Embed Size (px)
Citation preview
BUDAPESTI MŰSZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM GÉPÉSZMÉRNÖKI KAR
MŰSZAKI TERMODINAMIKA Feladatgyűjtemény
Szerkesztette: BIHARI PÉTER
2. átdolgozott és bővített változat
BUDAPEST, 2004.
ii
MŰSZAKI TERMODINAMIKA — FELADATGYŰJTEMÉNY
Az egyes feladatokat készítették:
Bihari Péter
Faludi Árpád
Gróf Gyula
Horváth Csaba
Környey Tamás
Szerkesztette: Bihari Péter
Sándor Endre
iii
TARTALOMJEGYZÉK
1. Egyszerű modellek 5 1.1. Tökéletes gázok állapotváltozásai ...................................................... 5
1.1.1. Állapotegyenlet, termikus együtthatók.....................................31 1.2. Energiaanalízis. Az I. főtétel alkalmazása .........................................34 1.3. Entrópiaanalízis. A II. főtétel alkalmazása .......................................73 1.4. Változó fajhőjű ideális gázok állapotváltozásai .................................89 1.5. Az exergia alkalmazása.....................................................................92
2. Többfázisú rendszerek 95 2.1. Gőz-folyadék egyensúlyi rendszerek ..................................................95 2.2. Szilárd-folyadék egyensúlyi rendszerek............................................111
3. Gázkörfolyamatok 114 3.1. Egyszerű körfolyamatok..................................................................114 3.2. Belsőégésű motorok ........................................................................122 3.3. Gázturbina körfolyamatok ..............................................................127 3.4. Gázközegű hűtőkörfolyamatok........................................................137
4. Gőzkörfolyamatok 141 4.1. Vízgőz körfolyamatok .....................................................................141 4.2. Gőz hűtőkörfolyamatok ..................................................................162
5. Valóságos közegek 165
6. Többkomponensű rendszerek 178 6.1. Ideális gázok ideális elegyei.............................................................178 6.2. A nedves levegő termodinamikája...................................................182
7. Melléklet 188
5
1. Egyszerű modellek
1.1. Tökéletes gázok állapotváltozásai
1—1. FELADAT.
Egy termoelem egyik forrasztását 0 °C hőmérsékleten tartjuk, míg a másikkal a hőmérsékletet mérjük. A termofeszültség a higanyos hőmérővel °C-ban mért hőmérséklet (t) függvénye:
2U at bt= + , ahol U a mV-ban mért feszültség, 0,2a = mV/°C és
41,0 10b −= − ⋅ mV/°C2.
– Határozza meg a feszültség skálán a —100, 0, 100, 200, 300, 400 és 500 °C helyét!
– Készítsen olyan hőmérsékleti skálát a voltmérőn, melyen a víz olvadáspontja 0, a víz forráspontja 100 egység, pl. fok (mindkettő 1 bar nyomáson), a hőmérséklet pedig a termofeszültséggel arányos!
– Hasonlítsa össze a két skálát!
1—2. FELADAT.
Egy hélium töltetű állandó térfogatú gázhőmérőben a gáz nyomása 1,333 bar a víz olvadási hőmérsékletén, és 1,821 bar a víz forrpontján. – Írja fel a T hőmérséklet egyenletét a nyomás lineáris függvényeként! – Környezeti hőmérséklet esetén a gázhőmérőben 1,431 bar alakult ki.
Határozza meg a környezet hőmérsékletét! A héliumot tekintse állandó fajhőjű ideális gáznak a számítások során! (Végeredmény: 20,1 °C, 293,24 K)
1—3. FELADAT.
Egy gázhőmérőben az ideális gáz nyomása 1,4382-szeresére növekedett, miközben a ként 0 °C hőmérsékletről olvadási hőmérsékletére melegítettük.
6
– Mekkora a kén olvadáspontja? (119 °C)
1—4. FELADAT.
Egy gázhőmérőben a gáz nyomása 1,36605-ször nagyobb a víz normál forrpontján, mint a hármaspontján. A hármaspont hőmérséklete 273,16 K. – Határozza meg a víz normál forrpontját! (100 °C)
1—5. FELADAT.
Egy edényben 1 kg tömegű és —5 °C hőmérsékletű jeget és 2 kg tömegű és 20 °C hőmérsékletű vizet összekeverünk. A jég fajhője 2,01 kJ/(kg·K), olvadáshője 335 kJ/kg, a víz fajhője 4,187 kJ/(kg·K). – Egyensúlyban van-e ez a rendszer? (Nem) – Mik lesznek a rendszer jellemzői az egyensúlyi állapotban? (Az
egyensúlyi hőmérséklet 0 °C, az egyensúly beállta után a víz mennyisége 2,47 kg, a jég mennyisége 0,53 kg.)
1—6. FELADAT.
Mennyi mechanikai munkát kell végezni, ha egy 0,05 kg tömegű, 1,76 kJ/(kg·K) fajhőjű fadarabot 20 °C-ról a 400 °C-os gyulladási hőmérsékletére kívánunk melegíteni dörzsöléssel? A dörzsölés következtében felszabaduló hőmennyiség fel a fadarabot, fele a környezetet melegíti. (Végeredmény: 66,8 kJ.)
1—7. FELADAT.
Egy 10 dm3 kiinduló térfogatú hengerben súrlódásmentesen 100 cm2 felületű dugattyú mozog. A hengert 7 °C hőmérsékletű és 1 bar nyomású állandó fajhőjű ideális gázzal töltöttük meg, majd állandó nyomáson melegítjük, amíg a gáz hőmérséklete el nem éri a 35 °C-ot. (A gázra: κ= 1,4.)
– Mekkora a gáz által végzett munka? – Mennyi hőt közöltünk a gázzal? – Mekkora a dugattyú elmozdulása?
MEGOLDÁS Vázlat és jelölések:
7
∆ x
A
V 1
T 1
p
1 2
A izobár fajhő és a gázállandó közti összefüggés: 1pc R
κ=κ −
A gáz állapotegyenlet erre az esetre: 1 1pV mRT=
Ebből a gáz tömege: 1
1
pVm
RT=
Az izobár melegítés során közölt hő:
( ) ( )12 1 2 1
1 1ppV
Q mc T T R T TRT
κ= − = ⋅ ⋅ −κ −
= 349,81 J.
Az izobár állapotváltozásra felírható, hogy 2 2
1 1
V TV T=
A végzett munka: ( ) 22 1 1
11
TW p V V pV
T⎛ ⎞⎟⎜= − − = − − ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠ = —99,95 J.
A dugattyú elmozdulása: W
xpA
∆ = = 0,09995 m. (10 cm)
1—8. FELADAT.
Egy, az ábra szerinti kialakítású hengerben kezdetben 101 kPa nyomású 15 dm3 térfogatú és 20 °C hőmérsékletű állandó fajhőjű ideális gáz van (levegő), melyre κ =1,4 és R=287 J/(kg·K). A súrlódás-mentesen mozgó dugattyú szabad úthosszát a rögzítőgyűrű határolja. – Mennyi hőt kell közölni a gázzal, ha annak
nyomását a kezdeti nyomásérték ötszörösére kívánjuk növelni!
rögzítőgyűrű
L
L
– Ábrázolja a folyamatot ideális gáz p—v és T—s diagramjában! – Számítsa ki a közeg belső energiájának, entalpiájának és entrópiájának
a megváltozását! MEGOLDÁS A folyamatok p—v és T—s diagramban:
8
1
3
2
p
V
p1
p3=5·p
1
V1 V
2=2·V
1
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
0 500 1000 1500 2000 2500 Fajlagos entrópia, s, J/(kg·K)
Hő
mérs
éklet, T
, K
1 2
3
p=áll.
v=áll.
p=101 kPa p=505 kPa
A gáz tömege: 1 1
1
pVm
RT= .
Az izobár állapotváltozásra: 22 1
1
VT T
V= és az ábra alapján 2
1
VV= 2.
Az izochor állapotváltozásra: 33 2
2
pT T
p= és a feltétel alapján 3 3
2 1
p pp p= = 5.
A számításhoz szükséges fajhők: 1V
Rc =
κ − és
1pR
cκ=κ −
.
A szükséges hő: ( ) ( )[ ]2 1 3 2p VQ m c T T c T T= − + −
Behelyettesítve:
2 3 2 21 1
1 1 1 1
11
1 1V p V V
Q pVV p V V
⎡ κ ⎛ ⎞⎤⎛ ⎞ ⎟⎟ ⎜⎜= − + ⋅ −⎢ ⎥⎟⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠κ − κ −⎢ ⎥⎣ ⎦=3560,25 J.
A végzett munka: ( )1 2 1 1 1W p V V pV= − − = − =—151,5 J.
A belső energia megváltozása: 3 1U U U Q W− = ∆ = + =3408,75 J.
9
A belső energia változása más módon is kiszámítható. ( )3 1 3 1VU U U c m T T− = ∆ = −
Felhasználva, hogy 3 2 3
1 1 22 5 10
T V pT V p= ⋅ = ⋅ = , valamint a gáz tömegére és
az izochor fajhőre vonatkozó összefüggéseket:
( ) ( )1 33 1 1 1 1
1 1
11 10 1
1 1VR pV T
U c m T T T pVRT T
⎛ ⎞⎟⎜∆ = − = − = − =⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠κ − κ −
=3408,75 J. Az entalpia megváltozása: ( )3 1pH c m T T U∆ = − = κ∆ =4772,25 J.
Az entrópia megváltozása: 2 3
1 2ln lnp V
T TS m c c
T T⎡ ⎤∆ = +⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
=3,33 J/K.
1—9. FELADAT.
Egy merev falú tartályban 0,5 kg tömegű 40 bar nyomású és 180 K hőmérsékletű oxigén van. A gázt lehűtjük, és eközben a nyomása lecsökken 33 bar-ra. Az oxigén molekulatömege: 32 kg/kmol. – Határozza meg a tartály térfogatát és a végállapot hőmérsékletét!
1—10. FELADAT.
Egy dugattyúval lezárt hengerben levő butángáz (C4H10) a 1,05 .pv áll= egyenlettel leírt állapotváltozás során a 1p = 5 MPa nyomással és
1T = 500 K hőmérséklettel adott állapotból a 2p = 3 MPa nyomású állapotba jut. A bután tömege 5 kg. – Határozza meg az állapotváltozás véghőmérsékletet és a munkát!
(Végeredmény: 450,7 K, 120 kJ)
1—11. FELADAT.
Egy 20 m3 térfogatú merev falú tartályban kezdetben 25 °C hőmérsékletű és 800 kPa nyomású nitrogén gáz található. A nitrogén egy részének eltávozása után a tartályban a nyomás és a hőmérséklet 600 kPa, ill. 20 °C lett. A nitrogént tekintse ideális gáznak! – Mennyi nitrogén távozott a tartályból? (Végeredmény: 42,9 kg)
10
1—12. FELADAT.
Egy merev falú tartályban 10 kg tömegű, 150 kPa nyomású és 20 °C hőmérsékletű levegő található. A tartályba levegőt töltünk, így a nyomás 250 kPa-ra, a hőmérséklet 30 °C-ra emelkedik. A levegőt tekintse ideális gáznak! – Mennyi levegőt töltöttünk a tartályba? (Végeredmény: 6,12 kg)
1—13. FELADAT.
Egy dugattyúval zárt merev falú henger kezdetben 0,05 m3 térfogatú és 200 kPa nyomású gázt tartalmaz (lásd az ábrát). Ebben az állapotban a 150 kN/m rugóállandójú, lineáris karakterisztikájú rugó éppen nem fejt ki erőt a dugattyúra. A hengerben lévő gázt melegítve annak térfogatát kétszeresére növeljük, miközben a rugó összenyomódik. A dugattyú felülete 0,25 m2. – Ábrázolja a folyamatot p—v diagramban! – Határozza meg a folyamat végén a gáz nyomását! – Határozza meg a gáz által végzett munkát! – Határozza meg a gáz által a rugó összenyomása érdekében végzett
munkáját! k=150 kN/m
p1=200 kPa
V1=0,05 m3
MEGOLDÁS A gáz térfogata a melegítés befejeztével: 2 12V V= = 0,1 m3.
A dugattyú elmozdulása (a rugó összenyomódása): V
xA
∆∆ = = 0,2 m.
A rugóerő a felmelegítés végén: F k x= ⋅ ∆ =30 kN.
11
A rugó által a felmelegítés végén kifejtett nyomás: rF
pA
= = 120 kPa.
A rugó nélkül a melegítés hatására a gáz nyomása nem változott volna, ebből következően a végnyomás a kezdeti nyomás és a rugó által kifejtett nyomás összege, azaz 2 1 rp p p= + =320 kPa.
Az állapotváltozás munkája a p—V diagramban az állapotváltozási vonal alatti területként határozható meg.
p1
p2
V1 V
2
p
V
W
( )1 22 12
p pW V V
+= − = 13 kJ.
A rugóerő ellenében végzett munka: 2r
12
W k x= ∆ = 3 kJ.
1—14. FELADAT.
Gázt komprimálunk a kezdeti 0,38 m3 térfogatról 0,1 m3 térfogatra. Az állapotváltozás kvázistatikus és azt a p aV b= + egyenlet írja le, ahol a =—1200 kPa/m3 és b = 600 kPa. – Határozza meg a végzett munkát! – Ábrázolja a folyamatot p—V diagramban!
1—15. FELADAT.
Egy kompresszorba állandósult üzemállapotban 17 °C hőmérsékletű és 1 bar nyomású levegő lép be, majd 5 bar nyomáson lép ki. A kinetikus és potenciális energia megváltozása elhanyagolható. Tételezze fel, hogy a
12
gépben lejátszódó folyamat reverzibilis. A levegőt tekintse állandó fajhőjű ideális gáznak, R=286 J/(kg·K) és κ =1,4. – Határozza meg a fajlagos munkát és hőforgalmat az alábbi esetekre:
a) izotermikus kompresszió, b) politropikus kompresszió, ha n=1,3, c) adiabatikus kompresszió!
— Vázolja ezeket a folyamatokat p—v és T—s diagramban és mutassa meg a munkának és a közölt hőnek megfelelő területeket!
1—16. FELADAT.
Egy gáz a p aV b= + egyenletnek megfelelő kvázistatikus állapotváltozást szenved el, miközben nyomása 1p = 900 kPa-ról
2p = 100 kPa csökken. Az egyenletben a =1 MPa/m3. A gáz kezdeti térfogata 0,2 m3. – Határozza meg a végzett munkát! – Ábrázolja a folyamatot p—V diagramban!
1—17. FELADAT.
Egy súrlódásmentesen elmozduló dugattyúval lezárt hengerben 2 kg tömegű, 100 kPa nyomású és 300 K hőmérsékletű nitrogén gáz van. A nitrogént a 1,4 .pV áll= egyenlettel leírható állapotváltozásnak megfelelően addig komprimáljuk, míg hőmérséklete eléri a 360 K-t. Az állapotváltozás kvázistatikus. A nitrogént tekintse állandó fajhőjű ideális gáznak! – Határozza meg a komprimáláshoz szükséges munkát! (Végeredmény:
89 kJ)
1—18. FELADAT.
Szén-dioxid gázt komprimálunk a kezdeti 0,3 m3 térfogatról 0,1 m3 térfogatra. Az állapotváltozás kvázistatikus és a 2p aV−= egyenletnek megfelelően zajlik le, mely egyenletben a =8 kPa·m6. – Határozza meg a végzett munkát! (Végeredmény: 53,3 kJ) – Ábrázolja a folyamatot p—V diagramban!
13
1—19. FELADAT.
Egy hengert, melyben 0,2 m3 térfogatú, 150 kPa nyomású levegő van, súrlódásmentesen mozgatható dugattyú zár le. A dugattyút ebben az állapotban egy lineáris karakterisztikájú rugó is érint, de erőt nem fejt ki. Melegítéssel a hengerben lévő levegő nyomását 600 kPa-ra, térfogatát 0,5 m3-re növeljük. – Ábrázolja a folyamatot p—v diagramban! – Határozza meg a gáz által végzett munkát! (A munka: 112,5 kJ) – Határozza meg a gáz által a rugó összenyomása ellenében végzett
munkáját! (A rugóerő ellenében végzett munka: 67,5 kJ)
1—20. FELADAT.
Egy gömb alakú, rugalmas anyagból készült léggömbben 5 kg tömegű, 200 kPa nyomású és 500 K hőmérsékletű levegő van. A ballon anyaga olyan, hogy belsejében a nyomás mindig arányos az átmérőhöz tartozó kör területével. A levegőt tekintse ideális gáznak, specifikus gázállandója 286 J/(kg·K). – Határozza meg azt a munkát, melyet a ballonban lévő gáz végez,
miközben térfogata melegítés következtében megduplázódik! (Végeredmény: 936 kJ)
1—21. FELADAT.
Egy vízszintes helyzetű dugattyús hengerben levő levegő (lásd az ábrát) nyomása kezdetben 1p = 100 kPa, térfogata 3
1 2 10V −= ⋅ m3, és a dugattyú helyzetét x=0 jellemzi. Ekkor a rugó nem fejt ki erőt a dugattyúra. A kezdetben légköri nyomás 100 kPa, és a dugattyú felülete 0,018 m2. A levegő — a légköri nyomás csökkenése következtében — lassan expandál, míg térfogata eléri a 3
2 3 10V −= ⋅ m3 értéket. A folyamat során a rugó erőt fejt ki a dugattyúra, mely x függvényében F k x= ⋅ szerint változik, ahol 316,2 10k = ⋅ N/m. A dugattyú és a henger között nincs súrlódás. (A berendezés magasságmérőként működik.) – Határozza meg a levegő végső nyomását kPa-ban és a levegő által a
dugattyún végzett munkát kJ-ban!
14
levegő
A
x x=0
1—22. FELADAT.
A levegő a következő állapotváltozásokon megy keresztül: 1—2 állapotok közt: expanzió 1p = 300 kPa nyomásról és 1V =0,019 m3 térfogatról 2p = 150 kPa nyomásra, mely során érvényes a pV=áll. feltétel.
2—3 állapotok közt: izobár hőelvonás, amíg 3V = 1V lesz.
– Vázolja fel a folyamatokat p—V diagramon és határozza meg a levegő által végzett munkát! A levegőt tekintse ideális gáznak!
1—23. FELADAT.
Egy belső égésű motor hengerében a füstgáz expanziója során mért összetartozó nyomás és térfogat értékek az alábbi táblázatban láthatók. Ezek felhasználásával – Becsülje meg a füstgáz által a dugattyún végzett munkát az expanzió
során kJ-ban. Ez miért csak közelítés? – Ábrázolja a nyomás alakulását a térfogat függvényében log-log
koordinátarendszerben, és illesszen egyenes vonalat az adatokhoz. Határozza meg a vonal meredekségét!
Sor. p, bar V, cm3 1 20,0 454 2 16,1 540 3 12,2 668 4 9,9 780 5 6,0 1175 6 3,1 1980
15
1—24. FELADAT.
Egy légkompresszor óránként 120 m3, 1 bar nyomású és 22 °C hőmérsékletű levegőt szív be, majd azt több fokozatban, izentropikusan 25 bar nyomásra komprimálja. A levegőt minden fokozat után a kezdeti hőmérsékletre visszahűtik. (A levegőt tekintse állandó fajhőjű ideális gáznak, melyre: κ= 1,4 és R = 287,5 J/(kg·K).)
– Határozza meg a szükséges kompresszor-fokozatok számát annak figyelembevételével, hogy a komprimált levegő hőmérséklete a 95 °C-ot nem haladhatja meg, a lehető legkevesebb fokozatot kell alkalmazni, és minden fokozatban azonos a nyomásviszony!
– Számítsa ki a kompresszor teljesítményszükségletét! – Határozza meg a levegő véghőmérsékletét egyfokozatú kompresszió
esetére! – Mennyi lenne a kompresszor teljesítményszükséglete, ha a kompresszió
izotermikus lenne? – Ábrázolja valamennyi folyamatot p—v és T—s diagramban!
MEGOLDÁS A kompressziós folyamat p—v és T—s diagramban:
izobár hűtés adiabatikus kompresszió
v
p
T2
T1
környezeti állapot
Három fokozat ábrázolása.
16
p
1 p
3
T
s
2 p
T 2
T 1
adiabatikus kompresszió
izobár hűtés
Három fokozat ábrázolása
környezeti állapot
Ha a kompresszió 2T = 368,15 K (95 °C)-ig tart, akkor a fokozati végnyomás
12 2
1 1
T pT p
κ−κ⎛ ⎞⎟⎜= ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠ , ebből
12
2 11
pT T
p
κ−κ⎛ ⎞⎟⎜= ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠ = 2,1673 bar.
Ebben az esetben a nyomásviszony egy fokozatra: (1)pr =2,1673.
Mivel a levegőt 25 bar-ra kell komprimálni, azaz az eredő nyomásviszonynak, mely a fokozati nyomásviszonyok szorzata, 25-öt kell kiadnia
(1) 25n
pr⎡ ⎤ =⎢ ⎥⎣ ⎦ .
Ez alapján a szükséges kompresszor fokozatok száma:
(1)ln 25ln p
nr
= = 4,16.
A kompresszió megvalósításához tehát öt (5) fokozatú berendezés szükséges, mivel a fokozatszám csak egész érték lehet, továbbá a komprimált gáz hőmérséklete nem lépheti túl a megengedett értéket. Ha négy (4) fokozatú kompressziót választanánk, akkor e feltételnek nem tudnánk eleget tenni.
A valódi fokozati nyomásviszony: (1) 25npr = = 1,9.
A beszívott levegő fajtérfogata: 1 1 1p v RT= egyenletből
11
1
RTv
p= = 0,85 kg/m3.
17
tömegárama: 1
Vm
v= = 0,0392 kg/s.
Felhasználva, hogy 1
(1)2 1 pT T r
κ−κ⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦ és
1pc Rκ=
κ −
Egy fokozat hajtásához szükséges teljesítmény:
( )1
(1)1 2 1 1 1
1p pP mc T T pV rκ−κ
⎛ ⎞κ ⎟⎜ ⎡ ⎤ ⎟= − = −⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎣ ⎦ ⎟κ − ⎟⎜⎝ ⎠ = 2355,9 W.
A kompresszor összteljesítmény szükséglete: 1P nP= = 11,78 kW.
Ha a kompresszió egyfokozatú lenne, úgy a levegő véghőmérséklete:
1
*2 1 25T T
κ−κ= ⋅ = 740,4 K (467 °C) lenne.
A teljesítményszükséglet ebben az esetben:
( )* *2 11
P m R T Tκ= −
κ − = 17,6 kW.
Izotermikus kompresszió esetében a teljesítményszükséglet:
it1 ln 25P mRT= = 10,71 kW.
1—25. FELADAT.
Levegőt kell komprimálnunk 1 bar nyomással és 15 °C hőmérséklettel megadott állapotból 25 bar nyomásra. A folyamat megvalósításához többfokozatú kompresszorberendezés áll rendelkezésre. Egy kompresszor fokozat belső hatásfoka 87 %. A levegőt tekintsük állandó fajhőjű ideális gáznak, melyre: κ =1,4. – Vizsgáljuk meg, hogy milyen viszony van egy fokozat belső hatásfoka
és a többfokozatú kompresszor eredő belső hatásfoka között, ha a fokozatszám n=1, 2, 4, 6, 8, 10 és 20! (A gyakorlatban 12..18 fokozatú kompresszorokat alkalmaznak.)
MEGOLDÁS (ELVI) A folyamat egy része (két fokozat) ideális gáz T—s diagramjában
18
p
1 p
3
T
s
2 p
1
Két fokozat ábrázolása
környezeti állapot
2 2*
3 3* n
Legyen minden egyes fokozat nyomásviszonya azonos, mivel — mint azt egy korábbi példa esetében láttuk — ez igényli legkisebb befektetendő munkát. Ezzel egy fokozat nyomásviszonya:
(1) np pr r∑= , ahol
pr∑ a teljes berendezés eredő nyomásviszonya
Az első fokozatban végbemenő kompresszió izentropikus véghőmérséklete:
1
(1)2 1 pT T r
κ−κ⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦ . (*)
A kompresszor-fokozat belső hatásfoka:
( )( )
2 1(1) 2 1K
1 12* 2*
p
p
c T Th hh h c T T
−−η = =− −
.
Állandó fajhőjű ideális gáz esetében a fokozatból kilépő levegő hőmérséklete:
2 112* (1)
K
T TT T
−= +η
. (**)
Behelyettesítve a (*) egyenletet a (**) egyenletbe
1 1(1) (1)
1 11 12* (1) (1)
K K
11
p pT r T rT T T
κ− κ−κ κ
⎛ ⎞⎟⎜⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎟− −⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎟= + = +⎜ ⎟⎜ ⎟⎟η η⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
.
A következő fokozatban végbemenő kompressziónak ez a kiindulási hőmérséklete, így az előző egyenletek a következő formában írhatók fel:
1(1)1 1
(1) (1)3 12* (1)
K
11
pp p
rT T r T r
κ−κ− κ−κκ κ
⎛ ⎞⎟⎜ ⎡ ⎤ ⎟−⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎣ ⎦⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎟= = + ⋅⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎜ ⎟⎟η⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
.
19
1(1)
3 2*13* 2* (1) (1)
K K
1 1(1) (1)1
(1)1 1(1) (1)
K K
(1)K
11
1 11 1
p
p pp
rT TT T T
r rT r T
κ−κ
κ− κ−κ−κ κκ
⎛ ⎞⎟⎜ ⎡ ⎤ ⎟−⎜− ⎟⎢ ⎥⎜ ⎣ ⎦ ⎟= + = + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎟η η⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟ ⎟⎜ ⎜⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎟ ⎟− −⎜ ⎜⎟ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎜⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎡ ⎤⎟ ⎟+ ⋅ − +⎜ ⎜⎟ ⎟⎢ ⎥⎣ ⎦⎜ ⎜⎟ ⎟η η⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠+
η
Az egyfokozatú izentropikus kompresszió véghőmérséklete:
1
(1)n 1
npT T r
κ−⋅ κ⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦ .
A kompresszor eredő hatásfoka:
1(1)
n 1K 113*
(1)(1)K
1
11 1 1
np
n
p
rT TT T
r
κ−⋅ κ∑
κ−κ
⎡ ⎤ −− ⎢ ⎥⎣ ⎦η = =− ⎡ ⎛ ⎞⎤⎟⎜⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎟+ − −⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎟⎟⎜η ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
.
Az összefüggésből látható, hogy – a többfokozatú kompresszor eredő belső hatásfoka csak a fokozatszám
(n) és a fokozati belső hatásfok ( )(1)Kη függvénye,
az eredő belső hatásfok mindig kisebb, mint a fokozat belső hatásfoka, – az eredő belső hatásfok a fokozatszám függvényében csökken, és
aszimptotikusan közelíti a végtelen sok fokozatú kompresszor
(1)K
1(1)
K 1(1)
1
1
p
p
r
r
κ−κ
∞κ−η κ
⎡ ⎤ −⎢ ⎥⎣ ⎦η =⎡ ⎤ −⎢ ⎥⎣ ⎦
eredő belső hatásfokát.
Ennek az a magyarázata, hogy a kompresszor egy fokozatában hővé alakuló súrlódási veszteségek a következő fokozatban csak további veszteségek előidézői lesznek. A tényleges számértékek kiszámítását az olvasóra bízzuk.
1—26. FELADAT.
Füstgáz expandál 24 bar nyomással és 1210 °C hőmérséklettel megadott állapotból 1 bar nyomásra. A folyamat megvalósításához többfokozatú turbina áll rendelkezésre. Egy turbina fokozat belső hatásfoka 92 %. A füstgázt tekintsük állandó fajhőjű ideális gáznak, melyre: κ =1,33.
20
– Vizsgáljuk meg, hogy milyen viszony van egy fokozat belső hatásfoka és a többfokozatú turbina eredő belső hatásfoka között, ha a fokozatszám n=1, 2, 3, 4 és 5! (A gyakorlatban 3 vagy 4 fokozatú turbinákat alkalmaznak.)
1—27. FELADAT.
Egy 20 dm3 térfogatú merev falú tartályban 15 bar nyomású és 500 K hőmérsékletű állandó fajhőjű ideális gáz van, melynek adiabatikus kitevője
1,3κ = . A gáz hőmérsékletét hőelvonással 300 K-re csökkentjük.
– Számítsa ki a gáz nyomását a 300 K hőmérsékletű állapotban, továbbá az elvonandó hő mennyiségét, a belső energia, az entalpia és az entrópia megváltozását!
MEGOLDÁS
A gáz nyomása a folyamat után: 22 1
1
Tp p
T= = 9 bar.
Az entalpia megváltozása:
( ) ( )12 1 2 1
11ppV
H c m T T T TT
κ∆ = − = ⋅ − =κ −
—52000 J = —52 kJ.
Az elvont hő az I. főtétel alapján, mivel .V áll= , így 0W = : U Q∆ = .
Az entalpia H U pV= + definícióját felhasználva:
( ) ( )2 1Q U H pV H V p p= ∆ = ∆ −∆ = ∆ − − =—40000 J = —40 kJ.
Az entrópia megváltozása: 2 2
1 1ln lnv
T VS m c R
T V⎡ ⎤∆ = +⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
.
Figyelemmel arra, hogy az állapotváltozás állandó térfogaton történt, azaz 1 2 .V V áll= = a szögletes zárójelen belüli kifejezés második tagjának
értéke nulla. Ennek megfelelően a folyamat során bekövetkező entrópiaváltozás:
2 1 2
1 1 1
1ln ln
1vT pV T
S m cT T T
⎡ ⎤ ⎡ ⎤∆ = = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥κ −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦—102,165 J/K.
21
1—28. FELADAT.
Állandó fajhőjű ideális gáz közeggel ( )1,3κ = zárt termodinamikai rendszerben a mellékelt p—V diagramban ábrázoltnak megfelelő reverzibilis állapotváltozás történik. Kiinduló állapotban (1) a nyomás 1 bar, a térfogat 30 dm3, a hőmérséklet 300 K. A végállapotban (2) a nyomás 2 bar a térfogat 60 dm3. – Határozza meg a gáz által végzett munkát, a
közölt vagy elvont hő nagyságát, a belső energia, az entalpia és az entrópia megváltozását!
p
VV1
V2
p1
p2
MEGOLDÁS
A végállapotban a hőmérséklet: 2 22 1
1 1
pVT T
pV= = 1200 K.
A végzett (fizikai) munka:
( ) ( )( )2
1
1 2 1 2 1 2 11
d2
V
V
W p V p V V p p V V⎡ ⎤= − = − − + − − =⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦∫ —4500 J.
A belső energia megváltozása felhasználva, hogy:
a gáz tömege: 1 1
1
pVm
RT= és
az izochor fajhő: 1V
Rc =
κ −
( ) ( )
( )
1 12 1 2 1 2 1
1
1 12 1
1
11
30000 J.1
VpV R
U U U mc T T T TRT
pVT T
T
∆ = − = − = ⋅ −κ −
= − =κ −
A közölt hő az I. főtétel alapján: Q U W= ∆ − = 34500 J.
Az entalpia megváltozása a fajhőviszonyt felhasználva: H U∆ = κ ⋅ ∆ =39000 J.
Az entrópia megváltozása:
2 2 1 1 2 2
1 1 1 1 1ln ln ln ln
1pT p pV T p
S m c RT p T T p
⎡ ⎤ ⎡ κ ⎤∆ = − = − =⎢ ⎥ ⎢ ⎥κ −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦53,14 J/K.
22
1—29. FELADAT.
Egy turbinában levegő expandál adiabatikusan 5 bar-ról 1 bar-ra. A levegő állandó fajhőjű ideális közegként kezelhető, cp = 1000 J/(kg·K) és cv =715 J/(kg·K). A levegő belépő hőmérséklete 250 °C, a kilépő 77 °C, tömegárama 4000 kg/h. – Mekkora a turbina által leadott teljesítmény? – Mekkora a turbina belső hatásfoka? – Ábrázolja a folyamatot T—s diagramban! – Számítsa ki az expanzió során bekövetkező fajlagos entrópia változást! MEGOLDÁS A folyamat T—s diagramban:
p
1 p
2
T
s
1
2 2*
A gáz adiabatikus kitevője: 1, 4p
v
cc
κ = = .
Az expanziós folyamat nyitott rendszerben megy végbe, így az I. főtétel ebben az esetben 12* 1,2* t,1,2*h h q w− = + .
Mivel a folyamat adiabatikus( )1,2* 0q = , így 12* t,1,2*h h w− =
A fajlagos technikai munka: ( )1t,1,2* 2*pw c T T= ⋅ − = —173 kJ/kg.
A munka értéke negatív, mivel a munkavégzés a rendszer energiájának csökkenésével járt.
A turbina teljesítménye: t,1,2*P m w= ⋅ = 192,03 kW.
Az adiabatikus és reverzibilis (izentropikus) expanzió véghőmérséklete:
23
12
2 11
pT T
p
κ−κ⎛ ⎞⎟⎜= ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠ = 330,2 K.
A turbina hatásfoka: ( )( )
1 2*1 2*
1 2 1 2
p
p
c T Th hh h c T T
−−η = =− −
.
Tekintve, hogy állandó fajhőjű ideális gáz a munkaközeg, így
1 2*
1 2
T TT T
−η =−
= 0,897.
A expanziós folyamat során fellépő fajlagos entrópia változás:
2*1 22* 2*
2lnp
Ts s s s c
T− = − = = 58,66 J/(kg·K).
1—30. FELADAT.
Egy légkompresszor belső hatásfoka 85 %, a beszívott levegő nyomása 1 bar, a hőmérséklete pedig 15 °C. A kompresszor kilépő csonkjában a nyomás 6 bar. A levegő tömegárama 1000 kg/h. A levegőt tekintse állandó fajhőjű állandó fajhőjű ideális gáznak, melyre V 720c = J/(kg⋅K) és
287R = J/(kg⋅K). – Mekkora a kilépő levegő hőmérséklete és mekkora a kompresszor
teljesítmény felvétele, ha a kompresszió adiabatikus? – Ábrázolja a folyamatot T—s diagramban! – Számítsa ki a kompresszió során bekövetkező fajlagos entrópia változást! MEGOLDÁS A folyamat T—s diagramban:
p
1 p
2
T
s
1
2 2*
24
Az izobár fajhő: p Vc c R= + = 1007 J/(kg·K),
az adiabatikus kitevő: p Vc cκ = = 1,4.
Az adiabatikus és reverzibilis (izentropikus) kompresszió véghőmérséklete:
( )( )1 /2 1 2 1T T p p κ− κ= ⋅ = 480,78 K.
A kompresszor belső hatásfoka:
( )( )
2 12 1K
1 12* 2*
p
p
c h hh hh h c h h
−−η = =− −
.
Mivel a munkaközeg állandó fajhőjű ideális gáz, így a hatásfokra
2 1K
12*
T TT T
−η =−
,
ebből a valós kompresszió véghőmérséklete:
2 112*
K
T TT T
−= + =η
524,19 K.
A kompresszor egy átáramlott nyitott rendszer, a teljesítményszükséglet meghatározásánál figyelembe vett munka a technikai munka, mely ebben az esetben pozitív előjelű, mivel a közeg energiáját növeli. Az I. főtételt a kompresszorra alkalmazva: 12* 1,2* t,1,2*h h q w− = + ,
a folyamat adiabatikus, így 1,2* 0q = , azaz a fajlagos kompressziós munka
( )1 1t,1,2* 2* 2*pw h h c h h= − = − .
A kompresszor teljesítményszükséglete:
( ).
12*pP W m c T T= = ⋅ ⋅ − = 66,025 kW.
A kompressziós folyamat során fellépő fajlagos entrópia változás:
2*1 22* 2*
2lnp
Ts s s s c
T− = − = = 87,05 J/(kg·K).
1—31. FELADAT.
Egy szerelőcsarnok 3 m3 űrtartalmú acéltartályát 200 bar-os nyomáspróbának vetik alá. A nyomáspróbához elegendő préslevegő és elegendő víz is rendelkezésre áll. – Döntse el és mutassa be szemléletesen, hogy melyik munkaközeget
alkalmazná a nyomáspróba elvégzéséhez!
25
1—32. FELADAT.
Egy dugattyúval lezárt, gáztöltetű hengerben mérik a nyomást az alábbi folyamatok során:
1. a dugattyú rögzített és emelik a gáz hőmérsékletét; 2. a dugattyú elmozdításával, állandó hőmérséklet mellett növelik a
gáz térfogatát; 3. állandó hőmérsékleten és rögzített dugattyú mellett növelik a gáz
mennyiségét. – Kvalitatívan adja meg, hogy a gáz nyomása hogyan változik a fenti
három esetben!
1—33. FELADAT.
Egy hengerben a dugattyú súrlódásmentes elmozdításával gázt komprimálunk. – Hogyan változik a hőmérséklet, ha a henger tökéletesen szigetelt
(adiabatikus állapotváltozás)? – Mit kell tenni ahhoz, hogy a kompresszió során a hőmérséklet ne
változzon meg a hengerben? – A térfogat megkettőzésekor hogyan változik a töltet hőmérséklete, ha
a nyomás változatlan? A nyomás (p), a térfogat (V), a tömeg (m), a hőmérséklet (T) segítségével felírható a p V m R T⋅ = ⋅ ⋅ állapotegyenlet, ahol R a gázállandó.
1—34. FELADAT.
3 kg tömegű, 1 bar nyomású és 300 K hőmérsékletű levegőt kívánunk a 2,5 bar, 400 K-es állapotba juttatni. – Mennyi munkát kell végezni, és mennyi hőt kell közölni a közeggel, ha
a levegőt először izochor melegítjük, majd izobár hűtjük? – Hogy változik a munka és a közlendő hő, ha először végezzük el az
izobár hűtést és azután az izochor melegítést? A vizsgált termodinamikai folyamatokat tekintsük kvázistatikus állapotváltozásoknak; a levegőt pedig tökéletes gáznak (állandó fajhőjű ideális gáznak), R = 287 J/(kg⋅K) és cv = 717 J/(kg⋅K) jellemzőkkel.
26
1—35. FELADAT.
Egy gőzturbinába 300 t/h tömegáramú, 100 bar nyomású, 500 °C hőmérsékletű és 33,52 dm3/kg fajtérfogatú vízgőz érkezik. – Mennyi az időegységenkénti belépési munka? (27,93 MW)
1—36. FELADAT.
Egy gázturbinából 8000 kg/h tömegáramú, 1 bar nyomású, 400 °C hőmérsékletű é s 1,97 m3/kg fajtérfogatú füstgáz távozik. – Mennyi az időegységenkénti kilépési munka? (—0,04377 MW)
1—37. FELADAT.
Állandó fajhőjű ideális gázt két fokozatban izentropikusan komprimálunk. A két kompresszor fokozat között a gázt a kezdeti hőmérsékletre hűtjük vissza. – Ábrázolja a folyamatot p—v és T—s diagramban! – Határozza meg azt a fokozati nyomásviszonyt, amely mellett a
kétfokozatú kompresszió fajlagos munkaszükséglete a legkisebb! MEGOLDÁS A folyamat vázlata p—v és T—s diagramban:
1
3
4 5
p
v
2
T=áll.
p 3
p 2
p 1
T
s
1
2
3
4
5 T=áll.
p 1
p 2
p 3
Az ábra jelöléseivel a kompresszió fajlagos munkaszükséglete (átáramlott rendszer, technikai munka): ( ) ( ) ( ) ( )[ ]t 2 1 4 3 2 1 4 3pw h h h h c T T T T= − + − = − + − . (*)
Felhasználva, hogy T1=T3, a fenti egyenlet
2 4t 1
1 12p
T Tw c T
T T⎡ ⎤= + −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
formában írható fel,
továbbá az adiabatikus és reverzibilis (izentropikus) kompressziókra
27
12 2
1 1
T pT p
κ−κ⎛ ⎞⎟⎜= ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠ , ebből
12
2 11
pT T
p
κ−κ⎛ ⎞⎟⎜= ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠ illetve
14 3
1 2
T pT p
κ−κ⎛ ⎞⎟⎜= ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠ , ebből
13
4 12
pT T
p
κ−κ⎛ ⎞⎟⎜= ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠ .
E kifejezéseket az (*) egyenletbe visszaírva nyerjük a fajlagos technikai munka függvényét, melynek szélsőértékét (minimumát) keressük a közbenső p2 nyomás függvényében, azaz
1 1 1 1 2
t1 1 2 3 2
2
d 1 10
d pw
c T p p p pp
−κ κ− − κ−κ κ κ κ⎡ ⎤κ − − κ⎢ ⎥= = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅⎢ ⎥κ κ⎢ ⎥⎣ ⎦
.
Ebből az egyenletből az optimális közbenső nyomás 2 1 3p p p= .
Az optimális nyomásviszony tehát 3opt
1p,
pr
p= .
1—38. FELADAT.
Igazolja, hogy az ideális gáz minden olyan kvázistatikus állapotváltozásának fizikai munkája számítható a
11 2
1,21
11
nnRT p
Wn p
−⎡ ⎤⎢ ⎥⎛ ⎞⎟⎜= − −⎢ ⎥⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠− ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
kifejezéssel, melyre érvényes a npV állandó= összefüggés! MEGOLDÁS
Az állapotváltozásra: 1 1 2 2n n np v p v pv= = .
A gáz állapotegyenlet: 0pv RT− = .
Az állapotváltozás fizikai munkája:
2 2
1 1
1 1 1 11,2 1 1 2 1d d
1
v v nn n n n
v v
p vW p v p v v v v v
n− − −⎡ ⎤= − = − = − −⎣ ⎦−∫ ∫
rendezve
11 1 1 1 21 1 1
1,2 1 2 1 11
111 1 2 1 1 11
1 121
11 1
1 11 1
n n nn n n
n
nn nn
n
p v p v vW v v v
n n v
p v v p v vv
n n vv
−− − −
−
−−−
−
⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎢ ⎥= − − = − − =⎣ ⎦ ⎢ ⎥− − ⎣ ⎦⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎛ ⎞⎢ ⎥⎟⎢ ⎥ ⎜= − − = − − ⎟⎜ ⎟⎜⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎝ ⎠− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦
.
Mivel
28
11
1 2
2 1
nn
nv pv p
−− ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎟⎟ ⎜⎜ = ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ,
így
11 2
1,21
11
nnRT p
Wn p
−⎡ ⎤⎢ ⎥⎛ ⎞⎟⎜= − −⎢ ⎥⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠− ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
.
Az állítást bizonyítottuk.
1—39. FELADAT.
Igazolja, hogy az ideális gáz minden olyan kvázistatikus állapotváltozásának technikai munkája számítható a
11 2
1,2,t1
11
nnnRT p
Wn p
−⎡ ⎤⎢ ⎥⎛ ⎞⎟⎜= − −⎢ ⎥⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠− ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
kifejezéssel, melyre érvényes a npV állandó= összefüggés!
1—40. FELADAT.
Igazolja, hogy az ideális gáz minden olyan kvázistatikus állapotváltozásának fizikai munkája számítható a
11,2 1
2ln
pW RT
p= −
kifejezéssel, melyre érvényes a npV állandó= összefüggés és állandó hőmérsékleten megy végbe, azaz n=1!
1—41. FELADAT.
Tekintsük a vizet összenyomhatatlannak és sűrűsége legyen 1000 kg/m3! – Mennyi munkát kell végezni, ha 1000 kg vizet 1 bar nyomásról
100 bar nyomásra kell komprimálni? (0) – Mennyi munkát kell végezni, ha 1000 kg vizet egy 1 bar nyomású
tartályból egy 100 bar nyomású tartályba kell szállítani? (9,9 MJ)
1—42. FELADAT.
Egy kompresszor 200 m3 térfogatú, 1 bar nyomású és 27 °C hőmérsékletű levegőt szív be és azt egy 7 bar nyomású tartályba szállítja. A kompresszió
29
politropikus (n=1,3). A levegőt tekintse állandó fajhőjű ideális gáznak, melyre pc = 1000 J/(kg·K) és κ =1,4.
Mennyi a beszívott levegő tömege? (234 kg) – Mekkora a komprimált levegő hőmérséklete? (469 K) – Mennyi a kompresszió munkaszükséglete? (49,2 MJ) – Mennyi munkát igényelne a berendezés, ha a levegőt ugyanezen
nyomáshatárok között csak komprimálnia kellene? (37,9 MJ)
1—43. FELADAT.
1 kg tömegű, 550 °C hőmérsékletű, 100 bar nyomású, 3490 kJ/kg fajlagos entalpiájú és 0,036 m3/kg fajtérfogatú vízgőz adiabatikusan expandál. Az expanzió végén a gőz nyomása 15 bar, hőmérséklete 260 °C, fajlagos entalpiája 2930 kJ/kg és a fajtérfogata pedig 0,16 m3/kg. – Határozza meg az expanzió fajlagos fizikai és technikai munkáját!
Végeredmények: fajlagos fizikai munka: —440 kJ/kg, fajlagos technikai munka: —560 kJ/kg.
1—44. FELADAT.
Egy turbótöltő turbinájába 5000 kg/h tömegáramú, 700 °C hőmérsékletű és 2 bar nyomású füstgáz érkezik és abban adiabatikusan 1 bar nyomásra expandál, majd a környezetbe távozik. A füstgázt tekintse állandó fajhőjű ideális gáznak, melyre pc = 1000 J/(kg·K) és κ =1,4.
– Határozza meg a turbina teljesítményét! (244 kW)
1—45. FELADAT.
Egy 1 dm3 lökettérfogatú dugattyús kompresszor, környezeti állapotú (p=1 bar, T=300 K) a levegőt szállít egy 12 bar állandó nyomású tartályba. – A kompresszor hány kg levegőt komprimál fordulatonként?
(0,001161 kg) – Mekkora a komprimált levegő hőmérséklete a komprimálás után?
(493,1 K) – Mennyi munkát igényel a kompresszor fordulatonként? (322 J) – Mutassa be p-V diagramban a lejátszódó folyamatot (kompressziót és
kitolást), és a munkákat szemléltesse terüleletekkel!
30
A munkaközeg állandó fajhőjű ideális gáz, állapotegyenlete: p V m R T⋅ = ⋅ ⋅ , R=287 J/(kg⋅K). A komprimálás politrópikus, p⋅V1,25= áll. A holttér elhanyagolható, a forgattyúházat tekintse evakuáltnak.
1—46. FELADAT.
Egy turbókompresszor másodpercenként 0,1 kg 300 K hőmérsékletű levegőt komprimál 1 bar-ról 5 bar-ra. Számítsa ki a kompresszor hajtásához szükséges teljesítményt! Az állapotváltozás leírható a
1,25 .pV áll= egyenlettel, a munkaközeg állandó fajhőjű ideális gáz, melyre: ph c T∆ = ⋅ ∆ , cp=1 kJ/(kg⋅K) és R=287 J/(kg⋅K). A kinetikus és
a potenciális energia változás elhanyagolható. (16,35 kW)
1—47. FELADAT.
A levegő kezdeti állapotában a nyomása 0,75 bar, hőmérséklete 1000 K és térfogata 0,12 m3. A levegőt izotermikusan összenyomjuk, míg a térfogata a felére csökken. Ezután állandó nyomáson a térfogata ismét a felére csökken. A levegő állandó fajhőjű ideális gázként viselkedik, a specifikus gázállandó: 286 J/(kg·K)! – Vázolja fel a folyamatokat p—V diagramon – Határozza meg a két folyamat összes munkáját! – Határozza meg a két folyamat során forgalmazott összes
hőmennyiséget!
1—48. FELADAT.
Egy 3600 kW teljesítményű turbinába 18 kg/s tömegáramú, 800 °C hőmérsékletű és 100 m/s sebességű levegőáram lép be; abban adiabatikusan és reverzibilisen expandál, majd abból átáramlik egy diffúzorba 150 m/s sebességgel. A diffúzorban izentrópikusan lelassul 10 m/s-ra és közben a nyomása 1 bar-ra nő. A levegőt tekintse állandó fajhőjű ideális gáznak, R=286 J/(kg·K) és κ =1,4.
a) határozza meg a turbina és a diffúzor közötti nyomást, b) szemléltesse a folyamatot T—s diagramban!
1—49. FELADAT.
Egy kompresszor 300 m3/min térfogatáramú, 0,5 bar nyomású és 30 °C hőmérsékletű levegőt szállít egy 5 bar nyomású tartályba. A kompresszió
31
politropikus, n=1,29. A levegőt tekintse állandó fajhőjű ideális gáznak, R=286 J/(kg·K) és κ =1,4. – Határozza meg a kompresszor hajtásához szükséges teljesítményt!
(754,1 kW)
1.1.1. Állapotegyenlet, termikus együtthatók
1—50. FELADAT.
A 10 dm3 térfogatú, 1 bar nyomású és 20 °C hőmérsékletű higanyt izotermikusan 3000 bar nyomásra komprimálják. Ezen a hőmérsékleten a higany izotermikus kompresszibilitási tényezője a
11 203,9 10 1,7 10 p− −χ = ⋅ − ⋅
kifejezés szerint számítható. – Határozza meg a kompresszió során végzett munkát!
MEGOLDÁS Az izotermikus kompresszibilitási tényező definiáló egyenlete:
.
1
T áll
vv p =
⎛ ∂ ⎞⎟⎜χ = − ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠∂,
ebből következően . .d dT áll T állv v p= == −χ .
A kompressziós munka (zárt rendszer, fizikai munka)
2
1
1,2 dV
V
W p V= −∫
fajlagos egységekkel:
2 2 2
1 1 1
1,2 1d d dp p p
p p p
w p v p p v p v p p= − − χ = χ = χ∫ ∫ ∫ .
A 1v fajtérfogat konstansként való kiemelésének az a magyarázata, hogy a folyékony higany gyakorlatilag összenyomhatatlannak tekinthető. Ezt a következőkben be is bizonyítjuk. Írjuk fel a folyékony higany ( )v p függvényét! Az izotermikus kompresszibilitási tényező definiáló egyenletéből:
d
dv
pv
−χ = ,
32
ezzel
0 0
dd
p v
p v
vp
v− χ =∫ ∫
Az integrálást elvégezve és rendezve:
( )4 20 2
0
0
3,9 10 1,7 10 /20 0exp d
p
p
pp p
p
v p v p v e− −⎡ ⎤− ⋅ − ⋅⎢ ⎥⎣ ⎦
⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜= − χ =⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠∫
az exponensben lévő kifejezés esetünkben 310− nagyságrendű és 310 1e
−− ≅ (0,9999), így a fajtérfogat a nyomás függvényében állandónak tekinthető. Ennek megfelelően a kompressziós munka:
2
1
1,2 1 dp
p
W V p p= χ =∫ 16,02 kJ.
1—51. FELADAT.
Ismert egy közeg köbös hőtágulási együtthatójának Rpv
β = és izotermikus
kompresszibilitási tényezőjének 1p
χ = függvénye.
Adja meg a közeg állapotegyenletét! MEGOLDÁS
A köbös hőtágulási együttható: ( ).
1
p áll
v Rv T pv=
∂β = =∂
,
az izotermikus kompresszibilitási tényezőj: .
1 1
T áll
vv p p=
⎛ ∂ ⎞⎟⎜χ = − =⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠∂.
Az izobár egyenlete: d dR T p v=
integrálva ( )1RT pv C p= + ,
ahol ( )1C p egy p-től függő állandó. Az izoterma egyenlete:
d dp vp v= −
integrálva ( )2pv C T= ,
ahol ( )2C T egy T-től függő állandó. A két egyenletet összevetve
33
( )
( )1
2 0pv RT C ppv C T= −= +
.
Mindezek alapján ( )1C p = 0 és ( )2C T =RT, így a közeg állapotegyenlete:
pv RT= .
1—52. FELADAT.
Ismert egy közeg köbös hőtágulási együtthatójának Rpv
β = és izotermikus
kompresszibilitási tényezőjének 1 ap v
χ = + függvénye, ahol a anyag-
jellemző állandó.
Adja meg a közeg állapotegyenletét! 2
2p
pv RT a⎛ ⎞⎟⎜ = − ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠
1—53. FELADAT.
Egy közeg köbös hőtágulási együtthatója β =0,00268 1/K és izotermikus
kompresszibilitási tényezője 1010−χ = m2/N. A közeget, melynek nyomása 10 bar, hőmérséklete 100 °C, állandó térfogaton 104 °C-ra melegítenek. – Határozza meg a felmelegített közeg nyomását!
MEGOLDÁS A nyomást tekintsük ( ),p v T kétváltozós függvénynek. E függvény megváltozása (teljes differenciálja):
d d dv T
p pp T v
T v∂ ∂= +∂ ∂
. (*)
Tekintve, hogy a folyamat izochor, így dv=0. Kétváltozós függvények parciális deriváltjaira igaz, hogy
( ) ( ) 1T pv
T p vp v T
⎛∂ ⎞ ∂ ∂⎟⎜ ⋅ ⋅ = −⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠∂ ∂ ∂
felhasználva még, hogy
( )1
p
vv T
∂β =∂
és 1
T
vv p⎛ ∂ ⎞⎟⎜χ = − ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠∂
ebből következik, hogy ( )v
pT
β ∂=χ ∂
.
Ezt a (*) jelű egyenletbe írva: d dp Tβ=χ
.
34
Integrálás és rendezés után: ( )0 0p p T Tβ= + − =χ
1080 bar.
1—54. FELADAT.
A ( ).
1T áll
hv T
p =
∂ = − β∂
egyenlőségből kiindulva igazolja, hogy az ideális
gáz fajlagos entalpiája a hőmérséklet egyváltozós függvénye!
1.2. Energiaanalízis. Az I. főtétel alkalmazása
1—55. FELADAT.
Egy izobár hűtés során az állandó fajhőjű ideális gázként kezelhető közeg fajlagos entalpiája 280 kJ/kg értékkel csökkent. A közeg tömege 4,625 kg, adiabatikus kitevője 1,4. – Mennyi munkát kellett a komprimálásra fordítani?
MEGOLDÁS
Az I. Főtételt felírva az izobár folyamatra (differenciális mennyiségekkel) d d dpu q w= + .
Felhasználva, hogy d dvu c T= és d dppq c T= , továbbá
p
v
cc
κ = adódik, hogy
d 1
1d p
wq= −
κ.
Q
Izobár folyamat estében d d ph q= .
A munka (az előjelkonvenciók figyelembevételével, az entalpiaváltozás negatív, a közeg összehúzódik):
1
W m h− κ= ∆κ
= 370 kJ.
35
1—56. FELADAT. Egy izobár hőközlés során az állandó fajhőjű ideális gázként kezelhető közeg 600 kJ munkát végez. A közeg tömege 15 kg, adiabatikus kitevője 1,4. – Mennyivel változott meg a gáz fajlagos belső energiája?
MEGOLDÁS
Az I. Főtételt felírva az izobár folyamatra (differenciális mennyiségekkel) d d dpu q w= + .
Felhasználva, hogy
d dvu c T= és d dppq c T= , továbbá p
v
cc
κ = adódik, hogy
d 1
1d p
wq= −
κ.
Az I. Főtétel fenti alakjából
d
1d 1uw
κ= +− κ
.
Az előjelkonvenciók figyelembevételével (a munka itt negatív, mivel a közeg kiterjeszkedett) a fajlagos belső energia megváltozása:
( )11W
um
κ∆ = +− κ
= 100 kJ/kg.
1—57. FELADAT.
Egy tökéletesen hőszigetelt tartályban 1p =0,5 bar és 1t =25 °C hőmérsékletű állandó fajhőjű ideális gáz van. – Határozza meg a tartályban kialakuló átlag hőmérsékletet, ha abba a
2p = 1 bar és 2t = 25 °C hőmérsékletű állandó fajhőjű ideális gáz beáramlik! Az ideális gázra: κ =1,39. (A tartály hőkapacitása elhanyagolható, a folyamat gyorsan végbemegy)
1. MEGOLDÁS
A feladatot nyitott rendszerre vezetjük vissza (lásd az ábrát)! A folyamat végén a tartályban lévő közeg belső energiája megegyezik a tartályban eredetileg lévő közeg belső energiájának, valamint belépő közeg által „hozott energia” összegével. A „hozott energia” pedig nem más, mint a belépő közeg belső energiája + a pV szorzat + a kinetikus
m2
Q=0
W=0
36
energia. Esetünkben ez utóbbit elhanyagoljuk, így a hozott energia tulajdonképpen a belépő közeg entalpiája. A tartályban lévő közeg belső energiája: 1 1 1U u m= , melyet a beáramló közeg 2 2 2U u m= belső energiája és a be 2 2 2W m p v= belépési munka növel, azaz a beáramlási folyamat végén a tartályban lévő közeg belső energiája:
3 3 3 1 2 beU m u U U W= = + + .
Az entalpia H U pV= + definíciójából következik, hogy
2 2 2 2 2 beH U pV U W= + = + .
Így felírható, hogy 3 1 2U U H− = .
Mivel ideális gázra igaz, hogy VU mc T= és pH mc T= és a jelen
folyamat tömegmérlege: 3 1 2m m m= + , továbbá az ideális gáz
állapotegyenletéből: pV
mRT
= .
Mindezek alapján ( )3 3 1 1 3 1 2V V pm c T m c T m m c T− = − ,
Felhasználva, hogy1V
Rc =
κ − és
1pR
cκ=κ −
3 1 3 13 1 2
3 1 3 11 1 1p V R pV R p V pV R
T T TRT RT RT RT
⎛ ⎞ κ⎟⎜⋅ − ⋅ = − ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠κ − κ − κ −.
Az egyszerűsítéseket elvégezve:
3 13 1 2
3 1
p pp p T
T T⎛ ⎞⎟⎜− = κ − ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠ .
Mivel 1 2T T= és 3 2p p= a tartályban lévő levegő véghőmérsékletére adódik, hogy
( )
23
1
21 1
TT p
p
κ=+ κ −
= 346,8 K. (73,65 °).
2. MEGOLDÁS (ELVI ÚTMUTATÁS)
A feladatot zárt rendszerre vezetjük vissza (lásd az ábrát)! A folyamat felfogható úgy, hogy a tartályba egy „végtelen nagy” másik tartályból áramlik át a gáz. A nagy tartályban kijelöljük azt a gázmennyiséget (lásd a szaggatott vonalat), mely a kis tartályba fog áramlani.
V2
1
2 p2
37
Ez és a kis tartályban lévő gáz alkotja a vizsgált zárt rendszert. A virtuális ellenőrző felület (szaggatott vonal) a gáz átáramlásával egyetemben folyamatosan elmozdul, míg végül egészen a kis tartály csonkjáig húzódik. A nagy tartályban lévő gáz maga előtt tolja a kis tartályba beáramló V2 térfogatú gázt és azon p2V2 munkát végez. A nagy tartály p2 nyomása nem változik a folyamat során, melyet gyorsasága miatt adiabatikusnak tekinthetünk.
1—58. FELADAT.
Egy merev falú, adiabatikusan szigetelt 10 m3 térfogatú tartályban állandó fajhőjű ideális gázként kezelhető, 1 bar nyomású és 27 °C hőmérsékletű levegő van. (A levegőre: R= 287 J/(kg·K), κ= 1,4.) A tartályban lévő gázt 5 órán keresztül egy 30 W teljesítményű ventilátor keveri.
– Ábrázolja a folyamatot állandó fajhőjű ideális gáz p—v és T-s diagramban!
– Határozza meg a ventilátor kikapcsolás utáni levegő hőmérsékletet és nyomást!
– Számítsa ki, hogy mennyivel változott a tartályban levő levegő belső energiája, entalpiája és entrópiája!
MEGOLDÁS
A folyamat p—v és T-s diagramban:
1
0
v
p
s
T
0
1 p0
p 1
v0
A közeg izochor és izobár fajhője: 1V
Rc =
κ −= 717,5 J/(kg·K)
p Vc c= κ ⋅ = 1004,5 J/(kg·K).
A tartályban lévő gáz tömege: 0 0
0
p Vm
RT= = 11,61 kg.
A súrlódás miatti disszipációs munka teljes egészében a közeg belső energiájának növelésére fordítódik: ( )1 0VP mc T T Uτ = − = ∆ ,
ebből a folyamat utáni hőmérséklet: 1 0V
PT T
mcτ= + = 364,94 K (91,82 °C).
38
A belső energia megváltozása: U∆ = 540 kJ. A folyamat utáni nyomás a tartályban, mivel az állapotváltozás izochor:
11 0
0
Tp p
T= = 1,216 bar.
Az entalpia megváltozása kétféleképpen is meghatározható: Az izobár fajhővel állandó fajhőjű ideális gázra:
( )1 0pH mc T T U∆ = − = κ ⋅ ∆ = 756 kJ.
Az entalpia H=U+pV értelmezését felhasználva: ( )0 1 0H U V p p∆ = ∆ + − = 756 kJ.
Az entrópia megváltozása: 1 1
0 0ln lnV
T vS m c R
T v⎛ ⎞⎟⎜∆ = + ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠, mivel folyamat
állandó térfogaton ment végbe, azaz 1 0v v= , így az entrópiaváltozás:
1
0lnV
TS mc
T∆ = = 1628,14 J/K.
1—59. FELADAT. A 8 bar nyomású és 20 °C hőmérsékletű állandó fajhőjű ideális gáznak tekinthető nitrogén gázt ( 2NM =28 kg/kmol; ℜ = 8314,7 J/(kmol·K);
κ =1,4) először állandó nyomáson 150 °C-ig melegítünk, majd izentropikusan 1 bar nyomásig expandáltatunk. – A kezdeti és a végállapot közötti teljes folyamatra határozza meg az
alábbi fajlagos értékeket: fizikai munka, technikai munka, közölt hő, belső energia és entalpia!
– Ábrázolja a folyamatokat állandó fajhőjű ideális gáz p—v és T—s diagramjában!
MEGOLDÁS A folyamatok p—v és T—s diagramban:
v
p
1 2
3 T1
T2
adiabata
s
T
1
2
3T1
T2
39
Az adiabatikus expanzió után a közeg hőmérséklete: 1
33 2
2
pT T
p
κ−κ⎛ ⎞⎟⎜= =⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠ 233,6 K.
A közeg fajhői:
1vMc
ℜ= =
κ −742,38 J/(kg·K); p vc c= κ =1039,34 J/(kg·K)
A fajlagos belső energia megváltozása: ( )3 1 3 1vu u u c T T∆ = − = − = —44208,7 J/kg.
A fajlagos entalpia megváltozása: ( )3 1 3 1ph h h c T T∆ = − = − =—61892,7 J/kg.
A fajlagos közölt hő (csak az 1-2 szakaszon, mivel a 2-3 adiabatikus): ( )1,2 2 1pq c T T= − =135114,2 J/kg.
A fajlagos fizikai munka: 1,3 1,2w u q= ∆ − = —179322,9 J/kg.
A fajlagos technikai munka (technikai munka csak a 2-3 szakaszon értelmezhető, mivel az 1-2 szakasz izobár): ( )tech 1,2 3 2pw h q c T T= ∆ − = − =—197006,9 J/kg.
1—60. FELADAT.
A 10 liter térfogatú, 8 bar nyomású és 30 °C hőmérsékletű levegőt állandó nyomáson 400 °C melegítve annak térfogat 22,21 liter lesz. – Mennyi munkát (milyen munkát) végzett a gáz a melegítés során?
(fizikai munkát, 9,77 kJ) – Mennyi munkát végezne, ha a melegítés állandó térfogaton történne?
(nem végezne fizikai munkát)
1—61. FELADAT.
Egy termodinamikai rendszerrel, mely 6 kg levegőből áll, 100 kJ hőt közlünk miközben a rendszer 50 kJ munkát végez a környezeten. Mennyivel változik meg a rendszer fajlagos belső energiája? MEGOLDÁS A belső energia megváltozása az I. főtétel alapján: 2 1 1,2 1,2U U Q W− = + .
A feltételek szerint
40
1,2Q =100 kJ (pozitív, mert a rendszer belső energiáját növelte),
1,2W =—50 kJ (negatív, mert a rendszer belső energiáját csökkentette),
Mindezek alapján a belső energia megváltozása: 2 1U U− = 50 kJ (a rendszer belső energiája növekedett).
A fajlagos belső energia megváltozása:
( )2 1 2 11
u u U Um
− = − = 8,33 kJ/kg.
1—62. FELADAT.
Egy közeg olyan állapotváltozást szenved, melynek során sem hőközlés, sem hőelvonás nincs (adiabatikus állapotváltozás). Ezen állapotváltozás során a közeg 90 kJ munkát végzett a környezetén. – Hogyan és mennyivel változott a közeg belső energiája?
MEGOLDÁS A belső energia megváltozása az I. főtétel alapján: 2 1 1,2 1,2U U Q W− = + .
A feltételek szerint 1,2Q =0 kJ (adiabatikus állapotváltozás),
1,2W =—90 kJ (negatív, mert a munkavégzés a rendszer belső
energiájának rovására történt), Mindezek alapján a belső energia megváltozása: 2 1U U− = —90 kJ (a rendszer belső energiája csökkent).
1—63. FELADAT.
Egy közeggel állandó térfogaton 80 kJ hőt közölnek. – Mire fordítódik a közölt hő? – Mennyi munkát végez a közeg? – Mennyivel változik a közeg belső energiája?
MEGOLDÁS A folyamatot zárt termodinamikai rendszerben megy végbe, hiszen V=áll.. Az I. főtétel ebben az esetben: 2 1 1,2 1,2U U Q W− = + .
A fizikai munka:
1,2 dW p V= −∫
41
tekintve, hogy a folyamat állandó térfogaton megy végbe dV=0, így nincs munkavégzés, a közölt hő teljes egészében a közeg (rendszer) belső energiájának megváltoztatására fordítódik, azaz 2 1 1,2U U Q− = = 80 kJ.
1—64. FELADAT.
1 kg tömegű, 1 bar nyomású és 20 °C hőmérsékletű levegőt állandó hőmérsékleten 4 bar nyomásra komprimálunk. A levegőt tekintse állandó fajhőjű ideális gáznak, melyre R= 286 J/(kg·K). – Határozza meg az állapotváltozás során végzett munkát, a
forgalmazott hőmennyiséget és a belső energia megváltozását! MEGOLDÁS Jelölje 1 index a kompresszió előtti, míg 2 az azutáni állapotot! Az izotermikus komprimálás során végzett munka:
11,2 1
2ln
pW RT
p= − = 116,23 J.
A belső energia nem változik, mivel állandó a közeg hőmérséklete és ideális gáz esetén a belső energia a hőmérséklet egyváltozós függvénye, így 2 1 0U U− = .
A forgalmazott hőmennyiség a termodinamika I. főtétele alapján határozható meg, azaz 2 1 1,2 1,20U U Q W− = = + ,
ebből 1,2 1,2Q W= − =—116,23 J.
1—65. FELADAT.
1 kg tömegű, 1 bar nyomású és 20 °C hőmérsékletű levegőt adiabatikusan 4 bar nyomásra komprimálunk. A levegőt tekintse állandó fajhőjű ideális gáznak, melyre R= 286 J/(kg·K). – Határozza meg a végzett munkát és a belső energia megváltozását!
MEGOLDÁS Jelölje 1 index a kompresszió előtti, míg 2 az azutáni állapotot! Az adiabatikus kompresszió véghőmérséklete:
12
2 11
pT T
p
κ−κ⎛ ⎞⎟⎜= =⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠ 435 K.
42
A gáz izochor fajhője: 1v
Rc =
κ −. Ennek felhasználásával a gáz belső
energiájának megváltozása: ( )2 1 2 1vU U mc T T− = − =101,42 kJ.
A végezett munka meghatározásához írjuk fel a termodinamika I. főtételét 2 1 1,2 1,2U U Q W− = + .
Tekintettel arra, hogy a folyamat adiabatikus volt, így 1,2 0Q =
következésképpen 1,2 2 1W U U= − = 101,42 kJ.
1—66. FELADAT.
Mennyi hőt kell közölni 1 kg O2 gázzal, ha azt 100 °C hőmérsékletről 300 °C hőmérsékletre kell melegíteni állandó térfogaton és mennyit ha a melegítés állandó nyomáson történik? Mivel egyenlő a két hőmennyiség különbsége? Az oxigént tekintse állandó fajhőjű ideális gáznak, melyre:
2OM =32 kg/kmol és κ =1,4.
Végeredmények: az állandó térfogaton közölt hő: 130 kJ, az állandó nyomáson közölt hő: 182 kJ, a két hőmennyiség különbsége a térfogatváltozási munka.
1—67. FELADAT.
1 dm3 térfogatú, 1 bar nyomás és 20 °C hőmérsékletű levegőt politropikusan (n=1,3) 12 bar nyomásra komprimálunk. A levegőt tekintse állandó fajhőjű ideális gáznak, melyre R= 286 J/(kg·K). – Határozza meg a kompresszió véghőmérsékletét, a belső energia
megváltozását, a végzett munkát és a közölt vagy elvont hőmennyiséget!
1—68. FELADAT.
Levegőt állandó térfogaton melegítünk. A közölt hő 200 kJ. A levegőt tekintse állandó fajhőjű ideális gáznak, melyre κ =1,4! – Mennyivel változik a közeg belső energiája és entalpiája? – Mennyi az állapotváltozás fizikai és technikai munkája?
MEGOLDÁS
43
Jelölje 1 index a hőközlés előtti, míg 2 az azutáni állapotot! Mivel az állapotváltozás állandó térfogaton történt, ezért a fizikai munka (térfogatváltozási munka) 1,2 0W = .
A belső energia megváltozása az I. főtétel alapján:
2 1 1,2 1,2U U Q W− = + 0 = 200 kJ.
Ideális gáz esetén a belső energia megváltozása ( )2 1 2 1vU U mc T T− = − ,
az entalpia megváltozása ( )2 1 2 1pH H mc T T− = − .
Az adiabatikus kitevő p
v
cc
κ = . Mindezek alapján
( )2 1 2 1H H U U− = κ − = 280 kJ.
A technikai munka meghatározásához ismételten az I. főtételt írjuk fel, de ebben az esetben entalpiával és technikai munkával (nyitott rendszer): 2 1 1,2 1,2,tH H Q W− = +
ebből a technikai munka: ( )1,2,t 2 1 1,2W H H Q= − − =80 kJ.
1—69. FELADAT.
Hidrogén gázt állandó nyomáson melegítünk. A közölt hő 100 kJ. A hidrogént tekintse állandó fajhőjű ideális gáznak, melyre: κ =1,4! – Mennyivel változik a közeg belső energiája és entalpiája? – Mennyi az állapotváltozás fizikai és technikai munkája?
1—70. FELADAT.
Egy fúvókába 1,6 bar nyomású, 67 °C hőmérsékletű levegő lép be elhanyagolható sebességgel. A kilépő nyomás 1 bar, a kilépő sebesség 283 m/s. A levegő tömegárama 2 kg/s. A fúvóka tökéletesen hőszigetelt. A levegőt tekintse állandó fajhőjű ideális gáznak, melyre
J1005 , 1, 4
kg Kpc = κ =⋅
– Határozza meg a levegő hőmérsékletét a fúvóka kilépő keresztmetszetében!
– Számítsa ki a kilépő keresztmetszet nagyságát!
44
– Számítsa ki az irreverzibilitás miatt bekövetkező entrópiaáram növekedést!
MEGOLDÁS Az átáramlott (nyitott) rendszerben végbemenő folyamat adiabatikus, így 1,2 0q = . A rendszer
merev falú, munkavégzés nem lehetséges, így t,1,2 0w = . A potenciális energia nem változik,
mivel 1 2z z= , következésképpen ( )2 1 0g z z− = .
Az energiamegmaradási egyenletet (az I. főtételt) felírva (fajlagos entalpia és fajlagos mozgási energia), azaz
2 21 2
1 22 2w w
h h+ = +
Mivel 1A ≈ ∞ következésképpen 1 0w ≈ , így a
közeg entalpiaváltozása 22
1 2 2w
h h− = .
1 2
x
z
adiabatikus, merev fal
Mivel a levegő állandó fajhőjű ideális gáznak tekinthető, ezért
( )22
1 2 1 22 pw
h h c T T− = = −
Innen 2T = 300,15 K (27 °C).
A kontinuitási egyenletet (az 1 és 2 keresztmetszetben azonos a közeg tömegárama) 1 1 1 2 2 2 .m w A w A áll= ρ = ρ = ,
a gáztörvényt pv RT= ,
valamint a sűrűség és fajtérfogat közötti
1v
ρ =
összefüggést felhasználva a kilépő keresztmetszet nagysága:
22
2 2
m RTA
w p= ⋅ = 60,85 cm2.
Az irreverzibilitás miatti entrópiaáram növekedés:
2 2
1 1ln lnp
T pS m c R
T p⎛ ⎞⎟⎜∆ = − ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠ = 18,3 W/K.
45
1—71. FELADAT.
Egy állandó keresztmetszetű cső elején az áramló közeg sebessége 50 m/s, nyomása 10 bar, hőmérséklete pedig 27 °C, sűrűsége 10 kg/m3. A csőben súrlódásos áramlás játszódik le, minek következtében a közeg nyomása a kilépésnél 2 bar lesz. A cső környezetétől tökéletesen hőszigetelt, az áramló közeg állandó fajhőjű ideális gáz, melynek izobár fajhője 1 kJ/(kg·K).
– Mekkora a csőből való kilépésnél a közeg sűrűsége, hőmérséklete és sebessége?
MEGOLDÁS
Az energiamegmaradási egyenlet adiabatikus esetre, ha nincs munkavégzés és a potenciális energia megváltozása elhanyagolható:
2 21 2
1 22 2w w
h h+ = + .
Az id. gáz állapotegyenlet: 1 1 2 2
1 2
p v p vT T= , ebből 1 2
2 12 1
pTv v
p T= (**)
Az állandó tömegáram a csőben: 1 2
1 2
w wv v= , ebből 2
2 11
vw w
v= (*)
Az energiamegmaradási egyenletet rendezve:
( )2 22 1
1 2 2 1 2 2pw w
h h c T T− = − = − .
Behelyettesítve a (*) és (**) egyenleteket:
( )2 2 2 2 2 2 2
2 1 1 1 2 1 1 12 1 2 2 2
1 2 1 12 2 22pv w w p T v w w
c T Tv p T v
− = − = −
Ebből: a kilépő hőmérséklet T2 = 338,4 K; kilépő sebesség: w2 = 282 m/s; kilépő sűrűség/fajtérfogat: v2 = 0,564 m3/kg (1,773 kg/m3).
A specifikus gázállandó: 2 2
2
p vR
T= = 333,3 J/(kg·K).
A fajlagos entrópiaváltozás: 2 2
1 1ln lnp
T ps c R
T p∆ = − = 656,42 J/(kg·K).
1—72. FELADAT.
Egy légkompresszor belépő csonkjában áramló levegő sebessége 7,2 m/s, nyomása 1 bar, hőmérséklete 20 °C. A kilépő csonkban a levegő sebessége 4,5 m/s, nyomása 7,9 bar, fajtérfogata 0,16 m3/kg. A levegő fajlagos belső
46
energiája 153,3 kJ/kg értékkel nagyobb a kilépésnél, mint a belépésnél. A kompresszort a túlmelegedés ellen védő hűtőkör 59 kW hőt von el a kompresszorból. A levegő tömegárama 2880 kg/h. (A levegő állandó fajhőjű ideális gáznak tekinthető, R = 287 J/(kg·K), a két csonk magasságkülönbsége elhanyagolható.) – Számítsa ki a kompresszor hajtásához szükséges teljesítményt, és a
kompresszor csonkjainak keresztmetszetét!
MEGOLDÁS
Jelölje 1 index a belépő, míg 2 index a kilépő állapotot! A fajlagos elvont hőmennyiség (negatív az előjel, mert a belső energiát csökkenti):
elel 1,2
Qq q
m= = = —73,75 kJ/kg.
A levegő fajtérfogata a belépéskor: 11
1
RTv
p= = 0,841 m3/kg.
Az I. Főtételt átáramlott (nyitott) rendszerre felírva
2 22 1
2 2 2 2 1 1 1 1 1,2 t,1,2w w2 2
u p v gz u p v gz q w⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟ ⎟⎜ ⎜+ + + − + + + = +⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠
,
A továbbiakban e feladat megoldása során az álló w a sebességet, míg a tw jelcsoport a fajlagos technikai munkát jelenti. A fajlagos technikai munkára rendezve, figyelembe véve, hogy a munka előjele pozitív, hiszen az a belső energiát növeli, valamint a szintkülönbséget elhanyagolva:
2 22 1
t,1,2 2 2 2 1 1 1 1,2w w2 2
w u p v u p v q⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟ ⎟⎜ ⎜= + + − + + −⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Behelyettesítve: t,1,2w = 269,334 kJ/kg.
A kompresszor teljesítménye: t,1,2P mw= = 215,4 kW.
A be-, ill. kilépő keresztmetszetek nagysága:
11
1
mvA
w= = 0,0934 m2; 2
22
mvA
w= = 0,0284 m2.
1—73. FELADAT. Egy DIESEL-motor állandó fajhőjű ideális gázként kezelhető kipufogó gázának hőmérséklete (a kipufogó csőben mérve) 515 °C, nyomása 1,19 bar és adiabatikus kitevője 1,348. A mérési adatok tanúsága szerint az expanzió végnyomása (amit a hengerben mérnek) 4,98 bar. A kinetikai és a potenciális energia megváltozása elhanyagolható.
47
– Határozza meg az expanzió végén a munkatérben (hengerben) uralkodó hőmérsékletet, ha feltételezzük, hogy a munkahengerből a kipufogó vezetékbe a gáz adiabatikusan áramlott ki, továbbá a füstgáz kitolása (a dugattyú mozgása) során a hengerben és a kipufogó csőben a nyomás azonos!
MEGOLDÁS A DIESEL-motor munkafolyamatának egy része az ábrán látható. Az 1-gyel jelölt pontban a kipufogó szelep kinyit, a füstgáz egy része gyorsan kiáramlik a kipufogó csőbe, és a hengerben a nyomás lecsökken a kipufogó csőben uralkodó értékre. Ez a kiáramlási folyamat adiabatikus, ugyanakkor irreverzibilis folyamat, ugyanis a csőben a nyomás mindenütt ugyanakkora.
v
p
1
2 3
A jelenséget tekintsük zárt rendszerben lejátszódó folyamatnak! A zárt rendszert alkossa az a füstgáz, ami az expanzió végén (1 állapot) a hengerben van. A kipufogó szelep nyitásakor a gáz nyomása leesik p2-re, a térfogata megnő V2*-ra és a kipufogócsőben előtte lévő gázt elnyomja; eközben ( )2 22*p V V− munkát végez (V2 térfogatú gáz ekkor még a hengerben marad). Ezt követően a dugattyú elmozdul a felső holtpontig és a gázon 2 2pV munkát végez, a gáz a kipufogó csőben a gázt tovább tolja és ott a gáz végez 2 2pV munkát.
Az I. főtételt alkalmazva:
vég 1 1,2U U W Q− = +∑ , mivel a folyamat adiabatikus: 1,2 0Q = .
A folyamat során végzett összes munka:
( )2 2 2 2 2 22*W p V V p V pV= − − + −∑ ,
tehát
( )2 22*W p V V= − −∑ . (*)
Ideális gáz belső energiájának megváltozása: ( )vég 1 vég 1VU U mc T T− = − .
Az ideális gáz állapotegyenlet az egyes pontokban:
2 vég2*pV mRT= , ebből vég2*
2
mRTV
p= ;
hasonlóképp
1 1 1pV mRT= , ebből 11
1
mRTV
p= .
48
A megfelelő kifejezéseket a (*) egyenletbe visszaírva és m-mel egyszerűsítve: Az állandó fajhőjű ideális gázként kezelhető kipufogógázra az előző egyenlet
( ) vég 1vég 1 2
2 1V
RT RTc T T p
p p⎛ ⎞⎟⎜− = − − ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠
alakban írható fel. Felhasználva, hogy 1v
Rc =
κ − és a gázállandóval
egyszerűsítve
( ) vég 1vég 1 2
2 1
11
T TT T p
p p⎛ ⎞⎟⎜− = − − ⎟⎜ ⎟⎜κ − ⎝ ⎠
.
A kijelölt műveleteket elvégezve és rendezve:
( ) 2vég 1
1
1 11
1 1p
T Tp
⎛ ⎞⎟⎜+ = + ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠κ − κ −
Innen a kérdéses expanzió véghőmérséklet:
( )vég
12
1
11
11
1
TT
pp
+κ −= ⎛ ⎞⎟⎜ + ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠κ −
= 980,861 K = 707,71 °C.
1—74. FELADAT.
Egy hőszigetelt, egyik végén nyitott hengerben egy rögzített dugattyú van (A = 20 mm2, m = 20 g). A dugattyú mögötti zárt térrész hossza 40 mm; benn sűrített levegő (p1 = 80 bar, T1 = 300 K) van. A henger nyitott részét környezeti állapotú levegő (pk = 1 bar, Tk = 300 K) tölti ki. A dugattyú rögzítésének feloldása után a komprimált levegő kitágul, a dugattyút felgyorsítja. A dugattyú mozgását tekintsük súrlódásmentesnek, a levegőt pedig állandó fajhőjű ideális gáznak R = 286 J/(kg⋅K) gázállandóval. A levegő expanzióját a 1,4 .pV áll= egyenlet írja le.
– Milyen hosszú legyen a henger nyitott része, hogy a dugattyú sebessége a maximális értéket elérje? (H=0,875 m)
– Határozza meg a dugattyú maximális mozgási energiáját mint területet a p—V diagram segítségével (V legyen a komprimált levegő térfogata)!
– Mekkora a dugattyú maximális sebessége? (w=98,3 m/s) A levegő mozgási energiájának változását hanyagolja el!
49
1—75. FELADAT.
Egy függőlegesen álló, alul bezárt henger belső átmerője 50 mm. A henger 10 g tömegű 300 K hőmérsékletű CO2 gázt tartalmaz. A hengert felülről egy 5 kg-os dugattyú zárja. Elektromos fűtéssel 0,5 kJ hőt közlünk a CO2 gázzal. – Mennyi hőt ad át a CO2 a dugattyúnak, miközben a töltet
hőmérséklete az átadott hőmennyiség miatt 50 K-nel nő? (63 J) – Mekkora lenne a hőmérséklet és a nyomás a hengerben a felmelegítés
végén, ha a dugattyút rögzítenénk, és az előzőekkel megegyező kezdeti nyomásról és hőmérsékletről melegítenénk a közeget és az előző kérdésben kiszámolt hőt adná át a közeg a hengernek és a dugattyúnak? (363,8 K és 1,516 bar)
A CO2 állandó fajhőjű ideális gáznak tekintendő, R = 189 kJ/(kg⋅K) és cv = 685 J/(kg⋅K). A környezeti nyomás 1 bar, a nehézségi gyorsulás 9,81 m/s2
. A dugattyú mozgása súrlódásmentes.
1—76. FELADAT.
Egy hőszigetelt hengert két, egyenként 2 liter térfogatú kamrára oszt egy hőszigetelt és súrlódásmentesen elmozduló dugattyú. A bal kamrában 300 K hőmérsékletű és 1 bar nyomású levegő, míg jobb oldaliban 373 K hőmérsékletű száraz, telített vízgőz van. A bal kamra egy szelepen keresztül sűrített levegő vezetékhez csatlakozik. A szelep kinyitása után a levegő 7 bar nyomással és 300 K hőmérséklettel áramlik be a nyomáskiegyenlítődésig. – Hány g víz van a jobb kamrában? (0,001166 kg) – Mekkora a komprimált vízgőz hőmérséklete? (597,5 K) – Mennyi munkát fordítódik a vízgőz komprimálására? (376,9 J) – Mekkora a hőmérséklet a beáramlás után? (358,2 K)
A kinetikus és potenciális energia megváltozása elhanyagolható. A levegő és a vízgőz állandó fajhőjű ideális gáznak tekintendő. Levegő: cp=1001 J/(kg⋅K) R=287 J/(kg⋅K) Vízgőz: cp=1900 J/(kg⋅K) R=460 J/(kg⋅K)
1—77. FELADAT.
Egy merev falú tartályban 20°C hőmérsékletű és 2 bar nyomású levegő van. A levegő a tartályból egy turbinán keresztül a környezetbe engedjük. A tartályból 20 kg levegő áramlik ki. Eközben a tartályban a nyomása a környezeti nyomásra csökken. Az expanzió során a levegő hőmérséklete
50
sem a tartályban, sem a turbinában nem változik. A potenciális és kinetikus energia megváltozása elhanyagolható. A levegő állandó fajhőjű ideális gáznak, az expanzió reverzibilisnek tekintendő, R=287 J/(kg⋅K). – Mennyi hőt vesz fel a levegő a tartályban és a turbinában a folyamat
során? (2 331 500 J) – Mennyi munkát ad le a turbina? (649 500 J)
1—78. FELADAT.
Az áramló levegő adiabatikusan lassul egy diffúzorban. A belépő keresztmetszetben a nyomás 2 bar, a hőmérséklet 20°C, a sebesség 150 m/s. A diffúzorból való kilépéskor a levegő sebessége 10 m/s. A levegő állandó fajhőjű ideális gáznak tekintendő, fajhői: pc = 1 kJ/(kg⋅K) és
vc =0,714 kJ/(kg⋅K).
– Mekkora a levegő hőmérséklete és nyomása a kilépéskor, ha a folyamatot reverzibilisnek tekintjük? (hőmérséklet: 304,2 K, nyomás 2,28 bar)
1—79. FELADAT.
Egy vízszintes, hőszigetelt vezetékben a víz tömegárama 100 kg/s. A vezeték keresztmetszete folyamatosan bővül 0,01 m2-ről 0,04 m2-re. – Mennyivel változik meg a víz nyomása az átáramlás során? (a
nyomáskülönbség: 0,474 bar) – Mennyivel változik a folyamat során a víz hőmérséklete? (nem
változik) A víz súrlódásmentesen áramlik (az áramlás izentropikus). A víz összenyomhatatlannak tekintendő ( )0β ≡ χ ≡ . Anyagjellemzői: ρ=1000 kg/m3, cvíz=4,2 kJ/(kg⋅K) és cv=cp=cvíz .
1—80. FELADAT.
Egy szeleppel ellátott, állandó keresztmetszetű, hőszigetelt csőben levegő áramlik. A szelep előtt a nyomás 10 bar, a hőmérséklet 5°C, a sebesség 10 m/s. – Mekkora a levegő hőmérséklete a szelep mögött, ha a szelepen a
levegő nyomása 1 bar-ra esik? A levegőt állandó fajhőjű ideális gáznak tekintjük, cp=1004 J/(kg⋅K) és cv=715 J/(kg⋅K). (Végeredmény: 98,3 m/s)
51
1—81. FELADAT.
Egy hőszigetelt és evakuált tartályba környezeti állapotú levegő áramlik a nyomáskiegyenlítődésig. A környezeti levegő hőmérséklete és nyomása: tk = 27°C és pk = 1 bar. – Mekkora lesz a hőmérséklet a beáramlás után? (420 K)
A levegő állandó fajhőjű ideális gáznak tekintendő. R = 287 J/(kg⋅K) és κ = 1,4.
1—82. FELADAT.
Mennyi munkát nyerünk, ha az 1 bar nyomású és 27°C hőmérsékletű környezeti levegő egy 2 m3 térfogatú, légüres tartályba beáramlik? Vizsgálja meg a következő eseteket: – a tartály egy súrlódásmentesen mozgó dugattyúval lezárt henger.
(200 kJ) – a környezeti levegő egy turbinán keresztül áramlik a tartályba, mind
a turbinában lejátszódó expanzió, mind a tartály feltöltődése izotermikus és reverzibilis. (200 kJ)
– a környezeti levegő egy turbinán keresztül áramlik a tartályba, mind turbinában lejátszódó expanzió, mind a tartály feltöltődése adiabatikus és reverzibilis. (200 kJ)
A levegő állandó fajhőjű ideális gáznak tekintendő, cv = 715 J/(kg·K), κ =1,4. MEGOLDÁS (1. változat) Az első esetben (dugattyúval lezárt henger):
Vt
pt=0
Vt=V
k
pk
A környezeti levegő beáramlása során nyert munka: k tW p V= =200 kJ, mivel
t kV V= , azaz a tartály térfogatával megegyező térfogatú levegő áramlott be.
A második esetben:
52
Ut, V
t
pt=0
pk, T
k
Qt
QTurb.
WTurb.
Vk, U
k W
k=p
kV
k
Az izotermikus beáramlás után a tartályban a nyomás kp , a hőmérséklet
kT lesz, továbbá a tartály feltöltődik, így a beáramló környezeti levegő térfogata: k tV V= .
Tekintve, hogy a vizsgált közeg állandó fajhőjű ideális gáz, így a belső energiákra: k tU U= .
Ugyanazon mennyiségű közeg először a környezetben, majd a tartályban.
Az I. főtételt alkalmazva (zárt rendszernek tekintve a vizsgált térfogatrészt): t k Turb. t Turb. kU U Q Q W W− = + + + .
Minden egyes elemi tömegrész kp nyomásról induló expanziót, majd ugyanezen nyomásig tartó kompressziót szenved el állandó hőmérsékleten. Ennek megfelelően: t Turb.Q Q− = .
Ebből következően: k Turb.W W= − ,
vagyis a kinyerhető munka: k tW p V= =200 kJ.
A harmadik esetben: A lejátszódó folyamatok adiabatikusak és reverzibilisek (izentropikusak), így
0Q =∑ ,
a beáramlási folyamat végén t kp p= és t kS S=
következésképpen t kT T= és t kU U=
Az I. főtételből ismét adódik, hogy k Turb.W W= − ,
vagyis a kinyerhető munka:
53
k tW p V= =200 kJ. MEGOLDÁS (2. változat) A második esetben:
p
v
pk
pt
wTurb.
A tartály nyomása — mely a töltődés során folyamatosan változik (növekszik) — legyen
tp . A folyamat kezdetén ez
t0 0p = .
Az turbinán keresztüláramló elemi kis tdm tömegrész technikai munkája:
k
t
Turb. td d dp
p
W m v p= ∫ . (*)
Mivel a közeg ideális gáz, így t t tpV m RT= , ebből tt td d
Vm p
RT= .
Az állapotegyenletből: RT
vp
= .
Mindezeket a (*) egyenletbe írva:
k k k
t t t
t tTurb. t t t t
d dd d d d d
p p p
p p p
V RT V p pW p p p RT V p
RT p RT p p= = =∫ ∫ ∫ .
Az elemi kis tömegrész technikai munkája:
tTurb. t t
kd d ln
pW V p
p= .
A turbina munkája a tartály töltődése során:
( ) [ ]
( )
t0
t0k
k
t0
tTurb. Turb. t t t k t0 k t t t t
k
t k t t0 k t t0 t00, mivel 0
d ln ln ln
1 ln ln
ppp
p
p
pW dW V p V p p p V p p p
p
V p V p p V p p= =
= = = ⋅ − + − =
= + + +
∫ ∫
A kifejezésben szereplő harmadik tagot írjuk fel az alábbi formában t t0 t0 tln : lnV p p V x x= .
Keressük a kifejezés határértékét 0x → esetére. Alkalmazzuk a BERNOULLI-L’HOSPITAL—szabályt:
54
t t 20 0
1lnlim ln lim 0
1/ 1x x
xxV x x V x
x x→ →= = = − =
−.
Mindezek alapján a turbina munkája: Turb. t kW V p= = 200 kJ.
A harmadik esetben: Az turbinán keresztüláramló elemi kis tdm tömegrész technikai munkája:
k
t
Turb. td d dp
p
W m v p= ∫ . (**)
Mivel a közeg ideális gáz, továbbá az állapotváltozás adiabatikus, így felírható, hogy
( )t t t t
1 / 1/1t tkt t k
k k
t
pV m RTV
m p pT p RTT p
κ− κ κκ−κ
= ⎫⎪⎪⎪⎪ ⇒ =⎬⎛ ⎞ ⎪⎟⎜ ⎪= ⎟⎜ ⎟⎜ ⎪⎝ ⎠ ⎪⎭
.
Az expanzió előtti és utáni állapotra: k t tkp v p vκ κ= . Ebből
( ) 1/ 1/k kv p v p pκ − κ= ⋅ .
Ez alapján az elemi kis tömegrész:
( )
( )1 /
1 /t kt tt
k
1d d
V pm p p
RT
κ− κ−κ κ= ⋅ ⋅
κ.
Ezt a kifejezést a (**) egyenletbe beírva:
k
t
Turb. td d dp
p
W m v p= ∫ .
A turbina technikai munkája a tartály töltődése során:
( )
( )t t
k k
0 1 / 1/1 /k 1/k k
t t tk
1
1d d
p p
tp p p
p p vW V p p p p
RT
= κ− κ κκ− κ − κ
==
= ⋅κ∫ ∫ .
A kijelölt műveleteket elvégezve:
( )t
k
10t k k t
k tt
11 d
1 1
p
tp
V p p VW p p V
p
κ−=κ
⎡ ⎤⎢ ⎥⎛ ⎞ κ −⎟⎜= − = =⎢ ⎥⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠κ − κ −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
∫ .
1—83. FELADAT.
Egy hőszigetelt, kezdetben légüres tartályba egy szelepen keresztül levegő áramlik. A légáram sebessége 318 m/s, hőmérséklete 300 K.
55
– Mekkora lesz a tartályban a szelep lezárása után a levegő hőmérséklete! (490,5 K)
A levegő állandó fajhőjű ideális gáznak tekintendő, R = 287 J/(kg⋅K) és 1, 4κ = .
MEGOLDÁS A szelep lezárása után a tartályban lévő levegő belső energiája: t t tvU m c T= ,
ahol tm a tartályba beáramlott közeg tömege, tT pedig a hőmérséklete a szelep lezárása után. A beáramló közeg által bevitt energia:
( )2
t tbelső e.+ kin.e.belépési m.
2w
U m u pv
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= + +⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
.
Figyelemmel arra, hogy definíció szerint h u pv= + és
állandó fajhőjű ideális gáz esetében ph c T= , továbbá
p vc c R= + , p
v
cc= κ és
1vR
c =κ −
következésképpen ( )vh c R T= + .
Mindezek alapján
2
t 2v pw
c T c T= + .
Az egyenlet átrendezésével adódik a szelep lezárása után a tartályban lévő levegő hőmérsékletére, hogy
( )2 2
t1
2 2p
v v
c w wT T T
c c Rκ −= + = κ + =
⋅ ⋅490,5 K (217,35 °C),
ahol T a beáramló levegő hőmérséklete, w a sebessége.
1—84. FELADAT.
Egy hőszigetelt tartályban 0,5 kg tömegű és 300 K hőmérsékletű CO2 gáz van. A tartályba levegő áramlik, ameddig a tartály tartalmának tömege 2 kg nem lesz. A 250 K hőmérsékletű levegő 318 m/s sebességgel áramlik egy szelepen keresztül a tartályba. A beáramlás és a tartályban zajló keveredés adiabatikusnak tekinthető. A tartály hőkapacitása és a potenciális energia megváltozása elhanyagolható. A levegő és a CO2
56
állandó fajhőjű ideális gáznak tekintendő, levegőre: cp = 1000 J/(kg⋅K), cv = 717 J/(kg·K); CO2: cv = 750 J/(kg·K)
– Határozza meg a tartályban a beáramlást követően beálló hőmérsékletet? (388,4 K)
1—85. FELADAT.
Egy 10 liter térfogatú acél tartály környezeti levegőt tartalmaz (pk = 1 bar és tk = 20°C). Egy nagyméretű sűrített levegőt tartalmazó tartályból (pst = 4 bar és tst = 20°C) levegővel töltik fel a nyomáskiegyenlítődésig. A sűrített levegő állapota a feltöltődési folyamat során konstansnak tekintendő; a potenciális energiaváltozások elhanyagolhatók. A levegő állandó fajhőjű ideális gáznak tekintendő, cp = 1004 J/(kg⋅K), R = 287 J/(kg⋅K). – Mekkora a hőmérséklet a nyomáskiegyenlítődés után és mennyi levegő
áramlott be a tartályba, ha a feltöltődést adiabatikusnak tekintjük? (hőmérséklet 369 K, beáramló levegő 0,025878 kg)
– Mennyi levegőt tudunk még a tartályba tölteni, ha az acéltartályban a feltöltődés során a hőmérsékletet 20 °C-on tartjuk? Mennyi hőt kell elvonnunk? (betölthető levegő 0,035676 kg, elvonandó hő 3 kJ)
1—86. FELADAT.
Egy 8 m3 térfogatú tartályban a levegő nyomását 1 bar-ról a) 0 bar-ra, b) 0,1 bar-ra csökkentjük. A levegő állandó fajhőjű ideális gáznak tekintendő. A környezeti nyomás 1 bar. – Mennyi munkára van szükség a nyomás lecsökkentéséhez, ha a
folyamat izotermikusan 300 K-en történik, és minden súrlódást elhanyagolhatunk? (a: 800 kJ, b: 535,8 kJ)
1—87. FELADAT.
Egy hőszigetelt tartályba, melyben kezdetben a levegő nyomása 0,1 bar, hőmérséklete 27 °C, környezeti levegő (pk = 1 bar és tk = 27°C) áramlik a nyomáskiegyenlítődésig. – Mekkora lesz a hőmérséklet a beáramlás után a tartályban?
A levegő állandó fajhőjű ideális gáznak tekintendő, R = 287 J/(kg⋅K), κ = 1,4.
57
1—88. FELADAT.
Egy 10 liter térfogatú merev falú tartály környezeti állapotú levegőt tartalmaz. Egy kompresszor segítségével környezeti levegőt nyomunk a tartályba, amíg abban a levegő nyomása 10 bar nem lesz. Hűtéssel elérjük, hogy a kompresszió és a feltöltődés izotermikusan legyen. A környezeti nyomás és hőmérséklet 1 bar és 27°C.
– Mennyi hőt ad le a levegő a tartályban, ill. a kompresszorban? (23,025 kJ)
– Mennyi a kompresszor által felvett munka? (14,235 kJ) A levegőt tekintse állandó fajhőjű ideális gáznak: R = 287 J/(kg⋅K), a kinetikus és potenciális energia megváltozását hanyagolja el!
1—89. FELADAT.
Egy erőgép indítómotorjának vésztartalékaként egy sűrített levegő tartályból és egy légturbinából álló együttest kívánunk alkalmazni. A merev és hőszigetelt tartályból érkező sűrített levegő a turbinában 1 bar nyomásig adiabatikusan expandál. A tartályban lévő levegő induló nyomása 20 bar, hőmérséklete pedig 300 K. A kisütés után a tartályban a nyomás 4 bar lesz. – Határozza meg a tartály minimális térfogatát, ha a turbina által
leadott munkának 120 kJ kell lennie! A tartály és a turbina hőkapacitását, valamint a kinetikus és potenciális energia változását hanyagolja el! A turbina térfogatát hagyja figyelmen kívül! A levegő állandó fajhőjű ideális gáznak tekintendő: cv = 717 J/(kg⋅K) és cp = 1004 J/(kg⋅K).
1—90. FELADAT.
Egy merev, hőszigetelt, 2 liter térfogatú tartály 373 K hőmérsékletű, 5 bar nyomású levegőt tartalmaz. A tartályt egy merev, hőszigetelt, 9 liter térfogatú biztonsági tartályba helyezzük. Ebben a levegő hőmérséklete 300 K hőmérsékletű, nyomása 1 bar. A belső tartályból egy repedésen át levegő szökik ki a biztonsági tartályba a nyomáskiegyenlítődésig. – Mennyi levegőt tartalmaz a két tartály a kiindulási állapotban?
(0,009341 kg, ill. 0,010453 kg) – Határozza meg a nyomást a tartályokban a kiegyenlítődés után!
(1,7263 bar) – Mekkora a hőmérséklet a belső tartályban közvetlenül a
nyomáskiegyenlítődés után? (275,3 K)
58
– Mennyi levegő áramlik ki a belső tartályból? (0,004971 kg) – Mekkora a hőmérséklet a biztonsági tartályban közvetlenül a
nyomáskiegyenlítődés után? (351 K) A belső tartályban lévő gáz expanzióját tekintse izentrópikusnak. A tartály hőkapacitását hanyagolja el, a levegőt tekintse állandó fajhőjű ideális gáznak, R = 287 J/(kg⋅K), cp = 1004 J/(kg⋅K).
1—91. FELADAT.
Egy merev, hőszigetelt tartályt egy rögzített, hőáteresztő dugattyú két kamrára oszt. Mindkét kamra 1 liter térfogatú. A tartály környezeti hőmérsékletű levegőt tartalmaz (300 K). A bal kamrában a nyomás 1 bar, a jobb oldaliban 20 bar. A dugattyú rögzítését feloldjuk. A nyomás és hőmérséklet bizonyos idő elteltével kiegyenlítődik.
– Mekkora lesz a hőmérséklet és a nyomás a nyomáskiegyenlítődés után? (300 K és 10,5 bar)
– Mekkora a kiegyenlítődés során bekövetkező entrópiaváltozás? (3,512 J/K)
A dugattyú mozgása súrlódásmentesnek, a levegő állandó fajhőjű ideális gáznak tekintendő, R = 287 J/(kg⋅K), cp = 1004 J/(kg⋅K).
1—92. FELADAT.
Egy szélkerék által hajtott villamos generátor átlagosan 5 kW villamos teljesítményt ad le. Ezt egy — kezdetben teljesen lemerült — akkumulátor töltésére használják. Az akkumulátor hőátadását a környezet felé 0,6 kW átlagos érték jellemzi. – Határozza meg az akkumulátorban tárolt teljes energia mennyiségét 8
óra üzemelés után!
1—93. FELADAT.
Egy gázt egy dugattyúval zárt hengerben 1p = 3,4 bar-ról és
1V =0,0283 m3-ről 2p = 8,2 bar-ra komprimáltunk. Az állapotváltozást a 1,2 .pV áll= összefüggés írja le. A gáz tömege 0,183 kg. A folyamat során
a gáz 2,2 kJ hőt adott le. – Határozza meg a gáz fajlagos belső energiájának megváltozását, ha
a gáz kinetikus és potenciális energiájának megváltozása elhanyagolható! A közeget tekintse állandó fajhőjű ideális gáznak!
59
1—94. FELADAT.
Egy dugattyúval lezárt hengerben a gőz 1p =35 bar-ról 2p = 7 bar-ra
expandál. A folyamatot a 2 .pV áll= összefüggés írja le. A gőz tömege 2,3 kg. A kezdeti állapotban a gőz további jellemzői: 1u =3282,1 kJ/kg és
1v =113,24 cm3/g. A végső állapotban 2u = 2124,6 kJ/kg.
– Elhanyagolva a kinetikus és potenciális energiában bekövetkezett változásokat határozza a gőz által leadott hőt (fajlagos érték)!
1—95. FELADAT.
Egy hőszigetelt hengerben akadálytalanul mozgó, hőszigetelő dugattyú két azonos térfogatú, 20 cm hosszúságú részt választ el egymástól. Az zárt térfélben nitrogén gáz, a környezet felé nyitott térfélben k rugóállandójú, lineáris karakterisztikájú rugó van (lásd az ábrát). A nitrogén gázt melegítve a rugó hossza a felére csökken. Kiindulási adatok: a környezet nyomása 1 bar, hőmérséklete 20 °C, a rugó nyugalmi hossza 30 cm, rugóállandója 10 N/cm, a dugattyú felülete A= 5 cm2. A nitrogént tekintse álladó fajhőjű ideális gáznak, 2NM =28 kg/kmol és κ =1,4.
A rugó nyugalmi hossza: 30 cm.
Nitrogén
1∆x
2∆x
A
– Határozza meg a nitrogénnel közölt hő mennyiségét!
MEGOLDÁS A kezdeti állapotot jelölje 1, míg a melegítés utáni állapotot 2, a környezeti állapotot 0 index. A nitrogén gáz nyomás a melegítés előtt, amikor az előfeszítés 1x∆ = 10 cm:
11 0
k xp p
A∆= + =3 bar,
míg a melegítés után, amikor az előfeszítés 2x∆ =20 cm:
60
22 0
k xp p
A∆= + =5 bar.
A gáz hőmérséklete a hőközlés végeztével a gáz állapotegyenletből:
2 2 12
1 1
pV TT
pV= = 732,5 K.
A hengerben lévő nitrogén tömege:
21 1
N1
pVm
RT= = 0,00035 kg.
A nitrogén belső energiájának megváltozása: ( )
22 1 N 2 1vU U m c T T− = − =114,2 J.
A nitrogén által végzett fizikai munka ( 2 1x x x∆ = ∆ −∆ = 10 cm a rugó tényleges összenyomódása) felhasználva hogy 2 1V V A x− = ∆ :
( ) ( )21,2 0 2 1
12
W k x p V V⎡ ⎤= − ∆ + − =⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦—10 J,
Az előjel negatív, hiszen a munkavégzés a rendszer belső energiájának rovására történt. A közölt hőmennyiség a termodinamika I. főtétele 2 1 1,2 1,2U U Q W− = +
alapján 1,2 2 1 1,2Q U U W= − − =124,2 J.
1—96. FELADAT.
Egy dugattyúval lezárt hengerben gáz (lásd az ábrát) található. Kezdetben a dugattyú helyzetét x=0 jellemzi, és a rugó még éppen nem fejt ki erőt a dugattyúra. Hőközlés eredményeként a gáz expandál, és a dugattyút felemeli egészen az ütközőig. Ekkor a dugattyú helyzetét x=0,05 m jellemzi, és a hőátadás abbamarad. A rugó által a dugattyúra kifejtett erő a gáz expanziója során x-től lineárisan függ: rugóF k x= ⋅ , ahol
k=10 kN/m. A súrlódás a dugattyú és a henger közt elhanyagolható. A nehézségi gyorsulás 9,81 m2/s. A további adatok az ábrán láthatók.
– Mekkora a gáz kezdeti nyomása? – Határozza meg a gáz által végzett munkát! – Ha a gáz fajlagos belső energiája a kezdeti- és a végállapotban 214,
ill. 337 kJ/kg, akkor mennyi a közölt hő?
61
x
x=0 gáz
m=0,5 g
környezeti nyomás: 1 bar
Adugattyú
=0,0078 m2
a dugattyú tömege: 10 kg
1—97. FELADAT.
Az A felületű merev falú tartályban összenyomhatatlan, állandó c fajhőjű folyadék van. Egy keverőlapáttal (súrlódási munka) állandó W teljesítménnyel energiát közlünk a folyadékkal. A környezettel való hőtranszport ( )0kA T T− formában írható le, ahol T a folyadék pillanatnyi hőmérséklete, 0T a környezet hőmérséklete és k a hőátviteli tényező, W/(m2·K). Kezdetben, 0τ = esetén a tartály hőmérséklete a környezeti hőmérséklettel azonos. – Vezesse le a folyadék T hőmérsékletére vonatkozó differenciál-
egyenletet az idő (τ ) függvényeként! Oldja meg a differenciálegyenletet ( )T τ -ra!
MEGOLDÁS A tartályban lévő folyadék belső energiájának megváltozása az I. főtétel alapján:
ddU
Q W= +τ
.
Az elvont hőáram (az előjel negatív, mivel a belső energiát csökkenti):
( )0Q kA T T= − − .
A megoldandó differenciálegyenlet: ( )0d dd dU T
mc kA T T W= = − − +τ τ
.
A megoldáshoz szükséges kezdeti feltétel: ( ) 00 T Tτ = ⇒ τ = .
A megoldás: ( ) 0 1kAmcW
T T ekA
− τ⎛ ⎞⎟⎜ ⎟τ = − −⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠.
62
1—98. FELADAT.
A JENDRASSIK-DIESEL motor indítása során, amíg a motor el nem éri az üzemi hőmérsékletét — a hidegindítást megkönnyítendő — a szívó szelep a beszívás során zárva marad, és csak az alsó holtponton nyit. A motorban lezajló folyamat egy részét a következőképp modellezhetjük. 1→2: A hengerben maradt füstgáz izentróp expanziója a környezeti nyomásról (1 bar) és hőmérsékletről (0°C) a 13,6-szoros kezdeti térfogatra. 2→3: A környezetből levegő áramlik be a nyomáskiegyenlítődésig. 3→4: A levegő izentróp kompressziója a térfogat 1/13,6 szorosára. – Mekkora a 4. állapotban lévő hőmérséklet, és mekkora lenne, ha a 3.
pontban a levegő nyomása és hőmérséklete 1 bar és 0°C lenne? (Lásd az alábbi segédábrát!)
p
V
1
2
3
4
A levegőt és a füstgázt tekintse állandó fajhőjű ideális gáznak, R = 287 J/(kg⋅K), κ = 1,4.
1—99. FELADAT.
Egy hidraulikus rendszer munkahengerébe 100 bar nyomású olaj áramlik. Az olaj térfogata 1 dm3. – Mennyi munkát végez az olaj a hengerben? (10 kJ)
1—100. FELADAT.
Egy hőszigetelt csőszakaszon folyamatosan 100 bar nyomású, 1 dm3/s térfogatáramú olaj áramlik át súrlódásmentesen. – Változik-e az energia a csőben az idő múlásával? (nem)
63
– Mekkora az áttolás energia időegységenként? (10 kW) – Ugyanakkora lenne-e az áttolási energia a be- és kilépő
keresztmetszetben, ha az áramlás nem lenne súrlódásmentes? (nem) – Mire szolgál ebben az esetben az áttolási energia megváltozása? (a
belső energia megváltoztatására)
1—101. FELADAT.
Egy tápszivattyú a kondenzátorból tápvizet szállít a kazánba. A szivattyúzási folyamat adiabatikus. A víz nyomása és hőmérséklete a szivattyú előtt és után: p1 = 0,08 bar, T1 = 40 °C, ill. p2 = 120 bar, T2 = 41,3 °C. Tekintse a vizet összenyomhatatlan folyadéknak ( )0β ≡ χ ≡ , melynek jellemzői a következők: v = 1,005⋅10—3 m3/kg és cv = 4,18 kJ/(kg⋅K). A kinetikai és a potenciális energia megváltozása elhanyagolható. – Mekkora a fajlagos szivattyúzási munka, és a víz fajlagos
entrópiájának növekedése? (Végeredmények: a fajlagos szivattyúzási munka 17,486 kJ/kg, fajlagos entrópiaváltozás: 17,33 J/(kg·K))
1—102. FELADAT.
Mennyivel változik meg a levegő hőmérséklete miközben egy vízszintes, hőszigetelt fúvókában w1=10 m/s sebességről w2 = 90 m/s sebességre gyorsul? Mennyi hőt kellene a levegővel közölni (kilogrammonként), ha az izotermikusan gyorsulna ebben a fúvókában w1=10 m/s-ról w 2 = 90 m/s-ra? A levegőt állandó fajhőjű ideális gáznak tekintjük: ph c T∆ = ⋅ ∆ ,
cp=1 kJ/(kg⋅K). (Végeredmények: hőmérsékletváltozás 4 K, közölt hő 4 kJ/kg)
1—103. FELADAT.
Egy elektromos vezetéken egyenáram folyik keresztül. A vezeték két vége közötti feszültségkülönbség 12 V; a vezeték elektromos ellenállása 3 Ohm. A vezetéket oly módon hűtjük, hogy hőmérséklete nem változik. – Határozza meg, hogy egy óra alatt mennyi energiát kell elvonni a
vezetékből! (Végeredmény: 172,8 kJ)
64
1—104. FELADAT.
Egy hőszigetelt, merev falú tartályt egy vékony membrán két részre bont. Az egyik részben 1 kg tömegű, 5 bar nyomású és 350 K hőmérsékletű levegő, a másikban 3 kg tömegű, 2 bar nyomású és 450 K hőmérsékletű szén-dioxid található (lásd az ábrát). A membrán felhasad, majd a gázok elkeverednek egymással. Mindkét gáz állandó fajhőjű ideális gázként viselkedik, anyagjellemzőik:
levegő szén-dioxid molekulatömeg, M, kg/kmol 29 44 adiabatikus kitevő, κ 1,4 1,3
– Határozza meg a végső egyensúlyi hőmérsékletet és a végső nyomást!
Levegő 1 kg 5 bar 350 K
CO2
3 kg 2 bar 450 K
szigetelés (Végeredmény: 425,6 K, 2,426 bar)
1—105. FELADAT.
Egy merev falú, hőszigetelt tartályt egy membrán két azonos térfogatú részre oszt. Ezek egyikét egy gázzal töltöttük fel. A másik térrész evakuált. A gáz kezdeti állapotára a következők jellemzők: 1p = 3 bar, 1T = 380 K,
1V =0,025 m3. A membrán felhasadását követően a gáz expandál, kitöltve az egész tartályt. – Állandó fajhőjű ideális gázt feltételezve, határozza meg a végső
egyensúlyi nyomást! (Végeredmény: 1,5 bar)
1—106. FELADAT.
Egy merev falú tartály kezdetben 3 kg tömegű, 500 kPa nyomású, 290 K hőmérsékletű levegőt tartalmaz. Ezt a tartályt és egy függőlegesen álló dugattyúval lezárt hengert egy szeleppel ellátott cső köti össze. A hengerben 0,05 m3 térfogatú, 200 kPa nyomású és 290 K hőmérsékletű levegő van. Bár a szelep zárva van, a levegő lassan átszivárog a hengerbe, míg a tartály nyomása 200 kPa-ra lecsökken. A dugattyú súlya és a légköri nyomás állandó, 200 kPa nyomást tart fenn a hengerben és a hőfelvétel, ill.
65
hőelvonás miatt a hőmérséklet mind a tartályban, mind a hengerben egyaránt 290 K marad. – Határozza meg a levegővel közölt hőmennyiséget! A levegőt tekintse
állandó fajhőjű ideális gáznak, a specifikus gázállandó: 286 J/(kg·K)!
1—107. FELADAT.
Egy dugattyúval lezárt hengerben 1 kg nitrogén gáz van. A gáz a 1T = 700 K hőmérséklettel és 1p =5 bar nyomással adott kezdeti
állapotából 2p = 2 bar nyomásra expandál. A folyamat során 1,3 .pv áll=
– Állandó fajhőjű ideális gázt feltételezve és elhanyagolva a kinetikus és potenciális energia megváltozását, határozza meg a közölt hő mennyiségét! Az állapotváltozás kvázistatikus, a gáz molekulatömege: 28 kg/kmol.
1—108. FELADAT.
A vízgőz egy 0,2 m átmérőjű vezetéken lép be a turbinába. A belépés sebessége 100 m/s, a nyomás 14 MPa, a hőmérséklet 600 °C. A gőz egy 0,8 m átmérőjű vezetéken lép ki a turbinából, a nyomása 500 kPa és a hőmérséklete 180°C. – Határozza meg állandósult állapotban
a gőz sebességét a kilépésnél, a gőz tömegáramát!
– A feladatot oldja meg úgy, hogy 1. a vízgőzt ideális gáznak tekinti, (M=18,015 kg/kmol, κ =1,327) 2. a vízgőz jellemzőit vízgőztáblázatból veszi!
1—109. FELADAT.
A levegő egy 0,6 m átmérőjű ventilátorba áramlik, miközben a hőmérséklete 16 °C, a nyomása pedig 101 kPa. A kilépésnél a levegő állapota 18 °C, 105 kPa. A levegő térfogatárama a kilépésnél 0,5 m3/s. A specifikus gázállandó: 286 J/(kg·K). Állandó fajhőjű ideális gázt feltételezve, határozza meg állandósult állapotra
– a levegő tömegáramát, – a levegő térfogatáramát a belépésnél, – a kilépési és belépési sebességet!
66
1—110. FELADAT.
A levegő egy expanderbe 10 bar nyomással és 580 K hőmérséklettel érkezik, és abból 1 bar nyomással és 500 K hőmérséklettel távozik. Az érkező levegő térfogatárama 1,8 m3/s. A levegő által fajlagosan felvett hő 347 kJ/kg. – Elhanyagolva a kinetikus és potenciális energia megváltozását,
határozza meg a berendezés teljesítményét! A levegőt tekintse állandó fajhőjű ideális gáznak, a specifikus gázállandó: 286 J/(kg·K)!
1—111. FELADAT.
Egy fúvókába metángáz lép be 0,5 MPa nyomáson és 80 °C hőmérsékleten; a sebessége 10 m/s. A kilépésnél a nyomás 0,3 MPa, a sebesség 550 m/s. A potenciális energia megváltozása és a hőcsere elhanyagolható és a metánt állandó fajhőjű ideális gáznak lehet tekinteni. – Határozza meg állandósult állapotra a kilépő hőmérsékletet!
1—112. FELADAT.
A egy hőszigetelt diffúzorba 0,7 bar nyomású, 57 °C hőmérsékletű és 200 m/s sebességű levegő érkezik. A kilépésnél a nyomás 1 bar. A kilépő keresztmetszet 20 %-kal nagyobb, mint a belépő. A potenciális energia megváltozása elhanyagolható. – Határozza meg a kilépésnél a levegő hőmérsékletét és sebességét! A
levegőt tekintse állandó fajhőjű ideális gáznak, a specifikus gázállandó: 286 J/(kg·K), az adiabatikus kitevő: 1,4! (Végeredmény: hőmérséklet: 342 K, sebesség: 120,9 m/s)
1—113. FELADAT.
Egy kompresszor állandósult állapotban 45 kg/min metángázt szállít. A szívóoldalon a nyomás 1 bar, a hőmérséklet 25 °C, a sebesség 15 m/s. A kompresszió adiabatikusnak tekintendő. A nyomócsonkban a nyomás 2 bar, a hőmérséklet 360 K, a kilépő sebesség pedig 20 m/s. A potenciális energia megváltozása elhanyagolható. A metánra: 4CHM =16 kg/kmol,
4,CHpc =2200 J/(kg·K).
– A metánt állandó fajhőjű ideális gáznak tekintve határozza meg a kompresszor hajtásához szükséges teljesítményt!
67
1—114. FELADAT.
Vizsgálja meg az ábrán látható légkompresszor—léghűtő együttes állandósult állapotbeli üzemét! A számításokhoz szükséges adatokat az ábra tartalmazza. A levegőt tekintse állandó fajhőjű ideális gáznak, a specifikus gázállandó: 286 J/(kg·K), az adiabatikus kitevő: 1,4. A kinetikus és potenciális energia megváltozása elhanyagolható. – Határozza meg a kompresszor hajtásához szükséges teljesítményt és a
hűtővíz tömegáramát!
Kompr.
== °
=
pt
V
1
13
1
0,96 bar27 C
26,91 m /s
Víz belépés 25 °C/2 bar
Víz kilépés 45 °C/1,5 bar
„2” állapot 127 °C/263 kPa
„3” állapot 77 °C
1—115. FELADAT.
Egy 0,5 m3 térfogatú, evakuált merev falú tartály falán egy kis rés keletkezik, és a környezeti (1 bar nyomású, 21 °C hőmérsékletű) levegő azon át beszivárog, míg végül a tartályban a nyomás 1 bar lesz. A folyamat elég lassú, így a tartály és a környezete közötti hőcsere miatt a tartályban levő hőmérséklet 21 °C, állandó érték. A levegőt tekintse állandó fajhőjű ideális gáznak, a specifikus gázállandó: 286 J/(kg·K), az adiabatikus kitevő: 1,4. – Határozza meg a felvett vagy leadott hő nagyságát!
1—116. FELADAT.
Egy 1 m3 térfogatú tartályban 300 kPa nyomású és 300 K hőmérsékletű levegő van. A levegő lassan megszökik a tartályból, míg a nyomás lecsökken 100 kPa-ra. A tartályban lévő levegő állapotváltozását a
1,2 .pv áll= egyenlet írja le.
– Határozza meg a tartályt körülvevő ellenőrző felületre a közölt hőt! A levegőt tekintse állandó fajhőjű állandó fajhőjű ideális gáznak, a specifikus gázállandó: 286 J/(kg·K), az adiabatikus kitevő: 1,4. A tartály anyagának hőkapacitását hagyja figyelmen kívül!
68
1—117. FELADAT.
Egy adiabatikus kompresszorba állandósult üzemben 1,8 kg/s tömegáramú, 1,05 bar nyomású és 23 °C hőmérsékletű levegő érkezik. A kilépő levegő nyomása 2,9 bar. A kinetikus és potenciális energia megváltozása elhanyagolható. A levegőt tekintse állandó fajhőjű ideális gáznak, R=286 J/(kg·K) és κ =1,4.
— Határozza meg a minimálisan szükséges teljesítmény felvételt és az annak megfelelő kilépő hőmérsékletet!
— Mekkora a teljesítmény igény, és a kilépő levegő hőmérséklete, ha a kompresszor hatásfoka 80 %?
1—118. FELADAT.
Egy energiatároló rendszer a következőképpen működik: Egy 20 m3 térfogatú, tökéletesen hőszigetelt légtartályt időnként nagy nyomásra feltöltenek, majd a felhasználási időszakban kisütik. A töltési periódus kezdetén a tartályban lévő levegő állapota a környezeti levegő állapotával meggyezik, nyomása 1 bar, hőmérséklete 10 °C. Mind a töltési, mind pedig a kisütési folyamatot tekintse izentropikusnak! A levegőt tekintse állandó fajhőjű ideális gáznak, R=286 J/(kg·K) és κ =1,4. – Mekkora a levegő hőmérséklete a tárolási periódus alatt? (546,7 K) – Mennyi — munkavégzésre használható — energia tárolható? (15743 kJ)
1—119. FELADAT.
Egy berendezés 1 bar nyomású száraz, telített állapotú vízgőzt komprimál folyamatosan. A kompresszió során hűtést alkalmaznak, így a gőz nyomása a folyamat végén 10 bar, hőmérséklete pedig 200 °C. A kompresszió fajlagos munkaszükséglete 400 kJ/kg. A hőelvonás a 27 °C hőmérsékletű környezetbe történik. A potenciális kinetikus energia megváltozása elhanyagolható. A vízgőz jellemzőit vegye gőztáblázatból! Határozza meg – a hűtéssel elvezetett fajlagos hőmennyiséget, (—248,6 kJ/kg) – a gőz fajlagos entrópiájának megváltozását, (—0,668 kJ/(kg·K)) – a környezet enntrópiájának megváltozását 1 kg komprimált gőzre
vonatkoztatva! (0,828 kJ/(kg·K))
1—120. FELADAT.
Egy kompresszor 300 kg/h tömegáramú közeget komprimál. A kompresszort 5 kW hőteljesítménnyel hűtik, így az abba 1730 kJ/kg fajlagos entalpiával belépő közeg 2000 kJ/kg fajlagos entalpiával távozik.
69
A folyamat során a helyezeti és a mozgási energia megváltozása elhanyagolható. – Határozza meg a kompresszor hajtásához szükséges teljesítményt!
(27,5 kW)
1—121. FELADAT.
Egy légkompresszor a környezeti 27 °C hőmérsékletű és 1 bar nyomású és 400 kg/h tömegáramú levegőt politropikusan (n=1,2) 4 bar nyomásra komprimálja. A levegőt tekintse állandó fajhőjű ideális gáznak, R=286 J/(kg·K) és κ =1,4. – Határozza a kompresszor hajtásához szükséges teljesítményt! – Mekkora teljesítmény kell ahhoz, hogy a komprimált levegőt a
kompresszor kilépő csonkjából a 4 bar nyomású tartályba szállítsuk? MEGOLDÁS Jelöljük a belépő állapotot 1, a kilépőt 2 indexszel! A kompresszor belépő csonkjában a levegő fajtérfogata:
11
1
RTv
p= =0,87 kg/m3.
A politropikus kompresszió véghőmérséklete:
12
2 12
nnp
T Tp
−⎛ ⎞⎟⎜= =⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠ 378 K.
A levegő fajtérfogata a kompresszor kilépő csonkjában:
22
2
RTv
p= =0,27 kg/m3.
A fajlagos technikai munka kiszámítására többféle módszert is bemutatunk az alábbiakban. Az állapotváltozás fajlagos technikai munkája (a levezetés mellőzésével):
11 2
1,21
11
nnnRT p
wn p
−⎡ ⎤⎢ ⎥⎛ ⎞⎟⎜= − − =⎢ ⎥⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠− ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
133,9 kJ/kg.
Az állapotváltozás fajlagos fizikai munkája (a levezetés mellőzésével):
11 2
1,21
11
nnRT p
wn p
−⎡ ⎤⎢ ⎥⎛ ⎞⎟⎜= − − =⎢ ⎥⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠− ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
111,6 kJ/kg.
A fajlagos technikai munka a be- és kilépési munkák ismeretében (lásd az alábbi segédábrát): 1,2,t 1,2 1 1 2 2w w p v p v= − + =133,9 kJ/kg.
70
1
2
belépési munka kilépé
si m
unka
v
p
A termodinamika I. főtétele nyitott rendszerre: 2 1 1,2 1,2,th h q w− = + ,
ebből az egyenletből ( )1,2, 2 1 1,2tw h h q= − − .
Állandó fajhőjű ideális esetében: ( )2 1 2 1ph h c T T− = − és
( ) ( )1,2 2 1 2 11n vn
q c T T c T Tn− κ= − = −−
.
Ezek alapján a fajlagos technikai munka:
( )( )1,2, 2 1t p nw c c T T= − − ,
felhasználva, hogy 1p
Rc
κ=κ −
és 1v
Rc =
κ −
( )( )1,2, 2 11 1 1tR R n
w T Tn
κ − κ= − ⋅ −κ − κ − −
( )( )1,2, 2 11 1tR n
w T Tn− κ= κ − ⋅ − =
κ − −133,9 kJ/kg.
A kompresszió teljesítmény-szükséglete: K 1,2,tP m w= ⋅ = 14,88 kW.
A szállításhoz (továbbításhoz) szükséges teljesítmény: száll. ki 2 2P m w m p v= ⋅ = ⋅ =12 kW.
1—122. FELADAT.
Egy kompresszor az 1 bar nyomású, 27 °C hőmérsékletű és 400 kg/h tömegáramú levegőt politropikusan (n=1,2) 5 bar nyomásra komprimálja. A levegőt tekintse állandó fajhőjű ideális gáznak, R=287 J/(kg·K) és κ =1,4.
71
– Határozza meg a kompresszor hajtásához szükséges teljesítményt, valamint az elvont hőáramot! (Hajtóteljesítmény: 17,6 kW, elvont hőáram: 7,33 kW)
1—123. FELADAT.
Egy, az alábbi ábra szerinti kialakítású tartály kezdetben 45 kg tömegű és 45 °C hőmérsékletű vizet tartalmaz. A tartályból folyamatosan vizet vezetnek el és víz áramlik be azonos tömegárammal, így a tartályban lévő víz tömege állandó. A beáramló víz tömegárama 270 kg/h, hőmérséklete pedig 45 °C. A tartályban lévő vizet egy csőkígyó segítségével folyamatosan hűtik, az elvont hőáram 7,6 kW. A tartályban lévő víz hőmérsékletének homogenitásáról egy keverőlapát gondoskodik, mely 0,6 kW teljesítménnyel üzemel. A potenciális és kinetikus energia megváltozása elhanyagolható, a folyamat állandó nyomáson megy végbe. A tartály és környezet között nincs hőáramlás. A víz fajhője 4,2 kJ/(kg·K).
keverőlapát hűtés
víz elvezetés
víz bevezetés
– Határozza meg a tartályban lévő víz hőmérsékletének változását az
idő (τ ) függvényében! MEGOLDÁS A feladat megoldásához az energiamegmaradás elvének alkalmazására van szükség, azaz a tartályban lévő víz belső energiája (így hőmérséklete) a következő energiatranszportok következtében változik:
1. hőtranszport a hűtés következtében, 2. súrlódási munka a keverés a következtében és 3. a bevezetett és elvezetett vízzel történő energia (entalpia)
transzport. Egyenletben ezt a
72
( )be elddU
Q W m h h= + + −τ
(*)
összefüggés fejezi ki, ahol be elm m m= = a beáramló, ill. elvezetett víz tömegárama, beh a beáramló, elh pedig az elvezetett víz fajlagos entalpiája. A belső energia időbeli megváltozása
( )d d d
d d dU m u u
m⋅= =
τ τ τ,
mivel a tartályban lévő víz tömege nem változik. A differenciálási láncszabály alapján írhatjuk, hogy
d d dd d du u T
T= ⋅
τ τ
és felhasználva, hogy definíció szerint ddu
cT
= , a tartályban lévő víz belső
energiájának időbeli megváltozása
d dd dU T
mc=τ τ
formában írható fel. Ezt a kifejezést a (*) egyenletbe visszaírva, valamint felhasználva, hogy
( ) ( )be el be el be elh h c T T v p p− = − + − 0 ,
mivel a folyamat 1 2p p= =állandó nyomáson megy végbe és a keverés következtében ( )elT T= τ , így a ( )T τ függvényre vonatkozó
( )[ ]beddT
mc Q W mc T T= + + − ττ
differenciálegyenlethez jutunk. A kezdeti feltétel: ( ) be0 T Tτ = ⇒ τ = .
Ennek megfelelően a hőmérséklet időbeli változásának egyenlete:
( ) ( )be 1 expQ W m
T Tmc m
⎛ ⎞+ ⎡ ⎤⎟⎜τ = + − − τ⎟ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎟⎜ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎣ ⎦.
A megoldásfüggvényben
Q = —7,6 kW, mivel hőelvonásról
W =+0,6 kW, mivel munka bevitelről van szó. A függvény grafikonját az alábbi ábra szemlélteti.
73
290
295
300
305
310
315
320
0 0,25 0,5 0,75 1 1,25 1,5 1,75 2 τ, h
T, K
T(τ)
1.3. Entrópiaanalízis. A II. főtétel alkalmazása
1—124. FELADAT.
Vizsgálja meg a termodinamika I. és II. főtételében foglaltak alapján, hogy alább leírt folyamat megvalósítható-e! Egy „fekete doboz”-ba (lásd az ábrát) 0,3 kg/s levegő áramlik folyamatosan 50 °C hőmérsékleten és 101 kPa nyomáson. A dobozban „valami történik” a levegővel, majd azt két nyíláson elhagyja. Az első nyíláson kilépő levegő állapota 90 °C, 101 kPa és tömegárama 0,1 kg/s. A másik nyíláson kilépő levegő nyomása 101 kPa. A „doboz” és környezete között kölcsönhatás nincs. A levegő izobár fajhője 1004 J/(kg·K), állandó érték.
– Határozza meg a második (3-as jelű) nyíláson kilépő levegő tömegáramát és hőmérsékletét!
– Számítsa ki a „dobozban” bekövetkező entrópiaáram-változást!
1 0,3 kg/s 50 °C 101 kPa
2 0,1 kg/s 90 °C 101 kPa
3 101 kPa
„Fekete doboz”
MEGOLDÁS A tömegmegmaradás törvénye: 1 2 3m m m= + , ebből
74
3 1 2m m m= − = 0,2 kg/s.
Az energiamegmaradás törvénye: 1 2 3H H H= + , ill. más alakban
1 1 2 2 3 3m h m h m h= + . ( )1 1 2 2 1 2 3m h m h m m h= + −
( ) ( )1 1 3 2 2 3m h h m h h− = − ( ) ( )1 1 3 2 2 3p pm c T T m c T T− = −
Ebből a keresett kilépő hőmérséklet: 1 1 2 23
1 2
m T m TT
m m−=−
= 303 K (30 °C).
Az entrópiaáram-változás: 1 2 3S S S S∆ + = + , mivel az entrópia nem
megmaradó mennyiség. Az S m s= ⋅ figyelembevételével
2 2 3 3 1 1S m s m s m s∆ = + − .
Az energiamérlegnél alkalmazottak figyelembevételével:
( ) ( ) 3 21 3 1 2 2 3 1 2
1 3ln lnp p
T TS m s s m s s m c m c
T T∆ = − + − = + = —1,211 W/K.
Mivel az entrópia-produkció negatív, a II. főtétel értelmében ez a folyamat nem mehet végbe.
1—125. FELADAT.
Egy merev falú, adiabatikusan szigetelt tartályt egy súrlódásmentesen mozgó dugattyú két részre oszt (lásd az ábrát). Kezdetben (amikor a dugattyú rögzített) az egyik (A) oldalon 2,5 kg tömegű, 250 °C hőmérsékletű és 500 kPa nyomású, míg a másik (B) oldalon 0,5 kg tömegű, 70 °C hőmérsékletű és 50 kPa nyomású gáz van. A dugattyú rögzítését megszüntetve azonos nyomás jön létre mindkét oldalon, majd a hőmérsékletek is kiegyenlítődnek, mivel a dugattyú diatermikus. A gáz izobár fajhője 1029 J/(kg·K), specifikus gázállandója 286 J/(kg·K). – Határozza meg a folyamat végén beálló egyensúlyi állapothoz tartozó
nyomást és hőmérsékletet! – Számítsa ki a folyamathoz tartozó entrópia változást!
A B
MEGOLDÁS
75
Tekintve, hogy a rendszer merev falú és adiabatikusan szigetelt, így az összes belsőenergia-változás: 0U∆ =∑ , azaz A B 0U U∆ + ∆ = .
Jelölje a kezdeti állapotot „1” index, míg a teljes kiegyenlítődés utáni állapotot „2” index. Ezekkel: ( ) ( )A2 A1 B2 B1 0U U U U− + − = .
Mivel a közeg állandó fajhőjű ideális gáz, így VU mc T∆ = ∆ , azaz ( ) ( )A A2 A1 B B2 B1 0V Vm c T T m c T T− + − = .
Egyensúlyi állapotban A2 A2 2T T T= = , így
A A1 B B12
A B
m T m TT
m m+= =+
493,15 K (220 °C).
A végállapotra felírhatjuk a gáz állapotegyenletet: ( ) ( )2 A1 A1 A B 2p V V m m RT+ = + .
A kezdeti térfogatok a gáz állapotegyenletből:
A A1A1
A1
m RTV
p= , ill B B1
B1B1
m RTV
p= .
A keresett végnyomás:
( )A B 2
2A A1 B B1
A1 B1
m m RTp m RT m RT
p p
+= =+
244,65 kPa (2,447 bar).
Az össz-entrópia változás: ( ) ( ) ( ) ( )A2 A1 B2 B1 A A2 A1 B B2 B1S S S S S m s s m s s∆ = − + − = − + − .
Állandó fajhőjű ideális gáz esetében: 2 22 1
1 1ln lnp
T ps s c R
T p− = − .
A megfelelő közegekre és állapotokra: As∆ = 0,1436 kJ/(kg·K);
Bs∆ =—0,0809 kJ/(kg·K). Az össz-entrópia változás: S∆ = 0,31855 kJ/K.
1—126. FELADAT.
Mennyi a levegő entrópiájának megváltozása, ha – 2 kg levegőt T1=300 K-ről T2=500 K hőmérsékletre melegítünk
állandó nyomáson? (1026 J/(kg·K)) – 2 kg levegőt a v1=0,87 m3/kg és T1=300 K állapotból v2=0,1·v1,
T2=700 K állapotba juttatunk? (—106,7 J/(kg·K)) A levegő állandó fajhőjű ideálisnak gáznak tekinthető, melyre: cv = 717 J/(kg⋅K) és R = 287 J/(kg⋅K).
76
1—127. FELADAT.
Egy kívülről hőszigetelt hőcserélőben az 1,5 kg/s tömegáramú víz 10°C-ról 70 °C hőmérsékletre melegszik. – Mennyi entrópia fejlődik időegységenként (entrópiaáram-produkció),
ha a felmelegítéshez 0,663 kg/s tömegáramú füstgázt használunk, mely 700 °C-ról 130 °C hőmérsékletre hűl le? (627 W/K)
– Mennyi az időegységenkénti entrópiaáram-prdukció, ha a vizet 100 °C hőmérsékleten kondenzálódó vízgőz melegíti? (198 W/K)
Az egyes munkaközegek nyomása állandó. Az izobár fajhőket konstansoknak tekintjük, a füstgázé: cp = 1000 J/(kg⋅K), a vízé: cp = 4200 J/(kg⋅K).
1—128. FELADAT.
Egy zárt rendszerben lejátszódó állapotváltozás során a rendszer által végzett munka 5 kJ és a Q hőforgalom csak .T áll= hőmérsékleten zajlik le. – Az alábbi esetekre állapítsa meg, hogy a rendszer entrópiaváltozása
pozitív, negatív, zérus vagy meghatározhatatlan! a) reverzibilis folyamat és Q=+10 kJ (pozitív) b) reverzibilis folyamat és Q=0 (0) c) reverzibilis folyamat és Q=—10 kJ (negatív) d) a rendszeren belül irreverzibilitások vannak és Q=+10 kJ
(pozitív) e) a rendszeren belül irreverzibilitások vannak és Q=0 kJ (pozitív) f) a rendszeren belül irreverzibilitások vannak és Q=—10 kJ (??)
1—129. FELADAT.
Valamennyi esetre állapítsa meg, hogy a zárt rendszer entrópia változása pozitív, negatív, zérus vagy meghatározhatatlan!
a) 2 kg vízgőz adiabatikus állapotváltozása, b) 1 kg nitrogén reverzibilis állapotváltozása, c) 3 kg R134a (hűtőközeg) adiabatikus állapotváltozása egy
keverőlapát forgása által, d) 1 kg szén-dioxid izotermikus állapotváltozása, e) 2 kg oxigén, mint állandó fajhőjű ideális gáz állandó nyomáson
történő hőmérséklet-csökkenése, f) 1 kg argon, mint állandó fajhőjű ideális gáz izotermikus
állapotváltozása nyomás növekedése mellett.
77
1—130. FELADAT.
A kezdetben 3 bar nyomású és 200 °C hőmérsékletű vizet, melynek tömege 0,1 kg egy olyan állapotváltozáson megy keresztül, melynek a végén 15 bar, 210 °C állapotba kerül egy 100 1/min fordulattal dolgozó keverőlapát működtetésével. A hőcsere a környezettel 22 °C hőmérsékleten zajlik le egy vékony falon keresztül. A keverőlapát által végzett munka mérés alapján —17,5 kJ. A kinetikus és potenciális energia megváltozása elhanyagolható. – Állapítsa meg, hogy a munka mért értéke lehetséges-e vagy sem!
1—131. FELADAT.
Állandósult állapotban egy áthajtómű behajtó tengelyén keresztül 600 kW teljesítményt vesz fel. Súrlódás következtében a kihajtó tengelyen 588 kW teljesítményt ad le. Az áthajtóművet a környezeti levegő hűti, az elvont hőteljesítményt a ( )wQ A T T∞= −α − , W egyenlet írja le, ahol α a hőátadási tényező, mértékegysége W/(m2·K), A az áthajtómű külső felületének nagysága, m2, wT a berendezés külső felszínének hőmérséklete, K és T∞ a külső levegő hőmérséklete, K.
– Határozza meg 1. az áthajtóműben, mint zárt rendszerben és 2. egy olyan rendszerben, mely az áthajtóművet és
környezetének azon, elegendően nagy részét tartalmazza, ahol a hőátadás végbemegy
bekövetkező entrópiaáram-növekedést az alábbi adatok mellett: α = 0,17 kW/(m2·K), A= 1,8 m2 és T∞ = 293 K.
MEGOLDÁS A vizsgált rendszerek vázlata: 1. rendszer: áthajtómű
600 kW
588 kW
áthajtómű
rendszerhatár, hőmérséklete: Tw
2. rendszer: áthajtómű és környezetének elegendően nagy része
78
600 kW
588 kW
áthajtómű
rendszerhatár, hőmérséklete: ∞T
Tw
hőmérséklet változás
1. rendszer: Az entrópia definiáló egyenlete alapján az entrópiaáram-változás
w
QS
T∆ =
formában írható fel. A kiszámításához szükség van a rendszer által leadott Q hőáram nagyságára, valamint az áthajtómű (ebben az esetben a rendszerhatár is) wT hőmérsékletére. A leadott hőáram az energiamegmaradási egyenletből határozható meg.
ddEτ
0
Q W= − + ,
azaz a rendszer energiájának időbeli megváltozása a hőáram és teljesítmény függvénye. A hőáram előjele negatív, hiszen a rendszer energiájának rovására történik a hőleadás. Mivel a rendszer állandósult állapotú, hőmérséklete nem változik (energiatárolás nem történik), így
Q W− = − , azaz Q W= .
A rendszer határfelületén két munka kölcsönhatáshoz tartozó energiaáramlás működik, a behajtó tengely: beW =+600 kW (az előjel pozitív, mivel a rendszer energiáját növeli) és kiW = —588 kW (az előjel negatív, mivel a rendszer energiáját csökkenti). A súrlódási teljesítmény:
be kiW W W= + =12 kW.
A környezetnek leadott hőáram ebből következően:
Q = —12 kW.
A hajtőműház külső felületének hőmérséklete:
wQ
T TA ∞= − + =
α332,26 K.
Az entrópiaáram-növekedés:
79
w
QS
T∆ = = 0,03612 kW/K.
2. rendszer: Felhasználva az 1. rendszer esetében meghatározott hőáramot, az entrópiaáram-növekedés:
Q
ST∞
∆ = = 0,04096 kW/K.
A 2. rendszer esetében azért nagyobb, az entrópiaáram-növekedés, mivel a kiterjesztett rendszer a súrlódáson kívül az irreverzibilitás egy másik formáját is, a véges hőmérsékletkülönbséggel történő hőátadást is magában foglalja.
1—132. FELADAT.
Egy villamos motor állandósult állapotban 2 kW teljesítményt ad le a tengelyén, mialatt a 120 V-os hálózatból 20 A áramot vesz fel. A motor külső felszínének hőmérséklete 50 °C. – Határozza meg a motor által leadott hőáramot (0,4 kW) és a
motorban bekövetkező entrópiaáram növekedést (1,24·10—3 kW/K)!
1—133. FELADAT.
Egy hőszigetelt rendszer egy 0,1 kg tömegű zárt réztartályból és a benne levő 1 kg tömegű vízből áll, a hőmérsékletük 5 °C. A tartályt belemártjuk 20 kg tömegű, 5 °C hőmérsékletű vízbe. Az egyensúly beálltakor határozza meg:
a) a végső hőmérsékletet, b) az entrópia változást a réztartályra és a víztömegekre külön-külön, c) a keletkezett entrópiát!
Fajhők: réz 385 J/(kg·K), víz 4186,7 J/(kg·K)
1—134. FELADAT.
Egy keverőlapát 0,3 kW teljesítménnyel üzemel egy zárt, merev falú tartályban, melyben állandósult állapotban 60 °C hőmérsékletű folyadék van. A környezeti hőmérséklet 20 °C. – Határozza meg a folyadékból eltávozó és a 20 °C hőmérsékletű
környezetbe érkező entrópiaáramot!
80
1—135. FELADAT.
Egy zárt, merev falú tartály kezdetben 2 m3 hidrogén gázt tartalmaz 35 °C hőmérsékleten és 215 kPa nyomáson. A tartály falának hőmérséklete 300 °C. A hidrogéngázt bizonyos idő alatt 160 °C-ra melegítjük.
– A hidrogént állandó fajhőjű ideális gáznak tekintve, határozza meg a közölt hőt, és entrópiájának megváltozást! Határozza meg a tartályra entrópia változását is!
– Miért különbözik a két entrópia változás? A hidrogénre: 2HM =2 kg/kmol és κ =1,4.
1—136. FELADAT.
Egy keverőkamrában két azonos m tömegáramú és tulajdonságú folyadékot összekeverünk. Az összekeverés előtt a hőmérsékletek 1T és 2T voltak. A folyadékok összenyomhatatlanok, c fajhőik állandók. A kamrából a közeg az egyensúlyi hőmérsékleten távozott el. – Mutassa meg, hogy az entrópiaváltozás értéke:
1 2
1 22 ln
2T T
S m cT T
⎡ ⎤+∆ = ⋅ ⋅ ⎢ ⎥⋅ ⋅⎢ ⎥⎣ ⎦
!
– Mutassa meg, hogy S∆ értéke pozitív!
1—137. FELADAT.
Kezdetben 300 K hőmérsékletű és 1 bar nyomású levegőt állandó térfogaton 500 K hőmérsékletre melegítünk két különböző módon:
a) A folyamat adiabatikus, a felmelegítést keverőlapát működtetése okozza.
b) A hőmérsékletnövekedést hőközlés okozza. A fűtőközeg hőmérséklete 600 K, a mennyisége „végtelen nagy”.
– Mindkét esetre határozza meg a keletkezett entrópiát! Ezek miért nem egyenlők?
1—138. FELADAT.
Egy hőszigetelt tartályt egy vékony membrán két részre oszt. Kezdetben az egyik részben 1 MPa nyomású és 500 °C hőmérsékletű gőz van, a másik rész pedig evakuált. A membrán felhasad, a gőz kitölti az egész teret, a nyomás pedig 0,1 MPa lesz. Határozza meg:
a) a véghőmérsékletet (495,6 °C),
81
b) a gőz által kezdetben kitöltött rész és a tartály térfogatának arányát (9,9 %),
c) a keletkezett entrópia értékét (1,0597 kJ/(kg·K))! A vízgőz jellemzőit vegye vízgőztáblázatból!
1—139. FELADAT.
Egy hőszigetelt tartályt egy vékony membrán két részre bont. Kezdetben az egyik részben 0,5 kg tömegű, 80 °C hőmérsékletű, 1 bar nyomású levegő van, a másikban pedig 1 kg tömegű, 50 °C hőmérsékletű, 2 bar nyomású levegő. A membrán felhasad, a két légmennyiség összekeveredik, és beáll az egyensúlyi állapot. Határozza meg:
a) az egyensúlyi hőmérsékletet, és nyomást, b) a keletkezett entrópiát!
A levegőt tekintse állandó fajhőjű ideális gáznak, R=286 J/(kg·K) és κ =1,4.
1—140. FELADAT.
Egy L hosszúságú hengeres rúd palástja hőszigetelt. Kezdetben a rúd egyik vége egy HT hőmérsékletű, másik vége pedig egy CT hőmérsékletű fallal érintkezik,és a rúdban a hőmérséklet eloszlást a következő függvény írja le:
( ) ( )H CH
T TT x T x
L−= − ⋅ .
A rúd végein hő közlést, illetve hőelvonést megszüntetjük, majd megvárjuk a termikus egyensúlyi állapot beálltát. Ekkor a rúd hőmérséklete mindenütt FT lesz.
— Határozza meg FT értékét HT és CT segítségével, és mutassa meg, hogy a keletkezett entrópiamennyiség:
C HF C H
H C H C1 ln ln ln
T TS m c T T T
T T T T⎛ ⎞⎟⎜∆ = ⋅ ⋅ + + ⋅ − ⋅ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠− −
,
ahol c a rúd fajhője, m pedig a tömege!
1—141. FELADAT.
A vízgőz 3 MPa nyomáson, 500 °C hőmérsékleten 70 m/s sebességgel lép be egy állandósult üzemben működő hőszigetelt turbinába és azt 0,3 MPa nyomáson és 140 m/s sebességgel hagyja el. Az egységnyi gőzáramra vetített munka értéke 667 kJ/kg. A vízgőz jellemzői vegye gőztáblázatból! – Lehetséges-e ez? Válaszát indokolja! (Nem lehetséges.)
82
1—142. FELADAT.
Egy állandósult üzemben működő légturbinába 1,2 bar nyomású és 580 °C hőmérsékletű levegő érkezik. A kilépő levegő nyomása és hőmérséklete 0,24 bar, illetve 190 °C. A kinetikai és a potenciális energia megváltozást hanyagolja el. A levegőt tekintse állandó fajhőjű ideális gáznak, R=286 J/(kg·K) és κ =1,4. – Lehet-e ez az expanzió adiabatikus?
1—143. FELADAT.
Egy állandósult üzemben működő hőszigetelt légturbinába 6 bar nyomású és 597 °C hőmérsékletű levegő érkezik. A kilépő levegő nyomása és hőmérséklete 1 bar, illetve 297 °C. A kinetikai és a potenciális energia megváltozást hanyagolja el. A levegőt tekintse állandó fajhőjű ideális gáznak, R=286 J/(kg·K) és κ =1,4. Határozza meg
a) az átáramló levegő által végzett fajlagos munkát, b) hogy a folyamat reverzibilis, irreverzibilis vagy megvalósíthatatlan!
1—144. FELADAT.
Egy vízszintes, hőszigetelt csőben levegő áramlik. A vezeték egy keresztmetszetében a nyomás, a hőmérséklet és a sebesség 0,95 bar, 67 °C, illetve 75 m/s. Egy másik keresztmetszetben ugyanezek 0,8 bar, 22 °C és 310 m/s. A levegőt tekintse állandó fajhőjű ideális gáznak, R=286 J/(kg·K) és κ =1,4. – Határozza meg az áramlás irányát!
1—145. FELADAT.
Egy hőszigetelt készülékbe 6 bar nyomású, 21 °C hőmérsékletű nitrogén lép be. A készülékből munkát nem nyerünk. Állandósult üzemben a nitrogén egyik fele 1 bar nyomáson és 82 °C hőmérsékleten, a másik fele pedig 1 bar nyomáson és 40− °C hőmérsékleten lép ki. A kinetikus és potenciális energia megváltozása elhanyagolható. A nitrogént tekintse álladó fajhőjű ideális gáznak, 2NM =28 kg/kmol és κ =1,4.
– Állapítsa meg, hogy a készülék működhet-e így!
83
1—146. FELADAT.
Egy állandósult üzemben működő gőzturbinába 30 bar nyomású, 400 °C hőmérsékletű és 40 m/s sebességű vízgőz érkezik, és abból 100 °C hőmérsékletű száraz telített gőzként távozik 100 m/s sebességgel. A turbinaház felszínének átlagos hőmérséklete 400 K. A gőzturbina fajlagos hővesztesége 30 kJ/kg. A vízgőz jellemzőit vegye vízgőztáblázatból! – Határozza meg a nyert fajlagos munkát (532,6 kJ/kg), a gőz fajlagos
entrópiájának megváltozását, valamint a turbina falára érkező, egységnyi tömegű gőzből származó entrópiaáramot (0,5087 kJ/(kg·K))!
1—147. FELADAT.
Egy fúvóka állandósult üzemében az érkező oxigén nyomása, hőmérséklete és sebessége 3,8 MPa, 387 °C és 10 m/s. A kilépő közeg jellemzői 150 kPa, 37 °C és 750 m/s. Az oxigént tekintse álladó fajhőjű ideális gáznak,
2OM =32 kg/kmol és κ =1,4.
— Határozza meg a gáz tömegegységre vonatkoztatott hőveszteségét és a fajlagos entrópiájának a megváltozását!
— Mennyivel növekszik a környezet entrópiája (1 kg oxigénre vonatkoztatva), ha annak hőmérséklete 20 °C?
1—148. FELADAT.
Egy axiális kompresszor állandósult üzemben 27 °C hőmérsékletű és 1,3 bar nyomású levegőt 2,7 bar nyomásra komprimál. A befektetett fajlagos munka 94,6 kJ/kg. A fajlagos hőleadás a kompresszor 40 °C hőmérsékletű felszínén át 14 kJ/kg. Az áramló közeg kinetikai és potenciális energiájának megváltozása elhanyagolható. A levegőt tekintse állandó fajhőjű ideális gáznak, R=286 J/(kg·K) és κ =1,4. Határozza meg:
a) a levegő kilépő hőmérsékletét (380 K), b) a kompresszoron átáramló levegő fajlagos entrópiaváltozását!
1—149. FELADAT.
Egy hőszigetelt vízgőz-víz hőcserélőbe állandósult üzemállapotban a fűtőgőz 0,7 MPa nyomáson és 355 °C hőmérsékleten lép be. A felmelegítendő víz nyomása és hőmérséklete a belépésénél 0,7 MPa, illetve 35 °C. A felmelegített víz a készülékből 0,7 MPa nyomású telített folyadékként távozik. A potenciális és a kinetikus energia megváltozása elhanyagolható. A víz/vízgőz jellemzőit vegye vízgőztáblázatból!
84
– Határozza meg: a) a belépő tömegáramokat, b) a felmelegített víz egységnyi tömegére vonatkoztatott entrópia-
produkciót!
1—150. FELADAT.
Egy hőszigetelt fúvókába állandósult állapotban 2,77 bar nyomású, 1300 K hőmérsékletű argon lép be 10 m/s sebességgel. A kilépő keresztmetszetben a nyomás 1 bar, a hőmérséklet 900 K.
Határozza meg: a) a kilépő sebességet (645,06 m/s), b) a fúvóka izentropikus hatásfokát (92 %), c) az egységnyi tömegű argonra vonatkoztatott entrópia produkciót
(0,0209 kJ/(kg·K)) Az argont tekintse álladó fajhőjű ideális gáznak, ArM = 40 kg/kmol és κ =1,67. Az izentropikus fúvóka hatásfok értelmezése:
2
fúvóka 2.
22
s áll
ww
=
η = ,
azaz a fúvókából kilépő közeg fajlagos mozgási energiája viszonyítva ahhoz a fajlagos mozgási energiához, melyet ugyanezen közeg esetében figyelhetnénk meg, ha az izentropikusan expandálna ugyanazon nyomásra.
1—151. FELADAT.
Lehetséges-e a következő berendezések folytonos működése? Válaszát részletesen indokolja! A környezet hőmérséklete 300 K.
a) Egy berendezésbe 10 kW villamos energiát táplálunk be. A berendezésből a 327 °C-os felszínéről hőáram jut ki a környezetbe. További energiaáramok nincsenek. (Igen)
b) Egy berendezésbe a 327 °C hőmérsékletű felszínén keresztül hő áramlik be. A berendezés 10 kW villamos energiát szolgáltat a környezetének. További energiaáramok nincsenek. (Nem)
1—152. FELADAT.
Egy levegő-gőz hőcserélőben (egy elgőzölögtetőben) 100 kg/s tömegáramú, 600 °C belépő és 300 °C kilépő hőmérsékletű, állandó nyomású levegőárammal 200 °C hőmérsékletű telített vizet telített gőzzé alakítanak.
85
A levegőt tekintse állandó fajhőjű ideális gáznak, R=286 J/(kg·K) és κ =1,4. – Határozza meg levegé-gőz/víz rendszer entrópiaáram-produkcióját!
– Ábrázolja a folyamatot T S− diagramban! MEGOLDÁS Jelölje 1 index a belépő, 2 a kilépő levegő jellemzőit! A hőcserélő hőteljesítménye:
( )lev. 2 1pQ m c T T= − = 32,4 kW.
A levegő entrópiaáram-változása általános esetben:
2 2lev. lev.
1 1ln lnp
T pS m c R
T p⎛ ⎞⎟⎜∆ = − ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠
Mivel a levegő nyomása állandó, 1 2p p= , így az előbbi kifejezésben a zárójelben álló második tag értéke 0. A levegő entrópiaáram-változása:
2lev. lev.
1ln
1R T
S mT
κ∆ = =κ −
—45,5 kW/K.
Az elpárolgó víz entrópiaáram változása (izotermikus folyamat):
vízvíz
QS
T∆ = =68,5 kW/K.
A véges hőmérsékletkülönbséggel végbemenő hőátvitel, mint irreverzibilis folyamat miatt a levegő-gőz/víz rendszer entrópiaáram-produkciója:
lev. vízS S S∆ = ∆ + ∆ = 23 kW/K.
A folyamat T S− diagramban:
1T
2T
vízT
lev.∆S S
T
víz∆S
∆S
lehűlő füstgáz
elgőzölgő víz
86
1—153. FELADAT.
Súrlódás következtében az áramló közeg a kezdeti 150 bar nyomású és 20 °C hőmérsékletű állapotból a 100 bar nyomású és 80 °C hőmérsékletű állapotba kerül. A közeg térfogatárama 20000 m3/h. A közeget tekintse állandó fajhőjű ideális gáznak, R=305 J/(kg·K) és κ =1,45. – Határozza meg a közeg entrópiaáramának megváltozását!
(286,1 kW/K)
1—154. FELADAT.
Egy gázturbina körfolyamatában a turbinából kilépő forró füstgázt egy ellenáramú hőcserélőben a kompresszorból kilépő levegő előmelegítésére használják. A hőcserélőbe belépő füstgáz 500 °C hőmérsékletű és 1 bar nyomású, míg a kompresszor felől érkező levegő 200 °C hőmérsékletű és 4 bar nyomású. Mindkét közeg tömegárama 1000 kg/h. A közegek közötti hőmérsékletkülönbség a hőcserélő minden pontján azonos, 30 °C. A levegőt és a füstgázt tekintse állandó fajhőjű ideális gáznak, mindkettőre: R=286 J/(kg·K) és κ =1,4. – Határozza meg a hőcserélőben bekövetkező entrópiaáram-produkciót! – Milyen feltételek esetén nem lenne entrópiaáram-produkció?
1—155. FELADAT.
Egy 10 dm3 térfogatú, mindkét végén zárt, merev falú, hőszigetelt hengert egy hővezető és súrlódásmentesen mozgó dugattyú két azonos térfogatú részre oszt úgy, hogy a dugattyú ebben a pozícióban rögzítve is van. Az egyik oldalon 2 bar nyomású és 100 °C hőmérsékletű levegő, míg a másik oldalon 1 bar nyomású és 20 °C hőmérsékletű szén-dioxid van. A dugattyú rögzítettségét feloldva a rendszer egyensúlyba kerül. A levegőt és a szén-dioxidot tekintse állandó fajhőjű ideális gáznak, melyekre:
levM = 28,96 kg/kmol és κ =1,4, ill. 2COM = 44 kg/kmol és κ =1,3.
– Az egyensúlyi állapotban mekkora lesz a két gáz térfogatának aránya? – Mekkora az indulástól az egyensúlyi állapot beálltáig tartó folyamat
során bekövetkező entrópiaváltozás? MEGOLDÁS Jelölje 1 a folyamat előtti, 2 az egyensúlyi állapotbeli jellemzőket! Az egyensúlyi állapotban, mivel a dugattyú diatermikus és súrlódásmentesen mozog: 22,lev 2,COp p= és 22,lev 2,COT T= .
87
Jelölje 0V a henger térfogatát! Ezzel a kezdeti gáz térfogatok:
20
1,lev 1,CO 2V
V V= = , ill. 22,lev 0 2,COV V V= − .
Az ideális gáz állapotegyenletet a kezdeti és végállapotokra felírva:
1,lev 1,lev 2,lev 2,lev
1,lev 2,lev
p V p VT T
= ,
hasonlóképpen
2 2 2 2
2 2
1,CO 1,CO 2,CO 2,CO
1,CO 2,CO
p V p VT T
= ,
azaz 2,levV -re és 22,COV -re nézve egy kétismeretlenes egyenletrendszerhez
jutottunk, melyet megoldva: 22,COV =3,89 dm3 és 2,levV = 6,11 dm3.
Mivel a henger hőszigetelt, így 1,2 0Q = , mivel a henger merev falú, így
1,2 0W = , az I. főtételből következően:
2 1 1,2 1,2 0U U Q W− = + = .
Ennek alapján:
2 2 2 2 2 2lev ,lev 1,lev CO ,CO 1,CO lev ,lev 2,lev CO ,CO 2,COv v v vm c T m c T m c T m c T+ = + .
Mivel a dugattyú diatermikus, így egyensúlyi állapotban: 22,lev 2,COT T= =336 K.
Az entrópiaváltozás:
2 2
2 2 22 2
2,lev 2,levlev ,lev lev
1,lev 1,lev
2,CO 2,COCO ,CO CO
1,CO 1,CO
ln ln
ln ln
v
v
T VS m c R
T V
T Vm c R
T V
⎛ ⎞⎟⎜∆ = + +⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠⎛ ⎞⎟⎜+ + ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠
Figyelembe véve, hogy 1v
Rc =
κ − és
pVm
RT= az entrópiaváltozás:
S∆ = 0,19 J/K.
1—156. FELADAT.
Egy L=1 m magasságú, R= 0,5 m sugarú glicerinnel teljesen kitöltött centrifugadob ω =400 1/s szögsebességgel forog. A forgó dobot és vele együtt a folyadékot lassan, állandó hőmérsékleten megállítjuk. A környezeti hőmérséklet 0T = 293 K (a dob megállítása ezen a hőmérsékleten történik), a környezeti nyomás 0p = 1 bar. A glicerin 293 K
88
hőmérsékleten és 1 bar nyomáson érvényes sűrűsége: ρ =1264 kg/m3,
köbös hőtágulási együtthatója: β =0,504 310−⋅ 1/K.
– Határozza meg a folyadék entrópiájának megváltozását! MEGOLDÁS A rendszer entrópiájának megváltozása:
d
d dp
T VS mc p
T T∂= −∂
.
Mivel a centrifuga és a folyadék megállítása állandó hőmérsékleten megy végbe, következésképp . d 0T áll T= ⇒ = , ennek megfelelően
d dp
VS p
T∂= −∂
.
Vázlat és jelölések:
L
dr
R
r
r=0 A köbös hőtágulási együttható definiáló egyenlete
( )1
p
VV T
∂β =∂
alapján írhatjuk, hogy d dS V p= −β .
A folyadék egy dV térfogatrészének entrópiaváltozása felírható a d d dS V p∆ = −β ⋅ ,
mely egyenletben az elemi kis dV térfogatrész d 2 dV r L r= π formában írható fel. Forgó folyadék hely szerinti nyomáseloszlása a
( )2
20 2
p r p rω= + ρ
függvénnyel határozható meg, ahol ( )0 0p p r= = . Ezzel az elemi térfogatban a
( )2
20d
2p p p r r
ω= − = −ρ
nyomásváltozás hatására bekövetkező entrópiaváltozás
2
2d d2
S r Vω∆ = βρ ,
illetve
2
2d 2 d2
S r r L rω∆ = βρ π .
Az entrópia megváltozása:
89
2 2 4
2
0
2 d2 4
RR L
S r r L rω ω π∆ = βρ π = βρ∫ .
A megfelelő számértékeket behelyettesítve: 5001 J/K.
1.4. Változó fajhőjű ideális gázok állapotváltozásai
1—157. FELADAT.
Ismert a szén-dioxid 0 °C és 1800 °C, 0 °C és 1900 °C valamint 0 °C és 2000 °C hőmérséklettartományban érvényes átlagos izobár fajhője (lásd az alábbi táblázatot).
t, °C 0°Ct
pc , kJ/(kg·K)
1800 1,218 1900 1,226 2000 1,233
– Határozza meg az 1900 °C hőmérsékleten érvényes fajhőt! MEGOLDÁS Az 1900 °C hőmérséklet környezetében
2000 1800
50 0d7,5 10
d 2000 1800p pp c cc
t−−
= = ⋅−
kJ/(kg·K2).
Az 1900 °C hőmérsékleten érvényes izobár fajhő:
( )1900,1900°C 0
d1900 0
dp
p pc
c ct
= + − = 1,368 kJ/(kg·K).
1—158. FELADAT.
5 kg tömegű oxigén gázt kell 200 °C hőmérsékletről 600 °C hőmérsékletre állandó nyomáson felmelegíteni. Az állandó nyomáson mért közepes fajhő a 0..200 °C tartományban 935 J/(kg·K), a 0..600 °C tartományban 993 J/(kg·K). – Mennyi hőt kell a közeggel közölni? (2047 kJ)
90
1—159. FELADAT.
Egy 33 kg/kmol moláris tömegű gázkeverék kezdetben 3 bar nyomáson és 300 K hőmérséklete 0,1 m3 térfogatot tölt ki.
A gáz 0,2 m3 térfogatra expandál. Az állapotváltozást a 1,3 .pV áll= egyenlet írja le. A keveréket tekintse ideális gáznak, az állapotváltozást pedig kvázistatikusnak! A keverék izochor fajhőjét a következő egyenlet adja meg: ( ) 40,6 2,5 10vc T T−= + ⋅ ⋅ , ahol T mértékegysége K és vc mértékegysége kJ/(kg·K). – Elhanyagolva a kinetikus és potenciális energia megváltozását,
határozza meg: a gáz tömegét, a végső nyomást, a végső hőmérsékletét, a munkát és a közölt hőt!
1—160. FELADAT.
Egy 28 kg/kmol moláris tömegű gáz 2 kg-ja egy zárt, merev falú tartályban van. A tartályban egy villamos ellenálláson 10 A áram folyik át 12 V feszültségesés mellett 10 percen keresztül. A mérések azt mutatják, hogy az egyensúly beálltakor a gáz hőmérséklete 40,3 °C-kal megnőtt a kezdeti értékhez képest. A környezet felé történő hőátadás 20 W állandó értékre becsülhető. – Ideális gázt feltételezve, határozza meg a gáz izobár fajhőjének
átlagos értékét ebben a hőmérséklet tartományban a mérési eredmények alapján (a tartály hőkapacitását hanyagolja el)! (Végeredmény: 1,041 kJ/(kg·K))
1—161. FELADAT.
Egy M =30 kg/kmol moláris tömegű, ideális gázként viselkedő közeg
fajlagos entalpiáját a 5
1
ii
ih kT
==∑ egyenlet írja, mely egyenletben h J/kg-
ban, míg T K-ben értendő. A ik együtthatók értékeit az alábbi táblázat tartalmazza.
i ik
1 1298,99 2 —1,281548 3 6,774651 310−⋅ 4 —6,227057 610−⋅
91
5 2,02335 910−⋅ – Határozza meg a gáz ( )pc T és ( )vc T függvényeit!
– Milyen hőmérsékletre hűl le a gáz, ha 1p = 10 bar nyomással és
1T = 450 K hőmérséklettel adott állapotból adiabatikusan és reverzibilisen 2p = 2 bar nyomásra expandál?
MEGOLDÁS A gáz specifikus gázállandója:
RMℜ= =277,1 J/(kg·K).
Az izobár fajhő .
pp áll
hc
T =
∂=∂
definíciója alapján
( )5
1
1
ip i
ic T i kT −
== ⋅∑ ,
valamint ( ) ( )v pc T c T R= − .
Adiabatikus és reverzibilis, azaz izentropikus expanzió esetén .s áll= Felhasználva az ideális gáz entrópiafüggvényét felírható, hogy
( )2 2 2
1 1 1
d d d 0s T p
p
s T p
c T Rs T p
T p= − =∫ ∫ ∫ ,
ebből a kifejezésből
( )2 2
1 1
d dT p
p
T p
c T RT p
T p=∫ ∫ .
A kijelölt műveleteket elvégezve
( )2
1
2 1 2 32 3 4 5
1ln 2 3 4 5 d
T
T
p kR k k T k T k T T
p T= + + + +∫ ,
( ) ( )
( ) ( )
2 2 2 21 2 2 1 3 2 1
1 1
3 3 4 44 1 5 2 12
3ln ln 2
24 53 4
p TR k k T T k T T
p T
k T T k T T
= + − + − +
+ − + −
egyenlethez jutunk, melyet iterációval, próbálgatással vagy alkalmasan megválasztott gyökkereső módszerrel megoldva eredményül
2T = 334,2 K
hőmérsékletértéket kapunk.
92
1.5. Az exergia alkalmazása
1—162. FELADAT.
Egy 37,32 m3 térfogatú tartályból a benne levő 500 °C hőmérsékletű és 3 bar nyomású levegőt egy kis turbinán keresztül az 1 bar nyomású és 27 °C hőmérsékletű atmoszférába engedjük. A turbinában lejátszódó folyamat két részből áll: egy, a környezet hőmérsékletéig tartó adiabatikus és reverzibilis expanzióból, majd utána egy, a környezet nyomásán befejeződő reverzibilis, izotermikus szakaszból. Így nyerjük a tartályban lévő levegőből (egyéb, munkavégzésre önmagában is hasznosítható energia felhasználása nélkül) a legtöbb munkát. Ez a munka a közeg technikai munkavégző képessége, az ún. exergia. A levegőt tekintse állandó fajhőjű ideális gáznak, R=286 J/(kg·K) és κ =1,4. – Mennyi a tartályban lévő levegő exergiája?
1—163. FELADAT.
Egy 11.16 m3 térfogatú tartályból a benne levő 500 °C hőmérsékletű és 3 bar nyomású vízgőzt előbb egy kis turbinán, utána egy kondenzátoron keresztül vezetjük, végül a csapadékot egy kis szivattyú az 1 bar nyomású és 27 °C hőmérsékletű atmoszférába juttatjuk. A berendezésben lejátszódó folyamat három részből áll: egy, a környezet hőmérsékletéig tartó adiabatikus és reverzibilis expanzióból, utána egy, a környezet hőmérsékletén lezajló kondezációból, végül a légkör nyomásán befejeződő reverzibilis, izotermikus szivattyúzásból. A szivattyú munkáját, mivel az nagyon kicsi, elhanyagoljuk. Így nyerjük a tartályban lévő vízgőzből (egyéb, munkavégzésre önmagában is hasznosítható energia felhasználása nélkül) a legtöbb munkát. Ez a munka az ún. technikai munkavégző képesség, az exergia. A vízgőz jellemzőit vegye vízgőztáblázatból! – Mennyi a tartályban lévő vízgőz exergiája?
1—164. FELADAT.
Egy állandósult üzemben működő hőszigetelt turbinába levegő lép be 5 bar nyomáson, 400 K hőmérsékleten, 150 m/s sebességgel. A turbina kilépésénél a levegő állapota 1 bar, 300 K, 70 m/s. A potenciális energia változása elhanyagolható.
93
– Határozza meg a turbinán átáramló egységnyi tömegű levegőáramból kinyert munkát!
– Határozza meg a maximális elméleti munkát egységnyi levegő tömegáramra, melyet egy egy-belépésű egy-kilépésű berendezéssel (ellenőrző felületben) lehetne kinyerni állandósult üzemben! A levegő állapota a belépésnél és a kilépésnél a fentiek szerint alakul, és a hőforgalom csak 0T hőmérsékleten megy végbe.
– Vesse össze az eredményeket a két esetre! Legyen 0T = 300 K és
0p = 1 bar.
1—165. FELADAT.
A levegőt 2 bar nyomásról és 27 °C hőmérsékletről állandó nyomáson melegítjük belső irreverzibilitások nélküli folyamatban, egészen 227 °C-ig. A levegőt tekintse állandó fajhőjű ideális gáznak, R=286 J/(kg·K) és κ =1,4.
— Határozza meg 1 kg levegő esetére a munkát, a hőforgalmat és a munkával és hőforgalommal együtt változó exergiát zárt és nyitott rendszerre egyaránt! Legyen 0T = 280 K és 0p = 1 bar.
1—166. FELADAT.
Egy merev falú, hőszigetelt tartályban kezdetben 27 °C hőmérsékletű és 1 bar nyomású levegő van. Egy keverőlapáttal a levegő nyomását 1,2 bar-ra növeljük. – Határozza meg 1 kg levegőre a végzett munkát és az anergiát! A
potenciális és kinetikus energia megváltozása elhanyagolható! Legyen 0T = 280 K és 0p = 1 bar.
1—167. FELADAT.
Egy légturbinában a levegőáram 5 bar nyomásról és 350 K hőmérsékletről adiabatikusan a környezeti nyomásra (1 bar) expandál, a levegő expanzió utáni hőmérséklete 250 K. A környezeti hőmérséklet 300 K. – Mekkora az expanzió során fellépő fajlagos exergiaveszteség?
(37248 J/kg) – Mekkora a fajlagos munkaveszteség egy reverzibilis és adiabatikus
expanzióval szemben azonos belépő állapot és kilépő nyomás esetén? (29116 J/kg)
94
A levegő állandó fajhőjű ideális gáznak tekintendő! A kinetikus és potenciális energiaváltozások elhanyagolhatók. A levegő fajhői: cp = 1004 J/(kg⋅K), cv = 717 J/(kg⋅K)
1—168. FELADAT.
Egy 1000 kg tömegű test 1000 m magasan 200 m/s sebességgel repül. A test hőmérséklete 200 °C, a környezet 15 °C hőmérsékletű. A test fajhője 700 J/(kg⋅K). – Határozza meg a test munkavégző képességét! (59,29 MJ)
1—169. FELADAT.
Egy merev falú tartály kezdetben 5 kg tömegű, 0,5 MPa nyomású és 500 K hőmérsékletű levegőt tartalmaz. Belőle a levegőt egy turbinán keresztül a környezetbe áramoltatjuk, egészen addig, míg a tartályban a nyomás 0,1 MPa-ra csökken. Eközben munkát nyerünk. A környezet nyomása 0,1 MPa, hőmérséklete 300 K. A levegőt tekintse állandó fajhőjű ideális gáznak, R=286 J/(kg·K) és κ =1,4.
— Tekintse a folyamatot adiabatikusnak, és határozza meg az így maximálisan kinyerhető munkát!
1—170. FELADAT.
Egy hőszigetelt turbinába állandósult állapotban 3 MPa nyomású, 500 °C hőmérsékletű és 7 kg/s tömegáramú vízgőz lép be, és abból 0,3 MPa nyomáson lép ki. A potenciális és kinetikus energia megváltozása elhanyagolható. A vízgőz jellemzőit vegye vízgőztáblázatból!
— Határozza meg a turbinából elméletileg kinyerhető maximális teljesítményt (4383 kW) és a megfelelő kilépő hőmérsékletet (183,1 °C)
95
2. Többfázisú rendszerek
2.1. Gőz-folyadék egyensúlyi rendszerek
2—1. FELADAT.
Jól hőszigetelt merev falú tartályban lévő, ismeretlen fázisarányú, 1 bar nyomású, 100 dm3 térfogatú, 0,1 kg tömegű kétfázisú közeggel 50 kJ hőt közlünk. A hőközlés után a keverék közeg nyomása 3 bar, az entalpiája pedig 140 kJ. A kezdeti állapotban a telített folyadék fajlagos entalpiája 189 kJ/kg, míg a telített gőzé 1300 kJ/kg. – Mekkora az egyes fázisok tömege a kezdeti állapotban?
MEGOLDÁS
A zárt rendszerre az I. Főtételt írhatjuk fel, azaz U Q∆ = .
Az entalpia definícióját felírva: H U pV= + .
A fenti egyenleteket a folyamat előtti entalpiára rendezve: 1 2H H Q pV= − −∆ = 70 kJ.
A kétfázisú közeg fajlagos entalpiája a folyamat előtt:
11
Hh
m= = 700 kJ/kg.
Ez az érték a fázisok arányával számítható ki: ( )1 1 1 1 11h x h x h′′ ′= + − .
Ezt az egyenletet a fázisarányra rendezve és megoldva: x1 = 0,46. A fázisok tömege a kezdeti állapotban: gőz: 0,046 kg; folyadék: 0,054 kg.
2—2. FELADAT.
Egy keverő kondenzátorban 0,1 bar nyomású és 85 % gőztartalmú, 10000 kg/h tömegáramú nedves gőz kondenzálódik. A kondenzátorba 20 °C hőmérsékletű vizet fecskendeznek be. A keverő kondenzátorban a gőz és a beporlasztott víz keveredik egymással, a berendezésben telített folyadék keletkezik állandó nyomáson.
96
– Határozza meg a szükséges hűtővíz tömegáramot ( vízc = 4,17 kJ/(kg·K))!
– Számítsa ki az irreverzibilitás miatt bekövetkező entrópiaáram-növekedést!
MEGOLDÁS A kondenzálódó gőz jellemző a T—s vagy h—s diagramról leolvasva: st = 46 °C
h′′ = 2584 kJ/kg, ebből a gőz entalpiája: h x h′′= ⋅ = 2196,4 kJ/kg
víz sh c t′ = ⋅ = 191 kJ/kg.
A gőz által leadott hőmennyiség, amit a víz vesz fel:
( )Q m h h′= − = 5570,6 kW.
A szükséges hűtővíz tömegáram: ( )
=−víz
víz s víz
Qm
c t t = 51,37 kg/s.
A víz entrópiaáram változása: svíz víz víz
vízln
TS m c
T∆ = = 18,20 kW/K.
A gőz entrópiaáram változása (az entrópia értékeket a diagramról leolvasva: s = 7,02 kJ/(kg·K), s’ = 0,6492 kJ/(kg·K)):
( )gS m s s′∆ = − = 17,69 kW/K.
Az irreverzibilitás miatti entrópiaáram növekedés:
víz gS S S∆ = ∆ −∆ = 0,5 kW/K.
2—3. FELADAT.
Egy közeg száraz, telített gőzének entalpiája 1555 kJ/kg, telített folyadékáé pedig 666 kJ/kg 130 °C hőmérsékleten. A folyadékot tekintse összenyomhatatlannak, a fajhőjét pedig vegye 4 kJ/(kg⋅K)-nek. – Mekkora entrópiaváltozást szenved el a közeg kilogrammonként, ha azt
a 130 °C hőmérsékletű száraz, telített gőz állapotból elindulva 30 °C hőmérsékletű folyadékká alakítjuk?
– Ábrázolja a folyamatot T—s diagramban! MEGOLDÁS A folyamat T—s diagramban:
97
T 1
s
T
s1
s 2
T 2
Az entrópia teljes megváltozása folyamatot két szakaszra bontva írható fel:
1. szakasz: kondenzáció állandó hőmérsékleten: 11 1
q h hs
T T′′ ′∆ −∆ = =
2. szakasz: folyadékhűtés állandó nyomáson: 1
2
12
2d ln
T
T
c Ts T c
T T∆ = =∫
Az entrópia teljes megváltozása: = 3,35 kJ/(kg·K). t Ezzel 2 1s s− = —3,35 kJ/(kg·K).
2—4. FELADAT.
Egy keverő kondenzátorban 0,1 bar nyomású és 85 % gőztartalmú, 10000 kg/h tömegáramú nedves gőz kondenzálódik. A kondenzátorba 20 °C hőmérsékletű vizet fecskendeznek be. A keverő kondenzátorban a gőz és a beporlasztott víz keveredik egymással, a berendezésben telített folyadék keletkezik állandó nyomáson.
– Határozza meg a szükséges hűtővíz tömegáramot ( vízc = 4,17 kJ/(kg·K))!
Számítsa ki az irreverzibilitás miatt bekövetkező entrópiaáram-növekedést! MEGOLDÁS A kondenzálódó gőz jellemző a T—s vagy h—s diagramról leolvasva: st = 46 °C
h′′ = 2584 kJ/kg, ebből a gőz entalpiája: h x h′′= ⋅ = 2196,4 kJ/kg,
víz sh c t′ = ⋅ = 191 kJ/kg.
A gőz által leadott hőmennyiség, amit a víz vesz fel:
( )Q m h h′= − = 5570,6 kW.
A szükséges hűtővíz tömegáram:
98
( )víz
víz s víz
Qm
c t t=
− = 51,37 kg/s.
A víz entrópiaáram változása:
svíz víz víz
víz
lnT
S m cT
∆ = = 18,20 kW/K.
A gőz entrópiaáram változása (az entrópia értékeket a diagramról leolvasva:
s = 7,02 kJ/(kg·K), s’ = 0,6492 kJ/(kg·K)):
( )gőzS m s s′∆ = − = 17,69 kW/K.
Az irreverzibilitás miatti entrópiaáram növekedés:
víz gőzS S S∆ = ∆ − ∆ = 0,5 kW/K.
2—5. FELADAT.
Egy folyadék-folyadék hőcserélőben, melynek hőteljesítménye 10 MW, az egyik közeg 200 °C-ról 155 °C-ra hűl, miközben a másik közeget felmelegíti 100 °C-ról 180 °C-ra. A melegebb közeg izobár fajhője 4 kJ/(kg·K), állandó érték, míg a hidegebb közeg izobár fajhője 3,8 kJ/(kg·K), állandó érték.
– Ábrázolja a hőcserélőben végbenő folyamatot T S− diagramban! – Határozza meg az irreverzibilitás miatt bekövetkező entrópiaáram-
növekedést! MEGOLDÁS
A folyamat T S− diagramban:
T
S
S∆1
21
2
A melegebb közeg tömegárama: ( )m
,m 2 1p
Qm
c T T=
−= 55,56 kg/s.
99
A melegebb közeg entrópiaáram-változása:
1
1m m ,m m ,m
22
dlnp p
T TS m c m c
T T∆ = =∫ = 22208,6 W/K.
A hidegebb közeg tömegárama: ( )h
,h 2 1p
Qm
c T T=
−= 32,9 kg/s.
A hidegebb közeg entrópiaáram-változása:
2
2h h ,h h ,h
11
dlnp p
T TS m c m c
T T∆ = =∫ = 24284,2 W/K.
Az irreverzibilitás miatti entrópiaáram-növekedés:
h mS S S∆ = ∆ −∆ = 2075,6 W/K.
2—6. FELADAT.
Egy 100 dm3 térfogatú, merev falú acéltartályban 0,1 fajlagos gőztartalmú, 2 bar nyomású gőz-víz keverék található. — Mennyi hőt kell a rendszerrel közölni, hogy a tartályban éppen száraz
telített állapotú gőz legyen? — Ábrázolja a folyamatot vízgőz T—s diagramban! — Mennyivel változik meg a közeg entrópiája? MEGOLDÁS A folyamat T—s diagramban:
0
100
200
300
400
500
600
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
T
s , kJ/(kgK)
°C
v= áll.
1
2
x= 0,1
Az állandó fajtérfogat: v= 0,08949 m3/kg
100
A hőközlés utáni nyomás: p2= 22,3 bar. Entalpiaértékek: h1= 724,86 kJ/kg; h2= 2799,3 kJ/kg. Entrópiaértékek: s1= 2,0897 kJ/(kg·K); s2= 6,2964 kJ/(kg·K). A közlendő hő fajlagos mennyisége megegyezik a belső energia megváltozásával:
( ) ( ) ( ) ( )2 1 2 2 1 1 2 1 2 1q u u h p v h p v h h v p p= − = − − − = − − − =
= 1892,77 kJ/kg.
A keverék közeg tömege: V
mv
= = 1,11 kg.
A közölt hő: Q = mq = 2115,1 kJ. A rendszer entrópiájának megváltozása: ( )2 1S m s s∆ = − =4,67 kJ/K.
2—7. FELADAT.
Egy 100 dm3 térfogatú, merev falú acéltartályban 0,9 fajlagos gőztartalmú, 20 bar nyomású gőz-víz keverék található. — Mennyi hőt kell a rendszerből elvonni, hogy hőmérséklete 124 °C-ra
csökkenjen? — Ábrázolja a folyamatot T—s diagramban!
MEGOLDÁS
A folyamat T—s diagramban:
0
100
200
300
400
500
600
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
T
s, kJ/(kgK)
°C
20 bar
124 °C v= áll.
1
2 x= 0,9
A hőelvonás utáni nyomás: p2= 2,5 bar. Entalpiaértékek: h1= 2590 kJ/kg; h2= 770 kJ/kg.
101
Az elvonandó hő fajlagos mennyisége megegyezik a belső energia megváltozásával:
( ) ( ) ( ) ( )2 1 2 2 1 1 2 1 2 1q u u h p v h p v h h v p p= − = − − − = − − − =
= 1496 kJ/kg.
A keverék közeg tömege: V
mv
= = 1,11 kg.
Az elvont hő: Q = mq = 1662 kJ.
2—8. FELADAT.
Folyamatosan rendelkezésre álló, 2000 kg/h tömegáramú, 150 bar nyomású telített vizet 50 bar nyomásra fojtunk, majd a fázisokat szétválasztva a keletkezett gőzt egy 88 % belső hatásfokú turbinában 0,05 bar nyomásig expandáltatjuk.
– Ábrázolja a teljes folyamatot vízgőz T-s diagramban! – Határozza meg a turbina teljesítményét!
MEGOLDÁS A folyamat T-s diagramban:
0
100
200
300
400
500
600
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
T
s , kJ/(kgK)
°C
p3
p1p2
fojtás1
22"
3 4
expanzióx= áll.
A fojtás utáni gőztartalom (a diagramról leolvasva, vagy fordított karok szabálya): 2x = 0,27.
A keletkező gőz mennyisége: gm x m= ⋅ = 0,15 kg/s.
Reverzibilis expanzió a 2”-3 pontok között, entalpiákat leolvasva: 2"h = 2794,18 kJ/kg és 3h = 1820,2 kJ/kg.
A turbina hatásfokának figyelembevételével: ( )4 2" 2" 3h h h h= − η − = 1937,06 kJ/kg.
102
A turbina teljesítménye: ( )g 2" 4P m h h= − = 128,6 kW.
2—9. FELADAT.
Egy levegő cseppfolyósító berendezés a következő módon működik: A nagy nyomásra komprimált (1) közeget egy hőcserélőben való izobár lehűtést (2) követően egy fojtáson átvezetve (3) a keletkező két fázist egy szeparátorban szétválasztjuk. A folyadék fázist elvezetjük, a gőz fázist pedig a komprimált közeg hűtésére használjuk fel. Az entalpiák értékei az egyes pontokban: h1= 280 kJ/kg; h2= 70 kJ/kg; h'3= —126 kJ/kg; h"3= 80 kJ/kg. A gőzfázisban: cp=1,04 kJ/(kg·K). – Ábrázolja a folyamatot T—s diagramban! – Határozza meg hány százaléka cseppfolyósítható a komprimált
levegőnek és mekkora lesz a hőcserélőből távozó levegő hőmérséklete? MEGOLDÁS A feladatban leírt folyamat alapján a cseppfolyósítás a T—s diagramban:
3' 3
4
5
T
s
3"
1
2
Az entalpiaértékek: h1= 280 kJ/kg; h2= 70 kJ/kg; h3’= —126 kJ/kg; h3"= 80 kJ/kg; cp= 1,04 kJ/(kg·K). A 2—3 szakaszon a fojtás miatt az entalpia állandó. h2=(1—x)h3'+xh3"=70 kJ/kg. A gőztartalom a fordított karok szabályának felhasználásával x=(h3—h3')/(h3"—h3')=0,951
103
ebből a folyadék mennyisége =1—0,951=0,049 a 3"—4 szakaszon x kg/kg közeg áramlik, így a hőcserélő hőmérlege: (h1—h2)=x(h4—h3"). Az előző egyenletből: h4=h3"—(h1—h2)/x=300,8 kJ/kg. Ez alapján a kérdéses hőmérséklet t4=300,8/1,04 — 273,15 = 16,3 °C.
2—10. FELADAT.
A folyékony levegő előállításához állandósult állapotban egy berendezés 1 bar nyomású és 300 K hőmérsékletű levegőt 200 bar-ra komprimál. Ezután egy hőszigetelt ellenáramú hőcserélőben izobár módon lehűtik a levegőt, majd 1 bar-ra fojtják. Az itt keletkező folyékony levegőt leválasztják. A nem folyékony rész szolgál az ellenáramú hőcserélőben a a komprimált levegő hűtésére. Az ellenáramú hőcserélőt a levegő hőcserélőt 290 K hőmérséklettel hagyja el. – Készítse el a berendezés kapcsolási vázlatát és ábrázolja a
körfolyamatot p—v és T—s diagramban! – A komprimált levegő hány százaléka kondenzálódik?
Az eredmény növelése érdekében a komprimált levegő 25 %-át az ellenáramú hőcserélőből elvezetik és egy turbinában expandáltatják 1 bar-ra, majd visszavezetik az ellenáramú hőcserélőbe. A turbinában a közeg 32 kJ/kg fajlagos munkát végez. – A komprimált levegő hány %-a kondenzálódik ebben az esetben? – Mekkora nyomásra kell a levegőt komprimálni, ha az egész
levegőáramot adiabatikusan lefojtják, és a folyamat annyira hatásos, mint az előző részben (a komprimált levegő ugyanakkora %-a válik folyékonnyá)?
A kinetikus és potenciális energiaváltozások elhanyagolhatók. A levegő viselkedésére a vizsgált tartományban a következő állapotegyenlettel írható le:
= +pv RT bp ,
ahol −= − ⋅ 48 10b m3/kg. A levegő fajlagos entalpiaértékei:
p, bar h kJ/kg, 300 K-en h kJ/kg, 290 K-en h' kJ/kg h'' kJ/kg 1 300 290 -127 78
200 266 - - -
104
2—11. FELADAT.
Egy merev falú, 100 dm3 térfogatú tartály biztonsági szelepe 6 bar nyomás esetén nyit. A tartályban 60 kg tömegű, 1 bar nyomású telített víz van. A vizet addig melegítik, ameddig a szelep ki nem nyílik. – Ábrázolja a folyamatot p—v diagramban! – Határozza meg a gőz mennyiségét 1 bar és 6 bar esetére! – Mennyi hőt kell közölni, hogy 6 bar nyomás mellett 20 kg száraz,
telített gőz a biztonsági szelepen kiáramoljon? A kiáramló gőz kinetikus energiája, a potenciális energia megváltozása, ill. a tartály hőkapacitása elhanyagolható. A szükséges gőzparaméterek:
p, bar t, °C h′ , kJ/kg h′′ , kJ/kg v′ , m3/kg v′′ , m3/kg 1 100 417 2674 0,00104 1,694 6 159 670 2755 0,00110 0,316
2—12. FELADAT.
Egy hengerben 4 liter kiindulási térfogat mellett, 0,1 kg, 20 °C hőmérsékletű vizet 100 bar nyomásra komprimálunk. – Ábrázolja a reverzibilis és adiabatikus kompressziót T—s diagramban!
Számítsa ki a bevitt munkát! – Ábrázolja az izotermikus kompressziót p—v diagramban! Számítsa ki,
hogy mennyi hőt és munkát kell közölni! A számításhoz a vizet összenyomhatatlan közegnek tekintjük. A szükséges gőzparaméterek a következő táblázatban találhatók: t, °C p, bar v´ m3/kg v" m3/kg h' kJ/kg h" kJ/kg s’ kJ/(kg·K) s" kJ/(kg·K) 20 0,023 0,001 57,72 83,9 2538 0,296 8,688 584 100 0,0015 0,02 1408 2727 3,360 5,620
100 bar nyomás mellett a gőzre igaz: = +pv RT ap ,
ahol a=—2,45·10—2 m3/kg, R=461 J/(kg·K) és cp = 2,45 kJ/(kg·K).
2—13. FELADAT.
0,7 fajlagos gőztartalmú nedves gőzt állítunk elő egy hőszigetelt keverő-kamrában. 10 bar nyomású száraz telített gőzt adiabatikusan 1,01 bar-ra fojtunk, és 20° C hőmérsékletű vízzel 1,01 bar nyomás mellett összekeverünk.
– Ábrázolja a gőz és a víz állapotváltozásait közös h—s diagramban! – Hány kg vízgőzt kell a vízhez hozzáadni, ha 1 kg nedves gőzt
szeretnénk előállítani?
105
A kinetikus és potenciális energiaváltozások elhanyagolhatók. A szükséges gőzparaméterek:
p, bar t, °C h’, kJ/kg h’’, kJ/kg s’, kJ/(kg·K) s’’, kJ/(kg·K) 1,01 100 419 2674 1,30 7,36 10 180 763 2778 2,13 6,59
2—14. FELADAT.
Egy külsőleg hőszigetelt, 2 dm3 térfogatú merev tartály 150 kg tömegű és 7 bar nyomású vízzel van megtöltve. Egy vezetéken addig vezetnek hozzá 12 bar nyomású száraz telített vízgőzt, amíg a nyomás a tartályban 11 bar-ra változik.
– Mekkora a gőz tartalom a tartályban a feltöltés előtt? – Hány kg száraz telített vízgőzt kell a tartályba vezetni?
A kinetikus és potenciális energiaváltozások elhanyagolhatók. A száraz telített vízgőz entalpiája: h” = 2783 kJ/kg. A szükséges gőzparaméterek:
p, bar v’, m3/kg v’’, m3/kg u’, kJ/kg u’’, kJ/kg 7 0,00111 0,2727 686 2571 11 0,00113 0,1774 780 2585
2—15. FELADAT.
Mekkora a forrási hőmérséklete a 0,05 bar nyomású víznek, ha 50 bar-on 264 °C? A forrásban levő folyadék térfogata a vízgőz térfogatával szemben elhanyagolható. A vízgőz állandó fajhőjű ideális gáznak tekintendő, R = 460 J/(kg⋅K). A vizsgált tartományban elfogadható hogy a párolgási hő állandó, r = 2266 kJ/kg.
2—16. FELADAT.
Egy függőlegesen álló, kívül hőszigetelt 2 liter térfogatú henger, ami felső részén egy hőáteresztő, súrlódásmentesen mozgó dugattyúval van lezárva, 87 g tömegű 453 K hőmérsékletű vízgőzt tartalmaz. A hengerbe beépített fűtés a nedves gőz nedvesség-tartalmát elpárologtatja. – Mekkora az elpárologtatáshoz szükséges hőmennyiség?
A vizsgált tartományban a következő állapotegyenlet érvényes:
= + + 2p a bT cT ,
ahol a = 559 bar, b = —2,64 bar/K és c = 3,15·10—3 bar/K2. A száraz, telített gőz állandó fajhőjű ideális gáznak tekintendő, R = 460 J/(kg⋅K). A forró víz fajtérfogata elhanyagolható.
106
2—17. FELADAT.
Egy dugattyúval lezárt hengerben száraz, telített vízgőz 1t =152 °C,
1p = 5 bar állapotból 2p = 0,5 bar nyomásra reverzibilisen expandál. Hőbevezetéssel az expanziót a száraz tartományban tartjuk.
– Határozza meg a vízgőz expanzió utáni hőmérsékletét! – Mennyi a vízgőz fajlagos entrópia-változása? – Mennyi hőt kell kilogrammonként a vízgőzhöz vezetni az expanzió
során? A vízgőz párolgáshője a vizsgált hőmérséklet tartományban r = 2250 kJ/kg. A forrásban lévő víz fajtérfogata a száraz, telített gőz fajtérfogatával szemben elhanyagolható. A száraz, telített gőz állandó fajhőjű ideális gáznak tekintendő, R = 460 J/(kg⋅K), cp = 1900 J/(kg⋅K)
2—18. FELADAT.
Egy hőszigetelt, merev falú, 1,4 dm3 térfogatú tartály nedves vízgőzt tartalmaz (fajlagos gőztartalom: x = 0,85) 14 bar nyomás mellett.
– Mennyi 15 °C hőmérsékletű és 15 bar nyomású vizet kell a tartályba porlasztani, hogy a tartályban lévő gőz nyomása 7 bar-ra csökkenjen?
A gőz paraméterek a következő táblázatban találhatók: p, bar v', m3/kg v'', m3/kg u', kJ/kg u'', kJ/kg 7 0,00111 0,2728 696 2573 14 0,00115 0,1408 828 2593
A folyékony víz entalpiája 15 bar nyomás és 15°C hőmérséklet mellett: hvíz = 64 kJ/kg. A beporlasztott víz kinetikus és potenciális energiaváltozása elhanyagolható.
2—19. FELADAT.
Egy merev falú, 0,4 dm3 térfogatú tartály 40 kg vizet tartalmaz. A vizet addig melegítjük, amíg a nyomás 40 bar-ra emelkedik. Ekkor kinyílik egy szelep, amely további hőbevezetés esetén száraz, telített vízgőzt enged ki a tartályból állandó, 40 bar nyomás mellett, amíg minden folyadék el nem párolog a tartályban.
– Ábrázolja p—v diagramban az állapotváltozásokat! – Mennyi hőt kell a tartályba összesen bevezetni?
Részletek a gőztáblázatból:
107
t, °C p, bar v', m3/kg v'', m3/kg h', kJ/kg· h'', kJ/kg 180 10 0,00113 0,194 763 2780 250 40 0,00125 0,050 1085 2800
2—20. FELADAT.
Egy dugattyúval lezárt hengerben 100 °C hőmérsékletű víz van telítési állapotban. A henger és a dugattyú hőszigetelt. A dugattyú visszahúzásával a víz lassan expandál addig, amíg a hőmérséklet 50 °C-ra nem süllyed.
– Ábrázolja az állapotváltozásokat T—s és p—T diagramban! – Határozza meg az expanzió utáni nyomást! – Számítsa ki a fajtérfogatot az expanzió után!
A víz expanziója reverzibilisnek tekinthető. A vízgőz állandó fajhőjű ideális gáznak tekintendő: R = 460 J/(kg⋅K). A forrásban levő víz fajtérfogata a vízgőz fajtérfogatával szemben elhanyagolható. A vizsgált tartományban konstansnak tekintendő a víz sűrűsége 960 kg/dm3, a fajhője 4,2 kJ/(kg⋅K), a párolgási hője 2320 kJ/kg.
2—21. FELADAT.
Egy 3 dm3 térfogatú merev tartály vizet tartalmaz (a gőztartalom x= 0,1, p = 35 bar). A tartályból folyékony víz áramlik ki, ameddig a tartály víztartalmának a fele ki nem ürül. A kiáramlás alatt a tartályba hőt vezetnek, annyit, hogy a tartályban a nyomás állandó értéken maradjon.
– Hány kg vizet tartalmaz a tartály a kiáramlás előtt? – Mekkora a tartály gőztartalma a kiáramlás után? – Mennyi hőt kell a tartályba vezetni a kiáramlás alatt?
A kiáramló folyékony víz kinetikus és potenciális energiája elhanyagolhat. A gőztáblázat megfelelő adatai:
p, bar v’, m3/kg v’’, m3/kg h’, kJ/kg h’’, kJ/kg 35 0,00123 0,0570 1050 2802
2—22. FELADAT.
Egy 0,1 dm3 térfogatú, merev tartályban folyékony és gőz állapotú víz van 90°C hőmérséklet mellett egyensúlyban. Hőbevezetéssel a víz kritikus állapotba kerül. – Mutassa be p—v diagram segítségével a víz állapotait!
108
– Mutassa be a különböző halmazállapotok és a két fázis területeit, valamint a felmelegítési folyamatot a diagramon!
– Határozza meg a tartály tartalmának tömegét! – Mekkora a kezdeti gőz mennyisége? – Mennyi hőt kell bevezetni ahhoz, hogy elérjük a kritikus állapotot?
A gőztáblázat szükséges adatai: t, °C p, bar v', m3/kg v'', m3/kg h', kJ/kg· h'', kJ/kg 90 0,721 0,001036 2,361 376,94 2660,1 374,15 221,2 3,17 0,00317 2107,4 2107,4
2—23. FELADAT.
Állapítsa meg 105 °C hőmérsékletű víz telítési nyomását a CLAUSIUS-CLAPEYRON egyenlet segítségével!
s, barp o, Ct , kJ/kgr 3, m /kgv′ 3, m /kgv′′
1,014 100 2246 0,0010435 1,419 A vizsgált tartományban v’, v” és r állandó értékek.
2—24. FELADAT.
Az n-bután gőznyomása a következő egyenlettel írható le:
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⋅ −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦0
0 0exp 1
aT T
p p BT T
,
ahol p0 = 0,8 bar, T
0 = 266.5 K, a = —5,8, B = 16. Az n-bután gáz állandó fajhőjű ideális gáznak tekintendő. A folyékony n-bután sűrűsége 10 °C hőmérsékleten 590 kg/dm3. Az n-bután móltömege: M = 58 kg/kmol. – Mekkora a párolgási hő grammonként 10 °C hőmérsékletű n-bután
esetén?
2—25. FELADAT.
Egy kísérleti berendezést folyékony N2 hűtünk, amely környezeti nyomáson (1 bar) 77,3 K hőmérsékleten forr. A N2 gőz elszívása miatt a forrási hőmérséklet 65 K-re süllyed. Mekkora térfogatáramnak kell a száraz telített N2—be pumpálni, ha a berendezésből 0,8 kJ/s hőáramot kell elvonni? A vizsgált állapotok tartományában a folyadék sűrűsége sokkal nagyobb, mint a gázé. A párolgáshőt, mint konstans tekintjük. A
109
gőznyomás görbére igaz a következő: = −0
lnp
A BTp
, ahol p0 = 1 bar,
A = 8,7 és B = 673 1/K
2—26. FELADAT.
Egy 0,01 dm3 tartály 2 kg 5°C hőmérsékletű metil-kloridot tartalmaz. Amennyiben véletlen hőbevezetés során a tartály nyomása p2 = 11 bar-ra növekszik, egy membrán elpattan, és a metil-klorid egy második, vákuumot tartalmazó tartályba ömlik. Az átáramlás adiabatikusnak tekintendő, a tartály hőkapacitása elhanyagolható. Mekkora legyen a tartály, ha a kialakuló nyomás nem lehet nagyobb, mint 6 bar? Mutassa be az állapotokat p—v diagramon! A metil-klorid táblázata:
t, °C p, bar v', m3/kg v'', m3/kg h', kJ/kg h'', kJ/kg 5 3 0,001053 0,1402 426 836
27,5 6 0,001104 0,0722 462 836 50,0 11 0,001164 0,0408 499 843
2—27. FELADAT.
Egy súrlódásmentesen elmozduló dugattyúval zárt hengerben 0,1 m3 víz és 0,9 m3 gőz van egyensúlyi állapotban 500 kPa nyomáson. Állandó nyomáson addig melegítjük ezt a keveréket, míg hőmérséklete eléri a 200 °C-ot.
– Mekkora volt a hőmérséklet a melegítés kezdetekor?
– Határozza meg a víz kezdeti tömegét!
– Határozza meg a melegítés utáni térfogatot! Ábrázolja a folyamatot p—v és T—s diagramokban!
2—28. FELADAT.
Egy ismeretlen térfogatú tartályt két részre választ egy fal. Az egyik részben 0,01 m3 térfogatú 0,8 MPa nyomású telített folyadék állapotú R12 hűtőközeg (freon) található, a másik részben vákuum uralkodik. Az elválasztást megszüntetve a hűtőközeg a teljes teret kitölti. A végállapot 25 °C és 200 kPa.
– Határozza meg a tartály teljes térfogatát! Végeredmény: 1,26 m3.
110
2—29. FELADAT.
Túlhevített vízgőzt (1 MPa és 300 °C) állapotból 150 °C-ra hűtünk le állandó térfogaton.
– Határozza meg a hűtés befejeztével a közeg nyomását, fajlagos gőztartalmát és fajlagos entalpiáját!
– Fajlagosan mennyi hőt kell elvonni a kívánt hőmérséklet eléréséhez?
– Ábrázolja a folyamatot T—v és T—s diagramokban Végeredmények: =2p 476 kPa; =2x 0,1129; =2h 870,88 kJ/kg;
=elq —1850,57 kJ/kg.
1
2
300 °C
150 °C
v=0,0453 m3/kg
x=0,113h=871 kJ/kg
111
2—30. FELADAT.
Egy súrlódásmentesen elmozduló dugattyúval zárt hengerben kezdetben 50 liter térfogatú, 25 °C hőmérsékletű és 300 kPa nyomású víz van. Állandó nyomáson addig melegítjük, míg a teljes mennyiség gőzzé nem alakul.
– Mekkora a víz tömege?
– Mekkora a véghőmérséklet?
– Mennyivel változik a közeg entalpiája?
– Ábrázolja a folyamatot T—v és T—s diagramban! Végeredmények: =m 49,85 kg; =st 133,54 °C; ∆ =H 104,31 MJ.
2.2. Szilárd-folyadék egyensúlyi rendszerek
2—31. FELADAT.
Egy l = 10 cm szélességű jégtáblára b = 1 mm vastagságú elhanyagolható tömegű acéllapot helyeztünk. Az acéllap két végére előzőleg m = 10 kg tömeget függesztettünk fel. A rendszer és környezetének hőmérséklete t0 = 0 °C állandó. Milyen változást tapasztalunk egy bizonyos idő eltelte után ? Határozzuk meg e változás sebességét (a környezeti nyomás légköri). Adatok
229,48kJ
km sK
⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎣ ⎦
— hőátbocsátási tényező, 3916jég
kgm⎡ ⎤
ρ = ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
,
330757olv
Jr
kg
⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎣ ⎦
, 3
3' 10m
vkg
− ⎡ ⎤= ⎢ ⎥
⎣ ⎦,
33''' 1,0905 10
mv
kg− ⎡ ⎤
= ⋅ ⎢ ⎥⎣ ⎦
MEGOLDÁS A b szélességű 2 m tömegű acéllap alatt ( b.l ) területen a környezeti
nyomáshoz viszonyítva 621,962 10
m gP
l b⋅
∆ = = ⋅⋅
nagyságú nyomásváltozás
jön létre. A 0P P P= + ∆ nyomásértékhez tartozó Tolv fagyási (olvadási) hőmérséklet azonban kisebb, mint a T0 környezeti hőmérséklet és így a jég
112
az acéllap alatt megolvad. Ennek következtében az acéllap lassan süllyedni kezd és átvágja a jeget. A lesüllyedt acéllap felett a megolvadt víz ismét megfagy, mivel itt a nyomás újra csak P0 és az ehhez tartozó fagyási hőmérséklet éppen a környezeti T0. Mivel a lemez felett a hőmérséklet T0, a lemez alatt a ( 0P P+ ∆ ) —hez tartozó ( 0T T− ∆ ) telítési hőmérséklet kisebb, ezért a T∆ hőmérséklet hatására q hőáram jön létre, amely biztosítja az olvadáshoz szükséges hőt. τ idő múlva a lemez teljesen lesüllyed, átvágja a jeget.
p
p 0
T 0
SZILÁRD
GÁZ
FOLY.
T
∆T
T -∆T 0
p +∆p 0
A tiszta víz P-t diagrammja
Így a jellemző változás a lemez süllyedés, melynek sebességét az alábbi módon határozhatjuk meg. A telítési hőmérséklet a Clapeyron egyenletből
[ ]3 3
6( ' ''') 273(10 1,0905 10 )1,962 10 0,1465
330757olv
T v vT P K
r
− −⋅ − − ⋅∆ = ∆ = ⋅ = −
A hőáramsürűség q k T= ⋅ ∆
Ahol (tájékosztatásul)
113
1
lev acéllapacéllap
k
−
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟=
δ⎜ ⎛ ⎞ ⎟α + ⎜ ⎟⎜ ⎟λ⎝ ⎠⎝ ⎠
Elemi dτ idő alatt transzportált összes hő dm tömegű jeget olvaszt meg, így a hőmérleg olvr dm q l b d= ⋅ ⋅ τ
Ahol jég jégdm dV b l dy= ρ = ρ ⋅ ⋅
Egyszerűsítve és hőáramot beírva olv jégr dy k T d⋅ ρ = ∆ τ
A süllyedési sebesség pedig
29480 ( 0,1465)
0,000014 0,014330757 916olv jég
dy k T m mmd r s s
∆ ⋅ − ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = = − = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥τ ⋅ ρ ⋅ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Tehát ennyivel süllyed az acéllap !
114
3. Gázkörfolyamatok
3.1. Egyszerű körfolyamatok
3—1. FELADAT.
Egy munkaszolgáltató körfolyamatban a hőközlés beT =450 K állandó hőmérsékleten, a hőelvonás elt =32 °C állandó hőmérsékleten történik. Irreverzibilitás következtében a körfolyamatban xt = 100 °C hőmérsékleten
S∆ =15 kW/K entrópiaáram-növekedés lép fel. Ez az entrópiáram-növekedés legkevesebb mekkora teljesítmény-csökkenést eredményez? MEGOLDÁS
elP T S∆ = ∆ = 4,577 MW.
3—2. FELADAT.
Egy körfolyamatban a hőbevezetés 480 K, míg a hőelvonás 310 K állandó hőmérsékleten történik. A környezet hőmérséklete 300 K. A körfolyamatban 400 K hőmérsékleten bekövetkező irreverzibilitás 1 kW/K entrópiaáram-növekedést (produkciót) eredményez. Legalább mekkora teljesítmény csökkenést okoz ez az irreverzibilitás? MEGOLDÁS
el irrP T S∆ = ⋅ ∆ = 310 kW. Vagy k irrP T S∆ = ⋅ ∆ =300 kW.
3—3. FELADAT.
Egy körfolyamatban a hőbevezetés 510 K, míg a hőelvonás 315 K állandó hőmérsékleten történik. A környezet hőmérséklete 300 K. A körfolyamatban 405 K hőmérsékleten bekövetkező irreverzibilitás 8 kW/K entrópiaáram-növekedést (produkciót) eredményez. Legalább mekkora teljesítmény csökkenést (Eredmény : 2520 kW) okoz ez az irreverzibilitás?
115
3—4. FELADAT.
Egy körfolyamatban az izotermikus hőelvonás során a munkaközeg entrópiaárama 2 MW/K értékkel csökkent. A hőbevezetés termodinamikai átlaghőmérséklete 450 K, a körfolyamat termikus hatásfoka 1/3. Mekkora a körfolyamat hasznos teljesítménye, valamint a bevezetett, ill. az elvont hőteljesítmény? MEGOLDÁS
( )el be 1T T= − η = 300 K.
el el elQ T S= ⋅ ∆ = 600 MW.
elbe 1-
QQ = =
η900 MW.
be elP Q Q= − =300 MW.
3—5. FELADAT.
Egy CARNOT-körfolyamatból 500 kW teljesítményt nyerünk, miközben annak fenntartásához 700 kW hőáramot kell elvonni 300 K hőmérsékleten. Mekkora a hőbevezetés hőmérséklete (Végeredmény : 514,28 K)?
3—6. FELADAT.
Egy reverzibilis körfolyamat fenntartásához =beT 480 K átlag-hőmérsékleten 600 MW hőteljesítményt kell közölni. Az elvonandó hőteljesítmény 400 MW. A hőelvonás átlaghőmérsékletének 5 °C-kal való emelkedése milyen és mekkora változást eredményez a körfolyamat termikus hatásfokában? MEGOLDÁS
Az alapkörfolyamat: elalap
be1
η = − = 1/3 (0,3333), innen
( )elalap el be
be1 1
TT T
Tη = − ⇒ = − η = 320 K.
A megváltozott hőelvonási hőmérséklet *elT = 325 K:
*el*
be1
TT
η = − =0,323.
A hatásfok 1%-kal csökkent.
3—7. FELADAT.
Egy CARNOT-körfolyamatból 1000 kW hőteljesítményt kell elvonni, miközben annak fenntartásához 1500 kW hőáramot kell közölni 510 K hőmérsékleten. Mekkora a hőelvezetés hőmérséklete? (340 K)
116
3—8. FELADAT.
Egy munkaszolgáltató körfolyamatban az elvezetett hőáram 750 MW, a hasznos teljesítmény 395 MW. A hőelvonás során a munkaközeg entrópiaárama 2350 kW/K értékkel csökken. Határozza meg az e körfolyamattal egyenértékű CARNOT-körfolyamat paramétereit és hatásfokát! (η = 0,345., elT = 319,1 K., beT = 487,2 K.)
3—9. FELADAT.
Egy beT = 460 K hőbevezetési átlaghőmérséklettel rendelkező 35% termikus hatásfokú körfolyamatból 600 MW hőteljesítményt kell elvonni. Mennyi lesz a körfolyamat teljesítménye, ha abban irreverzibilitás következtében 400 K hőmérsékleten S∆ = 20 kW/K entrópiaáram-növekedés lép fel? MEGOLDÁS
( )elel be
be
1 1T
T TT
η = − ⇒ = − η = 299 K
( )
el bebe
be
11
Q QQ
Qη = − ⇒ = =
− η923,1 MW
be elP Q Q= − =323,1 MW
elP T S∆ = ∆ = 5,98 MW
*P P P= − ∆ = 317,12 MW A feladat megoldható úgy is, hogy a teljesítmény változatlan, de többlet bevezetendő hőmennyiségre van szükség, ami azonos a többlet elvezetendő hőmennyiséggel, ami éppen: el .P T S∆ = ∆
3—10. FELADAT.
Egy reverzibilis körfolyamatban a munkaközeggel 500 MW hőteljesítményt közlünk és abból 300 MW hőteljesítményt vonunk el 320 K hőmérsékleten. A hőbevezetési középhőmérséklet 10 K-nel való emelése esetén mennyivel csökkenthető a bevezetendő hőteljesítmény, ha a hasznos teljesítményt nem változtatjuk? (a hőteljesítmény 13,43 MW-tal csökkenthető.)
3—11. FELADAT.
Az ERICSSON-körfolyamat, a következő állapotváltozások sorozatából áll: izotermikus kompresszió, izobár expanzió, izotermikus expanzió, izobár kompresszió.
117
– Ábrázolja a körfolyamatot ideális gáz p—v és T—s diagramjában! Adja meg a termikus hatásfok legegyszerűbb összefüggését!
MEGOLDÁS A körfolyamat képe p—v és T—s diagramban: p
V
1
2 3
4 T
1=áll.
T3=áll.
Qbe
Qel
Tmax
Tmin
T
T
1 2
3 4
Qbe
Qel
Tmax
Tmin
Legyen a nyomásviszony 1 4
2 3p
p pr
p p= = .
A hőbevezetés két lépésben történik: izotermikusan a 3-4 pontok között: be,1 max ln pq RT r= ; izochor
módon a 2-3 pontok között: ( )be,2 max minpq c T T= − A hőelvonás szintén
két lépésben: izotermikusan az 1-2 pontok között: el,1 min ln pq RT r= ; izochor
módon a 4-1 pontok között: ( )el,2 max minpq c T T= − .Mivel be,2 el,2q q= ,
így el,1 min
be,1 max
1 1q Tq T
η = − = − ,
azaz az ERICSSON-körfolyamat hatásfoka megegyezik az ugyanazon hőmérsékleti határok között dolgozó CARNOT-körfolyamat termikus hatásfokával.
3—12. FELADAT.
Állandó térfogaton a kezdetben környezeti állapotú levegőt addig melegítjük, míg nyomása háromszorosára növekedik. Ebből az állapotból adiabatikus expanzióval a nyomást a környezetire csökkentjük, majd állandó nyomású hőelvonással a kiinduló állapotba jutunk. Az állapotváltozások reverzibilisek. A környezeti levegő állandó fajhőjű ideális
118
gáznak tekinthető, melynek jellemzői: p1 = 1 bar, t1 = 27 °C, R = 287 J/(kg·K), κ=1,4.
– Ábrázolja a körfolyamatot az ideális gáz p—v és T—s diagramjában! Számítsa ki a termikus hatásfokot és a fajlagos munkát! Határozza meg a hőközlés során fellépő fajlagos entrópiaváltozást! MEGOLDÁS A folyamat p—v és T—s diagramban:
p
v
T
s 1
2
3 1
2
3
Az izochor hőközlés véghőmérséklete: 22 1
1
pT T
p= = 900 K.
Az adiabatikus expanzió utáni hőmérséklet:
1
33 2
2
pT T
p
κ−κ⎛ ⎞= ⎜ ⎟
⎝ ⎠= 657 K.
A bevezetett fajlagos hőmennyiség: ( )be V 2 1q c T T= − = 430,5 kJ/kg.
Az elvezetett fajlagos hőmennyiség: ( )el p 3 1q c T T= − = 359,1 kJ/kg.
A kinyerhető fajlagos munka: be elw q q= − = 71,39 kJ/kg.
A körfolyamat hatásfoka: be
wq
η = = 0,166.
A hőközlés során fellépő fajlagos entrópiaváltozás:
212
1ln
1R T
sT
∆ =κ −
= 787,9 J(kgK).
3—13. FELADAT.
Egy körfolyamat a következő reverzibilis állapotváltozások sorozatából áll: 1—2: adiabatikus kompresszió, melynél a kompresszióviszony: 1 2/V V = 5; 2—3: iztermikus expanzió; 3—1: izochor hőelvonás. A munkaközeg állandó fajhőjű ideális gáz, melyre κ = 1,4.
– Ábrázolja a körfolyamatot p—v és T—s diagramban! – Számítsa ki a körfolyamat termikus hatásfokát! (0,2626)
119
– Mekkora az azonos hőmérséklethatárok ( )1 2...T T között dolgozó CARNOT-körfolyamat hatásfoka? (0,4747)
–
3—14. FELADAT.
Állandó térfogaton a kezdetben környezeti állapotú levegőt addig melegítjük, míg nyomása háromszorosára növekedik. Ebből az állapotból adiabatikus expanzióval a nyomást a környezetire csökkentjük, majd állandó nyomású hőelvonással a kiinduló állapotba jutunk. Az állapotváltozások reverzibilisek. A környezeti levegő ideális gáznak tekinthető, melynek jellemzői: p1 = 1 bar, t1 = 27 °C, R = 287 J/(kg·K), κ=1,4.
– Ábrázolja a körfolyamatot p—v és T—s diagramban!
– Számítsa ki a termikus hatásfokot (0,166) és a fajlagos munkát (71,39 kJ/kg) !
– Határozza meg a hőközlés során fellépő fajlagos entrópiaváltozást (787,9 J/(kgK) )!
3—15. FELADAT.
Egy kilogramm tömegű 1 bar nyomású 27 °C hőmérsékletű levegőt állandó térfogaton 87 °C-ra melegítünk, majd ezen a nyomáson tovább melegítjük, míg térfogata 20 %-al megnövekedik. (R = 287 J/(kg K), κ =1,4)
– Mekkora a folyamat két szakaszában közölt hő aránya, valamint a közölt hő és a végzett munka aránya?
Izochor hűtéssel és izobár kompresszióval a levegőt a kiindulási állapotba hozzuk. Mekkora az így kialakított körfolyamat termikus hatásfoka?
( = 0,595, ill. = 1,68, és = 0,179., 2,98 %.)
3—16. FELADAT.
Egy körfolyamat a következő reverzibilis állapotváltozások sorozatából áll: 1—2: izochor hőközlés; 2—3: izotermikus expanzió, melynek során a közeg térfoga a 2,65-szorosára növekszik; 3—1: izobár hőelvonás. A munkaközeg állandó fajhőjű ideális gáz, melyre κ = 1,65.
– Ábrázolja a körfolyamatot ideális gáz p—v és T—s diagramjában! – Számítsa ki a körfolyamat termikus hatásfokát! (0,1821)
120
– Mekkora az azonos hőmérséklethatárok ( )1 2...T T között dolgozó CARNOT-körfolyamat hatásfoka? (0,6226)
3—17. FELADAT.
Egy állandó fajhőjű ideális gázzal {κ = 1,65, R=2078,7 J/(kg·K)}, zárt rendszerben lejátszódó körfolyamat egyes pontjaiban a közeg állapotjelzői, illetve az állapotváltozások az alábbi táblázat szerintiek:
állapot 1 2 3 4 állapot-határozók
1p = 1 bar
1T =300 K
2 1 5v v=
3 23,75p p= ⋅
folyamat 1->2 2->3 3->4 4->1 munka/hő entrópia
1,2 1,2q w=
fiz.w = 0 kJ/kg
3,4 0s∆ = J/(kg·K) techw = 0 kJ/kg
Milyen értékűek a táblázatban nem közölt állapothatározók (p, v, T) és folyamatjellemzők (munka, hő), valamint mekkora a körfolyamat termikus hatásfoka? Ábrázolja a körfolyamatot p—v és T—s diagramban!
(p2=5, p3=18,75, p4=1; v1=6,236, v2=1,247, v3=1,247, v4=7,369; T2=300, T3=1125, T4=354,54; η = 0,5105. ) valamint :
munka, w, l, kJ/kg hő, q, kJ/kg
1->2 21,2 1
1ln
vw RT
v= − = 1003,66 1,2 1,2q w= − = —1003,66
2->3 2,3w = 0 (izochor) ( )2,3 3 2vq c T T= − = 2638,35
3->4 ( )3,4 3,4 4 3vw u c T T= ∆ = − = —2463,93 3,4q = 0 (adiabatikus)
4->1 ( )4,1 4,1 4,1 1 4w u q R T T= ∆ − = − − =
1133,76 ( )4,1 1 4pq c T T= − =—287,8
3—18. FELADAT.
Egy állandó fajhőjű ideális gázzal végbemenő körfolyamatban a hőbevezetés és a hőelvonás egyaránt izochor és izotermikus szakaszokból áll. A kiinduló állapotban — melyek a körfolyamatban előforduló legkisebb nyomás és hőmérsékletértékek —, a közeg nyomása 1 bar, hőmérséklete 300 K. Az izotermikus szakaszokon a térfogatok viszonya 1/10, ill. 10. Az izochor szakaszokon a nyomások viszonya 2, ill. 1/2. A munkaközeg szén-dioxid, jellemzői gáz moláris tömege 44 kg/kmol, adiabatikus kitevője 1,3, az univerzális gázállandó 8314,7 J/(kmol·K).
121
— Ábrázolja a folyamatokat az ideális gáz p—v és T—s diagramjában!
— Határozza meg az egyes állapotváltozásokhoz tartozó munka és hőforgalmi adatokat!
Határozza meg a körfolyamat hasznos fajlagos munkáját és termikus hatásfokát! ( be,1 el,1w q q= + =130,54 kJ/kg, η = 0,5.)
3—19. FELADAT.
Egy körfolyamat a következő reverzibilis állapotváltozások sorozatából áll: 1—2: izochor hőközlés; 2—3: adiabatikus expanzió, melynek során a közeg térfogata a 1,65-szorosára növekszik; 3—1: izobár hőelvonás. A munkaközeg állandó fajhőjű ideális gáz, melyre κ = 1,65.
– Ábrázolja a körfolyamatot ideális gáz p—v és T—s diagramjában! Számítsa ki a körfolyamat termikus hatásfokát (0,1652)! Mekkora az ebben a körfolyamatban előforduló legnagyobb és legkisebb hőmérséklet között dolgozó CARNOT-körfolyamat hatásfoka? (0,5623)
3—20. FELADAT.
Nitrogén gáz munkaközeggel körfolyamat játszódik le. A kezdeti (1 bar, 20 °C) állapotból állandó térfogaton történő melegítéssel a közeg hőmérséklete 782 °C-ra növekszik. A melegítést követően e hőmérsékleten izotermikus expanzió játszódik le a kezdeti nyomásig. Az izotermikus expanziót egy izentropikus expanzió követi, melynek véghőmérséklete épp a kezdeti hőmérséklet, ez után a munkaközeg egy izotermikus kompresszióval a kezdeti állapotba kerül vissza. A nitrogén moláris tömege 28 kg/kmol, adiabatikus kitevője: 1,4.
– Ábrázolja a körfolyamatot p—v és T—s diagramban! Számítsa ki a körfolyamat fajlagos munkáját (576,7 kJ/kg) és termikus hatásfokát (0,597) !
3—21. FELADAT.
Egy körfolyamat a következő állapotváltozások sorozatából áll: 1→2: adiabatikus kompresszió, melynél a kompresszióviszony: =21 /VV 2;
2→3: izobár expanzió;3→1: izochor hőelvonás.A munkaközeg ideális gáz, melyre =κ 1,4.
– Ábrázolja a körfolyamatot p—v és T—s diagramban!
– Számítsa ki a körfolyamat termikus hatásfokát (0,0765)!
122
3—22. FELADAT.
Egy állandó fajhőjű ideális gázzal {κ = 1,33, R=189 J/(kg·K)}, zárt rendszerben lejátszódó körfolyamat egyes pontjaiban a közeg állapotjelzői, illetve az állapotváltozások az alábbi táblázat szerintiek: állapot 1 2 3 4 állapot-határozók
1p = 1 bar
1T =300 K
2 1T T=
2 1 /10v v=
3 21,3p p= ⋅ 4 3p p=
folyamat 1->2 2->3 3->4 4->1 munka/hő entrópia
fizw = 0 kJ/kg
4,1s∆ = 0 kJ/(kg·K)
— Milyen értékűek a táblázatban nem közölt állapothatározók (p, v, T) és folyamatjellemzők (munka, hő), valamint mekkora a körfolyamat termikus hatásfoka? Ábrázolja a körfolyamatot p—v és T—s diagramban!
3.2. Belsőégésű motorok
3—23. FELADAT.
Igazolja, hogy a belsőégésű szikragyújtású motor (OTTO-motor) helyettesítő körfolyamatának (adiabatikus kompresszió, izochor hőközlés, adiabatikus expanzió, izochor hőelvonás) termikus hatásfoka a
kompresszióviszony max
minV
Vr
V⎛ ⎞=⎜ ⎟⎝ ⎠
és a munkaközeg adiabatikus kitevőjének
( )κ függvénye! A munkaközeg állandó fajhőjű ideális gáz.
– Ábrázolja a helyettesítő körfolyamatot ideális gáz p—v és T—s diagramjában!
Adja meg a termikus hatásfok ( ),Vf rη = κ függvényét!
MEGOLDÁS A körfolyamat képe p—v és T—s diagramban:
123
V
p
1
2
3
4
qbe
qel
Vmin Vmax s
T
qbe
qel
v = áll.p = áll.
v = áll.
p = áll.1
2min
max
1
2
3
4
w
Mivel mind a kompresszió, mind az expanzió adiabatikus és ugyanazon kompresszióviszony mellett megy végbe, így felírható, hogy
2 3 1
1 4V
T Tr
T Tκ−= =
ebből az egyenletből:
3 4 1
2 1V
T Tr
T Tκ−= =
A bevezetett fajlagos hőmennyiség: ( )be 3 2Vq c T T= −
Az elvezetett fajlagos hőmennyiség: ( )be 4 1Vq c T T= −
A termikus hatásfok függvénye:
41
el 4 1 111
3be 3 2 22
2
11
1 1 1 1 11 V
TT
q T T TTTq T T T rTT
κ−
⎛ ⎞−⎜ ⎟− ⎝ ⎠η = − = − = − = − = −− ⎛ ⎞−⎜ ⎟
⎝ ⎠
3—24. FELADAT.
Egy szikragyújtású belsőégésű motor expanziója a következőképpen modellezhető: izentropikus expanzió a felső holtponti térfogatról az alsó holtponti térfogat 80%-ig, majd ebből az állapotból politropikus expanzió az alsó holtpontig. A motor munkafolyamatának és munkaközegének egyes jellemzői: A munkaközeg térfogata a felső holtpontban: 4
FH 3 10V −= ⋅ m3, a kompresszióviszony: Vr = 9,5, a munkaközeg hőmérséklete a munkaütem kezdetén: 1T = 2200 K, a munkaközeg nyomása a munkaütem kezdetén:
1p = 9395 kPa, a munkaközeg adiabatikus kitevője 1,4, specifikus gázállandója 287 J/(kg·K), a politropikus kitevő 1,2. A munkaközeget tekintse állandó fajhőjű ideális gáznak.
124
Határozza a munkaközeg nyomását és hőmérsékletét az expanzió végén, valamint az expanzió során végzett munkát és a munkaközeg entrópiájának megváltozását! MEGOLDÁS
Az alsó holtponti térfogat: 3AH FH 2,85 10VV r V −= ⋅ = ⋅ m3.
A munkaközeg tömege: 1 FH 3
14,464 10
pVm
RT−= = ⋅ kg.
Az izentropikus expanzió a 32 AH0,8 2,28 10V V −= ⋅ = ⋅ m3 térfogatig tart.
expanzióra: 1
1 2
2 FH
T VT V
κ−⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
, innen 12 1
2
FH
TT
VV
κ−= =⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
977,45 K.
A nyomás ebben az állapotban: 22
2
mRTp
V= = 549,25 kPa.
A politropikus expanzióra: 2 2 AH AHn npV p V= , 2
AH 2AH
nVp p
V⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠
420,22 kPa.
A politropikus expanzió után a hőmérséklet: AH AHAH
p VT
mR= = 918,4 K.
Az izentropikus szakaszon végzett munka:
( ) ( )1 2 2 1 2 11vR
W mc T T m T T→ = − = − =κ −
—3915,73 J.
A politropikus szakaszon végzett munka:
( )2 AH AH AH 2 21
1W p V pV
n→ = − =−
—273,32 J.
Az expanzió teljes munkája: 1 2 2 AHW W W→ →= + = —4189 J.
Az entrópia megváltozása a teljes expanziós folyamat alatt:
AH AHFH AH
1 1ln ln
1T p
S mRT p→
κ⎛ ⎞∆ = − =⎜ ⎟κ −⎝ ⎠0,06358 J/K.
3—25. FELADAT.
A módosított DIESEL-körfolyamat szerint működő belsőégésű motor (SABATHÉ-körfolyamat) kompresszióviszonya (a térfogatok hányadosa) 13,6. Az égés állandó térfogaton kezdődik, majd állandó nyomáson fejeződik be. Az izochor égés során a nyomás 50 bar-ra növekszik, az izobár égés során a közeg a kétszeresére tágul. A kompresszió és az expanzió adiabatikus, a hőelvonás állandó térfogaton történik. Munkaközeg levegő, ill. füstgáz, melyekre: κ = 1,4 és R = 287 J/(kg·K). Az óránként beszívott levegő mennyisége 800 kg, hőmérséklete 15 °C, nyomása 1 bar.
125
- Ábrázolja a körfolyamatot p-V és T-s diagramban! Határozza meg a motor teljesítményét és hatásfokát! MEGOLDÁS
Fajhők:( )1V
Rc =
κ −= 717,5 J/(kg·K);
( )1pR
cκ
=κ −
= 1004,5 J/(kg·K)
A körfolyamat p—V és T-s diagramban:
V
p
1
2
3 4
q be2
qel
V min V
max
5
q be1
s
T
qbe2
qel
v = áll. p = áll.
v = áll.
p = áll.1
2 min
max
1
2
4
5w
3qbe1
Az adiabatikus kompresszióra: 1
12 1
2
VT T
V
κ−⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
= 818,55 K.
A kompresszió végnyomása: 12 1
2
Vp p
V
κ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
= 38,63 bar.
Az izochor hőközlésre: 33 2
2
pT T
p⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
= 1059,4 K.
Az izobár hőközlésre: 44 3
3
VT T
V⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
= 2118,8 K.
Az izochor égés során bevezetett hőmennyiség: ( )be1 3 2Vq c T T= − = 172,81 kJ/kg.
Az izobár égés során bevezetett hőmennyiség: ( )be2 4 3pq c T T= − = 1064,2 kJ/kg.
Az adiabatikus expanzióra:
a térfogatokra igaz, hogy 1
5 1 3
34 44
13,62
VV V V
VV VV
= = = = 6,8.
az expanzió véghőmérséklete: 45 1
5
4
TT
VV
κ−=⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
= 984,2 K.
Az izochor hőelvonásra: ( )el 5 1Vq c T T= − = 499,4 kJ/kg.
A kinyerhető hasznos fajlagos munka: be1 be2 elw q q q= + − = 737,57 kJ/kg.
126
A teljesítmény: P m w= ⋅ = 163,9 kW.
A termikus hatásfok: Thbe
wq
η = = 0,5962 (59,62 %).
3—26. FELADAT.
Egy szikragyújtású belsőégésű motor kompresszióviszonya (a térfogatok hányadosa) 8. A beszívott levegő nyomása 1 bar, hőmérséklete 27 °C, tömegárama 800 kg/h. A kompresszió és az expanzió izentropikus, a hőközlés és a hőelvonás izochor. Az égés során a közeg nyomása 50 bar-ra növekszik. A munkaközeg levegő, ill. füstgáz, mindkettőre: R = 287 J/(kg K), κ =1,4. Ábrázolja a körfolyamatot p—V és T—s diagramban! Határozza meg a fajlagos közölt és elvont hőmennyiséget, a motor teljesítményét és hatásfokát! ( beq =850,811 kJ/kg, elq = 370,3 kJ/kg,P mw= = 106,8 kW.
Thη = 0,565 )
3—27. FELADAT.
Egy DIESEL-motor kompreszióviszonya (a térfogatok hányadosa) 16. Az égés állandó nyomáson történik, s eközben a munkaközeg térfogata 2,4-szeresére növekszik. A kompresszió és az expanzió adiabatikus és reverzibilis, a hőelvonás állandó térfogaton történik. Munkaközeg levegő, ill. füstgáz, melyekre: =κ 1,4 és R = 287 J/(kg·K). Az óránként beszívott levegő mennyisége 2000 kg, hőmérséklete 27 °C, nyomása 1 bar.
– Ábrázolja a körfolyamatot p-V és T-s diagramban! Határozza meg a fajlagos közölt és elvont hőmennyiséget, a motor teljesítményét és hatásfokát! ( beq =1279 kJ/kg, elq = 517,96 kJ/kg, P mw= = 422,8 kW. Thη = 0,594 )
127
3.3. Gázturbina körfolyamatok
3—28. FELADAT.
Egy JOULE-BRAYTON-féle gázturbinás egység kompresszora 520 m3/s térfogatáramú, 15 °C hőmérsékletű és 101 kPa nyomású levegőt szív be. A 87% belső hatásfokú kompresszorban annak nyomását adiabatikusan a 24-szeresére növeli. A 94% belső hatásfokú turbinában a közeg 104 kPa nyomásig expandál adiabatikusan. A munkaközeg állandó fajhőjű ideális gáz, melyre κ = 1,4, R=287 J/(kg·K).
– Ábrázolja a körfolyamatot ideális gáz T—s diagramjában! Számítsa ki a körfolyamat termikus hatásfokát, ha a hasznos teljesítmény 100 MW! MEGOLDÁS
A beszívott levegő tömegárama: 1 11
1 1
V pm V
v RT= = = 425,78 kg/s.
A kompresszióra: [ ]1
2 1 pT T rκ−κ= = 714,44 K.
2 112*
K
T TT T
−= + =
η778,14 K.
Az expanzióra:
1
44 3
1p
pT T
r p
κ−κ⎛ ⎞= ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ( )3 T 3 44*T T T T= − η − =
1
43 T 3 3
1p
pT T T
r p
κ−κ
⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟= − η − =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎜ ⎟
⎝ ⎠
1
43 T
11 1
p
pT
r p
κ−κ
⎡ ⎛ ⎞ ⎤⎛ ⎞⎜ ⎟⎢ ⎥− η − ⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎜ ⎟⎢ ⎥⎣ ⎝ ⎠ ⎦
A kompresszor teljesítménye: ( )K 12*pP mc T T= − = 312,6 MW.
A turbina teljesítménye: T KP P P= + = 412,6 MW.
( )
1
4T 3 3 T4*
11 1 1p p
p
pP mc T T mc T
r p
κ−κ
⎛ ⎡ ⎛ ⎞ ⎤ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎜ ⎟ ⎟⎢ ⎥= − = − − η − ⎜ ⎟⎜ ⎜ ⎟ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎜ ⎜ ⎟ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎣ ⎝ ⎠ ⎦ ⎠
ebből a szükséges füstgázhőmérséklet:
128
T3 1
4T
11 1 1p
p
PT
pmc
r p
κ−κ
= =⎛ ⎡ ⎛ ⎞ ⎤ ⎞
⎛ ⎞⎜ ⎜ ⎟ ⎟⎢ ⎥− − η − ⎜ ⎟⎜ ⎜ ⎟ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎜ ⎜ ⎟ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎣ ⎝ ⎠ ⎦ ⎠
1159,7 K (1024,7 °C).
A bevezetett hőteljesítmény:
( )be 3 2*pQ mc T T= − = 243,4 MW.
A termikus hatásfok:
be
PQ
η = = 0,41.
Tájékoztató adatok: 4*T = 512,0 K; 4T = 471,7 K.
3—29. FELADAT.
Egy üresjárási (nincs hasznos teljesítmény) állapotban üzemelő gázturbinás egység 85% belső hatásfokú kompresszora 10 °C hőmérsékletű és 1 bar nyomású kiinduló állapotból 16 bar nyomásra komprimálja a beszívott 300 kg/s tömegáramú levegőt. A 92% belső hatásfokú turbinában a munkaközeg 1 bar nyomásra expandál. A kompresszió és az expanzió adiabatikus, a hőközlés és a hőelvonás izobár. A munkaközeg állandó fajhőjű ideális gáz, melynek specifikus gázállandója 287 J/(kg·K), adiabatikus kitevője 1,4.
— Ábrázolja a körfolyamatot ideális gáz T—s diagramjában!
— Határozza meg a turbinába belépő és onnan távozó munkaközeg hőmérsékletét!
— Számítsa ki az üresjárási állapot fenntartásához szükséges bevezetendő hőteljesítményt és a turbina, ill. a kompresszor teljesítményét!
MEGOLDÁS Az üresjárási állapotban: K TP P= .
Az adiabatikus kompresszióra: [ ]1
2 1 pT T rκ−κ= ⋅ = 625,25 K.
A belső hatásfok figyelembevételével: 2 112*
K
T TT T
−= + =
η685,62 K.
Az adiabatikus expanzióra:[ ]
34 1
p
TT
rκ−κ
= , ( )3 T 3 44*T T T T= − η −
129
A teljesítmény egyensúly: ( )[ ]
1 T 32* 11
1p p
p
mc T T mc Tr
κ−κ
⎛ ⎞⎜ ⎟− = η −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
innen a keresett hőmérséklet: ( )
[ ]
12*3
T 11
1
p
T TT
rκ−κ
−= =
⎛ ⎞⎜ ⎟η −⎜ ⎟⎝ ⎠
799,55 K.
A turbinából távozó közeg hőmérséklete: 4T =362,1 K.
4*T =397,1 K.
A bevezetendő hőteljesítmény: ( )3 2*be pQ mc T T= − = 343,3 MW.
A kompresszor és a turbina teljesítménye: ( )T K 12*pP P mc T T= = − = 121,3 MW.
3—30. FELADAT.
A JOULE-körfolyamat szerint működő gázturbinás egység kompresszora 1 bar nyomású és 27 °C hőmérsékletű levegőt szív be. Az égőkamrát elhagyó munkaközeg hőmérséklete 1200 °C. A munkaközeg és a levegő adiabatikus kitevője 1,4. Mind a kompresszió, mind az expanzió izentropikus. A turbinában a munkaközeg a környezeti nyomásig expandál. Határozza meg azt a kompresszor nyomásviszonyt ( =Π 16,15), amely mellett a körfolyamatból kinyerhető fajlagos hasznos munka a legnagyobb!
3—31. FELADAT.
Egy JOULE—BRAYTON-féle gázturbinás körfolyamat az ábra szerinti kapcsolásban üzemel. A munkaközeg kompressziója két, azonos nyomásviszonyú kompresszorban megosztva történik. A K1 kompresszor 1 bar nyomású és 15 °C hőmérsékletű levegőt szív be. A két kompresszor között a munkaközeget kezdeti hőmérsékletére hűtik vissza. Az eredő nyomásviszony 16. Mindkét kompresszor belső hatásfoka 86 %. A 93 % belső hatásfokú turbinába a munkaközeg 1100 °C hőmérséklettel érkezik és abban 1 bar nyomásig expandál. A munkaközeg állandó fajhőjű ideális gáznak tekinthető levegő, ill. füstgáz, melyre: κ = 1,4 és
pc =1004,5 J/(kg·K). A * a valós (irreverzibilis) állapotváltozás végállapotát jelöli. Az kompressziók és az expanzió adiabatikusak.
130
– Határozza meg a körfolyamat hasznos teljesítményét és termikus hatásfokát, ha a munkaközeg tömegárama 350 kg/s!
– Ábrázolja a körfolyamatot ideális gáz T—s diagramjában!
– Számítsa ki a kompresszorok közötti visszahűtés során elvonandó hőáramot!
– Számítsa ki a munkaközeg entrópiaáramának megváltozást a visszahűtés (2*->3) során!
1
2 (2*)P
34 (4*)
5
6 (6*)
K1 K2 T
MEGOLDÁS
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800Fajlagos entrópia, s, J/(kgK)
K
1 bar4 bar8 bar16 barT
1
2 2*
3
4 4*
5
66*
A kompresszorok nyomásviszonya — lévén azonosak —: p p pr r rΣ= = =K1 K2 4.
A K1 kompresszorra az alábbi egyenletek írhatók fel:
1
2 1 pT T rκ−κ= ⎡ ⎤⎣ ⎦
K1 =428,19 K.
2 112*
T TT T
−= + =
ηK1451 K.
Tekintve, hogy a visszahűtés a kezdeti hőmérsékletig tart, és a nyomásviszonyok azonosak 4 2T T= és 4* 2*T T=
131
A T1 turbinában végbemenő expanzióra felírhatók az alábbi egyenletek: 1
6 51
pT T
r
κ−κ
Σ
⎡ ⎤= =⎢ ⎥
⎣ ⎦621,85 K
( )5 5 66*T T T T= − η − =T1 674,44 K.
Az össz-kompressziós teljesítmény: ( ) ( )[ ]1 32* 4*pP mc T T T TΣ = − + − =K 114,5 MW.
A turbina teljesítménye: ( )5 6*pP mc T T= − =T 245,65 MW.
A nettó (hasznos) teljesítmény: P P PΣ= − =T K 131,15 MW.
A bevezetett hőteljesítmény: ( )be 5 4*pQ mc T T= − = 324,21 MW.
A körfolyamat termikus hatásfoka: be
PQ
η = = 0,4045.
Az elvonandó hőteljesítmény: ( )32* 3 2*pQ mc T T→ = − = 57,25 MW.
A visszahűtés entrópiaáram-változása: 32* 3
2*lnp
TS mc
T→∆ = = —157,5 kWK
3—32. FELADAT.
Egy JOLUE-BRAYTON-féle gázturbina körfolyamat (a helyettesítő körfolyamat) 87,5% belső hatásfokú kompresszora 100 kPa nyomású és 15 °C hőmérsékletű levegőt szív be és azt adiabatikusan eredeti nyomásának 16 szorosára komprimálja. Az égőteret 16 bar nyomású és 1150 °C hőmérsékletű füstgáz hagyja el. A 94,7% belső hatásfokú turbinában a füstgáz 100 kPa nyomásig expandál adiabatikusan. A levegő és a füstgáz anyagjellemzői: adiabatikus kitevő: 1,4, izobár fajhő: 1004,5 J/(kg·K), mindkettő állandó fajhőjű ideális gáznak tekintendő.
— Ábrázolja a körfolyamatot T—s diagramban!
— Számítsa ki a körfolyamat fajlagos munkáját, a be- és elvezetett hőmennyiségeket, valamint a termikus hatásfokot!
Adja meg az e körfolyamattal egyenértékű CARNOT-körfolyamat paramétereit! MEGOLDÁS
132
0
1
3
A
B
2* 4*
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
0 500 1000fajlagos entrópia, s, J/(kgK)
hőm
érsé
klet
, T, K
1500 2000
100 kPa1600 kPa
∆s
∆s
Kompresszió: [ ]1
2 1 pT T rκ−κ= ⋅ = 636,3 K;
2 112*
K
T TT T
−= + =
η686,0 K.
Expanzió: [ ]
34 1
p
TT
rκ−κ
= =644,5 K;
( )3 T 3 44*T T T T= − η − = 686,8 K.
A fajlagos bevezetett hőmennyiség: ( )be 3 2*pq c T T= − = 740,4 kJ/kg.
A fajlagos elvezetett hőmennyiség: ( )el 14*pq c T T= − = 399,4 kJ/kg.
A fajlagos munka: be elw q q= − = 341,0 kJ/kg.
A termikus hatásfok: be
wq
η = = 0,4606.
Az egyenértékű CARNOT-körfolyamat paraméterei: entrópiakülönbség és átlaghőmérsékletek. A fajlagos entrópiaváltozások (izobár folyamatok) [csak az egyik kell]:
3A
2*lnp
Ts c
T∆ = = 733 J/(kgK); 4*
B1
lnpT
s cT
∆ = = 870,95 J/(kgK).
A hőbevezetési és —elvezetési átlaghőmérsékletek a vonatkoztatási entrópiakülönbség függvényei.
„A” eset ( )As∆ „B” eset ( )Bs∆
bebe
x
qT
s= =∆
1010,15 K 850,16 K
elel
x
qT
s= =∆
544,88 K 458,58 K
133
3—33. FELADAT.
Egy gázturbinás egység 83% belső hatásfokú kompresszora —15 °C hőmérsékletű és 1 bar nyomású kiinduló állapotból 24 bar nyomásra komprimálja a beszívott 400 kg/s tömegáramú levegőt. A 92% belső hatásfokú turbinában a munkaközeg 1 bar nyomásra expandál. A kompresszió és az expanzió adiabatikus, a hőközlés és a hőelvonás izobár. A munkaközeg állandó fajhőjű ideális gáz, melynek specifikus gázállandója 287 J/(kg·K), adiabatikus kitevője 1,4.
— Ábrázolja a körfolyamatot ideális gáz T—s diagramjában!
— Határozza meg a turbinába belépő ( 3T = 1382,3 K.) és onnan távozó munkaközeg hőmérsékletét ( 4T =557,5 K., 4*T =623,5 K.,) ha a berendezés hasznos teljesítménye 120 MW!
Számítsa ki a bevezetendő hőteljesítményt és a turbina, ill. kompresszor teljesítményét! ( beQ = 266,8 MW., KP = 184,88 MW.)
3—34. FELADAT.
Egy gázturbina telepen két turbinát alkalmaznak (lásd az ábrát). Az egyik biztosítja a kompresszor működését, a másik hajtja meg a villamos generátort. A kompresszor által beszívott levegő 12 °C hőmérsékletű, 1 bar nyomású, a tömegárama pedig 50 kg/s. A T1 jelű turbinába a közeg 12 bar nyomással és 1000 °C hőmérséklettel érkezik.
K T1 T2
K: 86 %, T1: 88 %, T2: 91 %
J1005 , 1,4
kg Kpc⎛ ⎞
= κ =⎜ ⎟⋅⎝ ⎠
– Határozza meg a T2 turbinába belépő közeg állapotjelzőit ( 4T = 883,6 K., 4'T = 930,3 K., 4p = 3,34 bar.)! Számítsa ki a K kompresszor (17,22 MW.) és a T2 turbina teljesítményét (12,4 MW.)! Határozza meg a teljes körfolyamat hatásfokát (38,3 %.)!
– Ábrázolj a körfolyamatot T-s diagramban!
3—35. FELADAT.
Egy gázturbina körfolyamatban a turbinában az expanzió két fokozatban történik. Mindkét fokozat esetén az expanzió előtti közeg hőmérséklet azonos, 825 °C. A kompresszor a beszívott 1 bar nyomású, 20 °C-os levegőt, 4 bar nyomásig komprimálja, a belső hatásfoka: 0,82. A két
134
fokozatú expanzió belső hatásfoka egyaránt 0,85. Határozza meg a két fokozat nyomásviszonyát, ha az első fokozat munkája csak a kompresszor hajtására fordítódik, míg a második fokozat munkája lesz a körfolyamat munkája. Határozza meg a körfolyamat termikus hatásfokát, és a körfolyamatban forgalmazott tömegáramot, ha a turbina teljesítménye 25 MW. (Eredmények : (2) 162317 Wtuw = , 0.165η = , 154.1 kg/secm = )
3—36. FELADAT.
A repülőgép sugárhajtóművek körfolyamatai lényegében olyan JOULE—BRAYTON-féle gázturbinás körfolyamatok, ahol a turbina pontosan akkora teljesítményt szolgáltat, amekkora a kompresszor hajtásához szükséges. A hajtómű (lásd az ábrát) diffúzorból, kompresszorból, égőtérből, turbinából és egy fúvókából áll. A kompresszor előtti (2) és a turbina utáni (5) sebességek a többi sebességértékhez képest elhanyagolhatóan kicsik. A hajtómű energetikai jellemzésére az ún. propulziós teljesítmény és propulziós hatásfok szolgál. A propulziós teljesítmény a hajtóerő és az utazósebesség szorzata, míg a propulziós hatásfok a propulziós teljesítmény és a bevitt hőteljesítmény hányadosa.
diffúzor
kompresszor égőtér
turbina
fúvóka
12 3
45
6
Egy repülőgép utazósebessége 936 km/h. Az utazómagasságban a nyomás 0,345 bar és a hőmérséklet —40 °C (az 1 jelű pontban). Az égőtérből kilépő közeg (4) 1100 °C hőmérsékletű. A kompresszor nyomásviszonya 10. A sugárhajtóműben lezajló valamennyi nyomásváltozás izentropikus. A munkaközeg ideális gázként kezelhető levegő, melyre: =κ 1,4 és
pc = 1004,5 J/(kgK). A munkaközeg tömegárama 45 kg/s.
– Ábrázolja a folyamatot T—s diagramban! – Számítsa ki a hajtómű propulziós teljesítményét és propulziós
hatásfokát! (a kilépő sebesség: 6w = 1006,3 m/s., a propulziós
teljesítmény: PP = 8,7317 MW., a hőteljesítmény: beQ = 38,786 MW., a propulziós hatásfok: Pη = 0,225.)
135
3—37. FELADAT.
Egy gázturbina telepen két turbinát alkalmaznak, kétfokozatú tüzeléssel (lásd az ábrát). Az egyik biztosítja a kompresszor működését, a másik hajtja meg a villamos generátort. A kompresszor által beszívott levegő 27 °C hőmérsékletű, 1 bar nyomású, a tömegárama pedig 50 kg/s. A T1 jelű turbinába a közeg 16 bar nyomáson és 1400 K hőmérsékleten érkezik. A T2 jelű turbina teljesítménye: 20 MW. A gépek hatásfokai rendre a következők: K kompresszor: 86 %, T1 turbina: 90 %, T2 turbina: 93 %.
K T1 T2
Q.
be1 Q.
be2
cp =⋅
=⎛⎝⎜
⎞⎠⎟1005 1 4
Jkg K
, ,κ
– Határozza meg a T1 turbinából kilépő és a T2 turbinába belépő közeg állapotjelzőit!
– Számítsa ki a K kompresszor teljesítményét! – Határozza meg a teljes körfolyamat termikus hatásfokát! – Ábrázolja a körfolyamatot T-s diagramban!
MEGOLDÁS
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
0 500 1000 1500 2000Fajlagos entrópia, s, J/(kgK)
Hőmérséklet, K1 bar4 bar8 bar16 bar
1
22*
3
44*
5
6 6*
3,85 bar
Jelölje pr = 16 a kompresszor nyomásviszonyt. A kompresszorra:
( ) κκ /112
−= prTT = 662,45 K.
A kompresszor hatásfokának figyelembevételével:
K
121*2 η
TTTT −+= = 721,43 K.
136
A kompresszor teljesítményszükséglete: ( )1*2K TTcmP p −= = 21,1695 MW.
Az első fokozatban bevitt hőmennyiség: ( )*23be1 TTcmQ p −= = 34,1 MW.
A T1K PP = teljesítménymérleg: ( ) ( )*431*2 TTcmTTcm pp −=− .
Ebből *4T = 978,72 K. A T1 turbina hatásfokának figyelembevételével az izentropikus expanzió véghőmérséklete:
T1
*4334 η
TTTT −−= = 931,91 K.
A T1 turbina nyomásviszonya: [ ] κκ
κκ 1
4
3(T1)1
(T1)
4
3−−
=⇒=TTrr
TT
pp = 4,155
Ennek megfelelően a közbenső ( )4p nyomás 3,85 bar, a T2 turbina
nyomásviszonya: (T2)pr = 3,85.
A T2 turbina előírt teljesítménye 20 MW, ehhez kell meghatározni a belépő 5T hőmérsékletet. Az adiabatikus expanzió és a turbinahatásfok összefüggések behelyettesítésével a T2 turbina teljesítménye
[ ]⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛−=
−κκ
η1
(T2)T25T2 1 pp rTcmP
alakban írható fel, melyből a kérdéses hőmérséklet kifejezhető:
[ ]⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛−
=−κκ
η1
(T2)T2
T25
1 pp rcm
PT = 1338,8 K.
A második szakaszban bevitt hőteljesítmény: ( )*45be2 TTcmQ p −= = 18,1 MW.
A T2 turbinából kilépő közeg hőmérséklete: ( ) κκ−
=1
(T2)56 prTT = 910 K.
A hatásfok figyelembevételével: ( )65T25*6 TTTT −−= η = 940,8 K.
Az összes bevezetett hőteljesítmény: be2be1be QQQ += = 52,2 MW.
A körfolyamat termikus hatásfoka: be
T2QP
=η = 0,38.
137
3—38. FELADAT.
Egy JOULE—BRAYTON-féle gázturbinás körfolyamat az ábra szerinti kapcsolásban üzemel. A K jelű, 86 % belső hatásfokú kompresszor 1 bar nyomású és 15 °C hőmérsékletű levegőt szív be és azt adiabatikusan 16 bar nyomásra komprimálja. Az expanzió két azonos nyomásviszonyú, azonos belső hatásfokú (90 %) turbinában megy végbe adiabatikusan és 1 bar nyomásig tart. A munkaközeg hőmérséklete — a közbenső újrahevítés miatt — mindkét turbina előtt 1000 °C. A munkaközeg állandó fajhőjű ideális gáznak tekinthető levegő, ill. füstgáz, melyre: =κ 1,4 és
=pc 1004,5 J/(kgK). A * a valós (irreverzibilis) állapotváltozás
végállapotát jelöli.
1
2 (2*)P
3
4 (4*)5
6 (6*)
K T1 T2
– Határozza meg a körfolyamat hasznos teljesítményét és termikus
hatásfokát, ha a munkaközeg tömegárama 300 kg/s! – Ábrázolja a körfolyamatot ideális gáz T—s diagramjában! – Számítsa ki a munkaközeg entrópiaáramának megváltozást a második
hőközlés (4*→5) során! (Eredmények: P = 100,88 MW., η = 0,3506., 5 4*S →∆ = 427,05 kW/K.)
3.4. Gázközegű hűtőkörfolyamatok
3—39. FELADAT.
Egy hűtőkörfolyamat, melynek hatásossága (hűtési tényezője) 4, a hűtött térből 100 kW hőáramot von el. Mekkora hőáram kerül a környezetbe? MEGOLDÁS
elvont elvontQ QW
Wε = ⇒ =
ε
így leadott elvont elvont1
1Q W Q Q ⎛ ⎞= + = + =⎜ ⎟ε⎝ ⎠125 kW.
138
3—40. FELADAT.
Egy hűtőkörfolyamat fenntartásához 500 kW teljesítményre van szükség, miközben az a környezetnek 2300 kW hőáramot ad le. Mennyi a hűtő-körfolyamat hatásossága (hűtési tényezője) (3,6) ?
3—41. FELADAT.
Egy fordított CARNOT-körfolyamat szerint működő hűtőgép a hűtött térből 40 kW hőáramot von el, miközben a környezetnek 45 °C hőmérsékleten 50 kW hőteljesítményt ad le. Mekkora a hőelvonás hőmérséklete? MEGOLDÁS
el el
le el
Q QW Q Q
ε = = =−
4. elel le
le el 1T
T TT T
εε = ⇒ = =
− ε +254,52 K (—18,63 °C)
3—42. FELADAT.
Egy hűtőkörfolyamat fenntartásához 50 kW teljesítményre van szükség, miközben az a környezetnek 200 kW hőáramot ad le 50 °C állandó hőmérsékleten. Mennyi a hűtő-körfolyamat hatásossága (hűtési tényezője) és a hőelvonás (hűtés) hőmérséklete? (Eredmények: 3 , 242,36 K)
3—43. FELADAT.
Egy reverzibilis hűtőkörfolyamatban a munkaközeg 65 kW hőteljesítményt von el a hűtött térből. A hűtött térből történő hőfelvétel —25 °C átlaghőmérsékleten, míg a környezetbe történő hőleadás 35 °C átlaghőmérsékleten megy végbe. A környezetbe történő hőleadást (a külső körülmények megváltozása miatt) 45 °C átlaghőmérsékleten tudjuk megvalósítani. Hogyan (mennyivel) módosul a mechanikai teljesítmény és a hűtőkörfolyamat hatásossága, ha a hűtőteljesítmény (az elvont hőáram) változatlan? MEGOLDÁS
el
le el
TT T
ε = =−
4,136. el elQ QW
Wε = ⇒ = =
ε15,72 kW.
el*
elle*
TT T
ε = =−
3,545. el**
QW = =
ε18,33 kW.
A hatásosság 0,59-dal csökkent, míg a mechanikai teljesítmény 2,62 kW-tal nőtt.
139
3—44. FELADAT.
Egy reverzibilis hűtőkörfolyamatban a munkaközeg 60 kW hőteljesítményt von el a hűtött térből. A hűtött térből történő hőfelvétel —20 °C átlaghőmérsékleten, míg a környezetbe történő hőleadás 50 °C átlaghőmérsékleten megy végbe. Technikai okok miatt a környezetbe történő hőleadást — átmenetileg — csak 55 °C átlaghőmérsékleten tudjuk megvalósítani. Hogyan (mennyivel) módosul a hűtőteljesítmény és a hűtőkörfolyamat hatásossága, ha a körfolyamat fenntartása érdekében bevezetett mechanikai teljesítmény változatlan? (Végeredmény: A hatásosság 0,241 értékkel, míg a hűtőteljesítmény 4 kW-tal csökkent.)
3—45. FELADAT.
Egy ε = 3,7 hatásosságú hűtőkörfolyamatban a környezetnek leadott hőáram 74 kW, az elpárologtatás —22 °C állandó hőmérsékleten történik? Mekkora a hűtőteljesítmény, a hűtőgép hajtásához szükséges teljesítmény és milyen átlaghőmérsékleten történik a környezetbe történő hőleadás? (Végeredmény: 15,74 kW ,319,03 K)
3—46. FELADAT.
Egy fordított JOULE-BRAYTON-féle hűtőkörfolyamatban a nyomásviszony 4, a munkaközeget a kompresszió után 35 °C-ra hűtik le. Az expanzió és a kompresszió adiabatikus, a kompresszor belső hatásfoka 82%, míg a turbináé 92%. A hőfelvétel és a hőleadás egyaránt izobár. A szükséges hűtőteljesítmény (a hűtött térből elvont hőáram) 25 kW, a munkaközeg tömegárama 10 kg/s. A munkaközeg CO2 (állandó fajhőjű ideális gáznak tekinthető), melyre κ = 1,33, R=189 J/(kg·K).
— Ábrázolja a körfolyamatot az ideális gáz T—s diagramjában!
— Határozza meg a hűtőközeg hőmérsékletét a hűtött térbe való belépéskor és a hűtőgép hatásosságát (fajlagos hűtőteljesítményét) és a környezetbe leadott hőáram nagyságát!
MEGOLDÁS A körfolyamat T—s diagramban:
140
1
2
2*
4* 4
3
T
s
Az adiabatikus és reverzibilis expanzióra: 34 1
p
TT
rκ−κ
= =⎡ ⎤⎣ ⎦
218,5 K
A turbina belső hatásfoka 3 4*T
3 4
T TT T
−η =
− alapján:
( )3 T 3 44*T T T T= − η − = 225,6 K.
A hűtött térben történő hőfelvétel után a közeg hőmérséklete
( )el 1 4*pQ mc T T= − alapján: el1 4*
p
QT T
mc= + = 228,9 K.
Az adiab. és rev. kompresszióra: 1
2 1 pT T rκ−κ⎡ ⎤= =⎣ ⎦ 322,9 K.
A kompr. belső hatásfoka 2 1K
12*
T TT T
−η =
− alapján:
( )2 112*
K
T TT T
−= + =
η343,5 K.
A kompresszor teljesítménye: ( )K 12*pP mc T T= − = 873,0 kW.
A turbina teljesítménye: ( )T 3 4*pP mc T T= − = 628,5 kW.
A hűtőgép hajtásának teljesítmény igénye: K TP P P= − = 244,5 kW.
A hűtőgép hatásossága: elQP
ε = = 0,102.
A környezetbe leadott hőáram: ( )le 32*pQ mc T T= − = 269,5 kW.
141
4. Gőzkörfolyamatok
4.1. Vízgőz körfolyamatok
4—1. FELADAT.
Egy erőművi gőzkörfolyamatban a kazánon keresztüláramló 160 kg/s tömegáramú munkaközeg fajlagos entalpiája 3437,27 kJ/kg, míg fajlagos entrópiája 3,8061 kJ/(kgK) értékkel növekedett. Az erőművi gőzkörfolyamat termikus hatásfoka 50%. Mekkora a hőbevezetés és hőelvonás termodinamikai átlaghőmérséklete, mennyi a körfolyamat hasznos teljesítménye, valamint a közölt, ill. elvont hőáram? MEGOLDÁS
beh
Ts
∆= =∆
630,11 K
( )el be 1T T= − η =315,06 K.
beQ m h= ⋅ ∆ = 383,72 MW.
( )el be 1-Q Q= η = 191,86 MW.
be elP Q Q= − =191,86MW.
4—2. FELADAT.
Egy 36% termikus hatásfokú vízgőz körfolyamatban a hőelvonás 32 °C állandó hőmérsékleten történik. Mekkora a hőközlés termodinamikai átlaghőmérséklete és a körfolyamat hasznos teljesítménye, ha az elvont hőtel-jesítmény 500 MW? MEGOLDÁS
el elbe
be1
1T T
TT
η = − ⇒ = =− η
476,8 K el elbe
be1
1Q Q
η = − ⇒ =− η
elbe el el el
11
1 1Q
W Q Q Q Q⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − = − = − =⎜ ⎟⎜ ⎟− η − η⎝ ⎠⎝ ⎠
281,25 MW
142
4—3. FELADAT.
Egy reverzibilis vízgőz körfolyamatban a hőközlés során a munkaközeg fajlagos entalpiája 3289,2 kJ/kg, fajlagos entrópiája 5,967249 kJ/(kg·K) értékkel növekedett. A kondenzáció során a munkaközeg fajlagos entalpiája 1826,27 kJ/kg értékkel csökkent. Mekkora a körfolyamat termikus hatásfoka (0,4448) ?
4—4. FELADAT.
Egy geotermikus erőmű a mellékelt kapcsolás szerint üzemel. A föld mélyéből feltörő, enyhén túlhevített állapotú vízgőz (1) a 85 % hatásfokú turbinát forgatva egy generátor segítségével villamos energiát fejleszt. A villamos energia egy részét arra használják, hogy a kondenzált munkaközeget (3) ismét a föld mélyébe szivattyúzzák. Az egyes pontok paramétereit az alábbi táblázat tartalmazza. A szivattyúzás hatásfoka 75%! p, bar t, °C h, kJ/kg s, kJ/(kgK) v, m3/kg 1 6 180 2804,82 6,869123 ------------ 2 0,05 32,89 2561,59 6,869123 ------------ 3 0,05 32,89 137,77 0,476258 0,001005 4 50 -------- 0,476258 ------------
A * a valós (irre-verzibilis) állapot-változás végálla-potát jelenti!
– Ábrázolja a folyamatot vízgőz T—s diagramjában és számítsa ki az erőmű által szolgáltatott nettó villamos teljesítményt, ha a gőz tömegárama 97 kg/s!
1
2 (2*)
P
3
4
visszaszivattyúzás
MEGOLDÁS
143
0
100
200
300
400
500
600
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
T
s , kJ/(kgK)
°C
p 2
1
2* 3 2 expanzió 4
visszaszivattyúzás
Az valós expanzió vég entalpiája a turbina hatásfokának ismeretében: ( )1 1 22*h h h h= − η − =2598,0745 kJ/kg.
A turbina teljesítménye: ( )T 1 2*P m h h= − = 20,054 MW.
A szivattyú teljesítmény-igénye: ( )3 4 3
SZsziv.
v p pP m
−= =η
649,25 kW.
Az erőmű nettó teljesítménye e két teljesítmény különbsége: T SZP P P= − =19,4 MW.
4—5. FELADAT.
Egy túlhevített gőzös erőmű a mellékelt kapcsolás szerint üzemel. Az egyes pontok paramétereit az alábbi táblázat tartalmazza. A turbina belső hatásfoka 86 %, az expanzió adiabatikus. A gőz tömegárama 100 kg/s. A szivattyúzási folyamatot tekintse elhanyagolhatónak!
– Határozza a közeg fajlagos entrópiáját a valós expanzió végpontjában (3*)!
– Számítsa ki a körfolyamat teljesítményét és termikus hatásfokát!
1
2
G
3 (3*)
144
p, bar t, °C h, kJ/kg
s, kJ/(kgK)
v, m3/kg
1 0,05 32,89 137,77 0,476258 0,001005
2 160 550 3437,71 6,481585 0,021320 3 0,05 32,89 1975,70 6,481585 21,379451
A * a valós (irre-verzibilis) állapot-változás végállapotát jelenti!
MEGOLDÁS A folyamat vízgőz T—s diagramjában:
0
100
200
300
400
500
600
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
T
s, kJ/(kgK)
°C
p3 3 3*1
2
expanzió
Az valós expanzió vég entalpiája a turbina hatásfokának ismeretében:
( )2 2 33*h h h h= −η − = 2180,4 kJ/kg.
A turbina teljesítménye:
( )T 2 3*P m h h= − = 125,733 MW.
A valós expanzió végpontjában a közeg fajlagos entrópiája a ( )1 1 13* 3*h h T s s− = − egyenletből
13*13*
1
h hs s
T−
= + = 7,15 kJ/(kgK).
A körfolyamat termikus hatásfoka:
( )
T T
2 1be
P Pm h hQ
η = = =−
0,381.
145
4—6. FELADAT.
Az ábra szerinti T—s diagrammal és kapcsolási vázlattal adott túlhevített gőzös irreverzibilis expanziójú vízgőz-körfolyamat paramétereit a mellékelt táblázat tartalmazza. A gőzturbina hatásfoka 0,85. — Határozza meg a turbinából kilépő gőz fajlagos entalpiáját, fajlagos
entrópiáját és fajlagos gőztartalmát, valamint a hőbevezetés termodinamikai átlaghőmérsékletét!
— Számítsa ki körfolyamat hasznos teljesítményét, a kondenzátorban elvont hőt és a termikus hatásfokot, ha kazánból kilépő gőz tömegárama 100 kg/s és a szivattyúzási munkától eltekintünk!
p, bar t, °C h, kJ/kg s, kJ/(kgK) 1 150 550 3448,3 6,5213 2 0,05 32,89 1987,8 3 4 0,4763 5 2561,6
1
2 3 4 5
T
s
1
2 (3)4
G
MEGOLDÁS A turbina hatásfokának értelmezéséből a valós expanzió végentalpiája: ( )3 1 T 1 2h h h h= − η − = 2206,875 kJ/kg.
A kondenzátorból kilépő csapadék (telített) entalpiája: ( )4 2 2 4 2h h T s s= − − = 137,77 kJ/kg.
A turbinából kilépő gőz fajlagos gőztartalma a fordított karok szabályával:
3 43
5 4
h hx
h h−
=−
= 0,8536.
A turbinából kilépő gőz fajlagos entrópiája:
3 43 4
2
h hs s
T−
= + = 7,2372 kJ/(kgK).
A hőbevezetés termodinamikai átlaghőmérséklete: 1 41
1 4
h hT
s s−
=−
= 547,6 K
146
A termikus hatásfok: 1 3
1 4
h hh h
−η =
−= 0,3749.
A elvezetett hőteljesítmény: ( )el 3 4Q m h h= − = 206,91 MW A hasznos teljesítmény: ( )1 3P m h h= − = 124,14 MW
4—7. FELADAT.
Egy vízgőz-körfolyamatú erőmű kazánjából 100 kg/s tömegáramú, 160 bar nyomású és 550 °C hőmérsékletű túlhevített vízgőz lép ki, mely az első turbinában 40 bar nyomásig expandál. Ezután az expanziót megszakítjuk, a gőzt visszavezetjük a kazánba, majd állandó nyomáson ismételten túlhevítjük 550 °C-ra. Ezt követően a gőz ismét expandál a második turbinában, ezúttal 0,06 bar nyomásig. Mind az expanziók, mind pedig a szivattyúzás adiabatikus és reverzibilis.
— Határozza meg a körfolyamat hasznos teljesítményét, a bevezetett, ill. az elvont hőteljesítmény, termikus hatásfokot, valamint a hőbevezetés és hőelvonás termodinamikai átlaghőmérsékletét! A szivattyúzási munkát vegye figyelembe!
— Ábrázolja a körfolyamatot a mellékelt vízgőz log p—h diagramban és a szükséges adatokat is onnan vegye!
MEGOLDÁS A körfolyamat a vízgőz log p—h diagramjában:
100 600 1100 1600 2100 2600 3100 3600
0,040
0,060
0,0800,100
0,200
0,400
0,600
0,8001,000
2,000
4,000
6,000
8,00010,000
20,000
40,000
60,000
80,000100,000
160,000
s = 5,
75s =
6,00
s = 6,
25s =
6,50
s = 6,
75
s = 7,00
s = 7,25
s = 7,
50
s = 7,
75
s = 8,
00
s = 8,
25
s = 8,
50
s = 8,
75
s = 9,00
s = 9,
25
s = 9,50
s = 9,75
s = 10,00
s = 10,25
s = 0
, 50
s = 0
,75
s = 1
,00
s = 1
,25
s = 1
,50
s = 1
,75
s = 2
,00
s = 2
,25
s = 2
,50
s = 2
,75
s = 3
,00
s = 3
,25 s =
3,5
0
50
50
100
100
150
150
200
200
250
250
300
300
350 400 450 500 550 600
0,010
0,050
0,10
0,50
1,0
5,0
10
50
100
50
100
150
200
250
300
x = 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90s = 1,00 2,00 3,00 4,00 5,00 6,00 7,00
v= 0,010
v= 0,10
v= 1,0
v= 10
R718, vízgőz
Nyo
más
, bar
1 6
2 3
54
147
A diagramról leolvasható adatok: (A táblázatban szereplő értékek függvényekkel számolt, pontos adatok!) 1 2 3 4 5 6 h, kJ/kg 151,5 167,54 3437,41 3030,74 3558,6 2227,9 s,kJ/(kg·K) 0,5209 0,5209 6,4816 6,4816 7,2333 7,2333
A bevezetett hőteljesítmény: ( ) ( )[ ]be 3 2 5 4Q m h h h h= − + − = 379,77 MW.
Az elvont hőteljesítmény: ( )el 6 1Q m h h= − =207,64 MW.
A hőbevezetés átlaghőmérséklete: ( ) ( )3 2 5 4
be6 1
h h h hT
s s− + −
= =−
565,78 K.
A hőelvezetés átlaghőmérséklete: 6 1el
6 1
h hT
s s−
= =−
309,34 K.
A turbina teljesítménye: ( ) ( )[ ]T 3 4 5 6W m h h h h= − + − = 173,74 MW.
A szivattyú teljesítménye: ( )sz 2 1W m h h= − =1,604 MW.
A hasznos teljesítmény: T sz be elW W W Q Q= − = − = 172,13 MW.
A termikus hatásfok: el
be be1
T WT Q
η = − = = 0,4532.
4—8. FELADAT.
Egy RANKINE-CLAUSIUS-féle vízgőz-körfolyamatban a kazánból kilépő 100 kg/s tömegáramú túlhevített gőz 150 bar nyomású és 540 °C hőmérsékletű. Ez a gőz egy 85% belső hatásfokú turbinában adiabatikusan expandál a 0,05 bar kondenzátor nyomásig. A kondenzátorból kilépő tápvizet csapolt gőzzel, egy fokozatban 180 °C-ra melegítik elő. (A valóságos expanzió kezdő és végpontját a h—s diagramban egyenessel kösse össze!) A számításhoz szükséges adatokat a mellékelt T—s (h—s) diagramról olvassa le! A víz fajlagos entalpiáját számíthatja a víz víz °Ch c t= közelítéssel, ahol vízc = 4,2 kJ/(kg·K).
– Mennyi a körfolyamat hasznos teljesítménye és termikus hatásfoka, valamint mekkora a hőbevezetés termodinamikai átlaghőmérséklete?
– Ábrázolja a körfolyamatot T—s diagramban és rajzolja meg a kapcsolási vázlatot!
MEGOLDÁS
148
0
100
200
300
400
500
600
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
T
s , kJ/(kgK)
°C
p1
p 3
1
2 2*
3
4
5
1 2 3 2’ 5 (3’)
3421,4 1977,8 2930 137,77 763,11
Az egyes entalpiaértékeket a diagramról leolvasva (kJ/kg)
1
3
2
4 5
z
G
6
A szükséges entrópiaértékek a diagramról leolvasva:
1s = 6,4885 kJ/(kgK); 5s = 2,1393 kJ/(kgK)
A valós expanzió végpontja a turbina hatásfokának értelmezése alapján: ( )1 T 1 22*h h h h= − η − = 2194,2 kJ/kg.
Az előmelegítő hőmérlege: ( )4 3 5h m z zh mh− + =
ebből az előmelegítőt fűtő gőz tömegárama: 5 4
3 4
h hz m
h h−
=−
= 22,39 kg/s.
A bevezetett hőteljesítmény: ( )be 1 5Q m h h= − = 265,83 MW. A körfolyamat hasznos teljesítménye:
( ) ( ) ( )1 3 3 2*P m h h m z h h= − + − − = 106,22 MW.
A körfolyamat hatásfoka: be
PQ
η = = 0,3996.
A hőbevezetés termodinamikai átlaghőmérséklete: 1 51
1 5
h hT
s s−
=−
= 611,2 K.
149
4—9. FELADAT.
Egy túlhevített gőzös, egyfokozatú tápvízelőmelegítéssel rendelkező erőmű a mellékelt kapcsolás szerint üzemel. Az egyes pontok paramétereit az alábbi táblázat tartalmazza. Az expanzió és mindkét szivattyúzás adiabatikus és reverzibilis. A frissgőz (4 jelű pont) tömegárama 100 kg/s. A víz sűrűségét tekintse 1000 kg/m3-nek!
- Számítsa ki az előmelegítőt fűtő gőz tömegáramát, a körfolyamat hasznos teljesítményét, termikus hatásfokát és a hőbevezetés termodinamikai középhőmérsékletét! Ábrázolja a körfolyamatot vízgőz T—s diagramjában! A szivattyúzási folyamatokat vegye figyelembe!
sorsz. p, bar t, °C h, kJ/kg s, kJ/(kg·K) 1 0,05 32,898 137,77 0,476258 2 2,5 32,9 138,02 0,476258 3 2 120,23 504,7 1,53 4 160 550 3437,71 6,481585 5 0,05 32,898
6 2 120,23
1 2
G
3
4
5
6 3B
MEGOLDÁS A folyamat vízgőz T—s diagramjában:
0
100
200
300
400
500
600
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
T
s , kJ/(kgK)
°C
1,2
4
3,3B
5
6
A számításhoz szükséges fajlagos entalpiák: ( )6 3 3 6 3h h T s s= + − =2452,5 kJ/kg.
( )5 1 1 5 1h h T s s= + − = 1975,7 kJ/kg.
Az előmelegítő hőmérlege: 6 6 2 2 3 3m h m h m h+ = és 2 3 6m m m= − , így a csapolási gőzmennyiség:
3 26 3
6 2
h hm m
h h−
= =−
15,84 kg/s.
150
A turbina teljesítménye: ( ) ( ) ( )3 4 6 3 6 6 5P m h h m m h h= − + − − = 138 MW
A második szivattyú után a víz fajlagos entalpiája: ( )3B 3 3 3 4h h v p p= + − = 521 kJ/kg.
A szivattyúzási teljesítmények összege: ( ) ( )sz sz1,2 sz3,3B 2 2 1 3 3B 3P P P m h h m h h= + = − + − = 1276,04 kW
A bevezetett hőteljesítmény: ( )be 3 4 3BQ m h h= − = 293 MW
A termikus hatásfok: sz
be
P PQ−
η = = 0,466
A hőbevezetés termodinamikai középhőmérséklete: 4 3Bbe
4 3
h hT
s s−
= =−
589 K
4—10. FELADAT.
Az ábra szerinti kapcsolású atomerőművi nedvesgőz-körfolyamatban az expanzió az 50 bar nyomású száraz, telített állapotból indul és 85 %-os gőztartalomig tart. Ezután a nedves gőzt mechanikusan és állandó nyomáson szétválasztják száraz telített gőzre és telített vízre. A leválasztott vizet egy keverő előmelegítőben tápvízelőmelegítésre használják fel. A szétválasztás után az expanzió 0,05 bar nyomásig tart. Az expanziót mindkét esetben tekintse izentropikusnak, a szivattyúzási munkákat hagyja figyelmen kívül!
– Ábrázolja a körfolyamatot T—s diagramban (a kapcsolási vázlaton megadott pontokat jelölje be)!
– Határozza meg a körfolyamat teljesítményét és hatásfokát, ha a frissgőz tömegáram 1600 t/h!
gőzfejlesztő
cseppleválasztó
keverő előmelegítő
1
2
3
4
P Q be .
MEGOLDÁS A körfolyamat T—s diagramban:
151
0
100
200
300
400
500
600
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
T
s , kJ/(kgK)
°C
p4
p1 1
2
3"3
4
x= 85 %3'
4'
mechanikus gőzszárítás
Az egyes entalpiaértékeket a diagramról leolvasva: kg/kJ-ban
1 3 3’ 3” 4 4’ 2794,2 2456 712,85 2765,6 2035 137,8
A keverő előmelegítő mérlegegyenletéből a kilépő tápvíz (2) entalpiája: ( )2 4 31h x h x h′ ′= ⋅ + − = 224,06 kJ/kg.
A körfoly. teljesítménye: ( ) ( )1 3 3 41P mw m h h x h h′′= = ⋅ − + −⎡ ⎤⎣ ⎦= 313 MW.
A bevitt hő: ( )be 1 2Q m h h= − = 1142,3 MW.
A körfolyamat termikus hatásfoka: Thbe
PQ
η = = 0,274 (27,4 %).
4—11. FELADAT.
Magas nyomásokat alkalmazó vízgőz körfolyamatok esetében a nagy nedvesség tartalmú gőz expanziójának elkerülése érdekében ún. újrahevítést alkalmaznak. Határozzuk meg a következő paraméterekkel jellemzett vízgőz körfolyamat termikus hatásfokát és fajlagos munkáját!
a) Kazán tápnyomása 225 bar, a turbinába lépő túlhevített gőz hőmérséklete 500 °C. A kondenzáció 0,05 bar nyomáson történik.
b) Az a) szerinti körfolyamatban 20 bar nyomáson újrahevítést alkalmazunk az eredeti (500 °C-os) hőmérsékletig.
Mind az a) és a b) esetben a turbinák belső hatásfoka egyaránt 0,87. MEGOLDÁS
152
0
100
200
300
400
500
600
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
T
s, kJ/(kgK)
°C
p3
p1
p2
1,2
4 4'
3
6
expanzió
6'
5
4(a)
4'(a)
[kJ/kg] h1= 150 h3=3200 h4=2650 h4'=2721 h5=3460 h6=2260 h6'=2416 h7=1840
az entalpiák ismeretében az egyes szakaszokon közölt hôk: a./ [1,2--3] szakaszon: q0=3200-150=3050 [3--4'(a)] szakaszon: w0=0.87*(3200-1840)=1183 η=w0/q0=1183/3050=0.388 b./ [1,2--3] szakaszon: qbe1=3200-150=3050 [4'--5] szakaszon: qbe2=3460-2720=740 [3--4'] szakaszon: w1=0.87*(3200-2650)=478 [5--6'] szakaszon: w2=0.87*(3460-2260)=1044 η=(w1+w2)/(q1+q2)=0.402
4—12. FELADAT.
Az alábbi ábra szerinti kapcsolási vázlattal és T—s diagrammal adott kétfokozatú regeneratív tápvízelőmelegítéssel rendelkező ideális gőzkörfolyamat jellemzőit a mellékelt táblázat tartalmazza.
– Határozza meg a körfolyamat termikus hatásfokát, ha a szivattyúzási munkáktól eltekintünk!
p t h s bar °C kJ/kg kJ/(kgK) 1 100 500 3374,1 6,5984 2 0,04 28,98 2’ 121,4 0,4224 e1 0,5 2293,2 e1’ 81,35 1,0912 e2 133,54 e2’ 3 561,4 1,6717
153
T
s
1
22'e1
e2
e1'
e2'
e1
e1'
e2
e2'
2
2'
1
G
MEGOLDÁS
turbinából kilépő gőz entalpiája: ( )e2 e2 e2 1 e2h h T s s′ ′= + − = 2565,04 kJ/kg.
Az első előmelegítőből kilépő csapadék (telített) entalpiája: ( )e1 e1 e1 1 e1h h T s s′ ′= − − = 340,89 kJ/kg.
A kondenzátorba lépő gőz entalpiája: ( )2 2 2 1 2h h T s s′ ′= + − = 1987,35 kJ/kg.
Az első előmelegítő hőmérlege: ( ) ( )e1 e1 e1 e2 2 e2 e1m h m m m h m m h′ ′+ − − = − .
A második előmelegítő hőmérlege: ( ) ( )e2 e2 e2 1 e2em h m m h m h′ ′+ − = .
E két egyenletből a megcsapolási gőzmennyiségek (relatív tömegáram): e1m = 0,088818; e2m = 0,10549.
A körfolyamat termikus hatásfoka:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
1 e2 e2 e2 e1 e2 e1 e1 2
1 e2
m h h m m h h m m m h hm h h
− + − − + − − −η =
′−= 0,4651.
4—13. FELADAT.
Egy kondenzációs vízgőz körfolyamatban a turbinába belépő túlhevített gőz nyomása 50 bar, hőmérséklete 440 °C, a kondenzátor nyomás 0,2 bar.
– A mellékelt T—s diagram segítségével határozza meg a turbinából kilépő nedves gőz víztartalmát, számítsa ki a kinyerhető fajlagos munkát, és a körfolyamat termikus hatásfokát!
– Mekkora a hőbevezetés közepes hőmérséklete?
– A kinyert munka hány százalékát kell a tápszivattyú hajtására felhasználni? (A víz sűrűsége 1000 kg/m3.)
MEGOLDÁS A körfolyamat T—s diagramban:
154
Az egyes entalpia és entrópia értékeket a diagramról leolvasva: h1 h2 h3 s2 s3 3300 kJ/kg 2220 kJ/kg 260 kJ/kg 6,8 kJ/(kg·K) 0,95 kJ/(kg·K) A végnedvesség a diagramról leolvasva: x2 = 0,85, azaz a víztartalom 15 %. A kinyerhető fajlagos munka: 1 2w h h= − = 1080 kJ/kg.
A bevezetett fajlagos hőmennyiség: 1 3q h h= − = 3040 kJ/kg.
A körfolyamat termikus hatásfoka: wq
η = = 0,355.
A hőbevezetés termodinamikai átlaghőmérséklete: 11 3
qT
s s=
−= 519,66 K.
A szivattyú hajtásához szükséges fajlagos munka:
( )34 4 3
1w p p= −
ρ= 4,92 kJ/kg.
Ez a kinyerhető fajlagos munkának 34ww
= 0,0095, azaz 0,95 %-a.
4—14. FELADAT.
Az ábra szerinti T—s diagrammal és kapcsolási vázlattal adott újrahevített-gőzös, egyfokozatú regeneratív tápvízelőmelegítéssel rendelkező reverzibilis vízgőz-körfolyamat paramétereit a mellékelt táblázat tartalmazza.
– Számítsa ki körfolyamat hasznos teljesítményét, a kondenzátorban elvont hőt és a termikus hatásfokot, ha kazánból kilépő gőz tömegárama 100 kg/s!
155
– Határozza meg a hőbevezetés termodinamikai átlaghőmérsékletét! p, bar t, °C h, kJ/kg s, kJ/(kgK)
1 170 560 3454,5 6,4767
2 50 355,22 3085,07
3 50 560 3572,04 7,1494
4 0,04 28,98
5 121,41 0,4224
6 1 99,96
7 417,5 1,3027
T
s
1
4
3
2
67
5
1
4
5
G
2 3
6
7
MEGOLDÁS A kondenzátorból kilépő gőz entalpiája: ( )4 5 4 4 5h h T s s= + − = 2153,84 kJ/kg.
Az előmelegítőbe lépő csapolt gőz entalpiája: ( )6 7 6 4 7h h T s s= + − = 2598,96 kJ/kg.
Az előmelegítő hőmérlege (relatív tömegáramokkal): ( )5 6 71h z zh h− + = .
Ebből az egyenletből a relatív csapolási gőzmennyiség:
7 5
6 5
h hz
h h−
=−
= 0,1195.
A hasznos teljesítmény: ( ) ( ) ( ) ( )[ ]1 2 3 6 6 41P m h h h h z h h= − + − + − − = 173,387 MW.
A kondenzátorban elvont hő: ( ) ( )el 4 51Q m z h h= − − = 218,15 MW.
A körfolyamat termikus hatásfoka: ( ) ( )[ ]1 7 3 2
Pm h h h h
η =− + −
= 0,49.
A hőbevezetés termodinamikai átlaghőmérséklete: ( ) ( )1 7 3 2
be3 7
h h h hT
s s− + −
=−
= 602,73 K.
156
4—15. FELADAT.
Egy vízgőz körfolyamat kazánjából 50 bar nyomású, 450 °C hőmérsékletű gőzt nyerünk. A turbina utáni kondenzátorban a nyomás 0,05 bar. Két fokozatú regeneratív tápvízelőmelegítést alkalmazunk, az elsőben 100 °C, a másodikban pedig 150 °C hőmérsékletre melegítjük a tápvizet. Az expanziót tekintse veszteségmentesnek. A gőz adatait vegye h—s, a vízéit pedig T—s diagramból!
– Ábrázolja a körfolyamatot vízgőz T—s diagramban!
– Rajzolja fel a körfolyamat kapcsolási vázlatát és határozza meg termikus hatásfokát!
MEGOLDÁS
A nagynyomású (150 °C) előmelegítő hőmérlege:
( ) ( ) ( )2 2 7 2 7 61z h h z h h⋅ − = − ⋅ −
ebből
1 2 3 4 5 6 7 3341 2720 2460 2165 140 420 625 Entalpiák diagramról leolvasva, kJ/kg
157
2z = 0,1085 kg/kg.
A kisnyomású (100 °C) előmelegítő hőmérlege:
( ) ( ) ( )1 3 6 1 2 6 51z h h z z h h⋅ − = − − ⋅ −
ebből 1z = 0,142 kg/kg.
A fajlagos munka:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 2 2 3 2 1 3 41 1 1w h h z h h z z h h= ⋅ − + − ⋅ − + − − ⋅ − = 1047 kJ/kg
A fajlagos bevezetett hőmennyiség: be 1 7q h h= − = 2689 kJ/kg.
A körfolyamat termikus hatásfoka:
be
wq
η = = 0,389 = 38,9 %.
4—16. FELADAT.
Egy újrahevítéses vízgőz körfolyamat kazánjából 150 bar nyomású, 550 °C hőmérsékletű gőzt nyerünk. Az első turbina fokozatban a gőz 50 bar nyomásig expandál, majd a kezdeti hőmérsékletre újrahevítjük. A kondenzátorban a nyomás 0,05 bar. Mindkét turbina belső hatásfoka 85 %. A gőz adatait vegye h—s, a vízéit pedig T—s diagramból!
– Ábrázolja a körfolyamatot vízgőz T—s diagramban!
– Rajzolja fel a körfolyamat kapcsolási vázlatát, és határozza meg a termikus hatásfokát!
MEGOLDÁS
0
100
200
300
400
500
600
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
T
s , kJ/(kgK)
°C
pk
p1
p2
1
2
4
57
3
6
158
14
5(6)
7
2(3)
A turbina hatásfokának értelmezéséből: ( )3 1 1 2h h h h= − η − = 3163,64 kJ/kg.
( )6 4 4 5h h h h= −η − = 2378,2 kJ/kg.
A fajlagos munka: ( ) ( )1 3 4 6w h h h h= − + − = 1455,5 kJ/kg.
A fajlagos bevezetett hőmennyiség:
( ) ( )be 1 7 4 3q h h h h= − + − = 3695,9 kJ/kg.
A körfolyamat termikus hatásfoka:
be
wq
η = = 0,3938 = 39,38 %.
4—17. FELADAT.
Az alábbi ábra szerinti kapcsolási vázlattal és T—s diagrammal adott atomerőművi telített gőzös ideális vízgőz körfolyamat jellemzőit a mellékelt táblázat tartalmazza. A mechanikus gőzszárítás során leválasztott csapadékot (8) a tápvízáramba keverjük. Határozza meg a körfolyamat termikus hatásfokát és a hőbevezetés termodinamikai átlag-hőmérsékletét ha a szivattyúzási munkáktól eltekintünk! p, bar t, °C h, kJ/kg s, kJ/(kgK)
1 50 263,9 2794,2 5,9735
2 10 2500,12
3 179,88 6,5828
4 0,05 32,89 2006,7
5 8,3959
6 0,4763
1 2 4 5 7 3448,33 3113,4 3548,98 2171,56 137,77 Az egyes entalpiákat a megfelelő diagramról leolvasva, kJ/kg
159
7 0,7315
8 2,1382
gőzfejlesztő
cseppleválasztó
keverő előmelegítő
1
7
2
4
PQbe.
3
8
6
0
100
200
300
400
500
600
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
T
s, kJ/(kgK)
°C
p4
p1 1
7
32
4
8
6
mechanikus gőzszárítás
5
MEGOLDÁS A leválasztott csapadékvíz fajlagos entalpiája: ( )8 3 3 3 8h h T s s= − − = 762,6 kJ/kg.
A kondenzátorból kilépő csapadék fajlagos entalpiája: ( )6 4 4 4 6h h T s s= − − = 137,77 kJ/kg.
A gőztartalom a mechanikus gőzszárítás előtt a fordított karok szabályával:
2 82
3 8
s sx
s s−=−
= 0,863.
A leválasztott csapadékvíz bekeverése után a tápvíz entalpiája: ( )7 2 8 2 61h x h x h= − + = 223,37 kJ/kg.
160
A körfolyamat termikus hatásfoka: ( ) ( )1 2 2 3 4
1 7
h h x h hh h
− + −η =
−= 0,37.
A hőbevezetés termodinamikai átlaghőmérséklete:
1 7
1 7be
h hT
s s−
=−
= 490,43 K.
4—18. FELADAT.
Egy túlhevített gőzös erőmű kapcsolási vázlatát a mellékelt ábra, egyes pontjaiban a közeg állapotát a táblázat adatai mutatják. Az expanzió 82 %-os belső hatásfokú turbinában történik (a táblázat adatai ennek figyelembevételével vannak feltüntetve). Mindkét felületi előmelegítő hatásossága 0,82. A szivattyúk belső hatásfoka 75 %. A csapadékvíz előrekeverése miatti entalpianövekedés elhanyagolható. A tápvíz fajhője 4,2 kJ/(kg·K). A frissgőz tömegárama 200 kg/s. – Ábrázolja jellegre helyesen (a szivattyúzási folyamatokat is figyelembe
véve) a körfolyamatot vízgőz T—s diagramban és töltse ki a táblázat üresen hagyott rovatait!
– Határozza meg az erőmű bruttó és nettó hatásfokát!
1
24 35
6
7
9
8
11 1012
p, bar t, °C h, kJ/kg s, kJ/(kg·K) v, m3/kg
1 0,05 32,98 137,77 0,4763 0,001 2 160 ---------- 3 160 ---------- 4 160 ---------- 5 160 ---------- 6 160 550 3437,71 6,4816 ----------
161
7 1,9854 120 2629,12 6,9338 ---------- 8 0,3855 75 2436,68 7,1128 ---------- 9 0,05 32,98 2238,86 7,3415 ---------- 10 0,3855 120 1,0154 0,001 11 160 ---------- 12 1,9854 75 1,5276 ----------
162
4.2. Gőz hűtőkörfolyamatok
4—19. FELADAT.
A 2-metil-propán ( )[ ]3 3CH CH (R600a, izobután) munkaközegű hűtőgép elpárologtatója —20 °C, míg kondenzátora +40 °C hőmérsékleten üzemel. Kompresszorának hatásfoka 80%. Az elvonandó hőteljesítmény 150 kW.
— Ábrázolja a körfolyamatot a munkaközeg mellékelt log p—h diagramjában! A számításhoz szükséges adatokat is onnan vegye!
— Határozza meg a munkaközeg tömegáramát, a leadott hőáramot, a hűtőkörfolyamat hatásosságát (fajlagos hűtőteljesítményét), valamint a kompresszor hajtásához szükséges teljesítményt!
MEGOLDÁS
Fajlagos entalpia, kJ/kg50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650 700 750 800 850
Nyomás, bar
0,20
0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 1,00 1,00
2,00
3,00 4,00 5,00 6,00 7,00 8,00 9,00 10,00
20,00
30,00
s = 2,40s = 2,50 s = 2,60 s = 2,70
s = 2,80
s = 2,90
s = 3,00 s = 3,10
s = 3,20
-40
-40
-30
-20
-20
-10
0
0
10
20
20
30
40
40
50
60
60
70
80
80
90
100
100
110
120
120
140
0,015 0,020 0,030 0,040 0,050 0,060 0,070 0,080 0,090 0,10
0,15 0,20
0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 1,0
1,5 2,0
3,0
-40
-30
-20
-10 0
10 20
30 40
50 60
70
80
90
100110 120
x = 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90s = 0,80 1,00 1,20 1,40 1,60 1,80 2,00 2,20
v= 0,0060v= 0,0080
v= 0,010
v= 0,015
v= 0,020
v= 0,030
v= 0,040
v= 0,060
v= 0,080
v= 0,10
v= 0,15
v= 0,20
v= 0,30
v= 0,40
v= 0,60
v= 0,80v= 1,0
DTU, Department of Energy Engineering s in [kJ/(kg K)]. v in [m^3/kg]. T in [şC]
M.J. Skovrup & H.J.H Knudsen. 03-12-29 R600a Ref :W.C.Reynolds: Thermodynamic Properties in SI
A diagramról leolvasható adatok, ill. számított (szürke háttér):
t, °C h, kJ/kg s, kJ/(kg·K) 1 —20 528,8 2,31 2 46,3 603,2 2,31 2* 46,3 621,8 2,37
163
3 40 295,2 4 —20 295,2
A kompresszorból kilépő közeg fajlagos entalpiája:
2 112*
K
h hh h
−= + =
η621,8 kJ/kg.
A fajlagosan elvont hőmennyiség: el 4 1q h h= − = 233,6 kJ/kg.
A szükséges munkaközeg tömegáram: el
el
Qm
q= =0,642 kg/s.
A teljesítmény-szükséglet: ( )12*W m h h= − = 59,72 kJ/kg.
A leadott hőteljesítmény: ( )le el 32*Q Q W m h h= + = − = 209,72 kW.
A hűtőkörfolyamat hatásossága: elQW
ε = = 2,51.
4—20. FELADAT.
A 2-metil-propán ( )[ ]3 3CH CH (R600a, izobután) munkaközegű hűtőgépben az elpárologtatás —30 °C, míg kondenzáció +50 °C hőmérsékleten megy végbe. Kompresszorának hatásfoka 85%. A hűtött térből elvonandó hőteljesítmény 50 kW.
— Ábrázolja a körfolyamatot a munkaközeg mellékelt log p—h diagramjában! A számításhoz szükséges adatokat is onnan vegye!
— Határozza meg a munkaközeg tömegáramát, a leadott hőáramot, a hűtőkörfolyamat hatásosságát (fajlagos hűtőteljesítményét), valamint a kompresszor hajtásához szükséges teljesítményt!
(Eredmény: m = 0,2567 kg/s., leQ = 80,21 kW., ε = 1,66., W = 30,21 kW.)
4—21. FELADAT.
Egy NH3 munkaközeggel dolgozó hűtőgép kondenzátorában a munkaközeg +20 °C-on kondenzálódik, az elpárologtatóban pedig —10 °C uralkodik.
– Ábrázolja a körfolyamatot T—s és log p—h diagramokban!
– Reverzibilis kompresszió esetén mekkora hőmérséklettel lép a munkaközeg a kondenzátorba?
– Számítsa ki a fajlagos hűtőteljesítményt és a kompresszor hajtásához szükséges teljesítményt, ha a munkaközeg tömegárama 1 kg/h!
164
MEGOLDÁS A kompresszor által beszívott telített gőz: =1h 1730 kJ/kg;
a komprimált gőz: =2h 1895 kJ/kg, =2t 60,5 °C
a telített folyadék: =3h 595 kJ/kg
Fajlagos hűtőteljesítmény: =−−
=ε12
31hhhh
6,88.
A kompresszor teljesítménye: ( ) =−= 12K hhmP 45,83 W.
4—22. FELADAT.
Egy NH3 munkaközegű hűtőgép elpárologtatója -10 °C, kondenzátora +20 °C-on üzemel. A kompresszió adiabatikus és reverzibilis. A hűtőkörfolyamat hatásosságának növelése érdekében a kompressziót 5 bar nyomásnál megszakítjuk és a hűtőközeget telítési hőmérsékletéig hűtjük vissza, valamint a kondenzátorból kilépő munkaközegnél +15 °C-ig tartó folyadék utóhűtést alkalmazunk. – Határozza meg a körfolyamat hatásosságát (ε)! – Ábrázolja a körfolyamatot log p—h diagramban! – Mekkora lenne a hűtőkörfolyamat hatásossága abban az esetben, ha a
kompresszió egyfokozatú lenne és utóhűtést sem alkalmaznánk? Ábrázolja ezt a körfolyamatot is log p—h diagramban!
4—23. FELADAT.
Egy kompound kapcsolású, NH3 munkaközegű hűtőgép elpárologtatója -20 °C, kondenzátora +30 °C-on üzemel. A kompresszió adiabatikus és reverzibilis. A közbenső nyomás a szélső nyomásértékek mértani középértéke.
– Határozza meg a körfolyamat hatásosságát (ε)! – Ábrázolja a körfolyamatot log p—h és T—s diagramban! – Mekkora lenne a hűtőkörfolyamat hatásossága abban az esetben, ha a
kompresszió egyfokozatú lenne? Ábrázolja ezt a körfolyamatot is log p—h és T—s diagramban!
165
5. Valóságos közegek
5—1. FELADAT.
A nitrogén gáz viselkedését a DIETERICI-féle állapotegyenlettel a
RTvRTp e
v b
−=
−
írjuk le, ahol a és b anyagjellemző állandók. A pc és vc fajhőket tekintse a
hőmérséklettől függetlennek!
— Adja meg a közeg a fajlagos belső energiájának ( ),u T v függvényét! (Elegendő a du differenciálfüggvény megadása!)
Segítségül:
1
v v
s uT T T∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞=⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠
és .
pp áll
sc T
T =
∂⎛ ⎞= ⎜ ⎟∂⎝ ⎠és
.. p állT áll
s vp T ==
∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠
vv
uc
T∂⎛ ⎞ =⎜ ⎟∂⎝ ⎠
és T v
u pT p
v T∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞= −⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠
és 1
T T
s up
v T v⎡ ⎤∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
MEGOLDÁS Mivel a fajlagos belső energia ( ),u T v kétváltozós függvény, így teljes megváltozása:
d d dv T
u uu T v
T v∂ ∂
= +∂ ∂
.
A parciális deriváltak a segítség alapján:
vv
uc
T∂⎛ ⎞ =⎜ ⎟∂⎝ ⎠
és T v
u pT p
v T∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞= −⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠
A szükséges parciális deriváltak:
a aRTv RTv
v
p R e a eT v b Tv v b
⎛ ⎞ ⎛ ⎞− −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠∂ ⋅⎛ ⎞ = + ⋅⎜ ⎟∂ − −⎝ ⎠
( )
aRTv
T
u ae
v v v b
⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠∂⎛ ⎞ =⎜ ⎟∂ −⎝ ⎠
A fajlagos belső energia differenciálja:( )
d d da
RTvv
au c T e v
v v b
⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠
⎡ ⎤⎢ ⎥= +
−⎢ ⎥⎣ ⎦.
166
5—2. FELADAT.
Szén-dioxid gáz viselkedését a VAN DER WAALS állapotegyenlettel
( )2a
p v b RTv
⎛ ⎞+ − =⎜ ⎟⎝ ⎠
írjuk le, ahol a és b anyagjellemző állandók.
— Adja meg a közeg a fajlagos belső energiájának ( ),u T v függvényét!
Segítségül:
.. p állT áll
h vv T
p T ==
∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠és
.p
p áll
sc T
T =
∂⎛ ⎞= ⎜ ⎟∂⎝ ⎠és
.. p állT áll
s vp T ==
∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠
vv
uc
T∂⎛ ⎞ =⎜ ⎟∂⎝ ⎠
és T v
u pT p
v T∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞= −⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠
és .
1
p áll
vv T =
∂⎛ ⎞β= ⎜ ⎟∂⎝ ⎠ és
.
1
T áll
vv p =
∂⎛ ⎞χ = − ⎜ ⎟∂⎝ ⎠
MEGOLDÁS Mivel a fajlagos belső energia ( ),u T v kétváltozós függvény, így teljes megváltozása:
d d dv T
u uu T v
T v∂ ∂
= +∂ ∂
A parciális deriváltak a segítség alapján:
vv
uc
T∂⎛ ⎞ =⎜ ⎟∂⎝ ⎠
és T v
u pT p
v T∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞= −⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Az állapotegyenlet p-re rendezett alakja:
2RT a
pv b v
= −−
A szükséges parciális deriváltak:
v
p RT v b∂⎛ ⎞ =⎜ ⎟∂ −⎝ ⎠
2T
u av v∂⎛ ⎞ =⎜ ⎟∂⎝ ⎠
A fajlagos belső energia differenciálja: 2d d dva
u c T vv
= +
A fajlagos belső energia függvénye: ( )0 00
1 1vu u c T T a
v v⎛ ⎞− = − − −⎜ ⎟⎝ ⎠
167
5—3. FELADAT.
A nitrogén gáz viselkedését a BERTHELOT-féle állapotegyenlettel
2RT a
pv b Tv
= −−
írjuk le, ahol a és b anyagjellemző állandók. A pc és vc
fajhőket tekintse a hőmérséklettől függetlennek! — Adja meg a közeg a fajlagos belső energiájának ( ),u T v
függvényét! Segítségül:
1
v v
s uT T T∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞=⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠
és .
pp áll
sc T
T =
∂⎛ ⎞= ⎜ ⎟∂⎝ ⎠ és
.. p állT áll
s vp T ==
∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠
vv
uc
T∂⎛ ⎞ =⎜ ⎟∂⎝ ⎠
és T v
u pT p
v T∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞= −⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠
és 1
T T
s up
v T v∂ ∂⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
MEGOLDÁS Mivel a fajlagos belső energia ( ),u T v kétváltozós függvény, így teljes megváltozása:
d d dv T
u uu T v
T v∂ ∂
= +∂ ∂
A parciális deriváltak a segítség alapján:
vv
uc
T∂⎛ ⎞ =⎜ ⎟∂⎝ ⎠
és T v
u pT p
v T∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞= −⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠
A szükséges parciális derivált:
2 2v
p R aT v b T v∂⎛ ⎞ = +⎜ ⎟∂ −⎝ ⎠
A fajlagos belső energia teljes differenciálja:
22
d d dva
u c T vTv
= +
A fajlagos belső energia megváltozása:
( ) ( )( )0
0 00 0
2v
a v vu u c T T
T vv−
− = − +
5—4. FELADAT.
A VAN DER WAALS állapotegyenletből ( ){ }2a
p v b RTv
⎛ ⎞+ − =⎜ ⎟⎝ ⎠
:
a) vezessen le egy kifejezést a dp teljes differenciálra! b) mutassa meg, hogy a dp-re kapott kifejezés vegyes másodrendű
parciális deriváltjai egyenlők!
168
c) vezessen le egy kifejezést a p
vT∂⎛ ⎞⎜ ⎟∂⎝ ⎠
parciális deriváltra!
Segítségül:
.. p állT áll
h vv T
p T ==
∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠és
.p
p áll
sc T
T =
∂⎛ ⎞= ⎜ ⎟∂⎝ ⎠és
.. p állT áll
s vp T ==
∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠
MEGOLDÁS Definíció szerint a ( ),p p T v= függvény teljes differenciálja:
d d dv T
p pp T v
T v∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠
A VAN DER WAALS állapotegyenletből a nyomásra vonatkozó összefüggés:
2RT a
pv b v
= −−
A parciális deriváltak:
v
p RM
T v b∂⎛ ⎞= =⎜ ⎟∂ −⎝ ⎠
és ( )2 3
2
T
p RT aN
v vv b∂⎛ ⎞= = − +⎜ ⎟∂⎝ ⎠ −
A dp teljes differenciál ennek megfelelően:
( )2 3
2d d d
R RT ap T v
v b vv b⎛ ⎞⎛ ⎞= + − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ −⎝ ⎠
A vegyes másodrendű parciális deriváltak:
( )2T v T
M p Rv v T v b
∂ ∂ ∂⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ −⎣ ⎦
( )2v T v
N p RT T v v b∂ ∂ ∂⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ −⎣ ⎦
Amint látható, a vegyes másodrendű parciális deriváltak egymással egyenlők.
A p
vT∂⎛ ⎞⎜ ⎟∂⎝ ⎠
kifejezés levezetéséhez felhasználjuk a kétváltozós függvények
következő tulajdonságát: 1p T v
v p TT v p∂ ∂ ∂⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Ebből az egyenletből
( )( ) ( )2 3
2v
p
T
p Rv T v b
p RT aTv vv b
∂∂ ∂⎛ ⎞ −= − = −⎜ ⎟ ∂∂⎝ ⎠ − +
∂ −
169
5—5. FELADAT.
Szén-dioxid gáz viselkedését a BERTHELOT—féle állapotegyenlettel
2RT a
pv b Tv
= −−
írjuk le, ahol a és b anyagjellemző állandók.
— Adja meg a közeg a fajlagos belső energiájának ( ),u T v függvényét?
Segítségül:
.. p állT áll
h vv T
p T ==
∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠és
.p
p áll
sc T
T =
∂⎛ ⎞= ⎜ ⎟∂⎝ ⎠ és
.. p állT áll
s vp T ==
∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠
vv
uc
T∂⎛ ⎞ =⎜ ⎟∂⎝ ⎠
és T v
u pT p
v T∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞= −⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠
és .
1
p áll
vv T =
∂⎛ ⎞β= ⎜ ⎟∂⎝ ⎠ és
.
1
T áll
vv p =
∂⎛ ⎞χ = − ⎜ ⎟∂⎝ ⎠
(Eredmény : ( )0 00 0
2 1 1v
au u c T T
T v v⎛ ⎞− = − − −⎜ ⎟⎝ ⎠
.)
5—6. FELADAT.
A 1T =800 K hőmérsékletű és 1p = 2,2 MPa nyomású nem ideális gáz nyomása adiabatikus és reverzibilis expanzió következtében 2p = 100 kPa értékre csökken. A gáz viselkedését a ( )pv RT B T p= + állapotegyenlet írja le, ahol ( ) 3( ) 9,7 0,023 10B T T −= − − ⋅ ⋅ . A gáz specifikus gázállandója: 189 J/(kg·K), izobár fajhője 1 bar nyomáson 762 J/(kg·K), adiabatikus kitevője 1,3.
— Mekkora lesz a gáz hőmérséklete az expanzió végén? Mennyivel változik a gáz fajlagos entalpiája az expanzió során?
Segítségül:
.. p állT áll
h vv T
p T ==
∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠és
.p
p áll
sc T
T =
∂⎛ ⎞= ⎜ ⎟∂⎝ ⎠ és
.. p állT áll
s vp T ==
∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠
MEGOLDÁS Adiabatikus és reverzibilis expanzió: .s áll= , 0s∆ =
Az ( ),s T p entalpiafüggvény teljes differenciálja:d d dp T
s ss T p
T p∂ ∂
= +∂ ∂
Az állapotegyenlet rendezett alakja:
RTv a bT
p= − + , ahol 39,7 10a −= ⋅ és 623 10b −= ⋅ , és
v Rb
T p∂
= +∂
A folyamat T—s diagramban:
170
p1 p
2 T
s
h1=áll.
∆T
integrálási út
h2=áll.
s=áll.
A segítség felhasználásával: d d dp
p
c vs T p
T T∂
= −∂
.
Az entrópiaváltozás: ( )2 22 1 2 1
1 1ln lnp
T ps s c R b p p
T p− = − − − =0.
Az expanzió véghőmérséklete:( )2
2 11
2 1
lnexp
p
pR b p p
pT Tc
⎛ ⎞+ −⎜ ⎟= =⎜ ⎟
⎜ ⎟⎝ ⎠
348,82 K
A ( ),h T p entalpiafüggvény teljes differenciálja: d d dp T
h hh T p
T p∂ ∂
= +∂ ∂
.
A segítség felhasználásával: 2 2
1 1
d dT p
pT p
h c T a p∆ = + −∫ ∫ .
Az entalpia megváltozása: ( ) ( )2 1 2 1ph c T T a p p∆ = − − − = 21,132 kJ/kg.
5—7. FELADAT.
Egy közeg állapotegyenlete a következő: (1 )/v b RT ap p= + − . Egy kompresszor t = 15 °C hőmérsékleten a közeg 50 kg/s tömegáramát 1 bar-ról 15 bar-ra komprimálja izotermikusan. Az állapotváltozás kvázistatikusan és súrlódásmentesen megy végbe. – Mekkora a kompresszor hajtásához szükséges teljesítmény? – Az állandó hőmérséklet biztosításához mekkora hőáramot kell a
közegből elvonni?
171
– Mekkora a közeg fajlagos entrópiájának és fajlagos belső energiájának megváltozása a kompresszió során?
2 38 4m m2,5 10 ; =9 10N kg
a b− −= ⋅ ⋅ ; J300kg K
R = ⋅ .
Segítségül: .. p állT áll
h vv T
p T ==
∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠.
MEGOLDÁS Írjuk fel a kompresszorra az I. főtétel nyitott rendszerre vonatkozó alakját:
( )ki
be
ki be dp
p
h h q v p− = + ∫ .
Az entalpiaváltozás az entalpia ( ),h p T kétváltozós függvény teljes differenciáljából
. .
d d dp áll T áll
h hh T p
T p= =
∂ ∂= +∂ ∂
.
Felhasználva, hogy .
pp áll
hc
T =
∂=∂
,
valamint a segítségül felírt .. p állT áll
h vv T
p T ==
∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠ egyenletet a fenti
egyenlet, tekintve, hogy az állapotváltozás izotermikus volt ( )d 0T =
d dp
vh v T p
T⎛ ⎞∂
= −⎜ ⎟∂⎝ ⎠
alakban írható fel. A fajlagos entalpia megváltozása a kijelölt műveleteket elvégezve:
( )ki
be
ki bedp
p
RT Rh b RTa T Ra p b p p
p p⎡ ⎛ ⎞ ⎤∆ = + − − − = −⎜ ⎟⎢ ⎥⎣ ⎝ ⎠ ⎦∫ =1,26 kJ/kg.
A komprimáláshoz szükséges fajlagos technikai munka:
( ) ( )ki ki
be be
kitech ki be ki be
bed d ln
p p
p p
RT pw v p b RTa p b p p RT RTa p p
p p⎛ ⎞= = + − = − + − − =⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫
= 232,331 kJ/kg. A kompresszor hajtásához szükséges teljesítmény:
K techP mw= = 11,616 MW.
Az elvonandó hőáram (hőteljesítmény), mely negatív, mivel a belső energiát (entalpiát) csökkenti: ( )techQ mq m h w= = ∆ − = —115,54 MW. A fajlagos entrópia megváltozása (csökkenése):
172
be
qs
T∆ = =—801,9 J/(kg·K).
A fajlagos belső energia megváltozása: 1v = 0,8632 m3/kg, 2v =0,05637 m3/kg,
( ) ( ) ( ) ( )ki be ki ki ki be be be ki be ki ki be beu u h p v h p v h h p v p v− = − − − = − − − =
=3,026 kJ/kg.
5—8. FELADAT.
Egy közeg állapotegyenlete a következő: (1 )/v b RT ap p= + − . Egy turbinában t = 125 °C hőmérsékleten a közeg 10 kg/s tömegárama 32 bar-ról 1,75 bar-ra expandál izotermikusan. Az állapotváltozás kvázistatikus.
– Mekkora a turbina teljesítménye? Mekkora hőáramot kell a közeggel közölni? Mekkora a közeg fajlagos entrópiájának változása az expanzió során?
2 38 4m m2,5 10 ; =9 10N kg
a b− −= ⋅ ⋅ ; J300kg K
R =⋅
.
Segítségül: .. p állT áll
h vv T
p T ==
∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠
Végeredmények:
A turbina teljesítménye: T techP m w= = 3408,1 kW.
A bevezetendő hőáram: Q mq= =3380,9 kW.
A fajlagos entrópia megváltozása: q
sT
∆ = = 849 J/(kg·K).
5—9. FELADAT.
Az ammónia (NH3) túlhevített gőzének állapotegyenlete:
( )3 11
10 2100 1000,42 60 1,497 10
RTv p
p T T−⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜= − − + ⋅ ⋅⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎟⎟ ⎜ ⎜⎜ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
.
Az ammónia moláris tömege: M = 17 kg/kmol. A gőzt izotermikusan, 30 °C-on 2 bar nyomásról 8 bar nyomásra komprimáljuk.
– Határozza meg a fajlagos belső energia és a fajlagos entalpia megváltozását!
173
Segítségül: .. p állT áll
h vv T
p T ==
∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠.
MEGOLDÁS
A specifikus gázállandó: RMℜ= = 489,2 J/(kgK).
A fajlagos entalpia megváltozása: 2
1
dp
pp
vh v T p
T⎡ ⎤∂⎛ ⎞∆ = − ⎜ ⎟⎢ ⎥∂⎝ ⎠⎣ ⎦∫ .
A kijelölt műveleteket elvégezve és behelyettesítve: h∆ = -39,9 kJ/kg. A fajtérfogatok: v1= 0,726097 m3/kg és v2= 0,169516 m3/kg. Az entalpia h u pv= + definícióját felhasználva
A fajlagos belső energia megváltozása: ( )u h pv∆ = ∆ −∆ = -30,3 kJ/kg.
5—10. FELADAT.
Az ammónia (NH3) túlhevített gőzének állapotegyenlete:
( )3 11
10 2100 1000,42 60 1,497 10
RTv p
p T T−⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − − + ⋅ ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠.
Az ammónia moláris tömege: M = 17 kg/kmol. A gőz fajhője 1 bar nyomáson a 0..100 °C tartományban a 1636 1,5pc T= + ⋅ . Ezekben az összefüggésekben a fajhő J/(kg·K), a nyomás Pa, míg a hőmérséklet K egységekben értendő. Határozza meg, hogy mekkora lesz a közeg hőmérséklete, ha azt a 20 bar és 100 °C paraméterekkel jellemzett állapotból 1 bar nyomásra fojtjuk!
Segítségül: .. p állT áll
h vv T
p T ==
∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠ és ( ),h h p T= .
MEGOLDÁS Mivel a fajlagos entalpia nem-ideális gáz esetében: ( ),h h p T= , így annak
megváltozása . .
d d dp áll T áll
h hh T p
T p= =
∂ ∂= +∂ ∂
.
Felhasználva, hogy .
pp áll
hc
T =
∂=∂
,
valamint a segítségül felírt .. p állT áll
h vv T
p T ==
∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟ ⎟⎜ ⎜= −⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎝ ⎠⎝ ⎠∂ ∂ egyenletet a fenti
egyenlet d d dpp
vh c T v T p
T⎛ ⎞∂
= + −⎜ ⎟∂⎝ ⎠ alakban írható fel.
174
Mivel a fojtás olyan állapotváltozás, ahol az entalpia állandó, így felírható, hogy
2 2
1 1
d d 0T p
ppT p
vh c T v T p
T⎛ ⎞∂ ⎟⎜∆ = + − =⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ∂⎝ ⎠∫ ∫ .
Ebből az egyenletből T2 értékét kell kifejezni, mely T2 = 343,3 K.
5—11. FELADAT.
Számítsa ki az ammónia (NH3) túlhevített gőzének VAN DER WAALS-féle állapotegyenletében szereplő a és b tényezők értékét, ha a közeg kritikus nyomása 113,1 bar, a kritikus hőmérséklete 123,4 °C, a kritikus fajtérfogata pedig 0,006429 m3/kg. Az ammónia specifikus gázállandója: R = 489 J/(kg·K). Segítségül a VAN DER WAALS-féle állapotegyenlet:
( )2a
RT p v bv
⎛ ⎞= + −⎜ ⎟⎝ ⎠
.
Végeredmény: 227
64C
C
R Ta
p⎛ ⎞⎟⎜= ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠
= 1402,6; 18
C
C
RTb
p⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
= 0,002143.
5—12. FELADAT.
A 1T = 300 K hőmérsékletű és 1p = 2 MPa nyomású nem ideális gáz nyomása fojtás következtében 2p = 100 kPa(=1 bar) értékre csökken. A gáz viselkedését a ( )pv RT B T p= + állapotegyenlet írja le, ahol
( ) 3( ) 9,7 0,023 10B T T −= − − ⋅ ⋅ . A gáz specifikus gázállandója: 189 J/(kg·K), izobár fajhője 1 bar nyomáson 762 J/(kg·K).
– Mekkora lesz a gáz hőmérséklete a fojtás után?
– Mennyivel változik a gáz fajlagos entrópiája a fojtás során?
Segítségül: .. p állT áll
h vv T
p T ==
∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟ ⎟⎜ ⎜= −⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎝ ⎠⎝ ⎠∂ ∂és
.p
p áll
sc T
T =
∂⎛ ⎞⎟⎜= ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠∂ és ( )
.. p állT áll
s vp T ==
⎛ ∂ ⎞ ∂⎟⎜ = −⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠∂ ∂
MEGOLDÁS Fojtás esetén = .h áll , ∆ = 0h .
A ( ),h T p entalpiafüggvény teljes differenciálja: ∂ ∂
= +∂ ∂
d d dp T
h hh T p
T p.
Az állapotegyenlet rendezett alakja:
175
= − +RT
v a bTp
, ahol −= ⋅ 39,7 10a és −= ⋅ 623 10b , és ∂
= +∂v R
bT p
A folyamat T—s diagramban: p
1 p
2 T
s
h=áll.
∆s
∆T integrálási út
A segítség felhasználásával: d d dpp
vh c T v T p
T
⎛ ⎞∂ ⎟⎜ ⎟= + −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ∂⎝ ⎠.
A szükséges derivált: v R
bT p∂ = +∂
,és p
h vv T a
p T∂ ∂= − = −∂ ∂
.
Az entalpia állandósága: = + −∫ ∫2 2
1 1
0 d dT p
pT p
c T a p .
Ebből a keresett hőmérséklet: ( )−
= + =2 12 1
p
a p pT T
c275,81 K.
Az entrópiafüggvény teljes differenciálja: : d d dp T
s ss T p
T p∂ ∂= +∂ ∂
.
A segítség felhasználásával: d d dp
p
c vs T p
T T∂= −∂
.
Az entrópiaváltozás:
( )2 22 1 2 1
1 1ln lnp
T ps s c R b p p
T p− = − − − =547,93 J/(kg·K).
5—13. FELADAT.
Egy 1 liter térfogatú hőszigetelt hengerben CO2 gázt komprimálunk 1 bar nyomású és 300 K hőmérsékletű kiinduló állapotból 20 bar nyomásra. A kompresszió reverzibilis. A CO2-re a vizsgált tartományban a következő állapotegyenlet igaz: ( )pv RT B T p= + , ( )B T a bT= + , ahol
176
a = —0,0060 m3/kg, b = 1,0·10-5 m3/(kg·K), =R 189 J/(kg·K). Az átlagos fajhőre 1 bar nyomás mellett a vizsgált hőmérsékleti tartományban igaz, hogy: cp = 950 J/(kg⋅K).
– Hány gramm CO2 van a hengerben?
– Határozza meg a kompresszió után a gáz hőmérsékletét és térfogatát!
– Mennyi munkát kell végezni a közegen a kompresszió során?
Segítségül: ( ).. p állT áll
h vv T
p T ==
⎛∂ ⎞ ∂⎟⎜ = −⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠∂ ∂és ( )
.p
p áll
sc T
T =
∂=∂
és
( ).. p állT áll
s vp T ==
⎛ ∂ ⎞ ∂⎟⎜ = −⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠∂ ∂
MEGOLDÁS
Az állapotegyenlet átrendezett alakja: RT
v a bTp
= + + , a számításokhoz
szükséges derivált: v R
bT p∂ = +∂
, és v
v T aT∂− =∂
A gáz tömege a v V m= kifejezés felhasználásával:
1
11
1
Vm RT
a bTp
= =+ +
0,001773 kg.
Mivel az állapotváltozás adiabatikus és reverzibilis, így 2 1s s− =0. Az
( ),s T p entrópiafüggvény teljes differenciálja: d d dp T
s ss T p
T p∂ ∂= +∂ ∂
A segítség felhasználásával: d d dp
p
c vs T p
T T∂= −∂
.
Az ( )2 22 1 2 1
1 1ln lnp
T ps s c R b p p
T p− = − − − =0 egyenletből 2T =555,4 K.
A gáz térfogata a kompresszió után:
2 52 2
29,2265 10
RTV m a bT
p−⎛ ⎞⎟⎜= + + = ⋅⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠ m3.
A ( ),h T p entalpiafüggvény teljes differenciálja
. .
d d dp áll T áll
h hh T p
T p= =
∂ ∂= +∂ ∂
.
A segítség felhasználásával: d d dpp
vh c T v T p
T
⎛ ⎞∂ ⎟⎜ ⎟= + −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ∂⎝ ⎠
Az entalpiaváltozás ( ) ( )[ ]2 1 2 1 2 1pH H m c T T a p p− = − + − = 410 J.
177
A belső energia megváltozás az entalpia H U pV= + definíciójának felhasználásával: 2 1 2 1 2 2 1 1U U H H pV pV− = − − + =325,5 J.
Az I. főtétel: 2 1 1,2U U Q− = 01,2W= + , így a végzett munka:
1,2W =325,5 J.
178
6. Többkomponensű rendszerek
6.1. Ideális gázok ideális elegyei
6—1. FELADAT.
Egy 15 kg tömegű ideális gázkeverék, melynek nyomása 4 bar, 75 térf.% N2 és 25 térf % O2 gázból áll. Az N2 molekulatömege 28 kg/kmol, az O2 gázé 32 kg/kmol. Mekkora az egyes alkotók parciális nyomása? MEGOLDÁS
A térf. % azonos a mólaránnyal: i ii
N Vy
N V= = .
A DALTON-törvény szerint a parciális nyomás: i ip y p= ⋅ . Ennek megfelelően:
2Np = 3 bar és 2Op = 1 bar.
6—2. FELADAT.
Egy ideális gázelegyről és alkotóiról a következőket tudjuk: 1. alkotó: 2N gáz, mennyisége: 15 kmol, moláris tömege 28 kg/kmol;
2. alkotó: 2O gáz, mennyisége: 2,8 kmol, moláris tömege: 32 kg/kmol.
A gázelegy nyomása 5 bar, hőmérséklete 310 K, az univerzális gázállandó: ℜ = 8314,7 J/(kmol·K). Mekkora az egyes alkotók parciális nyomása és térfogataránya a teljes keverékben? ( 2 2N Np y p= ⋅ = 4,286 bar; és 2 2O Op y p= ⋅ = 0,714 bar.)
6—3. FELADAT.
Egy gázkeverék 67 térfogat% H2 és 33 térfogat% O2 gázból áll. Molekulatömegük 2, ill. 32 kg/kmol. A gázkeverék a sűrűsége 0,8 kg/m3, a hőmérséklete pedig 10 °C
– Határozza meg a keverék tömegszázalékos összetételét!
– Mekkora a keverék közeg nyomása?
179
MEGOLDÁS A térfogatarányt jelölje y. Az egyes komponensekre a gáz állapotegyenletet felírva:
( ) ( )i i ip V y m M T⋅ ⋅ = ⋅ ℜ ⋅ ,
innen a komponens tömege
i i i
p Vm M y
T⋅
= ⋅ ⋅ℜ ⋅
,
az össztömeg pedig
( )i i
p Vm M y
T⋅
= ⋅ ⋅ℜ ⋅ ∑ .
A tömegrészek:
( )
i i ii
i i
m M yg
m M y= =
∑.
2H
2 0.672 0.67 32 0.33
g⋅
=⋅ + ⋅
= 0,1126 = 11,26 %,
2 2O H1g g= − = 0,8874 = 88,74 %.
A keverék nyomását a következő összefüggéssel lehet meghatározni:
( )
.i i
m Tp
V M y⋅ ℜ ⋅
=⋅ ⋅∑
Legyen a közeg tömege 1 kg, akkor a térfogata
3m1 0,8 1,25V m= ρ = = .
Behelyettesítve: p = 158200 Pa = 1,582 bar.
6—4. FELADAT.
Egy ideális gázkeverék tömegszázalékos összetétele a következő: Komponens Móltömeg, kg/kmol tömegarány, % nitrogén 28,02 75,53 oxigén 32,0 23,13 argon 39,94 1,28 szén-dioxid 44,01 0,046
– Számítsa ki a gázkeverék térfogatszázalékos összetételét! – Határozza meg a gázkeverék specifikus gázállandóját!
MEGOLDÁS
180
Jelölje i index az i-ik komponens jellemzőjét, míg az index nélküli jel a teljes keverék jellemzőjét! A térfogatarány, ami megegyezik az anyagmennyiségek arányával:
i ii
V NX
V N= = .
Egy komponens anyagmennyisége: ii
i
mN
M= .
Ezt az előző egyenletbe írva, valamint g-vel jelölve a tömegarányt:
i
ii
i
i
gM
XgM
=∑
.
Az egyenletből i
i
gM
-t kiemelve és rendezve: i ii
MX g
M= .
A keverék móltömege: 1 i
i
gM M
= ∑ , innen M = 28,9705 kg/kmol.
A keverék gázállandója: RMℜ
= = 286,98 J/(kg·K).
A térfogatszázalékos összetétel: Komponens nitrogén oxigén argon szén-dioxid
iX 78,09 % 20,95 % 0,93 % 0,03 %
6—5. FELADAT.
Egy gázkeverék 67 térfogat% H2-t és 33 térfogat% N2-t tartalmaz. A keverék nyomása 20 bar, hőmérséklete 100 °C. A hidrogén moláris tömege 2 kg/kmol, a nitrogéné 28 kg/kmol.
– Számítsa ki a keverék fajlagos térfogatát!
– Határozza meg az egyes összetevők tömeg%-os arányát!
(Végeredmény: 3m
0,14 kg
v = , és % 0,127 % 0,873H Ntömeg tömeg= = )
6—6. FELADAT.
Azonos nyomású és hőmérsékletű (5 bar, 20 °C ), de különböző közegeket tartalmazó gázvezetékekből rendre 12 liter CO2, 11 liter O2 és 77 liter N2 gázt töltünk izotermikusan egy 100 liter térfogatú tartályba. (a feladat megoldásához szükséges az alkotók moláris tömege)
181
Határozza meg
– a keverék tömegszázalékos összetételét,
– a keverék állandó nyomáson és állandó térfogaton mért fajhőit, valamint
– a keveredés miatt fellépő entrópia változást! MEGOLDÁS Az izotermikus expanzió miatt a tartályban a keverék hőmérséklete is 20 °C. Az egyes komponensek parciális nyomásai (pV = állandó miatt):
2COp = 0,12⋅5 = 0,6 bar; 2Op = 0,11⋅5 = 0,55 bar; 2Np = 0,77⋅5 = 3,85 bar
A keverék össznyomása pedig 5 bar. A keverékre vonatkozó átlagos móltömeg:
k i iM x M= ∑ = 0,12⋅44+0,11⋅32+0,77⋅28=30,36 kg/kmol;
innen a keverék specifikus gázállandója Rk=8314/30,36 = 273,8 J/(kg⋅K).
a./ egy komponens tömege: k ki ii
x PV Mm
T=
ℜ az össztömeg pedig
k k kk
PV Mm
T=
ℜ,
amiből a tömegszázalékos összetétel:
k k
i i i i ii
i i
m x M x Mg
m M x M= = =
∑.
behelyettesítve: 2CO0.12 44
0,17430,36
g⋅
= = ;
2O0,11 32
0,11630,36
g⋅= = ;
2N0,77 28
0,7130,36
g⋅
= = .
b./ pc és Vc :
( )p,k p, 0,174 1271 0,116 1110 0,71 1196 1199 J/ kg Ki ic g c= = ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⋅∑
( )V,k p,k k 1199 273,8 925,2 J/ kg Kc c R= − = − = ⋅
c./ az entrópia változás az egyes komponensek entrópia-változásainak összege
k
ln ii i i
VS S m R
V∆ = ∆ = − =∑ ∑ k k
k k
Jln 43,4 41,4 34,3 119,1
Ki ix p V VT V
− = + + =∑ .
182
6—7. FELADAT.
Egy szén-dioxid és nitrogén komponensekből álló gázkeverék tömege 1,396 kg, térfogata 1 m3, nyomása 1 bar, hőmérséklete 20 °C. A széndioxid móltömege 44 kg/kmol, a nitrogén móltömege 14 kg/kmol, az univerzális gázállandó 8314,37 J/(kmol K).
– Határozza meg a keverék tömeg- és térfogatszázalékos összetételét! MEGOLDÁS
A gáz állapotegyenletet a keverékre felírva: kk k k
k
mp V T
M= ℜ .
Ezt az egyenletet a keverék móltömegére rendezve:
k kk
k k
m TM
p Vℜ
= = 34,01 kg/kmol.
A keverék térfogatarányos összetételére felírható, hogy
kk
ii i i
VM x M M
V= =∑ ∑ ,
valamint ix∑ = 1.
A fenti két egyenletből: 2CO 2/3x = és
2N 1/3x = .
A tömegszázalékos összetétel: k k k
i i ii
m V Mg
m V M= = ⋅ .
A fenti egyenlet alapján: 2COg = 0,86 és
2Ng = 0,14.
6.2. A nedves levegő termodinamikája
6—8. FELADAT.
Mennyi a 22 °C hőmérsékletű, 1 bar nyomású és 80% relatív nedvesség-tartalmú nedves levegő abszolút nedvességtartalma, ha a vízgőz telítési nyomása 22 °C hőmérsékleten 0,0264 bar? MEGOLDÁS A relatív nedvességtartalom alapján a vízgőz parciális nyomása: gőz gőz,sp p= ϕ ⋅ = 0,02113 bar.
Az abszolút nedvességtartalom: gőz
össz.0,622
px
p= = 0,013137 kg/kg.
183
6—9. FELADAT.
Mennyivel csökken a 34 °C hőmérsékletű és 80% relatív páratartalmú nedves levegő abszolút nedvességtartalma, ha azt 5 °C-kal harmatponti hőmérséklete alá hűtjük? Fajlagosan mennyi hőt kell elvonni a levegőből? Ábrázolja a folyamatot — jellegre helyesen — a nedves levegő entalpia-koncentráció (h—x) diagramjában! (A levegő izobár fajhője: 1004 J/(kg·K), a vízgőz izobár fajhője: 1860 J/(kg·K), a víz párolgáshője: 2500 kJ/kg, az össznyomás 1 bar) Segítségül az alkalmazható összefüggések és a vízgőztáblázat szükséges részlete:
g
g,s
pp
ϕ = és g
össz0,622
px
p≈ és ( ),lev ,gőzp ph c t x r c t= + +
st , °C 24 25 26 27 28
sp , bar 0,02982 0,03166 0,03359 0,03564 0,03778
29 30 31 32 33 34 0,04004 0,04241 0,04491 0,04753 0,0503 0,0532
MEGOLDÁS Az állapotváltozás h—x diagramban:
x [kg/kg]0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030 0,035 0,040 0,045
Fa
jlago
s en
talpia, kJ
/kg
0,0
10,0
20,0
30,0
40,0
50,0 60,0 70,0 80,0 90,0 100,0 110,0 120,0 130,0 140,0 150,0 160,0
-10,0 °C
-5,0 °C
0,0 °C
5,0 °C
10,0 °C
15,0 °C
20,0 °C
25,0 °C
30,0 °C
35,0 °C
40,0 °C
45,0 °C
50,0 °C 100 %90 % 80 % 70 %60 %50 %40 %30 %20 % 10 %
I,x-Diagram for moist airPB = 1,01325. T1 = -10,00. T2 = 40,00. T3 = 40,00
DTU, Department of Energy EngineeringM.J. Skovrup & H.V. Holm. 03-12-29
1
2
3
∆x ∆h
A kiinduló állapot jellemzői: parciális gőznyomás:
g,1 1 s,1p p= ϕ = 0,0532 bar,
184
abszolút nedvességtartalom g,11
össz0,622
px
p= = 0,02647,
fajlagos entalpia: ( )1 ,l 1 1 ,g 1p ph c t x r c t= + + = 102,0 kJ/kg.
A harmatponti hőmérsékleten 1 2x x= és 2ϕ = 1 lesz, így:
1HP,s össz0,622
xp p= = 0,04256,
a gőztáblázatból a harmatponti hőmérséklet: HP 2t t= == 30,06 °C.
A végállapot jellemzői: hőmérséklet: 3t = 25,06 °C,
parciális gőznyomás: g,3 s,3p p= = 0,0318 bar,
abszolút nedvességtartalom g,33
össz0,622
px
p= = 0,01977,
fajlagos entalpia: ( )3 ,l 3 3 ,g 3p ph c t x r c t= + + = 75,53 kJ/kg.
A kicsapódó víz fajlagos mennyisége: 1 3x x x∆ = − =0,0067.
Az elvonandó hő fajlagos mennyisége: 1 3h h h∆ = − = 24,46 kJ/kg.
6—10. FELADAT.
Egy munkacsarnok klímaberendezésben annak érdekében, hogy a legionella fertőzés veszélyét csökkentsék, nem alkalmaznak nedvesítőt, a levegő kezelését csak felületi hűtő és fűtő hőcserélőkkel oldják meg. Nyári üzemállapotban a szabadból beszívott 7200 m3/h térfogatáramú, 32 °C hőmérsékletű és 80% relatív páratartalmú levegőből kell előállítani a munkatérbe befúvott 22 °C hőmérsékletű és 50% relatív páratartalmú levegőt. A frisslevegő sűrűségét vegye 1,29 kg/m3 értékűnek, az egyéb szükséges adatokat vegye a mellékelt h—x diagramról!
– Készítse el a klímaberendezés kapcsolási vázlatát és ábrázolja a folyamatokat a nedves levegő h—x diagramjában!
– Mekkora hűtési és fűtési teljesítményre van szükség?
– Mennyi víz elvezetéséről kell gondoskodni? MEGOLDÁS A klímaberendezés kapcsolása (lehűtés 11,2 °C-ra, felfűtés 22 °C-ra):
185
hűtés fűtés
vízelve-zetés
befúvás
A folyamat nedves levegő h—x diagramjában:
abszolút nedvességtartalom, x, kg/kg 0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030 0,035 0,040 0,045
Fa
jlago
s en
talpia, h, k
J/kg
0,0
10,0
20,0
30,0
40,0
50,0 60,0 70,0 80,0 90,0 100,0 110,0 120,0 130,0 140,0 150,0 160,0
-10,0 °C
-5,0 °C
0,0 °C
5,0 °C
10,0 °C
15,0 °C
20,0 °C
25,0 °C
30,0 °C
35,0 °C
40,0 °C
45,0 °C
50,0 °C 100 % 90 % 80 % 70 %60 %50 %40 %30 %20 %
10 %
1
2
3
∆x
∆hhűtés
4
∆hfűtés
A számításhoz szükséges entalpia és nedvességtartalom értékek:
1 2 3 4 h, kJ/kg 95 90 32 43 x, kg/kg 0,0245 0,0245 0,0083 0,0083
A levegő tömegárama: V
m = =ρ
1,55 kg/s.
A hűtési hőteljesítmény: ( )h hűtés 1 3Q m h m h h= ∆ = − = 97,67 kW.
A fűtési hőteljesítmény: ( )f fűtés 4 3Q m h m h h= ∆ = − = 17,05 kW.
Az elvezetendő víz: ( )víz 1 3m m x m x x= ∆ = − =0,025 kg/s (90,42 kg/h).
186
6—11. FELADAT.
Egy klímakészülék keverőkamrájában 15 kg/s tömegáramú, 31 °C hőmérsékletű és 85 % relatív páratartalmú levegő keveredik 7 kg/s tömegáramú, 24 °C hőmérsékletű és 55 % relatív páratartalmú levegővel. (A levegő izobár fajhője: 1004 J/(kg·K), a vízgőz izobár fajhője: 1860 J/(kg·K), a víz párolgáshője: 2501 kJ/kg, az össznyomás 1 bar)
– Határozza meg a keverőkamrából kilépő levegő állapotához tartozó harmatponti és hűlési határhőmérsékletet!
– Nedves levegő entalpia-koncentráció diagramjában ábrázolja a keveredési folyamatot, valamint a fenti két nevezetes hőmérsékletet!
Ha a feladat vagy annak egy része Ön szerint csak iterációval oldható meg, akkor elegendő leírni az iteráció kiinduló egyenleteit és a számítás módját! A vízgőztáblázat megoldáshoz szükséges részlete:
st , °C 24 25 26 27
sp , bar 0,02982 0,03166 0,03359 0,03564
28 29 30 31 32
0,03778 0,04004 0,04241 0,04491 0,04753 MEGOLDÁS A következő egyenletek felhasználásával:
g
g,s
pp
ϕ = és g
össz0,622
px
p= és ( ),lev ,gőzp ph c t x r c t= + + .
A 24 °C hőmérsékletű közeg absz. nedvességtartalma: 1x = 0,010201, entalpiája: 1h = 50,06 kJ/kg.
A 31 °C hőmérsékletű közeg absz. nedvességtartalma: 2x = 0,02374, entalpiája: 1h = 91,87 kJ/kg.
Keveredésre: 1 1 2 2K
1 2
m x m xx
m m+
=+
= 0,01943 és hasonlóan Kh = 78,57 kJ/kg.
Az entalpiára vonatkozó összefüggésből a hőmérséklet: Kt = 28,81 °C.
A mellékelt táblázat felhasználásával: Kϕ = 0,788 (78,8 %).
A harmatponti hőmérséklet esetében: x = áll. marad, míg Kϕ = 1 lesz, azaz telítési gőznyomás:
KHP,s össz0,622
xp p= = 0,03124, az ehhez tartozó telítési hőmérséklet a
harmatponti hőmérséklet, azaz
187
HPt = 24,77 °C (lineáris interpolációval).
A harmatponti hőmérséklet iterációval (próbálgatással) határozható meg a
( ) ( )g,s HH
HH ,lev HH ,gőz HH Kössz
0,622p pp t
h c t r c t hp
= + + = egyenletből.
Értéke közelítőleg 25,8 °C.
ϕ =1
h
x
ϕ =0,85
ϕ =0,55
1
2
keverék
188
7. Melléklet
A példatárban alkalmazott jelölések: Adiabatikus kitevő κ Belső energia U Dilatációs hő LV
Empirikus hőmérséklet ϑ Entalpia H Entrópia S Fajlagos belső energia u Fajlagos entalpia h Fajlagos entrópia s Fajlagos hőkapacitás (fajhő) c Fajlagos hőmennyiség q Fajlagos térfogat v Hatásfok η
Hőmennyiség Q Hőmérséklet t Abszolút termodinamikai hőm. T Idő τ Kompressziós hő LP
Mól szám N Moláris tömeg M Munka (fajlagos) W (w) Nyomás p Sebesség w Specifikus gázállandó R Szabad energia F Szabad entalpia G Térfogat V Tömeg m Univerzális gázállandó ℜ
189
Fajla
gos
entró
pia,
J/(k
g K)
-200
020
040
060
080
010
0012
0014
0016
0018
0020
0022
0024
0026
0028
0030
0032
0034
0036
0038
0040
0042
0044
0046
0048
0050
00
Hőmérséklet, °C -200
,00
-190
,00
-180
,00
-170
,00
-160
,00
-150
,00
-140
,00
-130
,00
-120
,00
-110
,00
-100
,00
-90,
00-8
0,00
-70,
00-6
0,00
-50,
00-4
0,00
-30,
00-2
0,00
-10,
000,
0010
,00
20,0
030
,00
40,0
050
,00
60,0
070
,00
80,0
090
,00
100,
0011
0,00
120,
0013
0,00
140,
0015
0,00
160,
0017
0,00
180,
0019
0,00
200,
0021
0,00
220,
0023
0,00
240,
0025
0,00
260,
0027
0,00
280,
0029
0,00
300,
00
h =
320h
= 3 4
0h =
360
h =
3 80
h =
4 00
h =
420
h =
440
h =
4 60
h =
480
h =
500
h =
520
h =
540
h =
560
h =
5 80
h =
600
h =
620
h =
640
h =
660
h =
680
h =
700
h =
720
h =
740
h =
760
h =
780h =
800
0,50
0,50
0,75
0,75
1,0
1,0
2,5
2,5
5,0
5,0
7,5
7,5
10
10
25
25
5050
0,0050
0,010
0,025
0,050
0,10
0,25
0,50
1,0
2,5
5,0
h =
100
120
140
160
180
200
220
240
260
280
300
v= 0
,005
0v=
0,0
10v=
0,0
25v=
0,0
50 v= 0
,10
v= 0
,25
x =
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
0,70
0,80
0,90
DTU
, Dep
artm
ent o
f Ene
rgy
Eng
inee
ring
h in
[kJ/
kg].
v in
[m^3
/kg]
. p in
[Bar
]M
.J. S
kovr
up &
H.J
.H K
nuds
en. 0
4-12
-19
R72
9R
ef :W
.C.R
eyno
lds:
The
rmod
ynam
ic P
rope
rties
in S
I
Leve
gő
190
Fajla
gos
entró
pia,
J/(k
g K
)0
600
1200
1800
2400
3000
3600
4200
4800
5400
6000
6600
7200
7800
8400
9000
9600
1020
010
800
1140
0
Hőmérséklet, °C
020406080100
120
140
160
180
200
220
240
260
280
300
320
340
360
380
h =
2600h
= 28
00h =
3000h =
3200
0,01
0
0,01
0
0,02
5
0,02
5
0,05
0
0,05
0
0,10
0,10
0,25
0,25
0,50
0,50
1,0
1,0
2,5
2,5
5,0
5,0
10
10
25
25
50
50
100
100
250
300
0,0050
0,010
0,025
0,050
0,10
0,25
0,50
1,0
2,5
5,0
10
25
50
100
250
500
h =
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
1800
2000
2200
2400
v= 0,0050 v= 0,010 v=
0,02
5
v= 0
,050
v= 0
,10
v= 0
,25
v= 0
,50 v=
1,0
v= 2
,5
v= 5
,0
v= 1
0
v= 2
5v=
50
x =
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
0,70
0,80
0,90
DTU
, Dep
artm
ent o
f Ene
rgy E
ngin
eerin
gh
in [k
J/kg
]. v i
n [m
^3/k
g]. p
in [B
ar]
M.J
. Sko
vrup
& H
.J.H
Knu
dsen
. 04-
12-1
9
R71
8R
ef :W
.C.R
eyno
lds:
The
rmod
ynam
ic p
rope
rties
in S
I
Víz-
vízgőz
(H2O
)
191
Fajla
gos
entró
pia,
kJ/
(kg
K)
4,00
5,00
6,00
7,00
8,00
9,00
10,0
0
Fajlagos entalpia, kJ/kg 1800
2000
2200
2400
2600
2800
3000
3200
3400
3600
3800
4000
4200
p =
0,01
0p
= 0,
025
p =
0,05
0p
= 0,
075
p =
0,10
p =
0,25
p =
0,50
p =
0,75
p =
1,0
p =
2,5
p =
5,0
p = 7
,5p =
10
p = 2
5
p = 50
p = 75
p = 100
p = 250
p = 500
p = 750
p = 1000
800
750
700
650
600
550 50
0
450 40
0 350
300 25
0 200 15
0 100
50
0,050
0,10
0,25
0,50
1,0
2,5
5,0
10
25 50 100250
0,40
0,50
0,60
0,70
0,80
0,90
1,00
DTU
, Dep
artm
ent o
f Ene
rgy
Eng
inee
ring
T in
[°C
]. v
in [m
^3/k
g]. p
in [B
ar]
M.J
. Sko
vrup
& H
.J.H
Knu
dsen
. 04-
12-1
9
R71
8R
ef :W
.C.R
eyno
lds:
The
rmod
ynam
ic p
rope
rties
in S
I
Víz-
vízgőz
(H2O
)
192
Fajla
gos
enta
lpia
, kJ/
kg0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
1800
2000
2200
2400
2600
2800
3000
3200
Nyomás, bar 0,01
0
0,02
0
0,03
0
0,04
0
0,05
00,
060
0,07
00,
080
0,09
00,
100
0,20
0
0,30
0
0,40
0
0,50
00,
600
0,70
00,
800
0,90
01,
000
2,00
0
3,00
0
4,00
0
5,00
0
s = 7,20 s = 7,50s = 7,80
s = 8,10
s = 8,40
s = 8,70
s = 9,00 s = 9,30 s = 9,60 s =
9,90 s = 10,20
20
40
60
80
100
10012
0140
200
300
0,40
0,60
0,80
1,0
2,0
4,0
6,0
8,0
10 20 40 60 80 100
200
20
40
60
80
100
120
140
x =
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
0,70
0,80
0,90
s =
0,60
1,20
1,80
2,40
3,00
3,60
4,20
4,80
5,40
6,00
6,60
7,20
7,80
8,40
v= 0,
040v=
0,06
0
v= 0,
080
v= 0,
10
v= 0
,20
v= 0
,40
v= 0
,60
v= 0
,80
v= 1
,0
v= 2
,0
v= 4
,0
v= 6
,0
v= 8
,0
v= 1
0 v= 2
0
v= 4
0 v= 6
0
v= 8
0
DTU
, Dep
artm
ent o
f Ene
rgy
Eng
inee
ring
s in
[kJ/
(kg
K)].
v in
[m^3
/kg]
. T in
[şC
]M
.J. S
kovr
up &
H.J
.H K
nuds
en. 0
4-12
-19
R71
8R
ef :W
.C.R
eyno
lds:
The
rmod
ynam
ic p
rope
rties
in S
I
Víz-
vízgőz
(H2O
)
193
Fajla
gos
entró
pia,
J/(k
g K
)0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
4500
5000
5500
6000
6500
7000
7500
8000
Hőmérséklet, °C
-40,
00
-20,
00
0,00
20,0
0
40,0
0
60,0
0
80,0
0
100,
00
120,
00
140,
00
160,
00
180,
00
200,
00
h =
1500h
= 16
00h =
1700h =
1800
h =
1900
1,0
1,0
2,5
2,5
5,0
5,0
10
10
25
25
50
50
100
100
200
0,0050
0,010
0,025
0,050
0,10
0,25
0,50
1,0
2,5
h =
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
1100
1200
1300
1400
v= 0,
0050 v=
0,01
0 v= 0
,025
v= 0
,050 v=
0,1
0
v= 0
,25
v= 0
,50
v= 1
,0
x =
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
0,70
0,80
0,90
DTU
, Dep
artm
ent o
f Ene
rgy E
ngin
eerin
gh
in [k
J/kg
]. v i
n [m
^3/k
g]. p
in [B
ar]
M.J
. Sko
vrup
& H
.J.H
Knu
dsen
. 04-
12-1
9
R71
7R
ef :R
.Dör
ing.
Klim
a+K
älte
inge
nieu
r Ki-E
xtra
5, 1
978
Amm
ónia
(NH3
)
194
Fajla
gos
enta
lpia
, kJ/
kg0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
1100
1200
1300
1400
1500
1600
1700
1800
1900
2000
Nyomás, bar
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,0
2,0
3,0
4,0
5,0
6,0
7,0
8,0
9,0
10,0
20,0
30,0
40,0
50,0
60,0
70,0
80,0
90,0
100,
0
200,
0
s = 3,75
s = 4,00
s = 4,25
s = 4,50
s = 4,75s =
5,00s =
5,25s =
5,50
s = 5,75
s = 6,00
s = 6,25
s = 6,50 s =
6,75 s =
7,00 s =
7,25 s =
7,50
s = 7,
75
-40
-40-3
0
-20
-20-1
0
0
010
20
2030
40
4050
60
6070
80
8090
100
100
110
120
120
130
140
160
180
200
220
0,0030
0,004
00,0
050
0,006
00,0
070
0,008
00,0
090
0,010
0,015
0,020
0,03
0
0,040
0,050
0,060
0,070
0,080
0,090
0,10
0,15
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
0,70
0,80
0,90
1,0
1,5
2,0
3,0
4,0
-40-30
-20
-10
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130x =
0,1
00,
200,
300,
400,
500,
600,
700,
800,
90s =
1,0
02,
003,
004,
005,
006,
00
v= 0,
0060 v=
0,00
80
v= 0
,010
v= 0
,015
v= 0
,020
v= 0
,030
v= 0
,040
v= 0
,060
v= 0
,080
v= 0
,10 v= 0
,15
v= 0
,20
v= 0
,30 v= 0
,40 v= 0
,60
v= 0
,80 v= 1
,0
DT
U, D
epar
tmen
t of E
nerg
y E
ngin
eerin
gs
in [k
J/(k
g K
)]. v
in [m
^3/k
g]. T
in [ş
C]
M.J
. Sko
vrup
& H
.J.H
Knu
dsen
. 04-
12-1
9
R71
7R
ef :R
.Dör
ing.
Klim
a+K
älte
inge
nieu
r Ki-E
xtra
5, 1
978
Amm
ónia
(NH3
)
195
Absz
olút
ned
vess
égta
rtalo
m, k
g/kg
0,00
00,
005
0,01
00,
015
0,02
00,
025
0,03
00,
035
0,04
00,
045
Fajlagos entalpia, kJ/kg
25,0
50,0
75,0
100,
0
125,
015
0,0
175,
020
0,0
0,0
°C
10,0
°C
20,0
°C
30,0
°C
40,0
°C
50,0
°C
60,0
°C
70,0
°C
80,0
°C
90,0
°C
100
%90
%80
%70
%60
%50
%
40 %30 %
20 %
10 %
I,x-D
iagr
am fo
r moi
st a
irP
B =
1,0
1325
. T1
= 0,
00. T
2 =
40,0
0. T
3 =
75,0
0D
TU, D
epar
tmen
t of E
nerg
y Eng
inee
ring
M.J
. Sko
vrup
& H
.V. H
olm
. 04-
12-1
9
