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Movimiento Browniano de Partículas
con Volatilidad Dependiente
de la Posición
Presentado por
Carolina Castañeda Gaviria
para el
Departamento de Física
Como requisito parcial para cumplir los requerimientospara el grado de
Física
Universidad de los Andes
Bogotá, julio 22 de 2005
Resumen
En el presente artículo se estudió el comportamiento de moléculas con�nadas
a un reservorio cuyas paredes cuentan con altas temperaturas mientras que el punto
medio se encuentra a muy bajas temperaturas.
Se solucionó la ecuación de Langevin para un sistema cuya temperatura varía
de acuerdo a la posición de la partícula con respecto al eje x, con el �n de encontrar
las �uctuaciones estadísticas que la afectan. A partir de este resultado, se hicieron
simulaciones para diferentes con�guraciones de masa y fricción en el sistema. Con
los datos obtenidos se realizaron análisis estadísticos para determinar las relaciones
entre las variables. Se determinó que un modelo con estas características cuenta con
una velocidad autoregresiva de orden 1 y por consiguiente la partícula Browniana
incrementa su energía cinética con el paso del tiempo lo que genera que no exista
reversión al centro del reservorio. Adicionalmente, se encontró que la volatilidad
de la velocidad tanto en x como en y de las partículas Brownianas depende positi-
vamente de la temperatura.
3
Contenido
Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1 Marco Teórico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1 Movimiento Browniano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 La Contribución de Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Características del Movimiento Browniano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4 Ecuación de Langevin para una Temperatura Constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2 Ecuación de Langevin para un Sistema con Temperatura Variable . 12
2.1 Características del Reservorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2 Constante de Difusión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3 Determinación de � . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3 Metodología . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.1 Movimiento Browniano Continuo en un Sistema con Distribución deTemperaturas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.2 Simulaciones de Monte Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.3 Distribución Discreta de los Movimientos de la Partícula Browniana . . . . . . . . . . 18
4 Programa de Simulación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5 Análisis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4
Contents 5
5.1 Características de la Posición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
5.1.1 Efectos de la masa en la posición de las partículas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
5.1.2 Efectos de la fricción en la posición de las partículas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
5.2 Características de la Velocidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
5.2.1 Efectos de la masa en la velocidad de las partículas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
5.2.2 Efectos de la fricción en la velocidad de las partículas . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
5.3 Volatilidad de la Velocidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
5.3.1 Regresiones Estadísticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
5.3.2 Cambios Logarítmicos de la Volatilidad de la Velocidad . . . . . . . . . . . . . . . 35
5.4 Existe Reversión a la Media en el Sistema? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
6 Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
Bibliografía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
A Programa de Simulación 2-D Periódico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
Introducción
Una de las metas fundamentales de la física consiste en descubrir la evolución en
el tiempo de las variables que describen el universo. Sin embargo, la mayoría de estas
variables son aleatorias. De hecho, en el mundo real predecir con exactitud el compor-
tamiento de partículas elementales, átomos, moléculas y sistemas complejos es imposible.
Por ello, el estudio de la mecánica estadística permite tener una mayor información sobre
los sistemas a través del estudio de modelos estocásticos.
Uno de los temas más importantes en el estudio de variables aleatorias consiste en
establecer cuál es su valor promedio y su volatilidad. Sin embargo, existen múltiples cir-
cunstancias en las cuales el valor promedio y la volatilidad dependen de otros factores y
por consiguiente no son estables ni en el tiempo ni en el espacio.
A partir de esta idea, el artículo busca estudiar, a través de la termodinámica, la
mecánica estadística y los modelos de simulación, una respuesta al comportamiento de las
partículas cuya volatilidad depende no sólo del tiempo sino de la posición.
Especí�camente, se estudian moléculas con�nadas en un reservorio que cuenta con
paredes a altas temperaturas en los extremos, mientras que en el punto céntrico del reser-
vorio se encuentra a muy bajas temperaturas.
Es importante aclarar que el presente artículo se enfoca en el movimiento molecu-
lar traslacional o Browniano, e ignora las propiedades vibracionales y rotacionales de las
partículas.
1
Introducción 2
El diseño de un ambiente con estas características permite estudiar cómo se ve afec-
tada la posición de las partículas en el reservorio y su volatilidad. Desde este punto de vista
es clave estudiar la dependencia entre la volatilidad y la posición debido a las altas temper-
aturas de los extremos y las bajas temperaturas en el centro del reservorio. Además, resulta
pertinente analizar si el comportamiento de la variable Browniana exhibe características de
reversión a la media o caminata aleatoria.
El artículo se desarrolla de la siguiente manera: en el primer capítulo se explica
brevemente la evolución histórica de la teoría del Movimiento Browniano y se deriva la
ecuación de Langevin para el equilibrio térmico. En el Capítulo 2 se deduce el efecto de
una distribución no uniforme de temperaturas sobre la posición y velocidad de la partícula.
En el tercer capítulo se explica la metodología empleada para obtener información sobre
el comportamiento de la partícula Browniana. En el cuarto capítulo se hace referencia al
programa de simulación diseñado. En el capítulo 5 se realiza un análisis de los resultados
obtenidos y en el último se resumen las conclusiones del artículo.
Chapter 1Marco Teórico
1.1 Movimiento Browniano
El Movimiento Browniano halla su nombre a partir de un estudio de Robert Brown a prin-
cipios del siglo XX, quien al ver el polen en el agua a través de un microscopio, encontró
que estas partículas tenían un comportamiento de "movimiento oscilatorio rápido" [Nelson,
Edward (2001)].
Sin embargo, Robert Brown no descubrió el Movimiento Browniano, de hecho nadie
lo hizo puesto que prácticamente cualquier persona al mirar agua bajo un microscopio
puede observar pequeñas partículas que exhiben un comportamiento aleatorio.
A continuación se encuentra una fotografía que muestra cómo se verían varias partícu-
las Brownianas en un �uido:
Figura 1. Partículas Brownianas en un Fluido.
3
1 Marco Teórico 4
A pesar de que Brown no descubrió el Movimiento Browniano, si fue una de las
primeras personas en mencionarlo y analizarlo, por lo cual desde entonces se dice que una
pequeña partícula macroscópica inmersa en un �uido experimenta un movimiento aleatorio
conocido como "Movimiento Browniano" y revela las �uctuaciones estadísticas que afectan
a la partícula en un sistema que generalmente se supone en equilibrio térmico.
En resumen, el Movimiento Browniano es el continuo movimiento aleatorio de una
partícula suspendida en un gas o �uido.
1.2 La Contribución de Einstein
Aunque en 1905 Einstein no estaba enterado de la existencia del fenómeno de Movimiento
Browniano, realizó varias predicciones teóricas y formuló una teoría cuantitativa acertada
del mismo.
El desarrollo de la teoría de Einstein sobre Movimiento Browniano se basó en lo
siguiente:
Sea � = �(x; t) la densidad de probabilidad de que una partícula Browniana se en-
cuentre en la posición x en el momento t. Luego, haciendo varios supuestos probabiliísticos
derivó la ecuación de difusión:
@�
@t= D�� (1.1)
donde D es el coe�ciente de difusión. Si la partícula está en la posición 0 en el tiempo
0, entonces:
�(x; t) =1
(4�Dt)3=2e�
jxj24Dt (1.2)
1 Marco Teórico 5
Si imaginamos la suspensión de varias partículas Brownianas en un �uido, afectadas
por una fuerza externa K, encontramos que en el equilibrio, la fuerza K se balancea por
las fuerzas de la presión osmótica de la suspensión,
K = KBTr��
(1.3)
Donde � es el número de partículas por unidad de volumen, T es la temperatura
absoluta y KB es la constante de Boltzman. La constante de Boltzman tiene dimensiones
de energía por grado Kelvin, tal que KBT tiene dimensiones de energía. El conocimiento
de KB es equivalente al conocimiento del número de Avogadro, y por consiguiente de los
tamaños moleculares.
Las partículas Brownianas que se mueven en el �uido experimentan una resistencia
debido a la fricción, y la fuerzaK le imparte a cada una de ellas una velocidad de la forma:
K
m�
donde � es una constante con dimensiones de frecuencia y m es la masa de la partícula.
Por consiguiente:
�K
m�
partículas pasan una unidad de área por unidad de tiempo debido a la acción de la fuerza
K: Por otro lado, si sólo actuase la difusión, � satisfacería la ecuación de difusión. Luego,
en el equilibrio dinámico se tiene:
�K
m�= D � r� (1.4)
1 Marco Teórico 6
Al eliminar K y � usando las ecuaciones (1.3) y (1.4), se obtiene la fórmula de
Einstein:
D =KBT
m�(1.5)
Esta fórmula aplica incluso cuando no existe una fuerza externa y cuando se tiene
una sola partícula Browniana.
Si se dividen ambos lados de la ecuación (1.3) porm�, y se emplea la ecuación (1.5),
se obtiene:
K
m�= D
r��
(1.6)
La densidad de probabilidad � es justamente la densidad del número de partículas �
dividida por el número total de partículas, así que se puede escribir de la siguiente manera:
K
m�= D
r��
(1.7)
Dado que el lado izquierdo de la ecuación es la velocidad adquirida por una partícula
debido a la acción de la fuerza
Dr��
(1.8)
es la velocidad de la partícula para oponerse a los efectos osmóticos.
Si las partículas Brownianas son esferas de radio a, a partir de la teoría de Stocke's
de la fricción se obtienem� = 6��a, donde � es el coe�ciente de viscosidad del �uido, tal
que D se puede rede�nir de la siguiente manera:
D =KBT
6��a(1.9)
Donde podemos reemplazar el coe�ciente de fricción como = 6��a, obteniendo
el coe�ciente de difusión en términos de la constante de Boltzman, la temperatura y el
1 Marco Teórico 7
coe�ciente de fricción:
D =KBT
(1.10)
Los argumentos de Einstein no constituyeron una teoría dinámica del Movimiento
Browniano, sólo permitieron determinar la naturaleza del movimiento y el valor del coe�-
ciente de difusión a partir de varios supuestos.
1.3 Características del Movimiento Browniano
Como hemos visto, el Movimiento Browniano provee información sobre los mecanismos
mediante los cuales los sistemas experimentan �uctuaciones y disipación de la energía.
A partir de las secciones anteriores encontramos que las principales características de
este fenómeno son:
� Las partículas pequeñas tienen mayor velocidad.
� Las partículas se mueven más rápido en �uidos con poca viscosidad.
� La energía promedio de las partículas es proporcional a la temperatura.
� El Movimiento Browniano es consecuencia directa del movimiento molecular.
� La intensidad del movimiento no depende de la naturaleza de las partículas.
� La intensidad del movimiento depende de las dimensiones de las partículas.
Las partículas Brownianas podrían poseer dos características que podrían parecer
disímiles pero son lo que realmente hace que su movimiento sea Browniano.
1 Marco Teórico 8
Estas características son:
� Su tamaño es mucho mayor que el de las moléculas del gas o del líquido
� Son lo su�cientemente pequeñas como para ser afectadas por las continuas
colisiones de las partículas que conforman el �uido o líquido.
� Si la partícula Browniana contara inicialmente con una velocidad v, podría esperarse
que, debido a su mayor tamaño y peso, su velocidad decayera con el tiempo.
� Sin embargo, esto no ocurre puesto que con el procedimiento inverso las moléculas
dan nuevos impulsos al movimiento de la partícula y hacen aumentar su velocidad.
� Este proceso entre la reducción de la velocidad por la fricción viscosa del medio y
el aumento de la velocidad por las continuas colisiones con las partículas del gas o
líquido mantienen el promedio cuadrático medio de la velocidad con un valor de
hv2i, que por el teorema de equipartición de la energía depende de la temperatura
de acuerdo a la ecuación:
hEi = 1
2mv2�=3
2KBT (1.11)
1.4 Ecuación de Langevin para una Temperatura Constante
El gran aporte de Paul Langevin a la Teoría del Movimiento Browniano consistió en el
desarrollo de una teoría de ecuaciones diferenciales estocásticas. Langevin supuso que
la fuerza sobre una partícula Browniana puede expresarse como la suma de las fuerzas
promedio y �uctuaciones que afectan a la partícula.
1 Marco Teórico 9
Langevin, planteó una ecuación para el estudio del Movimiento Browniano que de-
scribe la dinámica de una partícula en equilibrio con un baño térmico a temperatura T:
dv(t)
dt= � v(t) + 1
m�(t (1.12)
dx(t)
dt= v(t) (1.13)
Donde v(t) y x(t) son la velocidad y posición de la partícula en el momento t, es
el coe�ciente de fricción al cual nos referimos anteriormente y � es una variable aleatoria
que representa las colisiones de la partícula Browniana con el �uido.
Se asumirá que �(t) sigue un proceso gausiano de ruido blanco. El ruido blanco es
un proceso estocástico gausiano con las siguientes características:
h�(t)i = 0
h�(t)�(t0)i = ��(t� t0)
Es decir, suponemos que, para el caso de una dimensión, la probabilidad de recibir un
choque por una de las dos direcciones es la misma, además, en promedio, la magnitud de
los choques en ambas direcciones para un intervalo de tiempo determinado es cero, lo que
se encuentra asegurado por la simetría de la distribución gausiana. Físicamente, el empleo
de la distribución normal resulta razonable ya que suponemos que la partícula Browniana
se encuentra en un �uido homogéneo, es decir, es igual de factible que sea impactada en
cualquier dirección.
1 Marco Teórico 10
Para poder conocer el valor de � se solucionará la ecuación de Langevin. Para ello,
se empleará la ecuación de Green retardada, G(t) que se de�ne a continuación:
_G+ G = �(t) (1.14)
Donde:
G(t) = �(t)e� t (1.15)
Por el Teorema de Green, multiplicamos la ecuación diferencial de v(t) por G(t) y
viceversa, luego las restamos e integramos entre 0 y t con lo que obtenemos la siguiente
relación:
v(t) = v0e� mt +
Z 1
0
G(t� �)�(�)md� = v0e
� mt + e�
mt
Z t
0
e�t�(�)
md� (1.16)
Dado que �(t) es una variable aleatoria con distribución gausiana y de ruido blanco,
vemos que el valor esperado de la velocidad corresponde a:
hv(t)i = v0e� mt (1.17)
En un movimiento aleatorio es fundamental conocer la volatilidad de la partícula
Browniana, por ello, hallamos el valor esperado de la velocidad al cuadrado:
hv(t)2i = e�2 tZ t
0
d�
Z t
0
d� 0e (�+�0) �
m2�(� � � 0) + v20e�2 t (1.18)
Simpli�cando de acuerdo a las propiedades de la función Delta de Dirac, obten-
emos:
hv(t)2i = (1� e�2 t) �
2 m2+ v20e
�2 t (1.19)
La varianza de la velocidad dependiente del tiempo corresponde a:
�2v(t) = hv(t)2i � hv(t)i2 = (1� e�2 mt)�
2 m(1.20)
1 Marco Teórico 11
Retomando el valor que obtuvimos para hv(t)2i, observamos su relación con el Teo-
rema de Equipartición de la Energía:
hE(t)i = 1
2mhv(t)2i = (1� e�2 t) �
4 m+1
2mv20e
�2 t (1.21)
Para t � �1, la contribución de la velocidad inicial es despreciable y la memoria
que tiene la partícula Browniana sobre su valor inicial, se pierde. En este caso, el Teorema
de Equipartición de la Energía es:
hE(t� �1)i = limt� �1
1
2mhv(t)2i = �
4 m=1
2KBT (1.22)
A partir de este resultado, concluimos que para tiempos mucho mayores al inverso
de la fricción, �, toma el siguiente valor:
� = 2 mKBT (1.23)
Este resultado es fundamental ya que contrasta con lo analizado en el presente proyecto
puesto que supone temperaturas constantes con respecto a los movimientos de la partícula,
mientras que el modelo que se desarrollará a continuación tiene en cuenta cambios en la
temperatura dependientes de la posición con respecto al eje x.
Chapter 2Ecuación de Langevin para un Sistema con
Temperatura Variable
2.1 Características del Reservorio
Para este caso se diseñó un sistema en el cual la temperatura cambia dependiendo de la
posición de la partícula, como se muestra en el siguiente grá�co:
1.Figura 2. Distribución de Temperaturas en el Reservorio
Como se puede apreciar, la temperatura que afecta a la partícula depende de su posi-
ción en x pero no de su posición en y.
A partir del grá�co anterior suponemos funciones lineales simétricas con respecto a
la temperatura como se muestra a continuación:
12
2 Ecuación de Langevin para un Sistema con Temperatura Variable 13
Figura 3. Función de Distribución de la Temperatura
Por consiguiente, la temperatura a la que se encuentra la partícula en función de su
posición se puede expresar de la siguiente manera:
T (x(t)) =
�Tf � TiX
�� j x(t) j +Ti (2.24)
Donde:
Tf es la temperatura de las paredes del reservorio.
Ti es la temperatura en la mitad del reservorio con respecto al eje x.
X es la mitad de la longitul del reservorio en el eje horizontal o x.
x(t) es la posición de la partícula en función del tiempo.
2.2 Constante de Difusión
A partir de la ecuación de difusión desarrollada por Einstein, se puede establecer que el pre-
sente sistema cuenta con un coe�ciente de difusión que depende de la posición. Al sustituir
la ecuación para la temperatura dependiente de la posición en la ecuación de Einstein:
D(x(t)) =KB
� T (x(t)) (2.25)
2 Ecuación de Langevin para un Sistema con Temperatura Variable 14
D(x(t)) =KB
���
Tf � TiX
�� j x(t) j +Ti
�(2.26)
Por consiguiente, podemos concluir que la difusión de la partícula para este sistema,
además de las variables tradicionales desarrolladas por Einstein, depende de dónde se en-
cuentre localizada la partícula en el reservorio para un momento del tiempo, del diferencial
de temperaturas entre la pared y el centro del reservorio y de la dimensión del reservorio
con respecto al eje x.
A partir de la ecuación (1.2) de la densidad de probabilidad hallada por Einstein en
función de la posición, la constante de difusión y el tiempo, y empleando lo hallado en la
ecuación anterior, encontramos que la ecuación para la densidad de probabilidad de este
sistema se puede expresar de la siguiente manera:
�(x; t) =1�
4�KB
�n�
Tf�TiX
�� j x j +Ti
o� t�3=2 e�
jxj2�4KB �
��Tf�TiX
��jxj+Ti
��t�
(2.27)
2.3 Determinación de �
A partir de lo hallado para la ecuación de Langevin en la sección anterior, encontramos
que el nuevo valor de � al hallar la correlación entre las fuerzas aleatorias, depende de la
posición de la partícula, como se muestra a continuación:
�(x(t)) = 2 mKB
��Tf � TiX
�� jx(t)j+ Ti
�(2.28)
El Teorema de equipartición de la energía obtenido anteriormente permitía calcular
la velocidad promedio de la partícula en el sistema. Sin embargo, para nuestro caso de
2 Ecuación de Langevin para un Sistema con Temperatura Variable 15
estudio, esta conclusión resulta mucho más compleja ya que la partícula Browniana no se
encuentra en equilibrio térmico.
De acuerdo a esto, uno de los comportamientos factibles de la partícula puede repre-
sentarse en la siguiente grá�ca:
Figura 4. Partícula Browniana en elReservorio
Chapter 3Metodología
3.1 Movimiento Browniano Continuo en un Sistema conDistribución de Temperaturas
Como se explicó anteriormente, el movimiento Browniano continuo de una partícula que
se halla en un reservorio que cuenta con una distribución de temperaturas se puede explicar
a partir de las siguientes ecuaciones:
dx(t)
dt= vx(t) (3.29)
dy(t)
dt= vy(t) (3.30)
dvx(t)
dt= � vx(t) +
1
m�x(t) (3.31)
dvy(t)
dt= � vy(t) +
1
m�y(t) (3.32)
Las correlaciones de las fuerzas aleatorias para x y y son:
h�x(t)�x(t0)i = ��(t� t0) (3.33)
�y(t)�y(t
0)�= ��(t� t0) (3.34)
16
3 Metodología 17
�x(t)�y(t
0)�= 0 g t y t0 (3.35)
� = 2 mKB
��Tf � TiX
�� jx(t)j+ Ti
�(3.36)
Donde � es el valor hallado en la ecuación de Langevin en la que la temperatura
depende de la posición.
La razón por la cual �; o la magnitud del impacto del �uido sobre la partícula Brow-
niana es la misma tanto para las fuerzas que actúan horizontalmente como verticalmente,
consiste en que � depende de factores tales como la fricción y la temperatura, pero es in-
dependiente de las cantidades vectoriales.
3.2 Simulaciones de Monte Carlo
La metodología empleada para el desarrollo del presente artículo consistió en el mode-
laje de simulaciones de Monte Carlo con el �n de estudiar las propiedades estadísticas de
las partículas que se encuentran en un reservorio con las características que se explicaron
anteriormente.
La razón por la cual se empleó esta metodología consiste en que las simulaciones son
el único método general para resolver problemas que cuentan con continuos movimien-
tos de partículas para extensos intervalos de tiempo. Además, el empleo de computadores
permite realizar las simulaciones miles de veces en un tiempo reducido, lo que experimen-
talmente resulta costoso y requiere demasiado tiempo.
3 Metodología 18
Dado que las simulaciones se pueden realizar miles de veces, los resultados son más
acertados ya que la media estadística permite su convergencia.
3.3 Distribución Discreta de los Movimientos de la PartículaBrowniana
Por las ventajas explicadas anteriormente sobre el empleo de simulaciones de Monte Carlo,
se diseñó una evolución intertemporal de la partícula para tiempos discretos, empleando
diferenciales de tiempo de 10�2 segundos. Esto resulta consistente con el supuesto em-
pleado por Einstein:
"Introduciremos un intervalo de tiempo � en la discusión, el cual debe ser bastante
reducido comparado con el intervalo de tiempo observado [i.e. el intervalo entre las ob-
servaciones], pero sin embargo, de tal magnitud que los movimientos ejecutados por la
partícula en dos intervalos consecutivos de tiempo � deben considerarse como fenómenos
mutuamente independientes".1 [Einstein, Albert (1926)]
A partir de este supuesto se estableció la siguiente ecuación para el choque estocás-
tico de la fuerza en el tiempo t:
� i;t = "i;t �p�x;t (3.37)
�x;t = 2 mKB
��Tf � TiX
�� jxtj+ Ti
�(3.38)
Donde "i;t es una variable aleatoria independiente e idéndicamente distribuida nor-
malmente con media cero y varianza 1, para la dimensión i, es decir x o y y t es el momento
1 Traducción de la autora.
3 Metodología 19
del tiempo para el cual se diseña el choque:
"i;t~iidN(0; 1) (3.39)
Es decir, "i;t es idéntica e independientemente distribuida normal con media cero y
varianza 1.
Los diferenciales de la velocidad se pueden expresar de la siguiente manera:
�vi;t = (� � vi;t�1 +� i;tm) ��t (3.40)
Por consiguiente, el choque estocástico de la velocidad es �i;tm. Al reemplazar este
valor por la ecuación (3.37), se obtiene:
�i;t =� i;tm="i;t �
p�x;t
m(3.41)
Donde �i;t es el choque estocástico de la velocidad.
Al reemplazar la ecuación (3.38) en la ecuación (3.41), encontramos que el choque
estocástico de la velocidad es:
�i;t = "i;t �
s2 KB
m
��Tf � TiX
�� jxtj+ Ti
�(3.42)
Es decir, el choque estocástico es proporcional a la raíz de:
� El diferencial de las temperaturas entre las paredes del reservorio y su centro
� La constante de Boltzman
� El coe�ciente de fricción
� El inverso de la masa
3 Metodología 20
A partir de la ecuación (3.40), la velocidad 8t > �t se puede expresar:
vi;t = vi;t�1 +�vi;t (3.43)
Estas ecuaciones diferenciales discretas permiten establecer la posición de la partícula en
un momento dado:
xt = xt�1 + vx;t ��t (3.44)
yt = yt�1 + vy;t ��t (3.45)
Se asumieron como constantes los siguientes supuestos:
Tabla 1.
Además, se consideraron 24 escenarios para diferentes combinaciones de la masay la fricción. La Tabla 2 que se muestra a continuación tiene en cuenta el número decada escenario de acuerdo a la combinación entre masa y fricción correspondiente:
Tabla 2.
Chapter 4Programa de Simulación
El programa de simulación fue desarrollado en Visual Basic Editor.
La simulación se desarrolló empleando el supuesto de periodicidad en el reservorio,
es decir, supone que la partícula cuyo movimiento supera alguna de las paredes, vuelve a
entrar al reservorio por el extremo opuesto.
En el Apéndice A del presente artículo se encuentra el programa empleado para la
simulación.
Órdenes de Magnitud
Teniendo en cuenta las masas consideradas en los escenarios (de 10�20 a 10�25 kilo-
gramos) y, sabiendo que la partícula Browniana se halla en un �uido cuyos átomos tienen
una masa del orden de 10�27 kilogramos, los escenarios para los cuales la masa es del or-
den de 10�20 kilogramos equivalen a diez millones de veces la masa de las partículas del
�uido, mientras que para los escenarios en los que la masa equivale a 10�25 kilogramos, la
masa de la partícula Browniana equivale a 100 veces la masa de las partículas del �uido.
21
Chapter 5Análisis
5.1 Características de la Posición
En las ecuaciones (3.41) y (3.42), se puede apreciar que la posición de la partícula en un
momento t depende de la posición de la partícula en el momento t� 1:
Para analizar las características intertemporales de la posición en x y en y se re-
alizaron análisis estadísticos.
5.1.1 Efectos de la masa en la posición de las partículas
A partir de los escenarios desarrollados se encontró que mientras menor sea la masa, mayor
tiende a ser la volatilidad de la posición, como se muestra en los siguientes grá�cos de la
posición en x en función del tiempo (Grá�co 1) y la posición en y en función del tiempo
(Grá�co 2)2:
2 En los grá�cos correspondientes x hacen referencia a la posición con respecto al eje x y el número que loacompaña es el escenario, la racionalidad es análoga para el caso de y.
22
5 Análisis 23
Grá�co 1.
Grá�co 2.
Este efecto de la masa sobre la posición de la partícula encuentra sustento dado que,
como se explicará más adelante, mientras menor sea la masa, mayor es la volatilidad de la
velocidad de la partícula y por consiguiente la volatilidad de la posición aumenta.
5 Análisis 24
5.1.2 Efectos de la fricción en la posición de las partículas
A partir de los escenarios desarrollados se encontró que mientras mayor sea la fricción,
mayor tiende a ser la volatilidad de la posición, como se muestra en los siguientes grá�cos
de la posición en x en función del tiempo (Grá�co 3) y la posición en y en función del
tiempo (Grá�co 4).
Grá�co 3.
5 Análisis 25
Grá�co 4.
La razón fundamental de este efecto consiste en que, dado que los coe�cientes de
fricción son inferiores a 1, el coe�ciente de reducción de la variación de la velocidad es pro-
porcional a (�vi;t / � ), mientras que el coe�ciente de la variación de la velocidad por
el choque estocástico es proporcional a la raíz del coe�ciente de fricción (�vi;t /p ).
Por ello, partiendo de las condiciones iniciales especí�cas de este modelo (temperaturas
muy altas en las paredes) y dado que los coe�cientes de fricción son inferiores a 1, mayor
es el efecto de la fricción sobre el choque estocástico dados los demás coe�cientes que
intervienen en �, comparados con la velocidad (factor que acompaña a la fricción) y por
consiguiente sobre la volatilidad de la posición la partícula.
5.2 Características de la Velocidad
A partir de la ecuación (3.4), puede percibirse que la velocidad en cualquiera de las dos
dimensiones cuenta con un componente autorregresivo, es decir, depende fuertemente de
la velocidad anterior.
Para analizar este efecto se realizaron pruebas estadísticas de raíz unitaria con el �n
de establecer la validez estadística de este determinante dado que el sistema no se encuentra
en equilibrio térmico. La raíz unitaria hace referencia precisamente a la alta dependencia de
la variable para el momento t en términos de la variable para el momento t�1. Para ello se
realizó el test de Dickey-Fuller [Judge et al. (1988)] aumentado según el cual la hipótesis
nula acepta la existencia de raíz unitaria. La raíz unitaria hace referencia a la dependencia
5 Análisis 26
directa de la variable en el tiempo t por el 100% del valor de la variable en el tiempo t�1:La
regresión que se emplea para probar raíz unitaria se encuentra a continuación:
vt = �+ � � vt�1 + "t (5.46)
Donde la hipótesis nula Ho es:
Ho : � = 1 (5.47)
Es decir, la hipótesis nula hace referencia a la raíz unitaria. Para hacer la prueba de
raíz unitaria, la variable se normaliza con respecto a 1 de la siguiente manera:
z =�̂ � 1��̂
(5.48)
Donde �̂ es el valor estimado mediante una regresión por mínimos cuadrados ordi-
narios del coe�ciente de vt�1 y �� es la desviación estándar de �̂: Este valor normalizado se
compara con el valor según distribuciones normales para probabilidades del 90%, 95% y
99% de la distribución normal.
En las tablas 3 y 4 se encuentran los resultados del test tanto para la velocidad en x
como en y:
5 Análisis 27
5 Análisis 28
Tabla 3.
Tabla 4.
Dado que para las velocidades tanto en x como en y de todos los escenarios el es-
tadístico ADF fue superior a los valores críticos, se acepta la hipótesis nula que establece
la existencia de raíz unitaria de las velocidades. Por consiguiente, la velocidad en el sis-
tema no sólo es autorregresiva de orden 1 (es decir, depende de su valor anterior), sino que
se explica signi�cativamente por su valor anterior.
Sin embargo, es importante determinar la relación existente entre la velocidad y fac-
tores tales como la masa y la fricción para el sistema en cuestión.
5 Análisis 29
5.2.1 Efectos de la masa en la velocidad de las partículas
A partir de los escenarios desarrollados se encontró que mientras menor sea la masa, mayor
tiende a ser tanto el rango de la velocidad como su volatilidad, como se muestra en los
siguientes grá�cos de la velocidad en x en función del tiempo (Grá�co 5) y la velocidad en
y en función del tiempo (Grá�co 6)3:
Grá�co 5
3 En los grá�cos correspondientes vx hace referencia a la velocidad en x y el número que lo acompaña esel escenario, la racionalidad es análoga para el caso de vy.
5 Análisis 30
Grá�co 6.
Desde el punto de vista físico, este resultado es consistente con la teoría del Movimiento
Browniano, ya que mientras menor masa tiene la partícula más susceptible es a estar afec-
tada por los impactos del �uido.
5.2.2 Efectos de la fricción en la velocidad de las partículas
A partir de los escenarios desarrollados se encontró que mientras mayor sea la fricción,
mayor tiende a ser tanto rango de la velocidad como su volatilidad, como se muestra en los
siguientes grá�cos de la velocidad en x en función del tiempo (Grá�co 7) y la velocidad en
y en función del tiempo (Grá�co 8)4:
4 En los grá�cos correspondientes vx hace referencia a la velocidad en x y el número que lo acompaña esel escenario, la racionalidad es análoga para el caso de vy.
5 Análisis 31
Grá�co 7.
Grá�co 8.
5.3 Volatilidad de la Velocidad
5 Análisis 32
5.3.1 Regresiones Estadísticas
Para las diferentes con�guraciones de modelos se realizaron regresiones estadísticas con el
�n de establecer la relación existente entre la volatilidad de la velocidad de la partícula con
respecto al eje x y al eje y en función de la temperatura. Estas regresiones (mejor cono-
cidas como "Ordinary Least Squares"), se basan en hallar los coe�cientes de la variable
independiente (en este caso de la temperatura) que logran explicar la variable dependiente
(en este caso la volatilidad de la velocidad), de tal manera que se minimicen los errores al
cuadrado (donde los errores son la diferencia entre el valor observado de la variable y su
valor estimado a partir de los coe�cientes hallados y la variable independiente). La Tabla
que se encuentra a continuación muestra los resultados obtenidos:
5 Análisis 33
5 Análisis 34
Este modelo hace un estimación de la importancia de la temperatura en la explicación
de la volatilidad de la velocidad. El coe�ciente de temperatura hace referencia al factor que
multiplicado por la temperatura pretende explicar la volatilidad de la velocidad, si el coe�-
5 Análisis 35
ciente es positivo implica que a mayor temperatura, mayor es la volatilidad de la velocidad;
si el coe�ciente es negativo implica que a menor temperatura mayor es la volatilidad de la
velocidad. Para probar si la temperatura es signi�cativa en la explicación de la volatili-
dad de la velocidad, se construye un estadístico según el cual la hipótesis nula implica que
la temperatura no es signi�cativa estadísticamente en la explicación de la volatilidad de la
velocidad. Se rechaza la hipótesis nula, es decir, se acepta estadísticamente que la temper-
atura explica la volatilidad de la velocidad si el p-value es inferior a 0.05. Como se puede
apreciar en la Tabla 5, la temperatura, para la mayoría de los escenarios estudiados es sig-
ni�cativa en la explicación de la volatilidad de la velocidad. Además, la relación existente
entre las dos variables resultó positiva en 46 de los 48 casos analizados, lo que implica que
el gradiente de temperatura afecta positivamente la volatilidad de la velocidad.
Además, el R2 hace referencia al porcentaje en el cual la variable independiente
(la temperatura) explica el comportamiento total de la volatilidad de la velocidad. Este
coe�ciente para un gran número de casos resultó ser superior al 25%, lo que indica que la
temperatura no sólo afecta positivamente a la volatilidad de la velocidad, sino que es un
factor preponderante en su explicación.
5.3.2 Cambios Logarítmicos de la Volatilidad de la Velocidad
Dado que cambios logarítmicos permiten capturar las variaciones porcentuales de las vari-
ables, se empleó este criterio para analizar lo ocurrido para las velocidades. El grá�co 9 que
se encuentra a continuación muestra la relación existente entre los cambios logarítmicos de
la velocidad y los incrementos en la masa de la partícula:
5 Análisis 36
Grá�co 9.
Como puede apreciarse, a medida que aumenta la masa, los cambios logarítmicos de
la velocidad se reducen.
Análogamente, el grá�co 10 que se encuentra a continuación muestra la relación
existente entre los cambios logarítmicos de la velocidad y los incrementos en la fricción de
la partícula:
5 Análisis 37
Grá�co 10.
De acuerdo al grá�co anterior, no se puede inferir hacerca de ninguna relación entre
los cambios logarítmicos de la velocidad y los aumentos de la fricción.
5.4 Existe Reversión a la Media en el Sistema?
Con el �n de analizar la existencia de reversión a la media en el sistema, se contruyó un
estadístico que analiza los cambios en la posición de la partícula con el �n de establecer si
ésta tiende a converger hacia la mitad del reservorio.
El estadístico de caminata aleatoria en este caso se encuentra entre -2 y 2. Todos los
puntos que se encuentran dentro de este rango implican un comportamiento de caminata
aleatoria de la partícula. El eje x del grá�co (o tiempo) implica las relaciones en la posición
de la partícula entre un determinado número de segundos. Por ejemplo, t = 2 segundos,
5 Análisis 38
implica la relación en la posición de la partícula entre su posición inicial y su posición 2
segundos después.
A continuación se encuentra uno de los resultados obtenidos para la posición en x del
escenario 1:
Grá�co 11.
Como se puede apreciar en el grá�co anterior, prácticamente todos los puntos se
encuentran dentreo del rango de caminata aleatoria, lo que implica que la posición de la
partícula no intenta converger hacia un estado estacionario a medida que pasa el tiempo.
Este mismo análisis estadístico se realizó para todas las posiciones en x correspondi-
entes a cada escenario y los resultados fueron análogos, lo que implica que en ningún caso
se alcanza reversión a la media.
5 Análisis 39
Aunque el centro del reservorio contaba con temperaturas lo su�cientemente bajas
como para obtener reversión hacia el origen en el eje x, el comportamiento de la partícula
resultó ser de caminata aleatoria ("Random Walk"), ya que a medida que pasa el tiempo
la volatilidad tanto de la posición como de la velocidad se incrementa, se generan fuertes
�uctuaciones en la posición y además, la velocidad es autorregresiva y cuando pasa por las
paredes se incrementa. Por ello, mientras más tiempo pasa, la partícula va adquiriendo más
energía cinética, lo que genera que cuando ésta se dirige hacia el centro del reservorio su
trayectoria no se afecta sustancialmente por las bajas temperaturas.
Chapter 6Conclusiones
La teoría del Movimiento Browniano bajo el equilibrio térmico supone que el movimiento
de una partícula sumergida en un �uído con el que fricciona es aleatoria, haciendo que su
velocidad cambie cada cierto intervalo de tiempo. Al promediar estos cambios se ob-
tiene que la partícula se mueve a una velocidad aproximadamente constante ya que bajo
el equilibrio térmico la partícula alcanza un régimen estacionario entre la fuerza aleatoria
(estocástica) que ha generado el cambio y la fuerza de fricción.
Sin embargo, para el sistema que se estudió en este artículo, el cual no se encuen-
tra en equilibrio térmico, se encontró que las partículas Brownianas no llegan a estados
estacionarios, incluso teniendo en cuenta que la mitad del reservorio se halla a muy bajas
temperaturas.
Este resultado se debió a varios factores:
� Alta temperatura en las paredes (� 104�K), lo que implica que los choques
estocásticos que afectaban a la partícula cerca de las paredes eran grandes.
� Dado que los choques cerca a las paredes eran muy grandes y que las velocidades
eran autorregresivas, la velocidad se incrementaba sustancialmente en determinados
momentos.
� Por lo anterior, la partícula generalmente contaba con velocidades altas al pasar por
el centro del reservorio y por consiguiente la fuerza de fricción únicamente no podía
contrarrestar el efecto de su alta energía cinética.
40
6 Conclusiones 41
� La volatilidad de la velocidad está altamente determinada por la temperatura y por
consiguiente por la magnitud de la posición de la partícula y dado que la energía
depende de la velocidad cuadrática promedio, se puede inferir que la energía
cinética se incrementaba en las paredes y su magnitud era su�ciente como para que
la partícula no lograse la convergencia hacia el centro del reservorio.
En resumen, la conclusión fundamental de este estudio consiste en que, dado que
el sistema no se encuentra en equilibrio térmico y que la velocidad es autoregresiva, la
partícula Browniana no experimenta reversión a la media ya que, a medida que pasa el
tiempo va ganando energía cinética y por consiguiente su velocidad en la mayoría de las
simulaciones se incrementa con el tiempo.
Otros temas de estudio sobre el Movimiento Browniano para sistemas que no se
encuentran en equilibrio térmico que proponemos para futuras investigaciones hacen ref-
erencia al análisis de los efectos de la variación de la temperatura en el estudio de las
propiedades vibracionales y rotacionales de las partículas Brownianas, sistemas con inter-
valos de temperatura discretos, análisis de sistemas de variación térmica pero a muy bajas
temperaturas tal que puedan generar condensados de Bose Einstein y empleo de distribu-
ciones de probabilidad diferentes a la normal.
Bibliografía
Beard, Daniel A. (2001) "A Molecular Modeler's Guide to Statistical Mechanics". CourseNotes for BIOE575, Department of Bioengineering, University of Washington.
Einstein, Albert. (1926) "Investigations on the Theory of Brownian Movement". Dover Edi-tion.
Huang, Kerson (1987) "Statistical Mechanics". John Wiley & Sons, Inc. SEcond Edition,Massachusetts Institute of Technology.
Judge, G., Carter, R. y W. Grif�ths (1988) "Introduction to the Theory and Practice ofEconometrics". Second Edition.
Kiem, Heesum (2000) "The Brownian Motion and Ito Integration".Marzo 3 de 2000.
Lemons, Don S. "An Introduction to Stochastic Processes in Physics" . The Johns HopkinsUniversity Press.
León, José Rafael y Joaquín Ortega (1989). �Paseo al Azar y Movimiento Browniano�.Segunda Escuela Venezolana de Matemáticas, Facultad de Ciencias de la Universidadde los Andes, Mérida, 20 al 30 de septiembre de 1989.
Muscolino, G., Ricciardi G. y P. Cacciola (2003) "Monte Carlo Simulation in the StochasticAnalysis of Non-Linear Systems Under External Stationary Poisson White Noise Input".International Journal of Non-Linear Mechanics 38 Págs. 1269-1283.
Nelson, Edward (2001) "Dynamical Theories of Brownian Motion". Princeton UniversityPress, Department of Mathematics, Second Edition, Agosto de 2001.
Panqueva, José Raúl. (1989). �Simulación del Movimiento Browniano a partir de la Ecuaciónde Langevin�. Universidad de los Andes, Departamento de Física, Bogotá, 1989.
Petersen, K. E. (1977). �Brownian Motion, Hardy Spaces and Bounded Mean Oscilla-tion�. London Mathematical Society, Lecture Note Series No. 28. Cambridge Univer-sity Press.
Reichl, L. E. (1998). �A Modern Course in Statistical Physics�. Wiley-Interscience, Sec-ond Edition.
42
Bibliografía 43
Reif, F (1965) "Fundamentals of Statistical and Thermal Physics". Mc Graw Hill BookCompany, International Student Edition.
Schulten, K. e I. Kosztin (2000) "Lectures in Theoretical Biophysics".University of Illinois,Department of Physics and Beckman Institute, abril de 2000.
Schwabl, F. (2002). �Statistical Mechanics�. Editorial Springer.
Appendix APrograma de Simulación 2-D Periódico
simulaciones: número de veces que se volverá a correr el proceso para hallar los
promedios para un tiempo dado.
kb: constante de Boltzmann en J/�K.
dispar: distancia en metros del centro del reservorio a la pared.
dimy: alto del reservorio.
masa: masa en kilogramos de la partícula Browniana.
ti: temperatura en �K en la mitad del reservorio.
tf: temperatura en �K en las paredes del reservorio.
x: posición en x en metros, va cambiando con el tiempo.
x2: posición en x al cuadrado.
y: posición en y, va cambiando con el tiempo.
y2: posición en y al cuadrado.
magpos: magnitud de la posición.
magpos2: magnitud de la posición al cuadrado.
vx: velocidad en x, va cambiando con el tiempo.
vy: velocidad en y, va cambiando con el tiempo.
vx2: velocidad en x al cuadrado.
vy2: velocidad en y al cuadrado.
magvel: magnitud de la velocidad total.
44
Appendix A Programa de Simulación 2-D Periódico 45
magvel2: magnitud de la velocidad al cuadrado.
ranx: variable aleatoria distribuida normalmente con media cero y varianza �,
que representa el choque sobre el eje x que sufre la partícula en un momento dado.
rany: variable aleatoria distribuida normalmente con media cero y varianza �,
que representa el choque sobre el eje y que sufre la partícula en un momento dado.
temp: temperatura en �K a la que se encuentra sometida la partícula, depende de la
posición.
gamma: valor que acompaña a delta en la correlación entre los choques, depende
de la posición.
t: tiempo transcurrido correspondiente a las velocidades y posiciones
de cada vector de arreglo1.
dt: diferencial de tiempo.
Iterac: número de veces que se calculan los cambios en las velocidades y posiciones
de dt.
Sub simulation()
Dim simulaciones, masa, dimy, ti, tf, fric, iterac, dt As Double
Dim tiempo, kb, dispar, x, y, x2, y2, magpos, magpos2, vx, vy, vx2, vy2,
magvel, magvel2, ranx, rany, temp, gamma, t As Double
Dim mat(), prom() As Variant
'Inicialización de variables
Sheets("Inicialización").Select
Appendix A Programa de Simulación 2-D Periódico 46
simulaciones = Cells(5, 2).Value
masa = Cells(6, 2).Value
dispar = (Cells(7, 2).Value) * 0.5
dimy = Cells(8, 2).Value
x = Cells(9, 2).Value
y = Cells(10, 2).Value
vx = Cells(11, 2).Value
vy = Cells(12, 2).Value
ti = Cells(13, 2).Value
tf = Cells(14, 2).Value
fric = Cells(15, 2).Value
iterac = Cells(16, 2).Value
dt = Cells(17, 2).Value
kb = 1.38 * 10 ^(-3)
tiempo = iterac * dt
ReDim mat(16, iterac - 1)
ReDim prom(16, iterac - 1)
'Inicialización de matrices:
i = 1
j = 1
For i = 1 To iterac
For j = 1 To 17
Appendix A Programa de Simulación 2-D Periódico 47
mat(j - 1, i - 1) = 0
prom(j - 1, i - 1) = 0
Next j
Next i
'Ciclo de la simulación:
j = 1
i = 1
m = 1
For m = 1 To simulaciones
t = 0
For j = 1 To iterac
t = t + dt
'Calcula temperaturas, posiciones y velocidades a partir de la ecuación de Langevin:
temp = ((tf - ti) / dispar) * Abs(x) + ti
gamma = 2 * fric * masa * kb * temp
ranx = (2 * Rnd() - 1) * Sqr(gamma)
rany = (2 * Rnd() - 1) * Sqr(gamma)
dvx = (-fric * vx + ranx / masa) * dt
dvy = (-fric * vy + rany / masa) * dt
vx = vx + dvx
Appendix A Programa de Simulación 2-D Periódico 48
vx2 = vx * vx
vy = vy + dvy
vy2 = vy * vy
magvel = Sqr(vx2 + vy2)
magvel2 = magvel * magvel
x = x + vx * dt
y = y + vy * dt
'Periodicidad del reservorio tanto en y como en x:
If Abs(x) > dispar Then
If x < 0 Then
x = 2 * dispar + x
Else
x = x - 2 * dispar
End If
End If
If y > dimy Then
y = y - dimy
End If
If y < 0 Then
y = dimy + y
Appendix A Programa de Simulación 2-D Periódico 49
End If
x2 = x * x
y2 = y * y
magpos = Sqr(x2 + y2)
magpos2 = magpos * magpos
'Llena una matriz en la que va calculando en las columnas, las posiciones,
'velocidades, temperaturas y variables aleatorias para cada momento
'del tiempo en la simulación
mat(0, j - 1) = x
mat(1, j - 1) = y
mat(2, j - 1) = x2
mat(3, j - 1) = y2
mat(4, j - 1) = magpos
mat(5, j - 1) = magpos2
mat(6, j - 1) = vx
mat(7, j - 1) = vy
mat(8, j - 1) = vx2
mat(9, j - 1) = vy2
mat(10, j - 1) = magvel
mat(11, j - 1) = magvel2
mat(12, j - 1) = ranx
mat(13, j - 1) = rany
Appendix A Programa de Simulación 2-D Periódico 50
mat(14, j - 1) = temp
mat(15, j - 1) = gamma
mat(16, j - 1) = t
'Calcula el promedio de las simulaciones para cada tiempo
' determinado:
prom(0, j - 1) = (x * (m - 1) + prom(0, j - 1)) / m
prom(1, j - 1) = (y * (m - 1) + prom(1, j - 1)) / m
prom(2, j - 1) = (x2 * (m - 1) + prom(2, j - 1)) / m
prom(3, j - 1) = (y2 * (m - 1) + prom(3, j - 1)) / m
prom(4, j - 1) = (magpos * (m - 1) + prom(4, j - 1)) / m
prom(5, j - 1) = (magpos2 * (m - 1) + prom(5, j - 1)) / m
prom(6, j - 1) = (vx * (m - 1) + prom(6, j - 1)) / m
prom(7, j - 1) = (vy * (m - 1) + prom(7, j - 1)) / m
prom(8, j - 1) = (vx2 * (m - 1) + prom(8, j - 1)) / m
prom(9, j - 1) = (vy2 * (m - 1) + prom(9, j - 1)) / m
prom(10, j - 1) = (magvel * (m - 1) + prom(10, j - 1)) / m
prom(11, j - 1) = (magvel2 * (m - 1) + prom(11, j - 1)) / m
prom(12, j - 1) = (ranx * (m - 1) + prom(12, j - 1)) / m
prom(13, j - 1) = (rany * (m - 1) + prom(13, j - 1)) / m
prom(14, j - 1) = (temp * (m - 1) + prom(14, j - 1)) / m
prom(15, j - 1) = (gamma * (m - 1) + prom(15, j - 1)) / m
prom(16, j - 1) = t
Appendix A Programa de Simulación 2-D Periódico 51
Next j
Next m
Sheets("Resultados").Select
'Imprime los Títulos de las Columnas:
Cells(11, 2).Value = "x"
Cells(11, 3).Value = "y"
Cells(11, 4).Value = "x2"
Cells(11, 5).Value = "y2"
Cells(11, 6).Value = "magpos"
Cells(11, 7).Value = "magpos2"
Cells(11, 8).Value = "vx"
Cells(11, 9).Value = "vy"
Cells(11, 10).Value = "vx2"
Cells(11, 11).Value = "vy2"
Cells(11, 12).Value = "magvel"
Cells(11, 13).Value = "magvel2"
Cells(11, 14).Value = "ranx"
Cells(11, 15).Value = "rany"
Cells(11, 16).Value = "Temp"
Cells(11, 17).Value = "Gamma"
Cells(11, 18).Value = "Tiempo"
j = 1
Appendix A Programa de Simulación 2-D Periódico 52
i = 1
For j = 1 To iterac
For i = 1 To 17
Cells(11 + j, 1 + i).Value = prom(i - 1, j - 1)
Next i
Next j
End Sub
