MOVIMENTO EM UMA LINHA RETA

MOVIMENTO EM UMA LINHA RETA

Objetivos de aprendizagem: Descrever o movimento em uma linha reta em

termos de velocidade média, velocidade instantânea, aceleração média e aceleração instantânea.

Interpretar gráficos de posição, velocidade e aceleração em relação ao tempo.

Como resolver problemas envolvendo movimento em uma linha reta com aceleração constante.

DESLOCAMENTO, TEMPO E VELOCIDADE MÉDIA.

Como descrever o movimento de um corpo?

Podemos estudar a variação de sua posição em um dado intervalo de tempo.

Vamos procurar encontrar equações que relacionam a posição do corpo com o tempo.

Um carro se move em uma linha reta

Como descrever o movimento do carrinho?

O carro começa a se mover no INÍCIO, passa pelo ponto P1

depois de 1,0 s e pelo ponto P2 após 4,0 s. P

1 está a 19

metros do início e P2 está a 277 metros do início.

Sistema de coordenadas

Sistema de coordenadasOrigem do sistemaOrigem do sistemaOrigem do sistemaOrigem do sistema

Indicação da coordenada e o sentido positivo

Sistema de coordenadasOrigem do sistemaOrigem do sistemaOrigem do sistemaOrigem do sistema

Indicação da coordenada e o sentido positivo

Posição: é o local em que um corpo se encontra em um certo instante do tempo

Deslocamento: é a diferença entre a posição em um certo instante t

2 e a

posição em um instante anterior t1.

x=x2−x1

Velocidade média

Definimos velocidade média como a razão entre o deslocamento de um objeto pelo intervalo de

tempo decorrido. Se o objeto está na posição x2

no instante t2 e na posição x

1 no instante t

1,

teremos

vmed x=x2−x1

t 2−t1= x

t

Velocidade média

No nosso exemplo:

Sinal positivo indica deslocamento no sentido positivo do eixo x.

A unidade da velocidade média é distância por tempo.

vmed x=277m−19m

4 s−1 s=

258m3 s

=86m / s

Representação gráfica do deslocamento

Gráfico da trajetória

Representação gráfica do deslocamento

Note que a inclinação muda se considerarmos t=1s e t=3s.

Isto quer dizer que a velocidade média entre estes

dois instantes é diferente.

Representação gráfica do deslocamento

De fato, a velocidade média vai mudando conforme vamos escolhendo instantes distintos

para o tempo posterior..

Representação gráfica do deslocamento

Você é capaz de responder se, ao mudarmos o instante

posterior de t =4s para valores menores, a

velocidade média irá aumentar, permanecer constante ou diminuir?

Velocidade instantânea

Velocidade instantânea

Velocidade instantânea

vmed x=x2−x1

t 2−t1= x

t

O que fizemos foi fazer o intervalo de tempo cada vez menor. No último gráfico, fizemos o intervalo de tempo tender a zero. Ao resultado chamamos velociddade instantânea no instante t

1

Algebricamente:

v x=lim t0 x t

Exemplo

Um carro se move de acordo com a equação:

Encontrar a velocidade média entre t = 1 s e t = 2s,t = 1s e t = 1,1 s, t=1 s e t= 1,01 s, t=1s e t=1,001s. A partir destes resultados, infira qual deve ser a

velocidade instantânea em t=1s.

x=20m5m / s2t²

Exemplo

Solução:

Entre t=1s e t=2s:

v med x= 205× 22 − 205×1 2m

2−1 s

vmed x=15m1 s

=15m / s

x2

x1

x=20m5m / s2t²

Exemplo

Solução:

Entre t=1s e t=1,1s:

v med x= 205×1,1 2−205×12 m

1,1−1 s

vmed x=1,05m0,1 s

=10,5m/ s

x=20m5m / s2t²

Exemplo

Solução:

Entre t=1s e t=1,01s:

v med x= 205×1,01 2−205×12 m

1,01−1 s

vmed x=1,005m0,01 s

=10,05m/ s

x=20m5m / s2t²

Exemplo

Solução:

Entre t=1s e t=1,001s:

v med x= 205×1,001 2−205×12 m

1,001−1 s

vmed x=1,0005m0,001 s

=10,005m / s

x=20m5m / s2t²

Exemplo

Resumo:

t=1 s

v med x=10,5m / s t= 0,1 s

t= 0,01 s

t= 0,001 s

vmed x=15m / s

v med x=10,05m / s

v med x=10,005m / s

Podemos inferir, deste resultado, que a velocidade instantânea, calculada quando o intervalo de tempo é nulo, valerá 10 m/s.

Exemplo

Demonstração: vamos considerar um instante inicial t e um intervalo arbitrário:

v med x= 205 t t 2−205 t 2

t t −t

v med x=5 t t 2−5 t 2

t

v med x=5 t²2 t t t 2−5 t 2

t

Exemplo

Demonstração:

v med x=5 t 22 t t t 2−5 12

t

v med x=5 t 210 t t5 t 2− 5 t 2

t

Exemplo

Demonstração:

v med x=5 t 210 t t5 t 2− 5 t 2

t

v med x=10 t t5 t 2

t=10 t5 t

Exemplo

Logo, considerando o instante inicial t e o final t + Δt, a velocidade média é dada por

Agora, vamos considerar o limite em que o intervalo de tempo vai a zero:

Para t =1s: v = 10 m/s

v med x=10 t5 t

v x=lim t0 10 t5 t =10 t

Lemos a derivada de x em relação a t.

v x=lim t0 x t

=dxdt

Aceleração Média e Aceleração instantanea

Velocidade: mede a taxa de variação da posição em relação ao tempo.

Aceleração: mede a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo.

Aceleração média

Em t1 : velocidade v

1

Em t2 : velocidade v

2

amed , x=v 2x−v1x

t 2−t1=

v x t

Aceleração instantanea

Aceleração média:

Aceleração instantanea:

amed , x=v 2x−v1x

t 2−t1=

v x t

a x= lim t0 v t

=dv xdt

Aceleração instantanea:representação gráfica

Movimento com aceleração constante

Acontece em várias situações de interesse, a principal sendo o movimento dos corpos próximo à superfície da Terra quando a resistência do ar pode ser desprezada.

Característica principal: como a aceleração é constante, a aceleração média, a

med x é a

mesma que ax.

a

amed x

amed x= v t

=v2x−v1x

t 2−t 1

Como

teremos

a x= v t

=v2x−v1x

t 2−t1

então

v 2x=v1xax t 2−t 1

Equação para a velocidade

v 2x=v1xax t 2−t 1

=0 sv0x

Velocidade do objeto quando t= 0 s

v x=v 0xax t

Velocidade do objeto no instante t

Equação para a velocidade

v 2x=v1xax t 2−t 1

=0 sv0x

Velocidade do objeto quando t= 0 s

v x=v 0xax t

Velocidade do objeto no instante t

Note que esta equação vale apenas quando a aceleração é constante

Equação para a velocidade

Interpretação gráfica

Interpretação gráfica

Área total:

retângulo:

triângulo:

Área total:

Aq=v0x t

At=12ax t t

AT=v0x t12ax t

2vmed , x=

v0, xv2

Interpretação gráfica

Área total:

retângulo:

triângulo:

Área total:

Aq=v0x t

At=12ax t t

AT=v0x t12ax t

2vmed , x=

v0, xv2

Equação para a posição

vmed , x=x2−x1

t 2−t1vmed , x=

x− x0

t

vmed , x=v0, xv

2

Equação para a posição

vmed , x=v0, xv

2

v med , x=v0, x v0, xa x t

2

v med , x=v 0, xa x t

2

Equação para a posição

vmed , x=x− x0

t v med , x=v 0, xa x t

2

x=x0v med , x t

x=x0v0, x t12a x t

2

Corpos em queda livre

Corpos em movimento nas proximidades da superficie da Terra quando a resistência do ar e a rotação da Terra podem ser desprezadas.

Aponta para baixo

g=9,8m/ s2

Queda livre – Exemplo 1

Uma moeda é jogada do topo da Torre de Pisa. Ela parte do repouso e cai em queda livre. Encontre sua posição e velocidade após 1,0 s; 2,0 s; 3,0 s.

Queda livre – Exemplo 1

Equações:

y= y0v0y t12a y t

2

v y=v0ya y t

Queda livre – Exemplo 1

Equações:

Valores iniciais:

y= y0v0y t12a y t

2

v y=v0ya y t

y0=0

v 0y=0

Queda livre – Exemplo 1

Equações:

Valor para ?

y=12a y t

2

v y=a y t

ay

Queda livre – Exemplo 1

Equações:

Valor para ?

y=12a y t

2

v y=a y t

aya y=−9,8 m / s 2=− g

Sinal negativo: a aceleração aponta contraria ao sentido positivo do eixo y..

Queda livre – Exemplo 1

Equações:

y=−12g t

2

v y=−g t

Queda livre – Exemplo 1

Equações:

Substituindo os valores para o tempo, chegamos aos valores da figura ao lado.

y=−12g t

2

v y=−g t

Queda livre: Exemplo 2

Você joga uma bola verticalmente para cima de um prédio alto com velocidade inicial de 15,0 m/s. A bola sobe e cai até atingir o chão. Considerando que a bola esteja em queda livre, encontre a sua posição e velocidade depois de 1,0 s; 4,0 s.

Queda livre: Exemplo 2

Equações?

Valores iniciais:

y= y0v0y t12a y t

2

v y=v0ya y t

v 0y=15,0m /s

y0=0

Queda livre: Exemplo 2

Equações?

Valor para aceleração?

y=15t12a y t

2

v y=15a y t

Equações:

Queda livre: Exemplo 2

Equações?

Valor para aceleração?

y=15t12a y t

2

v y=15a y t

Equações:

a y=−9,8 m / s 2=− g

A aceleração aponta para baixo, o sentido positivo é para cima, logo a aceleração tem sentido

contrária e carrega o sinal negativo..

Queda livre: Exemplo 2

Equações?

Valor para aceleração?

y=15t12a y t

2

v y=15a y t

Equações:

a y=−9,8 m / s 2=− gINDEPENDENTE SE O CORPO SOBE OU DESCE, A ACELERAÇÃO É A MESMA, SENDO SEMPRE

CONTRÁRIA À ORIENTAÇÃO ESCOLHIDA PARA O EIXO Y E LOGO CARREGA O SINAL NEGATIVO.

Queda livre: Exemplo 2

Equações?

y=15t−12g t

2

v y=15− g t

Equações:

Queda livre: Exemplo 2

Equações?

y=15t−12g t

2

v y=15− g t

Equações:

para t = 1,0 s

y= + 10,1 m

v = + 5,2 m/s

Queda livre: Exemplo 2

Equações?

y=15t−12g t

2

v y=15− g t

Equações:

para t = 4,0 s

y= -18,4 m

v = - 24,2 m/s

Queda livre: Exemplo 2

Equações?

y=15t−12g t

2

v y=15− g t

Equações:

Você e capaz de encontrar o instante t em que a bola atinge o topo de sua trajetória? Qual a altura que ela

sobe?