Unidad 3Sintonizacin de Controladores PIDINGENIERA DE CONTROL MT221

1MODELACIN DE SUSTEMAS FSICOS UPC Pregrado

Estructura del Controlador PIDSintona de ControladoresRegla de Ziegler NicholsDiseos con circuitos

Temario2MODELACIN DE SUSTEMAS FSICOS UPC PregradoEstructura de un controlador PID1IntroduccinSe presenta en primer lugar el diseo de un sistema controlado por un PIDutilizando las reglas de sintona de Ziegler y Nichols

Recordando que el trmino sintonizacin se refiere a la seleccin de los parmetrosdel sistema que se compone el controlador.

Tales reglas de sintona sugieren establecer un conjunto de valores de Kp, Ti y Td quedarn una operacin estable del sistema. Las reglas de Ziegler-Nichols, que se presentan acontinuacin, son muy convenientes cuando no se conocen los modelos matemticos delas plantas. Tambin se pueden aplicar al diseo de sistemas con modelos matemticosconocidos.4MODELACIN DE SUSTEMAS FSICOS UPC PregradoReglas de Ziegler-Nichols para sintonizar controladores PID.John Ziegler y Nathaniel Nichols propusieron reglas para determinar los valores de la ganancia proporcional Kp, del tiempo integral Ti y del tiempo derivativo Td, basndose en las caractersticas de respuesta transitoria de una planta dada.Primer mtodo. En el primer mtodo, la respuesta de la planta a una entrada escaln unitario se obtiene de manera experimental, tal como se muestra en la figura (1). Si la planta no contiene integradores ni polos dominantes complejos conjugados, la curva de respuesta escaln unitario puede tener forma de S, como se observa en la figura (2).

Figura (2)Figura (1)Este mtodo se puede aplicar si la respuesta muestra una curva con forma de S. Tales curvas de respuesta escaln se pueden generar experimentalmente o a partir de una simulacin dinmica de la planta.

La curva con forma de S se caracteriza por dos parmetros: el tiempo de retardo L y la constante de tiempo T. El tiempo de retardo y la constante de tiempo se determinan dibujando una recta tangente en el punto de inflexin de la curva con forma de S y determinando las intersecciones de esta tangente con el eje del tiempo y con la lnea c(t)=K, tal como se muestra en la figura (2)

Reglas de Ziegler-Nichols para sintonizar controladores PID.

Regla de sintona de Ziegler-Nichols basada en la respuesta escaln de la planta (primer mtodo).la funcin de transferencia C(s)/U(s) se aproxima mediante un sistemade primer orden con un retardo del modo siguiente:Reglas de Ziegler-Nichols para sintonizar controladores PID.

Note que el controlador PID sintonizado mediante el primer mtodo de las reglas deZiegler-Nichols produce

Por tanto, el controlador PID tiene un polo en el origen y un cero doble en s = -1/L.Reglas de Ziegler-Nichols para sintonizar controladores PID.Segundo mtodo. En el segundo mtodo, primero se fija Ti = y Td = 0. Usando slola accin de control proporcional, segn la figura (3), se incrementa Kp desde 0 hasta un valor crtico Kcr, en donde la salida presente oscilaciones sostenidas. (Si la salida no presenta oscilaciones sostenidas para cualquier valor que pueda tomar Kp, entonces este mtodo no se puede aplicar.) As, la ganancia crtica Kcr y el periodo Pcr correspondiente se determinan experimentalmente (ver la figura (5).

Ziegler-Nichols sugirieron que se establecieran los valores de los parmetros Kp, Ti y Td de acuerdo con la frmula que se muestra en la Tabla siguiente:Reglas de Ziegler-Nichols para sintonizar controladores PID.

Obsrvese que el controlador PID sintonizado mediante el segundo mtodo de las reglas de Ziegler-Nichols produce

Por tanto, el controlador PID tiene un polo en el origen y un cero doble en s = -4/Pcr.

Diseo de un controlador de un sistema de control usando criterio de estabilidad de Routh2

Ejemplo de diseoSea el sistema de control que se muestra en la figura mostrada, en el cual se usa un controlador PID para controlar el sistema. El controlador PID tiene la funcin de transferencia

Funcin de transferencia del PIDAplique la regla de sintona de Ziegler-Nichols para la determinacin de los valores de losparmetros Kp, Ti y Td. A continuacin, obtenga una curva de respuesta escaln unitarioy verifique si el sistema diseado presenta un mximo sobreimpulso de aproximadamentedel 25%. Si se excediera ms del 40% nuevamente haga una sintona fina y reduzca lacantidad del mximo sobreimpulso al 25% o menos.Ejemplo de diseoComo la planta tiene un integrador, se utiliza el segundo mtodo de las reglas de sintona deZiegler-Nichols. Fijando Ti = y Td = 0, se obtiene la funcin de transferencia en lazo cerradodel modo siguiente:

El valor de Kp que hace al sistema marginalmente estable para que ocurra una oscilacinsostenida se obtiene mediante el criterio de estabilidad de Routh. Como la ecuacincaracterstica para el sistema en lazo cerrado es

el array de Routh es:

Ejemplo de diseoRevisando los coeficientes de la primera columna del array de Routh, se encuentra queocurrir una oscilacin sostenida si Kp=30. As, la ganancia crtica Kcr es

Con la ganancia Kp fijada igual a Kcr (=30), la ecuacin caracterstica es

Para encontrar la frecuencia de la oscilacin sostenida, se sustituye s = j en la ecuacincaracterstica, del modo siguiente:

a partir de lo cual se encuentra que la frecuencia de la oscilacin sostenida es 2=5 oEjemplo de diseo

As, el periodo de la oscilacin sostenida es

Teniendo en cuenta la Tabla del segundo mtodo, se determinan Kp, Ti y Td del modosiguiente:

Por tanto, la funcin de transferencia del controlador PID es

Ejemplo de diseoEl controlador PID tiene un polo en el origen y un cero doble en s = -1.4235. En la figura semuestra un diagrama de bloques del sistema de control con el controlador PID diseado.A continuacin, se examina la respuesta escaln unitario del sistema. La funcin detransferencia en lazo cerrado C(s)/R(s) est dada por

Diagrama de bloques del sistema con controlador PID diseado mediantela regla de sintona de Ziegler-Nichols (segundo mtodo).

Ejemplo de diseo

El mximo sobre impulso en la respuesta un escaln unitario es de aproximadamente 62%. Este valor es un alto. Requiere un ajuste fino en el diseo del controlador.Dicha sintona se puede hacer en la computadora. Se encuentra que manteniendo Kp=18y moviendo el cero doble del controlador PID a s = -0.65, es decir, usando el controlador PIDEjemplo de diseo

(1)

Respuesta a un escaln unitario del sistema mostrado en la figura con controlador PIDteniendo parmetros Kp=18, Ti=3.077 y Td=0.7692Modificar cdigo!MP = 18%

(2)

Dicha sintona se puede hacer en la computadora. Se encuentra que manteniendo Kp=39.42y moviendo el cero doble del controlador PID a s = -0.65, es decir, usando el controlador PID

Modificar cdigo!Respuesta a un escaln unitario del sistema mostrado en la figura con controlador PID teniendoparmetros Kp=39.42, Ti=3.077 y Td=0.7692.MP = 28%Ejemplo de diseoProgramacin de diseo de controladores usando Matlab2

Programacin con MatlabSea el sistema que se muestra en la figura mostrada que est controlado por uncontrolador PID. El controlador PID est dado por

Se desea encontrar una combinacin de K y a tal que el sistema en lazo cerrado sea sobreamortiguado y su mximo sobreimpulso en la respuesta a un escaln unitario sea menor que el 10%.Programacin con MatlabPara resolver este problema con MATLAB, primero se especifica la regin para buscar valores adecuados de K y a. A continuacin se escribe un programa MATLAB tal que en la respuesta a un escaln unitario se pueda encontrar una combinacin de K y a que satisfagan el criterio de que el mximo sobreimpulso sea menor que el 10%.

Note que la ganancia K no debera ser demasiado grande para evitar que el sistema necesite una innecesaria unidad de potencia. Se supone que la regin para buscar K y a est acotada por

Si en esta regin no existe una solucin ser necesario ampliarla. Sin embargo, en algunos problemas independientemente de la regin de bsqueda no hay solucin.En el mtodo computacional es necesario determinar el tamao del paso de clculo para cada K y a, que para este ejemplo se usar con pasos de 0.2 tanto para K como a. En el proceso de diseo real es necesario escoger tamaos de paso de clculo bastante pequeos.Programacin con MatlabEn este programa, la sentenciaproducir una tabla de valores de K, a y m. (En el sistema que se considera hay 15conjuntos de K y a que cumplen ma1.10; esto es, el mximo sobreimpulso es menorque el 10%.)

Para ordenar los conjuntos de soluciones con respecto a la magnitud del mximosobreimpulso (comenzando en el valor ms pequeo y finalizando en el valor msgrande de m en la tabla), se utiliza la orden

Nota: m representa al mximo sobreimpulso MpProgramacin con Matlab

Programacin con MatlabKaMpProgramacin con Matlab

KaMpProgramacin con Matlab

Para representar la curva de respuesta a un escaln unitario del ltimo conjunto de los valoresde K y a en la tabla ordenada, se introducen las rdenesProgramacin con Matlab

Figura 8.20

Figura 8.21Programacin con MatlabPara representar la curva de respuesta a un escaln unitario del sistema con cualquier conjunto mostrado en la tabla ordenada, se especifican los valores de K y a introduciendo una orden sortsolution apropiada.

Observe que para una especificacin de que el mximo sobreimpulso est entre el 10% y el 5%, habra tres conjuntos de soluciones:

En la siguiente se muestran las curvas de respuesta a un escaln unitario para estostres casos. Observe que el sistema con la ganancia K ms grande tiene un tiempo de subidamenor y un mximo sobreimpulso mayor.Cul de estos tres sistemas es mejor depende del objetivo del sistema.Programacin con Matlab

Sea el sistema que se muestra en la figura mostrada. Se desean encontrar todas lascombinaciones de K y a tal que el sistema en lazo cerrado tenga un mximo sobreimpulsoen la respuesta a un escaln unitario menor que el 15% pero mayor que el 10%. Adems, el tiempo de asentamiento debe ser menor de 3 seg. Programacin con Matlab

En este problema, se supone que la regin para buscar K y a est acotada por

Determine cul es la mejor eleccin de los parmetros K y a.En este problema se escoge el tamao del paso de clculo a un valor razonablepor ejemplo, 0.2 para K y 0.1 para a. El programa genera la solucin de este problema.

De la tabla sortsolution parece que la primera fila es una buena eleccin. En la lmina 34 se muestra la respuesta a un escaln unitario para K=3.2 y a=0.9.Como esta eleccin requiere un valor de K menor que el resto de opciones, se decide que laprimera fila es la mejor opcin.Programacin con Matlab

Programacin con Matlab

Programacin con Matlab

Programacin con Matlab

Programacin con Matlab

Circuitos caractersticos controladores PI

Control de velocidad con controlador PIr(t) = referencia Por lo general una seal de tipo escaln

u = seal de controlv = es la salida del sistema

Se desea :1.- Error de estado estacionario cero para entrada escaln de lazo cerrado.2.- mximo sobreimpulso ligeramente menor a 16.30%.3.- Tiempo de establecimiento de 2s.Diseo del controlador PI

Diseo del controlador PI

=0.5

Diseo del controlador PI

Reto: programar en Matlab los valores de los parmetros del controlador para la respuestapara GPI(s)

Circuitos caractersticos controladores PID

Se desea :1.- Error de estado estacionario cero para entrada escaln de lazo cerrado.2.- mximo sobreimpulso ligeramente menor a 16.30%.3.- Tiempo de establecimiento de 2s.Diseo del controlador PID

Diseo del controlador PID

=0.5

Diseo del controlador PIDReto: programar en Matlab los valores de los parmetros del controlador para la respuestapara GPI(s)

Ingeniera de Control Moderno. K. Ogata. Pearson.Mecatrnica. W. Bolton. Alfaomega

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