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Métodos NuméricosGrado en Ingeniería Informática
Tema 3: Interpolación de Funciones I
Luis Alvarez León
Univ. de Las Palmas de G.C.
Luis Alvarez León () Métodos Numéricos Univ. de Las Palmas de G.C. 1 / 38
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Contenido
1 Introducción
2 Interpolación de funciones utilizando los polinomios de Lagrange
3 El error de interpolación
4 Elección de los puntos de interpolacion óptimos para minimizar elerror
5 Aproximación de funciones elementales utilizando polinomios
6 El método de diferencias de Newton para calcular el polinomiointerpolador
7 Aproximación por mínimos cuadrados. Regresión lineal
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Contenido
1 Introducción
2 Interpolación de funciones utilizando los polinomios de Lagrange
3 El error de interpolación
4 Elección de los puntos de interpolacion óptimos para minimizar elerror
5 Aproximación de funciones elementales utilizando polinomios
6 El método de diferencias de Newton para calcular el polinomiointerpolador
7 Aproximación por mínimos cuadrados. Regresión lineal
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Interpolación de funcionesPlanteamiento del problema de interpolación
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Interpolación de funcionesPlanteamiento del problema de interpolación
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Interpolación de funcionesInterpolación lineal
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Interpolación de funcionesInterpolación lineal
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Interpolación de funcionesInterpolación polinómica
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Interpolación de funcionesInterpolación polinómica
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Contenido
1 Introducción
2 Interpolación de funciones utilizando los polinomios de Lagrange
3 El error de interpolación
4 Elección de los puntos de interpolacion óptimos para minimizar elerror
5 Aproximación de funciones elementales utilizando polinomios
6 El método de diferencias de Newton para calcular el polinomiointerpolador
7 Aproximación por mínimos cuadrados. Regresión lineal
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Interpolación de FuncionesPolinomios base de Lagrange
T (0) = 20, T (2) = 18, T (4) = 16, T (6) = 17, T (8) = 21, T (10) = 23
Polinomios base de Lagrange
P0(x) = (x−2)(x−4)(x−6)(x−8)(x−10)(0−2)(0−4)(0−6)(0−8)(0−10)
P2(x) = (x−0)(x−4)(x−6)(x−8)(x−10)(2−0)(2−4)(2−6)(2−8)(2−10)
P4(x) = (x−0)(x−2)(x−6)(x−8)(x−10)(4−0)(4−2)(4−6)(4−8)(4−10)
P6(x) = (x−0)(x−2)(x−4)(x−8)(x−10)(6−0)(6−2)(6−4)(6−8)(6−10)
P8(x) = (x−0)(x−2)(x−4)(x−6)(x−10)(8−0)(8−2)(8−4)(8−6)(8−10)
P10(x) = (x−0)(x−2)(x−4)(x−6)(x−8)(10−0)(10−2)(10−4)(10−6)(10−8)
Polinomio Interpolador
P5(x) = P0(x) + P2(x) + P4(x) + P6(x) + P8(x) + P10(x)
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Interpolación de FuncionesPolinomios base de Lagrange
T (0) = 20, T (2) = 18, T (4) = 16, T (6) = 17, T (8) = 21, T (10) = 23
Polinomios base de Lagrange
P0(x) = (x−2)(x−4)(x−6)(x−8)(x−10)(0−2)(0−4)(0−6)(0−8)(0−10)
P2(x) = ?
(x−0)(x−4)(x−6)(x−8)(x−10)(2−0)(2−4)(2−6)(2−8)(2−10)
P4(x) = (x−0)(x−2)(x−6)(x−8)(x−10)(4−0)(4−2)(4−6)(4−8)(4−10)
P6(x) = (x−0)(x−2)(x−4)(x−8)(x−10)(6−0)(6−2)(6−4)(6−8)(6−10)
P8(x) = (x−0)(x−2)(x−4)(x−6)(x−10)(8−0)(8−2)(8−4)(8−6)(8−10)
P10(x) = (x−0)(x−2)(x−4)(x−6)(x−8)(10−0)(10−2)(10−4)(10−6)(10−8)
Polinomio Interpolador
P5(x) = P0(x) + P2(x) + P4(x) + P6(x) + P8(x) + P10(x)
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Interpolación de FuncionesPolinomios base de Lagrange
T (0) = 20, T (2) = 18, T (4) = 16, T (6) = 17, T (8) = 21, T (10) = 23
Polinomios base de Lagrange
P0(x) = (x−2)(x−4)(x−6)(x−8)(x−10)(0−2)(0−4)(0−6)(0−8)(0−10)
P2(x) = (x−0)(x−4)(x−6)(x−8)(x−10)(2−0)(2−4)(2−6)(2−8)(2−10)
P4(x) = ?
(x−0)(x−2)(x−6)(x−8)(x−10)(4−0)(4−2)(4−6)(4−8)(4−10)
P6(x) = (x−0)(x−2)(x−4)(x−8)(x−10)(6−0)(6−2)(6−4)(6−8)(6−10)
P8(x) = (x−0)(x−2)(x−4)(x−6)(x−10)(8−0)(8−2)(8−4)(8−6)(8−10)
P10(x) = (x−0)(x−2)(x−4)(x−6)(x−8)(10−0)(10−2)(10−4)(10−6)(10−8)
Polinomio Interpolador
P5(x) = P0(x) + P2(x) + P4(x) + P6(x) + P8(x) + P10(x)
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Interpolación de FuncionesPolinomios base de Lagrange
T (0) = 20, T (2) = 18, T (4) = 16, T (6) = 17, T (8) = 21, T (10) = 23
Polinomios base de Lagrange
P0(x) = (x−2)(x−4)(x−6)(x−8)(x−10)(0−2)(0−4)(0−6)(0−8)(0−10)
P2(x) = (x−0)(x−4)(x−6)(x−8)(x−10)(2−0)(2−4)(2−6)(2−8)(2−10)
P4(x) = (x−0)(x−2)(x−6)(x−8)(x−10)(4−0)(4−2)(4−6)(4−8)(4−10)
P6(x) = ?
(x−0)(x−2)(x−4)(x−8)(x−10)(6−0)(6−2)(6−4)(6−8)(6−10)
P8(x) = (x−0)(x−2)(x−4)(x−6)(x−10)(8−0)(8−2)(8−4)(8−6)(8−10)
P10(x) = (x−0)(x−2)(x−4)(x−6)(x−8)(10−0)(10−2)(10−4)(10−6)(10−8)
Polinomio Interpolador
P5(x) = P0(x) + P2(x) + P4(x) + P6(x) + P8(x) + P10(x)
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Interpolación de FuncionesPolinomios base de Lagrange
T (0) = 20, T (2) = 18, T (4) = 16, T (6) = 17, T (8) = 21, T (10) = 23
Polinomios base de Lagrange
P0(x) = (x−2)(x−4)(x−6)(x−8)(x−10)(0−2)(0−4)(0−6)(0−8)(0−10)
P2(x) = (x−0)(x−4)(x−6)(x−8)(x−10)(2−0)(2−4)(2−6)(2−8)(2−10)
P4(x) = (x−0)(x−2)(x−6)(x−8)(x−10)(4−0)(4−2)(4−6)(4−8)(4−10)
P6(x) = (x−0)(x−2)(x−4)(x−8)(x−10)(6−0)(6−2)(6−4)(6−8)(6−10)
P8(x) = ?
(x−0)(x−2)(x−4)(x−6)(x−10)(8−0)(8−2)(8−4)(8−6)(8−10)
P10(x) = (x−0)(x−2)(x−4)(x−6)(x−8)(10−0)(10−2)(10−4)(10−6)(10−8)
Polinomio Interpolador
P5(x) = P0(x) + P2(x) + P4(x) + P6(x) + P8(x) + P10(x)
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Interpolación de FuncionesPolinomios base de Lagrange
T (0) = 20, T (2) = 18, T (4) = 16, T (6) = 17, T (8) = 21, T (10) = 23
Polinomios base de Lagrange
P0(x) = (x−2)(x−4)(x−6)(x−8)(x−10)(0−2)(0−4)(0−6)(0−8)(0−10)
P2(x) = (x−0)(x−4)(x−6)(x−8)(x−10)(2−0)(2−4)(2−6)(2−8)(2−10)
P4(x) = (x−0)(x−2)(x−6)(x−8)(x−10)(4−0)(4−2)(4−6)(4−8)(4−10)
P6(x) = (x−0)(x−2)(x−4)(x−8)(x−10)(6−0)(6−2)(6−4)(6−8)(6−10)
P8(x) = (x−0)(x−2)(x−4)(x−6)(x−10)(8−0)(8−2)(8−4)(8−6)(8−10)
P10(x) = ?
(x−0)(x−2)(x−4)(x−6)(x−8)(10−0)(10−2)(10−4)(10−6)(10−8)
Polinomio Interpolador
P5(x) = P0(x) + P2(x) + P4(x) + P6(x) + P8(x) + P10(x)
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Interpolación de FuncionesPolinomios base de Lagrange
T (0) = 20, T (2) = 18, T (4) = 16, T (6) = 17, T (8) = 21, T (10) = 23
Polinomios base de Lagrange
P0(x) = (x−2)(x−4)(x−6)(x−8)(x−10)(0−2)(0−4)(0−6)(0−8)(0−10)
P2(x) = (x−0)(x−4)(x−6)(x−8)(x−10)(2−0)(2−4)(2−6)(2−8)(2−10)
P4(x) = (x−0)(x−2)(x−6)(x−8)(x−10)(4−0)(4−2)(4−6)(4−8)(4−10)
P6(x) = (x−0)(x−2)(x−4)(x−8)(x−10)(6−0)(6−2)(6−4)(6−8)(6−10)
P8(x) = (x−0)(x−2)(x−4)(x−6)(x−10)(8−0)(8−2)(8−4)(8−6)(8−10)
P10(x) = (x−0)(x−2)(x−4)(x−6)(x−8)(10−0)(10−2)(10−4)(10−6)(10−8)
Polinomio Interpolador
P5(x) = ?P0(x) + ?P2(x) + ?P4(x) + ?P6(x) + ?P8(x) + ?P10(x)
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Interpolación de FuncionesPolinomios base de Lagrange
T (0) = 20, T (2) = 18, T (4) = 16, T (6) = 17, T (8) = 21, T (10) = 23
Polinomios base de Lagrange
P0(x) = (x−2)(x−4)(x−6)(x−8)(x−10)(0−2)(0−4)(0−6)(0−8)(0−10)
P2(x) = (x−0)(x−4)(x−6)(x−8)(x−10)(2−0)(2−4)(2−6)(2−8)(2−10)
P4(x) = (x−0)(x−2)(x−6)(x−8)(x−10)(4−0)(4−2)(4−6)(4−8)(4−10)
P6(x) = (x−0)(x−2)(x−4)(x−8)(x−10)(6−0)(6−2)(6−4)(6−8)(6−10)
P8(x) = (x−0)(x−2)(x−4)(x−6)(x−10)(8−0)(8−2)(8−4)(8−6)(8−10)
P10(x) = (x−0)(x−2)(x−4)(x−6)(x−8)(10−0)(10−2)(10−4)(10−6)(10−8)
Polinomio Interpolador
P5(x) = 20P0(x)+18P2(x)+16P4(x)+17P6(x)+21P8(x)+23P10(x)
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Interpolación de FuncionesAproximación de la función ex por un polinomio de grado 2
Interpolamos la función ex en los puntos 0,−1,1
Polinomios base de Lagrange
P0(x) = (x+1)(x−1)(0−1)(0+1)
P−1(x) = (x−0)(x−1)2
P1(x) = (x+1)(x−0)2
Polinomio Interpolador
P2(x) = P0(x) + P−1(x) + P1(x)
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Interpolación de FuncionesAproximación de la función ex por un polinomio de grado 2
Interpolamos la función ex en los puntos 0,−1,1
Polinomios base de Lagrange
P0(x) = ?
(x+1)(x−1)(0−1)(0+1)
P−1(x) = (x−0)(x−1)2
P1(x) = (x+1)(x−0)2
Polinomio Interpolador
P2(x) = P0(x) + P−1(x) + P1(x)
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Interpolación de FuncionesAproximación de la función ex por un polinomio de grado 2
Interpolamos la función ex en los puntos 0,−1,1
Polinomios base de Lagrange
P0(x) = (x+1)(x−1)(0−1)(0+1)
P−1(x) = ?
(x−0)(x−1)2
P1(x) = (x+1)(x−0)2
Polinomio Interpolador
P2(x) = P0(x) + P−1(x) + P1(x)
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Interpolación de FuncionesAproximación de la función ex por un polinomio de grado 2
Interpolamos la función ex en los puntos 0,−1,1
Polinomios base de Lagrange
P0(x) = (x+1)(x−1)(0−1)(0+1)
P−1(x) = (x−0)(x−1)2
P1(x) = ?
(x+1)(x−0)2
Polinomio Interpolador
P2(x) = P0(x) + P−1(x) + P1(x)
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Interpolación de FuncionesAproximación de la función ex por un polinomio de grado 2
Interpolamos la función ex en los puntos 0,−1,1
Polinomios base de Lagrange
P0(x) = (x+1)(x−1)(0−1)(0+1)
P−1(x) = (x−0)(x−1)2
P1(x) = (x+1)(x−0)2
Polinomio Interpolador
P2(x) = ?P0(x) + ?P−1(x) + ?P1(x)
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Interpolación de FuncionesAproximación de la función ex por un polinomio de grado 2
Interpolamos la función ex en los puntos 0,−1,1
Polinomios base de Lagrange
P0(x) = (x+1)(x−1)(0−1)(0+1)
P−1(x) = (x−0)(x−1)2
P1(x) = (x+1)(x−0)2
Polinomio Interpolador
P2(x) = e0P0(x) + e−1P−1(x) + e1P1(x)
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Interpolación de funcionesComparación de la función ex (trazo discontinuo) y P2(x)
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Contenido
1 Introducción
2 Interpolación de funciones utilizando los polinomios de Lagrange
3 El error de interpolación
4 Elección de los puntos de interpolacion óptimos para minimizar elerror
5 Aproximación de funciones elementales utilizando polinomios
6 El método de diferencias de Newton para calcular el polinomiointerpolador
7 Aproximación por mínimos cuadrados. Regresión lineal
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Interpolación de FuncionesError de interpolación de Lagrange
TeoremaSea f (x) una función, y PN(x) su polinomio interpolador de Lagrangeen los puntos {xi}i=0,..,N ⊂ [a,b] y x ∈ [a,b], entonces
f (x)− PN(x) =f N+1)(ξ)
(N + 1)!ΠN
i=0(x − xi)
donde ξ es un valor intermedio perteneciente a [a,b].
ProblemaCalcular la expresión del error de interpolación al aproximar la funciónf (x) = sen(x) en el intervalo [0,2π] interpolando en los puntos 0, π2 , πy 3π
2 , y acotarlo superiormente.
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Interpolación de FuncionesError de interpolación de Lagrange
TeoremaSea f (x) una función, y PN(x) su polinomio interpolador de Lagrangeen los puntos {xi}i=0,..,N ⊂ [a,b] y x ∈ [a,b], entonces
f (x)− PN(x) =f N+1)(ξ)
(N + 1)!ΠN
i=0(x − xi)
donde ξ es un valor intermedio perteneciente a [a,b].
ProblemaCalcular la expresión del error de interpolación al aproximar la funciónf (x) = sen(x) en el intervalo [0,2π] interpolando en los puntos 0, π2 , πy 3π
2 , y acotarlo superiormente.
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Interpolación de FuncionesPolinomios base de Lagrange
Solución:f (x) = sen(x)
f ′(x) = cos(x)
f ′′(x) = − sen(x)
f ′′′(x) = −cos(x)
f 4)(x) = sen(x)
La fórmula del error de interpolación es
f (x)− P(x) =
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Interpolación de FuncionesPolinomios base de Lagrange
Solución:f (x) = sen(x)
f ′(x) = ?
cos(x)
f ′′(x) = − sen(x)
f ′′′(x) = −cos(x)
f 4)(x) = sen(x)
La fórmula del error de interpolación es
f (x)− P(x) =
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Interpolación de FuncionesPolinomios base de Lagrange
Solución:f (x) = sen(x)
f ′(x) = cos(x)
f ′′(x) = ?
− sen(x)
f ′′′(x) = −cos(x)
f 4)(x) = sen(x)
La fórmula del error de interpolación es
f (x)− P(x) =
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Interpolación de FuncionesPolinomios base de Lagrange
Solución:f (x) = sen(x)
f ′(x) = cos(x)
f ′′(x) = − sen(x)
f ′′′(x) = −cos(x)
f 4)(x) = sen(x)
La fórmula del error de interpolación es
f (x)− P(x) =
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Interpolación de FuncionesPolinomios base de Lagrange
Solución:f (x) = sen(x) f (x)− PN(x) = f N+1)(ξ)
(N+1)! ΠNi=0(x − xi)
f ′(x) = cos(x)
f ′′(x) = − sen(x) Los puntos a interpolar son 0, π/2, π,3π/2f ′′′(x) = −cos(x)
f 4)(x) = sen(x)
La fórmula del error de interpolación es
f (x)− P?(x) =
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Interpolación de FuncionesPolinomios base de Lagrange
Solución:f (x) = sen(x) f (x)− PN(x) = f N+1)(ξ)
(N+1)! ΠNi=0(x − xi)
f ′(x) = cos(x)
f ′′(x) = − sen(x) Los puntos a interpolar son 0, π/2, π,3π/2f ′′′(x) = −cos(x)
f 4)(x) = sen(x)
La fórmula del error de interpolación es
f (x)− P3(x) = ?
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Interpolación de FuncionesPolinomios base de Lagrange
Solución:f (x) = sen(x) f (x)− PN(x) = f N+1)(ξ)
(N+1)! ΠNi=0(x − xi)
f ′(x) = cos(x)
f ′′(x) = − sen(x) Los puntos a interpolar son 0, π/2, π,3π/2f ′′′(x) = −cos(x)
f 4)(x) = sen(x)
La fórmula del error de interpolación es
f (x)− P3(x) =sen(ξ)
4!?
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Interpolación de FuncionesPolinomios base de Lagrange
Solución:f (x) = sen(x) f (x)− PN(x) = f N+1)(ξ)
(N+1)! ΠNi=0(x − xi)
f ′(x) = cos(x)
f ′′(x) = − sen(x) Los puntos a interpolar son 0, π/2, π,3π/2f ′′′(x) = −cos(x)
f 4)(x) = sen(x)
La fórmula del error de interpolación es
f (x)− P3(x) =sen(ξ)
4!x(
x − π
2
)(x − π)
(x − 3π
2
)
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Interpolación de FuncionesPolinomios base de Lagrange
Solución:f (x) = sen(x) f (x)− PN(x) = f N+1)(ξ)
(N+1)! ΠNi=0(x − xi)
f ′(x) = cos(x)
f ′′(x) = − sen(x) Los puntos a interpolar son 0, π/2, π,3π/2f ′′′(x) = −cos(x)
f 4)(x) = sen(x)
La fórmula del error de interpolación es
f (x)− P3(x) =sen(ξ)
4!x(
x − π
2
)(x − π)
(x − 3π
2
)
Como el valor máximo del sen(x) es 1 y el valor más alejado de lospuntos de interpolación en [0,2π] es 2π podemos acotar el error como:
|f (x)− P3(x)| ≤ 14!
2π(
2π − π
2
)(2π − π)
(2π − 3π
2
)
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Contenido
1 Introducción
2 Interpolación de funciones utilizando los polinomios de Lagrange
3 El error de interpolación
4 Elección de los puntos de interpolacion óptimos para minimizar elerror
5 Aproximación de funciones elementales utilizando polinomios
6 El método de diferencias de Newton para calcular el polinomiointerpolador
7 Aproximación por mínimos cuadrados. Regresión lineal
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Interpolación de FuncionesElección de los puntos de interpolación
TeoremaSea N ≥ 0, y un intervalo [a,b] Se consideran los puntos xi dados por
xi = a +b − a
2
(1 + cos
(2i + 12N + 2
π
))i = 0, ...,N
entonces
maxx∈[a,b] | ΠNi=0(x − xi) |=
(b − a
2
)N+1 12N ≤ maxx∈[a,b] | ΠN
j=0(x − x̃j) |
para cualquier otra elección posible de valores de interpolación x̃j .
Por tanto, utilizando este resultado, el error de interpolación máximo vienedeterminado por:
| f (x)− PN(x) |≤maxx∈[a,b]f N+1)(ξ)
(N + 1)!2N
(b − a
2
)N+1
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Interpolación de FuncionesElección de los puntos de interpolación
TeoremaSea N ≥ 0, y un intervalo [a,b] Se consideran los puntos xi dados por
xi = a +b − a
2
(1 + cos
(2i + 12N + 2
π
))i = 0, ...,N
entonces
maxx∈[a,b] | ΠNi=0(x − xi) |=
(b − a
2
)N+1 12N ≤ maxx∈[a,b] | ΠN
j=0(x − x̃j) |
para cualquier otra elección posible de valores de interpolación x̃j .
Por tanto, utilizando este resultado, el error de interpolación máximo vienedeterminado por:
| f (x)− PN(x) |≤maxx∈[a,b]f N+1)(ξ)
(N + 1)!2N
(b − a
2
)N+1
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Interpolación de FuncionesElección de los puntos de interpolación
TeoremaSea N ≥ 0, y un intervalo [a,b] Se consideran los puntos xi dados por
xi = a +b − a
2
(1 + cos
(2i + 12N + 2
π
))i = 0, ...,N
entonces
maxx∈[a,b] | ΠNi=0(x − xi) |=
(b − a
2
)N+1 12N ≤ maxx∈[a,b] | ΠN
j=0(x − x̃j) |
para cualquier otra elección posible de valores de interpolación x̃j .
Por tanto, utilizando este resultado, el error de interpolación máximo vienedeterminado por:
| f (x)− PN(x) |≤maxx∈[a,b]f N+1)(ξ)
(N + 1)!2N
(b − a
2
)N+1
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Interpolación de FuncionesElección de puntos de interpolación
xi = a +b − a
2
(1 + cos
(2i + 12N + 2
π
))i = 0, ...,N
EjemploSe considera [a,b] = [0,1] y N = 5 (es decir 6 puntos deinterpolación). Los puntos de interpolación dados por el teoremaanterior son:
x0 = .982 96x1 = .853 55x2 = .629 41x3 = .370 59x4 = .146 45
x5 = 1.703 7× 10−2
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Interpolación de FuncionesElección de puntos de interpolación
xi = a +b − a
2
(1 + cos
(2i + 12N + 2
π
))i = 0, ...,N
EjemploSe considera [a,b] = [0,1] y N = 5 (es decir 6 puntos deinterpolación). Los puntos de interpolación dados por el teoremaanterior son:
x0 = .982 96x1 = .853 55x2 = .629 41x3 = .370 59x4 = .146 45
x5 = 1.703 7× 10−2
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Interpolación de FuncionesPolinomios base de Lagrange
ProblemaCalcular el error máximo de interpolación en el intervalo [0,1] alinterpolar la función cos(x) utilizando los puntos de interpolaciónóptimos tomando N = 5.
El error de interpolación viene dado por la expresión:
| f (x)− PN(x) |≤maxx∈[a,b]
∣∣f N+1)(ξ)∣∣
(N + 1)!2N
(b − a
2
)N+1
en nuestro caso N = 5 y la derivada sexta de cos(x) es − cos(x) cuyomáximo en valor absoluto es 1. Por tanto obtenemos:
| f (x)− P5(x) |≤ 16!25
(12
)6
= 6.78× 10−7
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Interpolación de FuncionesPolinomios base de Lagrange
ProblemaCalcular el error máximo de interpolación en el intervalo [0,1] alinterpolar la función cos(x) utilizando los puntos de interpolaciónóptimos tomando N = 5.
El error de interpolación viene dado por la expresión:
| f (x)− PN(x) |≤maxx∈[a,b]
∣∣f N+1)(ξ)∣∣
(N + 1)!2N
(b − a
2
)N+1
en nuestro caso N = 5 y la derivada sexta de cos(x) es − cos(x) cuyomáximo en valor absoluto es 1. Por tanto obtenemos:
| f (x)− P5(x) |≤ ?
16!25
(12
)6
= 6.78× 10−7
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Interpolación de FuncionesPolinomios base de Lagrange
ProblemaCalcular el error máximo de interpolación en el intervalo [0,1] alinterpolar la función cos(x) utilizando los puntos de interpolaciónóptimos tomando N = 5.
El error de interpolación viene dado por la expresión:
| f (x)− PN(x) |≤maxx∈[a,b]
∣∣f N+1)(ξ)∣∣
(N + 1)!2N
(b − a
2
)N+1
en nuestro caso N = 5 y la derivada sexta de cos(x) es − cos(x) cuyomáximo en valor absoluto es 1. Por tanto obtenemos:
| f (x)− P5(x) |≤ 16!25
(12
)6
= 6.78× 10−7
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Contenido
1 Introducción
2 Interpolación de funciones utilizando los polinomios de Lagrange
3 El error de interpolación
4 Elección de los puntos de interpolacion óptimos para minimizar elerror
5 Aproximación de funciones elementales utilizando polinomios
6 El método de diferencias de Newton para calcular el polinomiointerpolador
7 Aproximación por mínimos cuadrados. Regresión lineal
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Interpolación de FuncionesAproximación de la función ex
Si aproximamos la función ex en el intervalo [0,1] utilizando los puntos :
xi =12
(1 + cos
(2i + 12N + 2
π
))i = 0, ...,N
El error de interpolación viene acotado por :
| ex − PN(x) | ≤ e(N + 1)!2N
(12
)N+1
Por tanto si u es la unidad de redondeo y se verifica que
e(N + 1)!2N
(12
)N+1
≤ u · ex ∀x ∈ [0,1]
Entonces la aproximación será la mejor posible dentro de la aritmética. Eneste ejemplo esto ocurre cuando N = 6, (en una aritmética de 32 bits). Asi,tomando un polinomio de grado N = 6, es decir 7 puntos de interpolación,obtenemos ya la mejor aproximación posible de ex en el intervalo [0,1].
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Interpolación de FuncionesAproximación de la función cos(x)
También podemos aproximar funciones utilizando el desarrollo de Taylor que viene dado por
f (x) = f (x0) + f ′(x0)(x − x0) + ...f N)(x0)
N!(x − x0)N +
f N+1)(ξ)
(N + 1)!(x − x0)N+1
Por ejemplo, consideremos f (x) = cos(x) en el intervalo [0, π4 ], x0 = 0
cos(x) = 1− x2
2!+
x4
4!− ...+ (−1)N x2N
(2N)!+ (−1)N+1 sin(ξ)x2N+1
(2N + 1)!
La mejor aproximación de cos(x) en una aritmética vendrá dada por la condición∣∣∣∣sin(ξ)x2N+1
(2N + 1)!
∣∣∣∣ ≤ u|cos(x)| →
∣∣∣∣∣ (π/4)2N+1
cos(x)(2N + 1)!
∣∣∣∣∣ ≤ 2 (π/4)2N+1√
2(2N + 1)!≤ u
Por tanto, a partir de esta expresión, y en función de la calidad de la aritmética, se calcularáhasta que término hay que llegar en el desarrollo de Taylor para obtener la aproximacióndeseada.
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Interpolación de FuncionesAproximación de la función cos(x)
También podemos aproximar funciones utilizando el desarrollo de Taylor que viene dado por
f (x) = f (x0) + f ′(x0)(x − x0) + ...f N)(x0)
N!(x − x0)N +
f N+1)(ξ)
(N + 1)!(x − x0)N+1
Por ejemplo, consideremos f (x) = cos(x) en el intervalo [0, π4 ], x0 = 0
cos(x) = 1− x2
2!+
x4
4!− ...+ (−1)N x2N
(2N)!+ (−1)N+1 sin(ξ)x2N+1
(2N + 1)!
La mejor aproximación de cos(x) en una aritmética vendrá dada por la condición∣∣∣∣sin(ξ)x2N+1
(2N + 1)!
∣∣∣∣ ≤ u|cos(x)| →
∣∣∣∣∣ (π/4)2N+1
cos(x)(2N + 1)!
∣∣∣∣∣ ≤ 2 (π/4)2N+1√
2(2N + 1)!≤ u
Por tanto, a partir de esta expresión, y en función de la calidad de la aritmética, se calcularáhasta que término hay que llegar en el desarrollo de Taylor para obtener la aproximacióndeseada.
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Interpolación de FuncionesAproximación de la función cos(x)
También podemos aproximar funciones utilizando el desarrollo de Taylor que viene dado por
f (x) = f (x0) + f ′(x0)(x − x0) + ...f N)(x0)
N!(x − x0)N +
f N+1)(ξ)
(N + 1)!(x − x0)N+1
Por ejemplo, consideremos f (x) = cos(x) en el intervalo [0, π4 ], x0 = 0
cos(x) = 1− x2
2!+
x4
4!− ...+ (−1)N x2N
(2N)!+ (−1)N+1 sin(ξ)x2N+1
(2N + 1)!
La mejor aproximación de cos(x) en una aritmética vendrá dada por la condición∣∣∣∣sin(ξ)x2N+1
(2N + 1)!
∣∣∣∣ ≤ u|cos(x)| →
∣∣∣∣∣ (π/4)2N+1
cos(x)(2N + 1)!
∣∣∣∣∣ ≤ 2 (π/4)2N+1√
2(2N + 1)!≤ u
Por tanto, a partir de esta expresión, y en función de la calidad de la aritmética, se calcularáhasta que término hay que llegar en el desarrollo de Taylor para obtener la aproximacióndeseada.
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Interpolación de FuncionesAproximación de la función cos(x)
También podemos aproximar funciones utilizando el desarrollo de Taylor que viene dado por
f (x) = f (x0) + f ′(x0)(x − x0) + ...f N)(x0)
N!(x − x0)N +
f N+1)(ξ)
(N + 1)!(x − x0)N+1
Por ejemplo, consideremos f (x) = cos(x) en el intervalo [0, π4 ], x0 = 0
cos(x) = 1− x2
2!+
x4
4!− ...+ (−1)N x2N
(2N)!+ (−1)N+1 sin(ξ)x2N+1
(2N + 1)!
La mejor aproximación de cos(x) en una aritmética vendrá dada por la condición∣∣∣∣sin(ξ)x2N+1
(2N + 1)!
∣∣∣∣ ≤ u|cos(x)| →
∣∣∣∣∣ (π/4)2N+1
cos(x)(2N + 1)!
∣∣∣∣∣ ≤ 2 (π/4)2N+1√
2(2N + 1)!≤ u
Por tanto, a partir de esta expresión, y en función de la calidad de la aritmética, se calcularáhasta que término hay que llegar en el desarrollo de Taylor para obtener la aproximacióndeseada.
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Interpolación de FuncionesAproximación de la función cos(x)
También podemos aproximar funciones utilizando el desarrollo de Taylor que viene dado por
f (x) = f (x0) + f ′(x0)(x − x0) + ...f N)(x0)
N!(x − x0)N +
f N+1)(ξ)
(N + 1)!(x − x0)N+1
Por ejemplo, consideremos f (x) = cos(x) en el intervalo [0, π4 ], x0 = 0
cos(x) = 1− x2
2!+
x4
4!− ...+ (−1)N x2N
(2N)!+ (−1)N+1 sin(ξ)x2N+1
(2N + 1)!
La mejor aproximación de cos(x) en una aritmética vendrá dada por la condición∣∣∣∣sin(ξ)x2N+1
(2N + 1)!
∣∣∣∣ ≤ u|cos(x)| →
∣∣∣∣∣ (π/4)2N+1
cos(x)(2N + 1)!
∣∣∣∣∣ ≤ 2 (π/4)2N+1√
2(2N + 1)!≤ u
Por tanto, a partir de esta expresión, y en función de la calidad de la aritmética, se calcularáhasta que término hay que llegar en el desarrollo de Taylor para obtener la aproximacióndeseada.
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Contenido
1 Introducción
2 Interpolación de funciones utilizando los polinomios de Lagrange
3 El error de interpolación
4 Elección de los puntos de interpolacion óptimos para minimizar elerror
5 Aproximación de funciones elementales utilizando polinomios
6 El método de diferencias de Newton para calcular el polinomiointerpolador
7 Aproximación por mínimos cuadrados. Regresión lineal
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Interpolación de FuncionesMétodo de diferencias de Newton
0 : 20?
2 : 18
4 : 16
6 : 17
8 : 21
10 : 23
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Interpolación de FuncionesMétodo de diferencias de Newton
0 : 2018−202−0 = −1
2 : 18?
4 : 16
6 : 17
8 : 21
10 : 23
Luis Alvarez León () Métodos Numéricos Univ. de Las Palmas de G.C. 25 / 38
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Interpolación de FuncionesMétodo de diferencias de Newton
0 : 2018−202−0 = −1
2 : 1816−184−2 = −1
4 : 16?
6 : 17
8 : 21
10 : 23
Luis Alvarez León () Métodos Numéricos Univ. de Las Palmas de G.C. 25 / 38
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Interpolación de FuncionesMétodo de diferencias de Newton
0 : 2018−202−0 = −1
2 : 1816−184−2 = −1
4 : 1617−166−4 = 1
2
6 : 17?
8 : 21
10 : 23
Luis Alvarez León () Métodos Numéricos Univ. de Las Palmas de G.C. 25 / 38
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Interpolación de FuncionesMétodo de diferencias de Newton
0 : 2018−202−0 = −1
2 : 1816−184−2 = −1
4 : 1617−166−4 = 1
2
6 : 1721−178−6 = 2
8 : 21?
10 : 23
Luis Alvarez León () Métodos Numéricos Univ. de Las Palmas de G.C. 25 / 38
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Interpolación de FuncionesMétodo de diferencias de Newton
0 : 2018−202−0 = −1
2 : 1816−184−2 = −1
4 : 1617−166−4 = 1
2
6 : 1721−178−6 = 2
8 : 2123−2110−8 = 1
10 : 23
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Interpolación de FuncionesMétodo de diferencias de Newton
0 : 2018−202−0 = −1
2 : 1816−184−2 = −1
4 : 1617−166−4 = 1
2
6 : 1721−178−6 = 2
8 : 2123−2110−8 = 1
10 : 23
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Interpolación de FuncionesMétodo de diferencias de Newton
0 : 2018−202−0 = −1
2 : 18 ?16−184−2 = −1
4 : 1617−166−4 = 1
2
6 : 1721−178−6 = 2
8 : 2123−2110−8 = 1
10 : 23
Luis Alvarez León () Métodos Numéricos Univ. de Las Palmas de G.C. 26 / 38
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Interpolación de FuncionesMétodo de diferencias de Newton
0 : 2018−202−0 = −1
2 : 18 −1−(−1)4−0 = 0
16−184−2 = −1
4 : 1617−166−4 = 1
2
6 : 1721−178−6 = 2
8 : 2123−2110−8 = 1
10 : 23
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Interpolación de FuncionesMétodo de diferencias de Newton
0 : 2018−202−0 = −1
2 : 18 −1−(−1)4−0 = 0
16−184−2 = −1
4 : 16 ?17−166−4 = 1
2
6 : 1721−178−6 = 2
8 : 2123−2110−8 = 1
10 : 23
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Interpolación de FuncionesMétodo de diferencias de Newton
0 : 2018−202−0 = −1
2 : 18 −1−(−1)4−0 = 0
16−184−2 = −1
4 : 16 1/2−(−1)6−2 = 3
817−166−4 = 1
2
6 : 1721−178−6 = 2
8 : 2123−2110−8 = 1
10 : 23
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Interpolación de FuncionesMétodo de diferencias de Newton
0 : 2018−202−0 = −1
2 : 18 −1−(−1)4−0 = 0
16−184−2 = −1
4 : 16 1/2−(−1)6−2 = 3
817−166−4 = 1
2
6 : 17 ?21−178−6 = 2
8 : 2123−2110−8 = 1
10 : 23
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Interpolación de FuncionesMétodo de diferencias de Newton
0 : 2018−202−0 = −1
2 : 18 −1−(−1)4−0 = 0
16−184−2 = −1
4 : 16 1/2−(−1)6−2 = 3
817−166−4 = 1
2
6 : 17 2−1/28−4 = 3
821−178−6 = 2
8 : 2123−2110−8 = 1
10 : 23
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Interpolación de FuncionesMétodo de diferencias de Newton
0 : 2018−202−0 = −1
2 : 18 −1−(−1)4−0 = 0
16−184−2 = −1
4 : 16 1/2−(−1)6−2 = 3
817−166−4 = 1
2
6 : 17 2−1/28−4 = 3
821−178−6 = 2
8 : 21 ?23−2110−8 = 1
10 : 23
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Interpolación de FuncionesMétodo de diferencias de Newton
0 : 2018−202−0 = −1
2 : 18 −1−(−1)4−0 = 0
16−184−2 = −1
4 : 16 1/2−(−1)6−2 = 3
817−166−4 = 1
2
6 : 17 2−1/28−4 = 3
821−178−6 = 2
8 : 21 1−210−6 = −1
423−2110−8 = 1
10 : 23
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Interpolación de FuncionesMétodo de diferencias de Newton
0 : 2018−202−0 = −1
2 : 18 −1−(−1)4−0 = 0
16−184−2 = −1
4 : 16 1/2−(−1)6−2 = 3
817−166−4 = 1
2
6 : 17 2−1/28−4 = 3
821−178−6 = 2
8 : 21 1−210−6 = −1
423−2110−8 = 1
10 : 23
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Interpolación de FuncionesMétodo de diferencias de Newton
0 : 2018−202−0 = −1
2 : 18 −1−(−1)4−0 = 0
16−184−2 = −1 ?
4 : 16 1/2−(−1)6−2 = 3
817−166−4 = 1
2
6 : 17 2−1/28−4 = 3
821−178−6 = 2
8 : 21 1−210−6 = −1
423−2110−8 = 1
10 : 23
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Interpolación de FuncionesMétodo de diferencias de Newton
0 : 2018−202−0 = −1
2 : 18 −1−(−1)4−0 = 0
16−184−2 = −1 3/8−0
6−0 = 116
4 : 16 1/2−(−1)6−2 = 3
817−166−4 = 1
2
6 : 17 2−1/28−4 = 3
821−178−6 = 2
8 : 21 1−210−6 = −1
423−2110−8 = 1
10 : 23
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Interpolación de FuncionesMétodo de diferencias de Newton
0 : 2018−202−0 = −1
2 : 18 −1−(−1)4−0 = 0
16−184−2 = −1 3/8−0
6−0 = 116
4 : 16 1/2−(−1)6−2 = 3
817−166−4 = 1
2 ?6 : 17 2−1/2
8−4 = 38
21−178−6 = 2
8 : 21 1−210−6 = −1
423−2110−8 = 1
10 : 23
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Interpolación de FuncionesMétodo de diferencias de Newton
0 : 2018−202−0 = −1
2 : 18 −1−(−1)4−0 = 0
16−184−2 = −1 3/8−0
6−0 = 116
4 : 16 1/2−(−1)6−2 = 3
817−166−4 = 1
23/8−3/8
8−2 = 0
6 : 17 2−1/28−4 = 3
821−178−6 = 2
8 : 21 1−210−6 = −1
423−2110−8 = 1
10 : 23
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Interpolación de FuncionesMétodo de diferencias de Newton
0 : 2018−202−0 = −1
2 : 18 −1−(−1)4−0 = 0
16−184−2 = −1 3/8−0
6−0 = 116
4 : 16 1/2−(−1)6−2 = 3
817−166−4 = 1
23/8−3/8
8−2 = 0
6 : 17 2−1/28−4 = 3
821−178−6 = 2 ?
8 : 21 1−210−6 = −1
423−2110−8 = 1
10 : 23
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0 : 2018−202−0 = −1
2 : 18 −1−(−1)4−0 = 0
16−184−2 = −1 3/8−0
6−0 = 116
4 : 16 1/2−(−1)6−2 = 3
817−166−4 = 1
23/8−3/8
8−2 = 0
6 : 17 2−1/28−4 = 3
821−178−6 = 2 −1/4−3/8
10−4 = − 548
8 : 21 1−210−6 = −1
423−2110−8 = 1
10 : 23
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0 : 2018−202−0 = −1
2 : 18 −1−(−1)4−0 = 0
16−184−2 = −1 3/8−0
6−0 = 116
4 : 16 1/2−(−1)6−2 = 3
817−166−4 = 1
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8−2 = 0
6 : 17 2−1/28−4 = 3
821−178−6 = 2 −1/4−3/8
10−4 = − 548
8 : 21 1−210−6 = −1
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2 : 18 −1−(−1)4−0 = 0
16−184−2 = −1 3/8−0
6−0 = 116
4 : 16 1/2−(−1)6−2 = 3
8 ?17−166−4 = 1
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6 : 17 2−1/28−4 = 3
821−178−6 = 2 −1/4−3/8
10−4 = − 548
8 : 21 1−210−6 = −1
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0 : 2018−202−0 = −1
2 : 18 −1−(−1)4−0 = 0
16−184−2 = −1 3/8−0
6−0 = 116
4 : 16 1/2−(−1)6−2 = 3
80−1/16
8−0 = − 1128
17−166−4 = 1
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8−2 = 0
6 : 17 2−1/28−4 = 3
8 ?21−178−6 = 2 −1/4−3/8
10−4 = − 548
8 : 21 1−210−6 = −1
423−2110−8 = 1
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0 : 2018−202−0 = −1
2 : 18 −1−(−1)4−0 = 0
16−184−2 = −1 3/8−0
6−0 = 116
4 : 16 1/2−(−1)6−2 = 3
80−1/16
8−0 = − 1128
17−166−4 = 1
23/8−3/8
8−2 = 0
6 : 17 2−1/28−4 = 3
8−5/48−0
10−2 = − 5384
21−178−6 = 2 −1/4−3/8
10−4 = − 548
8 : 21 1−210−6 = −1
423−2110−8 = 1
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0 : 2018−202−0 = −1
2 : 18 −1−(−1)4−0 = 0
16−184−2 = −1 3/8−0
6−0 = 116
4 : 16 1/2−(−1)6−2 = 3
80−1/16
8−0 = − 1128
17−166−4 = 1
23/8−3/8
8−2 = 0 ?6 : 17 2−1/2
8−4 = 38
−5/48−010−2 = − 5
38421−178−6 = 2 −1/4−3/8
10−4 = − 548
8 : 21 1−210−6 = −1
423−2110−8 = 1
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0 : 2018−202−0 = −1
2 : 18 −1−(−1)4−0 = 0
16−184−2 = −1 3/8−0
6−0 = 116
4 : 16 1/2−(−1)6−2 = 3
80−1/16
8−0 = − 1128
17−166−4 = 1
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8−2 = 0 −5/384−(−1/128)10−0 = − 1
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6 : 17 2−1/28−4 = 3
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10−4 = − 548
8 : 21 1−210−6 = −1
423−2110−8 = 1
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0 : 2018−202−0 = −1
2 : 18 −1−(−1)4−0 = 0
16−184−2 = −1 3/8−0
6−0 = 116
4 : 16 1/2−(−1)6−2 = 3
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8−0 = − 1128
17−166−4 = 1
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8−2 = 0 −5/384−(−1/128)10−0 = − 1
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6 : 17 2−1/28−4 = 3
8−5/48−0
10−2 = − 5384
21−178−6 = 2 −1/4−3/8
10−4 = − 548
8 : 21 1−210−6 = −1
423−2110−8 = 1
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P(x) = ?
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0 : 2018−202−0 = −1
2 : 18 −1−(−1)4−0 = 0
16−184−2 = −1 3/8−0
6−0 = 116
4 : 16 1/2−(−1)6−2 = 3
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8−0 = − 1128
17−166−4 = 1
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8−2 = 0 −5/384−(−1/128)10−0 = − 1
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6 : 17 2−1/28−4 = 3
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10−2 = − 5384
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423−2110−8 = 1
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P(x) = 20 ?
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0 : 2018−202−0 = −1
2 : 18 −1−(−1)4−0 = 0
16−184−2 = −1 3/8−0
6−0 = 116
4 : 16 1/2−(−1)6−2 = 3
80−1/16
8−0 = − 1128
17−166−4 = 1
23/8−3/8
8−2 = 0 −5/384−(−1/128)10−0 = − 1
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10−2 = − 5384
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8 : 21 1−210−6 = −1
423−2110−8 = 1
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P(x) = 20 − 1x ?
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0 : 2018−202−0 = −1
2 : 18 −1−(−1)4−0 = 0
16−184−2 = −1 3/8−0
6−0 = 116
4 : 16 1/2−(−1)6−2 = 3
80−1/16
8−0 = − 1128
17−166−4 = 1
23/8−3/8
8−2 = 0 −5/384−(−1/128)10−0 = − 1
1920
6 : 17 2−1/28−4 = 3
8−5/48−0
10−2 = − 5384
21−178−6 = 2 −1/4−3/8
10−4 = − 548
8 : 21 1−210−6 = −1
423−2110−8 = 1
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P(x) = 20 − 1x + 0x(x − 2) ?
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0 : 2018−202−0 = −1
2 : 18 −1−(−1)4−0 = 0
16−184−2 = −1 3/8−0
6−0 = 116
4 : 16 1/2−(−1)6−2 = 3
80−1/16
8−0 = − 1128
17−166−4 = 1
23/8−3/8
8−2 = 0 −5/384−(−1/128)10−0 = − 1
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6 : 17 2−1/28−4 = 3
8−5/48−0
10−2 = − 5384
21−178−6 = 2 −1/4−3/8
10−4 = − 548
8 : 21 1−210−6 = −1
423−2110−8 = 1
10 : 23
P(x) = 20 − 1x + 0x(x − 2) + 116x(x − 2)(x − 4) ?
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0 : 2018−202−0 = −1
2 : 18 −1−(−1)4−0 = 0
16−184−2 = −1 3/8−0
6−0 = 116
4 : 16 1/2−(−1)6−2 = 3
80−1/16
8−0 = − 1128
17−166−4 = 1
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8−2 = 0 −5/384−(−1/128)10−0 = − 1
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6 : 17 2−1/28−4 = 3
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10−2 = − 5384
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P(x) = 20 − 1x + 0x(x − 2) + 116x(x − 2)(x − 4)
− 1128x(x − 2)(x − 4)(x − 6) ?
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0 : 2018−202−0 = −1
2 : 18 −1−(−1)4−0 = 0
16−184−2 = −1 3/8−0
6−0 = 116
4 : 16 1/2−(−1)6−2 = 3
80−1/16
8−0 = − 1128
17−166−4 = 1
23/8−3/8
8−2 = 0 −5/384−(−1/128)10−0 = − 1
1920
6 : 17 2−1/28−4 = 3
8−5/48−0
10−2 = − 5384
21−178−6 = 2 −1/4−3/8
10−4 = − 548
8 : 21 1−210−6 = −1
423−2110−8 = 1
10 : 23
P(x) = 20 − 1x + 0x(x − 2) + 116x(x − 2)(x − 4)
− 1128x(x − 2)(x − 4)(x − 6) − 1
1920x(x − 2)(x − 4)(x − 6)(x − 8)
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Contenido
1 Introducción
2 Interpolación de funciones utilizando los polinomios de Lagrange
3 El error de interpolación
4 Elección de los puntos de interpolacion óptimos para minimizar elerror
5 Aproximación de funciones elementales utilizando polinomios
6 El método de diferencias de Newton para calcular el polinomiointerpolador
7 Aproximación por mínimos cuadrados. Regresión lineal
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Interpolación de funcionesAproximación por mínimos cuadrados
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Interpolación de FuncionesAproximación por mínimos cuadrados
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Interpolación de FuncionesAproximación por mínimos cuadrados
La aproximación mínimo cuadrática aproxima, a través de una función,un conjunto de valores de forma global, sin exigir que la funciónaproximante pase exactamente por ese conjunto de puntos.
Dado un conjunto de valores {(xi , yi)}i=1,..,N , la aproximación mínimocuadrática lineal consiste en buscar la recta y = ax + b, tal que lafunción de error cuadrático
E(a,b) =N∑
i=1
(axi + b − yi)2
sea mínima. Esta aproximación en estadística se denomina regresiónlineal
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Interpolación de FuncionesAproximación por mínimos cuadrados
TeoremaLos valores a y b que minimizan el error cuadrático anterior son
a =N∑N
1 xiyi −∑N
i xi∑N
1 yi
N∑N
1 x2i −
(∑N1 xi
)2 y b =
∑N1 x2
i∑N
1 yi −∑N
1 xiyi∑N
1 xi
N∑N
1 x2i −
(∑N1 xi
)2
Demostración Primero, observamos que, dada la forma cuadráticaque tiene el funcional, debe poseer un mínimo. Además, en un mínimode E(a,b), las derivadas parciales son
cero, y por tanto
∂E∂a
(a,b) = 2N∑
i=1
(axi + b − yi) xi = 0 y∂E∂b
(a,b) = 2N∑
i=1
(axi + b − yi) = 0
Esto da lugar a un sistema lineal de ecuaciones cuyas incógnitas sona y b, y cuya resolución lleva al resultado establecido en el teorema.
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Interpolación de FuncionesAproximación por mínimos cuadrados
TeoremaLos valores a y b que minimizan el error cuadrático anterior son
a =N∑N
1 xiyi −∑N
i xi∑N
1 yi
N∑N
1 x2i −
(∑N1 xi
)2 y b =
∑N1 x2
i∑N
1 yi −∑N
1 xiyi∑N
1 xi
N∑N
1 x2i −
(∑N1 xi
)2
Demostración Primero, observamos que, dada la forma cuadráticaque tiene el funcional, debe poseer un mínimo. Además, en un mínimode E(a,b), las derivadas parciales son cero, y por tanto
∂E∂a
(a,b) =
2N∑
i=1
(axi + b − yi) xi = 0 y∂E∂b
(a,b) = 2N∑
i=1
(axi + b − yi) = 0
Esto da lugar a un sistema lineal de ecuaciones cuyas incógnitas sona y b, y cuya resolución lleva al resultado establecido en el teorema.
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Interpolación de FuncionesAproximación por mínimos cuadrados
TeoremaLos valores a y b que minimizan el error cuadrático anterior son
a =N∑N
1 xiyi −∑N
i xi∑N
1 yi
N∑N
1 x2i −
(∑N1 xi
)2 y b =
∑N1 x2
i∑N
1 yi −∑N
1 xiyi∑N
1 xi
N∑N
1 x2i −
(∑N1 xi
)2
Demostración Primero, observamos que, dada la forma cuadráticaque tiene el funcional, debe poseer un mínimo. Además, en un mínimode E(a,b), las derivadas parciales son cero, y por tanto
∂E∂a
(a,b) = 2N∑
i=1
(axi + b − yi) xi = 0 y∂E∂b
(a,b) =
2N∑
i=1
(axi + b − yi) = 0
Esto da lugar a un sistema lineal de ecuaciones cuyas incógnitas sona y b, y cuya resolución lleva al resultado establecido en el teorema.
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Interpolación de FuncionesAproximación por mínimos cuadrados
TeoremaLos valores a y b que minimizan el error cuadrático anterior son
a =N∑N
1 xiyi −∑N
i xi∑N
1 yi
N∑N
1 x2i −
(∑N1 xi
)2 y b =
∑N1 x2
i∑N
1 yi −∑N
1 xiyi∑N
1 xi
N∑N
1 x2i −
(∑N1 xi
)2
Demostración Primero, observamos que, dada la forma cuadráticaque tiene el funcional, debe poseer un mínimo. Además, en un mínimode E(a,b), las derivadas parciales son cero, y por tanto
∂E∂a
(a,b) = 2N∑
i=1
(axi + b − yi) xi = 0 y∂E∂b
(a,b) = 2N∑
i=1
(axi + b − yi) = 0
Esto da lugar a un sistema lineal de ecuaciones cuyas incógnitas sona y b, y cuya resolución lleva al resultado establecido en el teorema.
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Interpolación de FuncionesAproximación por mínimos cuadrados
Efectívamente si partimos deN∑
i=1
(axi + b − yi) xi = 0 yN∑
i=1
(axi + b − yi) = 0
esto nos lleva al sistema :{a∑N
i=1 x2i + b
∑Ni=1 xi =
∑Ni=1 yixi
a∑N
i=1 xi + b∑N
i=1 1 =∑N
i=1 yi
cuya solución por el método de Cramer es
a =
∣∣∣∣∣∑N
i=1 yixi∑N
i=1 xi∑Ni=1 yi N
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∑N
i=1 x2i∑N
i=1 xi∑Ni=1 xi N
∣∣∣∣∣b =
∣∣∣∣∣∑N
i=1 x2i∑N
i=1 xiyi∑Ni=1 xi
∑Ni=1 yi
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∑N
i=1 x2i∑N
i=1 xiyi∑Ni=1 xi N
∣∣∣∣∣Luis Alvarez León () Métodos Numéricos Univ. de Las Palmas de G.C. 36 / 38
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Interpolación de FuncionesAproximación por mínimos cuadrados
ProblemaLa evolución de altura de un niño ha sido la siguiente : al nacer : 50cm, a los 3 meses 60 cm, a los 6 meses 67 cm y a los 9 meses 71 cm.Calcular la tasa de variación del peso del niño utilizando unaaproximación mínimo cuadrática.
Solución: Tenemos que calcular a =N∑N
i=1 xi yi−∑N
i=1 xi∑N
i=1 yi
N∑N
i=1 x2i −(
∑Ni=1 xi)
2
Cálculando cada término por separado tenemos
N∑i=1
xiyi =
1221N∑
i=1
xi
N∑i=1
yi = 4464N∑
i=1
x2i = 126
(N∑
i=1
xi
)2
= 324
Por tanto la tasa de variación es a =4 · 1221− 4464
4 · 126− 324=
73
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Interpolación de FuncionesAproximación por mínimos cuadrados
ProblemaLa evolución de altura de un niño ha sido la siguiente : al nacer : 50cm, a los 3 meses 60 cm, a los 6 meses 67 cm y a los 9 meses 71 cm.Calcular la tasa de variación del peso del niño utilizando unaaproximación mínimo cuadrática.
Solución: Tenemos que calcular a =N∑N
i=1 xi yi−∑N
i=1 xi∑N
i=1 yi
N∑N
i=1 x2i −(
∑Ni=1 xi)
2
Cálculando cada término por separado tenemos
N∑i=1
xiyi = 1221N∑
i=1
xi
N∑i=1
yi =
4464N∑
i=1
x2i = 126
(N∑
i=1
xi
)2
= 324
Por tanto la tasa de variación es a =4 · 1221− 4464
4 · 126− 324=
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ProblemaLa evolución de altura de un niño ha sido la siguiente : al nacer : 50cm, a los 3 meses 60 cm, a los 6 meses 67 cm y a los 9 meses 71 cm.Calcular la tasa de variación del peso del niño utilizando unaaproximación mínimo cuadrática.
Solución: Tenemos que calcular a =N∑N
i=1 xi yi−∑N
i=1 xi∑N
i=1 yi
N∑N
i=1 x2i −(
∑Ni=1 xi)
2
Cálculando cada término por separado tenemos
N∑i=1
xiyi = 1221N∑
i=1
xi
N∑i=1
yi = 4464N∑
i=1
x2i =
126
(N∑
i=1
xi
)2
= 324
Por tanto la tasa de variación es a =4 · 1221− 4464
4 · 126− 324=
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Interpolación de FuncionesAproximación por mínimos cuadrados
ProblemaLa evolución de altura de un niño ha sido la siguiente : al nacer : 50cm, a los 3 meses 60 cm, a los 6 meses 67 cm y a los 9 meses 71 cm.Calcular la tasa de variación del peso del niño utilizando unaaproximación mínimo cuadrática.
Solución: Tenemos que calcular a =N∑N
i=1 xi yi−∑N
i=1 xi∑N
i=1 yi
N∑N
i=1 x2i −(
∑Ni=1 xi)
2
Cálculando cada término por separado tenemos
N∑i=1
xiyi = 1221N∑
i=1
xi
N∑i=1
yi = 4464N∑
i=1
x2i = 126
(N∑
i=1
xi
)2
=
324
Por tanto la tasa de variación es a =4 · 1221− 4464
4 · 126− 324=
73
Luis Alvarez León () Métodos Numéricos Univ. de Las Palmas de G.C. 37 / 38
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Solución: Tenemos que calcular a =N∑N
i=1 xi yi−∑N
i=1 xi∑N
i=1 yi
N∑N
i=1 x2i −(
∑Ni=1 xi)
2
Cálculando cada término por separado tenemos
N∑i=1
xiyi = 1221N∑
i=1
xi
N∑i=1
yi = 4464N∑
i=1
x2i = 126
(N∑
i=1
xi
)2
= 324
Por tanto la tasa de variación es a =
4 · 1221− 44644 · 126− 324
=73
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ProblemaLa evolución de altura de un niño ha sido la siguiente : al nacer : 50cm, a los 3 meses 60 cm, a los 6 meses 67 cm y a los 9 meses 71 cm.Calcular la tasa de variación del peso del niño utilizando unaaproximación mínimo cuadrática.
Solución: Tenemos que calcular a =N∑N
i=1 xi yi−∑N
i=1 xi∑N
i=1 yi
N∑N
i=1 x2i −(
∑Ni=1 xi)
2
Cálculando cada término por separado tenemos
N∑i=1
xiyi = 1221N∑
i=1
xi
N∑i=1
yi = 4464N∑
i=1
x2i = 126
(N∑
i=1
xi
)2
= 324
Por tanto la tasa de variación es a =4 · 1221− 4464
4 · 126− 324=
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