Embed Size (px)
Citation preview
Métodos Numéricos 01/12/2014
Patricia Fernández 1
Métodos Numéricos para la
Resolución de Ecuaciones
Diferenciales Ordinarias con
Valor Inicial
1
Problema de valor inicial
Relación entre y’ e y
��
���
��
���
0y=)y(x
y)f(x,=y'
0
x0
Dy0
� x I
Condición inicial
Suponemos que se verifica la condición de existencia y
unicidad de la solución
2
Teorema de existencia y unicidad de la solución
Sea D n+1 un dominio y sea f : D ����n una función continua
que satisface una condicion de Lipschitz:
21 yyL)y(x,f)y(x,f 21 � �
� (x,y1),(x,y2) D y una constante L > 0.
�� (x0,y0) D � un intervalo I que contiene a x0 tal que el
problema
tiene solución unica en ese intervalo.
��
���
��
���
0y=)y(x
y)f(x,=y'
0
x0
D
y0
3
FAMILIA DE SOLUCIONES
4
Métodos Numéricos 01/12/2014
Patricia Fernández 2
Solución Numérica
Métodos de diferencia o métodos de variable discreta
Dado el intervalo I = [a,b] y si y0 = y(x0),
sea x1 = x0 + h , y1 ~ y(x1),
sea x2 = x1 + h, y2 ~ y(x2),
…
xn = xn-1 + h, yn ~ y(xn)
solución numérica
5
Propagación del Error
Errores en Solución Numérica
Error de truncamiento: En = y(xn) – yn
Error de redondeo: representación de punto flotante
6
Errores en la solución Numérica
RESULTADO GENERAL
Si el error de truncamiento local de un método es O(h p+1)
entonces el error de truncamiento global es O(h p)
7
CLASIFICACION DE METODOS
Métodos de un paso Métodos multipaso
8
Métodos Numéricos 01/12/2014
Patricia Fernández 3
Un método numérico se dice de un paso si � n � 0,
yn+1 depende solo de yn.
Error de Truncamiento
)(ξy)!+(r
h++)(xy
h+)(xhy'+)y(x=)y(x i
+r+r
nnn+n1
12
11
...''2
)(y)!+(r
h=T n
+r+r
+n �11
11
Métodos Numéricos de un Paso
Serie de Taylor
9
Métodos de Runge Kutta
Características Generales:
- son métodos de un paso
-coinciden con la serie de Taylor hasta el término de
orden hp sin requerir el cálculo de derivadas superiores,
p es el orden del método
- hacen evaluaciones de la derivada en puntos intermedios
entre xn y xn+1
f)h,,y,hF(x+y=y nnn+n 1
F se llama función de incremento
F ~ f(x,y)10
Método de Euler
���� 11
),(
/
'
xn
xn
xn
xn
dxyxf=dy
y),f(x=dxdy
y),f(x=y
)y,hf(x+y=y nnn+n 1
)(2/''
n2
n yh=(h)T � O(h)
predicción
xn xn+1
h
Valor
verdadero
error
11
Método de Trapecio
))y,f(x+)y,f(x(hdxyxf +n+nnn
xn
xn
11
1
2/),(��
�
dxy)f(x,+y=y
xn
xn
n+n ��1
1
xn xn+1
h
,...1,02/ 111 ���� n))y,f(x+)y,f(x(hyy +n+nnnnn
3h(h)T n � )(2
hO
12
Métodos Numéricos 01/12/2014
Patricia Fernández 4
Método de RK de cuarto orden
Es el método más popular de los métodos Runge Kutta
Siendo:
43211 226
kkkkh
yy nn ������
hkyhxfk
hkyhxfk
hkyhxfk
yxfk
nn
nn
nn
nn
34
23
12
1
,
2
1,
2
1
2
1,
2
1
,
���
��
���
����
��
���
� ���
�
5h(h)T n � )( 4hO
13
Comparación de métodos
Eval Fn. 2 3 4 5 6 7 N >8
Error O(h2) O(h3) O(h4) O(h4) O(h5) O(h6) O(hn-2)
Butcher (60’)
14
Paso Variable
La solucion de algunas ecuaciones presenta escalas de tiempo muy variables,
Si se utiliza un paso h constante se realiza más esfuerzodel necesario
Una forma de solucionar esto es utilizando paso variable
15
Se trata de garantizar que el error local en cada paso
permanezca acotado .
Se puede implementar de dos formas:
1) Realizando dos veces el cálculo, con un paso h y con
dos pasos de h/2 y comparando los resultados.
2) Combinando dos métodos de Runge Kutta de ordenes
diferentes (ODE23, ODE45) of((( different orders
and compare the results. This is the
preferred method.16
Métodos Numéricos 01/12/2014
Patricia Fernández 5
Método de Runge-Kutta Fehlberg (1990)
RK4
1
2 1
3 1 2
4 1 2 3
5 1 2 3 4
6 1 2 3
( , )
1 1( , )
5 5
3 3 9( , )
10 40 40
3 3 9 6( , )
5 10 10 5
11 5 70 35( , )
54 2 27 27
7 1631 175 575 44275( ,
8 55296 512 13824 11
i i
i i
i i
i i
i i
i i
k f x y
k f x h y k h
k f x h y k h k h
k f x h y k h k h k h
k f x h y k h k h k h k h
k f x h y k h k h k h
�
� � �
� � � �
� � � � �
� � � � � �
� � � � � � 4 5
253)
0592 4096k h k h
��������������� ���
hk4
1k
14336
277k
55296
13525k
48384
18575k
27648
2825yy 65431i1i )( ����������������������������
RK5
17
Requieren tiempo de cálculo relativamente alto
No es sencillo el cálculo del error
No trabajan bien para resolver ecuaciones stiff
Con el uso de paso variable se aumenta su eficiencia y
pueden utilizarse para resolver ecuaciones stiff
Ventajas de Runge Kutta:
Se autoinician
Son fáciles de implementar
Son estables
Desventajas de Runge Kutta:
18
Métodos Multipaso
Forma General:
aj y bj son constantes,
Si ap ≠ 0 o bp ≠ 0 el método es de p+1 pasos
Si b-1 ≠ 0 � Método implicito
Se usa información en varios puntos anteriores xi , x
i-1 , x
i-2
esto determina el orden del método
No se autoinician
Si b-1 = 0 � Método explicito
19
Métodos de Adams
Se construye el polinomio interpolante de f(x,y) en los puntos
xn, xn-1, … , xn-p y se calcula:
��
�
p
j=
jnjn+n fbh+y=y1
1
��11 +xn
xn
+xn
xn
y)dxf(x,=dy
y)f(x,=y'
���
1
1
+xn
xn
nn p(x)dxy=y
obteniéndose
b-1 = 0 � ADAMS- BASHFORTH explicito
b-1 ≠ 0 � ADAMS- MOULTON implicito
20
Métodos Numéricos 01/12/2014
Patricia Fernández 6
nnn+ yhfh+y=yp �´´210 2
1n ��
Métodos de Adams Bashforth
nn+ yhffh+y=yp �´´´1253
21 3
1-nn1n ���
nnn+ yhfffh+y=yp �´´´´8351623
122
421-nn1n ���� �
nnnn+ yhffffh+yyp �)5(5321-nn1n 7202519375955
243 ������ ��
21
nnn+ yhfh+y=yp �´´210
211n �� �
Métodos de Adams Moulton
nn+ yhffh+y=yp �´´´121
21 3
n1n1n ��� �
nnn+ yhfffh+y=yp �´´´´241585
122
41n1n1n ���� ��
nnnn+ yhffffh+yyp �)5(521nn1n 720195199
243 ������ ��
22
11n: �nn+ fh+y=yP
Métodos Predictor Corrector
2-n1n31n 223
4: fffh+y=yP nn+ �� ��
321-nn1n 937595524
: �� ���� nnn+ ffffh+yyP
)(: 11n �� nnn+ ffh+y=yC
Huen
Milne
1-n1n11n 43
: fffh+y=yC nn+ ����
Adams
21n1n1n 519924
: ��� ���� nnn+ ffffh+yyC
23
Consistencia, Convergencia y Estabilidad
- Si Ƭn 0 cuando h 0 , el método es consistente
- Si lim max Ɩ yn-y(xn) Ɩ = 0 cuando h 0,
h 0
el método es convergente
ك 1 n ك N
- Si Ǝ k(x) / Ɩ yn-ẏn Ɩ ك k(xn)Ɩ y0-ẏ0
Ɩ, n =1,2,...,
el método es estable
(condición local)
(condición global)
24
Métodos Numéricos 01/12/2014
Patricia Fernández 7
En general:
Un método de diferencia es convergente si y
solo si es consistente y estable.
25
Se dice que una EDO es Stiff (rígida) si su solución numérica
requiere, para algunos métodos y quizás en una porción del
intervalo donde está definida la solución, una disminución del
tamaño de paso para evitar la inestabilidad.
Ecuaciones Stiff
tt1000
exact
t
e0022e99803y
00y
e20003000y1000dt
dy
��������
����
������������
��������
��������
����
����
����������������
..
)(
26
Ecuación Stiff
Sol. numérica
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4-10000
-5000
0
5000
Numerical Solut ion
(�t=0.03)
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.40
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
100100 0
( )(0) 1
ty y
y t ey
�� � �� ��
� �
�
Sol. analíticaSol. Analítica Euler Explícito ( t = 0.03 )
27
Ecuación stiff
0
0.36787944117144
0.13533528323661
0.04978706836786
0.01831563888873
0.00673794699909
0
2.04978706836786
-3.99752124782333
8.00012340980409
-15.99999385578765
32.00000030590232
100100 0
( )(0) 1
ty y
y t ey
�� � �� ��
� �
�
�t=0.01Error
�t=0.03Error
Usando Euler, para : �t=0.01, �t=0.03
28
Métodos Numéricos 01/12/2014
Patricia Fernández 8
Ecuación Stiff
Sol. Analítica y Euler implicito Euler explícito0 0. 05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4
-10000
-5000
0
5000
Numerical Solution
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.40
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Solut ion
Approximation
(t= 0.03)
100100 0
( )(0) 1
ty y
y t ey
�� � �� ��
� �
�
29
Sistema de Ecuaciones
,
,
,
,
0,0'
0,202'2
0,101'1
nnn21nn
n212
n211
yxy)y,,y,y(x,f=y
yxy)y,,y,y(x,f=y
yxy)y,,y,y(x,f=y
�
�
�
�
Se cumple una condición de Lipschitz extendida
Dado el sistema:
30
1''' � mm y,y,yy,x,f=y
Ecuaciones Diferenciales de orden
Superior
Dada la siguiente ecuación:
Si se conoce
)(),...,(''),('),( 01
000 xyxyxyxy m�
se puede escribir como un sistema de ecuaciones
de primer orden con valor inicial
31
Ejemplo:
xyxyy 52'2''''' ���
��
��
�
�
�
�
''3
'2
1
yy
yy
yy
���
���
�
����
�
�
xyxyy
yy
yy
52 22
3'3
3'2
2'1
���
�
�
���
�
�
��
��!���
�
�
���
�
�
�
xyyx
y
y
yfy
y
y
y
y
52
)(,
322
3
2
3
2
1����
32
