la aceleración en un auto. El conductor oprime el pedal que, adecuadamente, se llama acelerador. Entonces los pasajeros. Experimentan una aceleración y tienden a inclinarse hacia la parte trasera del auto. La idea central en la definic1ón de la aceleración es el cambio. Siempre que cambiamos nuestro estado de. Movimiento estamos acelerando. Un auto con buena aceleración es capaz de cambiar su velocidad rápidamente.

Un auto que puede pasar de cero a 60 km/h en 5 segundos tiene una aceleración mayor que un auto que pasa de cero a 80 km/h en 10 segundos. De modo que tener buena aceleración. Significa ser capaz de cambiar

rápidamente", y no necesariamente ser veloz.En física el término aceleración se aplica tanto a los aumentos como a las disminuciones de rapidez. Los frenos de un auto pueden producir grandes aceleraciones retardadoras; es decir, pueden producir un gran decremento por segundo de la rapidez. A menudo esto se conoce como desaceleración o aceleración negativa. Experimentamos una des aceleración cuando el conductor de un autobús o de un auto aplica los frenos y tendemos a inclinarnos hacia delante.

“La velocidad es directamente proporcional al tiempo, dando una constante llamada aceleración”. Por lo cual se define aceleración como el cambio de velocidad en la unidad de tiempo.

Gráficamente: En un grafico de (v-t) la pendiente representa la aceleración En un gráfico de aceleración contra tiempo, la aceleración es

constante

En un gráfico de (v-t) el área representa el espacio

En un gráfico de (x-t) en el movimiento uniformemente acelerado la curva es una parábola.

Un móvil parte del reposo y acelera a razón de 4 m/s2 durante 10 s. hallar Velocidad final y espacio que recorre

Observa detenidamente la siguiente gráfica de posición en función del tiempo.Describe el movimiento y calcula: El desplazamiento en cada intervalo. El desplazamiento total. La velocidad media en cada intervalo. La velocidad media en todo el intervalo. El espacio total recorrido. La rapidez media en todo el recorrido. Recuerda el concepto de pendiente de una recta y aplica algo de esto para determinar los

desplazamientos positivos y negativos.

SOLUCION DE SITUACIONES PROBLEMAEjemplo:De Medellín a las 11 de la mañana parte un automóvil con movimiento uniforme hacia la ciudad de Bogotá a 60 km /h. a la 1 de la tarde parte otro en su persecución a 100 km/h. Calcular a qué hora y a qué distancia del punto de partida lo alcanza.

Solución:Magnitudes conocidas:Velocidad de los automóviles = 60 y 100 km/hHora de partida: 11 y 1 de la tarde.

Magnitudes incógnitas: hora de alcance y distancia a la cual lo alcanzó.Muchas veces el Álgebra es la base para la solución de muchos problemas de Física como en el caso anterior. Llamemos d a la distancia, al origen cuando se produce el encuentro, y t al tiempo transcurrido desde la partida del primero. El primer automóvil recorre: d = v t.; el segundo recorrió la misma distancia, pero marchó dos horas menos d = v' (t -2h). Igualando los segundos miembros y despejando t, tenemos:v ' ( t - 2h ) = v t => v ' t - v ' 2h = v t => v ' t - v t = v ' 2h => t ( v ' - v ) = v ' 2h, de donde: t = v ' 2h / ( v ' – v) = 100 km / h x 2 h = 200 h / 40 = 5 h 100 km/h - 60 km/h El primero marchó 5 horas, luego la hora del encuentro fue a las cuatro de la tarde, o sea 11 h + 5h = 16 h.En 5 h recorrió: d = v t = 60 km/h. 5h = 300 km Otra forma más corta sería:

Cuando el automóvil que parte a la 1 de la tarde, el que partió a las 11 de la mañana le llevará una distancia de: d = v. t = 60 km/h. 2 h = 120 km (partió 2 horas antes).

Esta distancia se la tiene que descontar con una velocidad de 40 km/h, que es la diferencia de las velocidades, el tiempo que tarda en descontarle esta distancia será:t = d/v = 120 km/40 km/h = 3 h

Como partió a la 1 y tardó 3 horas en alcanzarlo, lo alcanza a las 4 de la tarde. ¿A qué distancia?d = V.t. = 100 km/h. 3h = 300 km.

ACTIVIDAD DE RECUPERACION

1. Contesta.a) ¿Un cuerpo en caída libre tiene movimiento uniformemente acelerado? Explica tu respuesta.b) ¿La aceleración de la gravedad puede ser negativa? ¿Por qué?2. Escribe V, si es verdadero o F, si es falso según corresponda. Justifica tu respuesta.a) Todos los cuerpos en el vacío caen al mismo tiempo.b) La aceleración en caída libre es la misma para todos los cuerpos.c) La velocidad final de un objeto lanzado hacia arriba puede ser diferente de cero.De las preguntas 3 y 4 encierra en Un círculo la respuesta correcta.3. En caída libre:a) Los cuerpos caen con rapidez constante.b) Los cuerpos caen con aceleración constante. c) Los cuerpos caen con aceleración no uniforme. d) Los cuerpos flotan.4. Si un cuerpo es lanzado verticalmente hacia arriba, entonces:a) El tiempo que tarda en subir es mayor que el tiempo que tarda en bajar.b) La velocidad con la que se lanza es la misma que la de regreso al sitio de lanzamiento.c) La aceleración de la gravedad es mayor de baja da que de subida.d) La distancia recorrida es mayor cuando baja que cuando sube.5. Cuándo un cuerpo desciende en caída libre, ¿qué sucede con el valor de la velocidad en cada segundo que transcurre?6. ¿Qué criterios se deben tener en cuenta para afirmar que una pluma y una moneda al ser soltadas simultáneamente desde la misma altura, caigan al tiempo?7. ¿En un sitio donde hay vacío los objetos caen o flotan? Justifica tu respuesta.8. Si se dejan caer dos esferas idénticas desde la misma altura pero en medios diferentes, una en agua y la otra en aceite, ¿en cuál de los dos medios llega primero la esfera al fondo? Jus-tifica tu respuesta.9. Cuando se lanza un objeto verticalmente hacia arriba, ¿tiene sentido decir que su velocidad es positiva cuando sube y negativa cuando baja?

Problemas1. Un automóvil viaja de Medellín hacia Cali con movimiento uniforme y con una velocidad de 55 km/h. A las 7 a.m., pasa por Cartago que está a 220 km. de Medellín. Calcular: A) A qué hora partió de Medellín? B) A qué distancia de Medellín estará a las 12 M? Respuesta = A: 3

a.m.; B: 495 km.2. Un automóvil parte de Medellín a Montería con movimiento uniforme a las 7 a.m.; a las 12 m. parte otro de Montería hacia Medellín. Recorren los 720 km que separan dichas ciudades en 12 horas. Calcular a qué hora y a qué distancia de Medellín se produce el encuentro. Respuesta = 3.30 p.m.; 510 km.3. Un tren sale de la ciudad A a las 12 m. yendo hacia la ciudad B, situada a 400 km. de distancia, con una velocidad constante de 100 km/h. Otro tren sale de B a las 2 p.m. y mantiene una velocidad constante de 70 km/h. Determinar la hora en la cual los trenes se encuentran, y la distancia medida a partir de la ciudad A. Si (a) el segundo tren se dirige hacia A y (b) el segundo tren se aleja de A. Respuesta = 3.10 p.m; 317,6 km.; 8.40 p.m.; 866,6 km.4. Dos automóviles equidistan 500 km. el uno del otro y marchan en sentidos contrarios a 60 y 40 km/h. Cuánto tardarán en cruzarse? Ya qué distancia del punto de partida del que tiene velocidad menor? Respuesta = 300 min.; 200 km.5. Dos estaciones distan entre sí 100 km. De A sale un tren que tardará 2 horas en llegar a B; de B sale otro hacia A, dónde llegará en hora y media. Calcular a qué distancia de A se cruzan, y qué tiempo después de haber partido simultáneamente cada uno de su respectiva estación. Respuesta = 42,8 km.; 51 minutos y 26 seg.

Movimiento rectilíneo

Se denomina movimiento rectilíneo, aquél cuya trayectoria es una línea recta.

En la recta situamos un origen O, donde estará un observador que medirá la posición del móvil x en el instante t. Las posiciones serán positivas si el móvil está a la derecha del origen y negativas si está a la izquierda del origen.

Posición

La posición x del móvil se puede relacionar con el tiempo t mediante una función x=f(t).

Desplazamiento

Supongamos ahora que en el tiempo t, el móvil se encuentra en posición x, más tarde, en el instante t' el móvil se encontrará en la posición x'. Decimos que móvil se ha desplazado x=x'-x en el intervalo de tiempo t=t'-t, medido desde el instante t al instante t'.

Velocidad

La velocidad media entre los instantes t y t' está definida por

Para determinar la velocidad en el instante t, debemos hacer el intervalo de tiempo t tan pequeño como sea posible, en el límite cuando t tiende a cero.

Pero dicho límite, es la definición de derivada de x con respecto del tiempo t.

Para comprender mejor el concepto de velocidad media, resolvemos el siguiente ejercicio

Ejercicio

Una partícula se mueve a lo largo del eje X, de manera que su posición en cualquier instante t está dada por x=5·t2+1, donde x se expresa en metros y t en segundos.

Calcular su velocidad promedio en el intervalo de tiempo entre:

 2 y 3 s.  2 y 2.1 s.  2 y 2.01 s.  2 y 2.001 s.  2 y 2.0001 s.  Calcula la velocidad en el instante t=2 s.

En el instante t=2 s, x=21 mt’ (s) x’ (m) Δx=x'-x Δt=t'-t

 m/s3 46 25 1 252.1 23.05 2.05 0.1 20.52.01 21.2005 0.2005 0.01 20.052.001 21.020005 0.020005 0.001 20.0052.0001 21.00200005 0.00200005 0.0001 20.0005 ...   ...  ...  ...  ...  0 20

Como podemos apreciar en la tabla, cuando el intervalo Δt→0, la velocidad media tiende a 20 m/s. La velocidad en el instante t=2 s es una velocidad media calculada en un intervalo de tiempo que tiende a cero.

Calculamos la velocidad en cualquier instante t

La posición del móvil en el instante t es x=5t2+1 La posición del móvil en el instante t+t es  x'=5(t+t)2+1=5t2+10tt+5t2+1 El desplazamiento es x=x'-x=10tt+5t2 La velocidad media <v> es

La velocidad en el instante t es el límite de la velocidad media cuando el intervalo de tiempo tiende a cero

La velocidad en un instante t se puede calcular directamente, hallando la derivada de la posición x respecto del tiempo.

En el instante t=2 s, v=20 m/s

Aceleración

En general, la velocidad de un cuerpo es una función del tiempo. Supongamos que en un instante t la velocidad del móvil es v, y en el instante t' la velocidad del móvil es v'. Se denomina aceleración media entre los instantes t y t' al cociente entre el cambio de velocidad v=v'-v y el intervalo de tiempo en el que se ha tardado en efectuar dicho cambio, t=t'-t.

La aceleración en el instante t es el límite de la aceleración media cuando el intervalo t tiende a cero, que es la definición de la derivada de v.

Ejemplo:

Un cuerpo se mueve a lo largo de una línea recta x=2t3-4t2+5 m. Hallar la expresión de

La velocidad La aceleración del móvil en función del tiempo.

Dada la velocidad del móvil hallar el desplazamiento

Si conocemos un registro de la velocidad podemos calcular el desplazamiento x-x0 del móvil entre los instantes t0 y t, mediante la integral definida.

El producto v dt representa el desplazamiento del móvil entre los instantes t y t+dt, o en el intervalo dt. El desplazamiento total es la suma de los infinitos desplazamientos infinitesimales entre los instantes t0 y t.

En la figura, se muestra una gráfica de la velocidad en función del tiempo, el área en color azul mide el desplazamiento total del móvil entre los instantes t0 y t, el segmento en color azul marcado en la trayectoria recta.Hallamos la posición x del móvil en el instante t, sumando la posición inicial x0 al desplazamiento, calculado mediante la medida del área bajo la curva v-t o mediante cálculo de la integral definida en la fórmula anterior.

Ejemplo:

Un cuerpo se mueve a lo largo de una línea recta de acuerdo a la ley v=t3-4t2 +5 m/s. Si en el instante t0=2 s. está situado en x0=4 m del origen. Calcular la posición x del móvil en cualquier instante.

Dada la aceleración del móvil hallar el cambio de velocidad

Del mismo modo, que hemos calculado el desplazamiento del móvil entre los instantes t0 y t, a partir de un registro de la velocidad v en función del tiempo t, podemos calcular el cambio de velocidad v-v0 que experimenta el móvil entre dichos instantes, a partir de un registro de la aceleración en función del tiempo.

En la figura,  el cambio de velocidad v-v0 es el área bajo la curva a-t, o el valor numérico de la integral definida en la fórmula anterior.Conociendo el cambio de velocidad v-v0, y el valor inicial v0 en el instante t0, podemos calcular la velocidad v en el instante t.

Ejemplo:

La aceleración de un cuerpo que se mueve a lo largo de una línea recta viene dada por la expresión. a=4-t2 m/s2. Sabiendo que en el instante t0=3 s, la velocidad del móvil vale v0=2 m/s. Determinar la expresión de la velocidad del móvil en cualquier instante

Resumiendo, las fórmulas empleadas para resolver problemas de movimiento rectilíneo son