1

Mátrixok és differenciálegyenlet-rendszerek Dr. Obádovics J. Gyula

A differenciálegyenlet-rendszerek elmélete szerint a

,

homogén, ill. inhomogén lineáris differenciálegyenlet-rendszer általános megoldása

, ill.,

t

tu

utt u)dueet

0

()( )()( fcx AA

az kezdeti feltételt kielégítő megoldása, pedig

, ill.

t

tu

utttduueet

0

0 )(),( )(0

)(0 fxxx AA

alakban előállítható, ahol az együtthatómátrix, az ismeretlen függvényvektor, c vektor elemei

pedig tetszőleges állandók [D2], [D3], [K7].

A dolgozatban ismertetésre kerülő módszer a homogén, ill. az inhomogén rendszer általános

megoldását

ill.

mátrixszorzattal, a kezdeti feltételt kielégítő megoldását pedig

, ill.

mátrixszorzattal képezi, ahol uDD ill. , a differenciálegyenlet-rendszer exponenciális alapmátrixa.

A uDD ill. , felírása az A Jordan mátrix alakja alapján elvégezhető.

Minden mátrixhoz található olyan nem szinguláris mátrix, amellyel az A mátrix

(1)

hasonlósági transzformációval

kvázidiagonális Jordan-féle alakra hozható, ahol és típusú mátrixok az ún. felső

Jordan-féle blokkok, melyeknek az alakja:

, (2)

ahol a sajátértékek multiplicitása egy típusú egységmátrix, pedig

(3)

típusú mátrix.

)()(

tdt

dAx

tx )()(

)(tt

dt

dfAx

tx

cx Atet )(

00)( xx t

0)(

00),( xxx

A ttet

nnija ][A )(tx

,)( TDcx t

t

tu

u duut

0

)()( 1fTDTcDTx

01

0),( xTDTxxt

t

tu

u duut

0

)(),( 10

10 fTDTxTDTxx

nnRA nnRT

)0det,(1 TRJATTJ nn

)(,),(),( 2211 ssdiag BBBJ ,

)(00

0)(0

00)(

22

11

ss

B

B

B

),( ns )( kk B kk tt

,

000

1000

010

001

)(kk ttk

k

k

k

kk CEB

)1,,1,1;,,2,1( 21 stttsk

k ,kt ktE kk tt

ktC

0000

1000

0100

0010

ktC

kk tt

2

Röviden jelölve: , ahol

Blokkok méretének és darabszámának megállapításához, (ha közvetlenül nem állapítható meg), felhasználjuk a

sajátértékekhez tartozó skW invariáns sajátalterek dimenziójára vonatkozó Frobenius-féle [K3],[K6].

),3,2,1(0dimdim2dim 11 sWWW sk

sk

sk

egyenlőtlenségből képzett

),3,2,1(,dimdimdim2)( 11 sWWWsB sk

sk

skk , (4)

formulát, ahol )(sBk a k sajátértékhez tartozó s méretű blokkok száma, és

sk

skW )ker( EA ),,2,1,0( kts , ),3,2,1( k (5)

a pedig a sajátérték minimálpolinomban lévő tényezőjének fokszáma. Nyilvánvaló, hogy

,00 kW és, ha , akkor ktk

sk WW (6)

Kiszámítjuk ahhoz a sajátértékhez az invariáns alterek dimenziószámát, amelynek a karakterisztikus polinomban

eggyel nagyobb a multiplicitása, mint a minimálpolinomban és alkalmazzuk a (4) formulát a

)(,),4(),3(),2(),1( kkkkkk tBBBBB

értékek kiszámítására.

A karakterisztikus polinom sajátértékeihez tartozó blokkok darabszáma általában kiszámítható az

)( EA kk rangnm

(7)

formulával, de a blokkok méretére nem kapunk választ, többszörös multiplicitású gyököknél a Frobenius

egyenlőtlenségből alkotott (4) formulát alkalmazzuk (l. a példákat).

A sajátértékhez a )1(kB értéke az -es, )2(kB értéke a -es, …, )( kk tB értéke a

méretű blokkok számát adja meg.

Példa. Állítsuk elő az mátrix Jordan-féle normálalakját, ha a

karakterisztikus polinomjának és minimálpolinomjának gyöktényezős alakja:

, .

Az mátrix minimálpolinomjának is van másodfokú tényezője, ezért a Jordan alak kvázi-

diagonális mátrix, és mivel egyik tényezője első fokú, ezért a J blokkjai a minimálpolinomból:

a karakterisztikus polinom maradék tényezőjéből: , tehát

.

Ellenőrzés: a 21 λ kétszeres sajátértékhez

224)2(1 EArangnm db blokk tartozik, vagyis 2 db -es.

A 62 λ kétszeres sajátértékhez

134)6(2 EArangnm db blokk tartozik, vagyis 1 db -es.

Ellenőrizzük az eredményt a (4) formulával.

Tegyük fel, hogy csak a karakterisztikus polinom gyöktényezős alakját ismerjük. Mivel a

tényezőjének fokszáma , így a (4) formulát esetre alkalmazzuk (természetesen a minimálpolinom

ismeretében elegendő -re alkalmazni).

Számítsuk ki a sajátértékhez tartozó invariáns sajátalterek dimenzióit:

ijkk a)(B

egyébként. 0

és 1 ha ,1

, ha ,

ij

ij

a

k

ij

kt k

kts

k 11 22 kk tt

2488

0200

1182

3328

A

22 )2()6()( k )2()6()( 2 m

44RA44RJ

,60

16],2[ 21

BB

]2[3 B

2000

0600

0160

0002

J

11

22

)2(

2kt 2,1s

1s

21

3

( ),

A (4) formula szerint:

202222dimdimdim2)1( 02111

111

11

11 dddWWWB

022222)2( 1321 dddB

tehát a sajátértékhez nem tartozik -es blokk, de van 2 darab -es blokkja.

Mivel a tényezőjének fokszáma , így a (4) formulát esetre alkalmazzuk.

A sajátértékhez tartozó invariáns sajátalterek dimenziói:

( ),

A (4) formula szerint:

002122dimdimdim2)1( 02111

211

2122 dddWWWB ,

112222)2( 1322 dddB ,

tehát a sajátértékhez 1 darab -es blokk tartozik. A kétféle számítással kapott Jordan blokkok

azonosak.

Ha a karakterisztikus polinom többszörös sajátértékeihez tartozó (7) formulával kiszámított blokkok

darabszámából a blokkok méretére nem tudunk egyértelmű választ adni, akkor az egyértelműséget a

minimálpolinom segítségével biztosíthatjuk, vagy alkalmazzuk a (4) formulát. Tekintsük az

és

mátrixokat.

Az mátrix karakterisztikus polinomja: , azaz a 01 5-szörös sajátérték, és a

Jordan alakjához tartozó blokkok száma: 325)0(51 EArangm .

A mátrix karakterisztikus polinomja: , azaz a 01 5-szörös sajátérték és a

Jordan alakjához tartozó blokkok száma: 325)0(51 EBrangm .

Melynek mindkét esetben eleget lehet tenni

1 db -as és 2 db -es blokkal, vagy 2 db -es és 1 db -es blokkal.

Az A mátrix minimálpolinomja: , és a B mátrix minimálpolinomja: , ezért az A mátrix

Jordan blokkjai: 2 db -es, és 1 db -es blokk, a B mátrix Jordan blokkjai pedig : 1 db -as, és 2 db

-es blokk. Az A , ill. B mátrix -val, ill. -vel jelölt Jordan-féle normálalakja:

, .

A (4) formula alkalmazása:

Mivel az A mátrix minimálpolinomja másodfokú, fokszáma , így a (4) formulát elég

esetre alkalmazni.

Számítsuk ki a sajátértékhez tartozó invariáns sajátalterek dimenzióit ( ):

.22,2))2dim(ker(

,2))2dim(ker())dim(ker(

,0

22

11

0

idd

d

d

iEA

EAEA )1,1,1,1(diagE

21 22 11

)6( 2kt 2,1s

62

.22,2))6dim(ker(

,1))6dim(ker())dim(ker(

,0

22

21

0

idd

d

d

iEA

EAEA )1,1,1,1(diagE

62 22

12110

11100

01010

11100

11100

A

33210

22110

22110

11100

22110

B

55RA 5)( k

55RB 5)( k

33 11 22 112)( m 3)( m

22 11 33

11 AJ BJ

00000

00000

01000

00000

00010

AJ

00000

00000

00000

00100

00010

BJ

2kt 2,1s

01 )1,1,1,1,1(diagE

4

A (4) formula szerint:

105322dimdimdim2)1( 02111

111

11

11 dddWWWB ,

235522)2( 1321 dddB ,

tehát az A mátrix ötszörös sajátértékéhez 1 db -es blokk, és 2 darab -es blokk tartozik.

Mivel az B mátrix minimálpolinomja harmadfokú, fokszáma , így a (4) formulát elég

esetre alkalmazni.

Számítsuk ki a sajátértékhez tartozó invariáns sajátalterek dimenzióit ( ):

A (4) formula szerint:

204322dimdimdim2)1( 02111

111

11

11 dddWWWB ,

035422)2( 1321 dddB ,

145522)3( 2431 dddB ,

tehát a B mátrix ötszörös sajátértékéhez 2 db -es blokk, 0 számú -es blokk, valamint 1 db

-as blokk tartozik.

A transzformáció mátrixának kiszámítása

Definíció. Ha egy n-edrendű A mátrixnak n számú lineárisan független sajátvektora van, akkor azt a mátrixot,

amelynek oszlopai a sajátvektorok koordinátáival rendre megegyeznek, az A-hoz tartozó modálmátrixnak

mondjuk.

Példa. Ha

311

151

113

A , és TTT ]1,2,1[,]1,1,1[,]1,0,1[ 321 vvv az A sajátvektorai,

akkor a modálmátrix:

111

210

111

Q .

Az állandó együtthatójú lineáris differenciálegyenlet-rendszerek pontos megoldásához az együtt-

hatómátrix Jordan-féle normálalakja mellett arra a reguláris mátrixra is szükség van, amellyel végzett

hasonlósági transzformáció előállítja az A mátrix J-vel jelölt

. ( ) (1)

Jordan-féle normálalakját.

Az (1) helyett tekintsük az

(2)

mátrixegyenletet.

A (2) egyenletből egy n-edrendű A mátrix Jordan-féle alakra való transzformációjához a T

transzformációs mátrix számú ismeretlen eleme n számú n ismeretlenes lineáris egyenletrendszer

megoldásával adható meg, ha A és J elemei ismertek.

A módszer különösen előnyösen alkalmazható minden olyan esetben, ha a megoldandó feladathoz a

sajátvektorok kiszámítása egyébként is szükséges.

1. lépés. A J mátrixot az A mátrix sajátértékei felhasználásával létrehozzuk.

.25,5))0dim(ker(

,3))0dim(ker(

,0

22

1

0

idd

d

d

iEA

EA

01 11 22

3kt 3,2,1s

01 )1,1,1,1,1(diagE

.35,5))0dim(ker(

,4))0dim(ker(

,3))0dim(ker(

,0

33

22

1

0

idd

d

d

d

iEB

EB

EB

01 11 22

33

nnRAnnRT

ATTJ1 nnRJ

0TJATTJAT ill.,

2n

5

2. lépés. a) Ha az n-edrendű A mátrixnak n számú különböző sajátértéke van, akkor az A lineárisan

független sajátvektorainak száma megegyezik rendszámával. Ekkor a sajátvektorok alkotják a Q modálmátrixot,

mellyel:

.

Ha a Q mátrix oszlopvektorainak sorrendjét – miként azt már említettük – úgy választjuk meg, ahogy a sa-

játértékek követik egymást a felírt J mátrixban, akkor a modálmátrix alakra, megegyezik a más módszerrel

számított hasonlósági transzformáció T mátrixával.

Ha az A mátrix sajátértékek növekvő sorrendjének megfelelő lineárisan független sajátvektorok:

,

akkor a T mátrix oszlopvektorait ezek a sajátvektorok ilyen sorrendben alkotják:

és így

).( 11 AQQATTJ

Ha az A mátrix karakterisztikus egyenletének van többszörös gyöke, de a minimálegyenletének

mindegyik gyöke egyszeres, akkor is a szabály szerint felírt Jordan-féle mátrix fődiagonálisában lévő

sajátértékeknek megfelelő sorrendben kell a sajátvektorokat elhelyezni a transzformáció T mátrixába [K6].

Példa. Például az mátrix karakterisztikus és minimálpolinomja:

, .

Az mátrix sajátértékeihez tartozó sajátvektorok:

.

Az A mátrix szabályosan felírt Jordan-féle normálalakja és a transzformáció mátrixa :

, ,

A T mátrix inverze és a számítás eredményének ellenőrzése:

, és .

b) Ha az A mátrixnak a rendjénél kevesebb lineárisan független sajátvektora van, akkor a T mátrix ismeretlen

elemeire felírt

(3)

mátrixegyenlet megoldása annyi lineáris egyenletrendszer megoldására vezethető vissza, amennyi ismeretlen

oszlopvektort kellett T-ben felvenni a sajátvektorok mellett.

Példa. Az mátrix karakterisztikus- és minimálpolinomja:

, .

Az mátrix sajátértékeihez tartozó lineárisan független sajátvektorok (a 1 kétszeres

sajátértékhez csak egy lineárisan független sajátvektor, v, tartozik):

.

Az A mátrix Jordan-féle normálalakjának blokkjai:

224)0(40 EBrangm ; 134))1((41 EBrangm , tehát a 0 sajátértékhez 2

11 -es blokk, a 1 sajátértékhez egy 22 -es blokk tartozik:

AQQJ1

i

)(,),(),( 21 n vvv

)()()( 21 n vvvT

721

2102

127

A

2)6)(12()( k )6)(12()( m

33RATTT ]1,2,1[)12(,]0,1,2[)6(,]1,0,1[)6( 21 vvv

)( QT

600

0120

006

J

011

120

211

)6()12()6( 21 vvvT 06det T

615

022

611

6

11T JATT

600

0120

0061

0TJAT

6462

3433

6361

3132

A

22 )1()( k 2)1()( m

44RA

TTT ]2,3,1,2[)1(,]0,3,1,3[)0(,]1,3,0,3[)0( 21 vvv

6

.

A transzformáció T mátrixában az oszlopvektorok sorrendje a J-re való tekintettel: a 0 sajátértékhez

tartozó sajátvektorokat az 1. és 4. oszlopba, a –1 sajátértékhez tartozó sajátvektort a 2. oszlopba, az ismeretlen x

vektort pedig a 3. oszlopba kell helyezni, azaz a sorrend:

.

A transzformáció T mátrixának feltételezett alakja: ,

és az egyenlet: , (*)

melyben szükséges, hogy az ismert vektoroknak megfelelő oszlopok minden eleme 0 legyen.

A (*) egyenletből, a 3. oszlop = 0 egyenletnek megfelelően, felírható a

egyenletrendszer, melynek triviálistól különböző egyparaméteres megoldásvektora:

.

A p paramétert úgy kell megválasztani, hogy lineárisan független vektorrendszert kapjunk. Például

választással ,

és a hasonlósági transzformáció T mátrixa: .

A , tehát T oszlopvektorai lineárisan függetlenek

Az exponenciális mátrixfüggvény normálalakja Ha a

(1)

egyenlőséget T-vel balról, -gyel pedig jobbról szorozzuk, akkor az A mátrixot ismert J esetén

(2)

alakban kapjuk.

Legyenek az A mátrix sajátértékei: , amelyekhez az A mátrix J Jordan-féle

normálalakjában a

(3)

különböző blokkjai tartoznak.

A J mátrixot kvázidiagonális mátrixnak tekintjük, és így

0000

0100

0110

0000

J

)0(,],,,[),1(),0( 243211 vxvv Txxxx

021

333

110

323

4

3

2

1

x

x

x

x

kT

0JTAT kk 0JTAT

`

02746200

03333300

0163500

0233300

4321

4321

4321

4321

xxxx

xxxx

xxxx

xxxx

kk

027462

033333

01635

02333

4321

4321

4321

4321

xxxx

xxxx

xxxx

xxxx

Tpppp ]12,32

5,,2

2

5[ x

1pT]3,

2

11,1,

2

9[ x

0321

32

1133

1110

32

923

T

02

1det T

teA

ATTJ1

1T1

TJTA

m ,,, 21 )( nm

)(,),(),( 2211 mm BBB

7

(4)

jelölést használjuk .

Blokkok képzése

Egy A mátrix exponenciális mátrixfüggvényének q multiplicitású sajátértékéhez tartozó,

blokkjának q-adrendű normálalakját, melyet -vel jelölünk, a következő formulával állíthatjuk elő:

1,1

1

2,1

2

1,1)(

)!1(!2!1 q

qtt

q

tttee CCCE

A

(5)

Tehát, ha ismert az exponenciális mátrixfüggvény A mátrixának Jordán-féle normálalakja, akkor

közvetlenül felírható az exponenciális mátrixfüggvény normálalakja is, ha a blokkokat (5) szerint

képezzük.

1. Példa. Az mátrix karakterisztikus- és minimálpolinomja:

.

Figyelembe véve a karakterisztikus és minimálpolinom egyenlőségét, betartva a

blokkok növekedési sorrendjét :

.

Az exponenciális mátrixfüggvény normálalakja (5) szerint képezve:

)!2!1

(

0000000000000001

2,1

2

1,11 CCEA tt

eee ttt

)(00

0)(0

00)(

22

11

mm

B

B

B

J

)(,),(),( 2211 mmdiag BBB

)( nm

Ate te )(A

q

q

qt

q

t

q

te

000

000

100

!)1(

)1(

0000

1000

0100

0010

!1

100

010

001

q

q

q

t

t

q

tt

q

ttt

e

1000

!1100

!)2(!110

!)1(!2!11

)2(

)1(2

te A

te A

5733

4623

6945

71065

A

3)1)(1()()( mk

100

110

011

],1[ 21 BB

1000

1100

0110

0001

J

teA

1000

0100

0010

0000

0000

0000

0000

0001

tt ee

8

.

Az (5) egyenlőség utolsó (jobb oldali) tagja alapján – az A mátrix Jordan-féle normálalakjának

ismeretében – közvetlenül is felírhatjuk az exponenciális mátrixfüggvény normálalakját.

Például, ha egy mátrix Jordan-féle normálalakja:

,

akkor , , ,

és így az exponenciális mátrixfüggvény normálalakja:

.

Az állandó együtthatójú differenciálegyenlet-rendszerek megoldása

modálmátrixszal Az általános megoldás függvényvektora:

, (2)

az

kezdeti feltételt kielégítő partikuláris megoldás függvényvektora:

, (3)

ahol a oszlopvektor elemei tetszőleges állandók, és

(4)

a kezdeti feltételt kielégítő megoldás együtthatóinak oszlopvektora.

1. Példa. Számítsuk ki az

)(3)()()(

)()(5)()(

)()()(3)(

tztytxtz

tztytxty

tztytxtx

homogén lineáris differenciálegyenlet-rendszer

kezdeti feltételt kielégítő megoldását!

Az együtthatómátrix:

.

A karakterisztikus- és minimálpolinom: ,

a sajátértékekhez tartozó sajátvektorok:

A sajátértékek negatívak, a megoldások stabilisak.

A Jordan-féle normálalak:

t

tt

ttt

t

e

et

e

et

et

e

e

t

t

t

000

!100

!2!10

000

0000

0000!2

000

0000

0000!1

000

0!1

00

00002

2

teA

55RA

70000

07000

00400

00140

00002

J

][ 21

teB

t

tt

e

tee4

44

20

B ][,][ 74

73

tt ee BB

teA

t

t

t

tt

t

t

e

e

e

tee

e

e

7

7

4

44

2

0000

0000

0000

000

0000

A

cDQx dt)(

Tnxxx ],,,[)0( 210 xx

01

0),( xQDQxx dt

TnCCC ],,,[ 21 c

001 cxQ

T, ]0,21[)0( 0 xx

311

151

113

A

)6)(3)(2()()( mk

.]1,2,1[)6(,]1,1,1[)3(,]1,0,1[)2( TTT vvv

),6,3,2( diagJ

9

az alaprendszer diagonálmátrixa:

A transzformáció mátrixa, mivel a mátrix rendjével azonos számú lineárisan független sajátvektor van,

modálmátrix: , (a sajátértékekhez tartozó sajátvektorok a Q mátrix 1., 2., 3.

oszlopát alkotják);

a modálmátrix inverze:

Az A mátrixszal adott differenciálegyenlet-rendszer általános megoldása, ha :

.2)(6

33

22

1

63

32

63

32

21

ttt

tt

ttt

dá

eCeCeC

eCeC

eCeCeC

t cQDx

A kezdeti feltételt kielégítő megoldáshoz kiszámítjuk oszlopvektort:

, tehát ,

és így már felírható a homogén differenciálegyenlet-rendszer kezdeti feltételt kielégítő megoldása:

.

A kezdeti feltételt kielégítő megoldást közvetlenül a (3) formulával is kiszámíthatjuk:

.

Transzformációs mátrix előállítása, ha eggyel kevesebb a sajátvektorok

száma

Az együtthatók A mátrixa, valamint karakterisztikus és minimál polinomja:

248

100

010

A , )()2)(2()( 2 mk ;

Sajátvektorok:

].4,2,1[)2(],4,2,1[)2( 21 vv

A 3. vektort a Transzformáció mátrixának kiszámítása c. fejezet 2. Példája szerint képezzük.

A harmadik ismeretlen koordinátájú vektor: ],,[ 3213 xxxv ,

t

t

t

tttd

e

e

e

eeediag6

3

2

632

00

00

00

),,(D

111

210

111

Q 6,3,2

.

6

1

3

1

6

13

1

3

1

3

12

10

2

1

1

Q

TCCC ],,[ 321c

0c

2

112

1

01

0 xQc2

1,1,

2

1321 CCC

ttt

tt

ttt

eee

ee

eee

t632

63

632

0

2

1

2

1

2

1

2

1

),( xx

ttt

tt

ttt

d

eee

ee

eee

tx

tx

tx

t632

63

632

01

3

2

1

0

2

1

2

1

2

1

2

1

)(

)(

)(

),( xQQDxx

10

Az A mátrix Jordan alakja és a feltételezett T mátrix:

200

120

002

J ;

3

2

1

44

22

11

x

x

x

T .

A 3v koordinátáinak kiszámítása: ,,1

TJATJATT 0TJAT ;

,

44800

2200

1200

21

32

21

0TJAT

xx

xx

xx

448

22

12

21

32

21

xx

xx

xx

,

44

12

p

p

p

x ,

044

122

111

és 0]1,-[1,akkor ,1Ha 3 Tvp , .

1044

311

4

111

4

11

T

Jordan alak és a eD alapmátrix : JATT

200

120

0021 ;

t

tt

t

e

e

tee

e

2

22

2

00

0

00

D

Az ]3,2,1[0 x kezdeti feltételt kielégítő megoldásvektor:

ttt

ttt

ttt

e

etee

etee

etee

tz

ty

tx

222

222

222

01

4

93

4

138

3

2

3

8

1316

3

4

3

16

13

)(

)(

)(

xTTD .

Megoldás nem szabályosan felírt Jordan mátrix alkalmazásával

Az állandó együtthatójú lineáris differenciálegyenlet-rendszer megoldása azonosan előállítható akkor is,

ha az együtthatómátrixhoz tartozó Jordan-féle normálalak blokkjait tetszőleges sorrendben vesszük fel és a

transzformációmátrix oszlopvektorait a blokkok sorrendje szerint rendezzük.

Passzítás szabálya. Az állandó együtthatójú lineáris differenciálegyenlet-rendszer megoldása akkor

sem változik, ha a Jordan-féle J normálalak blokkjainak tetszőleges sorrendjéhez passzítjuk a transzformáció T

mátrixában az oszlopvektorok, ill. a sajátvektorok és az ismeretlen oszlopvektor(ok) sorrendjét, valamint

egyszeres sajátértékek esetén az alaprendszer diagonálmátrixában, ill. többszörös gyökök esetén az

exponenciális mátrixfüggvény normál mátrixában fellépő blokkok sorrendjét.

Közelítő megoldás, ha a gyöktényezők nem lineárisak

1. Definíció. Azt a mátrixot, amelyet egy A mátrixból bármely elemének mk 10 ( 9191 m,k )

nagyságú megváltoztatásával kapunk mankómátrixnak nevezzük.

2. Definíció. Azt az egységmátrixot közelítő mátrixot, amelyben a főátló 1-hez közeli elemein kívül 0-hoz közeli

elemek is vannak, szemetes egységmátrixnak mondjuk.

Példa. Az eljárást a ,

dD

eD

)()()(

)(4)(3)(2

)(3)(2)(

tztytxdt

dz

tztytxdt

dy

tztytxdt

dx

1

0

1

)0( 0xx

11

homogén lineáris differenciálegyenlet-rendszer adott kezdeti feltételt kielégítő megoldásával szemléltetjük.

A rendszer mátrixa: ,

karakterisztikus- és minimálegyenlete azonos: , azaz a egyszeres, a

pedig kétszeres gyök. Így az A mátrixnak csak két lineárisan független sajátvektora van:

és ,

tehát modálmátrix nem hozható létre.

Kísérletezéssel az A mátrix egy vagy több elemét zérushoz közeli értékkel (pl. )109 8 megváltoztatva

elérhető, hogy a karakterisztikus egyenletnek, és így a minimálegyenletnek is egyszeres gyökei legyenek. Az így

előállított mátrixhoz a rendjével azonos számú lineárisan független sajátvektort kaphatunk.

Például az A mátrix helyett tekintsük az

811 109det,

111

4323200000009,1

AA

mankómátrixot (közelítő mátrixot). A számítások elvégzése után, a karakterisztikus egyenletnek és a minimál-

egyenletnek gyöktényezős alakját előállítva látjuk, hogy csak egyszeres gyököket tartalmaznak.

Az mátrix

000000000,1,00002999550,0,0000300045,0 321

sajátértékeihez tartozó sajátvektorok:

.

Az 1A mankómátrix Q modálmátrixának oszlopait rendre a sajátértékekhez tartozó (lineárisan

független) sajátvektorok koordinátái alkotják:

,

00000011det ,Q

Az alaprendszer diagonálmátrixa: ),,( 000000000,10002999550,0000300045,0 tttd eeediag D .

A mankómátrix Q modálmátrixának 10 jegyre kerekített közelítő inverzmátrixát jelölje : 1Q~

, azaz.

9999990000,04999998000,008941041062,08943725391,08943726200,0

120269,3728002672,3727003009,3727~ 11QQ .

A kezdeti feltételt kielégítő közelítő partikuláris megoldás függvényvektora:

01

0~

)()()(

),( xQDQxx dtztytx

t

,

ahol helyébe a kiszámított sajátértékeket kell helyettesíteni.

Számítsuk ki a mamkómátrix modálmátrixának és az inverzét közelítő 1~ Q mátrix szorzatát 9 tizedes

jegyre pontosan, és vizsgáljuk meg az egységmátrixtól való eltérését. A főátlón kívüli elemekből a megoldás

pontosságára nyerhetünk információt. A szorzatként előálló

000000820,110999996400,8000000000,0

000001639,09999997805,0000000000,0

000001000,010000,4000000000,1~

8

7

1QQ

szemetes egységmátrixban a főátlón kívüli elemek közül abszolút értékben a legnagyobb a –0,000001639 elem,

melynek normál alakja: 6106391 , . A normálalakból – miként azt a következő pontban bemutatjuk – arra

111

432

321

A ,0det A

0)1()()( 2 mk 11 02

T]0,1,1[1 vT]1,2,1[2 v

1A

321 ,,

321 ,,

7 3 2 1

10 80 , 1

000000361 , 2

000000000 , 2

,

503367 , 1863

006735 , 3727

944400 , 1862

,

4471867570 , 0

8943735141 , 0

4473209331 , 0

v v v

7 10 80 , 1 503367 , 1863 4471867570 , 0

000000361 , 2 006735 , 3727 8943735141 , 0

000000000 , 2 944400 , 1862 4473209331 , 0

Q

t t t

t t t

t t t

e e e

e e e

e e e

3 2 1

3 2 1

3 2 1

799998200 , 1 832401 , 3332 832402 , 3333

999998361 , 1 664804 , 6665 664804 , 6667

999998000 , 1 832702 , 3331 832701 , 3334

12

következtethetünk, hogy a megoldás legalább 6 értékes jegyre jó közelítést ad (figyelem ! a pontosság nem

) (l. a következő fejezetet).

A közelítő megoldás hibabecslése

1. A dolgozatban ii

xmaxx egyenlőséggel értelmezett vektornormát használjuk (a koordináták közül

abszolút értékben a legnagyobb szám a vektor normája).

2. A dolgozatban

j

iji

amaxA egyenlőséggel értelmezett mátrixnormát használjuk (az elemek abszolút

értékeit soronként összeadjuk és ezek közül a legnagyobb szám a mátrix normája).

Képezzünk A-hoz egy 1A -gyel jelölt mankómátrixot. Jelöljük az 1A modálmátrixát kQ -val, a modálmátrix

közelítő inverzmátrixát 1~kQ -gyel, az alapmátrixát kD -val. Ekkor a közelítő megoldásvektor:

01

0~

),( xQDQxx kkkk t . (***)

A (**) pontos és a (***) közelítő megoldásvektorok különbsége:

01

01

01

01

00 )~

(~

),(),( xQDQxTDTxQDQxTDTxxxx kkkkkkk tt (3)

0t behelyettesítéssel D is,

is egységmátrixot állít elő, azaz

.)~

()~

(~~

),(),( 01

011

01

01

01

01

00 xQQEExQQTTxQEQxTETxQDQxTDTxxxx kkkkkkkkkk tt

A transzformáció T mátrixa, a pontosan számított 1T inverzével szorozva, pontosan az E egységmátrixot

állítja elő, de a 1~ kkQQ nem pontos egységmátrix, hanem szemetes egységmátrix, amelyben, az 1A

mankómátrix -nal megváltoztatott eleme által bekövetkező kerekítési hibahalmozódás következtében, a

főátlón kívül 0-hoz, és a főátlóban 1-hez közeli elemek is megjelennek.

Mivel ,)~

(),(),( 01

00 xQQExxxx kkk tt

ezért a közelítő megoldásvektor koordinátáinak hibája az 0QQE 1~kk mátrix normájával becsülhető.

Ha n

kkn 10

~10 1)1( QQE

akkor a mankómátrix felhasználásával számított közelítő megoldásvektor koordinátái n-edik jegyig bezárólag

pontosak (az egész jegyeket is figyelembe kell venni).

Irodalomjegyzék Könyvek [K. … .]

1. Fagyajev, D. K.–Fagyajeva, V. N.: Numerische Methoden der linearen Algebra. VEB Deutscher Verlag der

Wissenschaften, Berlin, 1965., 1966.

2. Gantmacher, F. R.:Matrizenrechnung. I. és II. kötet. VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin, 1965., 1966.

3. Glazman, I. M.–Ljubics, Ju. I.: Konecsnomernyj linejnyj analiz. NAUKA” Fiz.-Mat. Lit. Moszkva, 1969.

4. Ince, E. L.: Ordinary Differential Equations. Dover Publications, New York, 1944.

5. Obádovics J. Gyula: Lineáris algebra példákkal. SCOLAR Kiadó, Budapest, 2001.

6. Obádovics J. Gyula: Mátrixok és differenciálegyenlet-rendszerek. SCOLAR Kiadó, Budapest, 2005.

7. Rózsa Pál: Lineáris algebra és alkalmazásai. 2. kiadás. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1976.

Dolgozatok [D. … .] 1. Bickley, W. G.–McNamee, J.: Matrix and Other Direct Methods for the Solution of Systems of Linear Difference Equa-

tions. Phil. Trans. of the Roy. Soc., London 252 A (1959–60) 69–130 oldal

2. Eberly, W.: Asymptotically Efficient Algorithms for the Frobenius Form. (Preprint). Department of Computer Science

University of Calgary, 2000. máj 1.

3. Egerváry J.: Mátrix-függvények kanonikus előállításáról és annak néhány alkalmazásáról. MTA III. Osztályának

közleményei 3 (1953) 417–458 oldal.

4. Egerváry J.: Über eine konstruktive Methode zur Reduktion einer Matrix auf Jordansche Normalform. Acta

Mathematica Academiae Scientiarium Hungaricae 10 (1959) 31–54 oldal.

5. Giesbrecht, M.– Storjohann, A.: Computing Rational Forms of Integer Matrices, J. Symb. Comput. 34 (2002), 157-

172.

6. Gil, I.: Computation of the Jordan canonical form of a square matrix (Using the Axiom Programming Language). In

Proc. ISSAC’92, 138-145 oldal, Berkeley, USA, 1992.

6101

kD