PENGERTIAN LINGKARANLingkaran adalah himpunan titik-titik yang memiliki jarak sama terhadap sebuah titik tertentu.Titik tertentu yang dimaksud di atas disebut Titik Pusat Lingkaran, pada gambar di samping titik pusat lingkaran di OJarak OA, OB, OC disebut Jari-jari Lingkaran

UNSUR-UNSUR LINGKARANTitik Pusat2.Jari-jari (r)3.Diameter (d)CBADOJari-jari lingkaran adalah garis dari titik pusat lingkaran ke lengkungan lingkaranDiameter adalah garis lurus yang menghubungkan dua titik pada lengkungan lingkaran dan melalui titik pusat. Titik pusat lingkaran adalah titik yang terletak di tengah-tengah lingkaran.Panjang diameter sama dengan 2 kali panjang jari-jari atau bisa ditulis d = 2r

5. Tali BusurTali busur lingkaran adalah garis lurus dalam lingkaran yang menghubungkan dua titik pada lengkungan lingkaran.Busur lingkaran dibagi menjadi 2, yaitu Busur Kecil dan Busur Besar..Busur yang kurang dari setengah keliling lingkaran disebut dengan busur kecil.Sedangkan busur yang lebih dari setengah lingkaran disebut dengan busur besar.4. BusurBusur lingkaran adalah garis lengkung yang terletak pada lengkungan lingkaran dan menghubungkan dua titik sembarang di lengkungan tersebutLANJUTANJika disebutkan busur lingkaran saja tanpa disebutkan besar/kecil, maka yang dimaksud adalah busur kecil

6. TemberengLANJUTANTembereng adalah luas daerah dalam lingkaran yang dibatasi oleh busur dan tali busurTembereng dibagi menjadi 2, yaitu Tembereng Kecil dan Tembereng BesarTembereng dengan sudut pusat kurang dari 1800 maka disebut dengan tembereng kecil. Sedangkan tembereng dengan sudut pusat lebih dari 1800 disebut dengan tembereng besar.Jika disebutkan Tembereng lingkaran saja tanpa disebutkan besar/kecil, maka yang dimaksud adalah Tembereng kecil7. JuringJuring lingkaran adalah luas daerah dalam lingkaran yang dibatasi oleh dua buah jari-jari lingkaran dan sebuah busur yang diapit oleh kedua jari-jari lingkaran tersebut.Juring lingkaran dibagi menjadi 2, yaitu Juring Kecil dan Juring BesarJuring dengan sudut pusat kurang dari 1800 dinamakan dengan juring kecil.Sedangkan juring dengan sudut pusat lebih dari 1800 dinamakan juring besar.Jika disebutkan Juring lingkaran saja tanpa disebutkan besar/kecil, maka yang dimaksud adalah Juring kecil

LANJUTAN8. ApotemaApotema adalah garis yang menghubungkan titik pusat lingkaran dengan tali busur lingkaran. Garis tersebut tegak lurus dengan tali busur.

MENGHITUNG BESARAN-BESARAN PADA LINGKARANKeliling Lingkaran adalah panjang busur atau lengkung pembentuk lingkaran. Rumus keliling lingkaran : x diameter 2 x x r x jari-jari / x r x rLuas lingkaran adalah luas daerah yang dibatasi oleh lengkung lingkaran. Rumus luas lingkaran:

*1. Diketahui : Panjang jari-jari = 28 cmJumlah putaran = 400 kaliKeliling roda = 2 r = 2 x 22/7 x 28 = 2 x 88 = 176 cmPanjang lintasannya = 400 x 176 cm = 70.400 cm = 704 meter

2. Diketahui :Panjang lintasan = 628 meterJumlah putaran = 500 kali

*Keliling roda = Pjg. lintasan : jlh putaran = (628 x 100 )cm : 500 = 125,6 cmJari-jari roda = Keliling : 2 = 125,6 : 2 x 3,14 = 125,6 : 6,28 = 20 cm

**Hitunglah luas daerah yang diarsir !3.3. Luas lingkaran yang diarsir :Lb = r2 = 22/7 x 7 x 7 = 154 cm2 Lk = r2 = 22/7 x 3,5 x 3,5 = 38,5 cm2

MENGENAL SUDUT PUSAT DAN SUDUT KELILINGTitik L adalah pusat lingkaran. Sudut BLC dinamakan sudut pusat lingkaran karena titik sudutnya terletak pada pusat lingkaran.Sudut BAC disebut sudut keliling lingkaran, karena titik sudutnya terletak pada keliling lingkaran.Perhatikan gambar diatas, sudut BAC dan sudut BLC Menghadap busur BDC, maka :Sudut BAC = sudut BLC

HUBUNGAN SUDUT PUSAT, PANJANG BUSUR DAN LUAS JURING

Besar AOB=Pjg. busur AB=L. juring OABBesar CODPjg. busur CDL. juring OCD

MENGHITUNG SUDUT PUSAT, PANJANG BUSUR, LUAS JURING, DAN LUAS TEMBERENG. Sudut pusat adalah sudut yang dibentuk oleh dua jari-jari lingkaran dan titik sudutnya disebut pusat lingkaran. Panjang busur misal pada lingkaran L yang berjari-jari r terdapat sudut pusat ALB = yang menghadap busur AB maka :

DARI RUMUS PERBANDINGAN HUBUNGAN SUDUT PUSAT, PANJANG BUSUR DAN LUAS JURING, KITA DAPAT MENCARI LUAS JURINGBerdasarkan luas juring tersebut maka kita dapat mencari luas tembereng dengan :

*1. Panjang jari-jari sebuah lingkaran yang berpusat di titik O adalah 30 cm. Titik P dan Q terletak pada keliling lingkaran sehingga luas juring OPQ = 565,2 cm2. Hitunglah panjang busur PQ.Diketahui : Panjang jari-jari = 30 cmLuas juring OPQ = 565,2 cm2 **X = ( 565,2) : 15 = 37,68Jadi, panjang busur PQ adalah : 37,68 cmPembahasan :

L. Juring OPQ=Pj. busur PQL. LingkaranK. Lingkaran

565,2=x r22r

565,2=x x 30 x 302 x x 30

SUDUT ANTARA DUA TALI BUSUR Sudut antara dua tali busur yang berpotongan dalam lingkaran. Besar sudut yang dibentuk oleh dua tali busur yang berpotongan di dalam lingkaran sama dengan jumlah sudut keliling yang menghadap busur yang terletak di antara kaki-kaki sudutnya.AED = BDC + ACD = + atau :Besar sudut a yang dibentuk oleh dua tali busur yang berpotongan di dalam lingkaran , sama dengan jumlah sudut pusat yang menghadap busur yang terletak di antara kaki-kaki sudutnya.AEC = ( AOC + BOD) = ( + )

2. Jika dua tali busur yang berpotongan di luar lingkaran, maka : Besar sudut yang terjadi sama dengan jselisih sudut pusat yang menghadap busur yang terletak di antara kaki-kaki sudutnya.AED = ADC - BAD = - atau :Jika dua tali busur yang berpotongan di luar lingkaran, maka : Besar sudut yang terjadi sama dengan selisih sudut pusat yang menghadap busur yang terletak di antara kaki-kaki sudutnya.AED = ( AOC - BOD ) = ( - )

CONTOH :Pada gambar, diketahui besar ABC = 200 dan BCD = 250 . Hitunglah besar :a. AECb. AED

ABC = 200 BCD = 250 AEC = ABC + BCD = 200 + 250 = 450b. AED = 1800 - AEC = 1800 - 450 = 1350

1. Pada gambar di samping, besar POR = 500 dan QOS = 600 . Hitunglah besar PTR POR = 500 QOS = 600

PTR = ( POR + QOS) = (500 + 600 ) = x 1100 = 550 Jadi, besar PTR = 550

2. Pada gambar di bawah ini, besar ABC = 550 dan BCD = 250 Hitunglah besar AECABC = 550 BCD = 250

AEC = ABC - BCD = 550 - 250 = 300Jadi, besar AEC = 300

Besar sudut pusat = 2 x sudut keliling, yang menghadap pada busur yang sama. Besar setiap sudut keliling yang menhadap diameter adalah 900 ( siku-siku ). Besar sudut-sudut keliling yang menghadap busur yang sama adalah sama besar.HUBUNGAN SUDUT PUSAT DAN SUDUT KELILINGGaris singgung pada suatu lingkaran adalah garis yang memotong lingkaran itu tepat pada satu titik di lingkaran itu. Garis singgung persekutuan dua lingkaranSIFAT SIFAT GARIS SINGGUNG LINGKARAN :Setiap garis singgung lingkaran selalu tegak lurus terhadap jari-jari maupun diameter yang melalui titik singgung itu.Melalui satu titik pada lingkaran, hanya dapat dibuat satu garis singgung pada lingkaran itu.Melalui satu titik di luar lingkaran dapat dibuat dua garis singgung.

MELUKIS GARIS SINGGUNG LINGKARAN MELALUI TITIK DILUAR LINGKARANMisal P adalah titik yang terletak diluar lingkaran O. langkah-langkah melukis garis singgung yang melalui P. Hubungkan titik P dan O carilah titik tengah PO(misal Q)Buatlah lingkaran Q berjari-jari QP atau QO memotong lingkaran O di S dan THubungkan titik S dan P dengan titik PGaris PS dan PT adalah garis singgung lingkaran O GAMBAR GARIS SINGGUNG LINGKARAN MELALUI TITIK DILUAR LINGKARANGaris PS dan PT adalah garis singgung lingkaran OS

Misal titik A terletak diluar lingkaran O.ada 2 garis singgung yang dapat dibuat dari titik A terhadap lingkaran O. kedua garis singgung tersebut bersama-sama dengan jari-jari lingkaran yang melalui titik singgung membentuk sebuah bangun. Bagun tersebut dinamakan Layang-layang garis singgung (karena memenuhi sifat layang-layang).LAYANG-LAYANG GARIS SINGGUNG GAMBAR LAYANG LAYANG GARIS SINGGUNGABCO adalah layang layang garis singgung

MENGHITUNG PANJANG GARIS SINGGUNG LINGKARANPanjang garis singgung lingkaran yang ditarik dari titik diluar lingkaran dapat dihitung, apabila diketahui panjang jari-jari lingkaran(r) dan jarak titik pusat lingkaran dengan titik diluar lingkaran tersebut(d).

QPGSL = d =

r =

OPQ siku-siku di sudut P dengan OP= r, OQ= d dan PQ= PGSLBerdasarkan teorema pytagoras diperoleh:r1

GARIS SINGGUNG PERSEKUTUAN DUA LINGKARANGaris singgung persekutuan dua lingkaran adalah garis singgung dari dua lingkaran itu yang melalui suatu titik titik pada lingkaran. Secara umum garis singgung dua lingkaran dapat dikelompokkan menjadi 2 jenis, yaitu Garis singgung Persekutuan Luar dan Garis Singgung Persekutuan Dalam.Dibawah ini menunjukkan beberapa kemungkinan garis singgung persekutuan dua lingkaran.MENENTUKAN PANJANG GARIS SINGGUNG PERSEKUTUAN DUA LINGKARAN.Panjang garis singgung persekutuan luar (PGSPL).Perhatikan gambar disamping! Gambar tersebut menunjukkan dua lingkaran yang berpusat di A dengan jari-jari R (lingkaran besar) dan lingkaran kecil yang berpusat di B dengan jari-jari r. jarak kedua pusat lingkaran adlah AB = d, dan PQ adalah panjang garis singgung persekutuan luar = (PGSPL)

LANGKAH-LANGKAH MENENTUKAN PGSPL (PQ)rContoh : perhatikan gambar disamping! Jika diketahui LM = 13 cm, MB = 3 cm, dan AL = 8 cm, tentukan panjang garis singgung AB.LM = d= 13 cm MB = r =3 cm AL = R = 8 cm AB = PGSPL =?

PANJANG GARIS SINGGUNG PERSEKUTUAN DALAM (PGSPD)Gambar disamping menunjukkan 2 lingkaran besar dan lingkaran kecil. yang berpusat di A dengan jari-jari R dan lingkaran kecil yang barpusat di B dengan jari-jari r. jarak antara kedua pusat lingkaran adalah AB = d dan PQ adalah panjang garis singgung persekutuan dalam (PGSPD)

LANGKAH-LANGKAH MENENTUKAN PGSPD (PQ)Tarik garis melalui pusat lingkaran kecil (titik B) sejajar garis PQ hingga tegak lurus pada perpanjangan garis AP di titik P, yaitu BP APQBPP adalah persegi panjang, berarti BQ = PP = r, PQ=BP =PGSPD, dan AP = AP +PP atau AP = R + r

PERHATIKAN APB SIKU-SIKU DI P. BERDASARKAN TEOREMA PYTHAGORAS, DIPEROLEH:

Diberikan dua lingkaran yaitu [A, 12 cm] dan [B, 23 cm].Jika jarak AB = 37 cm, hitunglah PGSPD?Jawab:AB = d = 37 cmPGSPD= BP=R=23 cmAQ=r=12 cmPQ = R+r=(23+12)cm PGSPD =?CONTOH :==== 12 cm

Lingkaran luar suatu segitiga adalah suatu lingkaran yang melalui semua titik sudut segitiga dan berpusat di titik potong ketiga garis sumbu sisi-sisi segitiga.Lingkaran dalam suatu segitiga adalah lingkaran yang terletak di dalam segitiga dan menyinggung ketiga sisinya.

Cara melukis lingkaran luar segitiga :Langkah 1.Tentukan masing-masing sebuah titik yang berada pada sisi segitiga,sehinga titik tersebut tepat berada di tengah-tengah sisi segitiga.Langkah 2.Tarik garis melalui titik tersebut dan garis tersebut tegak lurus dengan sisi-sisi segitiga tersebut sehingga garis-garis tersebut menghasilkan 1 titik potong.Langkah 3.Letakkan jangka di titik tersebut dan pada salah satu titik sudut segitiga,kemudian di putar.

Cara melukis lingkaran dalam segitiga :Langkah 1.Buat garis bagi dari masing-masing titik sudut segitiga.kemudian tarik garis-garis tersebut sehingga menghasilkan titik potong.Langkah 2.Buat garis tinggi melalui titik potong tersebut sisi pada segitiga sehingga menghasilkan titik potong dengan sisi segitiga. Langkah 3.Letakkan jangka di titik yan telah dibuat, kumudian di putar.

CONTOH SOAL:

CONTOH SOAL:Dalam segitiga siku-siku PQR panjang sisi QR =15 cm , PQ =9 cm PR= 12 cm.Hitunglah panjang jari-jari lingkaran luar !jawabQR=17 cm; PQ=10 cm; PR=13 cm

Diketahui segitiga ABC sama sisi panjang sisinya 12 cm panjang jari-jari lingkaran luar dan dalam segitiga berturut-turut adalah..

2. Diketahui segitiga ABC siku-siku di A .panjang AB= 6 cm dan BC = 10 cm.panjang jari-jari lingkaran luar segitiga adalah.a. 7cmb. 4cmc. 5cmd. 6,5 cm

TERIMAKASIH ATAS PERHATIANNYA

***