NUMERIČKI METODI ZA KARAKTERIZACIJU IMPULSA PRI PROPAGACIJI KROZ NELINEARNO DISPERZIVNO OPTIČKO VLAKNO

Daniela M. Milović, Bratislav D. Stojanović, Aleksandra M. Mitić, Elektronski fakultet u Nišu

Sadržaj – U ovom radu predložen je novi pristup numeričkom rešavanju nelinearne Schrödinger-ove parcijalne diferencijalne jednačine pod nazivom Varijacioni Metod. Opravdanost korišćenja ovakvog pristupa leži u činjenici da je, do sada uveliko korišten višekoračni Fourier-ov metod, iako zadovoljavajuće tačan, veoma spor i zahteva primenu velikog broja direktnih i inverznih Fourier-ovih transformacija. Potreba za rešenjem nelinearne Schrödinger-ove parcijalne diferencijalne jednačine u zatvorenom obliku koji je jednostavan dovela je do Varijacionog Metoda koji je aproksimativnog karaktera i daje rešenje ove jednačine u veoma jednostavnom obliku. Jednostavno rešenje koje se dobija na ovakav način otvara mogućnost za kompenzaciju efekta disperzije i nelinearnosti u optičkom vlaknu. Numerički dobijeni rezultati korišćenjem Varijacionog Metoda su upoređeni sa rezultatima dobijenim pomoću standardnog višekoračnog Fourier-ovog modela i pokazano je da je predloženi metod brži i zadovoljavajuće tačan.

1. UVOD

Propagaciju impulsa kroz optičko vlakno, kada se uzmu u obzir oba ograničavajuća propagaciona efekta vlakna: nelinearnost i disperzija, teško je modelovati. Nelinearna Schrödinger-ova jednačina (NLSE) je matematički model propagacije impulsa kroz nelinearno-disperzivno optičko vlakno koja adekvatno opisuje propagaciju ali je komplikovana za rešavanje u formi koja bi bila jednostavna. Model koji je do sada uveliko korišćen i koji je pokazao zadovoljavajuću tačnost je Fourier-ov višekoračni Split-Step Fourier Method (SSFM) [1]. Ovaj numerički metod rešavanja nelinearne Schrödinger-ove jednačine je zadovoljavajuće tačan ali je veoma spor. Zadnjih godina uveden je potpuno novi pristup rešavanju ovog problema tako što se došlo na ideju da bi pronalaženje rešenja NLSE u zatvorenom obliku u mnogome ubrzalo simulaciju propagacije optičkog impulsa kroz nelinearno disperzivno vlakno. Tako je u upotrebu ušao Varijacioni pristup rešavanja NLSE koji daje rešenje u zatvorenom obliku koji je koristan naročito pri kompenzaciji kombinovanih efekata nelinearnosti i disperzije. Međutim, tačnost ovog metoda neophodno je potvrditi pomoću višekoračnog Fourier-ovog metoda.

2. VARIJACIONI METOD

Generalizovana Schrodinger-ova jednačina (GNLSE) ne može se rešiti analitički za generalan slučaj ili proizvoljan oblik optičkog impulsa lansiranog u optičko vlakno. Međutim, razvijene su veoma moćne numeričke procedure za njeno rešavanje. Među njima najpoznatiji, split-step Fourier-ov metod [1] dao je najbolje rezultate. Ovaj metod je zasnovan na činjenici da se linearni i nelinearni efekti mogu posmatrati odvojeno na kratkim rastojanjima ∆z.

{ } )ˆexp()ˆexp()()( DzNzzAzzA ∆∆=∆+ (1) gde je

26

121ˆ

3

3

32

2

2αββ

ttjD

∂

∂+

∂

∂= (2)

linearni operator u koji je uračunata disperzija kao i slabljenje optičkog vlakna a

2ˆ AjN γ−= (3)

predstavlja nelinearni operator u koji je uračunata Kerr-ova nelinearnost.

Ukoliko korak ∆z postane mnogo velik prestaju uslovi za zaseban proračun nelinearnog i linearnog operatora tj. algoritam će dati pogrešne rezultate. Stoga je pažljiv izbor koraka za split-step algoritam veoma važan. U većini slučajeva korak se adaptivno podešava na primer na sledeći način { }max,min zLz NLNL ∆∆=∆ φ (4) gde je ∆φNL maksimalan prihvatljiv fazni pomeraj usled nelinearnog operatora i njegove su tipične vrednosti u opsegu 0.05-0.2 rad. LNL je dužina nelinearnosti tj. dužina na kojoj je nelinearnost dominantna i iznosi

21

ALNL

γ= (5)

∆zmax je maksimalna veličina koraka koja se bira tako da ograniči pojavu FWM (four-wave mixing) tonova.

Linearni operator D̂ se najefikasnije određuje u spektralnom domenu dok se nelinearni operator N̂ određuje u vremenskom domenu. Za konvertovanje oba operatora koritsi se FFT (Fast-Fourier-Transform). Kako je brzina FFT proporcionalna NN 2log , gde je N broj uzoraka signala u vremenskom i frekventnom domenu, pažljiv izbor propusnog opsega simulacije kao i

Zbornik radova XLVIII Konf za ETRAN, Čačak, 6-10 juna 2004, tom II Proc. XLVIII ETRAN Conference, Čačak, June 6-10, 2004, Vol. II

330

vremenskog prozora od velike je važnosti kako bi se minimizovalo potrebno vreme za izvršenje simulacije i postigla maksimalna tačnost.

Variacioni metod je aproksimativan i polazi od NLSE

oblika:

( ) ( ) ( ) ( )TzUTzUPiT

TzUiz

TzU ,,,21, 2

02

2

2 γβ +∂

∂−=

∂∂ (6)

gde β2 predstavlja koeficijent disperzije, a T = t–z/vg je normalizacioni faktor. P0 predstavlja srednju optičku snagu u koju je uračunato slabljenje optičkog vlakna.

Neka je optički impuls Gauss-ovog oblika bez čirpa lansiran u nelinearno disperzivno monomodno optičko vlakno

( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−=

21exp,0 2

0

2 iCaTTU (7)

C je inicijalni čirp a a0 je širina početnog optičkog impulsa .

Lagranžian koji odgovara NLSE (6) iznosi [2]

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) 402

2

**

,2

,2

,,,,2

,

TzUP

TTzU

zTzUTzU

zTzUTzUiTzL

γβ−

∂∂

−

−⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

∂∂

−∂

∂=

(8)

Rešenje U(z,T) jednačine (6) predstavlja ekstremum funkcionala [2,3]

( )∫ ∫∞

∞−

∞

∞−∂∂= TzTzLJ , . (9)

Zamenom U(z,T) pomoću (7) dobija se rešenje oblika

( ) ( )( )

( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−= zib

zaTzATzU 2

2

21exp, (10)

koje je definisano pomoću tri parametra: vršna amplituda - A(z), širina impulsa - a(z) i frekventni čirp - b(z). Vrednosti ovih parametara treba izabrati tako da se dobiju lokalni maksimumi i minimumi funkcionala J. Primenom ovog postupka dobiće se sledeće jednačine

( ) ( )zbzaza

22βm=∂∂ (11)

( )( ) ( )za

aPza

zbzb

300

422

2 2222 γββ −±=

∂∂

m (12)

( ) ( ) .02 constEzAza == (13)

Treba napomenuti da su A(0)=1 i a(0)=a0 vrednosti koje opisuju početni impuls; "+" odgovara vrednostima koeficijenta disperzije β2>0 a "–" odgovara vrednostima koeficijenta disperzije β2

0 20 40 60 80 1000,960

0,965

0,970

0,975

0,980

0,985

0,990

0,995

1,000

A(z)

z [km]

SSFM VM

Sl. 2. Normalizovana amplitude optičkog impulsa u funkciji rastojanja za oba metoda.

0 20 40 60 80 10050,0

50,5

51,0

51,5

52,0

52,5

53,0

a(z)

[ps]

z [km]

SSFM VM

Sl. 3. Širina optičkog impulsa u funkciji rastojanja za poređene modele.

Veoma dobra konzistentnost rezultata je vidljiva i to

na čitavoj dužini optičkog vlakna. Razlika između rezultata ova dva metoda je prihvatljivo mala a vreme simulacije je za varijacioni metod mnogo kraće jer kod njega nema adaptivnog podešavanja koraka u pravcu ose propagacije optičkog impulsa. Dobijeni rezultati su veoma korisni za kompenzaciju efekata disperzije i nelinearnosti čak i za slučaj kada se optički link sastoji iz većeg broja sekcija. 3. ZAKLJUČAK

U ovom radu pokazana je prednost primene

Varijacionog Metoda u odnosu na standardni višekoračni Fourier-ov metod, na kome su bazirani skoro svi komercijalni softveri za simulaciju propagacije optičkog

impulsa. Varijacioni Metod omogućava dobijanje rešenja NLSE u zatvorenom obliku koji je veoma jednostavan. U radu je pokazana zadovoljavajuća tačnost Varijacionog Metoda kao i to da je on dosta brži od SSFM. Ovakvo jednostavno rešenje NLSE veoma je korisno kako za obradu signala tako i za kompenzaciju glavnih ograničavajućih faktora pri prenosu kroz optičko vlakno, nelinearnosti i disperzije.

LITERATURA [1] G. P. Agrawal, "Nonlinear Fiber Optics," 2nd ed., Academic Press, New York, 1995. [2] D. Anderson, Variational approach to nonlinear pulse propagation in fibers, Phys. Rev. A 27 (1983), 3135-45. [3] B. Washburn, J. Buck and S. Ralph, Transform-limited spectral compression due to self-phase modulation in fibers, Opt. Lett. 25 (2000), 445-7. [4] M. Brandt-Pearce, Ira Jacobs, J.-H. Lee and J. K. Shaw, Optimal input Gaussian pulse width for transmission in dispersive nonlinear fibers, J. Optical Soc. Am. B 16 (1999), 1189-96.

Abstract – This paper introduces quite a new method for numerical solving of nonlinear Schrödinger partial differential equation – Variational Method. The Split-Step Fourier Method, which is widely used for nonlinear Schrödinger partial differential equation (NLSE) solving, provides results in numerical form, which are accurate but slow and the method is of limited use for signal design. That motivates the idea of using Variational Method (VM) to solve the NLSE in a closed form. The results may then be used to determine how to compensate for the combined effects of dispersion and nonlinearity. Numerical results obtained bz Variational Method are compared with those obtained bz SSFM and it is shown that Variational Method gives enough accurate results but needs much less computing time.

NUMERICAL METHODS FOR CHARACTE-RIZATION OF PULSE PROPAGATING

THROUGH NONLINEAR DISPERSIVE OPTICAL FIBER

Daniela M. Milović, Bratislav D. Stojanović, Aleksandra M. Mitić

332