MOVIMIENTO PENDULAR Y OTROS SISTEMAS OSCILANTES

13/04/2023 06:25 a. m. 1Segundo L. Gallardo Zamora13/04/2023 06:25 a. m.

DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE CIENCIAS

FÍSICA AVANZADAMOVIMIENTO PENDULAR Y

OTROS SISTEMAS OSCILANTESAutor: Segundo Lizardo Gallardo Zamora

Trujillo-2014

MOVIMIENTO PENDULAR

Péndulo Simple

13/04/2023 06:25 a. m. 2Segundo L. Gallardo Zamora13/04/2023 06:25 a. m. 2Segundo L. Gallardo Zamora

El péndulo simple consiste de una pequeña masa suspendida del extremo libre de una cuerda ligera de longitud L , como el que se muestra en la Fig.1.

En cualquier posición angular (t), las fuerzas que actúan sobre la masa pendular son el peso mg y la tensión T en la cuerda.

Si la masa se desplaza hacia un lado hasta que la cuerda forme el ángulo m con la vertical y se deja libre, oscilará de un lado al otro, describiendo el arco BB´, de radio OB = L.

Tangente

Radial

T

Figura 1.

m

B B´

L

o

mg

mg sen

mg

cos

(t)

El peso se puede descomponer en una componente radial a la trayectoria que es mg cos y una tangencial que es mg sen

MOVIMIENTO PENDULAR

La componente radial mg cos es equilibrada por la tensión T, más no así la componente tangencial mg sen .


FT = – mg sen = m aT

Donde la aceleración tangencial es: aT = L d2 dt2 entonces: – mg sen = m L d2

dt2 que puede escribirse en la forma:

= – sen d2 dt2

g L

(1)

Esta ecuación diferencial rige el movimiento del péndulo simple para cualquier amplitud angular (t) . Pero si consideramos oscilaciones de pequeña amplitud angular, se demuestra matemáticamente que: sen [rad].

La fuerza tangencial es opuesta al desplazamiento angular (), por lo tanto, de acuerdo a la segúnda ley de Newton se tiene que:

MOVIMIENTO PENDULAR

Aplicando esta relación, la Ec.(1) se puede escribir en la forma


= – d2 dt2

g L

(2)

Esta ecuación es similar a la ecuación del MAS lineal.

(o)2 = gL

= - xd2x d t2

o2

Entonces, por similitud podemos decir que el movimiento de un péndulo simple de pequeña amplitud, es también un Movimien-to Armónico Simple Angular, con frecuencia angular:

Frecuencia lineal f =

gL

1

2

(4)

(3)o = gL

y período T = 2 Lg

(5)

MOVIMIENTO PENDULAR

También por similitud, concluimos que la solución de la ecuación diferencial (Ec.2) debe ser la función desplazamiento angular


La Ec.(6) nos da la posición del péndulo en cualquier instante, donde, m es la amplitud angular del movimiento pendular ( para m < 15°) y es la fase inicial de este movimiento.Si consideramos oscilaciones de mayor amplitud, la Ec.(5) para el período NO es válida. En oscilaciones de gran amplitud, el período del péndulo simple está dado por:

= m sen (o t + ) (6)

T = 2 (1 + sen2 + sen4 + . . . ) Lg

14

m

2m

2

9

64

(7)

Ejemplo 8. Calcular la longitud de un péndulo simple que realiza 120 oscilaciones en 75.0 [s], en un lugar donde g = 9,81 [m/s2].

Datos: Si f = 120/75 = 1,6 [osc/s], entonces T = 1/f = 0,625 [s] y g = 9,81 [m/s2 ]

MOVIMIENTO PENDULAR

Solución:

13/04/2023 06:25 a. m.6

Segundo L. Gallardo Zamora13/04/2023 06:25 a. m. 6Segundo L. Gallardo Zamora

T = 2 Lg

La longitud se puede obtener a partir de la fórmula del período

L = =

g T2

42

(9,81)(0,625)2 42

L = 0,097 [m] = 9,7 [cm]

PÉNDULO FISICO

El Péndulo físico o compuesto, es cualquier cuerpo rígido suspendido de un eje fijo que pasa fuera del centro de masa, como el de la Fig. 2

CM

d

Figura 2

mg

d sen Este cuerpo oscila cuando es desplazado la-teralmente un ángulo y el peso mg produce

el torque , respecto al eje Z´, que lo hace rotar en sentido opuesto al ángulo .

Z´

Eje de oscilacióno

MOVIMIENTO PENDULAR

Aplicando la segunda ley de Newton al movimiento de rotación se tiene:


que puede escribirse en la forma

(8)= – sen d2 dt2

mgd

I

d, es la distancia entre el eje de oscilación y el eje principal paralelo que pasa por el centro de masa del cuerpo.

donde:

I, es el momento de inercia del cuerpo respecto al eje de oscilación Z´.

Esta ecuación diferencial rige el movimiento oscilatorio de un péndulo físico para cualquier amplitud angular.

Pero si consideramos oscilaciones de pequeña amplitud y usamos la aproximación: sen [rad], la Ec.(8) toma la forma siguiente:

o = I – (d sen ) mg = I d2 dt2

MOVIMIENTO PENDULAR


= – d2 dt2

mgd

I(9)

Esta ecuación es también similar a la ecuación que rige el MAS lineal. Por lo tanto, el movimiento del péndulo físico es un MAS angular de frecuencia angular

(10)o = mgd I(o)2 =

mgd I

y período: T = 2 Imgd (12)

frecuencia lineal:mgd

I 1 2f = (11)

Péndulo simple equivalente. Es el péndulo simple que tiene una longitud tal que oscila con igual periodo que un péndulo físico. La longitud de péndulo simple equivalente se obtiene igualando las ecuaciones de los períodos de ambos péndulos.

MOVIMIENTO PENDULAR


(13) ImdL =de donde

La solución de la ecuación diferen-cial que rige el movimiento del péndulo físico (Ec.9) es también una función armónica del tipo:

(14) = m sen (o t + )Donde: m es la amplitud angular del péndulo físico, (debe ser

menor que 15°), o es la frecuencia angular y es la fase inicial.

T = 2 Lg

= 2 Imgd

De la ecuación del período del péndulo físico podemos obtener una fórmula para calcular la aceleración de la gravedad

g = 42 I md T2 (15)

Figura 3

CM

dZ´

Eje de oscilacióno

Eje de oscilacióno

L

MOVIMIENTO PENDULAR


Como en esta fórmula los términos I, m y d son constantes propias del péndulo físico, que pueden determinarse previamente, entonces usando la Ec.15 puede calcularse la aceleración g con solo medir su período (T) en cualquier lugar sobre la superficie terrestre.

Pero a el período del péndulo no es el mismo en los diferentes lugares sobre la superficie terrestre debido a las diferentes densidades de los materiales que hay por debajo del punto donde es medido, los valores que se obtengan para g, más los resultados de otras clases de mediciones (satelitales, sísmicas, etc.) permiten a los geólogos hacer excelentes estimaciones de la extensión y tipos de depósitos subterráneos de agua, petróleo y minerales en las capas inferiores de la superficie terrestre.

MOVIMIENTO PENDULAR


Tabla 1. Cuadrados de los radios de giro respecto a un eje principal de algunos cuerpos regulares.

Ko2

R2

2

R2

4+

L2

12

a2 + b2

12

a2 + b2

12

b 2

12

Ejes

L

R

ab

c

a

b

a

b

Cilindro

Paralelepípedo

Placa Rectangular

Ko2

L2

12

R2

2

R2

4

2 R2

5

R2

Ejes

Varilla Delgada

Disco

Anillo

Esfera

R

R

R

L

R

MOVIMIENTO PENDULAR

Ejemplo 9. Calcular el período y la frecuencia con que oscila una varilla delgada de masa 1,5 [kg] y longitud 2,0 [m] que es suspen-dida de un punto ubicado a 25 [cm] de un extremo, como se mues-tra en la Fig. 4.


Datos:

m = 1,5 [kg], L = 2,0 [m], con s = 0,25 [m], entonces d = ½L- 0,25 = 0,75 [m]Solución:Las oscilaciones son producidas por el torque del peso respecto al eje paralelo Z´

T = 2 Imgd

El período se obtiene usando

Donde: I = Io + md2 (Por el Teorema de los ejes

paralelos)

Figura 4

Eje de oscilación

C.M

Z´

s

mg

d

Zo

MOVIMIENTO PENDULAR

Con: Io = m(ko)2 = m , como el momento de inercia de la varilla

respecto a su eje principal Zo .


y el período

T = 2 = 2

m + md2

m g d

L2

12 + d2

g d

L2

12

+ (0,75)2

9,81(0,75)

22

12T = 2 T = 2,19 [s]

La frecuencia se obtiene usando

f = 1/T = 1/ 2.19 f = 0,46 [osc/s]

L2

12

I = m + md2

L2

12

Luego el momento de inercial de la varilla respecto al eje Z´ es:

MOVIMIENTO PENDULAR

Ejemplo 10. Hallar el período de oscilación y la longitud del pén-dulo simple equivalente para el péndulo físico de la Fig. 5. Consi-dere que b = 2c = 18 cm


Figura 5

Z´a

c b

Solución.

El período se obtiene usando la ecuación:

T = 2 I

m g d

Donde: I = Io + m d2 (Teorema de ejes paralelos)

Con: Io = m = m = m(b2 + c2 ) 12

(4c2 + c2 ) 12

5c2

12

y (2d)2 = b2 + c2

d

d2 = 5c2 / 4 d = c 5 / 2

Luego: I = 5 m c2 3

y

T = 2 (5mc2/3)

m g c 5 / 2

Zo

MOVIMIENTO PENDULAR

de donde:


T = 2 10 c3 5 g

Usando valores: T = 2 10 (0.09)3 5 (9,81)

T = 0,73 s.

La longitud del péndulo simple equivalente esta dado por:

L = I

m d=

10 c3 5

L = 0,134 mL = 10 (0,09)

3 5PÉNDULO DE TORSIÓNEs un péndulo formado por un cuerpo sólido regular suspendido desde su centro de masa en el extremo libre de un alambre (o fibra) como el que se muestra en la Fig.6

C.M

o

Io

Alambre

Figura 6

Al girar el cuerpo un pequeño ángulo y dejar-lo libre oscilará, alrededor de un eje paralelo al alambre, por acción del torque recuperador o.

o

MOVIMIENTO PENDULAR


El módulo del torque recuperador o del alambre es propor-

cional y opuesto al desplazamiento angular .

Donde (letra griega “mu”) es la denominada constante elásti-ca de torsión del alambre.

o = – (16)

Como el torque hace oscilar a la masa pendular, podemos apli-car la segunda ley de Newton al movimiento de rotación, obte-niendo la siguiente ecuación dinámica.

o = – = Io d2 dt2

(17)

Que puede escribirse en la forma:

= – d2 dt2

Io

Donde Io es el momento de inercia del cuerpo sólido respecto a su eje principal que es el eje paralelo al alambre.

MOVIMIENTO PENDULAR


(o)2 = Io

(18)o = Io

La Ec. (17) es también similar a la del MAS lineal, por lo tanto, dentro del límite elástico del alambre, el péndulo de torsión oscila con MAS angular de frecuencia angular:

frecuencia lineal: Io

1 2f = (19)

y Período Io

T = 2 (20)

El valor de la constante de torsión del alambre (fibra) depende de su forma, dimensiones y de la naturaleza del material. Se demuestra que esta constante está relacionada con el módulo elástico de rigidez o de corte G del material mediante la expresión :

= G D4

32 L(21)

MOVIMIENTO PENDULAR


En la Ec.21 se tiene que D es el diámetro del alambre (fibra), L su longitud y el módulo G se halla los textos de física tal como en la Tabla 1 de las separatas de Elasticidad (pag.17).

El péndulo de torsión tiene muchas aplicaciones prácticas tales como en el volante de un reloj de cuerda, en el galvanómetro analógico, en la balanza de torsión de Cavendish, etc, que muestran las Figs. 7 a 9.

Figura 9. Balanza de Cavendish

Figura 7. Reloj de cuerda en vista frontal y posterior

Figura 8. Galvanómetro analógico

MOVIMIENTO PENDULAR

Ejemplo 10. En la Fig.10 se tiene un péndulo de torsión formado por una placa metálica cuadrada de 15,0 cm de lado y masa 560 g, sus-pendida del extremo inferior de un alambre de longitud de 1,20 m y diámetro 9,40 mm. Al girar la placa un pequeño ángulo y dejarlo li-bre oscila a razón de 25 [Hz] alrededor del eje OC. Calcular la cons-tante elástica de torsión y el módulo de rigidez del alambre.


Datos: a = 15,0 cm = 0,15 m, m = 560 g = 0,560 kg, L = 1,20 m, D = 9,40 mm = 9,40x10-3 m y f = 30 [Hz] = 1/T.Solución:Usando el período del péndulo de torsión obtenemos la constante elástica de torsión.

Io = m (ko)2 = m ( ) a2 + a2

12 Donde: Io = m a2 / 6

a

Figura 10

c

o

a

T = 2 Io

=

4 2 Io

T2

MOVIMIENTO PENDULAR


Io = 0,560 ( ) = 2,10x10- 3 [kg.m2]0,152

6

= 51, 82 [N.m]Luego:4 2 (2,10x10- 4) (1/25)2 =

Usando valores se tiene:

Por lo tanto, el módulo elástico de rigidez se obtiene usando la fórmula:

G = 8, 11 x1010 N/m2

32 L D4G =

Según las tablas de módulos de elasticidad, este valor de G nos indica que el alambre es de acero

32 (51,82 )(1,20) ( 9,40 x10-3 )4

G =Usando valores.

OTROS SISTEMAS OSCILANTES

I.- MASA Y RESORTES EN SERIE.

En primer lugar, se trata de deducir la frecuencia y período de un oscilador formado por una masa y dos resortes conectados en serie como se muestra en la Fig. 11.


Al aplicar la fuerza F sobre la masa m, se ge-nera en cada resorte una sola fuerza recupera-dora F´ del mismo módulo que F, pero las deformaciones son diferentes y están defini-das por:

x1

x2

m

k1

k2

F

Figura 11

F´ k1

x1 =En el resorte k1:

La deformación total de los dos resortes es:x = x1 + x2

F´ k1

x = + F´ k2

1 k1

x = F´ ( + )1 k2

(22)

F´ = k2 x2

F´ = k1 x1

F´ k2

x2 =En el resorte k2:


Esta asociación de resortes puede ser sustituida por un sólo re-sorte equivalente como el de la Fig.12, cuya constante ke sea tal que cumpla con la ley de Hooke.


x

m

ke

F

Figura 12

x =F´ ke

(23)

Ahora, usando (23) en (22) obtenemos:

F´ ke

1 k1

= F´ ( + )

1 k2

De donde1 ke

1 k1

= + 1 k2

(24)

ke =K1 k2 k1

+ k2

O en la forma:

Es decir que, la fuerza recuperadora sea:

F´

F´ = ke x



En segundo lugar, si tenemos n resortes en serie como los de la Fig .13.

mk1 k2

x1 x2

F. . . .kn

Figura 13

La constante equivalente, por similitud, estará definida por

1 ke

1 k1

= + +1 k2

1 kn

. . . . (25)1 ke

1 ki

= n

i =1

Por definición, la masa sujeta a esta asociación de resortes oscilará con:

o = ke m

Frecuencia angular

(26)

Frecuencia lineal

f = ke m

1 2

(27) T = 2 m ke

Período

(28)


I.- MASA Y RESORTES EN PARALELO

En primer lugar, se trata de deducir la frecuencia y período de un oscilador formado por una masa y dos resortes conectados en paralelo como el que se muestra en la Fig. 14.


Al aplicar la fuerza F sobre la masa m, se ge-neran en los resortes fuerzas recuperadoras diferentes F´1 y F´2, pero las deformaciones son iguales.

Figura 14

k1 k2

x

F

m

F´1 F´2

Por lo tanto, la fuerza aplicada F´ es la suma

F´ = F´1 + F´2

F´ = k1 x + k2 x (29)o

Estos dos resortes pueden ser sustituidos por uno solo cuya constante equivalente ke, cumpla con la ley de Hooke.



F´ = ke x(30)

Usando (30) en (29) se tiene

ke x = k1 x + k2 x

ke = k1 + k2(31)

m

ke

x

F Figura 15

F´

El resorte equivalente se muestra en la Fig.15, cuya la fuerza recuperadora es:

En segundo lugar, si tenemos n resortes asociados en paralelo, como los de la Fig.16, por similitud con la deducción anterior, decimos que la constante equi-valente esta dada por:

. . .ke = k1 + k2 + kn

ke = ki

n

i=1

(32)

k1 k2x

FFigura 16

kn

m


Por definición, la masa sujeta a esta asociación de resortes oscilará con:


o = ke m

Frecuencia angular

(33)

Frecuencia lineal

f = ke m

1 2 (34) T = 2 m

ke

Período

(35)

Datos: k1 = 450 N/m, k2 = 540 N/m, m = 9 kg

Ejemplo 11. En la Fig.17 se tienen dos resortes K1 = 450 [N/m] y K2 = 540 [N/m] acoplados con una masa m = 9 [kg] que puede oscilar sobre una superficie horizontal liza sobre el eje X. Calcular el período de oscilación de la masa cuando es desplazada lateralmente una pequeña distancia y luego dejada libre.

Figura 17

K2

K2

K2

K2

K1 K1K1

m Solución. Primero, calculamos la constante elástica del resorte equi-valente al grupo de cada lado de la masa

Lado izquierdo: Los tres resortes están en serie, por lo tanto:

1 kI

= + + =1 k1

1 k1

1 k1

3 k1


De donde el equivalente del lado izquierdo es:


Primer grupo: Ka = k2 + k2 = 2 k2 Segundo grupo: Kb = k2 + k2 = 2 k2

Ahora Ka y Kb están en serie, luego el equivalente del lado derecho es:

1 kD

-= + = + 1 ka

1 kb

1 2k2 1 2k2

1 kD

2 2k2

= KD = k2 = 540 N/m

El diagrama semifinal tiene la forma:KI KD

mFigura 18

Finalmente, hallamos la constante elástica final Ke del resorte equi-valente a los resortes: KI (izquierdo) y KD (derecho), los mismos que están en paralelo.

Ke = kI + kD = 150 + 540 Ke = 690 N/mKem

Figura 19. Oscilador equivalente final

Lado derecho: Hay 2 grupos de resortes en paralelo, por lo tanto:

k1 3

KI = = = 150 N/m450

3

T = 2 = 0,72 s9 690



Figura 21

Z´

h/4R

L = 4R

Figura 22

Fibra

R

Figura 20

Z´

a

2a

3a

4. Un disco metálico delgado con una masa de 0,001 [kg] y radio 0,500 [cm] está unido por su centro a una fibra larga como se indica en la Fig.22. Se retuerce y se suelta, el disco oscila con un período de 1,00 [s]. Calcular la constante de torsión de la fibra.

3. Hallar el período de oscilación y la longitud del péndulo simple equi-valente para cada uno de los péndulos físicos de las figuras 20 y 21.

2. Calcular el período de un péndulo simple de longitud 1,60 [m] si su punto de suspensión está en el techo de la cabina de un ascensor que se mueve con una aceleración de 2,00 [m/s2], a) hacia arriba y b) hacia abajo.

EJERCICIO MOS-02

1. Un péndulo simple tiene una longitud de 0,850 [m] y oscila con una amplitud angular de 10°. Calcular: a) la frecuencia lineal, b) el período y c) la rapidez máxima de la masa del péndulo.



K1 K2

x

Figura 23

m

xK1

K2 m

Figura 24

Figura 25

K2

K2

K2

K2

K2

K1

K1

K1K1

m

5. Los resortes K1 = 800 [N/m] y K2 = 700 [N/m] están acoplados con una masa m = 9 [kg] en las formas que se indican en las figuras 23, 24 y 25, respectivamente. La masa se puede mover sobre una superficie horizontal liza y solamente sobre el eje X. Calcular el período de oscilación de la masa en cada asociación, cuando la masa es desplazada lateralmente una pequeña distancia X y luego es dejada libre.

1. Determinar el período con que oscila el disco de la Fig.26, suponiendo que la amplitud de las oscilaciones es pequeña.

Solución:En la Fig.27, hemos aumentando el ta-maño del disco y girado un ángulo hacia la derecha de forma tal que el punto A se ubica en Ao, convirtíndose en punto instantáneo de rotación respecto al punto C.

ANEXO: OTROS SISTEMAS OSCILANTES

EJEMPLOS ADICIONALES

Figura 26

k1 k2

D

R

h

Ao

C

Figura 27

xD

xC

D

Ao A

F1=- k1 xD

N

R

h

F2=- k2 xD

f

C

13/04/2023 06:25 a. m. 30Segundo L. Gallardo Zamora

Además, el momento de inercia del disco respecto al punto A es:

Si el desplazamiento es pequeño

A = F1 (R + h) + F2 (R + h) = I d2 dt2

A = [– (k1 + k2) xD ] (R + h) = I d2 dt2

(a)

xD (R + h) (b)

= 3/2 m R2I = Ic + m R2 = ½ m R2 + m R2 (c)

Aplicando la segunda ley de Newton al movi-miento de rotación del disco, respecto al punto A se tiene:Figura 28

xD

xC

D

Ao A

F1=- k1 xD

N

R

F2=- k2 xD

f

Ch



En la Fig.28 se muestra el D.C.L de las fuer-zas que actúan sobre el disco cuando es girado un ángulo respecto a la vertical. Estas son: las fuerzas F1 y F2 de recupera-ción elástica de los resortes, y la fuerza fricción f con el plano.

de donde:

Reemplazando los valores de (b) y (c) en (a) se tiene:

– (k1 + k2) (R + h) (R + h) = 3/2 m R2 d2 dt2

Esta ecuación diferencial rige un MAS de frecuencia angular

o =

h R

2 (k1 + k2) (1 + )2

3 m

2 (k1 + k2) 3 m

h R

o = (1 + )

y período

T = 2 (k1 + k2)

3 m

(1+ )h R

2

Frecuencia lineal

2 (k1 + k2) 3 mf =

h R

(1 + )

2

d2 dt2 = – (k1 + k2) [ ]

(R + h)2

3/2 m R2 = – 3m

d2 dt2

h R 2 (k1 + k2) (1 + )2

[ ]



3. Un bloque de masa m = 5 [kg] es suspendido de una cuerda que pasa por una polea sin fricción de masa M = 3 [kg] y va atada a un resorte de constante k = 200 [N/m], como se muestra en la Fig.29. Determinar el período de oscilación del sistema al jalar m una distancia s hacia abajo y dejarla libre.

Datos: m= 5 [kg], M = 3 [kg] y k = 200 [N/m]

m

R

M

k

o

(a) Figura 29

Solución:

Las Fig. 28(a) y Fig.28(b) muestran al resorte defor-mado en una pequeña lon-gitud y además en equi-librio estático entre el peso mg del bloque con la fuer-za recuperadora F´ del resorte.

R

M

F´ = mg

mg

o

(b)



Como el sistema de la Fig.28 está en equilibrio estático, entonces:

Si sobre la masa m aplicamos una una fuerza adicional F, la masa se desplazará una distan-cia adicional s, haciendo que el punto P, sobre el filo del disco, describa el ángulo y el arco s = R, como se muestra en la Fig.30(b)Al dejar libre el sistema, oscilará bajo la acción de solamente la fuerza recuperadora inicial F´= mg.

o = mgR – F´R = 0 mgR – (– k )R = 0

mg + k = 0 (a)

Figura 30. Estado dinámico del sistema

k

S +

mS +

R

M

o

(a)

R

M

mg + F

mg + F

o

(b)

S+

P

s



Aplicando la segunda Ley de Newton al movimiento de rotación del disco se tiene:

Pero según la Ec.(a), el término entre paréntesis es cero y según la Fig.29(b), s = R . Entonces:

k R2 = dL dt

(b)

(mg + k ) R + k s R =dL dt

mgR + k(s + )R =dL dt

o = mgR – [– k(s + )]R = dL dt

Donde (dL/dt) es la variación del momento angular L del sistema respecto al tiempo.

El momento angular del sistema es igual a la suma del momento angular L1 de la masa m del bloque y el momento angular L2 de la masa M del disco, respecto al eje de rotación O.



Es decir que: L = L1 + L2 = m v R + I (c)

= – , es la velocidad angular del disco con signo negativo porque es opuesta al desplazamien- to angular

d dt

d dt

L = – m(R ) R – ½ M R2 ( ) d dt

Donde: v = – R , es la velocidad con la cual sube y baja la masa m y a su vez la velocidad tangencial del punto P de la polea.

d dt

Reemplazando esto en (c ) obtenemos:

I = ½ MR2, es el momento de inercia del disco respecto al punto O.

L = – (m + ½ M) R2 d dt

(d)



Derivando (d) respecto al tiempo se obtiene:dL dt

= – (m + ½ M) R2 d2 dt2 (e)

Ahora remplazando (e) en el lado derecho de (b) se tiene:

– (m + ½ M) R2 d2 dt2k R2 =

De donde:d2 dt2

= – ( ) k m +½M (f)

Esta es una ecuación diferencial similar a la del MAS, por lo tanto la frecuencia angular del MAS que realiza el sistema es

(o)2 = k m +½M

o = k m +½M

y período T = 2 m +½M k



Finalmente usando valores obtenemos:

T = 2 5 +½(3) 200 T = 0.18 [s]

4. Una esfera sólida de radio R rueda, sin deslizarse, dentro de una superficie cilíndrica de radio 5R, como se muestra la Fig. 31. Demostrar que, para pequeños desplazamientos respecto a la posición de equilibrio (la vertical en la parte más baja de la curva), la esfera ejecuta un MAS de período: T = 2 28 R / 5 g

Solución

En este problema, la esfera realiza dos mo-vimientos simultáneos: Un movimiento de traslación del C.M

describiendo la curva BB´, similar a un péndulo simple de longitud L = 4R, y Figura 31

m

o

4R5R

B´ B(t)

RC.M



Un movimiento de rodadura sobre la superficie curva girando alre-dedor de un eje que pasa por su propio C.M.

La esfera rueda sobre la superficie curva debido al torque que produce la fuerza de fricción, respecto al C.M de la esfera. Esta fricción no afecta a la conservación de la energía mecánica total del sistema, aún cuando la energía potencial y cinética varían en cada medio ciclo de rodadura.

Ekt + Ekr + Ep = 0 (i)

Donde la variación de energía cinética de traslación del C.M de la esfera se produce entre la parte más alta, donde está en reposo, hasta la parte más baja de la curva donde tiene su máxima velocidad tangencial (vm) .

Ekt = ½ m [(vm)2 – 0] Ekt = ½ m (vm)2

Por conservación de energía total se tiene que:



La velocidad tangencial máxima del C.M de la esfera en el punto más bajo de la curva está definido por:

vm= 4R (d/dt)

La función (t) es la posición angular del MAS que realiza el C.M de la esfera, respecto a la vertical, definida por:

= m sen (ot + ) Donde o es la frecuencia angular del MAS del C.M de la esfera

respecto al punto O y que a su vez, es la velocidad angular del movimiento de rotación de la esfera respecto a su C.M.

Por lo tanto, la velocidad angular de la esfera respecto al punto O es: d

dt= o m cos (ot + )

d dt

Donde: o m = ( )m , es la máxima velocidad angular.



Con esta velocidad angular podemos calcular la máxima velocidad tangencial que alcanza la esfera en el punto más bajo de la curva BB´.

Entonces, la variación de la energía cinética de traslación de la esfera, entre la parte más alta y la más baja de la curva BB´, es:

Ekt = 8 m R2 (o)2 (m)2 (ii)

vm = 4R o m

Ekt = ½ m (v2 – 0) = ½ m (4R o m) 2

Por otro lado, la variación de energía cinética de rotación de la esfera desde su posición más alta hasta su posición más baja, sobre la superficie curva, es:

Ekr = ½ Io [ (m)2 – 0 ] Ekr = ½ Io (m)2

donde: m = ,vm

Res la velocidad angular máxima con que la esfe-ra gira respecto a su C.M y respecto al punto O.



Finalmente, la variación de energía cinética de rotación de la esfera es: Ekr = ½ Io (4 o m)2

Ahora, la variación de la energía potencial gravitatoria del C.M de la esfera, entre la parte más alta y la parte más baja de la curva BB´ es: Ep = m g (0 – h) = – mg h

Que según la Fig. 32h = 4R – 4R cos m = 4R(1 – cos m)

Usando la relación: cos = 1 – 2 sen2(½ )obtenemos: (1 – cos ) = 2 sen2(½ )

Entonces: h = 8 R sen2 (½ m)Usando este valor de h, la variación de energía potencial es::

Ep = – 8 m g R sen2 (½ m)

Ekr = 8 Io (o )2 (m)2 (iii)

o

4R4R cos m m

C.Mh

Figura 32

R

B



Si consideramos oscilaciones de pequeña amplitud angular se puede usar la aproximación :

sen (½ m ) ½ m [rad] y entonces:

Ep = – 8 m g R (½ m)2

(iv)Ep = – 2 m g R (m)2

Reemplazando las relaciones (ii), (iii) y (iv) en (i) se tiene

8 m R2 (o)2 (m)2 + 8 Io (o)2 (m)2 – 2 m g R (m)2 = 0

2 (m)2 [4 m R2 (o)2 + 4 Io (o)2 – m g R] = 0

Esta relación se cumple si

[4 m R2 (o)2 + 4 Io (o)2 – m g R] = 0

(o)2 (4 m R2 + 4 Io ) = m g R



Como la esfera gira alrededor de su eje principal, su momento de inercia es: Io = 2/5 m R2. Reemplazando estas relaciones se tiene:

(o)2 (4 m R2 + 4 (2/5 m R2 ) = m g R

(o)2 (28/5 m R2 ) = m g R

(o)2 (28/5 m R2 ) = m g R

de donde se obtiene la frecuencia angular

o =5g

28R

T = 2 28 R 5gy el período

la frecuencia lineal f = 5g 28R

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MOVIMIENTO PENDULAR Y OTROS SISTEMAS OSCILANTES