Méthodes statistiques pour l’évaluation du risque alimentaire · Jessica Tressou INRA-Mét@risk, Méthodologies d’analyse de risque alimentaire, Paris Discipline : Mathématiques

Méthodes statistiques pour l’évaluation durisque alimentaire

Soutenance de thèse publiqueNanterre, le 9 décembre 2005

Jessica Tressou

INRA-Mét@risk, Méthodologies d’analyse de risque alimentaire, Paris

Discipline : Mathématiques Appliquées et Applications desMathématiques

Ecole Doctorale Connaissance et CultureUniversité Paris X, Nanterre

Jessica Tressou Méthodes statistiques pour l’évaluation du risque alimentaire

Composition du Jury

Mme Sylvie Huet, Directeur de Recherche, INRA MIA,Jouy en Josas, RapporteurM. Hilko van der Voet, Senior Statistician, Biometris,Wageningen, Pays-Bas, RapporteurMme Judith Rousseau, Professeur, Université Paris IX,Paris, ExaminateurMme Karine Tribouley, Professeur, Université Paris X,Nanterre, ExaminateurM. Philippe Verger, Directeur de Recherche, INRAMét@risk, Paris, ExaminateurM. Patrice Bertail, Professeur, Université Paris X, Nanterre,Directeur de thèse


Plan de la présentation

ContexteEvaluation de l’expositionCaractérisation du risque

Risque alimentaire et valeurs extrêmesEvaluation empirique du risqueIndividualisation et risque de long terme

Conclusions et perpectives


L’analyse de risque

Objectif de la thèse :Développer des outils statistiques pour l’évaluation du risque

alimentaire

Formalisme et vocabulaire des comités d’expertsL’évaluation de risque

L’identification et la caractérisation du dangerL’évaluation de l’expositionLa caractérisation du risque

Gestion du risqueCommunication du risque

Exemples : risque chronique, Ochratoxine A et Méthylmercure


Evaluation de l’expositionNotations

P produits p = 1, ...,P

Qp : contamination du produit p, Lp analysesCp : consommation du produit p, n individusω : poids corporel de l’individu

⇒ Exposition d’un individu :

D =

∑Pp=1 QpCp

ω


Les données pour l’évaluation de risque

Consommation alimentaireINCA : C = (C1, ...,CP)⇒ Corrélation

Contamination des aliments (Plans de surveillance)DGCCRF, DGAL,... : Q1, ...,QP

⇒ Indépendance, Censure

Qp = max (Qp,L), ∆p = I (Qp > L) , L = LOD,LOQ

Valeurs Toxicologiques de Référence (VTR)Dose Hebdomadaire Tolérable (DHT)Dose de Référence Aiguë (ARfD)


Modèles pour l’évaluation de l’exposition

"Déterministe"ParamétriqueSemi-paramétriqueNon paramétrique

⇒ Choix du modèle ?


Caractérisation du risque

Risque aigu et/ou chroniqueContruction de la distribution d’exposition

Exposition aiguë : occasions de consommation etcontaminations variablesExposition chronique : consommation hebdomadaire totaleet contaminations fixes ou variables

Comparaison à une VTR relative au risque aigu / chronique

⇒ Estimation de la probabilité de dépasser la VTR

P(D > d = VTR)

Intérêt pour les queues de distribution


Risque alimentaire et valeurs extrêmes (Chapitre 2)Ajuster une loi de type Pareto aux k plus grandes expositions

Loi de Pareto et domaine d’attraction de FréchetHypothèses et notations

(Di)i=1,...,n i.i.d. F.Statistique d’ordre (Di,n)i=1,...,n

Pour x "grand" : 1− F(x) = Cx−1/γ

Estimateur de HILL (1975) (MV cond. à K = k)

Hk,n =1k

k∑i=1

log(Dn−i+1,n)− log(Dn−k,n)


Estimation de l’indice de ParetoEMBRECHTS, KLÜPPELBERG & MIKOSCH (1999)

Hk,n =1k

k∑i=1

log(Dn−i+1,n)− log(Dn−k,n)


Estimation de l’indice de Pareto

Correction du biais par introduction d’une fonction à VL(FEUVERGER & HALL, 1999, BEIRLANT ET AL., 1999)

Définition (Fonction à variation lente (VL))

Pour tout t > 0,L(tx)L(x)

→ 1 quand x →∞

⇒ Nouvelles hypothèses :Pour x "grand" : 1− F(x) = Cx−1/γL(x)Puissance → HP : L(x) = 1 + Dx−β

Logarithme → Hlog : L(x) = (log x)θ


Estimation de l’indice de Pareto

Théorème (Régression exponentielle)

Pour i = 1, ..., k : Zi = i(log(Dn−i+1,n)− log(Dn−i,n))

Zi ∼i.i.d.,HP

Eiγ exp

[D1

(in

)β1]

et Zi ∼i.i.d.,Hlog

Eiγ exp(

θ

log ni

)avec Ei ∼

i.i.d.Exp(1)

Arguments : Stat. d’ordre, Rep. de Rényi, DLEstimation de γ,D1 et β1 (γ et θ) par MV ∀k

Choix du nombre optimal de valeurs extrêmes

k∗ = arg mink>10

(γ2

kk

+ [Hk,n − γk]2), γ∗ = γk∗


Risque alimentaire et valeurs extrêmes

Estimer 1− F(d = VTR)


Conclusions et perpectivesRésultats, limites, solutions ?

Chapitre 2 : Risque Alimentaire et Valeurs ExtrêmesQuantification de risques "empiriquement" nulsCaractérisation de sous-populations fortement exposées(Comparaison des P(D > d) ou γ = Γ(Z))Variabilité de la contamination et indépendance ?Quand la DHT n’appartient pas à la queue ?


Risque alimentaire et valeurs extrêmesTRESSOU ET AL. (2004) Food Chem Tox


Evaluation empirique du risque alimentaire (Chapitre 3)Notations et définition du paramètre à estimer

Paramètre d’intérêt :

θd (D) = PD

P∑p=1

QpCp > d

La vraie distribution d’exposition : D = C ×

∏Pp=1Qp,

Sa distribution empirique : Demp = Cn×∏P

p=1 QLp ,

Censure : < L → L,L/2, 0

θd (Demp) = PDemp

P∑p=1

QpCp > d


Evaluation empirique du risque alimentaireEstimateur empirique

θd (Demp) =1

n×P∏

p=1Lp

n∑i=1

L1∑j1=1

. . .

LP∑jP=1

I

P∑p=1

qpjpci

p > d

Une U-statistique généralisée complète (LEE, 1990)Outil : Décomposition de HOEFFDING (1948)

Définitions (Gradients d’ordre 1 = des U-statistiques simples)

ψC(c) = E(I{∑P

p=1 QpCp > d}| C = c

)− θd (D)

ψQp(q) = E(I{∑P

p=1 QpCp > d}| Qp = q

)− θd (D)


Comportement Asymptotique

Théorème (Décomposition de Hoeffding)

θd (Demp)− θd (D)

=1n

n∑i=1

ψC(ci1, . . . , c

iP) +

P∑p=1

1Lp

Lp∑jp=1

ψQp(qpjp) + Rn,L1,...,LP

Théorème (Comportement asymptotique)

Si N = n +∑P

j=1 Lj,nN → η > 0 , Lj

N → βj > 0, et si lesvariances des gradients d’ordre 1 sont non toutes nulles, alorson a : √

N [θd (Demp)− θd (D)] Loi−→N→∞

N(0, S2)

avec

S2 =1η

V [ψC(C)] +P∑

j=1

1βj

V[ψQj(Q

j)]


En pratique

θd(Demp) ⇔ n×∏P

p=1 Lp = 1021 termes (OTA, P=9)

⇒ Version incomplète de la U-statistique :

θd,B (Demp) =1B

∑(i,j1,...,jp)∈L

I

P∑p=1

qpjpci

p > d

avec L = des indices tirés avec remise dans

{1, . . . , n} × {1, . . . , L1} × . . .× {1, . . . , LP}

Théorème (Tirage avec remise)

V [θd,B (Demp)] =σ2

1,1,...,1

B+

(1− 1

B

)V [θd (Demp)]

avec σ21,1,...,1 = V(ψC,Q1,...,QP(C,Q1, . . . ,QP))


Intervalles de confiance (IC)

Validité du bootstrap (θd Hadamard différentiable)Exemple d’algorithme (1 niveau de bootstrap)

1 Etape d’estimation : θ = θd,B(Demp)2 Etape de rééchantillonnage : s = 1, . . . ,M.

1 Tirage avec remise de C(s) et Q(s)p , p = 1, . . . , P

2 Calcul de θd,B(s) sur C(s) et Q(s)

p , p = 1, . . . , P

3 IC "Basic Percentile" :[θ[α/2]d,B ; θ[1−α/2]

d,B

]4 IC "Percentile" :

[2θ − θ[1−α/2]

d,B ; 2θ − θ[α/2]d,B

]Intervalles de Confiance

IC Percentile, Basic Percentile ou Asymptotique (1 niveau)IC de type t-percentile (2 niveaux) cf. HALL (1986)


Estimation des variances

Rééchantillonage : Jackknife et Bootstrap (EFRON, 1979)Validité du Jackknife pour les U-Statistiques simples(ARVESEN, 1969)⇒ ψC : version incomplète de ψC

S2Jack =

1η

VJack

[ψC(C)

]+

P∑j=1

1βj

VJack

[ψQj(Q

j)]

Estimation de la variance du paramètre d’intérêt parbootstrap

S2Boot =

1M

M∑m=1

[θd,B

(m) − θd,B

]2


Exemple : Ochratoxine ATRESSOU ET AL. (2004) Reg Tox Pharm ; BERTAIL & TRESSOU (2005) Biometrics

Substitution des < L Moyenne P95 P(D > DHT)

H1 : L 39.2 105.5 35.6% 32.8% - 39.8%

H2 : L/2 29.9 91.7 20.4% 15.9% - 23.7%

H3 : 0 18.2 81.7 12.2% 9.2% - 15.9%

IC "Basic Percentile"

⇒ Modélisation de la censure


Modélisation de la censure (Chapitre 4)

Censure aléatoire à gauche

Définition (Estimateur de Kaplan Meier censure à gauche)

Ri =L∑

j=1

I(Qj = Q∗(i), δj = 1) Ni =L∑

j=1

I(Qj ≤ Q∗(i))

FKM(t) =k∏

i=1

(1− Ri

Ni

)I“

Q∗(i)>t

”Q∗(1) < . . . < Q∗(k)

La distribution produit des estimateurs de KAPLAN-MEIER

(1958) : D = Cn ×∏P

p=1 QLp

θd (D) estimé par θd

(D

)= P eD

(∑Pp=1 QpCp > d

)


Modélisation de la censureApproche similaire, outils différents (VAN DER VAART, 1998)

Théorème (Comportement asymptotique)

Si N = n +∑P

j=1 Lj,nN → η > 0 , Lj

N → βj > 0, et si lesvariances des gradients d’ordre 1 sont non toutes nulles, alorson a : √

N[θd

(D

)− θd (D)

]Loi−→

N→∞N

(0, S2

KM)

avec une décomposition de S2KM en termes de C et (Qp)p=1,...,P

Delta Méthode et Hadamard différentiabilité FKM et θd

(D

)Approximation de θd

(D

)par simulation

Estimation des variances et construction des IC parBootstrap & Double Bootstrap (PONS & TURKEIM, 1989,GILL, 1989)


Modélisation de la censureTRESSOU (2005) Soumis



Chapitres 3 et 4 : Evaluation empirique du risque alimentaireQuantification des risques et incertitudesValidation de techniques de Monte Carlo courammentutiliséesCaractérisation de sous-populations fortement exposéesEtude de l’impact de mesures de gestion du risqueLe logiciel Chronic and Acute Risk AssessmenT (CARAT)Censure aléatoire ?Proportion de "vrais" 0 (PAULO ET AL., 2005) ?


Caractérisation du risqueUne limite pour le risque chronique

Consommation d’une semaine 6= Long Terme

⇒ Estimer la consommation individuelle de long terme

à partir de données individuelles de court terme (cf.Méthode de NUSSER ET AL., 1996)ou à partir de données de ménage sur longue période


Individualisation et risque de long terme (Chapitre 5)

Données SECODIP : Achats des ménagesPrédiction des expositions indiv. hebdomadaires Di,h,t

Modèle d’individualisation inspiré de CHESHER (1997)

Définitions (Exposition cumulée)

Elimination du contaminant : δ = ln(2)/l1/2

Si,h,t = exp(−δ)Si,h,t−1 + Di,h,t =t∑

s=0

Di,h,s exp(−δ(t − s))

Risque de long terme et pseudo-VTR

Sref ,t =t∑

s=0

DHT exp(−δ(t − s))


Le modèle d’individualisation

Ménages indépendants d’expositions yt,h

Pour l’individu i ∈ ménage h, semaine t :

yt,i,h = xt,i,hβ + zt,i,hu + wt,i,hγ +T∑

τ=1τ 6=τR

ατ I{τ=t} + εt,i,h,

cov(εt,i,h, εt,i′,h) = ρσ2, V(εt,i,h) = σ2 et 0 si h 6= h′ ou t 6= t′

Pour le ménage h de taille nh

Yt,h =(

yt,h√nh

)= Xt,hβ + Wt,hγ + Zt,hu + δt,hα+ εt,h

⇒ Modèle linéaire mixte et Maximum de VraisemblanceRestreint (RUPPERT ET AL., 2003)


Individualisation et risque de long termeALLAIS & TRESSOU (2005) Doc. de Travail

Le cas du méthylmercure : l1/2 = 6 semaines, DHT=1.6 µg/sem/kg pc

0

5

10

15

20

25

30

35

40

0 10 20 30 40 50 60

semaine

Exp

osit

ion

cum

ulée

au

MeH

g

PminP05P25P50P75P90P95P975P99P999Pmaxref



Chapitre 5 : Individualisation et risque de long termeModèle dynamique très innovant pour le risque alimentairePrédictions du modèle d’individualisation trop incertainesModèle de type Tobit : prédiction des zérosFormalisation du modèle dynamique d’exposition : modèlede ruine/stockage

Xt =∑

n≤N(t)

En −∫ t

s=0r(Xs)ds

Combinaison des différentes approches


Conclusion Générale

Données ⇒ Outils spécifiquesExtrêmes, Censure, IndividualisationRisque Chronique / AiguNouveau domaine d’application des statistiquesDiscussions pluri-displinaires indispensablesPerspectives principales

Modèle de ruine/stockage (bioaccumulation)Collaboration avec A. Lo, HKUSTClassification des queues de courbes d’exposition


MERCI de votre attention

Questions


Références I

BEIRLANT, J., DIERCKX, G., GOEGEBEUR, Y. & MATTHYS,G. (1999). Tail index estimation and an exponentialregression model. Extremes 2, 177–200.BERTAIL, P. & TRESSOU, J. (2005). Incompletegeneralized U-Statistics for food risk assessment. Aparaître dans Biometrics A paraître.CHESHER, A. (1997). Diet revealed ? : Semiparametricestimation of nutrient intake-age relationships. Journal ofthe Royal Statistical Society A 160, 389–428.EMBRECHTS, P., KLÜPPELBERG, C. & MIKOSCH, T. (1999).Modelling Extremal Events for Insurance and Finance.Applications of Mathematics. Berlin : Springer-Verlag.FEUERVERGER, A. & HALL, P. (1999). Estimating a tailexponent by modelling departure from a ParetoDistribution. Annals of Statistics 27, 760–781.


Références II

GILL, R. D. (1989). Non and semi parametric maximumlikehood estimators and the von Mises method.Scandinavian Journal of Statistics 16, 87–128.HALL, P. (1986). On the bootstrap and confidenceintervals. Annals of Statistics 14, 1431–1452.HILL, B. M. (1975). A simple general approach toinference about the tail of a distribution. Annals of Statistics3, 1163–1174.LEE, A. J. (1990). U-Statistics : Theory and Practice, vol.110 of Statistics : textbooks and monographs. New York,USA : Marcel Dekker, Inc.NUSSER, S., A.L. CARRIQUIRY, A., DODD, K. & FULLER,W. (1996). A semiparametric transformation approach toestimating usual intake distributions. Journal of theAmerican Statistical Association 91, 1440–1449.


Références III

PAULO, M. J., VAN DER VOET, H., M. J. W. JANSEN, A. C.J. F. T. B. & VAN KLAVEREN, J. D. (2005). Riskassessment of dietary exposure to pesticides using abayesian method .PONS, O. & TURCKEIM, E. (1989). Méthodes de vonMises, Hadamard différentiabilité et bootstrap dans unmodèle non paramétrique sur un espace métrique.C.R.A.S.S. 308, 369–372.RUPPERT, D., WAND, M. P. & CARROLL, R. J. (2003).Semiparametric regression. Cambridge Series in Statisticaland Probabilistic Mathematics. Cambrige University Press.TRESSOU, J. (2005). Non parametric modelling of the leftcensorship of analytical data in food risk exposureassessment (Document de travail soumis).


Références IV

TRESSOU, J., CRÉPET, A., BERTAIL, P., FEINBERG, M. H.& LEBLANC, J. C. (2004a). Probabilistic exposureassessment to food chemicals based on extreme valuetheory. application to heavy metals from fish and seaproducts. Food and Chemical Toxicology 42, 1349–1358.TRESSOU, J., LEBLANC, J. C., FEINBERG, M. & BERTAIL,P. (2004b). Statistical methodology to evaluate foodexposure and influence of sanitary limits : Application toOchratoxin A. Regulatory Toxicology and Pharmacology40, 252–263.VAN DER VAART, A. W. (1998). Asymptotic Statistics.Cambridge Series in Statistical and ProbabilisticMathematics. United Kingdom : Cambridge UniversityPress.


Pot de thèse

Le pot de thèse se déroulera dans le bâtiment GSalle E26 bis

Merci à l’équipe MODALX


Documents

Méthodes statistiques pour l’évaluation du risque alimentaire · Jessica Tressou INRA-Mét@risk, Méthodologies d’analyse de risque alimentaire, Paris Discipline : Mathématiques