Movimiento ForzadoECUACIONES DIFERENCIALES MM -411

MODELO DEL MOVIMIENTO FORZADOCuando en un sistema masa-resorte hay una fuerza externa 𝑓𝑒(𝑡)

(fuerza de excitación). Se le conoce como sistema con movimiento forzado.

Cuya ecuación diferencial es la siguiente:

𝑚𝑑2𝑥

𝑑𝑡2+ 𝛽

𝑑𝑥

𝑑𝑡+ 𝑘𝑥 = 𝑓𝑒(𝑡)

Movimiento forzado con amortiguamiento(𝛽 ≠ 0)

𝑚𝑑2𝑥

𝑑𝑡2+ 𝛽

𝑑𝑥

𝑑𝑡+ 𝑘𝑥 = 𝑓𝑒(𝑡)

La solución general esta dada por una solución complementaria 𝑥𝑐(𝑡) y una solución particular 𝑥𝑐(𝑡)

𝑥 𝑡 = 𝑥𝑐 𝑡 + 𝑥𝑝(𝑡)

Donde:

𝑥𝑐 𝑡 :Terrmino transitorio (porque lim𝑡→+∞

𝑥𝑐 𝑡 = 0)

𝑥𝑝(𝑡):Estado estable

Ejemplo grafico:

Ejemplo:Se une una masa de 1 kg a un resorte con un amortiguador donde la constante del resorte es 1 N y la constante de amortiguamiento 2 veces la velocidad instantánea. Si se aplica una fuerza de excitación 𝑓𝑒 𝑡 = 17Cos t, determine la posición y velocidad de la masa en cualquier tiempo suponiendo que x(0)=0 m y x´(0)=0.

Solución

Observación Termino transitorio 𝑥𝑐 𝑡 =

Note que lim𝑡→+∞

𝑥𝑐 𝑡 = 0, esto es que a medida pasa el tiempo solo se preserva el movimiento

oscilatorio provocado por la fuerza externa.

Movimiento forzado sin amortiguamiento(𝛽 = 0)

Se tiene un sistema masa-resorte donde 𝑚 = 5 𝑘𝑔 y 𝑘 = 20 𝑁 𝑚, que esta sometido a una 𝑓𝑒 𝑡 = 5𝐶𝑜𝑠 3𝑡 𝑁. Si el sistema tiene condiciones iniciales 𝑥 0 = 0.02 𝑚 𝑦 𝑣 0 = 0 𝑚 𝑠. Determine:

a) La posición velocidad y aceleración en cualquier tiempo.

b) El periodo

c) Los tiempos donde alcanza sus máximos y mínimos relativos.

Solución:

a)

b) El periodo seria el minimo común múltiplo de los periodos de las funciones dadas.

Como:

Note que Periodo de Cos 2t es 𝜋 y periodo de Cos 3t es 2𝜋

3

El minimo común múltiplo de 𝜋 y2𝜋

3es 2𝜋

Por lo que el periodo es 2𝜋

c)

c)

Grafica: