1

9.2.6. ПРИМЕРИ СА РЕШЕЊЕМ 1. Дате су активности A, B, C, D и E.

Активност D може отпочети после завршетка активности А и B, а активност Е после завршетка активности B и C. Приказати њихову међусобну зависност.

2. Дате су активности A, B, C, D и E. Активност D може отпочети после завршетка активности А, B и C, а активност Е после завршетка активности B и C. Приказати њихову међусобну зависност.

3. Дате су активности A, B, C, D, E и F. Почетак активности D зависи од завршетка активности B, почетак активности E од завршетка активности A и B, а почетак активности F од завршетка активности C и D. Приказати њихову међусобну зависност.

2

4. Дате су активности A, B, C, D, E и F. Почетак активности D зависи од завршетка активности А и B, почетак активности E од завршетка активности B, а почетак активности F од завршетка активности B и C. Приказати њихову међусобну зависност.

5. Дате су активности A, B, C, D, E и F. Активност D може отпочети после завршетка активности C, активност Е после завршетка активности A, B и D, а активност F после завршетка активности A и B. Приказати њихову међусобну зависност.

(Задатак за вежбу)

3

6. Дате су активности A, B, C, D, E и F. Активност D може отпочети после завршетка активности А, активност Е после завршетка активности A и B, а активност F после завршетка активности B и C. Приказати њихову међусобну зависност.

7. Дате су активности A, B, C, D, E , F,G, H и I. Почетак активности B, C и D зависи од завршетка активности A, почетак активности Е од завршетка активности B и C, почетак активности F од завршетка активности C, почетак активности G од од завршетка активности F, почетак активности H од завршетка активности D и F, почетак активности I од завршетка активности E, G и H. Приказати њихову међусобну зависност.

8. Приказати који је од MD на сл. 9.24 правилан, ако је познато да почетак активности C зависи само од завршетка активности B, а почетак активности D од завршетка активности A и B.

9. Показати који је од MD на сл. 9.25 правилан, ако активност E зависи само од завршетка активности B; C од A; D од A и B.

4

10. Показати који је од MD на сл. 9.26 правилан, ако активност D зависи од завршетка активности B и C, а Е од завршетка активности A и B.

11. Показати на ком су MD на сл. 9.27 правилно груписане активности, а на ком неправилно.

12. Показати на ком су MD на сл. 9.28 правилано груписане активности и зашто.

5

1. Правилно су груписане активности на сл. 9.27 b, док су на сл. 9.27 c неправилно груписане.

2. Правилно су груписане активности на сл. 9.28 b и сл. 9.28 c, јер су на оба места остали догађаји групних активности неизмењени.

1.2. Нумерисање мрежног дијаграма

У основи постоје два начина нумерисања догађаја MD произвољно и растуће

нумерисање. Код произвољног нумерисања сваком догађају додељује се један од произвољних

целих бројева, при чему не мора бити испуњен услов i < j (тешкоће у откривању затворених петљи у MD, готове рутине за примену рачунара у ТМП захтевају растуће нумерисање MD).

Код растућег нумерисања, сваком догађају додељује се један цео број из интервала [ ]n,1 , при чему се почетни догађај MD обележава са 1 а завршни са n. Нумерација осталих догађаја треба да испуњава услов i < j, где је са „i” означен почетни, а са „j” завршни догађај било које активности MD.

Растуће нумерисање може се једнозначно провести применом правила Fulkersona: из скупа целих позитивних бројева [ ]n,1 у првом кораку најмањи се додељује почетном догађају пројекта. У другом кораку се обележавају све активности које излазе из нумерисаног догађаја. У трећем кораку разматрају се сви догађаји у који улазе обележене активности. Пожељно је да бројеви догађаја расту с лева на десно и одозго на доле на MD.

1. Задатак За активности дате у табели 1 нацртати мрежни дијаграм. Симбол (*) на пресеку врсте и колоне у матрици односа значи да активност из врсте претходи активности из колоне, односно да активност наведена у колони зависи од активности наведене у врсти. Табела 1

Разматране активности

Претходне активности

А B C D E

А * * B * C * D E

Шема односа активности

6

Слика 1. Мрежни дијаграм

Решење. У овом примеру је било неопходно увести две привидне активности (S1 и S2) да

би се правилно представила међузависност реалних активности. Такође се, при цртању мрежног дијаграма тежило да буде што мање пресецања активности (овде не постоји ниједан пресек). Сви натписи треба да се врше на истом месту у односу на сваку активност. Тако су овде сви симболи активности писани на почетку оријентисане дужи (репрезента активности) са њене леве стране гледајући од почетка ка завршетку активности (у смеру оријентације дужи).

Примењено је растуће узастопно нумерисање догађаја по правилу Fulkersona. Из

скупа целих позитивних бројева [ ]n,1 у првом кораку најмањи се додељује почетном догађају пројекта. У другом кораку се обележавају све активности које излазе из нумерисаног догађаја (прекрижене цртицом код стрелице). У трећем кораку се разматрају сви догађаји у који улазе обележене (прекрижене) активности (завршни догађаји активности A, B и C). Стекли су право на нумерацију догађаји у које улазе само обележене активности. (Само завршни догађаји акривности А, док завршни догађаји активности B и C нису стекли право на нумерацију, јер у њих улазе још необележене активности S1 и S2). Потом се понавља итерација додељујући наредне бројеве, из скупа усвојених бројева за нумерацију, догађајима који су стекли право на нумерацију у претходној итерацији (завршном догађају активности А додељен је број 2). Пожељно је да бројеви догађаја расту с лева на десно и одозго на доле на мрежном дијаграму. У другом кораку обележавају се активности (S1 и S2) које излазе из ново нумерисаних догађаја (2). У трећем кораку разматрају се завршни догађаји ново-обележених активности (S1 и S2). То су завршни догађаји активности B и S1 и активности C и S2. Оба ова догађаја су стекла право на нумерацију у следећој итерацији, која започиње додељивањем овим догађајима бројева 3 и 4. Коме догађају ће се дати број 3, а ком број 4, по правилу је свеједно, али на основу напред истакнуте препоруке завршном догађају активности B и S1 је додељен број 3, а завршном догађају активности C и S2 број 4. Основни став Fulkersonovog правила растућег нумерисања је да увек почетном догађају активности буде додељен мањи број него њеном завршном догађају.

Почетни догађај пројекта препознаје се по томе што у њега не улазе активности, него само излазе. Насупрот, у завршни догађај пројекта само улазе активности. Почетне или независне активности пројекта немају симбола у колонама шеме односа (у конкретном примеру активности A, B и C). Завршне активности пројекта немају симбола у врстама шеме односа (у конкретном примеру активности D и E).

2. Задатак

7

Нацртати мрежни дијаграм пројекта чија је шема односа дата табелом 1. При нумерисању употребити растуће нумерисање са прескоцима, тј. употребити само парне бројеве [ ]n2,2 .

Табела 1

Слика 1. Мрежни дијаграм

Решење.

Код овога примера се број укупних догађаја одређује дељењем броја последњих догађаја са кораком прескока (10:2=5). Ово је значајно код великих мрежних дијаграма где је бројање догађаја заметан посао. Мрежни дијаграм из овога примера се може конструисати коришћењем само две привидне активности, али се често користи и трећа (нарочито од стране почетника), која почиње у догађају 4, а завршава се у догађају 8, те тиме изражава непосредно зависност активности C од активности D мада је та зависности изражена посредно преко привидних активности S1 и S2. Други начин цртања у принципу је тачан, али уводи једну привидну активност више у мрежни дијаграм, тј. компликује га.

3. Задатак

За шему односа активности дату табелом 1 нацртати мрежни дијаграм. Нумерисати мрежни дијаграм по Fulkersonovom pravilu за растуће нумерисање. Употребити неузастопно растуће нумерисање са кораком прескока једнаким 5.

Разматране активности

Претходне активности

А B C D E

А * B * * C D * * E

8

Табела 1

Слика 1. Мрежни дијаграм

У овом примеру су се појавиле парарелне активности. Са логичко технолошког становишта њиховом истовременом одвијању нема никакве замерке, али ради једнозначног обележавања не може се дозволити да им буду исти и почетни и завршни догађаји. Зато је уведена привидна активност S1. Овде је корак неузастопности при нумерисању 5 те укупан број догађаја је n = -------------.

4. Задатак

Нацртати мрежни дијаграм пројекта чија је шема односа активности дата табелом 1. Извршити узастопно растуће нумерисање користећи pravilo Fulkersona.

Табела 1

Разматране активности

Претходне активности

А B C D E F

А * * B * * C * D * E F

Разматране активности

Претходне активности

А B C D E F

А * * B * * C * D E F

9

Решење Карактеристичност овог проблема је да се зависност активности Е од активности A и B може правилно приказати само ако се уведе посебан догађај за почетни догађај активности Е, односно постоји догађај у који улазе само привидне активности. Када би се увела фиктивна активност од 2 ка 3 онда би уистину Е зависило од A и B, но истовремено F би зависило од A, B и C. Да би био испуњен однос i < j за сваку активност (i – j) морамо цртати нови мрежни дијаграм. Међутим, да је мрежни дијаграм на слици 1 нумерисан са прескоцима, рецимо само парним бројевима, онда би се могле накнадно и унети активности G и H, а да се не црта нови мрежни дијаграм. То је показано сликом 2. Ово је значајно код накнадне допуне великих мрежних дијаграма, где су за цртање новог мрежног дијаграма потребни значајно време и материјални издаци. Нумерисањем завршног догађаја активности G са бројем обезбедило се да за активности G, H и S4 буде почетни догађај нумерисан мањим бројем него њихов завршни догађај, а да не буде цртан нови мрежни дијаграм. У овоме се огледа предност неузастопног нумерисања.

5. Задатак Накнадно је установљено да у пројекту из 4. задатка треба обавити још две

активности (G и H), тако да прва од њих (G) може почети чим се заврши активност C,

10

али не може почети активност Е док се не заврши ова нова активност. Друга од ових активности (H) може почети по завршетку активности G, а од ње не зависи ниједна активност. Нова шема односа дата је табелом 1, а њој одговарајући мрежни дијаграм сликом 1.

Табела 1

6. Задатак За шему односа дату табелом 1 нацртати мрежни дијаграм и нумерисати га

узастопним растућим нумерисањем примењујући правило Fulkersona.

Решење.

Мрежни дијаграм је нацртан на слици 1 без икаквих тешкоћа. Покушајмо га нумерисати применом узастопног растућег нумерисања по правилу Fulkersona, тј. употребимо за нумерисање скуп целих позитивних бројева [ ]n,1 . У првом кораку додељује се почетном догаћају пројекта број 1. У другом кораку обележавају се све активности које излазе из догађаја 1. То су активности A, B и C.

Разматране активности

Претходне активности

А B C D E F G H

А * * B * * * C * * D E F G * * H

11

Табела 1

У трећем кораку разматрају се завршни догађаји свих обележених активности, У завршне догађаје активности B и C улазе само обележене активности, те се ти догађаји нумеришу бројевима 2 и 3. Обележавају се све активности које излазе из догађаја 2 и 3. То су активности S1, E и F. Потом се разматрају догађаји у које улазе –-------------- активности. Једино је завршни догађај активности S1 стекао право на нумерацију и додељен му је број 4. Наставља се са обележавањем активности које излазе из догађаја 4. То је активност D. Разматра се завршни догађај активности D. Он не може бити нумерисан следећим бројем, јер у њега улази активност I која није још обележена. Како нема више догађаја који су стекли право на нумерацију, то значи да се не може до краја нумерисати овај мрежни дијаграм. То уједно доказује да у овом мрежном дијаграму постоји кружни пут (петља), а то је и био циљ овога примера. Тај кружни пут сачињавају активности G – H – I – J – G. Он се лако уочава на мрежном дијаграму, јер је овај мрежни дијаграм релативно мали и активности кружног пута представљају приближно 30 % укупног броја активности. Много теже је визуелно уочити кружни пут на великом мрежном дијаграму. Разматрајући активности кружног пута долази се до закључка да је активност G истовремено и претходна и наредна активност активностима H – I – J. Ово је логичко – технолошки немогуће, јер се сваки пројекат мора временски одвијати унапред ако има свој почетак и завршетак.

Разматране активности

Претходне активности

А B C D E F G H I J K L M N

А * B * * C * D * * E * F * * G * H * I * * J * * K * L M N

12

Значи, ако се у мрежном дијаграму појави кружни пут, онда се не може до краја спровести растуће нумерисање по правилу Fulkersona. Другим речима, Fulkersonovo правило растућег нумерисања успешно открива кружне путеве у мрежном дијаграму.

AНАЛИЗА ВРЕМЕНА

Анализа времена поред утврђивања временских параметара, на основу којих се може контролисати временско одвијање пројекта, утицати на одржавање рокова, управљати и руководити пројектом, (анализа времена) обухвата и одређивање времена трајања свих активности које су представљене на МД (мрежни дијаграм). Прецизно одређивање времена трајања активности условљено је тачним описом предвиђених поступака за њено извршење. При томе трeба узети врсту и број радника, број машина и других помоћних средстава, као и начин њиховог рада (прековремени рад, рад у сменама, коришћења радне снаге и средстава изван одређене организације итд.). Време трајања активности може бити и -------- променљива, чија се законитост може одредити на основу познатих расподела из теорије вероватноће, PERT метода разматра управо такве случајеве.

Анализа времена по методи критичног пута (CPM)

Дефинисање основних појмова Овде се оперише са јединственим појмовима: активни догађај, пројекат. Док се у методи PERT оперише са елементима вероватноће, увођењем ------- процена времена трајања активности (a, m, b) дотле се код анализе времена по -------- полази само од једне процене времена за било коју активност датог пројекта. То је процењено или нормирано време трајања активности (i - j) обелажава се са tij. Ако догађај i непосредно претходи више активности, он се може одиграти само после истека пута са најдужим временом трајања. Најранији почетак активности (i-j) означава се са ti

(0) и поступак одређивања је у смеру раста нумерације догађаја. Најранији завршетак активности (i - j) добија се сабирањем времена трајања те активности tij с временом ti

(0).

ijij ttt += )0()0( (1) Ако до догађаја j води више путева, може се написати да је најранији почетак било које активности која има j као почетни догађај:

{ };max )0()0(ijij ttt += 0)0(

1 =t (2) i < j j = 2, 3 … n Најкаснији почетак активности (i - j) обележава се са )1(

it , а њен најкаснији завршетак са )1(

jt .

{ };min )1()1(ijji ttt −= )0()1(

nn tt = (3) i < j, i = n-1, n-2..., 2, 1 Критична активност и критични пут

13

Нормирано време трајања tij било које активности (i – j) мора да буде у границама максимално дозвољеног времена трајања посматране активности. Ако је )0()1(

ijij ttt −= онда се активност (i – j) назива критичном активности. Односно,

0)0()1( =−− ijij ttt

)1()0(

)1()0(

jj

ii

tt

tt

=

=

Остале активности код којих је:

0)0()1( >−− ijij ttt имају максимално дозвољено време трајања активности веће од ------------- времена трајања активности tij. Ову разлику називамо временска резерва активности (i – j). Критична активност има временску резерву једнаку нули. Сем критичних путева у оквиру МД могу постојати и тзв. субкритични путеви. То су путеви са веома малом временском резервом и могу само постати критични. Одређивање временских резерви Временска резерва има посебно практично значење у примени технике мрежног планирања и управљања. Она директно указује на бројни податак изражен у одређеним временским јединицама за које се може одложити почетак или завршетак појединих активности, а индиректно на оно што је најважније у реализацији пројекта – како, где и у којој мери се може користити ограничен капацитет расположивих ресурса. Укупна временска резерва (St)

ijijijt tttS −−= )0()1()( Из израза је јасно да укупна временска резерва St представља разлику између максимално дозвољеног времена које стоји на располагању за извршење одређене активности и времена трајања те активности.

(St) ≥ 0 Слободна временска резерва Ss

ijijijs tttS −−= )0()0()(

14

Она показује за колико је временских јединица могуће померити рок најранијег почетка активности (i – j), а да се тиме не угрозе најранији почеци свих наредних активности.

Ова врста временске резерве настаје само када у догађај ј улазе најмање две активности. Нека су те активности (i – j) и (k – j). Под претпоставком да је: (1) ,

)0()0(kjkiji tttt +<+ тада ће се код активности (i – j) појавити слободна временска резерва.

У случају да је:

,)0()0(

kjkiji tttt +=+ ниједна од активности (i – j) и (k – j) не би имала слободне временске резерве. Под претпоставком да је испуњен услов (1) за активности (i – j) и (k – j) слободне временске резерве активности (i – j) приказана је на слици.

15

За слободну временску резерву Ss увек је испуњен услов као и за St ≥ 0. Ако то није испуњено, у датој мрежи не може се одржати планирани рок завршетка пројекта, што је знак да треба предузети одговарајуће мере. Независна временска резерва (Sn) Независна временска резерва (Sn)ij било које активности (i –j) израчунава се помоћу израза:

ijijijn tttS −−= )1()0()( и она може да буде и -------, без обзира што је планирани рок завршетка пројекта одржив. Ако је та резерва негативна, уместо њене стварне вредности уноси се податак када је једнака нули.

{ }ijijijn tttS −−= )1()0(,0max)( Независна временска резерва показује за колико се временских јединица може предузети време трајања активности или за колико се временских јединица може померити рок најранијег почетка активности.

Јединствени графички приказ за све три временске резерве за активности (i – j) може изгледати на следећи начин:

16

Условна временска резерва (Sn)

(1) (0)( )u j j jS t t= −

Условна временска резерва односи се само на догађаје мреже, за разлику од претходних временских резерви које се односе на активности. За све пројекте које је могуће реализовати са планираним средствима у планираном року, имамо да је (Su)j ≥ 0. Ако је (Su)j = 0 каже се да је догађај ј на критичном путу. У литератури се често (Su) назива и критичном временском резервом.

Анализа времена по методи PERT

Разлика између CPM и PERT-а настаје тек при трансформацији мрежног модела у математички модел, при чему се код CPM јавља детерминистички, а код PERT-а стохастички модел. Односно, разлика између ових метода састоји се у томе што PERT уводи у рачун и несигурност временске процене трајања појединих активности. Нарочито је погодна за примену код нетипичних и експерименталних пројеката. Тада је тешко постићи сагласност о -------- једног најпогоднијег времена трајања активности. џџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџ Први корак који се предузима код дефинисања полазних параметара мреже за прорачун времена по методи PERT састоји се у одређивању времена трајања сваке поједине активности. За ту сврху руководилац сам или уз помоћ других стручњака одређује:

1. aij – оптимистичко време извршења активности (i – j). За свако друго време које је краће од aij вероватноћа извршења одређене активности (i – j) једнака је нули.

17

2. mij – највероватније време извршења активности (i – j). Вероватноћа извршења одређене активности за време mij већа је од вероватноће извршења те активности за било које друго време које припада интервалу [ ]ba, .

3. bij – песимистичко време извршења активности. То је најдуже време за извођење одређене активности.

Други корак је провера ijijij bma ≤≤ Прве рачунске вредности од интереса за временску анализу по методи PERT су:

- очекивано време (t)ij и - варијанса (ơ 2)ij

При томе се претпоставља да се трајање свих активности ------- по закону β -расподеле, а тренутак њиховог завршетка, односно одигравање појединих догађаја по закону нормалне расподеле. Главна карактеристика β -расподеле за време трајања активности (i – j) састоји се у томе, што се све вредности трајања активности налазе у интервалу [ ]ijij ba , . Ако би се активности (i – j) више пута поновиле, добили би за разне временске интервале у опсегу [ ]ijij ba , одговарајуће учестаности --- времена, које ако се ----- у апсолутној или процењеној вредности имају следећи облик:

Вероватноћа да се појави збир 3 односно 18 веома је мала. Што одговара вероватноћи извршења активности (i – j) за време aij односно bij. Међутим, ако се бацање коцкица понавља више пута узастопно, може се десити да се најчешће појављује неки од збирова из [ ]18,3 , што би одговарало највероватнијем времену mij.

Из дефиниције јасно је да сва времена припадају интервалу [ ]ijij ba , с вероватноћом

1)( == ∫ dttfPij

ij

b

aij

18

Реална променљива t, која добија своје вредности како је то објашњено у примеру бацања коцке представља случајну или стохастичку променљиву. Иако не можемо рећи која је вредност те променљиве, можемо са сигурношћу да кажемо да ће оне припадати интервалу [ ]ijij ba , и да конвергира некој одређеној вредности из тог интервала. Због тога се за тај процес каже да се покорава одређеној законитости и то недетерминистичкој, а последица је увођење вероватноће у његово проучавање. Према томе, уводећи β - расподелу која садржи једну ограничену променљиву t∈ [ ]ijij ba , , aij

> 0, bij > 0 имамо да је густина вероватноће:

2)(

)(

2

)(

222

2)1)(()2(

21)()()(

+++++

=

++

+++

++=

=++

+++=

++−+−+++

=

=++

+−+++=

+++−+==

γαγα

γα

γαγααγ

γααγ

γαααγα

γααγα

γαα

ijijijije

ijijijij

ijijijyijyijyijijij

ijyijyyyije

mbat

baba

babaababaaa

abaabatMt

Код методе PERT -------- је увођење замене:

или 22

22

+=

−=

γα

22

2

2

2

22

)6

()(

67)23)(23()(

)3)(3())(()(

)(

64

)()(

ijyy

yyijyij

ijyijije

ab

abHHab

bmatMt

−=

⋅−+−

=++++

−=

++==

σ

γαγαγα

σ

За стандардизовану β - расподелу важи:

22

)2)(3()1)(1(

21)(

++++++=

+++==

γαγαγασ

γααnMn

)()()(

)()(

)()(

222

22

nMnMn

dnnnnM

dnnnnM

−=

=

=

∫

∫∞+

∞−

+∞

∞−

σ

ϕ

ϕ

док за нестандардизовану β - расподелу имамо да је

2

22

)2)(3()1()1()(

)(

21)()()(

+++++⋅+−

=

+++⋅−+==

γαγαγα

σ

γαα

ijyij

ijyyije

ab

abatMt

22

22

−=

+=

γα

19

Са друге стране највероватнија вредност mij (мода) добија се за f’(t) = 0.

0)1,1()(

)()()()()(' 1

11

=++−

−−−−−= ++

−−

γαγα

γα

αγγα

Babattbtbat

tfyy

ijijyy

[ ] 0)()()()( 11 =−−−−− −−ijyyy attbtbat γαγα

γααγ

γαγαγγαα

γα

++

=

+=+

⇒−=−

−=−

yijij

ijy

ijy

ijy

bam

abt

attbattb

)(

)()(

1

0,( ) ( )

( ) ,( ) ( 1, 1)

0,

ij

ij ijij ij

y ij

ij

za t at a b t

f t za a t bb a B

za b t

α γ

α γ α γ+ +

⎧ ⎫−∞ < <⎪ ⎪

− −⎪ ⎪= ≤ ≤⎨ ⎬− + +⎪ ⎪⎪ ⎪< < ∞⎩ ⎭

где је

бета функција, а

∫+∞

−+=Γ0

)( dxexr xr

гама функција. Ако се у f(t) уведе нова променљива и помоћу линеарне трансформације

инверзна функција функције )(tn ϕ= је )(nt ϕ= добија се

0, 0(1 )( ) , 0 1

( 1, 1)0, 1

za nn nn za nB

za n

α γ

ϕα γ

−∞ < <⎧ ⎫⎪ ⎪−⎪ ⎪= ≤ ≤⎨ ⎬+ +⎪ ⎪⎪ ⎪< < ∞⎩ ⎭

[ ] )()()( nnfn ψψϕ ⋅=

Ако се изврши анализа израза за очекивано време и варијансу могуће зависности могу се представити геометријски на једном од следећа три случаја:

nabat ijijij )( −+=

)()()()1(),(

1

0

11

nmnmdxxxmnB nm

+ΓΓ⋅Γ=−= ∫ −−

20

Одређивање најранијег и најкаснијег времена наступања догађаја

Најраније време наступања догађаја представља најранији рок који се може одиграти одређени догађај „i”, и обележава се са (TE)i. Најкасније време догађаја „i” представља најкаснији рок одигравања i – тог догађаја, при томе се коначни рок завршетка пројекта не мења, и обележава се са (TL)i. Та два времена се израчунавају по следећим формулама:

{ }

2,3,...n)(j

0,)1(T,)(t)i(T)( EeEmax

=

=+= ijiiET

{ } nEnLijejLjiL TTtTT )()(,)()()( min =−=

).1,....2,1( −−= nni

Поступак одређивања је идентичан са поступком одређивања најранијег почетка и завршетка у методи критични пут. То значи да iET )( одговара ti

(0), (TL)i одговара ti(1),

односно (TE)j одговара tj(0), а (TL )j одговара tj

(1). Одређивање временске резерве и вероватноће наступања догађаја

По дефиницији, временска резерва одређеног догађаја представља временску разлику између најкаснијег завршетка свих активности које му непосредно претходе и најранијег почетка наредних активности које непосредно следе.

),...2,1(,)()()( niTTS iEiLi =−=

21

Често је од интереса, за оне који доносе одлуке, процена вероватноће испуњења планираних рокова. Ако се у ту сврху планирани рок одигравања догађаја „i” обележи са (Ts)i њему одговарајући фактор вероватноће (Z)i може се израчунати помоћу израза:

∑−

=2

)()()(

σiEis

iTT

Z

где је∑ 2σ - збир варијанси свих активности које претходе догађају „i”, а леже на

путу са најдужим временским трајањем. Друга фаза састоји се у одређивању вероватноће испуњења планираних рокова, на основу одговарајућих фактора вероватноће. Крива вероватноће Р као функција фактора вероватноће има облик приказан на слици.

Она је дефинисана следећим интегралом:

∫∞−

−=

Z dxx

en

ZP 2

2

21)(

Ф – је P(Z) најчешће се даје у олику табличних вредности 33 ≤≤− Z

Како су TE и TL очекиване вредности са нормалном расподелом, произилази да је временска резерва S очекивана вредност са нормалном расподелом.

Имајући у виду да је у израчунавању TE и TL су дали очекивано време te које се израчунава на основу β - расподеле сасвим је јасно да ће β - расподела имати свога одраза на све податке. Детаљнијом теоретском анализом дошло се до закључка да се TE и TL могу апроксимирати нормалном расподелом, без обзира што су трајања активности дата β - расподелом. Ова апроксимативна расподела за (TE)i и (TL)i утолико је тачнија уколико више активности непосредно претходи догађају „i”.

22

Варијанса овакве апроксимативне расподеле добија се сумирањем варијанси активности које припадају путу најдужег трајања, а који пролази кроз i – ти догађај, тако да је

∑= 22 σσ (свих активности које припадају најдужем путу) Фактор вероватноће Z апроксимативно је подвргнут нормалној расподели, иако у њему фигуришу дисперзије активности које су подвргнуте β - расподели.

Очигледно да вероватноћа одржавања неког планираног рока (Ts) мања је на слици а) него на б), а с обзиром да је у првом случају (TS )i < (TE)i, а у другом случају (TS )i > (TE)i .

АНАЛИЗА ТРОШКОВА

У досадашњем излагању о примени ТМП третирана су два основна питања пројекта – анализе структуре и времена. Међутим, није једини циљ усклађивање међусобне зависности појединих активности пројекта и његово реализовање у одређеном времену већ и да трошкови реализације буду минимални. Ради се о изналажењу оптималне зависности трошкова и времена реализације појединих активности и пројекта као целине. Познате методе за решавање овог проблема су --------------- типа и често полазе од поједностављене ----------- . Изналажење криве стварних трошкова у функцији времена и одговарајућег алгоритма за њихову анализу још увек остаје као отворено питање.

АНАЛИЗА ТРОШКОВА ПО МЕТОДИ PERT/COST

Циљеви који се постижу применом методе Pert/Cost двојаки су: а) добити поузданију и реалнију процену трошкова пројекта,

23

б) после отпочињања пројекта, у току његове реализације, добити експлицитно побољшање у контроли и економичности трошења планираних средстава. Може се претпоставити да било која активност која припада датом мрежном дијаграму има следећу особину: њено трајање може бити смањено до одређене границе. Када се улагањем додатних средстава оствари та граница, тада никаква накнадна улагања не могу утицати на даље скраћење трајања те активности. То минимално трајање активности назива се усиљено трајање активности, а трошкови који настају при таквом трајању активности називају се максимални, односно усиљени трошкови. Активност се карактерише и неким средњим оптималним трајањем које се може утврдити експериментом. Тако условљено трајање активности назваћемо нормално трајање активности. Оно има особину да су трошкови извршења активности које имају нормално време трајања минимални. За разлику од усиљеног трајања активности које се одређује само једним временом нормално трајање активности одређује се на основу три времена a, m, b (оптимистичко, највероватније, песимистично). Јасно је да при избору тих комбинација линеарно повећање трошкова може да доведе до скраћења времена трајања, те посао ефикасно може да буде обављен увећањем ресурса.

Некада ова зависност може бити константна, на пример: када се уводи прековремени рад ради скраћивања рокова појединих активности, при чему се плаћа по нормалној, а не по увећаној тарифи.

У неким случајевима може наступити прекидна зависност која се испољава кад једна активност има алтернативна трајања: или нормално или усиљено. Пример: Транспорт робе, која се једним делом превози железницом где су у питању нормални трошкови, а једним делом ваздушним транспортом, при чему имамо максималне, односно усиљене трошкове, време испоруке.

24

Одређивање нормалног и усиљеног трајања активности

За сваку активност (i - j) може се одредити њено нормално и усиљено трајање (tn)ij и (tu)ij као и одговарајући трошкови (Cn)ij и (Cu)ij.

Претпоставимо да се једна од активности мрежног дијаграма, везаног за транспорт материјала, односи на земљане радове. Активност је дефинисана следећим условима: њено трајање износи 72 часа рада камиона А. Постоји могућност изнајмљивања и камиона B. Вредност рада камиона A и B процењена је на 100 н.ј./час увећана 10% за рад у другој, а 20% за рад у трећој смени. Најамнина камиона B износи 350 н.ј./дан, независно од његовог ангажовања у једној или три смене. Радни дан једне смене возача не може бити већи од 8 часова. Значи нормално трајање наведене активности износи 72/8 = 9 дана. У усиљеној варијанти, тј. при раду два камиона, наведена активност не може бити извршена у року краћем од два дана. Значи да би тада камион А радио, на пример 2 дана по три смене, а камион B само један дан у три смене. У табели су дате могуће логичке варијанте, укупно њих осам, за које су испитани трошкови.

25

Трошкови у н.ј. Број

варијанте Камион Смена Трај.

актив. у данима 1 смена 2 смена 3

смена

Најам н.ј./дин.

Укупно трајање актив. у дин.

Трошкови у н.ј.

1 А 1 9 7.200 9 7.200

2 А А

1 2

8 1

6.400 880

8 7.280

3 А А

1 2

7 2

5.600 1.760

7 7.360

4 А А

1 2

6 3

4.800 2.640

6 7.440

5 А А

1 2

5 4

4.000 3.520

5 7.520

6 А А А

1 2 3

4 4 1

3.200 3.520

960 4 7.680

7 А А А

1 2 3

3 3 3

2.400 2.640

2.880 3 7.920

8

А А А B B B

1 2 3 1 2 3

2 2 2 1 1 1

1.600

800

1.700

880

1.920

960

350 2 8.270

На слици представљена је испрекиданом линијом зависност трошкова везаних за дату активност и времена трајања те активности. Та зависност може се апроксимирати правом линијом кроз тачке нормалног и усиљеног трајања активности. Помоћу ове праве линије можемо добити низ варијанти приближних односа трошкова и времена трајања активности, што се изводи у зависности од њеног скраћења. Тако на пример ако једна активност може да се изврши за 10 јединица времена (дана, недеља, месеци) при трошковима од 50.000 н.ј. и ако је могуће ту исту активност у некој другој варијанти извршити за 8 јединица времена при трошковима од 80.000 н.ј., користећи принцип линеарног повећења трошкова при смањењу времена можемо израчунати прираштај трошкова по јединици времена који ћемо назвати просечан прираштај трошкова и који у конкретном случају износи:

000.15810

000.50000.80 =−−=ΔC н.ј. / јед. времена

Према томе општи израз за просечан прираштај трошкова CΔ може се написати у облику:

26

un

nu

ttCdCd

C−−

=Δ)()(

где су са:

(Cd)u – означени директни усиљени трошкови (Cd)n – нормални директни трошкови tu – усиљено и tn – нормално трајање активности. ОСНОВНА КОНЦЕПЦИЈА МЕТОДЕ PERT/COST

При скраћивању времена трајања појединих активности улагањем додатних средстава, треба се придржавати следећих основних хеуристичких принципа:

1. Скратити активности које леже на критичном путу све док не дође до преношења критичности, тј. док се не појави још неки критични пут.

2. Ако је могуће скратити време трајања неколико активности, онда у првом реду треба скратити време код најјефтинијих активности.

3. Код мрежних дијаграма који имају више критичних путева скраћење сваког критичног пута врши се за исти број временских јединица, при чему се код тог скраћивања најпре скраћују активности које су најјефтиније.

4. Овакав процес скраћивања активности продужује се све док се не постигне жељени рок завршетка пројекта или у крајњем случају, док све активности бар на једном путу не буду имале усиљено трајање.

Задатак

За пројекат чија је листа активности дата у табели 1:

а) нацртати мрежни дијаграм и нумерисати исти растућим узастопним нумерисањем по правилу Fulkersona; б) извршити анализу времена при нормалном трајању активности; в) одредити критичан пут при усиљеном трајању активности; г) одредити директне трошкове пеојекта при нормалном и усиљеном трајању активности и јединични прираштај директних трошкова за сваку активност; д) одредити најмање могуће директне трошкове пројекта при трајању пројекта једнаком дужини усиљеног критичног пута. Листа активности Табела 1

Активност Трајање (в.ј.) Директни трошкови ознака зависи од нормално

tn усиљено

tu нормално

Cn усиљено

Cu A независна 10 5 150 300 B A 6 3 170 290 C A 6 4 270 330 D A 10 5 350 700 E B 4 1 150 300 F C 20 10 700 1.200 G C 3 1 300 360 H D 14 7 400 820 I D 22 15 500 990 J G,H 4 3 200 300 K G,H 10 5 500 1.000 L E,F,J 8 8 700 700 M I 5 2 240 480

Решење:

27

а) Мрежни дијаграм је дат на слици 1. Нумерисан је узастопним растућим нумерисањем применом правила Fulkerson. Укупно има 9 догађаја. Са леве стране активности (гледано у смеру одвијања активности) нанете су ознаке активности.

б) Анализа времена почиње одређивањем најранијег наступања догађаја по обрасцу: { },)()0(max)0(

ijiij ttt += за j = 2,3,…n, i < j усвојено је t1

(0) = 0 Ова времена су унешена у левим (предњим) квадрантима кругова (представника догађаја) мрежног дијаграма на слици 2. Такође су дата у табели 2. У доњем квадранту круга уписан је број почетног догађаја активности на основу које је одређено најраније наступање догађаја. Као други корак у анализи времена одређује се најкасније наступање догађаја користећи се изразом

{ },)()1(min)1(

ijjji ttt −= за i = n-1, n-2, …2,1 усвојено је tn

(1) = tn(0)

Ова времена су унешена у десне квадранте кругова десног дијаграма на слици 2, а такође су дата у задњој колони табеле 2. У мрежном дијаграму на слици 2 са леве стране оријентисаних дужи нанете су ознаке активности и нормално трајање активности у временским јединицама, у горњим квадрантима кругова бројеви одговарајућих догађаја. Критичан пут при нормалном трајању активности је назначен пуним линијама.

28

Критични пут се одређује као трећи корак у анализи времена. Може се одредити по одређивању најранијег наступања, на тај начин што се полази од завршног догађаја и иде преко догађаја чији су бројеви уписани у доњим квадрантима кругова док се не стигне до почетног догађаја. У нашем примеру полази се од догађаја 9 и иде на догађај 7, јер је у доњем квадранту круга који представља догађај 9 убележен број 7. Од догађаја 7 иде се преко догађаја 3 и 2 до догађаја 1. Дакле, критични пут сачињавају активности A-D-I-M. Трајање критичног пута износи 47 временских јединица. Наравно, када се одреди најкасније наступање догађаја, онда то време служи за проверу или одређивање критичног пута, јер за догађаје на критичном путу морају бити иста времена најранијег и најкаснијег наступања. Временске резерве се одређују на следећи начин. Укупна временска резерва активности (i – j) одређује се коришћењем израза:

ijijijt tttS −−= )0()1()(

Она показује за колико се временских јединица може померити једна активност (напред или назад), ако суседне активности с обзиром на ово померање заузимају најповољнији положај (St)ij 0≥ . Слободна временска резерва прве врсте или претходна слободна временска резерва одређује се као:

ijijijs tttS −−= )0()0(' )( Слободна временска резерва друге врсте или наредна слободна временска резерва одређује се као:

ijijijs tttS −−= )1()1('' )( Независна временска резерва одређује се по обрасцу

ijijijn tttS −−= )1()0()( може бити и негативна.

Временска резерва догађаја или условна временска резерва одређује се користећи се изразом:

)0()1(iii ttS −=

У горњим изразима су: tij – трајање активности (i – j); ti

(0) - најраније наступање догђаја i, или најранији почетак активности (i – j); ti

(1) – најкасније наступање догађаја i, или најкаснији почетак активности (i – j); tj

(0) - најраније наступање догађаја j; tj

(1) - најкасније наступање догађаја j, или најкаснији завршетак активности (i – j).

29

Вредност свих временских резерви дате су у табели 2. У табели 2 није наведена временска резерва завршног (деветог) догађаја, али како овај догађај мора бити на критичном путу, то и његова временска резерва мора бити једнака нули.

в) Анализа времена при усиљеном трајању активности врши се као и при нормалном

трајању. Наравно, примењују се исти изрази и поступци само се рачуна са усиљеним трајањем активности. За ову анализу смо користили мрежни дијаграм са слике 3. Са леве стране активности дате су њихове ознаке и усиљено трајање. У левим квадрантима су унешени најранији почеци догађаја, а у десним најкаснији почеци. Критични пут при усиљеном трајању активности уцртан је двоструким линијама. Критичне активности при усиљеном трајању су A-D-H-J-L, односно критични догађаји су 1-2-3-8-9. Критичан пут при усиљеном трајању активности износи 28 временских јединица. Ова вредност је дата у последњој врсти колоне tu за у табели 3.

Табела 2

Активност Почетни догађај Завршни догађај Временске резерве

ознака i - j трајањe tij

ti(0) ti

(1) tj(0) tj

(1) (St)ij (Ss’ )ij (Ss

’’ )ij (Sn)ij Si

A 1-2 10 0 0 10 10 0 0 0 0 0 B 2-5 6 10 10 16 35 19 0 19 0 0 C 2-4 6 10 10 16 19 3 0 3 0 0 D 2-3 10 10 10 20 20 0 0 0 0 0 E 5-8 4 16 35 38 39 19 18 0 -1 19 F 4-8 20 16 19 38 39 3 2 0 -1 3 G 4-6 3 16 19 34 35 16 15 13 12 3 H 3-6 14 20 20 34 35 1 0 1 0 0 I 3-7 22 20 20 42 42 0 0 0 0 0 J 6-8 4 34 35 38 39 1 0 0 -1 1 K 6-9 10 34 35 47 47 3 3 2 2 1 L 8-9 8 38 39 47 47 1 1 0 0 1 M 7-9 5 42 42 47 47 0 0 0 0 0

г) Директни трошкови пројекта се добијају када се саберу директни трошкови свих

активности пројекта. Тако за нормално трајање активности директни трошкови пројекта износе 4.630 новчаних јединица, што је дато у последњој врсти табеле 3 у колони за. Директни трошкови пројекта при усиљеном трајању активности добијени су сабирањем вредности колоне за у табели и дати су у последњој врсти. Прираштај директних трошкова за јединицу скраћења времена одвијања активности (јединични директни трошкови активности) одређени су, уз претпоставку да линеарно расту при скраћењу трајања активности од нормалног до усиљеног, на основу израза:

un

nu

ttCc

C−−

=Δ

30

где су: CΔ - јединични директни трошкови активности;

Cu – директни трошкови активности при усиљеном трајању; Cn - директни трошкови активности при нормалном трајању; tu – усиљено трајање активности; tn – нормално трајање активности.

Вредности јединичних трошкова дате су у табели 3 и нанесене су са десне стране активности мрежног дијаграма на слици 4.

На мрежном дијаграму са слике 4 са леве стране активности се налазе подаци: ознака активности, нормално трајање активности и ----- усиљено трајање акртивности. У појединим квадрантима су уобичајени ----

д) Најмањи могући директни трошкови при усиљеном трајању одређују се на

следећи начин: Табела 3 Активност Трајање Директни трошкови

ознака i - j tn tu Cn Cu Δ C A 1-2 10 5 150 300 30 B 2-5 6 3 170 290 40 C 2-4 6 4 270 330 30 D 2-3 10 5 350 700 70 E 5-8 4 1 150 300 50 F 4-8 20 10 700 1.200 50 G 4-6 3 1 300 360 30 H 3-6 14 7 400 820 60 I 3-7 22 15 500 990 70 J 6-8 4 3 200 300 100 K 6-9 10 5 500 1.000 100 L 8-9 8 8 700 700 * M 7-9 5 2 240 480 80

Пројекат 47 28 4.630 7.770

1. Итерација. Бира се на критичном путу активности са најмањим прираштајем јединичних трошкова и скраћује се највише што је могуће, тј. до њеног усиљеног трајања или до појаве новог критичног пута. Са мрежног дијаграма на слици 4 види се да је најјефтиније скраћивати критичну активност А ( 30=Δ AC н.ј.). Како је ова активност саставни елеменат свих путева, то се може скратити до њеног

31

усиљеног трајања, тј. до 5 временских јединица. Ово изазива и скраћење трајања пројекта за 51 =Δt в.ј., што даје:

- трајање пројекта 425471)1(

1 =−=Δ−= tTT n в.ј. - трошкове пројекта 1 1 4.630 5 30 4.780np AC C t C= + Δ ⋅Δ = + ⋅ = н.ј.

Стање после итерације је представљено мрежним дијаграмом на слици 5.

2. Итерација. Критичне активности D и I имaју исте јединичне трошкове, али се одабира активност D, јер се она може скратити за 3 в.ј. до појаве новог критичног пута преко активности A – C – F – L, а скраћивање активности I за 1 в. ј. изазива појаву (A – D – H – J – L ) новог критичног пута. Значи, у другој итерацији усваја се 32 =Δt в.ј. То даје:

- трајање пројекта 39342212 =−=Δ−= tTT в.ј. - трошкове пројекта 2 1 2 4.780 3 70 4.990DC C t C= + Δ ⋅Δ = + ⋅ = н.ј.

Стање после ове итерације представљено је мрежним дијаграмом на слици 6.

3. Итерација. Сада се морају за исти износ скратити оба критична пута. Да би се

скратио новонастали критични пут најјефтиније је скратити критични пут C, а за скраћење већ постојећег критичног пута опет је најподесније скратити активност D. Скраћивање ће се извршити до усиљеног трајања и активности C и D, тј. за 2 временске јединице ( 23 =Δt в.ј.). Ради уверавања да је ово скраћивање могуће обавити, довољно је проверити да се не појављује раније критичан пут преко активности B и E. Међутим, очигледно је да се не појављује. Ово скраћивање даје:

- трајање пројекта 37239323 =−=Δ−= tTT в.ј. - трошкови пројекта 3 2 3 ( ) 4.990 2(70 30) 5.190C DC C t C C= + Δ ⋅ Δ + Δ = + + = н.ј.

32

Стање после ове итерације је представљено мрежним дијаграмом на слици 7.

4. Итерација. Да би се даље скратила оба критична пута, најподесније је скратити активности F и I. Могу се скратити само за 1 временску јединицу, јер се преко активности H – J – L појављује тада нови критични пут. Сада је 14 =Δt в.ј. што даје:

- трајање пројекта 36137434 =−=Δ−= tTT в.ј. - трошкови пројекта 4 3 4 1( ) 5.190 1 (50 70) 5.310FC C t C C= + Δ ⋅ Δ + Δ = + ⋅ + = н.ј.

Стање после ове итерације представљено је мрежним дијаграмом на слици 8.

5. Итерација. Сада постоје три критична пута: први A-D-I-M, други A-D-H-J-L и трећи A-C-F-L. Да би се скратили ови критични путеви најподесније је скратити активности F, H и I. Када се скраћује активност F мора се водити рачуна о појави критичног пута преко активност E или преко G и J. Када се скраћује активност H, мора се водити рачуна о појављивању критичности преко G, док при скраћивању активности I, треба обратити пажњу на активност K, али она је за сада далеко од критичности. Скраћивање извршити до усиљеног трајања активности I, тј. за 6 в.ј. Сада је 65 =Δt в.ј. што даје:

- трајање пројекта 30636545 =−=Δ−= tTT в.ј. - трошкови пројекта =Δ+Δ+Δ⋅Δ+= )(545 IHF CCCtCC

5.310 6 (50 60 70) 6.390= + ⋅ + + = н.ј.

33

Стање после 5 итерације представљено је мрежним дијаграмом на слици 9.

6. Итерација. Опет су остала три иста критична пута. Скраћују се активности F, H и М. Овде је границу скраћивања условило усиљено трајање активности H. Сада имамо 16 =Δt в.ј. што даје:

- трајање пројекта 29130656 =−=Δ−= tTT в.ј. - трошкови пројекта =Δ+Δ+Δ⋅Δ+= )(656 MHF CCCtCC

6.390 1 (50 60 80) 6.580= + ⋅ + + = н.ј.

Стање после ове итерације представљено је мрежним дијаграмом на слици 10.

7. Итерација. У овој итерацији треба скратити активности F, J и M и то само за 17 =Δt в.ј., јер је толико потребно до критичног пута при усиљеном трајању

активности. Уосталом, активност J не можемо скратити за већи износ. Сада је: - трајање пројекта 28129767 =−=Δ−= tTT в.ј. - трошкови пројекта =Δ+Δ+Δ⋅Δ+= )(767 MJF CCCtCC

6.580 1 (50 100 80) 6.810= + ⋅ + + = н.ј.

Стање после 7 итерације, и уједно при најкраћем могућем трајању пројекта, представљено је мрежним дијаграмом на слици 11.

34

Резултат указује да се пројекат може извршити у времену трајања усиљеног критичног пута, а да трошкови пројекта буду 6.810, уместо 7.770 новчаних јединица, колико је добијено при сабирању трошкова појединих активности при усиљеном трајању. Несумљиво, ово представља значајну уштеду. Како је остварена ова уштеда? Остварена је на тај начин што је постигнуто да цео пројекат усиљено траје, а да све активности не буду сведене на усиљено трајање. Све оне активности, код којих је већи број одмах после ознаке од онога у загради на мрежном дијаграму са слике 11, нису сведене на усиљено трајање. Оне су и допринеле уштеди, јер било би бесмислено плаћати њихово скраћивање до усиљеног трајања када то не може довести до скраћивања целог пројекта. У овом примеру је уштеђено на следећим активностима:

активност B, уштеда 3 x 40 = 120 n.j активност E, уштеда 3 x 50 = 150 n.j активност F, уштеда 1 x 50 = 50 n.j активност G, уштеда 2 x 30 = 60 n.j активност K, уштеда 5 x 100 = 500 n.j активност M, уштеда 1 x 80 = 80 n.j Укупна уштеда = 960 н.ј.

Укупна уштеда одговара разлици између трошкова при усиљеном трајању свих активности и оптималних трошкова при усиљеном трајању пројекта, тј. 7.770 н.ј. – 6.810 н.ј. = 960 н.ј. Код практичне примене анализе времена – трошкови не морају се цртати мрежни дијаграми после сваке итерације. Довољно је на већ постојећем мрежном дијаграму на подесан начин изменити бројеве који означавају трајање активности које се скраћују и изменити оне бројеве који се мењају услед овог скраћивања. Такође је потребно обележити нове критичне путеве. Посебно је подесно различитим бојама назначити ново стање после итерације. Мада је код великих мрежних дијаграма тешко навести све путеве, може се извршити анализа трошкова табеларно наводећи све путеве мрежног дијаграма. То је урађено помоћу табеле 4. У табели 4 критични путеви су обележени дописивањем слова К уз трајање истих. Симболично писање испод итерације, на пример: A:10→5 в.ј. значи да је у првој итерацији активност А скраћена са 10 на 5 временских јединица. Испод ознаке за скраћивање активности наведени су директни трошкови пројекта, после те итерације, односно после датог скраћења.

35

Табела 4 Трајање пута Итерације

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. Ред. број пута

Састав пута норма-

лно усиљено A:10→5 C1=4780

D:10→7 C2=4990

C: 6→4 D:7 →5 C3=5190

I:22→21 F:20→19 C4=5310

H:14→8 F:19→13 I:21→15 C5=6390

F:13→12 H:8→7 M:5→4 C6=6580

F:12→11 J:4→3 M:4→3 C7=6810

I A-D-I-M 47 K 27 42K 39K 37K 36K 30K 29K 28K II A-D-H-K 44 22 39 36 34 34 28 27 27 III A-D-H-J 46 28K 41 38 36 36K 30K 29K 28K IV A-C-G-K 29 15 24 24 22 22 22 22 22 V A-C-G-J 31 21 26 26 24 24 24 24 23 VI A-C-F-L 44 27 39 39K 37K 36K 30K 29K 28K VII A-B-E-L 28 17 23 23 23 23 23 23 23

36

1. A→ 5

51 =Δt 4254711 =−=Δ−= tTT n

1 1 4.630 5 30 4.780n AC C t C= + Δ ⋅Δ = + ⋅ =

2. D→ 3 32 =Δt

39342212 =−=Δ−= tTT

2 1 2 4.780 3 70 4.990DC C t C= + Δ ⋅Δ = + ⋅ =

2. D→ 2 C → 2

23 =Δt 37239323 =−=Δ−= tTT

3 2 3 ( ) 4.990 2 (30 70) 5.190D CC C t C C= + Δ ⋅ Δ + Δ = + ⋅ + =

4. J→1 F → 1

14 =Δt 36137434 =−=Δ−= tTT

4 3 4 ( ) 5.190 1 (70 50) 5.310J FC C t C C= + Δ ⋅ Δ + Δ = + ⋅ + =

5. T→ 6 F → 6 H → 6

30636545 =−=Δ−= tTT

5 4 5 ( ) 5.310 6 (70 50 60) 6.390I F HC C t C C C= + Δ ⋅ Δ + Δ + Δ = + ⋅ + + =

6. M→ 1

H→ 1 F → 1

291306 =−=T

6 5 6 ( ) 6.580M H FC C t C C C= + Δ ⋅ Δ + Δ + Δ =

7. M→ 1 F → 1 J → 1

281297 =−=T =Δ+Δ+Δ⋅Δ+= )(767 JFM CCCtCC --------------------------------

B 3 x 40 = 120 E 3 x 50 = 150 F 1 x 50 = 50