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Métodos Matemáticos en FísicaEJEMPLO de Planteamiento de problema (clase)
Se obtiene una barra fina (problema 1-dimencional) de longitud L mediante unión de dos barras homogéneas (L=L1+L2) con diferentes coeficientes de conductividad térmica (k1,2) y de difusion termica (a1,2) [a2=k/C donde es densidad de material y C su capacidad calorífica).
La superficie lateral y extremo derecho de barra están aislados ( ver figura) mientras que extremo izquierdo se pone en contacto térmico con un medio de difusion térmica infinita (foco termico) a temperatura cero.
1. PLANTEAR el PROBLEMA MATEMATICAMENTE
2. Hallar autofunciones de problema Sturm Louville
k1 a1; k2 a2
L
Extremo term. aislado
Extremo en contacto con foco termico a T=0
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Formulación matemática
1 1
2 1
1 1
2 1
1 1
2 1
0
(t>0)
(0<x<L )( )
(L <x<L)
(0<x<L )( )
(L <x<L)
(0<x<L )( )
(L <x<
( ) ( ) [ ( )
L): (0) ( ) 0
] 0
(t>0): ( ,0)
x
t xx C x u k
kk x
k
x
CC x
CCC u u LCI
x
x T
x
u
u
k1 a1; k2 a2
L
Métodos Matemáticos en Física1er_Ex_Par_10_11
54
Separando variables
n n m0
[ ( ) ]( ) 0
( ) ( )
[ ( ) ]
( ) ( ) ( )
( ) ( )
Ortoganalidad para v : ( ) ( ) ( )v (x)v ( )
*
0
para v(x
( ) 0
)
0) (
xt
L
x
n
x
m
u T t v
k x vx v x
v v L
SL
x
k x vT xT x C x v x
x C x
Cond x C x x dx
k1 a1; k2 a2
L
Métodos Matemáticos en Física1er_Ex_Par_10_11
55
21 1 1
121
22 2 2
222
21
12 21
22
221,22
1,21,2 1,2
22
k
=
0
0
1 0
1 0
d v C vdx k
d v C vdx k
od v vdx
con
a
d v vdx Ca
a
Separando Ec. (*) en 2 partes
k1 a1; k2 a2
L
Métodos Matemáticos en Física1er_Ex_Par_10_11
Hallamos Cond. Contorno y de unión de v1,2
1
2
11
22
(0) 0 =>
(
v =A Sen( )
v =B Cos () [ )]0
xa
x La
v
dv Ldx
1
2
k1 a1; k2 a2
L
Métodos Matemáticos en Física1er_Ex_Par_10_11
CL: Condiciones de union de dos funciones?
57
1 1 2 2
1
1 1
( ) ( )
(*) por entorno de la union x=L
obtendremos condicio
[ ( ) ] (
n de union de der
) 0 *
(
ivadas:
L ) (L )
x
x x
k x v x C x
Integramos dx
Entonce
v xx
k v k
s
v
k1 a1; k2 a2
L
Métodos Matemáticos en Física1er_Ex_Par_10_11
58
Métodos Matemáticos en FísicaL.5A. Cond_Cont_Conduccion de Calor Cap.5APL
Tipos de Cond. Contorno que vimos
Oscilaciones: Fijos, Libres, Mediolibres/Fijos
Conduccion termica: anclados a Foco termico, aislados, medio-aislados
Gases/Liquidos: contornos cerrados, abiertos, (medio-abiertos)
Electrostatica: potencial de campo en contornos metalicos (contornos aislantes, metal/aislante)
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Métodos Matemáticos en FísicaL.5A. Cond_Cont_Conduccion de Calor Cap.5APL
Cond. Contorno Dieléctricos
Electrostática: de Ec. Maxwell
rot(E)=0
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Métodos Matemáticos en FísicaL.5A. Cond_Cont_Conduccion de Calor Cap.5APL
Cond. Contorno Dieléctricos
Teorema Stokes
Continuidad de componente tangencial de campo en contornos Dieléctricos
rot(E)
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Métodos Matemáticos en FísicaL.5A. Cond_Cont_Conduccion de Calor Cap.5APL
Cond. Contorno Dieléctricos
Integramos otra Ec. de electrostática por el volumeninfinitesimal a lo largo de interfase (- permisividad dieléctrica del medio no metálico).
Usando Teorema Gauss
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Métodos Matemáticos en FísicaL.5A. Cond_Cont_Conduccion de Calor Cap.5APL
Integramos por superficie S´infinitesimal paralela a interfase
CC para Proyección normal de campo eléctrico
Contribución de proyección paralela a superficie es despriciable
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Métodos Matemáticos en FísicaL.5A. Cond_Cont_Conduccion de Calor Cap.5APL
tU Const
nn U E
Cuando uno de medios es metálico
CC para Proyección normal de Campo eléctrico
tU Const
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Métodos Matemáticos en FísicaL.5A. Cond_Cont_Conduccion de Calor Cap.5APL
Problema de penetración de campo Eléctromagnetico en METALES <=> Ec. DIFUSION(ver libro Budak… 3.11) Clase_ omitimos deduccion
Ausentes1.Cargas externas2.Campos exteriores
1
2
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Métodos Matemáticos en FísicaL.5A. Cond_Cont_Conduccion de Calor Cap.5APL
Como es medio conductor,Corrientes de desplazamiento son nulas
Además
0
Relaciones entre distintos parámetros físicos
3
4
5
6
7
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Métodos Matemáticos en FísicaL.5A. Cond_Cont_Conduccion de Calor Cap.5APL
Usando (5,7) Ec (1,2) se REescriben de manera
Aplicando Operador rot(*) a (1´)Hallando derivada por (t) de (2`)Excluimos H de ambos Ec.
1`
2`
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Métodos Matemáticos en FísicaL.5A. Cond_Cont_Conduccion de Calor Cap.5APL
Además simplificar rot rot (E)
Como grad (div E)=0div E=0 como no hay cargas
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Métodos Matemáticos en FísicaL.5A. Cond_Cont_Conduccion de Calor Cap.5APL
Como
Ec Difusion descibe la propagación / penetracion de campo E/M en metales
2
2
4
4
dE c Edt
dH c Hdt
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Métodos Matemáticos en FísicaL.5A. Cond_Cont_Conduccion de Calor Cap.5APL
Ejemplos Planteamiento de problemasLIBRO APL- 5.2Plantear problema de contorno sobre las vibraciones longitudinales pequeñas de una barra elástica en medio sin resistencia si uno de sus extremos es fijo rígidamente y otro experimenta una resisitencia proporcional a la velocidad
No hay extremo derecho para elemento dx
FRICCION
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Métodos Matemáticos en FísicaL.5A. Cond_Cont_Conduccion de Calor Cap.5APL
izquierdo
derecho( )
( 0) CC(2) es
(0, ) 0
) (:
t
x t
t x t
u t
u L u
Extremo
Extremoxu Eu
xE
L u
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Métodos Matemáticos en FísicaL.5A. Cond_Cont_Conduccion de Calor Cap.5APL
Ejemplos Planteamiento de problemas (Libro APL 5.6.b)
Un tubo abierto por un extremo se desplaza en la dirección de su eje con velocidad constante VEn el instante t=0 se detiene instantáneamente.Determinar el desplazamiento de aire dentro de tubo a una distancia (x) en función de tiempo (en terminos de variacion de densidad-”condensacion”)
2 0tt xxu a u
v
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Métodos Matemáticos en FísicaL.5A. Cond_Cont_Conduccion de Calor Cap.5APL
1. como desplazamiento (de moleculas)
izquierdo
derecho abierto(0, ) 0
( ,0) 0( ,0)
( , ) 0
u
a) b)
x
t
Considerando
Extremo
Extremou
u t
u xu
t
x
L
CIV
Analogía: Coche se estrella contra farola
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Métodos Matemáticos en FísicaL.5A. Cond_Cont_Conduccion de Calor Cap.5APL
02. como
izquierdo cerrado
derecho(0, ) 0
( ,0) 0( ,0)( ,0) 0
u ( - ) s
( ,0)?? ?
abierto( , ) 0
a)
b ??)
x
t
Considerando
Extremo
Extremou
u t
u xx
L
tu
txx
t
CI
”condensacion”
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Métodos Matemáticos en FísicaL.5A. Cond_Cont_Conduccion de Calor Cap.5APL
0
0 0
0 0 00 0
Ec. de continuidad (1D)
( 0) ( 0)
( )
:
( )L L
Usamosvt t
t x
v v xx
Comprabacion
v dx v x dx vx
v
L
Función Heaviside Funcion Delta(ver libro APL, Apéndice A)
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Métodos Matemáticos en FísicaL.5A. Cond_Cont_Conduccion de Calor Cap.5APL
Definición de Función Delta Dirac a partir de función Heaviside (ver detalles en libro APL, Apéndice A)
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Métodos Matemáticos en FísicaL.5A. Cond_Cont_Conduccion de Calor Cap.5APL
0( ,: 0) ( )2 x t v xt
CI
dv/dx