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Simulación en seguros y finanzasMtro. Víctor Hugo Ibarra Mercado
Simulación Seguros y Finanzas | Profesor Víctor Hugo Ibarra Mercado
LA NORMAL Y EL MOVIMIENTOBROWNIANO
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Lista las aplicacioneso situaciones en donde se
utilice esta distribución
¿Por qué es importante la distribución normal?
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dxe
zz x
2
)(2/2
¿Recuerdas?
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• Entre otras, la función anterior tiene las propiedadessiguientes:
Continua Estrictamentecreciente
¡Esto significa que cumple con las hipótesis del teoremade la transformada inversa!
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dxe
zUz x
2
)(2/2
• ¡¡¡Así, que, “bastaría” con igualar la función a U, unav. a. uniforme (0,1), y despejar, para simular unanormal estándar !!!
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¿Despejar z entérminos de U?
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¡¡¡NO PUEDO!!!
¿¿¿Qué hago???
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En este momento toma un recesoy lee el método de Box Müller y elmétodo polar para generar valores
de v.a. con distribuciónnormal(0,1).
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1STOP
1
También, el método de las 12 uniformes, pregunta a tu profesor.
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Referencias
• Box, G. E. P y Muller, M. E. (1958). A note on thegeneration of random normal deviates en AnnalsMath. Statist. V. 29, pp. 610-611
• http://www.taygeta.com/random/gaussian.html
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Para aprender más, un ejercicio que se tesugiere hacer, es generar valores con losmétodos: Box-Müller, polar, enfoque 12uniformes y el propio del software queutiliza y clasificarlos de mejor a peor, conbase en pruebas estadísticas, analizar susmomentos, y en general por un análisis desus estadísticas descriptivas, entre otraspruebas.
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Y si quiero una normalcon media b y varianza c
¿Qué hago?
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c
Recordando que siZ~normal(0,1), entonces
a + Z ~ normal(a, c)
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Y el movimientobrowniano, ¿cuándo? Y
¿para qué?
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• Recuerda que en Finanzas, prácticamente en todaslas dinámicas que modelan los diversos activosfinancieros, de una u otra forma hace su aparición elmovimiento browniano o el proceso de Wiener.
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Segundo alto, tómate un momentopara recordar las características delproceso estocástico denominadomovimiento browniano. Puedesconsultar tus notas, o el texto deThomas Mikosch, (1998) ElementaryStochastic Calculus with finance inview. World Scientific.
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2STOP
2
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• Ahora que ya revisaste las características delmovimiento browniano, Bt, sabes que,
Bt ~ normal(0,t)y
Bt+h - Bt ~ normal(0,h)
¿Y?
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t
Si Z~normal (0,1), entonces por medio deZ ~ normal(0,t)
se obtiene la simulación de unmovimiento browniano
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Además, comoBt+h – Bt ~ normal(0,h),
entonces, si nos detenemos en el instante t,podemos simularBt+h = Bt + Zh
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Detente y descarga la hoja de Excel, paraque observes la simulación de unmovimiento browniano. Revisa cómo seprogramó la simulación de las normales,y las fórmulas que se utilizaron paragenerar las trayectorias.
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3STOP
3
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• Gracias por regresar, ahora laactividad que vas a realizar, es lo quese denomina tiempo de primerapasada. Por ejemplo, simplificando, siuna compañía inicia con cierto capitalK, y sus reservas caen por debajo decierto nivel m, se está interesado ensaber el instante en que ocurre estopor primera vez.
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h
ActividadSupón que Bt es un movimiento browniano, que B0 = 0.
Toma h=0.2, aproxima el tiempo, t, en que Bt > 2, y eltiempo en que Bt < -3.
¿Cuánto tiempo debe pasar para rebasar la barrera del 2 porprimera vez, y cuánto tiempo para rebasar la de -3, también por
primera vez?
Recuerda que puedes simular mediante
Bt+h=Bt + Z, con
Z~normal(0,1)
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Y, todo esto¿para qué?
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• Esto será muy importante, pues si sabemos simularun movimiento browniano, con relativa facilidad,podremos simular las trayectorias de precios deactivos y así valuar derivados financieros.
