Modelo Determinista para Movimiento Browniano de una Partícula

en un Campo de Fuerzas Constante

●Jorge Francisco Lazo Sánchez●Héctor Eduardo Gilardi Velázquez

●Eric Campos Cantón.

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Movimiento Browniano

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Modelos propuestos.

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Modelo de Einstein

 

f ( x , t )=n

√4πDe

−x2

4Dt

√t

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Modelo de Langevin

 

 

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Movimiento Browniano Determinista

● Ecuación Jerk

J ( x , x , x , x)=0

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Modelo de Huerta-Jiménez-Cantón

● Involucra la ecuación de Jerky en sustitución del proceso estocástico A(t)

x=y

y=−γ y+ z

z=−α1 x−α2 y−α3 z+α4

α1=1.5,α2=1.2α3=0.1

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● Distribución de Probabilidades Gausiana

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● Ecuaciones de Langevin en la teoría de Ornstein -Uhlenbeck

dx (t )=v (t )dt

d ω(t )=ω2 x (t )dt−βv (t )+dB(t )

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Casos para el modelo.

● Sobreamortiguado (β>2ω)● Criticamente amortiguado (β=2ω)● Subamortiguado (β<2ω)

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Modelo Propuesto

dx (t )=v (t )dt

dv (t )=−ω2 x (t )dt−β v (t )dt+ z (t )

dz (t )=α1 x (t )+α2 v (t )+α3 z (t )+α4

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● Las α son constantes● C1=0.6● C2=0.9

α4=C1 Round ( x /C2)

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Resultados.

● Caso sobreamortiguado.

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● Caso criticamente amortiguado

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● Caso subamortiguado.

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Conclusiones● Al observar las gráficas de estos en el espacio de

estados se puedo observar que tiene un comportamiento complejo similar al obtenido por Campos-Huerta.

● Es posible generar movimiento Browniano determinista para este modelo.

● A partir de los datos obtenidos del desplazamiento se obtuvo la distribución de probabilidad, fue posible observar que en cada uno de los casos que abarca el modelo de Ornstein-Uhlenbeck se obtiene una distribución de probabilidad Gausiana.

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Agradecimientos.

● Al Instituto Potosino de Investigación Científica y Tecnológica, por aceptarme para realizar la estancia y al programa del Verano de la Investigación Científica y Tecnológica del Pacífico por la beca que me otorgaron para realizarlo.

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Bibliografía.

● Einstein A. Investigations on the Theory of the Brownian Movement edited with notes by R. Furth, translated by A. D. Cowper, Dover, 1956. (Furth’s rst note, pp. 86(88, is historical.)

● Langevin Paul, Sur la theorie du mouvement brownien ,C. R. Acad. Sci. (Paris) 1908.

● Nelson Edward, Dynamical Theories of Brownian Motion. Princeton University Press. 1967.

● Sprott J.C, Some simple chaotic jerk functions. Department of Physics, University of Wisconsin, Madison, Wisconsin 1997

● Gottlieb H. Harmonic balance approach to periodic solutions of non-linear jerk equations, Journal of Sound and Vibration 271, 2004.

● Braun Eliezer, Un Movimiento en Zigzag, Fondo de Cultura Económica, La ciencia para todos, 1986.

● Huerta-Cuellar G, Jimenez López E, Campos Cantó E, An approach to generate deterministic Brownnian motion. Common Non-linear Sci. Numer Simulat 19 (2014)