MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE VARIADO

Este movimiento rectilíneo esta definido por la variación uniforme de su velocidad con el tiempo, mejor dicho es un movimiento rectilíneo con aceleración constante. Sus características son: La aceleración es constante

(no cambia de modulo ni dirección)

La aceleración media es igual a la aceleración instantánea

Cuando la aceleración y la velocidad tienen el mismo sentido el movimiento es acelerado, si tienen sentido contrario el movimiento es retardado

Si la aceleración instantánea es constante, entonces

a = am =

Esta ecuación se puede transformar en una relación lineal de la velocidad en función del tiempo como se indica a continuación.

V = V0 + a t (1)

En la figura se muestra la representación de esta ecuación, en (a) la pendiente es positiva correspondiente a aceleración positiva y en (b) la pendiente es negativa

tO

a

a

a

4m9m

1m4m

correspondiente a una aceleración negativa. Nótese que en (b) para t mayor que t1

la velocidad es negativa, esto quiere decir que a partir de este instante la partícula se mueve en sentido negativo

Deducción gráfica del desplazamiento en función del tiempo en el MRUV

Consideremos la representación gráfica de la ecuación V = V0 + a t para deducir la ecuación del desplazamiento Δr

A1 = t (v0 )A2 = (1/2) (t) (v – v0) = (1/2) (t) (a t)A2 = (1/2) (t) (a t) = (1/2) at2

Deducción gráfica del desplazamiento en función del tiempo en el MRUV

Consideremos la representación gráfica de la ecuación V = V0 + a t para deducir la ecuación del desplazamiento

A1 = t (v0 )A2 = (1/2) (t) (v – v0) = (1/2) (t) (a t)

El área A2 se puede expresar en términos de la aceleración y el tiempo

A2 = (1/2) (t) (a t) = (1/2) at2

De esta manera el área A se puede expresar como sigue

Area = Δr = (t)(v0) + (1/2) a t2

Como se ha determinado, en la figura que el área entre la velocidad y el eje t corresponde al desplazamiento, podemos concluir

r – r0 = v0 t + ½ a t2

Gráficos de la velocidad versus el tiempo para aceleración positiva y negativa

V = V0 + a t V = V0 - a t

Si partícula se mueve en el eje X, la ecuación correspondiente a la posición x en función del tiempo se transforma en:

x = x0 + v0 t + ½ a t2 (2)

Esta ecuación es cuadrática entre el tiempo “t“ y la posición “x” y por tanto corresponde a una parábola tal como se ha visto en el capítulo de funciones y gráficas. Esto nos indica que en el MRUV la relación x - t es una función parabólica

Combinando las ecuaciones (1) y (2) se deduce

También se puede deducir que la velocidad media es la semisuma de las velocidades inicial y final, esto es

En resumen en el MRUV las ecuaciones sonv = v0 + a t (1) x = x0 + v0 t + ½ a t2 (2)

Con estas tres ecuaciones es suficiente para resolver todo ejercicio o problema en el tema del MRUV.

+a

-a

2 20v v 2 a x (3)

2 20v v 2 a x (3)

Ejemplo 1Graficar la ecuación: x = 5 – 4 t + t2 y relacionar con x = x0 + v0 t + ½ a t2

Completando cuadrados, resulta x – 1 = (t – 2)2

como se reconocerá, esta ecuación corresponde a la parábola con parámetros h = 2, k = 1 y C = 1, la cual se representa en la figura La figura ilustra el movimiento de la particular sobre el eje X, en t = 0 su posición inicial es x = 5m, en t = 2s la posición es x = 1m y posteriormente se aleja del origen en el sentido positivo del eje X. No olvide que la gráfica representa la relación t – x y no es la trayectoria de la partícula.

Ejemplo 2.La figura muestra la relación v versus t para una partícula. Calcule (a) el desplazamiento de la partícula hasta los 12s. (b) la longitud del camino recorrido por la partícula en dicho intervalo. (c) ¿Cómo representaría el movimiento de la partícula sobre el eje X.? Haga un esquema de la trayectoria e indique las posiciones para t = 0s, 8 s, para el instante en que v = 0, para los 12 s y 14 s.

SoluciónEl desplazamiento se obtiene calculando el área entre la gráfica de v(t) y el eje t. El área hasta 12 s se puede calcular por partes,

de 0 a 4s: de 4 s a 8 s:

= 40 m (4 s)(20 m/s) = 80 m

De 8s a 10s: Para calcular esta área debemos considerar los triángulos semejantes I

y II Considerando que la base del triángulo I es t´ se tiene que de d onde t´

vale 4/3 s. Así el triángulo I tiene como área = y el del área

del triángulo II es =

y de 10 s hasta el segundo 12 el área vale (-10 m/s)(2 s) = -20 m

El total el desplazamiento es: 40 m + 80 m + (40/3) m - (10/3) m - 20 m = 110 m

Este resultado se interpreta como que el desplazamiento hasta los 12 s es 110 m en el sentido del semi-eje positivo de las X. Usualmente a la derecha del origen.

(b) Para calcular la longitud del camino recorrido tomamos el módulo de los

desplazamientos negativos: 40 m + 80 m + (40/3) m + (10/3) m + 20 m = 156 m

( c)

Ejemplo 3La figura es una parábola en el plano t-X: Calcule (a) la velocidad en los instantes 0 s y 2s (b) la posición en t=2s y (c)la velocidad media entret = 0 y t = 4 s.

SOLUCIÓN.Un parábola en el plano t-X corresponde a un MRUV sobre el eje X. Recuerde la ecuación para x(t) en este movimiento. Haremos uso de la ecuación de la parábola A partir de la figura se deduce que (h,k) = (1,6), entonces en la ecuación de la parábola en este plano será:

x - k = c(t - h)2

x – 6 = c(t – 1)2

para determinar el valor de C consideramos el punto (0,4) que pertenece a la curva4 – 6 = c(0 – 1)2 de donde se obtiene c = -2.

Así la ecuación es: x – 6 = -2 (t –1)2 y desarrollándola: x = -2t2 + 4t + 4.

Comparándolo con la ecuación x(t) = x0 + v0 t + ½ a t2

Deducimos que x0 = 4 m, v0 = 4 m/s y (1/2) a = -2, esto es a = - 4 m/s2

Con estos valores ya podemos determinar los resultadosv = v0 + at , remplazando datos v = 4( m/s ) + (- 4 m/s2) tSi t = 0, v = 4( m/s ), Si t = 2 s, v = 4( m/s ) + (- 4 m/s2)(2 s) = - 4 m/s, el movimiento es en el sentido negativo del eje X.

(b) La posición para t = 2 s se determina mediante x = x0 + v0 t + (1/2) a t2

x = 4 m + 4( m/s )( 2 s) + (1/2)(- 4 m/s2)(2 s)2 = 4mEste resultado indica que a los 2s la partícula se encuentra en el mismo punto de partida, pero esta vez se esta dirigiendo al origen.

Gráfica x en función de t indicando el desplazamiento en el eje X

(c) Para hallar la velocidad media es necesario calcular x para t = 4 s. En la ecuación x(t)

x = 4 m + (4 m/s)(4 s) + (1/2)(- 4 m/s2)(4 s)2 = - 12 m

vm = = = - 4 m/s.

RESPUESTA. La velocidad media en dicho intervalo es vm = - 4 m/s i