Mr Colléter - professeur de productique En mécanique, …………………………………………………………… ……………………………………………………………………………

Mr Colléter - professeur de productique

En mécanique, ………………………………………………………………………………………………………………………………………….

Dans un système mécanique, les différentes pièces sont liées entre elles de différentes manières (voir cours sur les liaisons élémentaires).

Cela signifie que chaque constituant du mécanisme est en équilibre sous l’action des forces qu’il reçoit des autres constituants du système (forces extérieures).

Le but de la statique sera d’isoler la pièce à étudier, de faire l’inventaire des contacts que la pièce a avec le milieu extérieur (avec les autres constituants du système mécanique).

A chaque contact sera associée une action (force).

Le poids de la pièce pourra, dans la majeure partie des cas, être négligé car faible par rapport à l’intensité des forces qui s’exercent sur elle.


Appliquons cela à un exemple précis

Soit l’échelle de pompier ci dessous : Nous voulons étudier l’équilibre du vérin (4+5)


Il suffit d’isoler le vérin 4+5 et de faire l’inventaire des contacts avec le milieu extérieur (poids négligé)

Le vérin 4+5 est en relation avec le milieu extérieur au niveau des points :…………………………………………………………………………………..

Le vérin 4+5 sera donc soumis à 2 actions (forces extérieures)

Seulement, pour représenter ces forces, nous avons besoin d’un outil :


Rappels sur les vecteurs

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Un vecteur se représente de la manière suivante


Les caractéristiques d’un vecteur

Un vecteur se caractérise par :*………………………………………………….

* ……………………………………………………………………………..* ………………………………………….* …………………………………………………………………………….


Les vecteurs sont des « êtres mathématiques » qui obéissent à certaines règles.

Nous distinguons deux types de vecteurs :

* vecteur glissant ou glisseur est un vecteur dont le point d’application peut se situer à différents endroits sur la droite d’action. Ces vecteurs seront utilisés en statique

* vecteur lié ou pointeur est un vecteur ayant un point d’application précis. Ces vecteurs seront utilisés en cinématique.

Addition

A

…………………………………………..

A BPour additionner A et B, je dois translater B à l’extrémité de A en respectant sa direction et son intensité.


Lorsque les vecteurs sont parallèles :

A B

R

A + B = R

Soustraction

Pour soustraire 2 vecteurs (ou plus), nous additionnons le premier avec l’opposé du deuxième.

Bien sûr, la technique d’addition est valable pour un nombre de vecteurs > à 2

AB

A


Commutativité

L’addition des vecteurs est commutative

BA

Soient 2 vecteurs A et B

Faisons la sommes A + B

BA

R

Faisons la sommes B + A

BA

R


Associativité

L’addition des vecteurs est associative

Soient 3 vecteurs A, B et C

A CB

AB

C=

……………………………….

BA

C

…………………………

AB

C=

…………………………….


Coordonnées cartésiennes d’un vecteur



Forces et vecteurs forcesEn mécanique, les forces sont utilisées pour schématiser des actions. Ces forces seront

représentées par des vecteurs.

Exemple :

L’action exercée par le câble 2 sur le support 1 sera schématisée par le vecteur force A2/1

Point d’application : point A

Direction : celle du câble

Sens : A vers I (le câble tire sur le support)

Intensité : 1000 daN


L’action du câble sur le support peut être décomposée en deux forces

* une suivant l’axe x

* une suivant l’axe y


Moments et couplesLes effets d’une force sur un solide dépendent de la position de cette force par rapport au corps. Pour cela on utilise la notion de moments.

Soit le solide 1

1

Soit un point A appartenant au solide 1

A

Soit une force F s’exerçant sur le solide 1

F

Remarques :

La distance d est toujours la distance la plus petite entre le point et la direction de la force (d perpendiculaire à la direction de F).

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Convention de signe

Si F fait tourner le solide 1 autour du point A dans le sens trigonométrique (sens anti-horaire), le moment est …………

Si F fait tourner le solide 1 autour du point A dans le sens inverse (sens horaire), le moment est ………….

1

A

F

1

A

F


Théorème de Varignon.


F1

Statique plane

Principe fondamental

Un solide indéformable en équilibre sous l’action de forces extérieures reste en équilibre si :* La somme vectorielle de toutes ces forces extérieures est nulle (résultante nulle)

F1

F3

F2

F3

F2


* La somme des moments des forces extérieures en n’importe quel point du solide est nulle

……………………………………………….

……………………………………………….

F1

F3

F2

A

d d’

d’’

En statique plane, la notion de moment scalaire ou algébrique est suffisante pour résoudre les problèmes (forces coplanaires).


Principe des actions mutuelles

Soit la bille 1 en repos sur le plan 0

La bille 1 est en contact avec le sol 0 au point A

1

0

A

J’isole la bille 1, je fais le bilan des contacts que la bille a avec le milieu extérieur.

La bille 1 est en contact avec le sol au point A. Il y a donc, à ce point, une action du sol sur la bille. Je le note A0/1. Cette action aura les caractéristiques suivantes :

1

A

Direction : …………………………………………………………

Sens : …………………………………………………………

Point d’application :………………………………………………..

…………………………………………………………………….


J’isole le sol 0 je fais le bilan des contacts que le sol a avec le milieu extérieur.

0

A

La sol 0 est en contact avec la bille au point A. Il y a donc, à ce point, une action de la bille sur le sol. Je le note A1/0. Cette action aura les caractéristiques suivantes :

Point d’application : point A (mais peu d’importance car nous sommes en présence de glisseurs)

Direction : perpendiculaire au plan de contact

0

A

Intensité : ……………………………………………………..

Sens : ………………………………………………………….


Définition :

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Les différents types d’actions mécaniques

Action mécanique à distance: le poids P (en N)

Point d’application : le centre de gravité

Direction : la verticale passant par le centre de gravité

Sens : vers le bas

Intensité : mg (avec m, la masse en kilogrammes et g l’accélération de la pesanteur en m/s2)

En général, g = 9,81m/s2

Actions mécaniques de contact.

Effort de contact concentré en 1 point (théorique).

C’est l’exemple de la bille sur un plan

0

A

1

A

Lorsqu’on isole 1, l’effort de contact est schématisé par le vecteur A0/1, perpendiculaire au plan et passant par le centre de gravité de la bille

A0/1


Effort de contact réparti sur une ligne

Cylindre reposant sur une surface plane

L’action de contact de la surface plane sur le cylindre peut se représenter par une infinité de petites forces élémentaires p uniformément réparties s’exerçant sur la ligne de contact AB.

A

B

R

Par simplification, ces efforts peuvent être remplacés par une résultante R au milieu de AB


Effort de contact réparti sur une surfaceCube reposant sur une surface plane

L’action de contact de la surface plane sur le cube peut se représenter par une infinité de petites forces élémentaires p uniformément réparties s’exerçant sur la surface de contact.

Par simplification, ces efforts peuvent être remplacés par une résultante R située au centre.

R


Nous venons de voir que, dans le cas de contacts précis (ponctuel, linéaire, surfacique), nous sommes en mesure de déterminer la direction des actions d’un solide sur un autre solide.

Par contre, en présence d’autres types de contacts (articulations), nous ne pouvons définir correctement la direction de l’action. On dit qu’il y a indétermination.

Dans les exercices que nous aurons à traiter, nous serons en présence de solides soumis à 2 ou 3 forces extérieures.

Cas d’un solide soumis à l’action de 2 forces extérieures

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A

B

1

Exemple.

La pièce 1 dessinée ci dessous fait partie d’un système mécanique. Après l’avoir isolée et avoir fait le bilan des contacts que cette pièce a avec le milieu extérieur , nous constatons que cette dernière est en relation avec d’autres pièces aux points A et B.

La pièce 1 sera donc soumise à deux actions extérieures (poids négligé).

Ces deux forces (Aext/1 et Bext/1) auront même direction, même intensité mais des sens opposés. Dans notre exemple, le sens est choisi arbitrairement.

…………………………

…………………………


Cas d’un solide soumis à l’action de 3 forces extérieures

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1er cas

F1

F3

F2A

I Le concours des forces au même point permet que la somme des moments des forces/à n’importe quel point du solide (par exemple A), soit nulle.

MAFext/1 = 0

F1

F3

F2

La somme des forces extérieures est nulle.

(Résultante nulle)

Fext/1 = 0


2ème cas

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F1

F3

F2

F1

F2

F3

A

Il s’agit ici d’un cas particulier dans lequel les efforts F1 et F2 sont de même intensité et donc à égale distance de part et d’autre de la direction de F3 (exemple de la balançoire).


Techniques pour résoudre un problème de statique plane

En règle générale, les exercices proposés et les sujets d’examen sont détaillés et vous proposent une démarche. De ce fait, vous n’avez pas besoin de chercher quel élément isoler en premier, et vous ne risquez pas de tomber dans une impasse (impossibilité de résoudre).

Lorsque vous avez à traiter un problème dans lequel vous retrouvez des solides soumis à 2 forces ou 3 forces parallèles, il n’y a pas trop de problèmes. Par contre, avec trois forces concourantes, vous devez (la méthode étant graphique) apporter le plus grand soin dans la réalisation de la somme des forces (dynamique).

Voici quelques conseils.


Supposons un solide soumis à l’action de trois forces dont deux ont des directions concourantes.

Nous connaissons totalement F1 en direction, en sens et en intensité. Par contre, nous ne connaissons que la direction de F2 et nous ignorons totalement les caractéristiques de F3 sauf un point de sa direction (point de contact avec un solide extérieur).

En appliquant le théorème des forces concourantes, je peux placer la direction de F3

Maintenant, en utilisant une règle et une équerre, je peux construire ma somme de forces.

F1

Direction de F2

Point de la direction de

F3

Je place mon équerre sur la direction de F1 et je place ma règle.


F1

Je translate mon équerre le long de la règle et je trace une parallèle à la direction de F1


F1

F1

Je trace le vecteur force F1 en respectant son intensité

Je place mon équerre sur la direction de F2 et je la translate le long de ma règle jusqu’à l’extrémité du vecteur F1

Je trace une direction parallèle à la direction de F2


F1

Je procède de la même manière avec la direction de F3 pour fermer mon dynamique (résultante nulle)

Fext = 0

F1


Avec cette méthode, je trouve automatiquement le sens des efforts F2 et F3.

F1F2

F3

Si je veux que mon dynamique soit fermé, il n’y a pas d’ambiguïté par rapport au sens des efforts. Une seule solution est possible.

F1

F2

F3

Dans ce cas, j’ai choisi un sens pour F2 qui ne me permet pas de fermer le dynamique.

La somme des forces n’est pas nulle


Avec cette méthode , et en choisissant une échelle, je trouve automatiquement l’intensité des efforts F2 et F3.

F1F2

F3

F1 = 20daN (cette intensité est représentée par 7,5cm)

F2 à une longueur de 5cm. F2 = ……………….

F3 à une longueur de 8cm. F3 = ……………….


F2

F3

F3

F2F1

Bien sûr, nous pouvons, à l’extrémité de F1, tracer la direction de F3 et fermer le dynamique avec F2.

. Dans ce cas, les résultats sont identiques en ce qui concerne les caractéristiques des 3 vecteurs. Nous avons l’autre partie du parallélogramme.

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