Movimento Browniano(Uma Introdução)

Jalves S. Figueira

UTFPR- Pato Branco

Novembro , 2011

http://www.utfpr.edu.br/jalves

Resumo

• Um experimento de Pensamento;• Movimento Browniano e os Fractais;• Aspectos históricos:A realidade dos átomos;

• Tese de Einstein (1905);• Atividades de laboratório;• Final.

Experimento de Pensamento

• Imagine que você esteja em uma sala espaçosa. Um grande Shopping center.

• Houve um apagão, e a cidade toda está sem luz. Somente uma luz de emergência que acende em pequenos intervalos de tempo.

• Você caminha desesperado por encontrar uma janela.

• A Luz de emergência acende em intervalo de tempos de t =15 s.

Você não tem idéia para onde está indo.

Einstein (1879-1955)

• Marque no papel suas posições A, B, C, D, ... no intervalo de tempo T=15s .

A trajetória não é suave

• Após ligue os pontos.

1- Atividade

Primeiro relato

• O Botânico Robert Brown, no ano de 1827 ao examinar no microscópio grãos de poléns num líquido observou que estes faziam um movimento incessante e caótico.

Brown teria descoberto a fonte da vida??

• Física

• Matemática

Qual geometria representa o movimento browniano.

Movimento browniano é o incessante e caótico movimento de pequenas partículas em suspensão em um fluido. Resultado de uma força aleatória exercida pelas colisões com as moléculas do fluido.

Definição:

Fractais são figuras da geometria não-Euclidiana. Objetos com infinitos detalhes, são geralmente autossimilares e independem de escala. Cada parte é semelhante ao objeto original.

Apresenta uma geometria fractal.

Velocidade instantânea:

Velocidade média :

Não é possível descrever o movimento utilizando as equações da cinemática da mecânica clássica. O movimento não tem velocidade instantânea ou seja a trajetória de uma partícula browniana não tem tangente .

Einstein (1905)

• Einstein geralmente é lembrado pelas rupturas da mecânica Newtoniana. Com os conceitos relativísticos de tempo e espaço.

• Publicou em 1905 cinco trabalhos, um deles sobre o movimento browniano resultado da tese de Doutorado.

• Recebeu o premio Nobel em 1922 pela explicação do efeito fotoelétrico.

Einstein (1905)• Einstein adotou uma visão realista sobre

a existência de átomos e moléculas.• Procurando determinar o tamanho das

moléculas e o número de Avogadro, analisa uma solução de açúcar e água.

• Einstein percebeu que não tinha sentido descrever uma trajetória individual, que a velocidade não era o conceito chave que carregava as informações principais.

• Construiu um modelo para o movimento Browniano com bases na teoria cinética dos gases e teoria molecular do calor.

Teoria Cinética Molecular

• Toda matéria é construida de átomos.• Um gás é constituido de muitas partículas em movimento caótico.• As moléculas são consideradas pontos materiais.• As colisões entre duas moléculas ou entre uma molécula e uma parede

do recipiente são supostas perfeitamente elásticas.• U (energia interna) = é função da energia mecânica das partículas

individuais.• (U)med = nkT/2, n = número de graus de liberdade

Dtx 22

vtx

aN

RTD

3

1

Movimento de micelas de Leite examinado com a ferramenta de

análise de vídeos e modelagem Tracker.

2 – Atividade

Caminho aleatório em duas dimensões.

• Inicialmente com uma folha quadriculada marque os eixos cartesianos x e y . Cada lado do quadrado mede uma unidade de comprimento l=1.

• Coloque a partícula (objeto marcador) na origem (0,0) e lance o dado uma vez seguindo as instruções.

Se a face for:• 1. conte um passo para direita.• 2. conte um passo para esquerda.• 3. conte um passo para frente.• 4. conte um passo para trás.• 5. Não conte passos. Repita o lançamento.• 6. Não conte passos. Repita o lançamento.

Repita o lançamento seguindo as instruções até que sejam contados dez passos marcando o caminho. Repita até que N=100.

http://www.phy.ntnu.edu.tw/ntnujava/index.php?topic=1484.

Jean Perrin (1870-1942)• Perrin utilizando um ultra-

microscope realizou medidas quantitativas do movimento Browniano em 1908.

• Verificou as equações de Einstein determinando o número de Avogadro entre N = 6.5-6.9x1023

• Jean Perrin determinou o tamanho das moléculas.

• Recebeu o Premio Nobel em 1926

Caminho Aleatório

• < x > =0 , distância média é nula.

• < x2> =N , distância média quadrática é igual ao número de passos N.

• <x2>=NL2, passos de comprimento l

• xrms = Raiz(< x2 >) , raiz da distância média quadrática.

• …

Um modelo para descrever o movimento browniano é o caminho aleatório. Em uma dimensão, temos que o “jogador” começa em x=0 e a cada movimento é solicitado a dar um passo a frente (direção +x) ou para trás( na direção –x). A escolha é aleatória.

http://galileo.phys.virginia.edu/classes/109N/more_stuff/Applets/brownian/brownian.html

taN

RTDtx

3

122

Observação do movimento browniano no Microscópio

• leite• Água destilada• Lâminas para solução• Lamínulas de vidro

A pressão exercida por uma solução sobre uma membrama semi-permeavel, impedindo a passagem do soluto é dada pela leis dos gases perfeitos.

1- Pressão osmótica

AN

RTp

p = pressão osmótica = concentração da soluçãoN A = número de AvogadroR = constante dos gasesT = temperatura absoluta

2- Pressão osmótica

avx

p

N

mK

A

6

Einstein considerou que as moléculas grandes de açúcar estão sujeitas a uma força de atrito viscoso dada pela lei de Stokes

Sabe-se porém que as partículas se difundem devido ao gradiente de pressão ( força por unidade de volume). Assim, no equilíbrio temos:

avK 6

• Obtemos assim uma expressão para a velocidade v das partículas. Que resulta, regime estacionário, um fluxo ao longo da direção x sobre uma secão de area A.

x

p

aN

mvJ

A

6

3- Pressão osmótica

E da relação da pressão obtemos que:

xD

xaN

RTJ

A

6O que resulta em um coeficiente de difusão D função da temperatura T, viscosidade η , número de Avogadro NA e raio das partículas a.

a = raio das partículas.

ƞ = viscosidade da agua .

Fext força aleatória sobre a partícula em suspensão.

Equação de Langevin -1a • Partindo da segunda lei de Newton , Paul

Langevin (1908) , derivou uma equação diferencial para o movimento browniano

extFrr

dt

da

dt

dm 6

2

2

Equação de Langevin – 1b • pelo teorema da equipartição da energia, proposto

por Clerk Maxwell.

• ½mV2 = kT/2 energia de uma partícula para cada grau de liberdade é função da temperatura. k é a constante de Boltzmann.

• chega-se a solução

ta

kTx

32

Fim