Movimiento Ondulatorio

Física 2

IntroducciónConsideraremos la propagación de algo que no es materia, sino energía propagada a través de la materia.

Las ondas que estudiaremos requieren:

1. Alguna fuente de propagación

2. Un medio que pueda perturbarse

3. Cierta conexión física por medio de la cual partes adyacentes del medio puedan afectarse entre sí

Características

La longitud de onda es la distancia mínima entre dos puntos cualesquiera sobre una onda que se comportan idénticamente.

La frecuencia es la tasa de tiempo a la cual la perturbación se repite a sí misma,

Cresta

Valle

Tipos de ondasUna onda viajera es una perturbación que se propaga a lo largo de un medio a una velocidad definida.

Una onda viajera que causa que las partículas del medio perturbado se muevan perpendicularmente al movimiento de la onda se conoce como onda transversal.

Una onda viajera que causa que las partículas del medio perturbado se muevan paralelas al movimiento de la onda se conoce como onda longitudinal.

Algunas ondas no son ni transversales ni longitudinales como las ondas en la superficie del agua. Éstas tienen componentes longitudinal y transversal.

Onda transversal

Onda longitudinal

Ondas viajeras unidimensionalesUna onda viajera se puede representar como una función y = f(x). Al desplazamiento máximo del pulso se le llama amplitud.

Si la forma del pulso de onda no cambia con el tiempo, podemos representar el desplazamiento y de la cuerda para todos los tiempos ulteriores como:

y = f(x – vt)

Si el pulso se desplaza a la derecha y por

y = f(x + vt)

Si el pulso se desplaza a la izquierda.

Donde v es la velocidad de desplazamiento del pulso. A la función y se le llama a veces función de onda.

ejemplo

10.3

2, 2

txtxyUn pulso de onda se mueve hacia la derecha y se representa por

Graficar en t = 0, 1, 2 s.

1

2, 2

xtxy

13

2, 2

xtxy

16

2, 2

xtxy

TareaUna onda se describe por 2500.5, txetxy

Encuentre a) la dirección de movimiento de la onda, b) la rapidez, c) la amplitud máxima, d) la amplitud cuando t = 0.5 en x = 1.5.

Superposición e interferencia de ondas

El principio de superposición establece que:

Si dos o más ondas viajeras se mueven a través de un medio, la función de onda resultante en cualquier punto es la suma algebraica de las funciones de ondas individuales.

Las ondas que obedecen este principio son llamadas ondas lineales. Las que no lo cumples son ondas no lineales.

La combinación de ondas independientes en la misma región del espacio para producir una onda resultante se denomina interferencia.

La interferencia es constructiva si el desplazamiento es en la misma dirección y destructiva en caso contrario.

La velocidad de ondas en cuerdasLa velocidad de ondas mecánicas lineales depende exclusivamente de las propiedades del medio por la cual viaja la onda. Si la tensión en la cuerda es F y su masa por unidad de longitud es , la velocidad de la onda es:

F

v

RvR

F

Rmv

F

Rsm

FFF

r

r

2

2

22

2

2sen2

Ejemplo

1 m

5 m

2 kg

Una cuerda tiene 0.300 kg de peso y una longitud de 6 m. la cuerda pasa por una polea y sostiene un objeto de 2 kg. Calcule la rapidez de un pulso viajando a lo largo de la cuerda.

Reflexión y transmisión de ondas

Pulso incidente

Pulso reflejado

Reflexión de un pulso de onda viajera en el extremo fijo de una cuerda alargada.

El pulso reflejado se invierte, pero su forma permanece igual.

Pulso incidente

Pulso reflejado

Reflexión de un pulso de onda viajera en el extremo libre de una cuerda alargada.

El pulso reflejado no se invierte.

Pulso incidente

Pulso reflejadoPulso transmitido

Un pulso viaja hacia la derecha en una cuerda ligera unida a una cuerda pesada. Parte del pulso se refleja y parte del pulso se transmite a la cuerda más pesada.

Pulso incidente

Pulso reflejado Pulso transmitido

Un pulso viaja hacia la derecha en una cuerda pesada unida a una cuerda ligera. Parte del pulso se refleja y parte del pulso se transmite a la cuerda más ligera.

Los resultados anteriores pueden resumirse en lo siguiente:

Cuando un pulso de onda viaja de un medio A a un medio B y vA > vB (es decir, cuando B es más denso que A), el pulso se invierte en la reflexión.

Cuando un pulso de onda viaja de un medio A a un medio B y vA < vB (es decir, cuando A es más denso que B), el pulso no se invierte en la reflexión.

Ondas senoidalesUna onda senoidal es aquella cuyo desplazamiento y en función de la posición está dado por:

xAy2

sen

Esta sería una instantánea de la onda senoidal en t = 0.

La función para todo t es:

vtxAy2

sen

El tiempo que tarda en recorrer una distancia de una longitud de onda recibe el nombre de periodo, T. La velocidad de onda, la longitud de onda y el periodo se relacionan por medio de

Tv

El número de onda angular k y la frecuencia angular se definen como:

2k T

2

Otras relaciones son:

Tf

1k

v fv

tkxAy sen

Si la fase inicial no es cero la onda senoidal se expresa por:

EjemploUna onda senoidal que viaja en la dirección de x positivas tiene una amplitud de 15 cm, una longitud de onda de 40 cm y una frecuencia de 8 Hz. El desplazamiento en t = 0 y x = 0 en también 15 cm. Encuentre a) el número de onda angular k, el periodo T, la frecuencia angula w y la rapidez de la onda. b) determine la constante de fase y escriba la expresión general para la onda.

TareaUn tren de onda senoidal se describe por

y = (0.25 m) sen (0.30x – 40t)

Donde x se mide en metros y t en segundos. Determine a) la amplitud, b) la frecuencia angular, c) el número angular de onda, d) la longitud de onda, e) la rapidez de la onda y f) la dirección del movimiento.

Tv

2k

T 2 T

f1

kv

fv

Ondas senoidales en cuerdas

Un método para para producir un tren de pulsos de onda senoidales en una cuerda continua.

tkxAty

dtdy

vx

y

cosconstante

tkxAty

dt

dva

x

yy

sen2

constante

)(sen tkxAy

La forma de la onda se puede expresar como:

El punto P se mueve solo en sentido vertical con una velocidad y una aceleración dada por:

Aa

Av

máxy

máxy

2

Los valores máximos son:

Energía transmitida por ondas senoidales en cuerdas

221 kyU

m

Onda senoidal que viaja en una cuerda. Cualquier segmento se mueve verticalmente y cada uno tiene la misma energía total.

x

m = x

La energía potencial elástica es

Usando la relación 2 = k/m 2221 ymU

Para una masa m: 2221 ymU

2221 yxU Dado que m = x

dxtkxsenAdU 22221

Si x -> dx

Sustituyendo y = sen(kx – t)

dxydU 2221

Integrando en t = 0 sobre una longitud de onda:

2241

041

2122

21

0

22221

0

22221

2 AkxsenxA

dxkxsenAdxkxsenAU

k

Similarmente se puede calcular la energía cinética:

22

41 AK

La energía total es:

22

21 AUKE

La potencia es:

vAT

AT

A

TE

P 222122

21

2221

La rapidez de transferencia de energía de cualquier onda senoidal es proporcional al cuadrado de la frecuencia angular y al cuadrado de la amplitud.

EjemploUna cuerda para la cual = 5 x 10–2 kg/m se somete a una tensión de 80 N ¿Cuánta potencia debe aplicarse a al cuerda para generar ondas senoidales a una frecuencia de 60 Hz y una amplitud sw 6 cm?

TareaUna cuerda tensada tiene una masa de 0.180 kg y una longitud de 3.6 m ¿Qué potencia debe proporcionarse para generar ondas seniodales con una amplitud de 0.100 m y una longitud de onda de 0.300 m y para que viaje a una rapidez de 30 m/s?

Ecuación de onda

ABABy sensenFFsenFsenF

ABy FF tantan

ABy x

y

x

yFF

2

2

ty

xmaF yy

2

2

2

2

xy

ty

F

2

2

22

2 1xy

vty

La fuerza resultante en la dirección y es:

Para ángulos pequeños se cumple:

O sea

La 2a. Ley de Newton:

x

xyxy

t

y

FAB

2

2

De aquí obtenemos:

Por lo tanto

o