7
MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE. I. Marco teórico Consideremos una un cuerpo de masa m unido a un resorte de constante k (ver fig. 1). Las fuerzas que actúan sobre su peso W=kδ res y la fuerza T=kδ res ejercida por el resorte. Supóngase que ahora que la partícula se desplaza una distancia x m desde su posición de equilibrio y se suelta sin velocidad inicial. Si x m se ha escogido más pequeño que δ res , la partícula se moverá hacia uno y otro lado de su posición de equilibrio, generándose una vibración de amplitud x m . la vibración también puede producirse dándole cierta velocidad inicial a la partícula v 0 soltando la partícula en cualquier posición x=x 0 . Consideremos la partícula en la posición P en cierto tiempo t, el desplazamiento entre la posición de equilibrio y el punto P representado por x, se puede ver que las fuerzas que actúan sobre la particula son su peso W y la fuerza T ejercida por el resorte, que en esta posición tiene una magnitud T=k(δ res +x), por lo tanto la magnitud de la resultante F de las dos fuerzas es: F=w - T= kδ res - k(δ res +x)= - kx Sustituyendo F en la ecuación fundamental F=ma y como sabemos que a es la segunda derivada, , de x con respecto de t, tenemos: -kx=m m+kx=0 (1) La ecuación (1) es una ecuación diferencial de segundo orden, si consideramos que ω 2 = k m (2) Entonces podemos escribir la ecuación (1) de la siguiente forma

MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE.docx

Embed Size (px)

Citation preview

MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE.I. Marco tericoConsideremos una un cuerpo de masa m unido a un resorte de constante k (ver fig. 1). Las fuerzas que actan sobre su peso W=kres y la fuerza T=kres ejercida por el resorte.Supngase que ahora que la partcula se desplaza una distancia xm desde su posicin de equilibrio y se suelta sin velocidad inicial. Si xm se ha escogido ms pequeo que res, la partcula se mover hacia uno y otro lado de su posicin de equilibrio, generndose una vibracin de amplitud xm. la vibracin tambin puede producirse dndole cierta velocidad inicial a la partcula v0 soltando la partcula en cualquier posicin x=x0.Consideremos la partcula en la posicin P en cierto tiempo t, el desplazamiento entre la posicin de equilibrio y el punto P representado por x, se puede ver que las fuerzas que actan sobre la particula son su peso W y la fuerza T ejercida por el resorte, que en esta posicin tiene una magnitud T=k(res+x), por lo tanto la magnitud de la resultante F de las dos fuerzas es:F=w - T= kres - k(res+x)= - kxSustituyendo F en la ecuacin fundamental F=ma y como sabemos que a es la segunda derivada, x, de x con respecto de t, tenemos:-kx=mxmx+kx=0 (1)La ecuacin (1) es una ecuacin diferencial de segundo orden, si consideramos que (2)Entonces podemos escribir la ecuacin (1) de la siguiente formax+2x = 0 (3)el movimiento definido por la ecuacin (3) se llama movimiento armnico simple, se caracteriza por el hecho de que la aceleracin es proporcional al desplazamiento y de sentido opuesto. Notamos que la funciones x1=sent y x2=cost satisfacen la ecuacin (3), es decir la solucin general de la ecuacin (3) puede obtenerse multiplicando las dos soluciones particulares por dos constantes arbitrarias Ay Bx=A sent + B cost (4)Si derivamos la ecuacin (4) sucesivamente podemos obtener la velocidad y la aceleracin.Las expresiones obtenidas para el desplazamiento, la velocidad y la aceleracin puede escribirse de forma mas compacta si observamos que la ecuacin (3) expresa el desplazamiento x=OP es la suma de las componentes x de los vectores A y B, como se muestra en la fig. 2. Conforme t varia, ambos vectores giran en el sentido de movimiento de las manecillas de reloj; la magnitud de su resultante OQ es igual al desplazamiento mximo xm. el movimiento armonico simple de P a lo largo del eje x puede obtenerse entonces proyectando sobre este eje el movimiento de un punto Q que describe un circulo auxiliar de radio xm con una velocidad constante

OP=OQ Sen (t +)Esto nos conduce a nuevas expresiones para el desplazamiento, velocidad y aceleracinx= xm Sen (t +)v=xm cos (t +)a=-xm2 Sen (t +)L velocidad angular = 2fnDe donde fn es la frecuencia natural de vibracin.y el periodo es :T= 1/fnPractica. Movimiento armnico simple 2. Temas relacionados.Vibraciones mecnicas, ley de Hooke, movimiento armnico simple.3. Tarea.Determinar la ecuacin de movimiento armnico simple mediante el uso de la calculadora Texas Instruments.4. Material y equipo.CantidadDescripcin

1Calculadora TI voyage 200

1Sensor de movimiento cbr

1Cable de conexin de cbr y TI

1Resorte

1Varilla

1Base para varilla

1Pinza

1Plato de balanza

5. Procedimiento.1. Colocar el resorte y suspender el plato, colocando el CBR a una distancia aproximada de 0.20 m.

y

2. Conecte el sensor de movimiento a la calculadora TI

3. En la pantalla home escriba el nombre del programa: cbr() y en seguida dar enter

4. Una vez que estamos dentro del programa elegir motion d; este programa nos realiza la lectura de un conjunto de datos de posicin.

5. La pantalla que aparece nos permite ajustar el tiempo, el total de datos que se quiere tomar, para este caso en particular vamos a ajustar los datos como se muestra, antes de dar enter le damos un movimiento a nuestro sistema masa-resorte

6. La grafica obtenida es la siguiente:

7. Si queremos recortar una parte de la grafica que nos interesa o cuando se obtienen datos con el CBR, es comn que una parte del conjunto de datos sea ruido que se encuentra al principio o al final de una lista durante la recoleccin de los datos, por ello es necesario recortar las listas para poder analizar los datos. Para ello utilizamos el programa Trim Data

8. Aparecer una pantalla como la que se muestra, en el rengln 1 y 2 colocamos los datos de origen es decir como nombramos a los conjuntos de datos anteriormente, en rengln 3 y 4 asignamos en donde queremos que sean almacenados los datos de la grafica a recortar

9. Con las flechas nos posicionamos en el punto a partir del cual deseamos recortar la grafica y damos enter en seguida elegimos el punto hasta donde deseamos que nos muestre la grafica y damos enter.

10. Nos aparecer el segmento de inters que elegimos.

11. Para obtener la ecuacin necesitamos ajustar la grafica mediante una anlisis de regresin

12. En la pantalla ajustamos los datos como siguen:

13. Los resultados son mostrados, de donde a= amplitud , b=velocidad angular , c=angulo Y d= es el desplazamiento de la grafica sobre el eje y

14. La grafica ajusta nos queda: