Movimiento rectilneo uniformeElmovimiento rectilneo uniforme (MRU)fue definido, por primera vez, porGalileoen los siguientes trminos: "Por movimiento igual o uniforme entiendo aqul en el que los espacios recorridos por un mvil en tiempos iguales, tmense como se tomen, resultan iguales entre s", o, dicho de otro modo, es un movimiento de velocidadvconstante.El MRU se caracteriza por:a) Movimiento que se realiza en una sola direccin en el eje horizontal.b) Velocidad constante; implica magnitud, sentido y direccin inalterables.c) Lamagnitud de la velocidadrecibe el nombre derapidez. Este movimiento no presenta aceleracin(aceleracin = 0).

Rapidez fantstica.

Concepto de rapidez y de velocidadMuy fciles de confundir, son usados a menudo como equivalentes para referirse a uno u otro.Pero larapidez (r)representa un valor numrico, una magnitud; por ejemplo, 30 km/h.En cambio lavelocidadrepresenta unvectorque incluye un valor numrico (30 Km/h) y que adems posee unsentidoy unadireccin.Cuando hablemos de rapidez habr dos elementos muy importantes que considerar: ladistancia (d)y eltiempo (t), ntimamente relacionados.As:Si dos mviles demoran el mismo tiempo en recorrer distancias distintas, tiene mayor rapidez aquel que recorre la mayor de ellas.Si dos mviles recorren la misma distancia en tiempos distintos, tiene mayor rapidez aquel que lo hace en menor tiempo.Significado fsico de la rapidez

La rapidez se calcula o se expresa en relacin a la distancia recorrida en cierta unidad de tiempo y su frmula general es la siguiente:

Dondev = rapidez d = distancia o desplazamiento t = tiempo

Usamosvpara representar la rapidez, la cual es igual al cociente entre la distancia(d)recorrida y el tiempo(t)empleado para hacerlo.Como corolario, ladistanciaestar dada por la frmula:

Segn esta, la distancia recorrida por un mvil se obtiene de multiplicar su rapidez por el tiempo empleado.A su vez, si se quiere calcular eltiempoempleado en recorrer cierta distancia usamos

El tiempo est dado por el cociente entre la distancia recorrida y la rapidez con que se hace.Ver: PSU: Fsica;Pregunta 04_2005(2)

En este ejemplo, el mvil recorre 8 metros cada 2 segundos y se mantiene constante.

Problemas o ejercicios sobre el movimiento rectilneo uniforme:Ejercicio 1Un automvil se desplaza con una rapidez de 30 m por segundo, con movimiento rectilneo uniforme. Calcule la distancia que recorrer en 12 segundos.Analicemos los datos que nos dan:

Apliquemos la frmula conocida: y reemplacemos con los datos conocidos:

Qu hicimos? Para calcular la distancia (d), valor desconocido, multiplicamos la rapidez (v) por el tiempo (t), simplificamos la unidad segundos y nos queda el resultado final en metros recorridos en 12 segundos: 360 metrosEjercicio 2

El automvil de la figura se desplaza con movimiento rectilneo uniforme cunto demorar en recorrer 258 kilmetros si se mueve con una rapidez de 86 kilmetros por hora?Analicemos los datos que nos dan:

Apliquemos la frmula conocida para calcular el tiempo:y reemplacemos con los datos que tenemos:

Qu hicimos? Para calcular el tiempo (t), valor desconocido, dividimos la distancia (d) por la rapidez (v), simplificamos la unidad kilmetros y nos queda el resultado final en horas: 3 horas para recorrer 258 km con una rapidez de 86 km a la hora.Ejercicio 3Con qu rapidez se desplaza un mvil que recorre 774 metros en 59 segundos?Analicemos los datos conocidos:

Aplicamos la frmula conocida para calcular la rapidez:

Qu hicimos? Para calcular la rapidez (v), valor desconocido, dividimos la distancia (d) por el tiempo (t), y nos queda el resultado final: la rapidez del mvil para recorrer 774 metros en 59 segundos: 13,11 metros por segundo.Ejercicio 4

Los dos automviles de la figura parten desde un mismo punto, con movimiento rectilneo uniforme. El amarillo (mvil A) se desplaza hacia el norte a 90 km por hora, y el rojo (mvil B), hacia el sur a 80 km por hora. Calcular la distancia que los separa al cabo de 2 horas.Veamos los datos que tenemos:Para el mvil A:

Para el mvil B:

Calculamos la distancia que recorre el mvil A:

Calculamos la distancia que recorre el mvil B:

Sumamos ambas distancias y nos da 340 km como la distancia que separa a ambos automviles luego de 2 horas de marcha.Ejercicio 5

El corredor de la figura trota de un extremo a otro de la pista en lnea recta 300 m en 2,5 min., luego se devuelve y trota 100 m hacia el punto de partida en otro minuto.Preguntas: Cul es la rapidez promedio del atleta al recorrer ambas distancias? Cul es la rapidez media del atleta al recorrer los 400 metros?Veamos los datos que tenemos:Para el primer tramo:

Calculamos su rapidez:

Para el segundo tramo:Calculamos su rapidez:

Rapidez promedio:

La rapidez promedio del atleta fue de 110 metros por minuto.Veamos ahora cul fue la velocidad media (vm)para recorrer los 400 metros:

La rapidez media del atleta fue de 114,29 metros por minuto.Ver en seguida:Movimiento rectilneo uniformemente aceleradoVer:Grficas del movimiento rectilneoVer en Youtube:http://www.youtube.com/watch?v=ywQRN29OL38http://www.youtube.com/watch?v=D72eUnsUF8Y&feature=relatedEs propiedad:www.profesorenlinea.cl -Registro N 188.540

Movimiento rectilneo uniformemente acelerado

Un mvil puede ser acelerado.

Ya vimos que el movimiento rectilneo puede expresarse o presentarse comoMovimientorectilneo uniforme,o comoMovimientorectilneo uniformemente acelerado.Este ltimo puede, a su vez, presentarse como decada libreo desubida o tiro vertical.Elmovimiento rectilneo uniformemente aceleradoes un tipo de movimiento frecuente en la naturaleza. Una bola que rueda por un plano inclinado o una piedra que cae en el vaco desde lo alto de un edificio son cuerpos que se mueven ganando velocidad con el tiempo de un modo aproximadamente uniforme; es decir, con una aceleracin constante.Este es el significado delmovimiento uniformemente acelerado, el cual en tiempos iguales, adquiere iguales incrementos de rapidez.En este tipo de movimiento sobre la partcula u objeto acta una fuerza que puede ser externa o interna.En este movimiento lavelocidad es variable, nunca permanece constante; lo que si es constante es la aceleracin.Entenderemos comoaceleracinlavariacin de la velocidad con respecto al tiempo. Pudiendo ser este cambio en la magnitud(rapidez), en la direccin o en ambos.Las variables que entran en juego (con sus respectivas unidades de medida) al estudiar este tipo de movimiento son:Velocidad inicial Vo (m/s)Velocidad finalVf (m/s)Aceleracin a (m/s2)Tiempo t (s)Distancia d (m)Para efectuar clculos que permitan resolver problemas usaremos las siguientes frmulas:

Consejos o datos para resolver problemas:La primera condicin ser obtener losvalores numricos de tres de las cinco variables. Definir la ecuacin que refleje esas tres variables. Despejar y resolver numricamente la variable desconocida.Tener cuidado con que en algunas ocasiones un dato puede venir disfrazado; por ejemplo:"un mvil que parte del reposo.....", significa que su velocidad inicial esVo = 0; "en una prueba de frenado...", significa que su velocidad final esVf = 0.Veamos un problema como ejemplo

En direccin hacia el sur, un tren viaja inicialmente a 16m/s; si recibe una aceleracin constante de 2 m/s2. Qu tan lejos llegar al cabo de 20 s.? Cul ser su velocidad final en el mismo tiempo?Veamos los datos que tenemos:

Conocemos tres de las cinco variables, entonces, apliquemos las frmulas:Averigemos primero la distancia que recorrer durante los 20 segundos:

Conozcamos ahora la velocidad final del tren, transcurridos los 20 segundos:

Respuestas:Si nuestro tren, que viaja a 16 m/s, es acelerado a 2 m/s recorrer 720 metros durante 20 segundos y alcanzar una velocidad de 56 m/s.Movimiento rectilneo uniformemente retardadoEn losmovimientos uniformemente decelerados o retardadosla velocidad disminuye con el tiempo a ritmo constante. Estn, pues, dotados de una aceleracin que aunque negativa es constante. De ah que todas las frmulas usadas para los movimientos uniformemente acelerados sirvan para describir los movimientos uniformemente retardados, considerando slo que su signo es negativo.Por lo tanto, para efectuar clculos que permitan resolver problemas que involucren aceleracin negativa o deceleracin, usaremos las siguientes frmulas:

Ir aMovimiento de cada libreVer:Grficas del movimiento rectilneo uniformemente aceleradoVer:Grficas del movimiento rectilneoFuentes Internet:http://shibiz.tripod.com/id9.htmlhttp://shibiz.tripod.com/id11.htmlhttp://www.lapaginadejc.com.ar/Naturales/Inicio.htmhttp://www.lapaginadejc.com.ar/Naturales/Fisica/Cinematica.htmhttp://www.lapaginadejc.com.ar/Naturales/Fisica/Cinematica2.htmhttp://www.lapaginadejc.com.ar/Naturales/Fisica/Cinematica3.htmhttp://www.natureduca.com/fis_estumov_movicirc05.php, bajo una LicenciaCreative Commons Atribucin-NoComercial-SinDerivadas 3.0 UnportedEs propiedad:www.profesorenlinea.cl -Registro N 188.540

Movimiento rectilneo uniformemente acelerado

Evolucin respecto del tiempo de laposicin, de lavelocidady de laaceleracinde un cuerpo sometido a un movimiento rectilneo uniformemente acelerado,en un sistema decoordenadas cartesianas, segn lamecnica clsica.Elmovimiento rectilneo uniformemente acelerado(MRUA), tambin conocido comomovimiento rectilneo uniformemente variado(MRUV), es aquel en el que unmvilse desplaza sobre una trayectoriarectaestando sometido a unaaceleracinconstante.Un ejemplo de este tipo de movimiento es el decada librevertical, en el cual la aceleracin interviniente, y considerada constante, es la que corresponde a la gravedad.Tambin puede definirse como el movimiento que realiza una partcula que partiendo del reposo es acelerada por una fuerza constante.El movimiento rectilneo uniformemente acelerado (MRUA) es un caso particular delmovimiento uniformemente acelerado(MUA).ndice[ocultar] 1Movimiento rectilneo uniformemente acelerado en mecnica newtoniana 1.1Deduccin de la velocidad en funcin del tiempo 1.2Deducin de la posicin en funcin del tiempo 1.3Ecuacin no temporal del movimiento 2Movimiento acelerado en mecnica relativista 2.1Observadores de Rindler 2.2Horizonte de Rindler 3Movimiento acelerado en mecnica cuntica 3.1Movimiento bajo fuerza constante en mecnica cuntica 3.2Efecto Unruh 4Vase tambin 5Referencias 5.1BibliografaMovimiento rectilneo uniformemente acelerado en mecnica newtoniana[editar]En mecnica clsica el movimiento rectilneo uniformemente acelerado (MRUA) presenta tres caractersticas fundamentales:1. Laaceleraciny lafuerza resultantesobre la partcula son constantes.2. Lavelocidadvara linealmente respecto del tiempo.3. Laposicinvara segn una relacin cuadrtica respecto del tiempo.La figura muestra las relaciones, respecto del tiempo, del desplazamiento (parbola), velocidad (recta con pendiente) y aceleracin (constante, recta horizontal) en el caso concreto de la cada libre (con velocidad inicial nula).El MRUA, como su propio nombre indica, tiene unaaceleracinconstante, cuyas relacionesdinmicasycinemticas, respectivamente, son:(1)

En el movimiento rectilneo acelerado, la aceleracin instantnea es representada como la pendiente de la recta tangente a la curva que representa grficamente la funcinv(t).Lavelocidadv para un instante t dado es:(2a)siendola velocidad inicial.Finalmente laposicinxen funcin del tiempo se expresa por:(3)dondees la posicin inicial.Adems de las relaciones bsicas anteriores, existe unaecuacinque relaciona entre s el desplazamiento y la rapidez del mvil. sta se obtiene despejando el tiempo de (2a) y sustituyendo el resultado en (3):(2b)[mostrar]Derivacin de las ecuaciones de movimiento

Movimiento acelerado en mecnica relativista[editar]

Movimiento relativista bajo fuerza constante: aceleracin (azul), velocidad (verde) y desplazamiento (rojo).Enmecnica relativistano existe un equivalente exacto del movimiento rectilneo uniformemente acelerado, ya que la aceleracin depende de la velocidad y mantener una aceleracin constante requerira una fuerza progresivamente creciente. Lo ms cercano que se tiene es el movimiento de una partcula bajo una fuerza constante, que comparte muchas de las caractersticas delMUAde la mecnica clsica.Laecuacin de movimientorelativista para el movimiento bajo una fuerza constante partiendo del reposo es:(4)Dondewes una constante que, para valores pequeos de la velocidad comparados con la velocidad de la luz, es aproximadamente igual a la aceleracin (para velocidades cercanas a la de la luz la aceleracin es mucho ms pequea que el cociente entre la fuerza y la masa). De hecho la aceleracin bajo una fuerza constante viene dada en el caso relativista por:

La integral de (4) es sencilla y viene dada por:(5)E integrando esta ltima ecuacin, suponiendo que inicialmente la partcula ocupaba la posicinx= 0, se llega a:(6)En este caso eltiempo propiode la partcula acelerada se puede calcular en funcin del tiempo coordenadotmediante la expresin:(7)Todas estas expresiones pueden generalizarse fcilmente al caso de un movimiento uniformemente acelerado, cuya trayectoria es ms complicada que la parbola, tal como sucede en el caso clsico cuando el movimiento se da sobre un plano.Observadores de Rindler[editar]El tratamiento de losobservadoresuniformemente acelerados en elespacio-tiempo de Minkowskise realiza habitualmente usando las llamadas coordenadas de Rindler para dicho espacio, un observador acelerado queda representado por un sistema de referencia asociado a unas coordenadas de Rindler. Partiendo de las coordenadas cartesianas lamtricade dichoespacio-tiempo:

Considrese ahora la regin conocida como "cua de Rindler", dada por el conjunto de puntos que verifican:

Y defnase sobre ella uncambio de coordenadasdado por las transformaciones siguientes:

Donde:, es un parmetro relacionado con la aceleracin del observador.1, son las coordenadas temporal y espaciales medidas por dicho observador.Usando estas coordenadas, la cua de Rindler del espacio de Minkowski tiene una mtrica, expresada en las nuevas coordenadas, dada por la expresin:

Puede que estas coordenadas representen a un observador acelerado segn el eje X, cuyacuadriaceleracinobtenida comoderivada covariantede lacuadrivelocidadest relacionada con el valor de la coordenadax:

Horizonte de Rindler[editar]Es interesante notar que un observador uniformemente acelerado tienehorizonte de eventos, es decir existe una superficie espacial (que coincide con la frontera de la cua de Rindler):

tal que la luz del otro lado jams alcanzara al observador acelerado. Estehorizonte de sucesoses del mismo tipo que el horizonte de sucesos que ve un obsevador situado fuera de unagujero negro. Es decir, los eventos al otro lado del horizonte de eventos no pueden ser vistos por estos observadores.El ejemplo de las coordenadas de Rindler muestra que la ocurrencia de un horizonte de eventos no est asociada al propio espacio-tiempo sino a ciertos observadores. Las coordenadas de Rindler constituyen una cartografa delespacio-tiempo plano de Minkowski. En dicho espacio un observador inercial no ve ningn horizonte de eventos pero s lo ve un observador acelerado.Movimiento acelerado en mecnica cuntica[editar]Movimiento bajo fuerza constante en mecnica cuntica[editar]En mecnica cuntica no se puede hablar de trayectorias ya que la posicin de la partcula no puede determinarse con precisin arbitraria, por lo que slo existen anlogos cunticos imperfectos del movimiento rectilneo clsico. El equivalente cuntico ms simple de movimiento uniformemente acelerado es el de una partcula cuntica (no relativista y sin espn) en un campo de fuerzas conservativo en el que la energa potencial es una funcin lineal de la coordenada.

La solucin general de esta ecuacin puede escribirse como transformada de Fourier del conjunto de soluciones de la ecuacin estacionaria:

Dondela amplitud es una funcin de la energa que debe escogerse para satisfacer las condiciones iniciales y la funcinen el integrando debe ser solucin de la ecuacin de Schrdinger estacionaria:

Donde:es laconstante de Planckracionalizada.es la masa de la partcula.es la fuerza que se ejerce sobre la partcula.es la energa de un estado estacionario delhamiltoniano cuntico.Haciendo el cambio de variable:

Entonces la ecuacin (*) equivale a la ecuacin:

Que es la ecuacin de Airy, por lo que la solucin general de la ecuacin de Schrdinger queda en trminos de funciones Airy:

Por consideraciones fsicasB= 0, ya que en caso contrario la anterior funcin no sera acotada.

Ntese que la ecuacin anterior tiene solucin para cualquier valor deEy por tanto los estados energticos posibles de una partcula tienen un espectro continuo (a diferencia de lo que pasa para otros sistemas cunticos con niveles de energa discretos).Efecto Unruh[editar]Artculo principal:Efecto UnruhEn1975,Stephen Hawkingconjetur que cerca del horizonte de eventos de unagujero negrodeba aparecer una produccin de partculas cuyoespectrode energas correspondera con la de uncuerpo negrocuya temperatura fuera inversamente proporcional a la masa del agujero. En un anlisis de observadores acelerados,Paul Daviesprob que el mismo argumento de Hawking era aplicable a estos observadores (observadores de Rindler).2En1976,Bill Unruhbasndose en los trabajos de Hawking y Davies, predijo que unobservadoruniformemente acelerado observararadiacin de tipo Hawkingdonde un observadorinercialno observara nada. En otras palabras elefecto Unruhafirma que el vaco es percibido como ms caliente por un observador acelerado.3Latemperaturaefectiva observada es proporcional a la aceleracin y viene dada por:

Donde:,constante de Boltzmann.,constante de Planckracionalizada., velocidad de la luz.,temperatura absolutadel vaco, medida por el observador acelerado., aceleracin del observador uniformemente acelerado.De hecho el estado cuntico que percibe el observador acelerado es un estado de equilibrio trmico diferente del que percibe un observador inercial. Ese hecho hace de la aceleracin una propiedad absoluta: un observador acelerado movindose en el espacio abierto puede medir su aceleracin midiendo la temperatura del fondo trmico que le rodea. Esto es similar al caso relativista clsico, en donde un observador acelerado que observa una carga elctrica en reposo respecto a l puede medir laradiacinemitida por esta carga y calcular su propia aceleracin absoluta.Vase tambin[editar] Movimiento uniformemente acelerado Cinemtica Movimiento rectilneo Movimiento rectilneo uniforme Cada libre Movimiento circularReferencias[editar]1. Volver arribaWhat a Rindler Observer Sees in a Minkowski Vacuum2. Volver arribaScalar production in Schwarzschild and Rindler metrics3. Volver arribaDeteccin experimental de la radiacin UnruhBibliografa[editar] Gonzlez, Jos T. (1991).Lecciones de Fsica (4 volmenes). Monytex.ISBN 84-404-4290-4,ISBN 84-398-9218-7,ISBN 84-398-9219-5,ISBN 84-604-4445-7. Resnick, Robert & Halliday, David (2004).Fsica 4. CECSA, Mxico.ISBN970-24-0257-3. Gonzlez, Ignacio A. (1995).Fsica para la ciencia y la tecnologa (2 volmenes). Barcelona: Ed. Revert.ISBN 84-291-4382-3.

Ecuaciones Movimiento Rectilneo Uniforme (M.R.U.)Ir aEjerciciosElmovimiento rectilneo uniforme (m.r.u.)es aquel en el que la trayectoria es una linea recta y la velocidad es constante.En este apartado vamos a explicar: El concepto de m.r.u. Las ecuaciones de este movimientoAdicionalmente puede que ests interesado en: Lasgrficas del movimiento rectilneo uniforme Elconvenio de signos en movimientos rectilneosDefinicin de m.r.u.A pesar de que encontrar elmovimiento rectilneo uniformeom.r.uen la naturaleza es bastante extrao, es el movimiento ms fcil de estudiar y nos servir para estudiar otros ms complejos. Elmovimiento rectilneo uniformecumple las siguientes propiedades: Laaceleracin es cero(a=0) al no cambiar la velocidad de direccin ni variar sumdulo Por otro lado, lavelocidad inicial, media e instantneadel movimiento tienen el mismo valor en todo momentoUn cuerpo realiza unmovimiento rectilneo uniformecuando sutrayectoriaes una linea rectay suvelocidad es constante. Esto implica querecorre distancias iguales en tiempos iguales.

Ecuaciones de m.r.u.Lasecuaciones del movimiento rectilneo uniformeson:x=x0+vtv=v0=ctea=0Donde: x,x0: Laposicindel cuerpo en un instante dado (x) y en el instante inicial (x0). Su unidad en el Sistema Internacional (S.I.) es el metro (m) v,v0: Lavelocidaddel cuerpoen un instante dado (v) y en el instante inicial (v0). Su unidad en el Sistema Internacional (S.I.) es el metro por segundo (m/s) a: Laaceleracindel cuerpo. Su unidad de medida en el Sistema Internacional (S.I.) es el metro por segundo al cuadrado (m/s2)Para deducir lasecuaciones del movimiento rectilneo uniforme m.r.u.hay que tener en cuenta que: Lavelocidad mediacoincide con lavelocidad instantnea No hay aceleracinCon esas restricciones nos queda:vm=vvm=xt=xx0tt0=t0=0xx0txx0=vtx=x0+vtEjercicioVer ms ejerciciosDos jugadores de canicas se encuentran uno frente a otro con sus canicas en la mano. El juego consiste en lanzarlas al mismo tiempo en lnea recta y hacer que ambas se golpeen. Si ambos se encuentran situados a 36 metros uno del otro y el jugador A lanza su canica a 2 m/sg y el jugador B a 4 m/sg en un movimiento rectilneo uniforme. Calcula a que distancia del jugador B chocarn las canicas.SolucinDatosConsiderando que la canica del jugador A se encuentra en el origen de coordenadas:Canica AX0=0 mVA=2 m/sgCanica BX0=36 mVB=-4 m/sg (se desplaza hacia el origen del sistema de referencia)ResolucinConsiderando inicialmente el sistema de referencia comentado en los datos, vamos a estudiar la ecuacin de la posicin de cada una de las canicas por separado.En un m.r.u. la posicin de un cuerpo en movimiento viene dada por la siguiente ecuacin:x=x0+vtCanica jugador A.Sustituyendo los valores de este jugador en la ecuacin del m.r.u. obtenemos que:xA=0+2tmxA=2tmCanica jugador BSustituyendo nuevamente en la ecuacin, pero con los datos del jugador B:xB=364tmObserva que al desplazarse hacia el origen de nuestro sistema de referencia su velocidad es negativa.Ambas canicas impactarn cuando sus posiciones sean las mismas, es decir XA=XB, por tanto:XA=XB2t=364tt=366t=6sgEs decir, cuando transcurran 6 sg chocarn, pero donde?. Como sabemos cuando se produce el impacto, basta sustituir ese tiempo en la ecuacin de la posicin de cualquiera de las 2 canicas.XA=2tXA=26XA=12mPor tanto, el choque se produce a 12 metros del jugador A y a 24 m (36-12) del jugador B.

Movimiento rectilneoCinemtica

Movimiento rectilneoMovimiento rectilneoMovimiento de cadade los cuerposRegresin linealMovimiento rectilneouniformeMovimiento rectilneou. aceleradoMovimiento rectilneo y uniformeMovimiento rectilneo uniformemente aceleradoInterpretacin geomtrica de la derivadaIntegral definida

Movimiento rectilneoSe denomina movimiento rectilneo, aqul cuya trayectoria es una lnea recta.

En la recta situamos un origen O, donde estar un observador que medir la posicin del mvilxen el instantet. Las posiciones sern positivas si el mvil est a la derecha del origen y negativas si est a la izquierda del origen.PosicinLa posicinxdel mvil se puede relacionar con el tiempotmediante una funcinx=f(t).

DesplazamientoSupongamos ahora que en el tiempot, el mvil se encuentra en posicinx, ms tarde, en el instantet'el mvil se encontrar en la posicinx'. Decimos que mvil se ha desplazadox=x'-xen el intervalo de tiempot=t'-t, medido desde el instantetal instantet'.VelocidadLa velocidad media entre los instantestyt'est definida por

Para determinar la velocidad en el instantet, debemos hacer el intervalo de tiempottan pequeo como sea posible, en el lmite cuandottiende a cero.

Pero dicho lmite, es la definicin de derivada dexcon respecto del tiempot.Para comprender mejor el concepto de velocidad media, resolvemos el siguiente ejercicioEjercicioUna partcula se mueve a lo largo del eje X, de manera que su posicin en cualquier instantetest dada porx=5t2+1, dondexse expresa en metros yten segundos.Calcular su velocidad promedio en el intervalo de tiempo entre: 2 y 3 s. 2 y 2.1 s. 2 y 2.01 s. 2 y 2.001 s. 2 y 2.0001 s. Calcula la velocidad en el instantet=2 s.En el instantet=2 s,x=21 m

t (s)x (m)x=x'-xt=t'-tm/s

34625125

2.123.052.050.120.5

2.0121.20050.20050.0120.05

2.00121.0200050.0200050.00120.005

2.000121.002000050.002000050.000120.0005

...............

020

Como podemos apreciar en la tabla, cuando el intervalot0, la velocidad media tiende a 20 m/s. La velocidad en el instantet=2 s es una velocidad media calculada en un intervalo de tiempo que tiende a cero.Calculamos la velocidad en cualquier instantet La posicin del mvil en el instantetesx=5t2+1 La posicin del mvil en el instantet+tes x'=5(t+t)2+1=5t2+10tt+5t2+1 El desplazamiento esx=x'-x=10tt+5t2 La velocidad media es

La velocidad en el instantetes el lmite de la velocidad media cuando el intervalo de tiempo tiende a cero

La velocidad en un instantetse puede calcular directamente, hallando la derivada de la posicinxrespecto del tiempo.

En el instantet=2 s,v=20 m/sAceleracin

En general, la velocidad de un cuerpo es una funcin del tiempo. Supongamos que en un instantetla velocidad del mvil esv, y en el instantet'la velocidad del mvil esv'. Se denomina aceleracin media entre los instantestyt'al cociente entre el cambio de velocidadv=v'-vy el intervalo de tiempo en el que se ha tardado en efectuar dicho cambio,t=t'-t.

La aceleracin en el instantetes el lmite de la aceleracin media cuando el intervalottiende a cero, que es la definicin de la derivada dev.

Ejemplo:Un cuerpo se mueve a lo largo de una lnea rectax=2t3-4t2+5 m. Hallar la expresin de La velocidad La aceleracin del mvil en funcin del tiempo.

Dada la velocidad del mvil hallar el desplazamientoSi conocemos un registro de la velocidad podemos calcular el desplazamientox-x0del mvil entre los instantest0yt, mediante la integral definida.

El productov dtrepresenta el desplazamiento del mvil entre los instantestyt+dt, o en el intervalodt. El desplazamiento total es la suma de los infinitos desplazamientos infinitesimales entre los instantest0yt.En la figura, se muestra una grfica de la velocidad en funcin del tiempo, el rea en color azul mide el desplazamiento total del mvil entre los instantest0yt, el segmento en color azul marcado en la trayectoria recta.Hallamos la posicinxdel mvil en el instantet, sumando la posicin inicialx0al desplazamiento, calculado mediante la medida del rea bajo la curvav-to mediante clculo de la integral definida en la frmula anterior.

Ejemplo:Un cuerpo se mueve a lo largo de una lnea recta de acuerdo a la leyv=t3-4t2+5 m/s. Si en el instantet0=2 s. est situado enx0=4 m del origen. Calcular la posicinxdel mvil en cualquier instante.

Dada la aceleracin del mvil hallar el cambio de velocidadDel mismo modo, que hemos calculado el desplazamiento del mvil entre los instantest0yt, a partir de un registro de la velocidadven funcin del tiempot, podemos calcular el cambio de velocidadv-v0que experimenta el mvil entre dichos instantes, a partir de un registro de la aceleracin en funcin del tiempo.

En la figura, el cambio de velocidadv-v0es el rea bajo la curvaa-t, o el valor numrico de la integral definida en la frmula anterior.Conociendo el cambio de velocidadv-v0, y el valor inicialv0en el instantet0, podemos calcular la velocidadven el instantet.

Ejemplo:La aceleracin de un cuerpo que se mueve a lo largo de una lnea recta viene dada por la expresin.a=4-t2m/s2. Sabiendo que en el instantet0=3 s, la velocidad del mvil valev0=2 m/s. Determinar la expresin de la velocidad del mvil en cualquier instante

Resumiendo, las frmulas empleadas para resolver problemas de movimiento rectilneo son

Movimiento rectilneo uniformeUn movimiento rectilneo uniforme es aqul cuya velocidad es constante, por tanto, la aceleracin es cero. La posicinxdel mvil en el instantetlo podemos calcular integrando

o grficamente, en la representacin deven funcin det.

Habitualmente, el instante inicialt0se toma como cero, por lo que las ecuaciones del movimiento uniforme resultan

Movimiento rectilneo uniformemente aceleradoUn movimiento uniformemente acelerado es aqul cuya aceleracin es constante. Dada la aceleracin podemos obtener el cambio de velocidadv-v0entre los instantest0yt, mediante integracin, o grficamente.

Dada la velocidad en funcin del tiempo, obtenemos el desplazamientox-x0del mvil entre los instantest0yt, grficamente (rea de un rectngulo + rea de un tringulo), o integrando

Habitualmente, el instante inicialt0se toma como cero, quedando las frmulas del movimiento rectilneo uniformemente acelerado, las siguientes.

Despejando el tiempoten la segunda ecuacin y sustituyndola en la tercera, relacionamos la velocidadvcon el desplazamientox-x0

Interpretacin geomtrica de la derivadaEl siguiente applet, nos puede ayudar a entender elconcepto de derivaday la interpretacin geomtrica de la derivada

Se elige la funcin a representar en el control de seleccin tituladoFuncin,entre las siguientes:

Se pulsa el botn tituladoNuevoSe observa la representacin de la funcin elegidaCon el puntero del ratn se mueve el cuadrado de color azul, para seleccionar una abscisat0.Se elige el aumento, 10, 100, 1000 en el control de seleccin tituladoAumento Cuando se elige 100 1000, la representacin grfica de la funcin es casi un segmento rectilneo. Se mide su pendiente con ayuda de la rejilla trazada sobre la representacin grfica Se calcula la derivada de la funcin en el punto de abscisat0elegido Se comprueba si coinciden la medida de la pendiente y el valor de la derivada ent0.Ejemplo:Elegimos la primera funcin y el puntot0=3.009Elegimos ampliacin 1000. La pendiente de la recta vale -1, y se muestra en la figura.

La derivada de dicha funcin es

parat0=3.0 la derivada tiene vale -1.0

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Movimiento Rectilineo Uniforme (Ejemplo y Formula)El movimiento rectilineo uniforme es aquel movimiento que tiene aceleracion igual a cero, es decir la velocidad es la misma para cualquier intervalo de tiempo y debido a esto la formula que decribe este movimiento es la siguiente:

V=X/tdonde: V, es la velocidad por ejemplo 10Km/h. X, es el espacio o distancia recorrida ejemplo 20Km t, es el tiempo en el cual se recorre una distancia X, ejemplo 2horas.

Ejemplo:Cul es la velocidad constante de un automovilque recorre 20Km en 2horas?.

Rta: aplicando la formula tenemos que:

V= 20Km/2horasLo cual da que la velocidad constante del automovil es:

V=10Km/h,es decir quepor cada hora el automovil recorre una distancia de 10Km, por eso el automovil recorre 20Km en 2horas.

Tal como se ilustra a continuacion:

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Ejemplo de Movimiento Rectilneo Uniforme (MRU)Es aquel que lleva a cabo un mvil en lnea recta y se dice que es uniforme cuando recorre distancias iguales en tiempos iguales.La ecuacin del movimiento rectilneo uniforme MRU es:DatosFrmula

d= distancia (m)

v= velocidad (m/s)d= vt

t= tiempo (s)

EJEMPLO DE MRU:

Calcular la distancia que recorre un tren que lleva una velocidad de 45 km/h en 45 min.d= x m

v= 45 km / hd= (45 km / h)(3/4 h) = 33.75 km

t= 45 min = 3/4 h

Conceptos bsicos del MRU

Posicin:Es el lugar fsico en el que se encuentra un cuerpo dentro de un espacio determinado.Movimiento:Es el cambio de lugar que experimenta un cuerpo dentro de un espacio determinado.Desplazamiento:Es un cambio de lugar sin importar el camino seguido o el tiempo empleado, tiene una relacin estrecha con el movimiento de un cuerpo.Trayectoria:Es la lnea que une las diferentes posiciones que a medida que pasa el tiempo va ocupando un punto en el espacio o, de otra forma, es el camino que sigue el objeto dentro de un movimiento.Velocidad:Distancia que recorre un mvil representada en cada unidad de tiempo.Rapidez:Es un escalar de la velocidad en un instante dado o es la velocidad que lleva el mvil u objeto en una trayectoria.Velocidad media:Promedio de la suma de todas las distancias y tiempos recorridos.DatosFrmula

V= velocidad media (m/s)

Edm= distancias (m)Vm= E d / E t

Et= tiempos (s)

E= suma de todos los valores

Calcular la distancia final y velocidad media de un automvil que recorri 1840 km de Ensenada a Quertaro, en donde la primera distancia recorrida de 450 km la realiz en 5 h, la segunda en 4 h en una distancia de 280 km, la tercera de 270 km en 4 h, la cuarta en 5 h en 400 km y la ltima distancia en 6h.

Primero determinamos la distancia final.

df= 1840- (450+280+270+400) = 440kmAhora sumamos los tiempos realizados y calculamos la velocidad promedio.

tf= 5+4+4+5+6=24hVm= Ed / Et = 1840 km / 24 h = 76.66 km / hUn problema resuelto de MRU:Un camion de carga viaja da Atlanta a Chicago,recorriendo una distancia de 500 millas,si el viaje tarda 8h.Cual sera su velocidad media?

d=500mi d = 500mit=8h Vm= - ----- = 62.5 millas/hVm=? t 8h

62.5 mi X 16O9m X 1h-- ----- --h 1m 3600s

=100.562.5m----------3600s

=27.93 m/s