111

No movimento circular uniforme a velocidade tem módulo constante, porém sua direcção muda continuamente

Movimento de satélites artificiais

Movimento circular uniforme

Exemplos:

Pontos de um disco num gira discos

Pontos de um disco rígido de computador

Ponteiros de um relógio

As pessoas girando com o movimento da Terra

22

Para descrever o MCU utilizamos as coordenadas polares

Movimento circular uniforme MCU

x

y

r

xe

ye

Vector posição

r e

x

y

r

xe

ye

cosr

sinr

yx ererr

sin cos

rr

onde

33

O arco sobre a trajectória que subentende um ângulo é:

x s

dr

rs

drds

O arco descrito em é dado pords d

x

y

r S

444

v

v

A

B

ca

ca

• A aceleração centrípeta é responsável pela mudança da direcção da velocidade

O vector velocidade é sempre tangente à trajectória da partícula e é perpendicular ao raio da trajectória

• A aceleração centrípeta aponta para o centro do círculo

Demonstraremos que

r

No movimento circular uniforme

55

O movimento circular é um movimento periódico

O tempo de uma volta completa é o período T

o tempo que demora para descrever um ângulo de 2

A velocidade angular é T

2

No movimento circular uniforme a velocidade angular é constante

A unidade da velocidade angular é 1s rad

ou f 2 onde f é a frequência

A unidade da frequência no SI é o hertz (Hz)

t

666

x

y

r

xe

ye

A velocidade da partícula é a

derivada em ordem ao tempo de rv

dt

d

O módulo da velocidade é

Relaciona a velocidade angular velocidade linear v

22222 )cos(sin rrv

rv

porque

)cos(sincossin 2222222222 rrr

v

yx ererr

sin cos

yx edt

dre

dt

dr

dt

rdv

cossin

yx ererv

cos sin

mas

rerervv yx

cos sin

cos

sin

rv

rv

y

xv

xv

yv

77

Como , é constante.

O valor absoluto da velocidade linear não varia mas a direcção varia

O movimento circular uniforme é acelerado e a única função da aceleração é mudar a

direcção da velocidade

A aceleração é

Observe que a direcção da aceleração tem sentido inverso ao do vector posição

É a aceleração centrípeta que faz variar o vector velocidade

Está dirigida para o centro da circunferência e por esse motivo chama-se aceleração centrípeta

yx ererdt

d

dt

vda

cos sin

yx ererv

cos sin

yx e

dt

dre

dt

dr

sin cos

r 2

rv

) sin cos( yx ererr

88

O módulo da aceleração centrípeta é

como rv

v

v

A

B

ca

ca

rac

2

rac2

r

vac

2

9

Observe a animação abaixo. O carro se move com velocidade linear constante.

r

vac

2

1

r

vac 2

2

2

Em qual das curvas a aceleração centrípeta é maior?

101010

Exemplo 13. Um pião roda uniformemente com frequência de 16 Hz. Qual é a aceleração centrípeta de um ponto na superfície do pião em r = 3 cm ?

A velocidade angular é: f 2 Hz) rad)(162(

-1-1 s rad 101~s rad 48.100Hz) rad)(1614.32(

A aceleração centrípeta será

-222-12 s m 0.306m) 103()s rad 101( rac

11

Exemplos de MCU

12

Vector posição

yx ererr

sin cos

Vector velocidade

yx ererv

cos sin

No movimento circular uniforme (MCU)

131313

Como , a velocidade angular também não é constante.

é a aceleração tangencial e tem a mesma direcção do vector velocidade

Movimento circular uniformemente variado

No movimento circular uniformemente variado, a velocidade linear não é constante. v

A aceleração é

rv

onde é a aceleração angular

ta

v

ca

tav

yx ererdt

d

dt

vda

cos sin

yx e

dt

dre

dt

dr

sin cos

dt

derer yx

cos sin

r2 yx erer

cos sin

tc aaa

dt

d

rat

141414

ta

a

ca

Módulo da aceleração total

Quando a aceleração angular é constante podemos obter

22tc aaaa

const

t 0

200 2

1tt

1515

b) Sabendo que a velocidade da partícula é e calcule a aceleração da partícula.

Exemplo 14. Um ponto na trajetória de uma partícula é dada pelas equações (em unidades SI):

y(t) = -1.0 t2 + 10.0 t + 2.0

x(t) = 0.2 t2 + 5.0 t + 0.5

)3()6( rrr

a) Calcular

em t = 3 s : x(3) =17 m e y(3) =23 m

em t = 6 s : x(6) =38 m e y(6) =26 m

m)3 21(

) m 23 m 17() m 26 m 38()3()6(

yx

yxyx

ee

eeeerrr

2

2

m/s0.2100.2

m/s4.0)0.5 4.0(

tdt

d

dt

dva

tdt

d

dt

dva

y

y

xx

2m/s) 0.24.0( yx eea

m/s 0.5 4.0 tvx m/s 10 0.2 tvy

222 m/s0.22.4 yx aaaa

O módulo da aceleração e ângulo

0.54.0

0.2

x

y

a

atg o79

15