Métodos Numéricos Grado en Ingeniería Informática Tema 3 ...lalvarez/teaching/mn/2012MnTransparenciasTema… · ULPGCLogo Métodos Numéricos Grado en Ingeniería Informática

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Métodos NuméricosGrado en Ingeniería Informática

Tema 3: Interpolación de Funciones I

Luis Alvarez León

Univ. de Las Palmas de G.C.

Luis Alvarez León () Métodos Numéricos Univ. de Las Palmas de G.C. 1 / 38

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Contenido

1 Introducción

2 Interpolación de funciones utilizando los polinomios de Lagrange

3 El error de interpolación

4 Elección de los puntos de interpolacion óptimos para minimizar elerror

5 Aproximación de funciones elementales utilizando polinomios

6 El método de diferencias de Newton para calcular el polinomiointerpolador

7 Aproximación por mínimos cuadrados. Regresión lineal


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Contenido

1 Introducción








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Interpolación de funcionesPlanteamiento del problema de interpolación


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Interpolación de funcionesPlanteamiento del problema de interpolación


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Interpolación de funcionesInterpolación lineal


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Interpolación de funcionesInterpolación lineal


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Interpolación de funcionesInterpolación polinómica


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Interpolación de funcionesInterpolación polinómica


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Contenido

1 Introducción








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Interpolación de FuncionesPolinomios base de Lagrange

T (0) = 20, T (2) = 18, T (4) = 16, T (6) = 17, T (8) = 21, T (10) = 23

Polinomios base de Lagrange

P0(x) = (x−2)(x−4)(x−6)(x−8)(x−10)(0−2)(0−4)(0−6)(0−8)(0−10)

P2(x) = (x−0)(x−4)(x−6)(x−8)(x−10)(2−0)(2−4)(2−6)(2−8)(2−10)

P4(x) = (x−0)(x−2)(x−6)(x−8)(x−10)(4−0)(4−2)(4−6)(4−8)(4−10)

P6(x) = (x−0)(x−2)(x−4)(x−8)(x−10)(6−0)(6−2)(6−4)(6−8)(6−10)

P8(x) = (x−0)(x−2)(x−4)(x−6)(x−10)(8−0)(8−2)(8−4)(8−6)(8−10)

P10(x) = (x−0)(x−2)(x−4)(x−6)(x−8)(10−0)(10−2)(10−4)(10−6)(10−8)

Polinomio Interpolador

P5(x) = P0(x) + P2(x) + P4(x) + P6(x) + P8(x) + P10(x)


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T (0) = 20, T (2) = 18, T (4) = 16, T (6) = 17, T (8) = 21, T (10) = 23


P0(x) = (x−2)(x−4)(x−6)(x−8)(x−10)(0−2)(0−4)(0−6)(0−8)(0−10)

P2(x) = ?

(x−0)(x−4)(x−6)(x−8)(x−10)(2−0)(2−4)(2−6)(2−8)(2−10)

P4(x) = (x−0)(x−2)(x−6)(x−8)(x−10)(4−0)(4−2)(4−6)(4−8)(4−10)

P6(x) = (x−0)(x−2)(x−4)(x−8)(x−10)(6−0)(6−2)(6−4)(6−8)(6−10)

P8(x) = (x−0)(x−2)(x−4)(x−6)(x−10)(8−0)(8−2)(8−4)(8−6)(8−10)

P10(x) = (x−0)(x−2)(x−4)(x−6)(x−8)(10−0)(10−2)(10−4)(10−6)(10−8)


P5(x) = P0(x) + P2(x) + P4(x) + P6(x) + P8(x) + P10(x)


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T (0) = 20, T (2) = 18, T (4) = 16, T (6) = 17, T (8) = 21, T (10) = 23


P0(x) = (x−2)(x−4)(x−6)(x−8)(x−10)(0−2)(0−4)(0−6)(0−8)(0−10)

P2(x) = (x−0)(x−4)(x−6)(x−8)(x−10)(2−0)(2−4)(2−6)(2−8)(2−10)

P4(x) = ?

(x−0)(x−2)(x−6)(x−8)(x−10)(4−0)(4−2)(4−6)(4−8)(4−10)

P6(x) = (x−0)(x−2)(x−4)(x−8)(x−10)(6−0)(6−2)(6−4)(6−8)(6−10)

P8(x) = (x−0)(x−2)(x−4)(x−6)(x−10)(8−0)(8−2)(8−4)(8−6)(8−10)

P10(x) = (x−0)(x−2)(x−4)(x−6)(x−8)(10−0)(10−2)(10−4)(10−6)(10−8)


P5(x) = P0(x) + P2(x) + P4(x) + P6(x) + P8(x) + P10(x)


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T (0) = 20, T (2) = 18, T (4) = 16, T (6) = 17, T (8) = 21, T (10) = 23


P0(x) = (x−2)(x−4)(x−6)(x−8)(x−10)(0−2)(0−4)(0−6)(0−8)(0−10)

P2(x) = (x−0)(x−4)(x−6)(x−8)(x−10)(2−0)(2−4)(2−6)(2−8)(2−10)

P4(x) = (x−0)(x−2)(x−6)(x−8)(x−10)(4−0)(4−2)(4−6)(4−8)(4−10)

P6(x) = ?

(x−0)(x−2)(x−4)(x−8)(x−10)(6−0)(6−2)(6−4)(6−8)(6−10)

P8(x) = (x−0)(x−2)(x−4)(x−6)(x−10)(8−0)(8−2)(8−4)(8−6)(8−10)

P10(x) = (x−0)(x−2)(x−4)(x−6)(x−8)(10−0)(10−2)(10−4)(10−6)(10−8)


P5(x) = P0(x) + P2(x) + P4(x) + P6(x) + P8(x) + P10(x)


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T (0) = 20, T (2) = 18, T (4) = 16, T (6) = 17, T (8) = 21, T (10) = 23


P0(x) = (x−2)(x−4)(x−6)(x−8)(x−10)(0−2)(0−4)(0−6)(0−8)(0−10)

P2(x) = (x−0)(x−4)(x−6)(x−8)(x−10)(2−0)(2−4)(2−6)(2−8)(2−10)

P4(x) = (x−0)(x−2)(x−6)(x−8)(x−10)(4−0)(4−2)(4−6)(4−8)(4−10)

P6(x) = (x−0)(x−2)(x−4)(x−8)(x−10)(6−0)(6−2)(6−4)(6−8)(6−10)

P8(x) = ?

(x−0)(x−2)(x−4)(x−6)(x−10)(8−0)(8−2)(8−4)(8−6)(8−10)

P10(x) = (x−0)(x−2)(x−4)(x−6)(x−8)(10−0)(10−2)(10−4)(10−6)(10−8)


P5(x) = P0(x) + P2(x) + P4(x) + P6(x) + P8(x) + P10(x)


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T (0) = 20, T (2) = 18, T (4) = 16, T (6) = 17, T (8) = 21, T (10) = 23


P0(x) = (x−2)(x−4)(x−6)(x−8)(x−10)(0−2)(0−4)(0−6)(0−8)(0−10)

P2(x) = (x−0)(x−4)(x−6)(x−8)(x−10)(2−0)(2−4)(2−6)(2−8)(2−10)

P4(x) = (x−0)(x−2)(x−6)(x−8)(x−10)(4−0)(4−2)(4−6)(4−8)(4−10)

P6(x) = (x−0)(x−2)(x−4)(x−8)(x−10)(6−0)(6−2)(6−4)(6−8)(6−10)

P8(x) = (x−0)(x−2)(x−4)(x−6)(x−10)(8−0)(8−2)(8−4)(8−6)(8−10)

P10(x) = ?

(x−0)(x−2)(x−4)(x−6)(x−8)(10−0)(10−2)(10−4)(10−6)(10−8)


P5(x) = P0(x) + P2(x) + P4(x) + P6(x) + P8(x) + P10(x)


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T (0) = 20, T (2) = 18, T (4) = 16, T (6) = 17, T (8) = 21, T (10) = 23


P0(x) = (x−2)(x−4)(x−6)(x−8)(x−10)(0−2)(0−4)(0−6)(0−8)(0−10)

P2(x) = (x−0)(x−4)(x−6)(x−8)(x−10)(2−0)(2−4)(2−6)(2−8)(2−10)

P4(x) = (x−0)(x−2)(x−6)(x−8)(x−10)(4−0)(4−2)(4−6)(4−8)(4−10)

P6(x) = (x−0)(x−2)(x−4)(x−8)(x−10)(6−0)(6−2)(6−4)(6−8)(6−10)

P8(x) = (x−0)(x−2)(x−4)(x−6)(x−10)(8−0)(8−2)(8−4)(8−6)(8−10)

P10(x) = (x−0)(x−2)(x−4)(x−6)(x−8)(10−0)(10−2)(10−4)(10−6)(10−8)


P5(x) = ?P0(x) + ?P2(x) + ?P4(x) + ?P6(x) + ?P8(x) + ?P10(x)


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T (0) = 20, T (2) = 18, T (4) = 16, T (6) = 17, T (8) = 21, T (10) = 23


P0(x) = (x−2)(x−4)(x−6)(x−8)(x−10)(0−2)(0−4)(0−6)(0−8)(0−10)

P2(x) = (x−0)(x−4)(x−6)(x−8)(x−10)(2−0)(2−4)(2−6)(2−8)(2−10)

P4(x) = (x−0)(x−2)(x−6)(x−8)(x−10)(4−0)(4−2)(4−6)(4−8)(4−10)

P6(x) = (x−0)(x−2)(x−4)(x−8)(x−10)(6−0)(6−2)(6−4)(6−8)(6−10)

P8(x) = (x−0)(x−2)(x−4)(x−6)(x−10)(8−0)(8−2)(8−4)(8−6)(8−10)

P10(x) = (x−0)(x−2)(x−4)(x−6)(x−8)(10−0)(10−2)(10−4)(10−6)(10−8)


P5(x) = 20P0(x)+18P2(x)+16P4(x)+17P6(x)+21P8(x)+23P10(x)


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Interpolación de FuncionesAproximación de la función ex por un polinomio de grado 2

Interpolamos la función ex en los puntos 0,−1,1


P0(x) = (x+1)(x−1)(0−1)(0+1)

P−1(x) = (x−0)(x−1)2

P1(x) = (x+1)(x−0)2


P2(x) = P0(x) + P−1(x) + P1(x)


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P0(x) = ?

(x+1)(x−1)(0−1)(0+1)

P−1(x) = (x−0)(x−1)2

P1(x) = (x+1)(x−0)2


P2(x) = P0(x) + P−1(x) + P1(x)


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P0(x) = (x+1)(x−1)(0−1)(0+1)

P−1(x) = ?

(x−0)(x−1)2

P1(x) = (x+1)(x−0)2


P2(x) = P0(x) + P−1(x) + P1(x)


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P0(x) = (x+1)(x−1)(0−1)(0+1)

P−1(x) = (x−0)(x−1)2

P1(x) = ?

(x+1)(x−0)2


P2(x) = P0(x) + P−1(x) + P1(x)


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P0(x) = (x+1)(x−1)(0−1)(0+1)

P−1(x) = (x−0)(x−1)2

P1(x) = (x+1)(x−0)2


P2(x) = ?P0(x) + ?P−1(x) + ?P1(x)


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P0(x) = (x+1)(x−1)(0−1)(0+1)

P−1(x) = (x−0)(x−1)2

P1(x) = (x+1)(x−0)2


P2(x) = e0P0(x) + e−1P−1(x) + e1P1(x)


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Interpolación de funcionesComparación de la función ex (trazo discontinuo) y P2(x)


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Contenido

1 Introducción








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Interpolación de FuncionesError de interpolación de Lagrange

TeoremaSea f (x) una función, y PN(x) su polinomio interpolador de Lagrangeen los puntos {xi}i=0,..,N ⊂ [a,b] y x ∈ [a,b], entonces

f (x)− PN(x) =f N+1)(ξ)

(N + 1)!ΠN

i=0(x − xi)

donde ξ es un valor intermedio perteneciente a [a,b].

ProblemaCalcular la expresión del error de interpolación al aproximar la funciónf (x) = sen(x) en el intervalo [0,2π] interpolando en los puntos 0, π2 , πy 3π

2 , y acotarlo superiormente.


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Interpolación de FuncionesError de interpolación de Lagrange

TeoremaSea f (x) una función, y PN(x) su polinomio interpolador de Lagrangeen los puntos {xi}i=0,..,N ⊂ [a,b] y x ∈ [a,b], entonces

f (x)− PN(x) =f N+1)(ξ)

(N + 1)!ΠN

i=0(x − xi)

donde ξ es un valor intermedio perteneciente a [a,b].

ProblemaCalcular la expresión del error de interpolación al aproximar la funciónf (x) = sen(x) en el intervalo [0,2π] interpolando en los puntos 0, π2 , πy 3π

2 , y acotarlo superiormente.


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Solución:f (x) = sen(x)

f ′(x) = cos(x)

f ′′(x) = − sen(x)

f ′′′(x) = −cos(x)

f 4)(x) = sen(x)

La fórmula del error de interpolación es

f (x)− P(x) =


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f ′(x) = ?

cos(x)

f ′′(x) = − sen(x)

f ′′′(x) = −cos(x)

f 4)(x) = sen(x)


f (x)− P(x) =


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f ′(x) = cos(x)

f ′′(x) = ?

− sen(x)

f ′′′(x) = −cos(x)

f 4)(x) = sen(x)


f (x)− P(x) =


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f ′(x) = cos(x)

f ′′(x) = − sen(x)

f ′′′(x) = −cos(x)

f 4)(x) = sen(x)


f (x)− P(x) =


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Solución:f (x) = sen(x) f (x)− PN(x) = f N+1)(ξ)

(N+1)! ΠNi=0(x − xi)

f ′(x) = cos(x)

f ′′(x) = − sen(x) Los puntos a interpolar son 0, π/2, π,3π/2f ′′′(x) = −cos(x)

f 4)(x) = sen(x)


f (x)− P?(x) =


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(N+1)! ΠNi=0(x − xi)

f ′(x) = cos(x)


f 4)(x) = sen(x)


f (x)− P3(x) = ?


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(N+1)! ΠNi=0(x − xi)

f ′(x) = cos(x)


f 4)(x) = sen(x)


f (x)− P3(x) =sen(ξ)

4!?


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(N+1)! ΠNi=0(x − xi)

f ′(x) = cos(x)


f 4)(x) = sen(x)



4!x(

x − π

2

)(x − π)

(x − 3π

2

)


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(N+1)! ΠNi=0(x − xi)

f ′(x) = cos(x)


f 4)(x) = sen(x)



4!x(

x − π

2

)(x − π)

(x − 3π

2

)

Como el valor máximo del sen(x) es 1 y el valor más alejado de lospuntos de interpolación en [0,2π] es 2π podemos acotar el error como:

|f (x)− P3(x)| ≤ 14!

2π(

2π − π

2

)(2π − π)

(2π − 3π

2

)


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Contenido

1 Introducción








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Interpolación de FuncionesElección de los puntos de interpolación

TeoremaSea N ≥ 0, y un intervalo [a,b] Se consideran los puntos xi dados por

xi = a +b − a

2

(1 + cos

(2i + 12N + 2

π

))i = 0, ...,N

entonces

maxx∈[a,b] | ΠNi=0(x − xi) |=

(b − a

2

)N+1 12N ≤ maxx∈[a,b] | ΠN

j=0(x − x̃j) |

para cualquier otra elección posible de valores de interpolación x̃j .

Por tanto, utilizando este resultado, el error de interpolación máximo vienedeterminado por:

| f (x)− PN(x) |≤maxx∈[a,b]f N+1)(ξ)

(N + 1)!2N

(b − a

2

)N+1


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xi = a +b − a

2

(1 + cos

(2i + 12N + 2

π

))i = 0, ...,N

entonces


(b − a

2

)N+1 12N ≤ maxx∈[a,b] | ΠN

j=0(x − x̃j) |



| f (x)− PN(x) |≤maxx∈[a,b]f N+1)(ξ)

(N + 1)!2N

(b − a

2

)N+1


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xi = a +b − a

2

(1 + cos

(2i + 12N + 2

π

))i = 0, ...,N

entonces


(b − a

2

)N+1 12N ≤ maxx∈[a,b] | ΠN

j=0(x − x̃j) |



| f (x)− PN(x) |≤maxx∈[a,b]f N+1)(ξ)

(N + 1)!2N

(b − a

2

)N+1


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Interpolación de FuncionesElección de puntos de interpolación

xi = a +b − a

2

(1 + cos

(2i + 12N + 2

π

))i = 0, ...,N

EjemploSe considera [a,b] = [0,1] y N = 5 (es decir 6 puntos deinterpolación). Los puntos de interpolación dados por el teoremaanterior son:

x0 = .982 96x1 = .853 55x2 = .629 41x3 = .370 59x4 = .146 45

x5 = 1.703 7× 10−2


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Interpolación de FuncionesElección de puntos de interpolación

xi = a +b − a

2

(1 + cos

(2i + 12N + 2

π

))i = 0, ...,N

EjemploSe considera [a,b] = [0,1] y N = 5 (es decir 6 puntos deinterpolación). Los puntos de interpolación dados por el teoremaanterior son:

x0 = .982 96x1 = .853 55x2 = .629 41x3 = .370 59x4 = .146 45

x5 = 1.703 7× 10−2


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ProblemaCalcular el error máximo de interpolación en el intervalo [0,1] alinterpolar la función cos(x) utilizando los puntos de interpolaciónóptimos tomando N = 5.

El error de interpolación viene dado por la expresión:

| f (x)− PN(x) |≤maxx∈[a,b]

∣∣f N+1)(ξ)∣∣

(N + 1)!2N

(b − a

2

)N+1

en nuestro caso N = 5 y la derivada sexta de cos(x) es − cos(x) cuyomáximo en valor absoluto es 1. Por tanto obtenemos:

| f (x)− P5(x) |≤ 16!25

(12

)6

= 6.78× 10−7


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∣∣f N+1)(ξ)∣∣

(N + 1)!2N

(b − a

2

)N+1


| f (x)− P5(x) |≤ ?

16!25

(12

)6

= 6.78× 10−7


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∣∣f N+1)(ξ)∣∣

(N + 1)!2N

(b − a

2

)N+1


| f (x)− P5(x) |≤ 16!25

(12

)6

= 6.78× 10−7


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Contenido

1 Introducción








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Interpolación de FuncionesAproximación de la función ex

Si aproximamos la función ex en el intervalo [0,1] utilizando los puntos :

xi =12

(1 + cos

(2i + 12N + 2

π

))i = 0, ...,N

El error de interpolación viene acotado por :

| ex − PN(x) | ≤ e(N + 1)!2N

(12

)N+1

Por tanto si u es la unidad de redondeo y se verifica que

e(N + 1)!2N

(12

)N+1

≤ u · ex ∀x ∈ [0,1]

Entonces la aproximación será la mejor posible dentro de la aritmética. Eneste ejemplo esto ocurre cuando N = 6, (en una aritmética de 32 bits). Asi,tomando un polinomio de grado N = 6, es decir 7 puntos de interpolación,obtenemos ya la mejor aproximación posible de ex en el intervalo [0,1].


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Interpolación de FuncionesAproximación de la función cos(x)

También podemos aproximar funciones utilizando el desarrollo de Taylor que viene dado por

f (x) = f (x0) + f ′(x0)(x − x0) + ...f N)(x0)

N!(x − x0)N +

f N+1)(ξ)

(N + 1)!(x − x0)N+1

Por ejemplo, consideremos f (x) = cos(x) en el intervalo [0, π4 ], x0 = 0

cos(x) = 1− x2

2!+

x4

4!− ...+ (−1)N x2N

(2N)!+ (−1)N+1 sin(ξ)x2N+1

(2N + 1)!

La mejor aproximación de cos(x) en una aritmética vendrá dada por la condición∣∣∣∣sin(ξ)x2N+1

(2N + 1)!

∣∣∣∣ ≤ u|cos(x)| →

∣∣∣∣∣ (π/4)2N+1

cos(x)(2N + 1)!

∣∣∣∣∣ ≤ 2 (π/4)2N+1√

2(2N + 1)!≤ u

Por tanto, a partir de esta expresión, y en función de la calidad de la aritmética, se calcularáhasta que término hay que llegar en el desarrollo de Taylor para obtener la aproximacióndeseada.


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f (x) = f (x0) + f ′(x0)(x − x0) + ...f N)(x0)

N!(x − x0)N +

f N+1)(ξ)

(N + 1)!(x − x0)N+1


cos(x) = 1− x2

2!+

x4

4!− ...+ (−1)N x2N

(2N)!+ (−1)N+1 sin(ξ)x2N+1

(2N + 1)!


(2N + 1)!

∣∣∣∣ ≤ u|cos(x)| →

∣∣∣∣∣ (π/4)2N+1

cos(x)(2N + 1)!

∣∣∣∣∣ ≤ 2 (π/4)2N+1√

2(2N + 1)!≤ u



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f (x) = f (x0) + f ′(x0)(x − x0) + ...f N)(x0)

N!(x − x0)N +

f N+1)(ξ)

(N + 1)!(x − x0)N+1


cos(x) = 1− x2

2!+

x4

4!− ...+ (−1)N x2N

(2N)!+ (−1)N+1 sin(ξ)x2N+1

(2N + 1)!


(2N + 1)!

∣∣∣∣ ≤ u|cos(x)| →

∣∣∣∣∣ (π/4)2N+1

cos(x)(2N + 1)!

∣∣∣∣∣ ≤ 2 (π/4)2N+1√

2(2N + 1)!≤ u



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f (x) = f (x0) + f ′(x0)(x − x0) + ...f N)(x0)

N!(x − x0)N +

f N+1)(ξ)

(N + 1)!(x − x0)N+1


cos(x) = 1− x2

2!+

x4

4!− ...+ (−1)N x2N

(2N)!+ (−1)N+1 sin(ξ)x2N+1

(2N + 1)!


(2N + 1)!

∣∣∣∣ ≤ u|cos(x)| →

∣∣∣∣∣ (π/4)2N+1

cos(x)(2N + 1)!

∣∣∣∣∣ ≤ 2 (π/4)2N+1√

2(2N + 1)!≤ u



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f (x) = f (x0) + f ′(x0)(x − x0) + ...f N)(x0)

N!(x − x0)N +

f N+1)(ξ)

(N + 1)!(x − x0)N+1


cos(x) = 1− x2

2!+

x4

4!− ...+ (−1)N x2N

(2N)!+ (−1)N+1 sin(ξ)x2N+1

(2N + 1)!


(2N + 1)!

∣∣∣∣ ≤ u|cos(x)| →

∣∣∣∣∣ (π/4)2N+1

cos(x)(2N + 1)!

∣∣∣∣∣ ≤ 2 (π/4)2N+1√

2(2N + 1)!≤ u



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Contenido

1 Introducción








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Interpolación de FuncionesMétodo de diferencias de Newton

0 : 20?

2 : 18

4 : 16

6 : 17

8 : 21

10 : 23


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0 : 2018−202−0 = −1

2 : 18?

4 : 16

6 : 17

8 : 21

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0 : 2018−202−0 = −1

2 : 1816−184−2 = −1

4 : 16?

6 : 17

8 : 21

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0 : 2018−202−0 = −1

2 : 1816−184−2 = −1

4 : 1617−166−4 = 1

2

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0 : 2018−202−0 = −1

2 : 1816−184−2 = −1

4 : 1617−166−4 = 1

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6 : 1721−178−6 = 2

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0 : 2018−202−0 = −1

2 : 1816−184−2 = −1

4 : 1617−166−4 = 1

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0 : 2018−202−0 = −1

2 : 1816−184−2 = −1

4 : 1617−166−4 = 1

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2 : 18 ?16−184−2 = −1

4 : 1617−166−4 = 1

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0 : 2018−202−0 = −1

2 : 18 −1−(−1)4−0 = 0

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4 : 1617−166−4 = 1

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0 : 2018−202−0 = −1

2 : 18 −1−(−1)4−0 = 0

16−184−2 = −1

4 : 16 ?17−166−4 = 1

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0 : 2018−202−0 = −1

2 : 18 −1−(−1)4−0 = 0

16−184−2 = −1

4 : 16 1/2−(−1)6−2 = 3

817−166−4 = 1

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2 : 18 −1−(−1)4−0 = 0

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4 : 16 1/2−(−1)6−2 = 3

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2 : 18 −1−(−1)4−0 = 0

16−184−2 = −1

4 : 16 1/2−(−1)6−2 = 3

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6 : 17 2−1/28−4 = 3

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2 : 18 −1−(−1)4−0 = 0

16−184−2 = −1

4 : 16 1/2−(−1)6−2 = 3

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2 : 18 −1−(−1)4−0 = 0

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817−166−4 = 1

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2 : 18 −1−(−1)4−0 = 0

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817−166−4 = 1

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2 : 18 −1−(−1)4−0 = 0

16−184−2 = −1 ?

4 : 16 1/2−(−1)6−2 = 3

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2 : 18 −1−(−1)4−0 = 0

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6−0 = 116

4 : 16 1/2−(−1)6−2 = 3

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2 : 18 −1−(−1)4−0 = 0

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6−0 = 116

4 : 16 1/2−(−1)6−2 = 3

817−166−4 = 1

2 ?6 : 17 2−1/2

8−4 = 38

21−178−6 = 2

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423−2110−8 = 1

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2 : 18 −1−(−1)4−0 = 0

16−184−2 = −1 3/8−0

6−0 = 116

4 : 16 1/2−(−1)6−2 = 3

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8−2 = 0

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2 : 18 −1−(−1)4−0 = 0

16−184−2 = −1 3/8−0

6−0 = 116

4 : 16 1/2−(−1)6−2 = 3

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23/8−3/8

8−2 = 0

6 : 17 2−1/28−4 = 3

821−178−6 = 2 ?

8 : 21 1−210−6 = −1

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2 : 18 −1−(−1)4−0 = 0

16−184−2 = −1 3/8−0

6−0 = 116

4 : 16 1/2−(−1)6−2 = 3

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23/8−3/8

8−2 = 0

6 : 17 2−1/28−4 = 3

821−178−6 = 2 −1/4−3/8

10−4 = − 548

8 : 21 1−210−6 = −1

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2 : 18 −1−(−1)4−0 = 0

16−184−2 = −1 3/8−0

6−0 = 116

4 : 16 1/2−(−1)6−2 = 3

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6 : 17 2−1/28−4 = 3

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10−4 = − 548

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2 : 18 −1−(−1)4−0 = 0

16−184−2 = −1 3/8−0

6−0 = 116

4 : 16 1/2−(−1)6−2 = 3

8 ?17−166−4 = 1

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10−4 = − 548

8 : 21 1−210−6 = −1

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2 : 18 −1−(−1)4−0 = 0

16−184−2 = −1 3/8−0

6−0 = 116

4 : 16 1/2−(−1)6−2 = 3

80−1/16

8−0 = − 1128

17−166−4 = 1

23/8−3/8

8−2 = 0

6 : 17 2−1/28−4 = 3

8 ?21−178−6 = 2 −1/4−3/8

10−4 = − 548

8 : 21 1−210−6 = −1

423−2110−8 = 1

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2 : 18 −1−(−1)4−0 = 0

16−184−2 = −1 3/8−0

6−0 = 116

4 : 16 1/2−(−1)6−2 = 3

80−1/16

8−0 = − 1128

17−166−4 = 1

23/8−3/8

8−2 = 0

6 : 17 2−1/28−4 = 3

8−5/48−0

10−2 = − 5384

21−178−6 = 2 −1/4−3/8

10−4 = − 548

8 : 21 1−210−6 = −1

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2 : 18 −1−(−1)4−0 = 0

16−184−2 = −1 3/8−0

6−0 = 116

4 : 16 1/2−(−1)6−2 = 3

80−1/16

8−0 = − 1128

17−166−4 = 1

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8−2 = 0 ?6 : 17 2−1/2

8−4 = 38

−5/48−010−2 = − 5

38421−178−6 = 2 −1/4−3/8

10−4 = − 548

8 : 21 1−210−6 = −1

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2 : 18 −1−(−1)4−0 = 0

16−184−2 = −1 3/8−0

6−0 = 116

4 : 16 1/2−(−1)6−2 = 3

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8−0 = − 1128

17−166−4 = 1

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8−2 = 0 −5/384−(−1/128)10−0 = − 1

1920

6 : 17 2−1/28−4 = 3

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10−2 = − 5384

21−178−6 = 2 −1/4−3/8

10−4 = − 548

8 : 21 1−210−6 = −1

423−2110−8 = 1

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2 : 18 −1−(−1)4−0 = 0

16−184−2 = −1 3/8−0

6−0 = 116

4 : 16 1/2−(−1)6−2 = 3

80−1/16

8−0 = − 1128

17−166−4 = 1

23/8−3/8

8−2 = 0 −5/384−(−1/128)10−0 = − 1

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6 : 17 2−1/28−4 = 3

8−5/48−0

10−2 = − 5384

21−178−6 = 2 −1/4−3/8

10−4 = − 548

8 : 21 1−210−6 = −1

423−2110−8 = 1

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P(x) = ?


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2 : 18 −1−(−1)4−0 = 0

16−184−2 = −1 3/8−0

6−0 = 116

4 : 16 1/2−(−1)6−2 = 3

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8−0 = − 1128

17−166−4 = 1

23/8−3/8

8−2 = 0 −5/384−(−1/128)10−0 = − 1

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6 : 17 2−1/28−4 = 3

8−5/48−0

10−2 = − 5384

21−178−6 = 2 −1/4−3/8

10−4 = − 548

8 : 21 1−210−6 = −1

423−2110−8 = 1

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P(x) = 20 ?


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0 : 2018−202−0 = −1

2 : 18 −1−(−1)4−0 = 0

16−184−2 = −1 3/8−0

6−0 = 116

4 : 16 1/2−(−1)6−2 = 3

80−1/16

8−0 = − 1128

17−166−4 = 1

23/8−3/8

8−2 = 0 −5/384−(−1/128)10−0 = − 1

1920

6 : 17 2−1/28−4 = 3

8−5/48−0

10−2 = − 5384

21−178−6 = 2 −1/4−3/8

10−4 = − 548

8 : 21 1−210−6 = −1

423−2110−8 = 1

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P(x) = 20 − 1x ?


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0 : 2018−202−0 = −1

2 : 18 −1−(−1)4−0 = 0

16−184−2 = −1 3/8−0

6−0 = 116

4 : 16 1/2−(−1)6−2 = 3

80−1/16

8−0 = − 1128

17−166−4 = 1

23/8−3/8

8−2 = 0 −5/384−(−1/128)10−0 = − 1

1920

6 : 17 2−1/28−4 = 3

8−5/48−0

10−2 = − 5384

21−178−6 = 2 −1/4−3/8

10−4 = − 548

8 : 21 1−210−6 = −1

423−2110−8 = 1

10 : 23

P(x) = 20 − 1x + 0x(x − 2) ?


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0 : 2018−202−0 = −1

2 : 18 −1−(−1)4−0 = 0

16−184−2 = −1 3/8−0

6−0 = 116

4 : 16 1/2−(−1)6−2 = 3

80−1/16

8−0 = − 1128

17−166−4 = 1

23/8−3/8

8−2 = 0 −5/384−(−1/128)10−0 = − 1

1920

6 : 17 2−1/28−4 = 3

8−5/48−0

10−2 = − 5384

21−178−6 = 2 −1/4−3/8

10−4 = − 548

8 : 21 1−210−6 = −1

423−2110−8 = 1

10 : 23

P(x) = 20 − 1x + 0x(x − 2) + 116x(x − 2)(x − 4) ?


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0 : 2018−202−0 = −1

2 : 18 −1−(−1)4−0 = 0

16−184−2 = −1 3/8−0

6−0 = 116

4 : 16 1/2−(−1)6−2 = 3

80−1/16

8−0 = − 1128

17−166−4 = 1

23/8−3/8

8−2 = 0 −5/384−(−1/128)10−0 = − 1

1920

6 : 17 2−1/28−4 = 3

8−5/48−0

10−2 = − 5384

21−178−6 = 2 −1/4−3/8

10−4 = − 548

8 : 21 1−210−6 = −1

423−2110−8 = 1

10 : 23

P(x) = 20 − 1x + 0x(x − 2) + 116x(x − 2)(x − 4)

− 1128x(x − 2)(x − 4)(x − 6) ?


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0 : 2018−202−0 = −1

2 : 18 −1−(−1)4−0 = 0

16−184−2 = −1 3/8−0

6−0 = 116

4 : 16 1/2−(−1)6−2 = 3

80−1/16

8−0 = − 1128

17−166−4 = 1

23/8−3/8

8−2 = 0 −5/384−(−1/128)10−0 = − 1

1920

6 : 17 2−1/28−4 = 3

8−5/48−0

10−2 = − 5384

21−178−6 = 2 −1/4−3/8

10−4 = − 548

8 : 21 1−210−6 = −1

423−2110−8 = 1

10 : 23

P(x) = 20 − 1x + 0x(x − 2) + 116x(x − 2)(x − 4)

− 1128x(x − 2)(x − 4)(x − 6) − 1

1920x(x − 2)(x − 4)(x − 6)(x − 8)


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Contenido

1 Introducción








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Interpolación de funcionesAproximación por mínimos cuadrados


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Interpolación de FuncionesAproximación por mínimos cuadrados


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La aproximación mínimo cuadrática aproxima, a través de una función,un conjunto de valores de forma global, sin exigir que la funciónaproximante pase exactamente por ese conjunto de puntos.

Dado un conjunto de valores {(xi , yi)}i=1,..,N , la aproximación mínimocuadrática lineal consiste en buscar la recta y = ax + b, tal que lafunción de error cuadrático

E(a,b) =N∑

i=1

(axi + b − yi)2

sea mínima. Esta aproximación en estadística se denomina regresiónlineal


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TeoremaLos valores a y b que minimizan el error cuadrático anterior son

a =N∑N

1 xiyi −∑N

i xi∑N

1 yi

N∑N

1 x2i −

(∑N1 xi

)2 y b =

∑N1 x2

i∑N

1 yi −∑N

1 xiyi∑N

1 xi

N∑N

1 x2i −

(∑N1 xi

)2

Demostración Primero, observamos que, dada la forma cuadráticaque tiene el funcional, debe poseer un mínimo. Además, en un mínimode E(a,b), las derivadas parciales son

cero, y por tanto

∂E∂a

(a,b) = 2N∑

i=1

(axi + b − yi) xi = 0 y∂E∂b

(a,b) = 2N∑

i=1

(axi + b − yi) = 0

Esto da lugar a un sistema lineal de ecuaciones cuyas incógnitas sona y b, y cuya resolución lleva al resultado establecido en el teorema.


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a =N∑N

1 xiyi −∑N

i xi∑N

1 yi

N∑N

1 x2i −

(∑N1 xi

)2 y b =

∑N1 x2

i∑N

1 yi −∑N

1 xiyi∑N

1 xi

N∑N

1 x2i −

(∑N1 xi

)2

Demostración Primero, observamos que, dada la forma cuadráticaque tiene el funcional, debe poseer un mínimo. Además, en un mínimode E(a,b), las derivadas parciales son cero, y por tanto

∂E∂a

(a,b) =

2N∑

i=1


(a,b) = 2N∑

i=1

(axi + b − yi) = 0



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a =N∑N

1 xiyi −∑N

i xi∑N

1 yi

N∑N

1 x2i −

(∑N1 xi

)2 y b =

∑N1 x2

i∑N

1 yi −∑N

1 xiyi∑N

1 xi

N∑N

1 x2i −

(∑N1 xi

)2


∂E∂a

(a,b) = 2N∑

i=1


(a,b) =

2N∑

i=1

(axi + b − yi) = 0



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a =N∑N

1 xiyi −∑N

i xi∑N

1 yi

N∑N

1 x2i −

(∑N1 xi

)2 y b =

∑N1 x2

i∑N

1 yi −∑N

1 xiyi∑N

1 xi

N∑N

1 x2i −

(∑N1 xi

)2


∂E∂a

(a,b) = 2N∑

i=1


(a,b) = 2N∑

i=1

(axi + b − yi) = 0



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Efectívamente si partimos deN∑

i=1

(axi + b − yi) xi = 0 yN∑

i=1

(axi + b − yi) = 0

esto nos lleva al sistema :{a∑N

i=1 x2i + b

∑Ni=1 xi =

∑Ni=1 yixi

a∑N

i=1 xi + b∑N

i=1 1 =∑N

i=1 yi

cuya solución por el método de Cramer es

a =

∣∣∣∣∣∑N

i=1 yixi∑N

i=1 xi∑Ni=1 yi N

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∑N

i=1 x2i∑N

i=1 xi∑Ni=1 xi N

∣∣∣∣∣b =

∣∣∣∣∣∑N

i=1 x2i∑N

i=1 xiyi∑Ni=1 xi

∑Ni=1 yi

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∑N

i=1 x2i∑N

i=1 xiyi∑Ni=1 xi N

∣∣∣∣∣Luis Alvarez León () Métodos Numéricos Univ. de Las Palmas de G.C. 36 / 38

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ProblemaLa evolución de altura de un niño ha sido la siguiente : al nacer : 50cm, a los 3 meses 60 cm, a los 6 meses 67 cm y a los 9 meses 71 cm.Calcular la tasa de variación del peso del niño utilizando unaaproximación mínimo cuadrática.

Solución: Tenemos que calcular a =N∑N

i=1 xi yi−∑N

i=1 xi∑N

i=1 yi

N∑N

i=1 x2i −(

∑Ni=1 xi)

2

Cálculando cada término por separado tenemos

N∑i=1

xiyi =

1221N∑

i=1

xi

N∑i=1

yi = 4464N∑

i=1

x2i = 126

(N∑

i=1

xi

)2

= 324

Por tanto la tasa de variación es a =4 · 1221− 4464

4 · 126− 324=

73


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i=1 xi yi−∑N

i=1 xi∑N

i=1 yi

N∑N

i=1 x2i −(

∑Ni=1 xi)

2


N∑i=1

xiyi = 1221N∑

i=1

xi

N∑i=1

yi =

4464N∑

i=1

x2i = 126

(N∑

i=1

xi

)2

= 324


4 · 126− 324=

73


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i=1 xi yi−∑N

i=1 xi∑N

i=1 yi

N∑N

i=1 x2i −(

∑Ni=1 xi)

2


N∑i=1

xiyi = 1221N∑

i=1

xi

N∑i=1

yi = 4464N∑

i=1

x2i =

126

(N∑

i=1

xi

)2

= 324


4 · 126− 324=

73


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i=1 xi yi−∑N

i=1 xi∑N

i=1 yi

N∑N

i=1 x2i −(

∑Ni=1 xi)

2


N∑i=1

xiyi = 1221N∑

i=1

xi

N∑i=1

yi = 4464N∑

i=1

x2i = 126

(N∑

i=1

xi

)2

=

324


4 · 126− 324=

73


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i=1 xi yi−∑N

i=1 xi∑N

i=1 yi

N∑N

i=1 x2i −(

∑Ni=1 xi)

2


N∑i=1

xiyi = 1221N∑

i=1

xi

N∑i=1

yi = 4464N∑

i=1

x2i = 126

(N∑

i=1

xi

)2

= 324

Por tanto la tasa de variación es a =

4 · 1221− 44644 · 126− 324

=73


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i=1 xi yi−∑N

i=1 xi∑N

i=1 yi

N∑N

i=1 x2i −(

∑Ni=1 xi)

2


N∑i=1

xiyi = 1221N∑

i=1

xi

N∑i=1

yi = 4464N∑

i=1

x2i = 126

(N∑

i=1

xi

)2

= 324


4 · 126− 324=

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Interpolación de FuncionesAproximación por mínimos cuadrados. Gráficas de crecimieno de niños


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