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Fisica. Movimiento Ondulatorio
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Generalidades
Movimiento Armnico Simple
FSICA III
Movimiento Oscilatorio
Movimiento Armnico Simple
Prof. Lic. Carlos Daniel Gonzlez
Facultad Politcnica
Universidad Nacional de Asuncin
24 de febrero de 2015
CARLOS GONZLEZ FSICA III
Generalidades
Movimiento Armnico Simple
Aspectos Administrativos
Horario de Clases
Martes de 17:30 a 19:00
Viernes 15:00 a 17:15
Evaluaciones
Exmenes Parciales
Trabajos Prcticos
Examen Final
Prcticas de Laboratorio de Fsica
Contacto: [email protected]
EDUCA
Curso: Fisica III, se encuentra alojada en rea de Grado y su
denominacin corta es F3
Contrasea: Fisica/3
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Generalidades
Movimiento Armnico Simple
Programa de Estudios
Oscilaciones
Oscilacin Armnica Simple
Oscilacin Amortiguada
Oscilacin Forzada
Ondas Mecnicas
Fenomenologa de las Ondas
Ecuacin de Ondas
Ejemplos varios
Ondas Electromagnticas
Ecuaciones de Maxwell y la Ecuacin de Ondas
ptica Fsica
ptica Geomtrica
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Generalidades
Movimiento Armnico Simple
Textos
Fsica. Volumen 1: Mecnica. Alonso, Finn
Fsica. Volumen 2: Campos y Ondas. Alonso, Finn
Fsica para la Ciencia y la Tecnologa. Volumen 1 y 2. Tipler,
Mosca
Fundamentos de Fsica. Volumen 1 y 2. Resnick, Halliday y
otros
Fsica Universitaria. Volumen 1 y 2. Sears, Zemansky y
otros
Fsica para la Ciencia y la Ingeniera. Volumen 1 y 2.
Serway, Jewett
Otros libros de nivel universitario de fsica general.
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Generalidades
Movimiento Armnico Simple
Cinemtica
Ejercicios I
Fuerza y Energa
Ejercicios II
Dinmica
Ejercicios III
Introduccin
Estudiaremos el llamado movimiento vibratorio u oscilatorio
Es uno de los movimientos ms importantes de la naturaleza
Hay diversas clases de movimiento oscilatorio
Decimos que una partcula u objeto oscila cuando se mueve
peridicamente con respecto a su posicin de equilibrio
Pndulo
Cuerpo en el extremo de un resorte
Los tomos de un slido
Los electrones de una antena radiante
El modelo ms simple de los que estudiaremos es el llamado
Movimiento Armnico Simple (MAS)
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Generalidades
Movimiento Armnico Simple
Cinemtica
Ejercicios I
Fuerza y Energa
Ejercicios II
Dinmica
Ejercicios III
Amplitud y Fase
Por denicin una partcula que se mueve sobre el eje x, con
MAS, tiene su posicin en funcin del tiempo dada por:
x = A sin (t+ )
La cantidad t+ se denomina fase del movimiento y porende es la fase inicial del mismo
La cantidad A se denomina amplitud del MAS y la cantidad se llama frecuencia angular del movimiento
En vez de utilizar la funcin seno tambin se puede usar la
funcin coseno
Cuando dos partculas en MAS tienen una diferencia de fase igual a 0 o un nmero entero de veces 2pi se dice que estn enfase
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Ejercicios I
Fuerza y Energa
Ejercicios II
Dinmica
Ejercicios III
Amplitud
Amplitud Amplitud
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Fuerza y Energa
Ejercicios II
Dinmica
Ejercicios III
Amplitud
Amplitud
Amplitud
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Ejercicios II
Dinmica
Ejercicios III
Periodo y Frecuencia
La funcin seno se repite cada vez que la fase aumenta en 2piLa posicin de la partcula se repite en intervalos de tiempo
iguales a:
T =2pi
= = 2pi
TEste tiempo se denomina el periodo del movimiento
El inverso del periodo se denomina frecuencia del movimiento
y representa el nmero de oscilaciones completas que la
partcula realiza por unidad de tiempo, as
f =1
T=
2pi= = 2pifEn el SI T se mide en segundo (s), f en
1
so hertz (Hz) y en
rad
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Dinmica
Ejercicios III
MAS
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Velocidad y Aceleracin
Dado que
x = A sin (t+ )
La velocidad de la partcula est dada por:
v =dx
dt= A cos (t+ )
Y la aceleracin est dada por:
a =dv
dt= 2A sin (t+ ) = 2xSe ve entonces que en el MAS la aceleracin es siempre
proporcional y opuesta al desplazamiento de la partcula
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Ejercicios III
Posicin, Velocidad y Aceleracin en el MAS
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Dinmica
Ejercicios III
Ejercicio 1
Un transductor ultrasnico (una especie de altavoz) empleado para
el diagnstico mdico oscila con una frecuencia de 6,7 MHzCunto tarda cada oscilacin, y qu frecuencia angular tiene?
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Ejercicio 2
Una partcula en MAS se mueve segn la ecuacin
x = 4 sin(0, 1t+ 0, 5), donde las unidades estn en el SI,determine:
(a) La amplitud, periodo y frecuencia del movimiento
(b) Las condiciones iniciales del movimiento
(c) La posicin, velocidad y aceleracin en t = 5 s.
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Ejercicio 3
Una partcula situada en el extremo de un oscilador pasa por su
posicin de equilibrio con una velocidad de 2 ms1, si la amplituddel movimiento es de 1 mm determine la frecuencia y el periodo demovimiento.
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Fuerza en el MAS
Sabemos que a = 2x y que F = maPor ende F = m2x = kx, donde k m2La constante k, a veces llamada constante elstica, representa
la fuerza necesaria para mover a la partcula una unidad de
distancia
Vemos entonces que como la aceleracin la fuerza es
proporcional y opuesta al desplazamiento
Esta fuerza siempre va dirigida al origen O del sistema, este es
el punto de equilibrio de la partcula
De esta manera tambin se puede denir T = 2pi
m
ky
f =1
2pi
k
m
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Energa Cintica en el MAS
La energa cintica de la partcula est dada por
K =1
2mv2 =
1
2m2A2 cos2 (t+ )
Si recordamos que cos2 = 1 sin2 K =
1
2m2A2
[1 sin2 (t+ )] = 1
2m2
(A2 x2)Tambin es posible de esta manera ver que v =
A2 x2
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Energa Potencial en el MAS
Recordemos que F = dUdx, por lo que
dU = FdxDe esta manera y tomando lmites adecuados tenemos
U =1
2kx2 =
1
2m2x2
De igual manera la energa mecnica total ser
E = K + U =1
2kA2 =
1
2m2A2
Vemos entonces que la energa total es constante y por ende
durante el movimiento hay un constante intercambio entre la
energa cintica y potencial del sistema oscilatorio
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Energa en el MAS
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Ejercicio 4
Una partcula cuya masa es de 0, 5 kg se mueve con MAS. Superiodo es de 0, 15 s y la amplitud de su movimiento es de 10 cm.Determine la aceleracin, la fuerza, la energa potencial y la energa
cintica cuando la partcula est a 5 cm de su posicin de equilibrio.
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Ejercicios III
Ejercicio 5
Una plancha horizontal oscila con MAS con una amplitud de 1, 5 my una frecuencia de 15 oscilaciones por minuto. Calcula el valor
mnimo del coeciente de friccin a n de que un cuerpo colocado
sobre la plancha no resbale cuando la plancha se encuentre en
movimiento.
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Ejercicios III
Ejercicio 6
Un objeto de 3 kg ligado a un resorte oscila con una amplitud de4 cm y un periodo de 2 s. Determine:
(a) La energa total
(b) El mdulo de mximo de la velocidad del objeto
(c) La posicin en la cual la velocidad del objeto es igual a la
mitad de su valor mximo.
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Ejercicios III
Ejercicio 7
Un bloque de masa M descansa en una supercie sin friccin y estconectado a un resorte horizontal con constante de fuerza k. Elotro extremo del resorte est jo a una pared. Un segundo bloque
de masa m est sobre el primero. El coeciente de friccin estticaentre los bloques es S . Determine la amplitud de oscilacinmxima que no permite que el bloque superior resbale.
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Dinmica del MAS
Para analizar el origen de las ecuaciones que hemos visto con
anterioridad es necesario que estudiemos las Leyes de Newton
Ya vimos que para que haya MAS debe haber existir sobre la
partcula una fuerza proporcional e inversa a la aceleracin
Es decir:
FR = kx
md2x
dt2= kx
d2x
dt2= k
mx
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Dinmica del MAS
2 km
d2x
dt2+ 2x = 0
d2x
dt2+ a
dx
dt+ bx = 0
Para resolver esta ecuacin denimos el operador m ddt, por lo
que
m2 + 2 = 0
Este es el caso en donde m1 = p+ qi y m2 = p qi, donde p = 0y m = iq = i
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Dinmica del MAS
La solucin de esta ecuacin por ende debe ser
x = epx (c1 cos qt+ c2 sin qt)
asi que x = c1 sint+ c2 cost
si denimos que c1 = A cos y c2 = A sin
tenemos que x = A cos sint+A sin cost
por lo que
x = A sin (t+ )
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Ecuaciones Adicionales
Recordemos que x = A sin (t+ ) y quev = A cos (t+ )
Para t = 0 tenemos x0 = A sin y v0 = A cos
Dividiendo tenemos
x0v0
=A sin
A cos=
1
tan
Por lo que tan =x0
v0
Por otro lado sin =x0Ay cos =
v0A
Elevando al cuadrado y sumando tenemos que A =
x20 +
v202
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Ejercicio 8
Formando las ecuaciones diferenciales de movimiento estudiar el
movimiento de una masa m unida a un resorte de constantek,determinando su frecuencia y periodo de oscilacin. El mismo sesuelta desde el reposo con la masa alejada del origen una distancia
A.
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Ejercicio 9
Un resorte se monta horizontalmente con su extremo izquierdo jo.
Conectando una balanza de resorte al extremo libre y tirando hacia
la derecha, se determina que la fuerza de estiramiento es
proporcional al desplazamiento y que una fuerza de 6.0 N causa un
desplazamiento de 0, 030 m. Al quitar la balanza y conectar undeslizador de 0, 50 kg al extremo, se deforma el resorte 0, 020 mpor una pista de aire sin friccin, al soltarle se ve que oscila.
(a) Determine la constante de fuerza del resorte.
(b) Calcule la frecuencia angular,
(c) Calcule la frecuencia y el periodo de la oscilacin.
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Ejercicio 10
Formando las ecuaciones diferenciales de movimiento estudiar el
movimiento de un pndulo de masa m y longitud ` determinandosu frecuencia y periodo de oscilacin, el mismo se suelta desde el
reposo desde una posicin angular 0
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Ejercicio 11
Formando las ecuaciones diferenciales de movimiento estudiar el
movimiento de un pndulo fsico de masa m y momento de inerciaI con relacin a su eje de oscilacin, determinando su periodo yfrecuencia de oscilacin.
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Ejercicio 12
Un anillo de 10 cm de radio esta suspendido de una varilla como semuestra en la gura. Determine su periodo de oscilacin.
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Ejercicio 13
Formando las ecuaciones diferenciales de movimiento estudiar el
movimiento de un pndulo de torsin de momento de inercia I conrelacin a su eje de oscilacin, determinando su periodo y
frecuencia de oscilacin.
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Ejercicio 14
Un disco uniforme slido de metal con masa de 6,50 kg y dimetro
de 24,0 cm cuelga en un plano horizontal, apoyado en su centro
con un alambre metlico vertical. Usted sabe que se requiere una
fuerza horizontal de 4,23 N tangente al borde del disco para girarlo
3, 34, y as torcer el alambre. Se suelta el disco del reposo.(a) Cul es la constante de torsin para el alambre metlico?
(b) Cules son la frecuencia y el periodo de las oscilaciones de
torsin del disco?
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Ejercicio 15
Un objeto cuadrado de masa m se construye con cuatro varasuniformes idnticas, cada una con longitud L, unidas entre s. Esteobjeto se cuelga de su esquina superior en un gancho. Si se gira
ligeramente a la izquierda y luego se suelta,con qu frecuencia
oscilar de un lado a otro?
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Ejercicio 16
Un bloque de madera de dimensiones a, b, c y densidad relativaal agua ota en agua con el lado a en posicin vertical. Si se lo
hunde ligeramente y se lo suelta comienza a oscilar. Determine su
periodo de oscilacin.
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Ejercicio 17
Una partcula de masa m se coloca sobre una mesa horizontal sinfriccin y se sostiene de un par de alambres tensos de longitud `0cuyos extremos estn jos. La tensin en los alambres es T y la
partcula se desplaza una pequea cantidad x0 en comparacin dela longitud de los alambres para luego soltarse y oscilar. Suponiendo
que la tensin en los alambres no cambia ni tampoco su longitud se
pide:
(a) Demostrar que el movimiento es Armnico Simple
(b) Determinar el periodo y la frecuencia del movimiento.
20
x0
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Ejercicio 18
Dos cilindros slidos conectados a lo largo de su eje comn por una
varilla corta y ligera tienen radio R y masa total M, y descansan
sobre una mesa horizontal. Un resorte con constante de fuerza k
tiene un extremo sujeto a un soporte jo, y el otro, a un anillo sin
friccin en el centro de masa de los cilindros. Se tira de los cilindros
hacia la izquierda una distancia x, estirando el resorte, y se sueltan.
Hay suciente friccin entre la mesa y los cilindros para que stos
rueden sin resbalar al oscilar horizontalmente. Demuestre que el
movimiento del centro de masa de los cilindros es armnico simple,
y calcule su periodo en trminos de M y k.
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