Mte3101 Topik 5- Nombor Bukan Nisbah

MTE3101 MENGENAL NOMBOR

17

Topik 5

Nombor Bukan Nisbah

5.0 Sinopsis

Topik ini memberi pendedahan kepada pelajar tentang Nombor Bukan Nisbah serta ciri-ciri

asas nombor tersebut. Punca kuasa dua dan surd juga dibincangkan, khususnya tentang

hukum hasil darab dan hukum hasil bahagi bagi surd. Topik ini turut membincangkan

beberapa penyelesaian masalah tentang Nombor Bukan Nisbah.

5.1 Hasil Pembelajaran

1. Mengenal pasti ciri-ciri Nombor Bukan Nisbah.

2. Membahagi radikal/surd dengan indeks yang sama serta memudahkan hasil darab dan

hasil bahagi surd.

3. Memudahkan radikal melalui penyempurnaan / merasionalkan penyebut.

4. Menyelesaikan masalah harian yang melibatkan radikal / surd.

5.2 Kerangka Konsep

NOMBOR BUKAN NISBAH

Ciri-ciri asas / Definisi

Punca Kuasa Dua dan Surd

Penyelesaian Masalah

Hukum Hasil darab

Hukum Hasil bahagi


18

5.3 Ciri-ciri Asas Nombor Bukan Nisbah

5.3.1 Definisi

Nombor bukan nisbah ialah nombor bukan integer yang tidak boleh diungkapkan

sebagai nisbah / pecahan.

Lihat rajah di bawah. Apa yang anda dapat katakan tentang Nombor Bukan Nisbah?

Ianya nombor nyata yang boleh ditulis sebagai nombor perpuluhan yang tidak berakhir dan

tidak berulang. Antara contoh-contoh Nombor Bukan Nisbah ialah , , 2 5,3 dan

lain-lain.

Kita telah membincangkan tentang Nombor Nisbah. Sekarang cuba fikirkan apakah

maksud Nombor Bukan Nisbah.

Adakah )(Pi Nombor Nisbah atau Nombor Bukan Nisbah ?

)(Pi adalah bersamaan dengan 3.141592653589793238. tentunya anda tidak dapat

menulis sebarang nisbah / pecahan yang bersamaan nilai )(Pi .

Penghampiran 22/7 = 3.1428571428571adalah nilai yang hampir TETAPI tidak tepat.

Mari kita kaji Punca Kuasa dua bagi 2:


19

Apakah jarak bagi pepenjuru di atas ?

Jawapan anda tentulah punca kuasa dua bagi 2, iaitu 1.4142135623730950...

Didapati, ianya bukan nombor seperti 3, atau lima per tiga, atau sebagainya. Anda tidak

dapat menulis punca kuasa dua bagi 2 dengan menggunakan nisbah dua nombor. Nombor

sebegini dikenali sebagai Nombor Bukan Nisbah.

Nombor Bukan Nisbah lain yang popular adalah :

Nombor e (Euler's Number) Ramai pengkaji telah mendapati nilainya mempunyai beberapa tempat perpuluhan tanpa mendapati corak / pola tertentu. Nilainya adalah

2.7182818284590452353602874713527

Nisbah Keemasan ( Golden Ratio ) juga adalah Nombor Bukan Nisbah.Beberapa digit yang pertamanya adalah

1.61803398874989484820... ..

Banyak punca kuasa dua, punca kuasa tiga dan sebagainya adalah Nombor Bukan Nisbah . Contoh-contoh adalah

3 1.7320508075688772935274463415059

99 9.9498743710661995473447982100121

5.3.2 Punca Kuasa Dua

Perhatikan pernyataan di bawah :

Kita mengetahui bahawa 525 . Nombor seperti 25, mempunyai punca kuasa dua

berbentuk nombor bulat ( iaitu 5 ) dikenali sebagai KUASA DUA SEMPURNA. Nombor 5

pula dipanggil sebagai PUNCA KUASA DUA SEMPURNA.


20

Setiap nombor bulat mempunyai punca kuasa dua. Kebanyakan nombor yang bukan

KUASA DUA SEMPURNA (contohnya 26), mempunyai PUNCA KUASA DUA berbentuk

Nombor Bukan Nisbah.

5.3.2.1 Mencari Punca Kuasa Dua Sesuatu Nombor

Jika sesuatu nombor itu bukan Nombor Kuasa Dua Sempurna, anda boleh menggunakan

kalkulator untuk mencari jawapan tepat kepada perseribu yang hampir.

Contoh 1:

Cari punca kuasa dua bagi nombor-nombor 81, 37, 158. Penyelesaian:

981

083.637

570.12158

Contoh 2:

Cari dua nombor bulat yang berturutan yang memberikan lingkungan jawapan

kepada punca kuasa dua nombor berikut:

(a) 18 (b) 115

Penyelesaian:

(a) 416 dan 525 maka 18 berada antara 4 dan 5.

(b) 10100 dan 11121 maka 115 berada antara 10 dan 11.

5.3.3 Surd

Nombor Bukan Nisbah yang melibatkan simbol radikal seperti , 3 , 4 dan lain-lain

dikenali sebagai surd.


21

3 4,12 , , adalah contoh-contoh surd.

Kita sedia maklum bahawa 636 , ,

Semua punca kuasa nombor-nombor di atas mempunyai nilai yang tepat dan dikenali

sebagai Nombor Nisbah.

Bagi 43 100,21,2 , kita terpaksa menggunakan kalkulator untuk mencari

jawapan. Didapati 16.3100,76.221,41.12 43

Semua punca kuasa nombor-nombor di atas TIDAK mempunyai nilai yang tepat dan

dikenali sebagai Nombor Bukan Nisbah. Juga dikenali sebagai SURD.

Mari kita kaji nombor-nombor berikut:

Adakah nombor-nombor di bawah Nombor Nisbah atau Nombor Bukan Nisbah ?

(a) 5 (b) 36 (c) 2

(d)

2

Kita akan mendapati jawapan seperti berikut:

(a) 5 - Nombor Bukan Nisbah kerana ia tidak dapat dimudahkan kepada sebarang

integer.

(b) 36 - Nombor Nisbah kerana ia dapat dimudahkan kepada integer: 636

(c) 2

- Nombor Bukan Nisbah kerana adalah nombor Bukan Nisbah.

(d)

2- Nombor Nisbah kerana ia dapat dimudahkan kepada

2

1.

5.3.3.1 Bentuk Standard / Piawai bagi Surd

243 dan 39 adalah surd yang sama. 243 dikenali sebagai surd penuh manakala

39 pula adalah bentuk standard / piawai.

273 juga bersamaan 243 and 39 , tetapi ia bukan dalam bentuk surd penuh atau

bentuk standard.

Surd dalam bentuk standard mempunyai nombor (berada dalam tanda punca kuasa

dua/tiga) yang tidak boleh dibahagi oleh nombor kuasa dua sempurna (lebih besar

daripada 1).

53 5

3211

283 2325


22

Contoh 3:

Nyatakan dalam bentuk standard

(a) 8 (b) 125 (c) 325 . (d) 2000

Penyelesaian:

(a) 2224248

(b) 55525525125 .

(c) 22021652165325 .

330

3310

3910

271002700)(

d

Contoh 4:

Nyatakan dalam bentuk surd penuh

(a) 57 (b) 85 (c) x29 .

Penyelesaian:

(a) 24554954957 .

(b) 20082582585 .

(c) xxxx 16228128129 .

5.3.3.2 Penambahan dan Penolakan SURD. Contoh 5:

Kira hasil tambah dan hasil tolak surd berikut: (a) (b)

(c) (d)

2624 2372316

1712178 3437310


23

Penyelesaian:

(a)

(b)

(c)

(d)

5.3.3.3 Hukum Hasil Darab

Contoh 6:

Mudahkan 73

Penyelesaian:

217373 .

Contoh 7:

Mudahkan 10352

Penyelesaian:

5061053210352

Contoh 8:

Kembangkan dan mudahkan

(a) 2325 (b) 2356 (c) 2268 .

baab

2102624

2392372316

1741712178

3133437310


24

Penyelesaian:

(a) 25310253252325 .

(b) 626352356

= 62185

62295 .

62235

62215

(c) 162482268

= 8316

= 834 .

5.3.3.4 Hukum Hasil Bahagi

Contoh 9:

Mudahkan (a) 26 (b) 2

8

Penyelesaian:

(a) 32626 (b) 242

8

2

8

Contoh 10:

Mudahkan 315

153

nn

n

b

a

b

a


25

Penyelesaian:

55

1

3

15

15

3

315

153 atau

5

5

Contoh 11:

Mudahkan 33

5

yx

yx

Penyelesaian:

y

x

y

x

y

x

yx

yx

yx

yx

2

2

2

33

5

33

5

)(

Merasionalkan penyebut bagi sesuatu Ungkapan (Rationalising the denominator of

an expression)

Kadangkala, penyebut sesuatu ungkapan, perlu diubah kepada Nombor Nisbah. Apabila

tanda punca kuasa dua ( ) terlibat dalam operasi pembahagian, kita hendaklah cuba

menghapuskan tanda tersebut pada bahagian penyebut (denominator). Proses ini

dinamakan merasionalkan penyebut (rasionalizing the denominator).

Perhatikan penerangan di bawah:

Penyebut Darab dengan Penyebut tanpa radikal

3 3 3)3(2

13 13 213

32 32 2 9 = -7

35 35 5 3 = 2


26

Contoh 12:

Rasionalkan penyebut bagi ungkapan-ungkapan berikut:

(a) 7

2 (b)

5

3 (c)

32

2.

Penyelesaian:

(a) 7

72

77

72

7

2 . ( darab pengangka dan penyebut, dengan penyebut

yang sama)

(b) 5

15

55

53

5

3 .

(c) 6

6

32

6

332

32

32

2

. ( darab pengangka dan penyebut, dengan

penyebut yang bertanda surd)

Konjugat Surd

Jika diberi ba , kita dapati ba adalah pasangan konjugat surd. 7253 dan

7253 membentuk pasangan konjugat surd. Pendaraban pasangan konjugat surd

akan menghasilkan Nombor Nisbah.

Peraturan umum bagi pasangan konjugat surd adalah seperti berikut:.

Contoh mudah adalah seperti berikut:

4

37

333737)77()37()37(

ba)ba()ba(


27

Contoh 13:

Kembangkan pasangan surd konjugat berikut:

(a) 1313 (b) 2626

(c) 72537253 . Penyelesaian:

(a) 213133331313 .

(b) 226226662626 = 6 2 = 4.

(c) 72537253

774576756559

177459 .

Contoh 14:

Rasionalkan penyebut bagi 23

2

Penyelesaian:

26

23

)2(32

)2()3(

)23(2

23

23

23

2

23

2

2

22


28

Peringatan: Anda digalakkan melayari laman web atau cari dari buku rujukan di

pusat sumber untuk meningkatkan pemahaman anda. Segala latihan yang dibuat

perlu dimasukkan dalam portfolio masing-masing.

SELAMAT BELAJAR!

1. Nyatakan ungkapan berikut dalam bentuk standard bagi surd:

(a) 500 (b) 484756

2. Nyatakan ungkapan berikut dalam bentuk surd penuh:

(a) 4500 (b) 3200

3. Cuba anda ringkaskan ungkapan berikut:

35

2)(

a

3

1132)(

b

hxhx

hxhxc

)(

2873)( d

523 xxxpersamaanSelesaikan4. ( agak mencabar ).


29

RUJUKAN :

Sullivan, Michael. (1999). Algebra and Trigonometry. 5th ed. New Jersey: Prentice Hall. Tipler, M.J. et.al.(2003). New national framework Mathematics. USA: Nelson Thornes

Limited. Groves, Susie. (2006). Exploring number and space: Reader. Victoria: Deakin University.

Humble, S. (2002). The experimenters A-Z of Mathematics: Maths activities with computer

support. London: David Fulton.

Miller, C. D.; Heeren, V. E. & Hornsby, E. J. Jr. (1990). Mathematical ideas. 6th ed. USA:

Harper Collins.

Musser, Gary L.; Burger, William F. & Peterson, Blake E. (2006). Mathematics for elementary teachers. A contemporary approach. 7th ed. NJ: John Wiley and Sons.

Smith, K. J. (2001). The nature of Mathematics. 9th ed. Pacific Grove, CA: Brooks/Cole.

Man, Leng Ka; Goen, Quek Suan; Kiang, Yong Ping, (1998). Kecemerlangan Dalam Matematik S STPM. Federal Publications Sdn.Bhd.

Documents

Mte3101 Topik 5- Nombor Bukan Nisbah