MỤC LỤC - · PDF fileii LỜI NÓI ĐẦU Lý thuyết điều khiển tự động là môn học dành cho sinh viên ngành Điện tử - Tự động. Giáo trình Lý thuyết

i

MỤC LỤC

Lời nói đầu

Chƣơng 1: ĐẠI CƢƠNG VỀ HỆ THỐNG TỰ ĐỘNG .................................................................. 3

Chƣơng 2: MÔ TẢ TOÁN HỌC PHẦN TỬ VÀ HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN ............................ 12

Chƣơng 3: ĐẶC TÍNH ĐỘNG HỌC CỦA HỆ THỐNG ............................................................ 55

Chƣơng 4: KHẢO SÁT TÍNH ỔN ĐỊNH HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN ...................................... 71

Chƣơng 5: ĐÁNH GIÁ CHẤT LƢỢNG HỆ THỐNG ............................................................... 93

Chƣơng 6: THIẾT KẾ HỆ THỐNG LIÊN TỤC ........................................................................ 104

Chƣơng 7: MÔ TẢ TOÁN HỌC HỆ THỐNG RỜI RẠC ......................................................... 144

Chƣơng 8: THIẾT KẾ HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC .................................................. 171

Chƣơng 9: HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN PHI TUYẾN ................................................................ 206

Phụ lục Bảng biến đổi Laplace .................................................................................................. 224

ii

LỜI NÓI ĐẦU

Lý thuyết điều khiển tự động là môn học dành cho sinh viên ngành Điện tử - Tự

động. Giáo trình Lý thuyết điều khiển tự động gồm có chín chƣơng:

Chƣơng 1: Đại cƣơng về hệ thống điều khiển tự động

Chƣơng 2: Mô tả toán học phần tử và hệ thống điều khiển

Chƣơng 3: Đặc tính động học của hệ thống tự động

Chƣơng 4: Khảo sát tính ổn định của hệ thống tự động

Chƣơng 5: Đánh giá chất lƣợng hệ thống điều khiển tự động

Chƣơng 6: Thiết kế hệ thống điều khiển liên tục

Chƣơng 7: Mô tả toán học hệ thống rời rạc

Chƣơng 8: Thiết kế hệ thống điều khiển rời rạc

Chƣơng 9: Hệ thống điều khiển phi tuyến

Đây là những nội dung tóm tắt giúp sinh viên tiếp thu đƣợc môn học một cách nhanh

chóng. Lần đầu biên soạn chắc chắn còn nhiều thiếu sót, mong nhận đƣợc sự những ý

kiến đóng góp của các bạn đồng nghiệp.

Bộ môn Điều khiển tự động

Ths. Trần Thị Hoàng Oanh

Chương 1: Đại cương về hệ thống tự động

3

Chƣơng 1

ĐẠI CƢƠNG VỀ

HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG

1.1. KHÁI NIỆM ĐIỀU KHIỂN

Thí dụ 1: Lái xe với tốc độ 100km/h

- Mắt quan sát đồng hồ đo tốc độ v thu thập thông tin

- Bộ não điều khiển tăng tốc nếu v < 100km/h

giảm tốc nêu v > 100km/h

xử lý thông tin

- Tay giảm ga hoặc tăng ga tác động lên hệ thống

Kết quả của quá trình điểu khiển trên: xe chạy với tốc độ “gần” bằng 100km/h

Định nghĩa: Điều khiển là quá trình thu thập thông tin, xử lý thông tin và tác

động lên hệ thống để đáp ứng của hệ thống “gần” với mục đích định trƣớc.

Khái niệm điều khiển trên là một khái niệm rất rộng, môn học này chỉ nghiên cứu lý

thuyết điều khiển các hệ thống kỹ thuật

Điều khiển tự động: là quá trình điều khiển không cần sự tác động của con

ngƣời

Tại sao cần phải điều khiển: vì

- Con ngƣời không thỏa mãn với đáp ứng của hệ thống.

TD: Điều hoà nhiệt độ vì không thỏa mãn với nhiệt độ nóng quá hoặc lạnh quá.

Ổn áp vì không thoả mãn với việc điện áp thay đổi thất thƣờng .

- Muốn tăng độ chính xác, hiệu quả kinh tế.

Các thành phần cơ bản của hệ thống điều khiển:

Hệ thống điều khiển gồm 3 thành phần cơ bản:

- Đối tƣợng điều khiển

- Cảm biến (hay thiết bị đo lƣờng)

- Bộ điều khiển

Sơ đồ khối hệ thống điều khiển thường gặp:


4

Các ký hiệu viết tắt:

- r(t) (reference input): tín hiệu vào, tín hiệu chuẩn.

- c(t) (controlled output): tín hiệu ra

- cht(t): tín hiệu hồi tiếp

- e(t) (error): sai số

- u(t): tín hiệu điều khiển

Câu hỏi: Các thành phần cơ bản trong hệ thống lái xe trong TD1 là gì?

Thí dụ 2: Hãy xác định các thành phần

cơ bản trong hệ thống điều khiển mực

nƣớc đơn giản trong hình vẽ

Các bài toán cơ bản trong lĩnh vực điều khiển tự động:

Trong lĩnh vực điều khiển tự động có 3 vấn đề cần giải quyết là:

Phân tích hệ thống: Cho hệ thống tự động đã biết cấu trúc và thông số. Bài toán đặt

ra là tìm đáp ứng của hệ thống và đánh giá chất lƣợng.

Thiết kế hệ thống: Biết cấu trúc và thông số của đối tƣợng điều khiển. Bài toán đặt

ra là thiết kế bộ điều khiển để đƣợc hệ thống thỏa mãn các yêu cầu về chất lƣợng.

Nhận dạng hệ thống: Chƣa biết cấu trúc và thông số của hệ thống. Vấn đề đặt ra là

xác định cấu trúc và thông số của hệ thống.

Trong môn học này chỉ giải quyết bài toán phân tích và thiết kế hệ thống. Bài toán

nhận dạng hệ thống sẽ đƣợc nghiên cứu trong môn học khác.

1.2. CÁC NGUYÊN TẮC ĐIỀU KHIỂN

Các nguyên tắc điều khiển có thể xem là kim chỉ nam để thiết kế hệ thống điều

khiển đạt chất lƣợng cao và có hiệu quả kinh tế nhất.

u(t) Bộ điều khiển Đối tƣợng

Cảm biến

r(t) c(t)

cht(t)

e(t)


5

Nguyên tắc 1: Nguyên tắc thông tin phản hồi

Muốn quá trình điều khiển đạt chất lƣợng cao, trong hệ thống phải tồn tại hai dòng

thông tin: 1 từ bộ điều khiển đến đối tƣợng và 1 từ đối tƣợng ngƣợc về bộ điều khiển

(dòng thông tin ngƣợc gọi là hồi tiếp).

Điều khiển không hồi tiếp (điều khiển vòng hở) không thề đạt chất lƣợng cao, nhất

là khi có nhiễu.

Các sơ đồ điều khiển dựa trên nguyên tắc thông tin phản hồi là:

Điều khiển bù nhiễu:

Điều khiển san bằng sai lệch:

Điều khiển phối hợp:

Nguyên tắc 2: Nguyên tắc đa dạng tƣơng xứng

Muốn quá trình điều khiển có chất lƣợng thì sự đa dạng của bộ điều khiển phải

tƣơng xứng với sự đa dạng của đối tƣợng. Tính đa dạng của bộ điều khiển thể hiện ở khả

năng thu thập thông tin, lƣu trữ thông tin, truyền tin, phân tích xử lý, chọn quyết định,…

Ý nghĩa: Cần thiết kế bộ điều khiển phù hợp với đối tƣợng.

Thí dụ: Hãy so sánh yêu cầu chất lƣợng điều khiển và bộ điều khiển sử dụng trong

các hệ thống sau:

Bộ điều khiển Đối tƣợng

r(t) u(t)

cht(t)

Cảm biến

e(t) c(t)

n(t)

+ -


r(t) u(t)

cht(t)

Cảm biến

e(t) c(t)

+ -


r(t) u(t)

c(t)

n(t)


6

- Điều khiển nhiệt độ bàn ủi (chấp nhận sai số lớn) và điều khiển nhiệt độ lò sấy

(không chấp nhận sai số lớn).

- Điều khiển mực nƣớc trong bồn chứa khách sạn (chỉ cần đảm bảo luôn có nƣớc

trong bồn) với điều khiển mực chất lỏng trong các dây chuyền sản xuất (mực chất lỏng

cần giữ không đổi).

Nguyên tắc 3: Nguyên tắc bổ sung ngoài

Một hệ thống luôn tồn tại và hoạt động môi trƣờng cụ thể và có tác động qua lại chặt

chẽ với môi trƣờng đó. Nguyên tắc bổ sung ngoài thừa nhận có một đối tƣợng chƣa biết

(hộp đen) tác động vào hệ thống và ta phải điều khiển cả hệ thống lẫn hộp đen.

Ý nghĩa: Khi thiết kế hệ thống tự động, muốn hệ thống có chất lƣợng cao thì không

thể bỏ qua nhiễu.

Nguyên tắc 4: Nguyên tắc dự trữ

Vì nguyên tắc 3 luôn coi thông tin chƣa đầy đủ phải đề phòng các bất trắc xảy ra và

không đƣợc dùng toàn bộ lực lƣợng trong điều kiện bình thƣờng. Vốn dự trữ không sử

dụng, nhƣng cần để đảm bảo cho hệ thống vận hành an toàn.

Nguyên tắc 5: Nguyên tắc phân cấp

Đối với một hệ thống điều khiển phức tạp cần xây dựng nhiều lớp điều khiển bổ

sung cho trung tâm. Cấu trúc phân cấp thƣờng sử dụng là cấu trúc hình cây

Thí dụ:

- Hệ thống điều khiển giao thông đô thị hiện đại

- Hệ thống điều khiển dây chuyền sản xuất

Nguyên tắc 6: Nguyên tắc cân bằng nội

Mỗi hệ thống cần xây dựng cơ chế cân bằng nội để có khả năng tự giải quyết

những biến động xảy ra.

1.3. PHÂN LOẠI HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN

Sự phân loại các hệ thống điều khiển chỉ mang tính qui ƣớc, có nhiều cách phân loại

khác nhau


7

Phân loại theo đặc điểm của hệ thống:

Hệ thống liên tục: tín hiệu vào, tín hiệu ra và tất cả tín hiệu trung gian truyền bên

trong hệ thống là tín hiệu liên tục. Hệ thống liên tục đƣợc mô tả bằng phƣơng trình vi

phân.

Hệ thống rời rạc: trong hệ thống có một điểm nào đó mà tín hiệu là rời rạc. Hệ

thống rời rạc đƣợc mô tả bằng phƣơng trình sai phân.

Hệ thống tuyến tính: hệ thống đƣợc mô tả bởi phƣơng trình vi phân / sai phân

tuyến tính.

Hệ thống phi tuyến: hệ thống đƣợc mô tả bởi phƣơng trình vi phân / sai phân phi

tuyến.

Hệ thống một ngõ vào – một ngõ ra SISO (Single Input – Single Output)

Hệ thống nhiều ngõ vào – nhiều ngõ ra MIMO (Multi Input – Multi Output)

Hệ thống bất biến theo thời gian: hệ số của phƣơng trình vi phân / sai phân mô

tả hệ thống không đổi

Hệ thống biến đổi theo thời gian: hệ số của phƣơng trình vi phân / sai phân mô

tả hệ thống thay đổi theo thời gian.

Trong môn học này chỉ tập trung nghiên cứu hệ thống tự động liên tục/ rời rạc, một

ngõ vào – một ngõ ra, tuyến tính, bất biến theo thời gian

Phân loại theo chiến lược điều khiển:

Mục tiêu điều khiển thƣờng gặp nhất là sai số giữa tín hiệu ra và tín hiệu vào chuẩn

càng nhỏ càng tốt. Tuỳ theo dạng tín hiệu vào mà ta có các loại điều khiển sau:

Điều khiển ổn định hoá:

Nếu tín hiệu chuẩn r(t) = hằng số, ta gọi là điều khiển ổn định hoá.

Điều khiển theo chƣơng trình:

Tín hiệu vào r(t) là hàm thay đổi theo thời gian nhƣng đã biết trƣớc.

Điều khiển theo dõi:

Tín hiệu vào r(t) là hàm không biết trƣớc theo thời gian.

Lịch sử phát triển lý thuyết điều khiển:

Điều khiển kinh điển: mô tả toán học dùng để phân tích và thiết kế hệ thống là

hàm truyền.

- Quỹ đạo nghiệm số

- Biểu đồ Nyquist, biểu đồ Bode

- Điều khiển PID (Proportional – Integral – Derivative)


8

Đặc điểm:

- Chỉ áp dụng đối với hệ tuyến tính bất biến một ngõ vào một ngõ ra

- Kỹ thuật thiết kế trong miền tần số

Điều khiển hiện đại: mô tả toán học dùng để phân tích và thiết kế hệ thống là hệ

phƣơng trình biến trạng thái.

- Điều khiển tối ƣu

- Lọc Kalman (ƣớc lƣợng trạng thái tối ƣu)

- Điều khiển thích nghi

- Điều khiển phi tuyến

- Điều khiển bền vững

Đặc điểm:

- Áp dụng đƣợc với hệ thống nhiều ngõ vào, nhiều ngõ ra, hệ thống biến đổi theo

thời gian.

- Kỹ thuật trong miền thời gian.

Điều khiển thông minh: về nguyên tắc không cần dùng mô hình toán học để thiết

kế hệ thống.

- Điều khiển dùng logic mờ

- Điều khiển dùng mạng nơron

- Điều khiển dùng thuật toán di truyền

- …

- Mô phỏng/bắt chƣớc các hệ thống thông minh sinh học.

- Thiết kế dựa vào kinh nghiệm (ĐK dùng logic mờ), thông số bộ điều khiển thay

đổi thông qua quá trình học (ĐK dùng mạng nơron),…

1.4. MỘT SỐ THÍ DỤ VỀ CÁC HỆ THỐNG TỰ ĐỘNG

Để hiểu đƣợc tƣờng tận và có thể thiết kế đƣợc các hệ thống điều khiển tự động,

ngoài lý thuyết điều khiển tự động, cần phải có kiến thức liên quan đến một số môn học

khác. Vì vậy, với mục đích cung cấp cho sinh viên cái nhìn tổng quan về hệ thống tự

động, các thí dụ dƣới đây chỉ trình bày sơ đồ khối.

1.4.1. Điều khiển nhiệt độ

- Nhiệt độ là đại lƣợng tham gia vào nhiều quá trình công nghệ sản xuất xi măng, gạch

men, nhựa, cao su, hoá dầu, thực phẩm,…


9

- Mục tiêu điều khiển thƣờng gặp là giữ cho nhiệt độ ổn định (điều khiển ổn định hóa)

hay điều khiển nhiệt độ thay đổi theo đặc tính thời gian định trƣớc (điều khiển theo

chƣơng trình)

Thí dụ 1: Hệ thống điều khiển ổn định nhiệt độ

Thí dụ 2: Hệ thống điều khiển nhiệt độ theo chƣơng trình

1.4.2. Điều khiển động cơ:

- Động cơ là thiết bị truyền động đƣợc sử dụng rất phổ biến trong máy móc, dây

chuyền sản xuất.

- Có 3 bài toán điều khiển động cơ thƣờng gặp:

Điều khiển tốc độ

Điều khiển vị trí

Điều khiển moment


10

Thí dụ: Hệ thống điều khiển tốc độ động cơ DC

1.4.3. Hệ thống điều khiển mực chất lỏng:

1.4.4. Hệ thống điều khiển máy công cụ bằng máy tính:


11

Chương 2: Mô tả toán học

12

CChhưươơnngg 22

MMÔÔ TTẢẢ TTOOÁÁNN HHỌỌCC

PPHHẦẦNN TTỬỬ&& HHỆỆ TTHHỐỐNNGG ĐĐIIỀỀUU KKHHIIỂỂNN LLIIÊÊNN TTỤỤCC

Đối tƣợng điều khiển rất đa dạng và có bản chất vật lý khác nhau, nhƣ động cơ, lò

nhiệt, máy bay, phản ứng hoá học… cần có cơ sở để phân tích, thiết kế các hệ thống

điều khiển có bản chất vật lý khác nhau. Cơ sở đó chính là toán học.

Có 2 phƣơng pháp để mô tả toán học hệ thống tự động đó là phương pháp hàm

truyền đạt và phương pháp biến trạng thái.

2.1. PHƢƠNG PHÁP HÀM TRUYỀN ĐẠT

2.1.1. PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE

Định nghĩa:

Cho hàm f(t) là hàm xác định với mọi t 0 , biến đổi Laplace của f(t) là:

0

).()()]([ dtetfsFtf stL

Trong đó:

s: biến phức (biến Laplace) js

: phần thực

: phần ảo

L : toán tử Laplace

F(s): biến đổi Laplace của hàm f(t)

Biến đổi Laplace tồn tại khi tích phân ở biểu thức định nghĩa trên hội tụ.

Biến đổi Laplace dùng để chuyển phƣơng trình vi phân → phƣơng trình đại số với

biến s.

Tính chất của phép biến đổi Laplace:

a. Tính tuyến tính:

Cho f1(t) và f2(t)là hai hàm theo thời gian. Giả sử:

)()]([ 11 sFtf L

)()]([ 22 sFtf L

Thì )()()]()([ 2121 sbFsaFtbftaf L

b. Định lý chậm trễ:


13

Nếu f(t) đƣợc làm trễ một khoảng thời gian T, ta có hàm f(t-T). Khi đó:

)(.)]([)([ sFetfeTtf sTsT LL

c. Ảnh của đạo hàm:

Nếu hàm f(t) có biến đổi Laplace là )()]([ sFtf L thì:

)0()()(

fssF

dt

tdfL

Trong đó )0( f gọi là điều kiện đầu. Nếu )0( f = 0 thì:

)()(

ssFdt

tdf

L

d. Ảnh của tích phân:

Nếu hàm f(t) có biến đổi Laplace là )()]([ sFtf L thì:

s

sFdttf

)()(

0

L

e. Định lý giá trị cuối:

Cho hàm f(t) có biến đổi Laplace là )()]([ sFtf L thì:

Thì )(lim)(lim0

ssFtfst

Biến đổi Laplace của một số hàm cơ bản:

a. Hàm bậc thang đơn vị: (hàm nấc đơn vị)

00

01)(

t

ttu

Ta có :

0

).()( dtetutu stL (theo định nghĩa)

0

.dte st (do biểu thức của u(t))

s

e

s

e

s

e sst 0

0

u(t)

1


14

s

tu1

)( L

b. Hàm dirac: (hàm xung đơn vị)

1).(

0

00)(

dtt

t

tt

Ta có:

0

).()( dtett stL (theo định nghĩa)

=

0

0

).( dtet st

1).(

0

0

0

dtet

Vậy 1)( tL

c. Hàm dốc đơn vị: (RAMP)

00

0)(.)(

t

tttuttr

Cách 1: dùng định nghĩa

2

0

2

00

1.

.).()(

ss

e

s

et

dtetdtetftf

stst

stst

L

Vậy: 2

1)(.

stut L

Cách 2: dùng tính chất ảnh của tích phân

Ta có:

0

)()(.)( dttututtr

Mặt khác: s

tu1

)( L

Nên theo tính chất của tích phân ta có:

f(t)

1

1

t

(t)


15

2

0

1)()()(

ss

tudttutr

t

L

LL

Dùng tính chất ảnh của tích phân có thể dễ dàng chứng minh đƣợc:

1

!)(

n

n

s

ntutL

d. Hàm mũ:

00

0)(.)(

t

tetuetf

at

at

Ta có:

0

..)(. dteetue statatL ( theo định nghĩa)

asas

edte

tas

tas

1

.

0

)(

0

)(

Vậy: as

tue at

1

)(.L

e. Hàm sin:

00

0sin)().(sin)(

t

tttuttf

Áp dụng công thức Euler:

j

eet

tjtj

2sin

Ta có:

0

22

11

2

1..

2)()(sin

sjsjsjdte

j

teetut st

jtj

L

Vậy: 22

)()(sin

stutL

2.1.2. HÀM TRUYỀN ĐẠT

f(t)

1

t

f(t)

1

t


16

Định nghĩa:

Quan hệ ngõ vào – ngõ ra của mọi hệ thống tuyến tính liên tục đều có thể mô tả bởi

phƣơng trình vi phân:

)()(

...)()(

)()(

...)()(

111

1

10

11

1

10

trbdt

tdrb

dt

trdb

dt

trdb

tcadt

tdca

dt

tcda

dt

tcda

mmm

m

m

m

nnn

n

n

n

(2.1)

nm, n gọi là bậc của hệ thống

Nhận xét: Khảo sát hệ thống dựa vào phƣơng trình vi phân (2.1) rất là khó

khăn. Một thí dụ đơn giản là giả sử ta biết tất cả các thông số của hệ thống và biết

tín hiệu vào, muốn tìm đáp ứng của hệ thống ta phải giải phƣơng trình vi phân cấp

n, một công việc không dễ dàng chút nào.

Cần một biểu diễn toán học khác giúp cho việc nghiên cứu hệ thống tự động dễ

dàng hơn. Nhờ phép biến đổi Laplace, ta có thể thực hiện đƣợc điều này.

Giả sử điều kiện đầu bằng 0, để ý rằng:

- )()( sCtc L

- )()(

ssCdt

tdc

L ( tính chất ảnh của đạo hàm)

- )()()()( 2

22

2

sCsssCsdt

tdc

dt

d

dt

tcd

LL

…..

- )()(

sCsdt

tcd n

n

n

L

Đối với r(t) ta cũng có các biểu thức tƣơng tự

Biến đổi Laplace hai vế phƣơng trình (2.1) ta đƣợc:

)()(

...)()(

)()(

...)()(

111

1

10

11

1

10

trbdt

tdrb

dt

trdb

dt

trdb

tcadt

tdca

dt

tcda

dt

tcda

mmm

m

m

m

nnn

n

n

n

L

L

Áp dụng tính chất tuyến tính và nhận xét ở trên ta đƣợc:

)()(...)()(

)()(...)()(

1

1

10

1

1

10

sRbssRbsRsbsRsb

sCassCasCsasCsa

mm

mm

nn

nn

)(...

)(...

1

1

10

1

1

10

sRbsbsbsb

sCasasasa

mm

mm

nn

nn

Hệ thống tự động

Ngõ vào Ngõ ra

c(t) r(t)


17

Lập tỉ số: nn

n

n

mm

mm

asasasa

bsbsbsb

sR

sC

1

1

10

1

1

10

...

...

)(

)(

Đặt: nn

n

n

mm

mm

asasasa

bsbsbsb

sR

sCsG

1

1

10

1

1

10

...

...

)(

)()( (2.2)

G(s) gọi là hàm truyền (transfer function) của hệ thống.

Định nghĩa: Hàm truyền của một hệ thống là tỉ số giữa biến đổi Laplace của tín hiệu

ra và biến đổi Laplace của tín hiệu vào khi điều kiện đầu bằng 0.

Chú ý:

- Mặc dù hàm truyền đƣợc định nghĩa là tỉ số giữa biến đổi Laplace của tín hiệu ra

và biến đổi Laplace của tín hiệu vào nhƣng hàm truyền không phụ thuộc vào tín hiệu

ra và tín hiệu vào mà chỉ phụ thuộc vào cấu trúc và thông số của hệ thống (để ý vế

phải của biểu thức (2.2) chỉ phụ thuộc vào cấu trúc và thông số của hệ thống).

- Vì hàm truyền chỉ phụ thuộc vào cấu trúc và thông số của hệ thống nên rõ ràng ta

có thể dùng hàm truyền để mô tả hệ thống. Nói cách khác chỉ dựa vào hàm truyền ta có

thể đánh giá đƣợc đặc tính động của hệ thống.

- Việc nghiên cứu hệ thống tự động dựa vào hàm truyền (phân thức đại số, biểu thức

(2.2) dễ dàng hơn dựa vào phƣơng trình vi phân (2.1)

Hàm truyền đạt của các khâu hiệu chỉnh thụ động

a. Mạch tích phân bậc 1

Áp dụng công thức phân áp ta có:

)()(0 SVZR

ZsV i

C

C

Lập tỉ số và chú ý Cs

ZC

1 , ta đƣợc:

1

1

/1

/1

)(

)()( 0

RCsCsR

Cs

sV

sVsG

i

b. Mạch vi phân bậc 1


)()(0 SViZR

RsV

C

Lập tỉ số và chú ý Cs

ZC

1 , ta đƣợc:

1/1)(

)()( 0

RCs

RCs

CsR

R

sV

sVsG

i

c. Khâu hiệu chỉnh sớm pha

vi vo

C

R

vi vo

R

C


18


)()(2

20 SV

RZ

RsV i

2

2

)(

)()(

RZ

R

sVi

sVsG o

Mà: CsR

R

CsR

CsR

CsRZ1

1

1

1

1 1

1

)/1//(

CsRRRR

CsRR

CsRRR

CsRR

RCsR

R

RsG

1221

12

121

12

21

1

2 )1(

)1(

)1()(

1

1)(

21

12

1

21

2

sRR

CRR

CsR

RR

RsG

Đặt 21

2

RR

RKC

;

21

12

RR

CRRT

; )1(

2

21

R

RR

CRT 1

Thay vào biểu thức trên ta đƣợc:

1

1)(

Ts

TsKsG C

Khâu hiệu chỉnh trên có hàm truyền có dạng trên với >1 đƣợc gọi là khâu hiệu

chỉnh sớm pha.

d. Khâu hiệu chỉnh trễ pha


)()(1

0 SVZR

ZsV i

ZR

Z

sVi

sVsG o

1)(

)()(

Mà :

Cs

CsR

CsRZ

11 22

Nên:

vi vo R1

C

Z

vi vo R1

C

R2


19

1)(

1

1

1

1

1

)(21

2

21

2

21

2

CsRR

CsR

CsRCsR

CsR

Cs

CsRR

Cs

CsR

sG

Đặt: CRRT )( 21 ; )1(21

2

RR

R

CRT 2

Thay vào biểu thức trên, ta đƣợc:

1

1)(

Ts

TssG

Khâu hiệu chỉnh có hàm truyền trên hay có dạng tổng quát hơn là:

1

1)(

Ts

TsKsG C

Với 1 đƣợc gọi là khâu hiệu chỉnh trễ pha

Hàm truyền đạt của các khâu hiệu chỉnh tích cực

a. Khâu tỉ lệ P: (Proportional)

Dễ thấy:

1

2

)(

)()(

R

R

sVi

sVsG o

Đặt:

1

2

R

RK P

Ta đƣợc hàm truyền:

PKsG )(

Tại sao gọi là khâu tỉ lệ?

Ta có:

)()()()()(

)(tvKtvsVKsVK

sV

sViPoiPoP

i

o

Từ kết quả trên ta thấy tín hiệu ra tỉ lệ với tín hiệu vào, vì lý do đó mà khâu hiệu

chỉnh trên đƣợc gọi là khâu tỉ lệ.

b. Khâu tích phân tỉ lệ PI: (Proportional Integral)

vi vo

R1

-

+

R2


20

Ta có:

1

2

1

1

)(

)()(

R

CsR

R

Z

sVi

sVsG o

CsRR

RsG

11

2 1)(

Đặt: 1

2

R

RK P

CRK I

1

1


s

KKsG I

P )(

Tại sao gọi là khâu tích phân tỉ lệ?

Ta có: s

KKsG

sV

sV IP

i

)()(

)(0

s

sVKsVKsV i

IiPo

)()()(

t

iIiPo dttvKtVKtV0

)()()(

Từ kết quả trên ta thấy tín hiệu ra tỉ lệ với tín hiệu vào và tỉ lệ với tích phân của tín

hiệu vào, vì lý do đó mà khâu hiệu chỉnh trên đƣợc gọi là khâu tích phân tỉ lệ.

c. Khâu tích phân tỉ lệ PD: (Proportional Derivative)

Ta có:

Z

R

sVi

sVsG o 2

)(

)()(

11

1

1

1

1

1

CsR

R

CsR

CsR

Z

CsRR

R

R

CsRRsG 2

1

2

1

12 )1()(

Đặt: 1

2

R

RK P CRKD 2


sKKsG DP )(

Tại sao gọi là khâu vi phân tỉ lệ?

Ta có:

vi vo

R2

C

-

+

R1

Z

vi vo

R2 C

-

+

R1

Z


21

sKKsGsV

sVDP

i

)()(

)(0

)()()( ssVKsVKsV iDiPo

dt

tdvKtvKtv i

DiPo

)()()(

Từ kết quả trên ta thấy tín hiệu ra tỉ lệ với tín hiệu vào và tỉ lệ với vi phân của tín

hiệu vào, vì lý do đó mà khâu hiệu chỉnh trên đƣợc gọi là khâu vi phân tỉ lệ.

d. Khâu tích phân tỉ lệ PID: (Proportional Integral Derivative)

Ta có:

1

2

)(

)()(

Z

Z

sVi

sVsG o

- 11

1

1

1

1

1

1

CsR

R

CsR

CsR

Z

- sC

sCR

CsRZ

2

2222

11

sCR

sCRsCRsG

21

2211 )1)(1()(

sCRsCRCR

CRCRsG 12

2121

2211 1)(

Đặt: 2121

2211 1;

CRK

CR

CRCRK IP

12CRKD


sKs

KKsG D

IP )(

Ta có:

sKs

KKsG

sV

sVD

IP

i

)()(

)(0

)()(

)()( ssVKs

sViKsVKsV iDIiPo

vi vo

C1

-

+

R1

Z2 C2

Z1

R2


22

dt

tdvKdttviKtvKtv i

D

t

IiPo

)()()()(

0

Từ kết quả trên ta thấy tín hiệu ra tỉ lệ với tín hiệu vào, tỉ lệ với tích phân và vi

phân của tín hiệu vào, vì lý do đó mà khâu hiệu chỉnh trên đƣợc gọi là khâu vi tích phân

tỉ lệ.

Hàm truyền đạt của một số đối tƣợng điều khiển:

a. Động cơ DC

- Lư: điện cảm phần ứng

- Rư: điện trở phần ứng

- Uư: điện áp phần ứng

- Eư: sức phản điện động

- : tốc độ động cơ

- Mt: moment tải

- J: moment quán tính

Theo định luật Kirchoff ta có:

Uư(t) = i ư(t). Rư + Lưdt

di (t) + Eư(t) (1)

Trong đó: Eư(t) = K )(t (2)

K: hệ số : từ thông kích từ

Phƣơng trình cân bằng moment trên trục động cơ:

dt

tdJtBtMtM t

)()()()(

(3)

Trong đó:

KtM )( i ư(t) : moment của động cơ (4)

Biến đổi Laplace (1), (2), (3), (4) ta đƣợc:

Uư(s) = Iư(s). Rư + Lư s Iư(s) + Eư(s) (5)

Eư(s) = K )(s (6)


23

)()()()( sJssBsMsM t (7)

KsM )( I ư(s) (8)

Ta đặt: u

u

uR

LT là hằng số thời gian điện từ của động cơ

B

JTC là hằng số thời gian điện cơ của động cơ

Ta có thể viết lại (5) và (7) nhƣ sau:

(5) Uƣ(s) – Eƣ(s)= Rƣu(1+Tus)Iƣ(s)

Iƣ = )1(

)()(

sTR

sEsU

uu

uu

(5’)

(7) M(s) – Mt(s) = B(1+TCs) (s)

(s) = )1(

)()(

sTB

sMsM

C

t

(7’)

Từ (5’), (6), (7’), và (8) ta có thể biểu diễn động cơ DC bằng sơ đồ khối:

Hàm truyền của động cơ:

Hàm truyền động cơ:

.....)(

)(

sU

s

u

b. Lò nhiệt

Hàm truyền của lò nhiệt được xác định bằng phương pháp thực nghiệm

u

u

sT

R

1

/1

CsT

B

1

/1 K

K

Uƣ(s)

Eƣ(s)

Mt(s)

(s)

Công suất P

Lò nhiệt Nhiệt độ t

0


24

Cấp nhiệt tối đa cho lò (công suất vào P = 100%) nhiệt độ lò tăng dần. Sau một thời

gian nhiệt độ lò đạt đến giá trị bão hoà. Đặc tính theo thời gian có thể biểu diễn nhƣ hình

vẽ.

Đặc tính chính xác của lò nhiệt Đặc tính gần đúng của lò nhiệt

Ta xác định hàm truyền gần đúng của lò nhiệt dùng định nghĩa:

)(

)()(

sR

sCsG

Tín hiệu vào là nấc đơn vị ( P = 100%)

biến đổi Laplace của tín hiệu vào là: s

sR1

)(

Tín hiệu ra gần đúng (hình vẽ bên phải) chính là hàm:

)()( 1Ttftc

Trong đó: )1()( 2/TteKtf

Dễ dàng chứng minh đƣợc: )1(

)(2sTs

KsF

Nên áp dụng định lý chậm trễ ta đƣợc: )1(

)(2

1

sTs

KesC

T

Suy ra: sT

KesG

sT

21)(

1

2.3. SƠ ĐỒ KHỐI

T1 T2

t (sec)

0C

K

T1 T2

t (sec)

0C

K


25

2.3.1. Khái niệm sơ đồ khối

Sơ đồ khối của một hệ thống là hình vẽ mô tả chức năng của các phần tử và sự tác

động qua lại giữa các phần tử trong hệ thống.

Các thành phần của sơ đồ khối: 3 thành phần

Khối chức năng:

C(s) = R(s).G(s)

Tín hiệu ra của khối chức năng bằng tích tín hiệu vào và hàm truyền.

Điểm rẽ nhánh:

Tại điểm rẽ nhánh mọi tín hiệu đều bằng nhau

Bộ tổng:

Tín hiệu ra của bộ tổng bằng tổng đại số của các tín hiệu vào

Biến đổi tƣơng đƣơng sơ đồ khối: hai sơ đồ khối đƣợc gọi là tƣơng đƣơng nếu

hai sơ đồ khối đó có quan hệ giữa các tín hiệu vào và tín hiệu ra nhƣ nhau

2.3.2. Hàm truyền đạt của hệ thống biểu diễn bằng sơ đồ khối

a. Hệ thống nối tiếp:

Hàm truyền của hệ thống nối tiếp:

x x

-x

y

+ -

G(s) C(s) R(s)

x x-y

R(s)

G1(s) G2(s) Gn(s)

R1(s) C1(s)

R2(s) C2(s)

Rn(s) Cn(s)

C (s)


26

)()...().(...)(

)()().(

)().(

)().().(

)(

)().(

)().(

)().(

)(

)(

)(

)()(

21

3

21

22

2

1

2

1

11

1

1

sGsGsGsR

sCsGsG

sCsR

sCsCsG

sR

sCsG

sCsR

sCsC

sR

sC

sR

sCsG

n

n

nnnn

Vậy: n

i

i sGsG )()(

b. Hệ thống song song:

Hàm truyền của hệ thống song:

)(

)(...

)(

)(

)(

)(

)(

)(...)()(

)(

)()(

2

2

1

121

sR

sC

sR

sC

sR

sC

sR

sCsCsC

sR

sCsG

n

nn

Vậy:

n

i

i sGsG1

)()(

Chú ý: Trong công thức tổng là tổng đại số

c. Hệ hồi tiếp 1 vòng:

Hệ hồi tiếp âm:

Hàm truyền hệ thống hồi tiếp (hệ thống kín)

C (s) R(s)

G1(s)

G2(s)

Gn(s)

R1(s) C1(s)

R2(s) C2(s)

Rn(s) Cn(s)

R(s)

G (s)

H(s)

E(s) C(s)

+ -

Cht(s)


27

)(

)()(

sR

sCsGk

Ta có:

- C(s) = E(s).G(s)

- R(s) = E(s) + Cht(s) (do E(s)=R(s) - Cht(s))

= E(s) + C(s).H(s) (do Ch (s) = C(s).H(s))

= E(s) + E(s).G(s).H(s) (do C(s) = E(s).G(s))

Lập tỉ số giữa C(s) và R(s) ta đƣợc:

)().(1

)()(

sHsG

sGsGk

Hệ thống hồi tiếp âm đơn vị (H(s) = 1)

)(1

)()(

sG

sGsGk

Hệ hồi tiếp dƣơng: chứng minh tƣơng tự, dễ dàng suy ra:

)().(1

)()(

sHsG

sGsGk

d. Hệ hồi tiếp nhiều vòng:

- Đối với các hệ thống phức tạp gồm nhiều vòng hồi tiếp, ta thực hiện các phép

biến đổi sơ đồ khối để làm xuất hiện các dạng đơn giản (nối tiếp, song song, hồi

tiếp 1 vòng) và tính hàm truyền tƣơng đƣơng theo thứ tự từ trong ra ngoài.

Hai sơ đồ khối được gọi là tương đương nếu hai sơ đồ khối đó có quan hệ giữa

các tín hiệu vào và ra như nhau.

R(s)

G (s)

E(s) C(s)

+ -

Cht(s)

R(s)

G (s)

H(s)

E(s) C(s)

+ +

Cht(s)


28

- Các phép biến đổi sơ đồ khối thƣờng dùng là:

Chuyển điểm rẽ nhánh từ trước ra phía sau 1 khối:

x2 = x1

x3 = x1G

x3 = x1G

x2 = x3.(1/G) = x1G.(1/G) = x1

Chuyển điểm rẽ nhánh từ phía sau ra phía trước 1 khối:

x3 = x1G

x2 = x3 = x1G

x3 = x1G

x2 = x1G

Chuyển bộ tổng từ phía trước ra phía sau 1 khối:

x2 = ( x1 - x3).G x2 = x1G – x3G = (x1 – x3) G

Chuyển bộ tổng từ phía sau ra phía trước 1 khối:

G(s) +

-

G(s)

G(s)

x3

x2

+ -

G(s)

x1

x2

G(s)

G(s)

x3 x1

x2

G(s)

x1

x2

1/G(s)

G(s)

x3 x1

x2

x3

x3

x1

x1

x3

x2


29

x2 = x1.G - x3 x2 = [x1 – x3(1/G)].G = x1 G – x3

Chuyển vị trí hai bộ tổng:

x4 = ( x1 – x2) + x3 x4 = ( x1 + x3) – x2

Tách 1 tổng thành 2 bộ tổng:

x4 = x1 – x2 + x3 x4 = ( x1 – x2 ) + x3

Chú ý: Khi thực hiện phép biến đổi sơ đồ khối để tính hàm truyền tƣơng đƣơng của hệ

thống, sinh viên thƣờng mắc các sai sót sau:

Chuyển vị trí điểm rẽ nhánh và bộ tổng:

Chuyển vị trí hai bộ tổng khi giữa h.ai bộ tổng đó có điểm rẽ nhánh

2.3.3. Một số thí dụ tính hàm truyền tương đương của hệ thống:

Thí dụ 1: Tính hàm truyền tƣơng đƣơng của hệ thống có sơ đồ khối nhƣ sau:

x4 + + + +

x3

x2

x1

x3

x4

+ -

x2

+

x1

x2

x4

+

+ + +

x3 x3

x4

+ + -

x2

+

+ -

1/G(s)

G(s) G(s)

x3

x2

-

+

x1

x1

x3

x2

x1

x1


30

Giải: Biến đổi tƣơng đƣơng sơ đồ khối nhƣ sau:

- Chuyển vị trí hai bộ tổng và , GA(s)=[G3(s)//G4(s)]:

- GB(s)[G1(s)//hàm truyền đơn vị],

- GC(s) = vòng hồi tiếp [G2(s), GA(s)]:

Ta có:

- GA(s) = G3(s) – G4(s)

- GB(s) = 1+ G1(s)

- )]()().[(1

)(

)().(1

)()(

432

2

2

2

sGsGsG

sG

sGsG

sGsG

A

C

Hàm truyền tƣơng đƣơng của hệ thống:

)().()( sGsGsG CB

)]()().[(1

)()].(1[)(

432

21

sGsGsG

sGsGsGC



31

Giải: Biến đổi tƣơng đƣơng sơ đồ khối nhƣ sau:

- Chuyển vị trí hai bộ tổng và

Chuyển điểm rẽ nhánh ra sau G2(s)

- GB(s) = vòng hồi tiếp [G2(s), H2(s)]

GC(s) = [GA(s)// hàm truyền đơn vị]

- GD(s) = [GB(s) nối tiếp GC(s) nối tiếp G3(s)]

- GE(s) = vòng hồi tiếp [ GD(s). H3(s)]

Ta có:

- 2

11

G

HG

- 22

2

1 HG

GGB

- 2

12

2

111G

HG

G

HGG AC

- 22

1332

3

2

12

22

23

11..

HG

HGGGG

G

HG

HG

GGGGG CBD

-

3

22

1332

22

1332

3

11

1

1H

HG

HGGG

HG

HGGG

HG

GG

D

DE

31333222

1332

1 HHGHGGHG

HGGGGE


32

Vậy hàm truyền tƣơng đƣơng của hệ thống là:

E

E

GG

GGG

1

1

1

13333222

1332

1

31333222

1332

1

1.1

1.

HGHGHGHG

HGGGG

HHGHGGHG

HGGGG

13132131333222

131321

1 HGGGGGHHGHGGHG

HGGGGGG


Gợi ý: Biến đổi tƣơng đƣơng sơ đồ khối nhƣ sau:

- Chuyển bộ tổng ra trƣớc G1(s), sau đó đổi vị trí 2 bộ tổng và .

Chuyển điểm rẽ nhánh ra sau G2(s)

2.4. GRAPH TÍN HIỆU

Để biểu diễn hệ thống tự động, ngoài phƣơng pháp sử dụng sơ đồ khối, ta còn có

thể sử dụng phƣơng pháp graph tín hiệu. Hãy so sánh hai hình vẽ dƣới đây:

Định nghĩa:

Graph tín hiệu là một mạng gồm các nút và các nhánh.

- Nút: là một điểm biểu diễn một biến hay tín hiệu trong hệ thống.

C(s) R(s)

-H(s)

1 E(s) G(s) R(s)

G (s)

H(s)

E(s) C(s) +

-


33

- Nhánh: là đƣờng nối trực tiếp 2 nút, trên mỗi nhánh có ghi mũi tên chỉ chiều

truyền của tín hiệu và có ghi hàm truyền cho biết mối quan hệ giữa tín hiệu ở 2 nút.

- Nút nguồn: là nút chỉ có các nhánh hƣớng ra.

- Nút đích: là nhánh chỉ có các nhánh hƣớng vào.

- Nút hỗn hợp: là nút có cả nhánh ra và các nhánh vào.

Tại nút hỗn hợp, tất cả các tín hiệu ra đều bằng nhau và bằng tổng đại số của tín

hiệu vào.

- Đường tiến: là đƣờng gồm các nhánh liên tiếp có cùng hƣớng các tín hiệu đi từ

nút nguồn đến nút đích và chỉ qua mỗi nút một lần.

Độ lợi của một đƣờng tiến là tích của các hàm truyền của các nhánh trên đƣờng

tiến đó.

- Vòng kín: là một đƣờng khép kín gồm các nhánh liên tiếp có cùng hƣớng tín

hiệu và chỉ qua mỗi nút một lần.

Độ lợi của một vòng kín: là tích của các hàm truyền của các nhánh trên vòng kín

đó.

Công thức Mason:

Hàm truyền tƣơng đƣơng của hệ thống tự động biểu diễn bằng graph tín hiệu có thể

đƣợc tính theo công thức:

k

kk PG1

Trong công thức trên:

Pk: là độ lợi của đƣờng tiến thứ k.

: là định thức của graph tín hiệu. đƣợc tính bằng công thức sau:

mji

mji

ji

ji

i

i LLLLLL,,,

...1

* i

iL : tổng các độ lợi vòng của các vòng kín trong graph tín hiệu.

*ji

ji LL,

: tổng các tích độ lợi vòng của 2 vòng rời nhau.

*mji

mji LLL,,

: tổng các tích độ lợi vòng của 3 vòng rời nhau.

k: là định thức con của graph tín hiệu. k đƣợc tính suy ra từ bằng cách bỏ

đi các vòng kín có dính tới đƣờng tiến Pk.

Chú ý: *..

rời nhau” = không có nút nào chung.

* ..dính” = có ít nhất nút chung.

Trong trƣờng hợp hệ thống đƣợc cho dƣới dạng sơ đồ khối, muốn áp dụng công

thức Mason, trƣớc tiên ta phải chuyển sơ đồ khối sang dạng graph tín hiệu.

Khi chuyển từ sơ đồ khối sang graph tín hiệu cần chú ý:

- Có thể góp 2 bộ tổng liền nhau thành 1 nút.

- Có thể góp 1 bộ tổng và 1 điểm rẽ nhánh liền sau nó thành một nút.


34

- Không thể gộp 1 điểm rẽ nhánh và 1 bộ tổng liền sau nó thành 1 nút.

Một số thí dụ tính hàm truyền tƣơng đƣơng dùng phƣơng pháp graph tín

hiệu:

Thí dụ 1: Cho hệ thống mô tả bởi graph tín hiệu nhƣ sau:

Tính hàm truyền tƣơng đƣơng của hệ thống.

Giải: - Các đƣờng tiến:

P1 = G1G2G3G4G5

P2 = G1G6G4G5

P3 = G1G2G7

- Các vòng kín:

L1 = -G4H1

L2 = -G2G7H2

L3 = -G6G4G5H2

L4 = -G2G3G4G5H2

- Định thức của graph:

= 1- (L1+L2+L3+L4)+L1L2

- Các định thức con:

1= 1

2= 1

3= 1-L1

Hàm truyền tƣơng đƣơng của hệ là:

)(1

332211

PPPG

2721425432254627214

14721546154321

1

)1(

HGGHGHGGGGHGGGHGGHG

HGGGGGGGGGGGGGG

Thí dụ 2: Cho hệ thống sơ đồ khối nhƣ sau (sơ đồ khối ở thí dụ 2, mục 3.1)

R(s) G1(s)

1

G3(s) G2(s) G4(s) G5(s) 1 C(s)

-H2

-H1

G6(s) G7(s)


35


Giải:

Graph tín hiệu tƣơng đƣơng:

//////////////////////////////////////////////////////

G3(S)

2 3

4

5 6

7

H3(S)

H2(S)

H1(S)

C(S)

G1(S) G2(S)

1

-

+

-

+

-

+

+ +

R(S)


36

- Các đƣờng tiến:

P1 = G1G2G3

P2 = G1H1G3

- Các vòng kín:

L1 = -G2H2

L2 = -G2G3H3

L3 = - G1G2G3

L4 = - G3H1H3

L5 = - G1G3H1

- Định thức của graph:

= 1- (L1+L2+L3+L4+L4+L5)

- Các định thức con:

1= 1

2= 1

Hàm truyền tƣơng đƣơng của hệ là:

)(1

2211

PPG

13131332133222

1315321

1 HGGHHGGGGHGGHG

HGGGGGG

2.4. PHƢƠNG PHÁP BIẾN TRẠNG THÁI

2.4.1. Khái niệm

Trạng thái: Trạng thái của một hệ thống là một tập hợp nhỏ nhất các biến (gọi là

biến trạng thái) mà nếu biết giá trị của các biến này tại thời điểm to và các tín

hiệu vào ở các thời điểm t > to ta hoàn toàn có thể xác định đƣợc đáp ứng của hệ

thống tại mọi thời điểm 0tt .

Hệ thống bậc n có n biến trạng thái

Các biến trạng thái có thể chọn là biến vật lý hoặc không phải là biến vật lý.

Thí dụ: Động cơ DC là hệ bậc 2, có hai biến trạng thái có thể chọn là tốc độ động cơ và

dòng điện phần ứng (biến vật lý). Tuy nhiên ta cũng có thể chọn 2 biến trạng thái khác.

Vector trạng thái: n biến trạng thái hợp thành vector cột, ký hiệu

T

nxxxx ]...[ 21

gọi là vector trạng thái sử dụng các biến trạng thái, ta có thể chuyển phƣơng trình vi phân

bậc n mô tả hệ thống thành n phƣơng trình vi phân bậc nhất.

Phƣơng pháp mô tả hệ thống bằng cách sử dụng các biến trạng thái gọi là phƣơng

pháp biến trạng thái.

+ -


37

Tại sao lại sử dụng phương pháp biến trạng thái?

- Quan hệ ngõ vào ngõ ra của hệ thống có thể mô tả bằng phƣơng trình vi phân bậc

n. Nghiên cứu hệ thống dựa trên phƣơng trình vi phân bậc n rất khó khăn cần mô tả

toán học khác giúp nghiên cứu hệ thống dễ dàng hơn.

- PP hàm truyền chuyển quan hệ phƣơng trình vi phân cấp n thành phân thức đại số

nhờ phép biến đổi Laplace. Nghiên cứu hệ thống mô tả bằng hàm truyền thuận lợi hơn,

tuy nhiên hàm truyền có một khuyết điểm:

* Chỉ áp dụng đƣợc khi điều kiện đầu bằng 0.

* Chỉ áp dụng cho hệ tuyến tính bất biến một ngõ vào, một ngõ ra.

* Nghiên cứu hệ thống trong miền tần số.

- PP biến trạng thái chuyển phƣơng trình vi phân bậc n thành n phƣơng trình vi phân

bậc 1 bằng cách đặt n biến trạng thái. PP biến trạng thái khắc phục đƣợc các khuyết điểm

của PP hàm truyền.

Hệ phƣơng trình biến trạng thái có dạng nhƣ sau:

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

2

1

21

2

1

2

1

21

22221

11211

2

1

tx

tx

tx

dddtc

tr

b

b

b

tx

tx

tx

aaa

aaa

aaa

tx

tx

tx

n

n

nnnnnn

n

n

n

Đặt:

nmnn

n

n

aaa

aaa

aaa

A

21

22221

11211

nb

b

b

B2

1

ndddD 21

Ta có thể viết lại hệ phƣơng trình biến trạng thái dƣới dạng:

)()(

)()()(

tDxtc

tBrtAxtx

Chú ý:

Nếu A là ma trận thƣờng, ta gọi là (*) là hệ phƣơng trình biến trạng thái dạng thƣờng.

Nếu A là ma trận chéo, ta gọi (*) là hệ phƣơng trình biến trạng thái dạng chính tắc.

2.5.2. Cách thành lập hệ phƣơng trình biến trạng thái ở dạng thƣờng


38

A. Vế phải của phương trình vi phân mô tả hệ thống không có chứa đạo hàm

của tín hiệu vào:

Cho hệ thống mô tả bởi phƣơng trình vi phân;

)()()(

...)()(

011

1

10 trbtcadt

tdca

dt

tcda

dt

tcda nnnn

n

n

n

(*)

Đặt n biến trạng thái nhƣ sau:

n

n

nn

n

nnndt

tcdtx

dt

tcdtxtxtx

tctxtxtx

tctxtxtx

tctx

)()(

)()()()(

)()()()(

)()()()(

)()(

1

1

1

323

212

1

Cách đặt biến trạng thái:

- Biến đầu tiên bằng tín hiệu ra: )()(1 tctx

Từ biến trạng thái )(2 tx đến )(txn đặt theo qui tắc: biến sau bằng đạo hàm của biến

trƣớc: ),2(),()(____

1 nitxtx ii

Thay các biến trạng thái vào phƣơng trình (*) ta đƣợc:

)()()(...)()( 012110 trbtxatxatxatxa nnnn

Kết hợp phƣơng trình với quan hệ của các biến trạng thái ta đƣợc hệ phƣơng trình sau:

)()()(...)()()(

)()(

)()(

)()(

0

0

0

11

0

21

0

1

1

0

1

32

21

tra

btx

a

atx

a

atx

a

atx

a

atx

txtx

txtx

txtx

nn

nn

n

nn

Viết lại dƣới dạng ma trận:

0

01

2

1

0

1

0

2

0

1

0

1

2

1

0

0

0

1000

0100

0010

a

bx

x

x

x

a

a

a

a

a

a

a

ax

x

x

x

n

nnnn

n

n


39

Đáp ứng của hệ thống:

n

n

x

x

x

x

txtc

1

2

1

1 0001)()(

Vậy hệ phƣơng trình biến trạng thái mô tả hệ thống là:

)()(

)()()(

tDxtc

tBrtxtx A

Với:

n

n

x

x

x

x

x

1

2

1

A

0

1

0

2

0

1

0

1000

0100

0010

a

a

a

a

a

a

a

a nnn

B =

0

0

0

0

0

a

b

D = 0001

Thí dụ 1: Cho hệ thống điều khiển có quan hệ tín hiệu vào – tín hiệu ra mô tả bởi phƣơng

trình vi phân sau:

)()(10)(6)(5)(2 trtctctctc (1)

Hãy viết hệ phƣơng trình biến trạng thái mô tả hệ thống.

Giải:

Đặt các biến trạng thái nhƣ sau:

)7()()()6()()()4()()(

)5()()()3()()(

)2()()(

3323

212

1

tctxtctxtxtx

tctxtxtx

tctx

Thay (2), (5), (6), (7) vào phƣơng trình (1) ta đƣợc:

)(10652 1233 trxxxx (8)

Kết hợp (3), (4) và (8) ta đƣợc hệ phƣơng trình:

)t(r.)t(x.)t(x)t(x)t(x

)t(x)t(x

)t(x)t(x

505235 2223

32

21

Đáp ứng của hệ thống: )()( 1 txtc


40


r

x

x

x

x

x

x

5.0

0

0

5.235

100

010

3

2

1

3

2

1

3

2

1

001)(

x

x

x

tc

Thí dụ 2: Cho hệ thống tự động có sơ đồ khối:

Hãy thành lập hệ phƣơng trình biến trạng thái mô tả hệ thống.

Giải:

Hàm truyền của hệ thống kín:

10)3)(1(

10

)3)(1(

101

)3)(1(

10

)(1

)()(

sss

sss

sss

sG

sGsGk

)(10)()1034(

1034

10

10)3)(1(

10

)(

)(

23

23

sRsCsss

sssssssR

sC

Phƣơng trình vi phân mô tả hệ thống:

)(10)(10)(3)(4)( trtctctctc


)()(

)()(

)()(

23

12

1

txtx

txtx

tctx

Theo lý thuyết, hệ phƣơng trình biến trạng thái mô tả hệ thống có dạng:

r

a

bx

x

x

a

a

a

a

a

ax

x

x

0

03

2

1

0

1

0

2

0

33

2

1

0

0

100

010

Thay thông số của hệ vào phƣơng trình trên, ta đƣợc:

)3)(1(

10

sss

R(s)

+

-

C(s)


41

r

x

x

x

x

x

x

10

0

0

4310

100

010

3

2

1

3

2

1

- Đáp ứng của hệ thống

3

2

1

1 001)()(

x

x

x

txtc

B. Vế phải của phương trình vi phân mô tả hệ thống có chứa đạo hàm của tín

hiệu vào:

Cho hệ bậc 3 có phƣơng trình vi phân nhƣ sau:

)()()(

)()()()(

212

2

0322

2

13

3

0 trbdt

tdrb

dt

trdbtca

dt

tdca

dt

tcda

dt

tcda

n (*)


)()()()()()(

)()()()()(

)()(

21223

1112

1

trtrtctrtxtx

trtctrtxtx

tctx

(1)

(2)

(3)

Với cách đặt biến trạng thái nhƣ trên, ta có:

)()()()()4(

)()()()()3(

)()()()2(

213

213

12

trtrtxtc

trtrtxtc

trtxtc

(4)

(5)

(6)

Thay (1),(4),(5),(6) vào phƣơng trình (*) ta đƣợc:

)()()()()]()([

)]()()([)]()()([

21013122

21312130

trbtrbtrbtxatrtxa

trtrtxatrtrtxa

)7()()(

)()()()()(

)()()()()()(

)()()()()()(

0

12212

0

11201

0

100

3

0

12

0

21

0

3

3

210131222

211131201030

tra

aabtr

a

aab

tra

abtx

a

atx

a

atx

a

atx

trbtrbtrbtxatratxa

tratratxatratratxa

Chọn 1 , 2 sao cho đạo hàm của tín hiệu vào trong biểu thức (7) bị triệt tiêu:


42

0

0

11201

100

aab

ab

Đặt: 0

122123

a

aab

Thay vào (7) ta đƣợc:

)()()()()( 33

0

11

0

21

0

3

3 trtxa

atx

a

atx

a

atx (8)

Kết hợp (2),(3),và (8) ta đƣợc hệ phƣơng trình:

)t(r)t(xa

a)t(x

a

a)t(x

a

a)t(x

)t(r)t(x)t(x

)t(r)t(x)t(x

31

0

11

0

21

0

3

3

232

121

Vậy hệ phƣơng trình biến trạng thái mô tả hệ thống là:

r

x

x

x

a

a

a

a

a

ax

x

x

3

2

1

3

2

1

0

1

0

2

0

33

2

1

100

010

Trong đó:

0

122121

0

1111

0

0

1

a

aab

a

ab

a

b

Đáp ứng ra của hệ thống:

3

2

1

1 001)()(

x

x

x

txtc

Thí dụ 1: Cho hệ thống tự động có sơ đồ khối:


43


Giải:

Hàm truyền của hệ thống kín:

1023

210

23

1101

3

10

1

)s)(s(s

)s(

)s)(s(s

.

)s(s

)s(H)s(G

)s(G)s(Gk

)()2(10)()1065(

1065

)2(10

10)2)(3(

)2(10

)(

)(

23

23

sRssCsss

sss

s

sss

s

sR

sC


)(20)(10)(10)(6)(5)( trtrtctctctc


)()()(

)()()(

)()(

223

112

1

trtxtx

trtxtx

tctx

Theo lý thuyết, hệ phƣơng trình biến trạng thái mô tả hệ thống có dạng:

r

x

x

x

a

a

a

a

a

ax

x

x

3

2

1

3

2

1

0

1

0

2

0

33

2

1

100

010

Trong đó:

)3(

10

ss

R(s)

+

-

C(s)

)2(

10

s


44

301

0610520

101

0510

01

0

0

122121

0

1111

0

0

1

a

aab

a

ab

a

b

Thay thông số của hệ vào phƣơng trình trên, ta đƣợc:

r

x

x

x

x

x

x

30

10

0

5610

100

010

3

2

1

3

2

1

- Đáp ứng của hệ thống:

3

2

1

1 001)()(

x

x

x

txtc

Thí dụ 2: Cho hệ thống tự động có hàm truyền:

23

103

)(

)()(

2

ss

s

sR

sCsG


Giải:

Từ hàm truyền suy ra:

(s2+3s+2)C(s) = (3s+10)R(s)


)(10)(3)(2)(3)( trtrtctctc (1)

Đặt biến trạng thái nhƣ sau:

)()(1 tctx (2)

)()()( 112 trtxtx (3)

)()()( 12 trtctx

)()()( 12 trtxtc

Thay vào phƣơng trình vi phân ta đƣợc:

)(10)(3)(2)]()([3)]()([ 11212 trtrtxtrtxtrtx

)(10)(3)(2)(3)(3)()( 11212 trtrtxtrtxtrtx

)()310()()3()(3)(2)( 11212 trtrtxtxtx (4)

Chọn 1 sao cho đạo hàm của tín hiệu vào trong biểu thức (4) bị triệt tiêu:

3- 1 = 0 1 = 3

Thay vào (4) ta đƣợc:


45

)()(3)(2)( 212 trtxtxtx (5)

Kết hợp (3) và (5), để ý 1 = 3, ta đƣợc hệ phƣơng trình sau:

)()(3)(2)(

)(3)()(

212

21

trtxtxtx

trtxtx

)(1

3

)(

)(

32

10

)(

)(

2

1

2

1tr

tx

tx

tx

tx


)(

)(]01[)()(

2

1

1tx

txtxtc

2.5.3 Cách thành lập hệ phƣơng trình biến trạng thái ở dạng chính tắc

Để thành lập hệ phƣơng trình biến trạng thái dạng chính tắc, ta thực hiện theo các

bƣớc sau đây:

1. Thành lập hệ phƣơng trình biến trạng thái ở dạng thƣờng:

)()(

)()()(

tDxtc

tBrtAxtx (1)

2. Thực hiện phép biến đổi trạng thái:

)()( tMytx

Thay vào phƣơng trình trên ta đƣợc:

)()(

)()()(

tDMytc

tBrtAMytyM

)()(

)()()( 11

tDMytc

tBrMtAMyMty

y(t)

y(t)(t)y

D

BA

)(

)(

tc

tr (2)

Trong đó:

A = AMM1 B = BM

1 D = DM

Hệ phƣơng trình biến trạng thái (2) tƣơng đƣơng với hệ phƣơng trình (1). Để (2) có

dạng chính tắc, phải chọn M sao cho ma trận AMM 1 chỉ có đƣờng chéo khác 0. Theo lý

thuyết đại số tuyến tinh, ma trận chuyển đổi M đƣợc chọn nhƣ sau:


46

11

3

1

2

1

1

22

3

2

2

2

1

321

1111

n

n

nnn

n

n

M

Trong đó ),1(,____

nii là nghiệm của phƣơng trình:

det(sI-A) = 0

Thí dụ: Cho hệ thống có hàm truyền:

23

103

)(

)()(

2

ss

s

sR

sCsG

Hãy thành lập hệ phƣơng trình biến trạng thái dạng chính tắc mô tả hệ thống.

Giải:

Bước 1: Thành lập hệ phƣơng trình biến trạng thái dạng thƣờng

(xem thí dụ 2, mục 2.5.2)

)(1

3

)(

)(

32

10

)(

)(

2

1

2

1tr

tx

tx

tx

tx


)(

)(]01[)()(

2

1

1tx

txtxtc

Hay

)()(

)()()(

tDxtc

tBrtAxtx

Với: 011

3

32

10

DBA

Bước 2:

Thực hiện phép biến đổi: x(t) = My(t)

Ma trận M đƣợc xác định nhƣ sau:

Tìm nghiệm của phƣơng trình: det(sI-A) = 0

032

10

10

01det

s 0

32

1det

s

s

s(s+3)+2 = 0 s2+ 3s+2 = 0

2

1

2

1

Suy ra:

11

12

11

12

1)1()2(1

1

21

111

MM


47

Với cách biến đổi trên, ta đƣợc hệ phƣơng trình biến trạng thái có dạng:

y(t)

y(t)(t)y

D

BA

)(

)(

tc

tr

Trong đó:

A = AMM 1 =

20

01

21

11

32

10

11

12

B = BM1 =

4

7

1

3

11

12

D = DM = 1211

1201

Vậy hệ phƣơng trình biến trạng thái chính tắc mô tả hệ thống là:

)(4

7

)(

)(

20

01

)(

)(

2

1

2

1tr

ty

ty

ty

ty

)(

)(]12[)(

2

1

ty

tytc

2.6. TÍNH HÀM TRUYỀN TỪ HỆ PHƢƠNG TRÌNH BIẾN TRẠNG THÁI:

Cho hệ thống mô tả bởi hệ phƣơng trình:

)()(

)()()(

tDxtc

tBrtAxtx

Biến đổi Laplace hai vế phƣơng trình trên (giả sử điều kiện đầu bằng 0):

)2()()(

)1()()()(

sDXsC

sBRsAXssX

(1) (sI-A)X(s) = BR(s)

X(s) = (sI-A)-1

BR(s)

DX(s) = D(sI-A)-1

BR(s)

C(s) = D(sI-A)-1

BR(s)

BAsIDsR

sCsG

1)()(

)()(

Thí dụ: Cho hệ thống có hệ phƣơng trình biến trạng thái là:

)(1

3

)(

)(

32

10

)(

)(

2

1

2

1tr

tx

tx

tx

tx


48


)(

)(]01[)()(

2

1

1tx

txtxtc


Giải:

Các ma trận trạng thái:

Với: 011

3

32

10

DBA

Hàm truyền của hệ thống là:

G(s) = D(sI-A)-1

B

(sI-A) =

32

1

32

10

10

01

s

ss

(sI-A)-1 =

s

s

sss

s

2

13

)1(2)3(

1

32

11

D(sI-A)-1

= 1323

1

2

1301

23

122

s

sss

s

ss

D(sI-A)-1

B = 23

1)3(3

1

313

23

122

ss

ss

ss

Vậy : 23

103)(

2

ss

ssG

2.7. NGHIỆM CỦA HỆ PHƢƠNG TRÌNH BIẾN TRẠNG THÁI:

Cho hệ thống có phƣơng trình biến trạng thái nhƣ sau:

)()()( tBrtAxtx (1)

Hỏi x(t) = ?

Biến đổi Laplace 2 vế phƣơng trình (1) ta đƣợc:

sX(s) – x(0+) = AX(s) + BR(s)

(sI-A)X(s) = x(0+) + BR(s)

X(s) = (sI-A)-1

x(0+) + (sI-A)

-1BR(s) (2)

Đặt )(s (sI-A)-1

Thay vào phƣơng trình (2) ta đƣợc:


49

)()()0()()( sBRsxssX

Biến đổi Laplace ngƣợc hai vế phƣơng trình (3), ta đƣợc:

dBRtxttx

t

)()()0()()(0

Trong đó:

])[()]([)( 111 AsIst LL ma trận quá độ

Tóm lại:

Để tính nghiệm của hệ phƣơng trình biến trạng thái ta thực hiện các bƣớc sau đây:

1. Tính 1)()( AsIs

2. Tính ma trận quá độ: )]([)( 1 st L

3. Tính nghiệm của phƣơng trình biến trạng thái:

t

dBRtxttx0

)()()0()()(

Nếu điều kiện đầu bằng 0 thì:

t

dBRttx0

)()()(

Nếu muốn tìm đáp ứng của hệ thống bằng phƣơng pháp biến trạng thái, trƣớc tiên

tìm nghiệm của hệ phƣơng trình biến trạng thái, sau đó tính:

c(t) = Dx(t)

Chú ý: Đáp ứng của hệ thống có thể tính từ hàm truyền:

)]().([)]([)( 11 sGsRsCtc LL

Hai công thức nghịch đảo của ma trận:

1121

1222

21122211

1

2221

1211

.

1

aa

aa

aaaaaa

aa

2212

2111

3212

3111

3222

3121

2313

2111

3313

3111

3323

3121

3222

3121

3313

3212

3323

3222

1

333231

232221

131211

aa

aa

aa

aa

aa

aa

aa

aa

aa

aa

aa

aa

aa

aa

aa

aa

aa

aa

Adet

1

aaa

aaa

aaa


50

detA = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a32 a21 - a13 a22 a31 - a11 a23 a32 – a33 a21 a12

Thí dụ: Cho hệ thống mô tả bởi hàm truyền sau:

)2s)(1s(

s)s(G

1. Viết hệ phƣơng trình biến trạng thái mô tả hệ thống trên.

2. Tính ma trận quá độ.

3. Tính đáp ứng của hệ thống khi tín hiệu vào là hàm nấc đơn vị (giả sử điều kiện đầu

bằng 0).

Giải:

1. Phƣơng trình vi phân mô tả hệ thống:

)()()23(

)2)(1()(

)(

2 ssRsCss

ss

s

sR

sC

)()(2)(3)( trtctctc (1)


)()()()()()()()(

)()(

121112

1

trtxtctrtctrtxtx

tctx

Thay vào phƣơng trình (1) ta đƣợc:

)(3)()1()(3)(2)(

)()(2)(3)(3)()(

)()(2)()(3)()(

11212

11212

11212

trtrtxtxtx

trtxtrtxtrtx

trtxtrtxtrtx

Chọn 11 để đạo hàm cuả tín hiệu vào trong biểu thức trên bị triệt tiêu:

)(3)(3)(2)( 212 trtxtxtx

Kết hợp với biểu thức đặt biến trạng thái ta có hệ phƣơng trình sau;

)(3)(3)(2)(

)()()(

212

21

trtxtxtx

trtxtx


)(3

1

)(

)(

32

10

)(

)(

2

1

2

1tr

tx

tx

tx

tx



51

)(

)(01)()(

2

1

1tx

txtxtc

2. Tính ma trận quá độ:

111 )()()( AsIst LL

Ta có:

32

1

32

10

10

01

s

ssAsI

s

s

sss

s

ssAsIs

2

13

)2)(1(

1

2

13

23

1)()(

2

1

2

2

1

1

2

2

1

2

2

1

1

1

2

1

1

2

)2)(1()2)(1(

2

)2)(1(

1

)2)(1(

3

)2)(1()2)(1(

2

)2)(1(

1

)2)(1(

3

)()(

11

11

11

11

11

ssss

ssss

ss

s

ss

ssss

s

ss

s

ss

ssss

s

st

LL

LL

LL

LL

LL

)2()22(

)()22()(

22

22

tttt

tttt

eeee

eeeet

3. Đáp ứng của hệ thống:

Trƣớc tiên ta tìm nghiệm của hệ phƣơng trình biến trạng thái. Với điều kiện đầu

bằng 0, nghiệm của phƣơng trình trạng thái là:

td

te

te

te

te

te

te

te

te

tdBRttx

0 3

1

)(22

)()(22

)(2

)(2)()(2)(2

0)()()(

td

te

te

te

te

0)(2

4)(

)(22

)(

t

te

te

te

te

0)(2

2)(

)(2)(


52

tt

tt

ee

ee

tx

tx2

2

2

1

21)(

)(

Đáp ứng của hệ thống là:

tt eetxtx

txtc 2

1

2

1)(

)(

)(01)(

Có thể kiểm tra lại kết quả tính toán bằng phƣơng pháp hàm truyền nhƣ sau:

Đáp ứng của hệ thống: C(s) = G(s)R(s)

Mà s

sR1

)( (tín hiệu vào là hàm nấc đơn vị)

)2)(1(

)(

ss

ssG

Nên: )2(

1

)1(

1

)2)(1(

1

)2)(1(

1)(

ssssss

s

ssC

Suy ra: tt eess

sCtc 211

2

1

1

1)()(

LL

Chú ý:

Tính ma trận quá độ bằng công thức:

])[()]([)( 111 AsIst LL

tƣơng đối khó khăn về mặt tính toán. Phƣơng pháp sau đây cho phép tính ma trận

quá độ dễ dàng hơn.

Đối với hệ thống bậc n, ngƣời ta chứng minh đƣợc:

1

1

2

210 ][...][][)(

n

n

At ACACACICet (*)

Thay A = vào phƣơng trình (*), ta sẽ tính đƣợc các hệ số )1,0(,_______

niCi trong đó λ

là ma trận chéo:

n

00

00

00

2

1

và λi là nghiệm của phƣơng trình (λi đƣợc gọi là các trị riêng của hệ)

0)det( AI


53

Thí dụ: Tính lại ma trận quá độ trong thí dụ trên.

Ta đã viết đƣợc phƣơng trình trạng thái của hệ là:

)(3

1

)(

)(

32

10

)(

)(

2

1

2

1tr

tx

tx

tx

tx

Theo công thức (*), ma trận quá độ cho hệ bậc 2 là:

][)( 10 ACICet At

Các trị riêng của hệ là nghiệm của phƣơng trình:

0)det( AI

2

1

02)3(

032

1det

032

10

10

01det

1

1

Vậy

20

01

Thay A = λ vào phƣơng trình (1), ta đƣợc:

10

2

10

102

3

2

30

12

10

01

0

0

CCe

CCe

CCe

e

t

t

t

t

tt

tt

eeC

eeC2

1

2

0 2

Thay C0 và C1 vào phƣơng trình (1), ta đƣợc:

tttt

tttt

tttt

eeee

eeeet

eeee

ACICt

22

22

22

10

22

2)(

32

10)(

10

01)2(

][)(


54

Chương 3: Đặc tính động học

55

CChhưươơnngg 33

ĐĐẶẶCC TTÍÍNNHH ĐĐỘỘNNGG HHỌỌCC

3.1. KHÁI NIỆM VỀ ĐẶC TÍNH ĐỘNG HỌC

Đặc tính động của hệ thống mô tả sự thay đổi của tín hiệu ở đầu ra của hệ thống theo

thời gian khi có tác động của đầu vào. Trong thực tế các hệ thống điều khiển rất đa dạng,

tuy nhiên những hệ thống đƣợc mô tả bằng mô hình toán học có dạng nhƣ nhau sẽ có đặc

tính động học nhƣ nhau. Để khảo sát đặc tính động của hệ thống tín hiệu vào thƣờng là tín

hiệu cơ bản nhƣ hàm xung đơn vị, hàm nấc đơn vị hay hàm điều hòa. Tuỳ theo dạng của

tín hiệu vào thử mà đặc tính động thu đƣợc là đặc tính thời gian hay đặc tính tần số.

3.1.1. Đặc tính thời gian

Đặc tính thời gian của hệ thống mô tả sự thay đổi của tín hiệu ở đầu ra của hệ

thống khi tín hiệu vào là hàm xung đơn vị hay hàm nấc đơn vị.

Nếu tín hiệu vào là hàm xung đơn vị )()( ttr thì đáp ứng của hệ thống là:

C(s) = R(s).G(s) = G(s) (do R(s) = 1)

)()()()( 11 tgsGsCtc LL (1)

g(t) đƣợc gọi là đáp ứng xung hay còn gọi là hàm trọng lƣợng của hệ thống.

Vậy đáp ứng xung là đáp ứng của hệ thống khi tín hiệu vào là hàm xung đơn vị.

Theo biểu thức (1) đáp ứng xung chính là biến đổi Laplace ngƣợc của hàm truyền.

Nếu tín hiệu vào là hàm nấc đơn vị r(t) = 1(t)thì đáp ứng của hệ thống là:

s

sGsGsRsC

)()().()( (do R(s)=

s

1)

t

dgs

sGsCtc

0

11 )()(

)()( LL (2)

Biểu thức (2) có đƣợc do tính chất ảnh của tích phân của phép biến đổi Laplace. Đặt:

Hệ thống c(t) r(t)

R(s) C(s)


56

t

dgth0

)()( (3)

h(t) đƣợc gọi là đáp ứng nấc hay còn gọi là hàm quá độ của hệ thống.

Vậy đáp ứng nấc là hàm đáp ứng của hệ thống khi tín hiệu vào là hàm nấc đơn vị.

Theo biểu thức (3) đáp ứng nấc chính là tích phân của đáp ứng xung.

Ví dụ: Cho hệ thống có hàm truyền là:

)5(

1)(

ss

ssG

Xác định hàm trọng lƣợng và hàm quá độ của hệ thống.

Giải: Hàm trọng lƣợng:

tetg

ssss

ssGtg

5

111

5

4

5

1)(

)5(5

4

5

1

)5(

1)()(

LLL

Hàm quá độ:

Cách 1:

t

t

t

t

t

edegth0

5

0

5

025

4

5

1

5

4

5

1)()(

25

4

25

4

5

1)( 5 tetth

Cách 2: 1)5(

1)()(

2

11

ss

s

s

sGth LL

Thực hiện phép biến đổi Laplace ngƣợc ta đƣợc kết quả nhƣ trên.

Nhận xét: Ta có thể dùng hàm trọng lƣợng hay hàm quá độ thì sẽ suy ra đƣợc hàm

truyền dễ dàng bằng các công thức sau đây:

)()( tgsG L

Ví dụ 2: Cho hệ thống có đáp ứng nấc đơn vị là:

tt eth 32 231)(

Xác định hàm truyền của hệ thống.

Giải: Theo đề bài, ta có:

)3)(2(

6

3

6

2

6)66

)()( 32

ssssee

dt

tdhsG tt

LL

3.1.2. Đặc tính tần số

Đặc tính tần số của hệ thống tuyến tính mô tả quan hệ giữa tín hiệu ra và tín hiệu vào

của hệ thống ở trạng thái xác lập khi thay đổi tần số của tín hiệu dao động điều hoà tác

động ở đầu vào của hệ thống.

Xét hệ tuyến tính liên tục có hàm truyền là G(s), giả sử tín hiệu vào là tín hiệu hình sin:

22)(sin)(

s

RsRtRtr m

m


57

Tín hiệu ra của hệ thống là:

)()().()(

22sG

s

RmsGsRsC

Giả sử G(s) có n cực pi phân biệt thỏa jpi , ta có thể phân tích C(s) dƣới dạng:

n

i i

i

psjsjssC

1

)(

Biến đổi Laplace ngƣợc biểu thức trên, ta đƣợc:

n

i

ii

tjtj tpeetc1

)(

Nếu hệ thống ổn định thì tất cả các cực pi đều có phần thực âm. Khi đó:

n

i

iit

tep1

0lim

Do đó: tjtj

xl eetc )( (6)

Nếu G(s) có cực bội thì ta cũng có thể chứng minh đƣợc đáp ứng xác lập của hệ thống

có dạng (6). Các hệ số và xác định bởi công thức:

j

jGRjs

s

RsG m

js

m

2

)()()(

22

(7)

j

jGRjs

s

RsG m

js

m

2

)()()(

22

(8)

Thay (7) và (8) vào (6), rút gọn biểu thức ta đƣợc:

))(sin()()( jGtjGRtc mxl (9)

Biểu thức (9) cho thấy ở trạng thái xác lập tín hiệu ra của hệ thống là tín hiệu hình sin,

cùng tần số với tín hiệu vào, biên độ tỉ lệ với biên độ vào (hệ số tỉ lệ là )( jG và lệch

pha so với tín hiệu vào (độ lệch pha là )( jG )

Định nghĩa: Đặc tính tần số của hệ thống là tỉ số giữa tín hiệu ra ở trạng thái xác lập

và tín hiệu vào hình sin.

Đặc tính tần số =)(

)(

jR

jC (10)

Từ định nghĩa (10) và biểu thức (9) ra rút ra:

Đặc tính tần số = )()( jGsG js

Ví dụ 3: Nếu hệ thống có hàm truyền là:

)1(

)3(10)(

ss

ssG

thì đặc tính tần số của hệ thống là:

)1(

)3(10)(

jj

jjG


58

Tổng quát đặc tính tần số )( jG là một hàm phức nên có thể biểu diễn dƣới dạng đại

số hoặc dạng cực: )()()()()( jeMjQPjG

Trong đó: )(P là phần thực )(Q là phần ảo

)(M là đáp ứng biên độ, )( là đáp ứng pha

Quan hệ giữa hai cách biểu diễn )( jG nhƣ sau:

)()()()( 22 QPjGM

)(

)()()( 1

P

QtgjG

)(cos)()( MP

)(sin)()( MQ

Để biểu diễn đặc tính tần số một cách trực quan, ta có thể dùng đồ thị. Có hai dạng

đồ thị thƣờng sử dụng:

Biểu đồ Bode là hình vẽ gồm 2 thành phần:

1. Biểu đồ Bode biên độ: đồ thị biểu diễn mối quan hệ giữa logarithm của đáp ứng biên

độ )(L theo tần số .

)(lg20)( ML

)(L - là đáp ứng biên độ tính theo đơn vị dB (decibel)

2. Biểu đồ Bode pha: đồ thị biểu diễn mối quan hệ giữa đáp ứng pha )( theo tần số .

Cả hai đồ thị trên đều đƣợc vẽ trong hệ tọa độ vuông góc với trục hoành chia theo

thang logarithm cơ số 10. Khoảng cách giữa hai tần số hơn kém nhau 10 lần gọi là một

decade.

Biểu đồ Nyquist: (đƣờng cong Nyquist) là đồ thị biểu diễn đặc tính tần số

)( jG trong hệ toạ độ cực khi thay đổi từ 0 . Nói cách khác đƣờng cong Nyquist

là tập hợp tất cả các điểm ngọn của vectơ biểu diễn số phức )( jG (biên độ vectơ là

)(M góc của vectơ là )( khi thay đổi từ 0 .

Mặc dù biểu diễn dƣới dạng hai đồ thị khác nhau nhƣng thông số có đƣợc từ hệ

thống từ biểu đồ Bode và biểu đồ Nyquist là nhƣ nhau. Tử biểu đồ Bode ta có thể suy ra

đƣợc biểu đồ Nyquist và ngƣợc lại.

Đặc tính tần số của hệ thống có các thông số quan trọng sau đây:

Đỉnh cộng hƣởng (Mp): đỉnh cộng hƣởng là giá trị cực đại của )(M

Tần số cộng hƣởng )( p : là tần số tại đó có đỉnh cộng hƣởng

Tần số cắt biên )(c

: là tần số tại đó biên độ của đặc tính tần số bằng 1 (= 0dB)

0)(

1)(

c

c

L

M

Tần số cắt pha ( )

: tần số tại đó pha của đặc tính tần số bằng (hay bằng

1800)


59

0180)(

Độ dự trữ biên (GM – Gain Margin)

)(

1

M

GM

Hay )(

LGM (dB) (công thức này đƣợc sử dung nhiều hơn)

Độ dự trữ pha ( M -Phase Margin)

. )(180 0

cM

Độ dự trữ biên và độ dự trữ pha cho biết hệ thống có ổn định không.

a) Biểu đồ Bode b) Biểu đồ Nyquist

Hình 3.1. Đồ thị biểu diễn đặc tính của tần số

3.2. CÁC KHÂU ĐỘNG HỌC ĐIỂN HÌNH

3.2.1 Khâu tỉ lệ

Hàm truyền: G(s) = K

Đặc tính thời gian: C(s) = G(s)R(s) = KR(s)

c(t) = Kr(t)

Đặc tính tần số: G(jω) = K

Biên độ: M(ω) = K L(ω) = 20lgK

Pha: φ(ω) = 0


60

Hình 3.2. Đặc tính thời gian của khâu tỉ lệ


Hình 3.3. Đặc tính tần số của khâu tỉ lệ

3.2.2.Khâu tích phân lý tƣởng

Hàm truyền: G(s) = s

1

Đặc tính thời gian: C(s) = G(s)R(s) = s

sR )(

Hàm trọng lƣợng: )(11

)()( 11 ts

sGtg

LL

Hàm quá độ: )(1.1)(

)(2

11 ttss

sGth

LL

t

g(t)

K

a) Hàm trọng lượng

t

h(t)

K

b) Hàm quá độ

lg

L( ) [dB]

20logK

10-1

100 10

1

-1 0 1

lg

( ) [độ]

+900

10-1

100 10

1

-1 0 1

-900

P( )

jQ( )

K

G(j )


61

Đặc tính tần số: G(jω) =

11j

j

Biên độ: M(ω) =

1 L(ω) = 20lgM( )=20lg

1=-20lg

Pha: φ(ω) = -900

Hình 3.4. Đặc tính thời gian của khâu tích phân lý tưởng


Hình 3.5. Đặc tính tần số của khâu tích phân lý tưởng

3.2.3. Khâu vi phân lý tƣởng Hàm truyền: G(s) = s

P( )

jQ( )

= 0

lg

L( ) [dB]

20

10-1

100 10

1

-1 0 1

-20

-20dB/dec

lg

( ) [độ]

+900

10-1

100 10

1

-1 0 1

-900

a) Hàm trọng lượng

t

g(t)

K

t

h(t)

b) Hàm quá độ 1

1


62

Đặc tính thời gian: C(s) = G(s)R(s) = sR(s)

Hàm trọng lƣợng: )()()( tthdt

dtg

Hàm quá độ: )(1)(

)( 11 ts

sGth

LL

Đặc tính tần số: G(jω) = jω

Biên độ: M(ω) = ω L(ω) = 20lgM( )=20lgω

Pha: φ(ω) = 900

Hình 3.6. Hàm quá độ của khâu vi phân lý tưởng


Hình 3.7. Đặc tính tần số của khâu vi phân lý tưởng

lg

L( ) [dB]

20

10-1

100 10

1

-1 0 1

-20

+20dB/dec

lg

( ) [độ]

+900

10-1

100 10

1

-1 0 1

-900

P( )

jQ( )

= 0

t

h(t)

1


63

3.2.4. Khâu quán tính bậc nhất

Hàm truyền: G(s) = 1

1

Ts

Đặc tính thời gian: C(s) = G(s)R(s) = 1

)(

Ts

sR

Hàm trọng lƣợng: )(11

1

1)( 1 te

TTstg T

t

L

Hàm quá độ: )(1)1()1(

1)( 1 te

Tssth T

t

L

a) Hàm trọng lượng b) Hàm quá độ

Hình 3.8. Đặc tính thời gian của khâu quán tính bậc nhất

Đặc tính tần số: G(jω) = 221

1

1

1

T

Tj

Tj

Phần thực: 221

1)(

TP

Phần ảo: 221

)(

T

TQ

Biên độ: )()()( 22 QPM

22

2

22

2

221

1

11

1

TT

T

T

L(ω) = 20lgM( )=-20lg 221 T

Pha: φ(ω) = )()(

)( 11

Ttg

P

Qtg

Vẽ gần đúng biểu đồ Bode biên độ:

+ Nếu T

1 : đƣờng thẳng nằm ngang trùng trục hoành

+ Nếu T

1 : đƣờng thẳng có độ dốc −20dB/dec

t

1/T1

1/T2

g(t)

0

t

1

0.63

h(t)

0 T1 T2


64


Hình 3.9. Đặc tính tần số của khâu quán tính bậc nhất

3.2.5. Khâu vi phân bậc nhất

Hàm truyền: G(s) = Ts+1

Đặc tính thời gian: C(s) = G(s)R(s) = R(s)(Ts+1)

Đặc tính tần số: 1)( TjjG

Biên độ:

2222 1lg201)( TLTM

Pha: Ttg 1


Hình 3.10. Hàm quá độ của khâu

vi phân bậc nhất

+ Nếu T


+ Nếu T

1 : đƣờng thẳng có độ dốc +20dB/dec

t

h(t)

1

lg

L( ) [dB]

20

10-1

100

101

-1 0 1

-20

-20dB/dec

lg

( ) [độ]

10

-1 10

0 10

1

-1 0 1

-900

P( )

-450

1/T

jQ( )

G(j )

=0

1


65


Hình 3.11. Đặc tính tần số của khâu vi phân bậc nhất

3.2.6. Khâu dao động bậc hai

- Hàm truyền: 1012

1)(

22

TssTsG


Hình 3.12. Đặc tính thời gian của khâu quán tính bậc nhất

- Đặc tính tần số: 12

1)(

22

TjTjG

t

h(t)

t

g(t)

0 0

lg

L( ) [dB]

20

10-1

100

101

-1 0 1

-20dB/dec

lg

( ) [độ]

10

-1 10

0 10

1

-1 0 1

900

P( )

450

1/T

jQ( )

=0

1

G(j )


66

- Biên độ: 22222 2

41

1

TTM

222222 41lg20)(lg20 TTML

- Pha:

22

1

1

2

T

Ttg


+ Nếu T


+ Nếu T

1 : đƣờng thẳng có độ dốc -40dB/dec


Hình 3.13. Đặc tính tần số của khâu vi phân bậc nhất

3.2.7. Khâu trì hoãn (khâu trễ)

Đặc điểm của khâu trễ là tín hiệu ra trễ hơn tín hiệu vào một khoảng thời gian là T.

- Hàm truyền: TsesG )(


Hình 3.14. Đặc tính thời gian của khâu trễ

t

g(t)

1

t

h(t)

1

T T


67

- Đặc tính tần số: TjejG )(

- Biên độ: 01 LM

- Pha: T

Biểu đồ Bode biên độ: là đƣờng thẳng nằm ngang trùng với trục hoành.


Hình 3.15. Đặc tính tần số của khâu trễ

3.3. ĐẶC TÍNH ĐỘNG HỌC CỦA HỆ THỐNG TỰ ĐỘNG

3.3.1. Đặc tính thời gian của hệ thống

Xét hệ thống có hảm truyền:

nn

nn

mm

mm

asasasa

bsbsbsbsG

1

1

10

1

1

10

...

...)(

Biến đổi Laplace của hàm quá độ là:

nn

nn

mm

mm

asasasa

bsbsbsb

ss

sGsH

1

1

10

1

1

10

...

...1)()(

Tuỳ theo đặc điểm của hệ thống mà đặc tính thời gian của hệ thống có thể khác

nhau. Tuy nhiên chúng ta có thể rút ra kết luận sau đây:

Nếu G(s) không có khâu tích phân, vi phân lý tƣởng thì hàm trọng lƣợng suy

giảm về 0, hàm quá độ có giá trị xác lập ≠ 0.

nn

nn

mm

mm

ss asasasa

bsbsbsbsssGg

1

1

10

1

1

10

00 ...

...lim)(lim)(

lg

L( ) [dB]

10-1

100

101

-1 0 1

lg

[độ]

10

-1 10

0 10

1

-1 0 1

-1800

P( )

jQ( )

1

G(j )

-900

( )

-1

-j

j


68

0...

...1lim)(lim)(

1

1

10

1

1

10

00

n

m

nn

nn

mm

mm

ss a

b

asasasa

bsbsbsb

ssssHh

Nếu G(s) có khâu tích phân lý tƣởng (an=0) thì hàm trọng lƣợng có giá trị xác

lập ≠ 0, hàm quá độ tăng đến ∞.

0...

...lim)(lim)(

11

1

10

1

1

10

00

n

m

n

nn

mm

mm

ss a

b

sasasa

bsbsbsbsssGg

sasasa

bsbsbsb

ssssHh

n

nn

mm

mm

ss1

1

10

1

1

10

00 ...

...1lim)(lim)(

Nếu G(s) có vi phân lý tƣởng (bm=0) thì hàm quá độ suy giảm về 0.

0...

...1lim)(lim)(

1

1

10

1

1

10

00

nn

nn

m

mm

ss asasasa

sbsbsb

ssssHh

Dựa vào đặc tính của hệ thống chúng ta có thể chọn phƣơng pháp phân tích, thiết kế

hệ thống cho phù hợp.

3.3.2. Đặc tính tần số của hệ thống

Xét hệ thống tự động có hàm truyền G(s). G(s) có thể phân tích thành tích các hàm

truyền cơ bản sau:

l

i

i sGsG1

)()(

Đặc tính tần số của hệ thống:

l

i

i jGjG1

)()(

- Biên độ:

l

i

l

i

ii LLMM1 1

)()()(

- Pha:

l

i

i

1

)(

Biểu đồ Bode của hệ thống (gồm nhiều khâu ghép nối tiếp) bằng tổng biểu đồ Bode

của các khâu thành phần.

Vẽ gần đúng biểu đồ Bode biên độ bằng đƣờng tiệm cận.

Giả sử hàm truyền của hệ thống có dạng:

)()()()( 321 sGsGsGKssG

0 : hệ thống có khâu vi phân lý tƣởng

0 : hệ thống có khâu tích phân lý tƣởng

Bƣớc 1: Xác định các tần số gãy ii T/1 và sắp xếp theo thứ tự tăng dần 321

Bƣớc 2: Biểu đồ Bode gần đúng đi ngang qua điểm A có toạ độ:

0

0

lg20lg20

KL

ω0 là tần số thoả mãn 10 . Nếu ω1 > 1 thì có thể chọn ω0 = 1.


69

Bƣớc 3: Qua điểm A vẽ đƣờng thẳng có độ dốc:

decdB /20 nếu G(s) có α khâu tích phân lý tƣởng

decdB /20 nếu G(s) có α khâu vi phân lý tƣởng

Đƣờng thẳng này kéo dài đến tần số gãy kế tiếp.

Bƣớc 4: Tại tần số gãy i

iT

1 độ dốc của đƣờng tiệm cận đƣợc cộng thêm một lƣợng:

idecdB /20 nếu i là tần số gãy của khâu quán tính bậc 1

idecdB /20 nếu i là tần số gãy của khâu vi phân bậc 1

idecdB /40 nếu i là tần số gãy của khâu dao động bậc 2

idecdB /40 nếu i là tần số gãy của khâu vi phân bậc 2

Đƣờng thẳng này kéo dài đến tần số gãy kế tiếp

Bƣớc 5: Lập lại bƣớc 4 cho đến khi vẽ xong đƣờng tiệm cận tại tần số gãy cuối cùng.

Thí dụ 1: Vẽ biểu đồ Bode biên độ gần đúng của hệ thống có hàm truyền là:

)101,0(

)11,0(100)(

ss

ssG

Dựa vào biểu đồ Bode gần đúng, hãy xác định tần số cắt biên của hệ thống.

Giải:

Các tần số gãy:

sec)/(10001,0

11sec)/(10

1,0

11

2

2

1

1 radT

radT

Biểu đồ Bode qua điểm A có toạ độ:

40100lg20lg20

1

KL

Biểu đồ Bode có biên độ gần đúng nhƣ sau:

Theo hình vẽ, tần số cắt biên của hệ thống là 10

3rad/sec.


70

Thí dụ 2: Xác định hàm truyền của hệ thống có biểu đồ Bode biên độ gần đúng nhƣ sau:

- Độ dốc đoạn CD: )/(40301.12

2654decdB

- Các tần số gãy:

sec)/(100102lg

sec)/(2010301.1lg

sec)/(5107.020

26400lg

2

33

301.1

22

7.0

11

rad

rad

rad

gg

gg

gg

- Hàm truyền cần tìm có dạng:

01.0100

1105.0

20

112.0

5

11

10040lg20

1

11)(

3

3

2

2

1

1

2

3

2

21

ggg

TTT

KK

sTs

sTsTKsG

Chương 4: Khảo sát tính ổn định

71

CChhưươơnngg 44

KKHHẢẢOO SSÁÁTT TTÍÍNNHH ỔỔNN ĐĐỊỊNNHH

CCỦỦAA HHỆỆ TTHHỐỐNNGG TTỰỰ ĐĐỘỘNNGG

4.1. KHÁI NIỆM VỀ ỔN ĐỊNH

Định nghĩa: ổn định BIBO

Hệ thống đƣợc gọi là ổn định BIBO (Bounded Input Bounded Output) nếu đáp ứng

của hệ bị chặn khi tín hiệu vào bị chặn.

Mối liên hệ giữa tính ổn định và hàm truyền mô tả hệ thống: Cực và zero

Cho hệ thống tự động có hàm truyền:

nn

nn

mm

mm

asasasa

bsbsbsb

sR

sCsG

1

1

10

1

1

10

)(

)()(

Đặt: nn

nn asasasasA

1

1

10)( : mẫu số hàm truyền

mm

mm bsbsbsbsB

1

1

10)( : tử số hàm truyền

Zero: là nghiệm của tử số hàm truyền, tức là nghiệm của phƣơng trình B(s) = 0. Do B(s) bậc m

nên có hệ thống có m zero ký hiệu là zi, i=1, 2, …, m.

Cực: là nghiệm của mẫu số hàm truyền, tức là nghiệm của phƣơng trình A(s) = 0. Do A(s) bậc n

nên hệ thống có n ký hiệu là pi, i =1, 2, …, n.

Giản đồ cực – zero là đồ thị biểu diễn vị trí các cực và các zero của hệ thống trong mặt phẳng

phức.

Giản đồ cực - zero

Điều kiện ổn định


72

- Tính ổn định của hệ thống phụ thuộc vào vị trí các cực.

- Hệ thống có tất cả các cực có phần thực âm (có tất cả các cực đều nằm bên trái

mặt phẳng phức): hệ thống ổn định.

- Hệ thống có cực có phần thực bằng 0 (nằm trên trục ảo), các cực còn lại có phần

thực bằng âm: hệ thống ở biên giới ổn định.

- Hệ thống có ít nhất một cực có phần thực dƣơng (có ít nhất một cực nằm bên phải

mặt phẳng phức): hệ thống không ổn định.

Phƣơng trình đặc trƣng (PTĐT)

- Phƣơng trình đặc trƣng: phƣơng trình A(s) = 0

- Đa thức đặc trƣng: đa thức A(s)

Chú ý:

Hệ thống hồi tiếp:

Hàm truyền tƣơng đƣơng của hệ thống:

)()(1

)()(

sHsG

sGsGk

Phƣơng trình đặc trƣng của hệ thống hồi tiếp là:

1+G(s)H(s) = 0

Hệ thống đƣợc mô tả bởi hệ PTTT:

)()(

)()()(

tDxtc

tBrtAxtx

Hàm truyền của hệ thống là:

BAsIDsG 1)()(

Phƣơng trình đặc trƣng của hệ:

det(sI − A) = 0

4.2. TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH ĐẠI SỐ

4.2.1. Điều kiện cần

Điều kiện cần để hệ thống ổn định là tất cả các hệ số của phƣơng trình đặc trƣng phải

khác 0 và cùng dấu.

Thí dụ: Hệ thống có phƣơng trình đặc trƣng:

123 23 sss =0 không ổn định

0352 24 sss không ổn định

01254 234 ssss chƣa kết luận đƣợc

4.2.2. Tiêu chuẩn ổn định đại số

Cho hệ thống có phƣơng trình đặc trƣng:


73

01

1

10

nn

nn asasasa

Muốn xét tính ổn định của hệ thống theo tiêu chuẩn Routh, trƣớc tiên ta thành lập

bảng Routh theo qui tắc:

- Bảng Routh có n+1 hàng.

- Hàng 1 của bảng Routh gồm các hệ số có chỉ số chẳn.

- Hàng 2 của bảng Routh gồm các hệ số có chỉ số lẻ.

- Phần tử ở hàng i cột j của bảng Routh (i ≥ 3) đƣợc tính theo công thức:

1,11,2 jiijiij ccc

Với: 1,1

1,2

i

i

ic

c

ns 011 ac 212 ac 413 ac 6

14 ac …

1ns 121 ac 322 ac ac 23 7

24 ac …

21

113

c

c

2ns

2231231 ccc 2331332 ccc

2431433 ccc

2531534 ccc

…

31

214

c

c

3ns

3242241 ccc 3342342 ccc

3442443 ccc

3542544 ccc

…

… … … … … … …

1.1

1.2

n

n

nc

c

0s 2.12.2 nnnxl ccc

Phát biểu tiêu chuẩn Routh:

Điều kiện cần và đủ để hệ thống ổn định là tất cả các phần tử nằm ở cột 1 của

bảng Routh đều dương. Số lần đổi dấu của các phần tử ở cột 1 của bảng Routh bằng số

nghiệm của phƣơng trình đặc trƣng nằm bên phải mặt phẳng phức.

Thí dụ 1: Hãy xét tính ổn định của hệ thống có phƣơng trình đặc trƣng là:

01254 234 ssss

Giải: Bảng Routh 4s 1 5 1

3s 4 2 0

4

13

2s

2

92.

4

15

1

9

84

1s

9

101.

9

82

0

20

815

0s 1


74

Vì tất cả các phần tử ở cột 1 bảng Routh đều dƣơng nên tất cả các nghiệm của

phƣơng trình đặc tính đều nằm bên trái mặt phẳng phức, do đó hệ thống ổn định.

Thí dụ 2:

Hãy xét tính ổn định của hệ thống tự động có sơ đồ khối nhƣ sau:

)5)(3(

50)(

2

sssssG

2

1)(

ssH

Giải:

Phƣơng trình đặc trƣng của hệ thống là: 0)()(1 sHsG

0503031166

050)2)(5)(3(

0)2(

1.

)5)(3(

501

2345

2

2

sssss

sssss

sssss

Bảng Routh: 5s 1 16 30

4s 6 31 50

6

13

3s 83.1031.

6

116 67.2150.

6

130

0

9

84

2s 99.1867.21

83.10

631

50

99.18

83.105

1s 84.650

99.18

83.1067.21

0

0s 50

Vì các phần tử ở cột 1 bảng Routh đổi dấu 2 lần nên phƣơng trình đặc tính đều có 2

nghiệm nằm bêm phải mặt phăng phức, do đó hệ thống không ổn định.

Thí dụ 3: Cho hệ thống có sơ đồ khối nhƣ sau:

)2)(1()(

2

ssss

KsG

Xác định điều kiện của K để hệ thống ổn định:


75

Giải:

Phƣơng trình đặc tính: 0)(1 sG

0233

0)2)(1(

1

234

2

Kssss

ssss

K

Bảng Routh: 4s 1 3 K

3s 3 2 0

3

13

2s

3

72.

3

13

K

7

94

1s K.

7

92

0

0s K

Điều kiện để hệ thống ổn định:

9

140

0

07

92

K

K

K

Các trƣờng hợp đặc biệt:

Trƣờng hợp đặc biệt 1: Nếu bảng Routh có hệ số ở cột 1 của hàng nào đó bằng 0, các hệ

số còn lại của hàng đó khác 0 thì ta thay hệ số bằng 0 ở cột 1 bởi số ε dương nhỏ tùy ý,

sau đó quá trình tính toán đƣợc tiếp tục.

Thí dụ: Xét tính ổn định của hệ thống có phƣơng trình đặc trƣng là:

03842 234 ssss

Giải:

Bảng Routh:

4s 1 4 3

3s 2 8 0

2

13

2s

2s

08.2

14

0

3

3

7

94

1s K.

7

92

0

0s K

Kết luận: Vì các hệ số ở cột 1 bảng Routh đổi dấu 2 lần nên phƣơng trình đặc trƣng của

hệ thống có hai nghiệm nằm bên phải mặt phẳng phức, do đó hệ thống không ổn định .

Trƣờng hợp đặc biệt 1: Nếu bảng Routh có tất cả các hệ số của hàng nào đó bằng 0:

- Thành lập đa thức phụ từ các hệ số của hàng trƣớc hàng có tất cả các hệ số bằng

0, gọi đa thức đó là A0(s).


76

- Thay hàng có tất cả các hệ số bằng 0 bởi một hàng khác có các hệ số chính là các

hệ số của đa thức dA0(s)/ds, sau đó quá trình tính toán tiếp tục.

Chú ý: Nghiệm của đa thức phụ A0(s) cũng chính là nghiệm của phƣơng trình đặc trƣng.

Thí dụ: Xét tính ổn định của hệ thống có phƣơng trình đặc trƣng:

047884 2345 sssss

Xác định số nghiệm của phƣơng trình đặc tính nằm bên trái, bên phải hay trên trục

ảo của mặt phẳng phức.

Giải:

Bảng Routh:

5s 1 8 7

4s 4 8 4

4

13

3s 68

4

18 64

4

17

0

6

44

2s 46

16

48

4

14

65

1s

1s

044

66

8

0

8

46

0s 40

8

44

Đa thức phụ: 08)(

44)( 02

0 sds

sdAssA

Nghiệm của đa thức phụ (cũng chính là nghiệm của phƣơng trình đặc trƣng):

jsssA 44)( 2

0

Kết luận:

- Các hệ số cột 1 bảng Routh không đổi dấu nên phƣơng trình đặc trƣng không có

nghiệm nằm bên phải mặt phẳng phức.

- Phƣơng trình đặc tính có 2 nghiệm nằm trên trục ảo.

- Số nghiệm nằm bên trái mặt phẳng phức là 4-2=2

Hệ thống ở biên giới ổn định.

4.2.3. Tiêu chuẩn ổn định Hurwitz:

Cho hệ thống có phƣơng trình đặc trƣng:

01

1

10

nn

nn asasasa

Muốn xét tính ổn định của hệ thống theo tiêu chuẩn Hurwitz, trƣớc tiên ta thành lập

ma trận Hurwitz theo qui tắc:

- Ma trận Hurwitz là ma trận vuông cấp n x n.

- Đƣờng chéo của ma trận Hurwitz gồm các hệ số từ a1 đến an.

- Hàng lẻ của ma trận Hurwitz gồm các hệ số có chỉ số lẻ theo thứ tự tăng dần nếu

ở bên phải đƣờng chéo và giảm dần nếu ở bên trái đƣờng chéo.


77

- Hàng chẵn của ma trận Hurwitz gồm các hệ số có chỉ số chẵn theo thứ tự tăng

dần nếu ở bên phải đƣờng chéo và giảm dần nếu ở bên trái đƣờng chéo.

na

aaa

aaa

aaaa

aaaa

0

00

00

0

0

420

531

6420

7531

Phát biểu tiêu chuẩn Hurwitz:

Điều kiện cần và đủ để hệ thống ổn định là tất cả các định thức con chứa đƣờng chéo

của ma trận Hurwitz đều dƣơng.

Thí du: Cho hệ thống tự động có phƣơng trình đặc trƣng là:

0234 23 sss

Hỏi hệ thống có ổn định không ?

Giải:

Ma trận Hurwitz:

240

031

024

0

0

0

31

20

31

aa

aa

aa

Các định thức: 111 a

2010231

242

0

0

0

10213431

24

20

31

3

31

20

31

3

20

31

2

aa

aaa

aa

aa

aa

aa

aa

Vì tất cả các định thức con chứa đƣờng chéo của ma trận Hurwitz đều dƣơng nên hệ

thống ổn định.

Các hệ quả của tiêu chuẩn Hurwitz

Hệ bậc 2 ổn định nếu phƣơng trình đặc trƣng thỏa mãn điều kiện:

____

2,0,0 iai


0

3,0,0

3021

____

aaaa

iai



78

0

0

4,0,0

4

2

13

3

0321

3021

____

aaaaaaa

aaaa

iai

4.3. PHƢƠNG PHÁP QUỸ ĐẠO NGHIỆM SỐ

4.3.1. Khái niệm

- Xét hệ thống có phƣơng trình đặc tính: 042 Kss (1)

- Nghiệm của phƣơng trình đặc tính ứng với các giá trị khác nhau của K.

Vẽ các nghiệm của phƣơng trình (1) tƣơng ứng với các giá trị của K lên mặt phẳng

phức. Nếu cho K thay đổi liên tục từ 0 đến +∞, tập hợp tất cả các nghiệm của phƣơng

trình (1) tạo thành những đƣờng đậm nét nhƣ trên hình vẽ. Đƣờng đậm nét trên hình vẽ

đƣợc gọi là quỹ đạo nghiệm số.

Định nghĩa:

Quỹ đạo nghiệm số là tập hợp tất cả các nghiệm của phƣơng trình đặc trƣng của hệ

thống khi có một thông số nào đó trong hệ thay đổi từ 0 → ∞.

4.3.2. Qui tắc vẽ quỹ đạo nghiệm số

Xét hệ thống điều khiển:

Phƣơng trình đặc tính của hệ:

1+G(s)H(s) = 0

Muốn áp dụng các qui tắc vẽ quỹ đạo nghiệm số, trƣớc tiên ta phải biến đổi tƣơng

đƣơng phƣơng trình đặc trƣng về dạng:

0)(

)(1

sD

sNK (2)


79

Đặt: )(

)()(0

sD

sNKsG

Gọi n là số cực của G0(s) , m là số zero của Go(s).

0)(1)2( 0 sG

)12()(

1)(

0

0

lsG

sG

Điều kiện biên độ

Điều kiện pha

Sau đây là 11 qui tắc vẽ quỹ đạo nghiệm số của hệ thống có phƣơng trình đặc tính có

dạng (2):

Qui tắc vẽ QĐNS

Qui tắc 1: Số nhánh của quỹ đạo nghiệm số = bậc của phƣơng trình đặc tính

= số cực của G0(s) = n.

Qui tắc 2: Khi K = 0: các nhánh của quỹ đạo nghiệm số xuất phát từ các cực của G0(s).

Khi K tiến đến +∞ : m nhánh của quỹ đạo nghiệm số tiến đến m zero của

G0(s), n−m nhánh còn lại tiến đến ∞ theo các tiệm cận xác định bởi qui tắc 5 và

qui tắc 6.

Qui tắc 3: Quỹ đạo nghiệm số đối xứng qua trục thực.

Qui tắc 4: Một điểm trên trục thực thuộc về quỹ đạo nghiệm số nếu tổng số cực và zero

của G0(s) bên phải nó là một số lẻ.

Qui tắc 5: Góc tạo bởi các đƣờng tiệm cận của quỹ đạo nghiệm số với trục thực xác định

bởi :

2,1,1)12(

l

mn

l

Qui tắc 6: Giao điểm giữa các tiệm cận với trục thực là điểm A có tọa độ xác định bởi:

mn

zp

mn

zerocucOA

m

i

i

n

i

i

11

Qui tắc 7: Điểm tách nhập (nếu có) của quỹ đạo nghiệm số nằm trên trục thực và là

nghiệm của phƣơng trình:

0ds

dK

Qui tắc 8: Giao điểm của quỹ đạo nghiệm số với trục ảo có thể xác định bằng cách áp

dụng tiêu chuẩn Routh–Hurwitz hoặc thay s=jω vào phƣơng trình đặc trƣng (2),

cân bằng phần thực và phần ảo sẽ tìm đƣợc giao điểm với trục ảo và giá trị K.

Qui tắc 9: Góc xuất phát của quỹ đạo nghiệm số tại cực phức pj đƣợc xác định bởi:

n

jii

ij

m

i

iij zpzp11

0 argarg180

Dạng hình học của công thức trên là:

0180j góc từ các zero đến cực pj ) − ( góc từ các cực còn lại đến cực p j )


80

Qui tắc 10: Tổng các nghiệm là hằng số khi K thay đổi từ 0→∞.

Qui tắc 11: Hệ số khuếch đại dọc theo quỹ đạo nghiệm số có thể xác định từ điều kiện

biên độ:

1)(

)(

sD

sNK

Thí dụ: Cho hệ thống có sơ đồ khối sau:

)3)(2()(

sss

KsG

Hãy vẽ QĐNS của hệ thống khi K=0→∞.

Giải:

Phƣơng trình đặc tính của hệ thống:

0)3)(2(

10)(1

sss

KsG

Các cực: 3 cực 320 321 ppp

Các zero: không có

QĐNS gồm có 3 nhánh xuất phát từ các cực khi K = 0. Khi K→∞, 3 nhánh của QĐNS

sẽ tiến đến vô cùng theo các tiệm cận xác định bởi:

- Góc giữa các tiệm cận và trục thực:

1

13

03

03

1212

3

2

1

l

l

l

l

mn

l

- Giao điểm giữa các tiệm cận và trục thực:

3

5

03

0)3()2(0

mn

zerocucOA

- Điểm tách nhập là nghiệm của phƣơng trình đặc tính: 0ds

dK

Ta có:

785.0

549.20

6103

65)3)(2(1

2

1

2

23

s

s

ds

dK

ssds

dK

ssssssK


81

- Giao điểm của QĐNS với trục ảo có thể đƣợc xác định bằng 1 trong 2 sau đây:

Cách 1: Áp dụng tiêu chuẩn Routh:

)2(0651 23 Ksss

Bảng Routh

s3 1 6

s2 5 K

5

13

s1

6-5

1xK=0

0

s0 K

Điều kiện để hệ thống ổn định

300

0

05

16

K

K

K

Vậy hệ số khuếch đaị giới hạn là Kgh = 0

Thay giá trị Kgh = 30 vào phƣơng trình (2) , giải phƣơng trình ta đƣợc giao điểm của

QĐNS của trục ảo.

030651 23 sss

6

6

5

3

2

1

js

js

s

Do đó: 0ds

dK 020163 2 ss

00.2

33.3

2

1

s

s

Vậy QĐNS có 2 điểm tách nhập.

Giao điểm của QĐNS với trục ảo đƣợc xác định bằng cách thay js vào phƣơng

trình đặc tính.

- 065065 2323 KjjKjjj

30

6

0

0

05

06

2

3

K

K

K

jj


82

Thí dụ: Cho hệ thống hồi tiếp âm đơn vị, trong đó hàm truyền hở là:

208)(

2

sss

KsG

Hãy vẽ QĐNS của hệ thống khi K = 0→∞.

Giải:

Phƣơng trình đặc tính của hệ thống:

0)38(

10)(12

sss

KsG (1)

Các cực: 3 cực 240 3,21 jpp

Các zero: không có

QĐNS gồm 2 nhánh xuất phát tại các cực khi K = 0. Khi K →∞, 3 nhánh tiến đến vộ

cùng theo tiệm cận xác định bởi:

- Góc giữa các tiệm cận và trục thực:

1

13

03

03

1212

3

2

1

l

l

l

l

mn

l


83

- Giao điểm giữa các tiệm cận và trục thực:

3

8

03

0)24()24(0

jj

mn

zerocucOA

- Điểm tách nhập là nghiệm của phƣơng trình: 0ds

dK

Ta có:

20163

2081

2

23

ssds

dK

sssK

Do

00.2

33.3201630

2

12

s

sss

ds

dK

Vậy QĐNS có 2 điểm tách nhập.

- Giao điểm của QĐNS với trục ảo

- (1) 0208 23 Ksss

Thay js ta đƣợc:

02081 23 Ksss

160

20

0

0

020

08

02080208

3

3

2323

K

KKj

KjjjKjjj

0

2

0

10

0

3212

0

2

5.63

905.153180

901

2180

2424arg024arg180

argarg180

tg

jjj

pppp

208)3(

)1()(

2

ssss

sKsG

0

208)3(

)1(10)(1

2

ssss

sKsG

2430 4,321 jppp

11 z


84

3

10

14

124)24()3(0

1

13

03

14

1212

3

2

1

jj

mn

zerocucOA

l

l

l

l

mn

l

97.066.0

05.167.30

1

608877363

)1(

208)3(1

4,3

2,1

2

2342

js

js

ds

dK

s

ssss

ds

dK

s

ssssK

)2(06044111 234 KsKsss

7.61

314.1

322

893.5

0

0

604411

044

0604411

23

24

234

K

j

K

K

K

Kj

KjKj

V

Vậy giao điểm cần tìm là: 893.5js

Hệ số khuếch đại giới hạn là: 322ghK

- Góc xuất phát của QĐNS tại cực phức

p3:

0

3

43213

7.33

)906,1164,153(3,146180

180

Thí dụ 4: Cho hệ thống điều khiển có sơ đồ khối nhƣ sau:

39

10)(

2

sssG

s

KKsG I

PC )(


85

- Cho KI = 2,7, hãy vẽ QĐNS của hệ thống sau đây khi 0PK . Biết rằng

0/ dsdKP có 3 nghiệm là: -3, -3, 1.5.

- Khi 7.2,270 IP KK , hệ thống có ổn định không?

Giải:

- Phƣơng trình đặc trƣng của hệ thống:

0)()(1 sGsGC

0)3)(9(

101

039

107.21

2

2

ss

sK

sssK

P

P

- Các cực: 339 321 jpjpp

- Các zero: z1=0

- Tiệm cận:

2

9

13

0)3()3(9

12/

0(2/

13

1212

jj

mn

zerocucOA

l

ll

mn

l

- Điểm tách nhập

5.1

3

3

0

3

2

1

s

s

s

ds

dK P

QĐNS có hai điểm tách nhập trùng nhau tại -3.

Góc xuất phát của QĐNS tại cực phức p2.

0

2

10

0

321212

0

2

169

909

390180

33arg93arg03arg180

argargarg180

tg

jjjj

ppzpzp


86

- Khi 7.2IK , QĐNS của hệ thống nằm

hoàn toàn bên trái mặt phẳng phức khi

0PK , do đó hệ thống ổn định

khi 7.2IK , 270PK .

4.4. TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH TẦN SỐ

4.4.1. Khái niệm về đặc tính tần số:

Xét hệ thống tuyến tính khi tín hiệu vào là tín hiệu hình sin thì ở trạng thái xác lập

tín hiệu ra cũng là tín hiệu hình sin cùng tần số với tín hiệu vào, khác biên độ và pha.

Định nghĩa: Đặc tính tần số của hệ thống là tỉ số giữa tín hiệu ra ở trạng thái xác lập

và tín hiệu vào hình sin.

Đặc tính tần số

)(

jR

jC

Ngƣời ta chứng minh đƣợc:

Đặc tính tần số )()(

jGsGjs

Thí dụ: Nếu hệ thống có hàm truyền là )1(

)3(10)(

ss

ssG thì đặc tính tần số của hệ thống là

)1(

)3(10)(

jj

jjG

Tổng quát )( jG là một hàm phức nên có thể biểu diễn dƣới dạng đại số hoặc dạng cực:

)().()()()( jeMjQPjG

Trong đó: 22 QPjGM : đáp ứng biên độ

R(jω) C(jω) HT

c(t)=Cmsin(jω+φ) r(t)=Rmsin(jω)


87

P

QtgjG 1 : đáp ứng pha

Đặt: ML lg20 : đáp ứng biên độ tính theo đơn vị dB(decibel).

Ý nghĩa vật lý:

- Đáp ứng biên độ cho biết tỉ lệ về biên độ (hệ số khuếch đại) giữa tín hiệu ra và tín hiệu

vào theo tần số.

- Đáp ứng pha cho biết độ lệch pha giữa tín hiệu ra và tín hiệu vào theo tần số.

Biểu đồ Bode: là hình vẽ gồm 2 thành phần:

1. Biểu đồ Bode về biên độ: là đồ thị biểu diễn mối quan hệ giữa đáp ứng biên độ L(ω)

theo tần số ω.

2. Biểu đồ Bode về pha: là đồ thị biểu diễn mối quan hệ giữa pha φ(ω) theo tần số ω.

Cả hai đồ thị trên đều đƣợc vẽ trong hệ toạ độ vuông góc với trục hoành ω đƣợc chia theo

thang logarith (cơ số 10).

Biểu đồ Nyquist: (đƣờng cong Nyquist) là đồ thị biểu diễn đặc tính tần số G(jω) trong hệ

toạ độ cực khi ω thay đổi từ 0→∞.

Đặc tính tần số của hệ thống có các thông số quan trọng sau đây:

- Đỉnh cộng hƣởng (Mp): đỉnh cộng hƣởng là giá trị cực trị đại của M(ω)

- Tần số cộng hƣởng (ωp): là tần số tại đó có đỉnh cộng hƣởng.

- Tần số cắt biên (ωc): là tần số tại đó biên độ của đặc tính tần số bằng 1 (hay bằng

0dB)

M(ωc) = 1 Lωc) = 0

- Tần số cắt pha (ω-π): là tần số tại đó pha của đặc tính tần số bằng -π

(hay bằng -1800)

rad

0180

- Độ dự trữ biên (GM-Gain Margin)

][

1dBLGM

MGM

- Độ dự trữ pha (ФM-Phase Margin)

- cM 0180


88


4.4.2. Tiêu chuẩn ổn định Bode:

Cho hệ thống hồi tiếp âm đơn vị, biết đặc tính tần số của hệ hở G(s), bài toán đặt ra

là xét tính ổn định của hệ thống kín Gk(s).

Tiêu chuẩn Bode: hệ thống kín )(sGk ổn định nếu hệ thống hở G(s) có độ dự trữ

biên và độ dự trữ pha dƣơng:

0

0

M

GM Hệ thống ổn định

Thí dụ: Cho hệ thống hồi tiếp âm đơn vị, biết rằng hệ hở có biểu đồ Bode nhƣ hình vẽ.

xác định độ dự trữ biên, độ dự trữ pha của hệ thống hở. Hỏi hệ kín có ổn định không?


89

Theo biểu đồ Bode:

000

0

90270180

35

270

35

2

5

M

dBGM

dBL

c

c

Do 0GM và 0M

Nên hệ thống kín ổn định.

4.4.3. Tiêu chuẩn ổn định Nyquist:

Cho hệ thống tự động có sơ đồ khối:

Cho biết đặc tính tần số của hệ hở G(s), bài toán đặt ra là xét tính ổn định của hệ

thống kín Gk(s).

Tiêu chuẩn Nyquist: Hệ thống kín Gk(s) ổn định nếu đƣờng cong Nyquist của hệ hở bao

điểm (-1, j0) 2

lvòng theo chiều dƣơng (ngƣợc chiều kim đồng hồ) khi ω thay đổi từ

0→+∞, trong đó l là số cực của hệ hở G(s) nằm bên phải của mặt phẳng phức.

Thí dụ 1: Cho hệ thống hồi tiếp âm đơn

vị, trong đó hệ hở G(s) có đƣờng cong

Nyquist nhƣ hình vẽ. Biết rằng G(s) ổn

định. Xét tính ổn địnhcủa hệ thống kín.

Giải:

Vì G(s) ổn định nên G(s) không có cực

nằm bên phải mặt phẳng phức, do đó theo

tiêu chuẩn Nyquist hệ kín ổn định nếu

đƣờng cong Nyquist G(jω) của hệ hở

không bao điểm (−1, j0)

- Trƣờng hợp 1: G(jω) không bao điểm (−1, j0) ⇒ hệ kín ổn định.

- Trƣờng hợp 2: G(jω) qua điểm (−1, j0) ⇒ hệ kín ở biên giới ổn định.


90

- Trƣờng hợp 3: G(jω) bao điểm (−1, j0) ⇒ hệ kín không ổn định.

Thí dụ 2: Hãy đánh giá tính ổn định của hệ

thống hồi tiếp âm đơn vị, biết rằng hàm

truyền hệ hở G(s) là:

)1)(1)(1()(

321

sTsTsTs

KsG

Giải:

Biểu đồ Nyquist:

Vì G(s) không có cực nằm bên phải

mặt phẳng phức, do đó theo tiêu chuẩn

Nyquist hệ kín ổn định nếu đƣờng cong

Nyquist G(jω) của hệ hở không bao điểm

(−1, j0)

- Trƣờng hợp 1: G(jω) không bao điểm (−1, j0) ⇒ hệ kín ổn định.

- Trƣờng hợp 2: G(jω) qua điểm (−1, j0) ⇒ hệ kín ở biên giới ổn định;

- Trƣờng hợp 3: G(jω) bao điểm (−1, j0) ⇒ hệ kín không ổn định

Thí dụ 3: Cho hệ thống hở không ổn định có đặc tính tần số nhƣ các hình vẽ dƣới đây.

Hỏi trƣờng hợp nào hệ kín ổn định.

Ổn định Không ổn định

Cho hệ thống hở không ổn định có đặc tính tần số nhƣ các hình vẽ dƣới đây. Hỏi

trƣờng hợp nào hệ kín ổn định.


91

Không ổn định

Cho hệ thống hở không ổn định có đặc tính tần số nhƣ các hình vẽ dƣới đây. Hỏi

trƣờng hợp nào hệ kín ổn định.

Ổn định Không ổn định

Thí dụ 4: Cho hệ thống hở có hàm truyền đạt là: 2,0,0)1(

)(

nTKTs

KsG

n

Tìm điều kiện của K và T để hệ thống kín (hồi tiêp âm đơn vị) ổn định.

Giải:

Đặc tính tần số của hệ thống là: nTj

KjG

)1()(

- Biên độ: nT

KM

122

- Pha: Tntg 1

Biểu đồ Nyquist:


92

Điều kiện ổn định: đƣờng cong Nyquist không bao điểm (-1, j0). Theo biểu đồ Nyquist,

điều này xảy ra khi:

1M

Ta có:

Tntg 1

ntg

T

ntgT

nTtg

1

1

Do đó: 1

11

12

2

n

ntg

TT

KM

n

ntgK

12

Chương 5: Đánh giá chất lượng hệ thống điều khiển

93

CChhưươơnngg 55

ĐĐÁÁNNHH GGIIÁÁ CCHHẤẤTT LLƯƯỢỢNNGG

HHỆỆ TTHHỐỐNNGG ĐĐIIỀỀUU KKHHIIỂỂNN

5.1. CÁC TIÊU CHUẨN CHẤT LƢỢNG

5.1.1. Sai số xác lập

Xét hệ thống hồi tiếp có sơ đồ khối nhƣ hình vẽ:

Sai số: là sai lệch giữa tín hiệu vào và tín hiệu hồi tiếp.

Sai số hệ thống là:

)()()()()()( sCsRsEtctrte htht

- Sai số xác lập: là sai số của hệ thống khi thời gian tiến đến vô cùng.

)(lim)(lim00

ssEetees

xlt

xl

- Sai số xác lập không những phụ thuộc vào cấu trúc và thông số của hệ thống

mà còn phụ thuộc vào tín hiệu vào.

Đáp ứng quá độ: Độ vọt lố

- Hiện tƣợng vọt lố: là hiện tƣợng đáp ứng của hệ thống vƣợt quá giá trị xác lập

của nó.

- Độ vọt lố: (Percent of Overshoot – POT) là đại lƣợng đánh giá mức độ vọt lố

của hệ thống, độ vọt lố đƣợc tính bằng công thức:

%100max

xl

xl

c

ccPOT


94

- Thời gian quá độ (tqđ): là thời gian cần thiết để sai lệch giữa đáp ứng của hệ

thống và giá trị xác lập của nó không vƣợt quá ε%.

ε% thƣờng chọn là 2% (0.02) hoặc 5% (0.05)

- Thời gian lên (tr): là thời gian cần thiết để đáp ứng của hệ thống tăng từ 10%

đến 90% giá trị xác lập của nó.

Biều thức sai số xác lập

Ta có: )()(1

)()(

sHsR

sRsE

Suy ra: )()(1

)(lim)(lim

00 sHsR

ssRssEe

ssxl

Nhận xét: sai số xác lập không chỉ phụ thuộc vào cấu trúc và thông số của hệ thống

mà còn phụ thuộc vào tín hiệu vào.

a. Tín hiệu vào là hàm nấc đơn vị: s

sR1

)( (hệ số vị trí)


95

P

xlK

e

1

1 với )()(lim

0sHsGK

sP

b. Tín hiệu vào là hàm dốc đơn vị: 2

1)(

ssR (hệ số vận tốc)

V

xlK

e1

)()(lim0

sHsGKs

V

c. Tín hiệu vào là hàm parabol: 3

1)(

ssR (hệ số gia tốc)

a

xlK

e1

)()(lim0

sHsGKs

a

Mối liên hệ giữa số khâu tích phân trong G(s)H(s) và sai số xác lập

- Tùy theo số khâu tích phân lý tƣởng có trong hàm truyền G(s)H(s) mà các hệ số

Kp, Kv, Ka có giá trị nhƣ sau:

Số khâu tích phân

trong G(s)H(s)

Hệ số vị trí

PK

Hệ số vận tốc

VK

Hệ số gia tốc

aK

0 PK < 0 0

1 VK < 0

2 aK <

>3

Nhận xét:

- Muốn exl của hệ thống đối với tín hiệu vào là hàm nấc bằng 0 thì hàm truyền

G(s)H(s) phải có ít nhất 1 khâu tích phân lý tƣởng.

- Muốn exl của hệ thống đối với tín hiệu vào là hàm dốc bằng 0 thì hàm truyền


- Muốn exl của hệ thống đối với tín hiệu vào là hàm parabol bằng 0 thì hàm truyền


Đáp ứng quá độ:

Hệ quán tính bậc 1:

Hàm truyền hệ quán tính bậc 1: 1

)(

Ts

KsG

Hệ quán tính bậc 1 có một cực thực: T

p1

1


TteKtc

Ts

K

ssGsRsC

/1)(

1.

1)()()(


96

Nhận xét về hệ quán tính bậc 1:

- Hệ quán tính bậc 1 chỉ có 1 cực thực (−1/T), đáp ứng quá độ không có vọt lố.

- Thời hằng T: là thời điểm đáp ứng của khâu quán tính bậc 1 đạt 63% giá trị xác

lập.

- Cực thực (−1/T) càng nằm xa trục ảo thì thời hằng T càng nhỏ, hệ thống đáp ứng

càng nhanh.

- Thời gian quá độ của hệ quán tính bậc 1 là:

1lnTtqd

với ε = 0.02 (tiêu chuẩn 2%) hoặ ε = 0.05 (tiêu chuẩn 5%).

Quan hệ giữa vị trí cực và đáp ứng hệ quán tính bậc 1

- Cực nằm càng xa trục ảo đáp ứng của hệ quán tính bậc 1 càng nhanh, thời gian quá

độ càng ngắn.

Hệ dao động bậc 2:

Hàm truyền hệ dao động bậc 2:

Giản đồ cực – zero

của khâu quán tính bậc 1

Đáp ứng quá độ







97

10,

1

212)(

22

2

22

Tss

K

TssT

KsG n

nn

n

Hệ dao động bậc 2 có cực phức: 2

2,1 1 nn jp


cos1sin1

1)(

2.

1)()()(

2

2

22

2

te

Ktc

ss

K

ssGsRsC

n

t

nn

n

n

Nhận xét về hệ dao động bậc 2:

Hệ quán tính bậc 1

Nhận xét về hệ quán tính bậc 1

- Hệ quán tính bậc 1 chỉ có 1 cực thực (−1/T), đáp ứng quá độ không có vọt lố.

- Thời hằng T: là thời điểm đáp ứng của khâu quán tính bậc 1 đạt 63% giá trị xác

lập.

- Cực thực (−1/T) càng nằm xa trục ảo thì thời hằng T càng nhỏ, hệ thống đáp ứng

càng nhanh.

- Thời gian quá độ của hệ quán tính bậc 1 là:

1lnTtqd

với ε = 0.02 (tiêu chuẩn 2%) hoặc ε = 0.05 (tiêu chuẩn 5%)

Quan hệ giữa vị trí cực và đáp ứng hệ quán tính bậc 1.


của khâu dao động bậc 2




98

- Cực nằm càng xa trục ảo đáp ứng của hệ quán tính bậc 1 càng nhanh, thời gian quá

độ càng ngắn.

Hệ dao động bậc 2

Hàm truyền hệ dao động bậc 2:

10,

1

212)(

22

2

22

Tss

K

TssT

KsG n

nn

n

- Hệ dao động bậc 2 có cặp cực phức: 2

2,1 1 nn jp

- Đáp ứng quá độ:

cos1sin1

1)(

2.

1)()()(

2

2

22

2

te

Ktc

ss

K

ssGsRsC

n

t

nn

n

n






99

Nhận xét về hệ dao động bậc 2

- Hệ dao động bậc 2 có cặp cực phức, đáp ứng quá độ có dạng dao động với

biên độ giảm dần.

- Nếu ξ = 0, đáp ứng của hệ là dao

động không suy giảm với tần số ωn

⇒ ωn gọi là tần số dao động tự

nhiên.

- Nếu 0< ξ <1, đáp ứng của hệ là

dao động với biên độ giảm dần ⇒

ξ gọi là hệ số tắt (hay hệ số suy

giảm), ξ càng lớn (cực càng nằm

gần trục thực) dao động suy giảm

càng nhanh.

- Nhận xét về hệ dao động bậc 2

- Đáp ứng quá độ của hệ dao động bậc 2 có vột lố:

Độ vọt lố:

%100.1

exp2

POT






100

ξ càng lớn (cặp cực càng nằm gần trục

thực) POT càng nhỏ.

ξ càng nhỏ (cặp cực phức càng nằm gần

trục ảo) POT càng lớn.

Thời gian quá độ:

Tiêu chuẩn 5%:n

qdt

3

Tiêu chuẩn 2%:n

qdt

4

Quan hệ giữa hệ số tắt và độ vọt lố

Quan hệ giữa vị trí cực và đáp ứng hệ dao động bậc 2.

Các hệ dao động bậc 2 có các cực nằm trên cùng 1 tia xuất phát từ góc tọa độ thì có

hệ số tắt bằng nhau, do đó có độ vọt lố bằng nhau. Hệ nào nằm xa gốc tọa độ hơn thì có

tần số dao động tự nhiên lớn hơn, do đó thời gian quá độ ngắn hơn.

Các hệ dao động bậc 2 có các cực nằm cách gốc tọa độ một khoảng bằng nhau thì có

cùng tần số dao động tự nhiên, hệ nào có cực nằm gần trục ảo hơn thì có hệ số tắt nhỏ

hơn, do đó độ vọt lố cao hơn, thời gian quá độ dài hơn.






101

Quan hệ giữa vị trí cực và đáp ứng hệ dao động bậc 2.

Các hệ dao động bậc 2 có các cực nằm cách trục ảo một khoảng bằng nhau thì có

ξωn bằng nhau, do đó thời gian quá độ bằng nhau. Hệ nào có cực nằm xa trục thực hơn thì

có hệ số tắt nhỏ hơn, do đó độ vọt lố cao hơn.

Hệ bậc cao

Hệ bậc cao có nhiều hơn 2 cực

Nếu hệ bậc cao có 1 cặp cực phức nằm gần trục ảo hơn so với các cực còn lại thì có

thể xấp xỉ hệ bậc cao về hệ bậc 2. Cặp cực phức nằm gần trục ảo nhất gọi là cặp cực quyết

định của hệ bậc cao.










102

Cácc tiêu chuẩn tối ƣu hóa đáp ứng quá độ

Tiêu chuẩn IAE (Integral of the Absolute Magnitude of the Error )

dtteJ IAE

0

)(

Tiêu chuẩn ISE (Integral of the Square of the Error)

dtteJ ISE

0

2 )(

Tiêu chuẩn ITAE (Integral of Time multiplied by the Absolute Value of the Error)

dttetJ ITAE

0

)(

Hệ bậc 2:

707.0min

5.0min

707.0min

ITAE

ISE

IAE

J

J

J

Đáp ứng của hệ bậc 2

Tiêu chuẩn ITAE đƣợc sử dụng phổ biến nhất

- Để đáp ứng quá độ của hệ thống bậc n là tối ƣu theo chuẩn ITAE thì mẫu số hàm

truyền kín hệ bậc n phải có dạng.

Bậc Mẫu số hàm truyền

Hệ bậc cao có nhiều hơn 2 cực Hệ bậc cao có thể xấp xỉ về hệ

bậc 2 với cặp cực quyết định


103

1 ns

2 22 414.1 nnss

3 3223 15.275.1 nnn sss

4 432234 7.24.31.2 nnnn ssss

- Nếu mẫu số hàm truyền hệ kín có dạng nhƣ bảng trên và tử số hàm truyền hệ kín

của hệ bậc n là thì đáp ứng quá độ của hệ thống là tối ƣu và sai số xác lập bằng 0.

Các tiêu chuẩn tối ƣu hóa đáp ứng quá độ

- Đáp ứng tối ƣu theo chuẩn ITAE

Chương 6: Thiết kế hệ thống điều khiển liên tục

104

CChhưươơnngg 66

TTHHIIẾẾTT KKẾẾ HHỆỆ TTHHỐỐNNGG ĐĐIIỀỀUU KKHHIIỂỂNN LLIIÊÊNN TTỤỤCC

6.1. KHÁI NIỆM

Thiết kế là toàn bộ quá trình bổ sung các thiết bị phần cứng cũng nhƣ thuật toán

phần mềm vào hệ cho trƣớc để đƣợc hệ mới thỏa mãn yêu cầu về tính ổn định, độ chính

xác, đáp ứng quá độ,… Có nhiều cách bổ sung bộ điều khiển vào hệ thống cho trƣớc,

trong khuôn khổ quyển giáo trình này chúng ta chủ yếu xét hai cách sau:

• Cách 1: thêm bộ điều khiển nối tiếp với hàm truyền của hệ hở, phƣơng pháp này gọi là

hiệu chỉnh nối tiếp. Bộ điều khiển đƣợc sử dụng có thể là bộ hiệu chỉnh sớm pha, trễ pha,

sớm trễ pha,P, PD, PI, PID,… Để thiết kế hệ thống hiệu chỉnh nối tiếp chúng ta có thể sử

dụng phƣơng pháp QĐNS hay phƣơng pháp biểu đồ Bode. Ngoài ra một phƣơng pháp

cũng thƣờng đƣợc sử dụng là thiết kế theo đặc tính quá độ chuẩn.

Hình 6.1. Hệ thống hiệu chỉnh nối tiếp

• Cách 2: điều khiển hồi tiếp trạng thái, theo phƣơng pháp này tất cả các trạng thái của

hệ thống đƣợc phản hồi trở về ngõ vào và tín hiệu điều khiển có dạng )()()( tKxtrtu .

Tùy theo cách tính vector hồi tiếp trạng thái K mà tacó phƣơng pháp điều khiển phân bố

cực, điều khiển tối ƣu LQR,….

Hình 6.2. Hệ thống điều khiển hồi tiếp trạng thái

Quá trình thiết kế hệ thống là quá trình đòi hỏi tính sáng tạo do trong khi thiết kế

thƣờng có nhiều thông số phải chọn lựa. Ngƣời thiết kế cần thiết phải hiểu đƣợc ảnh

hƣởng của các khâu hiệu chỉnh đến chất lƣợng của hệ thống và bản chất của từng phƣơng

pháp thiết kế thì mới có thể thiết kế đƣợc hệ thống có chất lƣợng tốt. Do đó các phƣơng

pháp thiết kế trình bày trong chƣơng này chỉ mang tính gợi ý, đó là những cách thƣờng

đƣợc sử dụng chứ không phải là phƣơng pháp bắt buộc phải tuân theo. Việc áp dụng một


105

cách máy móc thƣờng không đạt đƣợc kết quả mong muốn trong thực tế. Dù thiết kế theo

phƣơng pháp nào yêu cầu cuối cùng vẫn là thỏa mãn chất lƣợng mong muốn, cách thiết

kế, cách chọn lựa thông số không quan trọng.

Trƣớc khi xét đến các phƣơng pháp thiết kế bộ điều khiển, chúng ta xét ảnh hƣởng

của các bộ điều khiển đến chất lƣợng của hệ thống. Chƣơng này chỉ trình bày bộ điều

khiển dƣới dạng mô tả toán học, mạch điều khiển cụ thể xem lại chƣơng 2.

6.2. ẢNH HƢỞNG CỦA CÁC BỘ ĐIỀU KHIỂN ĐẾN CHẤT LƢỢNG CỦA HỆ

THỐNG

6.2.1. Ảnh hƣởng của cực và zero

Trong mục này chúng ta khảo sát ảnh hƣởng của việc thêm cực và zero vào hệ thống

bằng cách dựa vào quỹ đạo nghiệm số. Ta thấy:

• Khi thêm 1 cực có phần thực âm vào hàm truyền hệ hở thì QĐNS của hệ kín có xu

hƣớng tiến gần về phía trục ảo (xem hình 6.3), hệ thống sẽ kém ổn định hơn, độ dự trữ

biên và độ dự trữ pha giảm, độ vọt lố tăng.

Hình 6.3. Sự thay đổi dạng QĐNS khi thêm cực vào hệ thống

• Khi thêm 1 zero có phần thực âm vào hàm truyền hệ hở thì QĐNS của hệ kín có xu

hƣớng tiến xa trục ảo (xem hình 6.4), do đó hệ thống sẽ ổn định hơn, độ dự trữ biên và độ

dự trữ pha tăng, độ vọt lố giảm.

Hình 6.4. Sự thay đổi dạng QĐNS khi thêm cực vào hệ thống

6.2.2. Ảnh hƣởng của hiệu chỉnh sớm trễ pha

6.2.2.1. Hiệu chỉnh sớm pha:

Hàm truyền: )1(1

1)(

Ts

aTssGc (6.1)


106

Đặc tính tần số: )1(1

1)(

Tj

aTjjGc

Hình 6.5 là biểu đồ Bode của khâu hiệu chỉnh sớm pha. Dựa vào biểu đồ Bode của

khâu sớm pha chúng ta thấy đặc tính pha luôn dƣơng ( ,0 ), do đó tín hiệu ra

luôn luôn sớm pha hơn tín hiệu vào. Khâu hiệu chỉnh sớm pha là một bộ lọc thông cao

(xem biểu đồ Bode biên độ), sử dụng khâu hiệu chỉnh sớm pha sẽ mở rộng đƣợc băng

thông của hệ thống, làm cho đáp ứng của hệ thống nhanh hơn, do đó khâu hiệu chỉnh sớm

pha cải thiện đáp ứng quá độ. Tuy nhiên cũng do tác dụng mở rộng băng thông mà khâu

hiệu chỉnh sớm pha làm cho hệ thống nhạy với nhiễu tần số cao.

Hình 6.5. Bieåu ñoà Bode cuûa khaâu hieäu chænh sôùm pha

Các thông số cần chú ý trên đặc tính tần số của khâu sớm pha:

• Độ lệch pha cực đại:

1

1sin 1

max

(6.2)

• Tần số tại đó độ lệch pha cực đại:

T

1max (6.3)

• Biên độ tại pha cực đại:

lg10max L (6.4)

Chứng minh:


107

1

1arcsin

2

1arctan

2

1arctan

1

1arctan11arg

1

11arg

1

1arg

22

22

22

T

T

T

TjTT

T

jTTj

jT

Tj

Do đó:

1

1arcsinmax

Dấu đẳng thức xảy ra khi: TT /11 maxmax22

Thay T/1max vào biểu thức biên độ của khâu sớm pha ta dễ dàng rút ra công

thức (6.4).

6.2.2.2. Hiệu chỉnh trễ pha:

Hàm truyền: )1(1

1)(

Ts

aTssGc (6.5)

Đặc tính tần số:

Tj

aTjjGc

1

1)(

Hình 6.6 là biểu đồ Bode của khâu hiệu chỉnh trễ pha. Dựa vào biểu đồ Bode của

khâu trễ pha ta thấy đặc tính pha luôn âm ( ,0)( ) nên tín hiệu ra luôn luôn trễ pha

hơn tín hiệu vào. Khâu hiệu chỉnh trễ pha là một bộ lọc thông thấp (xem biểu đồ Bode

biên độ), sử dụng khâu hiệu chỉnh trễ pha sẽ thu hẹp băng thông của hệ thống, làm cho hệ

số khuếch đại của hệ thống đối với tín hiệu vào tần số cao giảm đi, do đó khâu hiệu chỉnh

trễ pha không có tác dụng cải thiện đáp ứng quá độ. Tuy nhiên cũng do tác dụng làm giảm

hệ số khuếch đại ở miền tần số cao mà khâu trễ pha có tác dụng lọc nhiễu tần số cao ảnh

hƣởng đến hệ thống. Do hệ số khuếch đại ở miền tần số thấp lớn nên khâu hiệu chỉnh trễ

pha làm giảm sai số xác lập của hệ thống (xem biểu thức sai số xác lập đã trình bày ở

chƣơng 5).

Các thông số cần chú ý trên đặc tính tần số của khâu trễ pha:

• Độ lệch pha cực tiểu:

1

1sin 1

min

(6.6)

• Tần số tại đó độ lệch pha cực tiểu:

T

1min (6.7)

• Biên độ tại pha cực tiểu:

lg10min L (6.8)

Chứng minh: Tƣơng tự nhƣ đã làm đối với khâu sớm pha.


108

Hình 6.6. Biểu đồ Bode của khâu hiệu chỉnh trễ pha

6.2.2.3 Hiệu chỉnh sớm trễ pha:

Khâu hiệu chỉnh sớm trễ pha gồm một khâu trễ pha mắc nối tiếp với một khâu sớm

pha. Hàm truyền của khâu hiệu chỉnh sớm trễ có thể viết dƣới dạng:

sT

sT

sT

sTsGsGsG CCC

2

22

1

1121

1

1

1

1)().()(

(6.9)

Để biểu thức (6.9) là hàm truyền của khâu sớm trễ pha thì các thông số phải thỏa

điều kiện: 221121 /1/1,1,1 TT .

Đặc tính tần số của khâu sớm trễ pha:

jT

jT

jT

jTjGc

2

22

1

11

1

1

1

1 (6.10)

Hình 6.7. Biểu đồ Bode của khâu hiệu chỉnh sớm trễ pha


109

Hình 6.7 là biểu đồ Bode của khâu hiệu chỉnh sớm trễ pha. Ở miền tần số cao tín

hiệu ra sớm pha hơn tín hiệu vào; ở miền tần số thấp tín hiệu ra trễ pha hơn tín hiệu vào

nên khâu hiệu chỉnh này đƣợc gọi là khâu hiệu chỉnh sớm trễ pha. Khâu hiệu chỉnh sớm

trễ pha là một bộ lọc chắn dãi (xem biểu đồ Bode biên độ), hệ số khuếch đại ở miền tần số

cao lớn làm cải thiện ứng quá độ; hệ số khuếch đại ở miền tần số thấp lớn làm giảm sai số

xác lập, do đó khâu hiệu chỉnh sớm trễ pha kết hợp các ƣu điểm của khâu hiệu chỉnh sớm

pha và trễ pha.

6.2.3. Hiệu chỉnh PID

6.2.3.1 Hiệu chỉnh tỉ lệ P: (Proportional)

Hàm truyền: Pc KsG )( (6.11)

Đặc tính tần số của khâu hiệu chỉnh tỉ lệ đã đƣợc trình bày ở chƣơng 2. Dựa vào các

biểu thức sai số xác lập đã trình bày ở chƣơng 4 ta thấy nếu hệ số khuếch đại KP càng lớn

thì sai số xác lập càng nhỏ, tuy nhiên khi KP tăng thì các cực của hệ thống nói chung có

xu hƣớng di chuyển xa ra trục thực, điều đó có nghĩa là đáp ứng của hệ thống càng dao

động, độ vọt lố càng cao. Nếu KP tăng quá giá trị hệ số khuếch đại giới hạn thì hệ thống sẽ

trở nên mất ổn định. Do đó không thể muốn sai số của hệ thống bằng 0 thì không thể tăng

hệ số khuếch đại lên vô cùng.

Thí dụ 6.1: Khảo sát ảnh hưởng của bộ điều khiển tỉ lệ.

Xét hệ thống hiệu chỉnh nối tiếp có sơ đồ khối nhƣ hình 6.1, trong đó hàm truyền

của đối tƣợng là: )3)(2(

10)(

sssG . Bộ điều khiển đƣợc sử dụng là bộ điều khiển tỉ lệ.

Đƣờng liền nét trong hình 6.8 là đáp ứng của hệ thống khi chƣa hiệu chỉnh KP = 1. Theo

hình vẽ ta thấy khi tăng KP thì sai số xác lập giảm, đồng thời độ vọt lố cũng tăng lên (các

đƣờng đứt nét).

Hình 6.8. Đáp ứng nấc của hệ thống kín khi thay đổi hệ số khuếch đại của bộ điều khiển tỉ lệ

6.2.3.2 Hiệu chỉnh vi phân tỉ lệ PD: (Proportional Derivative)

Hàm truyền: )1()( sTKsKKsG DPDPC (6.12)

trong đó DPD TKK , TD đƣợc gọi là thời hằng vi phân của bộ điều khiển PD.

Đặc tính tần số: DPDPC jTKjKKjG 1()( ) (6.13)


110

Hình 6.9. Biểu đồ Bode của khâu hiệu chỉnh PD

Mắc nối tiếp khâu hiệu chỉnh PD với hàm truyền của đối tƣợng tƣơng đƣơng với

việc thêm vào hệ thống một zero tại vị trí –1/TD. Nhƣ đã trình bày ở mục 6.2.1, việc thêm

vào hệ thống một zero làm cho QĐNS có xu hƣớng rời xa trục ảo và tiến gần về phía trục

thực, do đó làm giảm độ vọt lố của hệ thống.

Hình 6.9 là đặc tính tần số của khâu hiệu chỉnh PD. Dựa vào biểu đồ Bode của khâu

hiệu chỉnh PD ta thấy khâu hiệu chỉnh PD là một trƣờng hợp riêng của khâu hiệu chỉnh

sớm pha, trong đó độ lệch pha cực đại giữa tín hiệu ra và tín hiệu vào là 0

max 90 , tƣơng

ứng với tần số max . Khâu hiệu chỉnh PD có đặc điểm của khâu hiệu chỉnh sớm pha,

nghĩa là làm nhanh đáp ứng của hệ thống, giảm thời gian quá độ. Tuy nhiên do hệ số

khuếch đại ở tần số cao của khâu hiệu chỉnh PD là vô cùng lớn nên khâu hiệu chỉnh PD là

làm cho hệ thống rất nhạy với nhiễu tần số cao. Do đó xét về ảnh hƣởng của nhiễu tần số

cao thì khâu hiệu chỉnh sớm pha có ƣu thế hơn khâu hiệu chỉnh PD.

Thí dụ 6.2: Khảo sát ảnh hưởng của bộ điều khiển vi phân tỉ lệ.


của đối tƣợng là: )0())((

)(

babsas

KsG . Bộ điều khiển đƣợc sử dụng là bộ điều

khiển vi phân tỉ lệ. Phƣơng trình đặc tính của hệ thống sau khi hiệu chỉnh là:

0))((

)1(1

bsas

KsTK DP

Ảnh hưởng đặc trưng của khâu PD quyết định bởi thời hằng vi phân TD (cũng chính là vị

trí zero –1/TD trên QĐNS hay tần số gãy 1/TD trên đặc tính tần số). Tùy theo giá trị của TD

mà QĐNS của hệ thống sau khi hiệu chỉnh có thể có các dạng nhƣ hình 6.10.


111

Hình 6.10. Sự thay đổi dạng QĐNS khi thêm khâu hiệu chỉnh PD vào hệ thống

Ta thấy nếu 0 < 1/TD < a thì QĐNS của hệ thống sau khi hiệu chỉnh nằm hoàn toàn

trên trục thực (hình 6.10b và 6.10c), do đó đáp ứng của hệ thống hoàn toàn không có dao

động. Nếu 1/TD > a thì tùy giá trị của KP mà hệ thống có thể có nghiệm phức, tuy nhiên

nghiệm phức này gần trục thực hơn so với trục ảo (nghĩa là ξ>0.707), do đó độ vọt lố của

hệ thống thấp hơn so với chƣa hiệu chỉnh.

Hình 6.11a trình bày đáp ứng quá độ của hệ thống khi thay đổi giá trị TD và giữ hệ số

KP bằng hằng số. Ta thấy TD càng lớn thì đáp ứng càng nhanh, thời gian lên càng ngắn.

Tuy nhiên nếu thời gian lên nhanh quá thì sẽ dẫn đến vọt lố mặt dù đáp ứng không có dao

động.

Khi đã xác định đƣợc TD thì ảnh hƣởng của KP tƣơng tự nhƣ ảnh hƣởng của khâu

khuếch đại, nghĩa là nếu KP càng tăng (nhƣng phải nhỏ hơn Kgh) thì sai số xác lập càng

giảm (hình 6.11b), tuy nhiên sai số xác lập lúc nào cũng khác 0. Mặt khác trong trƣờng

hợp hệ thống đang khảo sát, khi KP càng tăng thì QĐNS càng rời xa trục ảo nên thời gian

đáp ứng cũng nhanh lên. Tuy nhiên ảnh hƣởng này không phải là ảnh hƣởng đặc trƣng

của khâu PD.


112

Hình 6.11. Ảnh hưởng của khâu hiệu chỉnh PD đến đáp ứng nấc đơn vị của hệ thống

6.2.3.3 Hiệu chỉnh tích phân tỉ lệ PI: (Proportional Integral)

Hàm truyền:

sTK

s

KKsG PPC

1

1 11)( (6.14)

trong đó IIPI TTKK ,/ đƣợc gọi là thời hằng tích phân của bộ điều khiển PI.


jTKjG

I

PC

11)( (6.15)

Mắc nối tiếp khâu hiệu chỉnh PI với hàm truyền của đối tƣợng tƣơng đƣơng với việc

thêm vào hệ thống một zero tại vị trí –1/TI và một cực tại góc tọa độ, điều này làm cho

QĐNS của hệ thống sau khi hiệu chỉnh bị đẩy về phía phải mặt phẳng phức, nên hệ thống

kém ổn định hơn .

Hình 6.12. Biểu đồ Bode của khâu hiệu chỉnh PI

Hình 6.12 là biểu đồ Bode của khâu hiệu chỉnh PI. Dựa vào biểu đồ Bode của khâu

hiệu chỉnh PI ta thấy khâu hiệu chỉnh PI là một trƣờng hợp riêng của khâu hiệu chỉnh trễ

pha, trong đó độ lệch pha cực tiểu giữa tín hiệu ra và tín hiệu vào là 0

min 90 tƣơng ứng


113

với tần số 0min . Khâu hiệu chỉnh PI có đặc điểm của khâu hiệu chỉnh trễ pha, nghĩa là

làm chậm đáp ứng quá độ, tăng độ vọt lố, giảm sai số xác lập. Do hệ số khuếch đại của

khâu PI bằng vô cùng tại tần số bằng 0 nên khâu hiệu chỉnh PI làm cho sai số đối với tín

hiệu vào là hàm nấc của hệ thống không có khâu vi phân lý tƣởng bằng 0 (hệ vô sai bậc

1). Ngoài ra do khâu PI là một bộ lọc thông thấp nên nó còn có tác dụng triệt tiêu nhiễu

tần số cao tác động vào hệ thống.

Thí dụ 6.3: Khảo sát ảnh hưởng của bộ điều khiển tích phân tỉ lệ.


của đối tƣợng là: )0())((

)(

babsas

KsG Bộ điều khiển đƣợc sử dụng là bộ điều

khiển tích phân tỉ lệ. Phƣơng trình đặc tính của hệ thống sau khi hiệu chỉnh là:

0))((

11

bsas

K

sT

sTK

I

IP

Ảnh hưởng đặc trưng của khâu PI quyết định bởi thời hằng tích phân TI (cũng chính là vị

trí zero –1/TI trên QĐNS hay tần số gãy 1/TI trên đặc tính tần số). Tùy theo giá trị của TI

mà QĐNS của hệ thống sau khi hiệu chỉnh có thể có các dạng nhƣ hình 6.13.

c) Chưa hiệu chỉnh d) Đã hiệu chỉnh

Hình 6.13: Sự thay đổi dạng QĐNS khi thêm khâu hiệu chỉnh PI vào hệ thống


114

Theo công thức sai số (5.xx), ta thấy khâu hiệu chỉnh PI làm cho sai số xác lập của

hệ thống đối với tín hiệu vào là hàm nấc bằng 0. Tuy nhiên khâu hiệu chỉnh PI làm cho hệ

thống kém ổn định. Ta có thể kiểm chứng đƣợc điều này bằng cách phân tích sự thay đổi

dạng QĐNS của hệ thống sau khi hiệu chỉnh. Theo công thức (4.xx), giao điểm của tiệm

cận với trục thực là: OA =(-a –b+ 1/TI ) . Do đó khi 1/TI càng tăng thì QĐNS của hệ

thống càng di chuyển về phía phải mặt phẳng phức (hình 6.13b, 6.13c), hệ thống càng

kém ổn định. Khi 1/TI đủ lớn thỏa điều kiện 1/TI > a+ b thì QĐNS có đoạn nằm bên phải

mặt phẳng phức(hình 6.13d), hệ thống không ổn định nếu hệ số khuếch đại của hệ thống

lớn hơn giá trị Kgh.

Hình 6.14 minh họa đáp ứng quá độ của hệ thống khi thay đổi thông số của bộ điều

khiển PI. Ở hình 6.14a ta thấy khi càng giảm thời hằng tích phân TI thì độ vọt lố của hệ

thống càng cao, hệ thống càng chậm xác lập. Từ đây ta rút ra kết luận khi thiết kế khâu

hiệu chỉnh PI nên chọn zero –1/TI nằm gần gốc tọa độ để thời hằng tích phân TI có giá trị

lớn nhằm hạn chế độ vọt lố. Khi giữ TI bằng hằng số thì ảnh hƣởng của KP đến chất lƣợng

của hệ thống chính là ảnh hƣởng của khâu khếch đại, KP càng tăng thì độ vọt lố càng tăng,

tuy nhiên thời gian quá độ gần nhƣ không đổi (hình 6.14b). Nếu KP vƣợt quá giá trị hệ số

khuếch đại giới hạn thì hệ thống trở nên mất ổn định.

Hình 6.14. Ảnh hưởng của khâu hiệu chỉnh PI đến đáp ứng nấc đơn vị của hệ thống

6.2.3.4 Hiệu chỉnh vi tích phân tỉ lệ PID: (Proportional Integral Derivative)

Hàm truyền: sKs

KKsG D

IPC )( (6.16)

Có thể xem khâu hiệu chỉnh PID gồm một khâu PI mắc nối tiếp với một khâu PD.

sKsT

KsG D

I

PC 2

1

1 11

1)(

(6.17)

trong đó TI1 > TD2. Dễ dàng suy ra đƣợc mối quan hệ giữa các hệ số trong hai cách biểu

diễn (6.16) và (6.17) nhƣ sau:

)/1( 121 IDPP TTKK (6.18)

11 / III TKK (6.19)

21 DPD TKK (6.20)



115

jKjT

KjG D

I

PC 2

1

1 11

1)(

(6.21)

Hình 6.15. Biểu đồ Bode của khâu hiệu chỉnh PID

Khâu hiệu chỉnh PID là một trƣờng hợp riêng của hiệu chỉnh sớm trễ pha, trong đó

độ lệch pha cực tiểu giữa tín hiệu ra và tín hiệu vào là 0

min 90 , tƣơng ứng với tần

số 0min ; độ lệch pha cực đại giữa tín hiệu ra và tín hiệu vào là 0

max 90 , tƣơng ứng

với tần số max .

Do khâu hiệu chỉnh PID có thể xem là khâu PI mắc nối tiếp với khâu PD nên nó có

các ƣu điểm của khâu PI và PD. Nghĩa là khâu hiệu chỉnh PID cải thiện đáp ứng quá độ

(giảm vọt lố, giảm thời gian quá độ) và giảm sai số xác lập (nếu đối tƣợng không có khâu

vi phân lý tƣởng thì sai số xác lập đối với tín hiệu vào là hàm nấc bằng 0).

Chúng ta vừa khảo sát xong ảnh hƣởng của các khâu hiệu chỉnh nối tiếp thƣờng

dùng đến chất lƣợng của hệ thống, mỗi khâu hiệu chỉnh có những ƣu điểm cũng nhƣ

khuyết điểm riêng. Do vậy cần phải hiểu rõ đặc điểm của từng khâu hiệu chỉnh chúng ta

mới có thể sử dụng linh hoạt và hiệu quả đƣợc. Tùy theo đặc điểm của từng đối tƣợng

điều khiển cụ thể và yêu cầu chất lƣợng mong muốn mà chúng ta phải sử dụng khâu hiệu

chỉnh thích hợp. Khi đã xác định đƣợc khâu hiệu chỉnh cần dùng thì vấn đề còn lại là xác

định thông số của nó. Các mục tiếp sẽ đề cập đến vấn đề này.

6.3. THIẾT KẾ HỆ THỐNG DÙNG PHƢƠNG PHÁP QĐNS

Nguyên tắc thiết kế hệ thống dùng phƣơng pháp QĐNS là dựa vào phƣơng trình đặc

tính của hệ thống sau khi hiệu chỉnh:

0)()(1 sGsGC (6.22)


116

0180)()(

1)()(

sGsG

sGsG

C

C

điều kiện biên độ

điều kiện pha

(6.23)

Ta cần chọn thông số của bộ điều khiển GC(s) sao cho phƣơng trình (6.22) có

nghiệm tại vị trí mong muốn.

6.3.1 Hiệu chỉnh sớm pha

Để thuận lợi cho việc vẽ QĐNS chúng ta biểu diễn hàm truyền khâu hiệu chỉnh sớm

pha dƣới dạng sau (so sánh với biểu thức (6.1)):

1/1

/1)(

Ts

TsKsG CC (6.24)

Bài toán đặt ra là chọn giá trị KC, va T để đáp ứng của hệ thống thỏa mãn yêu cầu

về chất lƣợng quá độ (độ vọt lố, thời gian xác lập,…)

Ta đã biết chất lƣợng quá độ của hệ thống hoàn toàn xác định bởi vị trí của cặp cực

quyết định. Do đó nguyên tắc thiết kế khâu hiệu chỉnh sớm pha dùng phƣơng pháp QĐNS

là chọn cực và zero của khâu hiệu chỉnh sao cho QĐNS của hệ thống sau khi hiệu chỉnh

phải đi qua cặp cực quyết định mong muốn. Sau đó bằng cách chọn hệ số khuếch đại KC

thích hợp ta sẽ chọn đƣợc cực của hệ thống chính là cặp cực mong muốn. Nguyên tắc trên

đƣợc cụ thể hóa thành trình tự thiết kế sau:

TRÌNH TỰ THIẾT KẾ

Khâu hiệu chỉnh : Sớm pha

Phương pháp thiết kế : QĐNS

Bước 1: Xác định cặp cực quyết định từ yêu cầu thiết kế về chất lƣợng của hệ thống

trong quá trình quá độ:

2*

2,1 1

nn jsdoquagianThoi

lovotĐo

Bước 2: Xác định góc pha cần bù để cặp cực quyết định *

2,1s nằm trên QĐNS của hệ

thống sau khi hiệu chỉnh bằng công thức:

n

i

i

m

i

i zsps1

*

1

1

*

1

0* argarg180 (6.25)

trong đó pi và zi là các cực của hệ thống G(s) trƣớc khi hiệu chỉnh.


0* 180 góc từ các cực củaG(s) đến cực *

1s

- góc từ các zero củaG(s) đến cực *

1s (6.26)

Bước 3: Xác định vị trí cực và zero của khâu hiệu chỉnh

Vẽ 2 nữa đƣờng thẳng bất kỳ xuất phát từ cực quyết định *s sao cho 2 nữa đƣờng

thẳng này tạo với nhau một góc bằng * . Giao điểm của hai nữa đƣờng thẳng này với trục

thực là vị trí cực và zero của khâu hiệu chỉnh.

Có hai cách vẽ thƣờng dùng:


117

- PP đƣờng phân giác (để cực và zero của khâu hiệu chỉnh gần nhau)

- PP triệt tiêu nghiệm (để hạ bậc của hệ thống)

Bước 4: Tính hệ số khuếch đại KC bằng cách áp dụng công thức:

1)()( *1

ssC sGsG

Giải thích:

Bước 1: Do chất lƣợng quá độ phụ thuộc vào vị trí cặp cực quyết định nên để thiết kế hệ

thống thỏa mãn chất lƣợng quá độ mong muốn ta phải xác định cặp cực quyết định tƣơng

ứng. Gọi cặp cực quyết định mong muốn là *

2,1s .

Bước 2: Để hệ thống có chất lƣợng quá độ nhƣ mong muốn thì cặp cực quyết định *

2,1s

phải là nghiệm của phƣơng trình đặc tính sau khi hiệu chỉnh (6.22).

Xét điều kiện về pha:

0180)()( *

ssC sGsG

0180)()( ** ssssC sGsG

0

1 1

** 180argarg)( *

m

i

n

i

iissC pszssG (6.27)

Trong đó zi và pi là các zero và các cực của hệ thống hở trƣớc khi hiệu chỉnh. Đặt góc

pha cần bù *

)(*

ssC sG

, từ biểu thức (6.27) ta suy ra:

n

i

i

m

i

i zsps1

*

1

*0* argarg180

Do số phức có thể biểu diễn dƣới dạng vector nên công thức trên tƣơng đƣơng với

công thức hình học sau:

0* 180 góc từ các cực củaG(s) đến cực s

- góc từ các zero củaG(s) đến cực s

Bước 3: Bây giờ ta phải chọn cực và zero của khâu hiệu chỉnh sau cho:

*

)(*

ssC sG

/1arg/1arg *** TsTs (6.28)

Do * và s* đã biết nên phƣơng trình (6.28) có hai ẩn số cần tìm là 1/ T và 1/T.

Chọn trƣớc giá trị 1/ T bất kỳ thay vào phƣơng trình (6.28) ta sẽ tính đƣợc 1/T và ngƣợc

lại, nghĩa là bài toán thiết kế có vô số nghiệm.

Thay vì chọn nghiệm bằng phƣơng pháp giải tích (giải phƣơng trình (6.28)) nhƣ vừa

trình bày chúng ta có thể chọn bằng phƣơng pháp hình học. Theo hình vẽ 6.16 hai số phức

TsTs /1;/1 ** đƣợc biểu diễn bởi hai vector BP và CP ,

do đó OCPTsOBPTs ˆ/1arg;ˆ/1arg ** .

Thay các góc hình học vào phƣơng trình (6.28) ta đƣợc:

CPBOBPOCPTsTs ˆˆˆ/1arg/1arg *** .


118

Từ phân tích trên ta thấy cực và zero của khâu hiệu chỉnh sớm pha phải nằm tại điểm

B và C sao cho *ˆ CPB . Đây chính là cơ sở toán học của cách chọn cực và zero nhƣ đã

trình bày trong trình tự thiết kế.

Hình 6.16: Quan hệ hình học giữa vị trí cực và zero của khâu hiệu chỉnh sớm pha với góc

pha cần bù

Bước 4: Muốn *s là nghiệm của phƣơng trình đặc tính (6.22) thì ngoài điều kiện về pha ta

phải chọn KC sao cho *s thỏa điều kiện biên độ. Do đó ta phải chọn KC bằng công thức:

1)()( * ssC sGsG

Thí dụ 6.4: Thiết kế khâu hiệu chỉnh sớm pha dùng phương pháp QĐNS.

Cho hệ thống điều khiển nhƣ hình vẽ. Hãy thiết kế khâu hiệu chỉnh GC(s) để đáp

ứng quá độ của hệ thống sau khi hiệu chỉnh thỏa: POT<20%; tqđ < 0,5 sec (tiêu chuẩn

2%).

Lời giải:

Vì yêu cầu thiết kế cải thiện đáp ứng quá độ nên sử dụng khâu hiệu chỉnh sớm pha:

1)/1(

)/1()(

Ts

TsKsG CC

Bước 1: Xác định cặp cực quyết định

Theo yêu cầu thiết kế, ta có:

• 6.12.0ln1

2.01

exp22

POT

45.018.4195,1 22

Chọn 707.7

• 4.115.0

45.0

4

nn

n

qdt

Chọn 15n


119

Vậy cặp cực quyết định là:

22*

2,1 707.011515707.01 jjs nn

5.105.10*

2,1 s

Bước 2: Xác định góc pha cần bù

Cách 1. Dùng công thức đại số

0*

0

0

0*

6.72

6.117135180

5.5

5.10arctan

5.10

5.10arctan180

)5(5.105.10arg05.105.10arg180

jj

Cách 2. Dùng công thức hình học

0000

21

0*

6.726.117135180

180

Bước 3: Xác định cực và zero của khâu hiệu chỉnh bằng phƣơng pháp đƣờng

phân giác.

- Vẽ PA là phân giác của góc xPO ˆ

- Vẽ PB và PC sao cho2

ˆ,2

ˆ**

CPABPA

Điểm B chính là vị trí cực và C là vị trí zero của khâu hiệu chỉnh.

OCT

OBT

11

Áp dụng hệ thức lƣợng trong tam giác ta suy ra:

° 12.28

2

6.72

2

135sin

2

6.72

2

135sin

15

22

ˆsin

22

ˆsin

00

00

*

*

xPO

xPO

OPOB


120

° 0.8

2

6.72

2

135sin

2

6.72

2

135sin

15

22

ˆsin

22

ˆsin

00

00

*

*

xPO

xPO

OPOC

28

8)(

s

sKsG CC

Bước 4: Tính K C .

1)()( * ssC sGsG

7.6

185.111541.20

5079.10

)55.105.10)(5.105.10(

50.

285.105.10

85.105.10

1)5(

50.

28

8

5.105.10

C

C

C

js

C

K

K

jjj

jK

sss

sK

Vậy hàm truyền của khâu hiệu chỉnh sớm pha cần thiết kế là:

28

87.6)(

s

ssGC

Nhận xét:

Quỹ đạo nghiệm số của hệ thống trƣớc khi hiệu chỉnh không qua điểm s* (hình

6.17a) do đó hệ thống sẽ không bao giờ đạt đƣợc chất lƣợng đáp ứng quá độ nhƣ yêu cầu

dù có thay đổi hệ số khuếch đại của hệ thống.

Bằng cách sử dụng khâu hiệu chỉnh sớm pha, quỹ đạo nghiệm số của hệ thống bị sửa

dạng và qua điểm s* (hình 6.17b). Bằng cách chọn hệ số khuếch đại thích hợp (nhƣ đã

thực hiện ở bƣớc 4) hệ thống sẽ có cặp cực quyết định nhƣ mong muốn, do đó đáp ứng

quá độ đạt yêu cầu thiết kế (hình 6.18).


121

Hình 6.17. Sự thay đổi dạng QĐNS khi hiệu chỉnh sớm pha

Hình 6.18. Đáp ứng nấc của hệ thống ở thí dụ 6.4 trước và sau khi hiệu chỉnh

6.3.2 Hiệu chỉnh trễ pha

Hàm truyền khâu hiệu chỉnh trễ pha cần thiết kế có dạng:

1)/1(

)/1()(

Ts

TsKsG CC

Bài toán đặt ra là chọn giá trị KC, � và T để đáp ứng của hệ thống thỏa mãn yêu cầu

về sai số xác lập mà “không” làm ảnh hƣởng đến đáp ứng quá độ (ảnh hƣởng không đáng

kể).

Ta đã biết do khâu hiệu chỉnh trễ pha có hệ số khuếch đại ở miền tần số thấp lớn nên

có tác dụng làm giảm sai số xác lập của hệ thống. Để đáp ứng quá độ của hệ thống sau khi

hiệu chỉnh trễ pha gần nhƣ không đổi thì cặp cực quyết định của hệ thống trƣớc và sau khi

hiệu chỉnh phải nằm rất gần nhau. Để đạt đƣợc điều này ta phải thêm đặt cực và zero của

khâu hiệu chỉnh trễ pha sau cho dạng QĐNS thay đổi không đáng kể. Đây là nguyên tắc

cần tuân theo khi thiết kế khâu hiệu chỉnh trễ pha. Trình tự thiết kế dƣới đây cụ thể hóa

nguyên tắc trên:


Khâu hiệu chỉnh : Trễ pha


Bước 1: Xác định β từ yêu cầu về sai số xác lập.

Nếu yêu cầu về sai số xác lập cho dƣới dạng hệ số vận tốc *

VK thì tính bằng công

thức sau:

*

V

V

K

K

(KV và *

VK là hệ số vận tốc của hệ thống trƣớc và sau khi hiệu chỉnh)

Bước 2: Chọn zero của khâu hiệu chỉnh sao cho:

*

2,1Re1

sT

(*

2,1s là cặp cực quyết định của hệ thống sau khi hiệu chỉnh)

Bước 3: Tính cực của khâu hiệu chỉnh:


122

TT

1

.1

Bước 4: Tính KC bằng cách áp dụng công thức:

1)()( *2,1

ssC sGsG

Trong đó *

2,1s là cặp cực quyết định của hệ thống sau khi hiệu chỉnh. Do yêu cầu thiết

kế không làm ảnh hƣởng đáng kể đến đáp ứng quá độ nên có thể tính gần đúng: 2,1

*

2,1 ss

Giải thích:

Bước 1: Ta có hệ số vận tốc của hệ thống trƣớc và sau khi hiệu chỉnh là:

*

00

000

*

0

)(lim/1

/1lim

)(lim)(lim)()(lim

)(lim

V

VC

VC

sC

s

sC

sC

sV

sV

K

KK

KKssG

Ts

TsK

ssGsGsGssGK

ssGK

Nếu 1CK thì *

V

VC

K

KK

Do đó ta chọn β bằng công thức trên. Các bƣớc thiết kế tiếp theo đảm bảo 1CK .

Bước 2: Gọi s1,2 là cặp cực quyết định của hệ thống trƣớc khi hiệu chỉnh:

0180)(

1)(0)(1

2,1

2,1

2,1

ss

ss

sssG

sGsG

Gọi *

2,1s là cặp cực quyết định của hệ thống sau khi hiệu chỉnh:

0180)()(

1)()(0)()(1

2,1*

2,1*

2,1*

ssC

ssC

ssCsGsG

sGsGsGsG

Xét điều kiện về pha. Để hệ thống có chất lƣợng quá độ gần nhƣ không thay đổi thì

2,1

*

2,1 ss . Suy ra:

0180)()( *2,1

ssC sGsG

0180)()( *2,1

*2,1

ssssC sGsG

)180(180)(180

)(180)(

000

0

2,1

*2,1

*2,1

ss

ssssC

sG

sGsG


123

00)( *2,1

ssC sG (6.29)

Phân tích ở trên cho thấy cực và zero của khâu hiệu chỉnh trễ pha phải thỏa mãn biểu thức

(6.29). Khi thiết kế ta thƣờng chọn khâu hiệu chỉnh trễ pha sau cho

00 0)(5 *2,1

ssC sG , để đạt đƣợc điều này có thể đặt cực và zero của khâu hiệu chỉnh

trễ pha nằm rất gần góc tọa độ so với phần thực của nghiệm *

2,1s . Do đó ta chọn vị trí zero

sao cho:

)Re(1 *

2,1sT

Bước 3: Suy ra: TT

11

Để ý rằng bằng cách chọn nhƣ trên 1/T cũng nằm rất gần gốc tọa độ do β <1.

Bước 4: Ở bƣớc 2 và 3 ta mới chọn cực và zero của khâu hiệu chỉnh trễ pha để thỏa mãn

điều kiện về pha. Để thỏa mãn điều kiện biên độ ta chọn KC bằng công thức:

1)()( *2,1

ssC sGsG

Có thể dễ dàng kiểm chứng đƣợc rằng do cách chọn zero và cực của khâu hiệu chỉnh

nhƣ ở bƣớc 2 và bƣớc 3 mà ở bƣớc 4 ta luôn tính đƣợc KC ≈ 1.

Nhƣ vậy KC thỏa mãn giả thiết ban đầu khi tính hệ số β ở bƣớc 1.

Thí dụ 6.5: Thiết kế khâu hiệu chỉnh trễ pha dùng phương pháp QĐNS.

Hãy thiết kế khâu hiệu chỉnh GC(s) sao cho hệ thống có sơ đồ khối dƣới đây sau khi

hiệu chỉnh có sai số đối với tín hiệu vào là hàm dốc là 0,02 và đáp ứng quá độ thay đổi

không đáng kể.

Lời giải:

Hệ số vận tốc của hệ thống trƣớc khi hiệu chỉnh:

83.0)4)(3(

10lim)(lim

00

ssssssGK

ssV

Sai số xác lập của hệ thống khi tín hiệu vào là hàm dốc là:

2.183.0

11

V

xlK

e

Vì yêu cầu thiết kế làm giảm sai số xác lập nên sử dụng khâu hiệu chỉnh trễ pha:

1/1

)/1()(

Ts

TsKsG CC

Bước 1: Tính Hệ số vận tốc của hệ sau khi hiệu chỉnh:


124

5002.0

11*

* xl

Ve

K

Do đó:

017.050

83.0*

V

V

K

K

Bước 2: Chọn zero của khâu hiệu chỉnh

Các cực của hệ thống trƣớc khi hiệu chỉnh là nghiệm của phƣơng trình:

5

1

0101270)4)(3(

1010)(1

3

2,1

23

s

js

ssssss

sG

Vậy cặp cực quyết định trƣớc khi hiệu chỉnh là js 12,1

Chọn T

1 sao cho: 1.0

11Re

11

Ts

T

Bước 3: Tính cực của khâu hiệu chỉnh:

0017.01

1.0017.011

TTT

0017.0

1.0)(

s

sKsG CC

Bước 4: Tính KC:

1)()( * ssC sGsG

1)4)(3(

10.

0017.0

1.0

*

ss

Cssss

sK

Để đáp ứng quá độ không thay đổi đáng kể thì:

jss 12,1

*

2,1

Thế vào công thức trên ta đƣợc:

1

)41(

10.

0017.01

1.01

jj

jKC

10042.1 CK

Vậy khâu hiệu chỉnh trễ pha cần thiết kế là:

0017.0

1.0)(

s

ssGC

Hình 6.19 cho thấy QĐNS của hệ thống trƣớc và sau khi hiệu chỉnh trễ pha gần nhƣ

trùng nhau. Do vị trí cặp cực phức quyết định gần trùng nhau nên đáp ứng quá độ của hệ

thống trƣớc và sau khi hiệu chỉnh gần nhƣ nhau, xem hình 6.20. Hình 6.20 cũng cho thấy

sai số xác lập của hệ thống sau khi hiệu chỉnh nhỏ hơn rất nhiều so với trƣớc khi hiệu

chỉnh. Nhƣ vậy khâu hiệu chỉnh trễ pha vừa thiết kế ở trên thỏa mãn yêu cầu đặt ra.


125

Hình 6.19. QĐNS của hệ thống ở thí dụ 6.5

Hình 6.20: Đáp ứng của hệ thống ở thí dụ 6.5 đối với tín hiệu vào là hàm dốc trước và

sau khi hiệu chỉnh

6.3.3 Hiệu chỉnh sớm trễ pha

Hàm truyền khâu hiệu chỉnh sớm trễ pha cần thiết kế có dạng:

)()()( 21 sGsGsG CCC

Trong đó )(1 sGC là khâu hiệu chỉnh sớm pha

)(2 sGC là khâu hiệu chỉnh trễ pha.

Bài toán đặt ra thiết kế GC (s) để cải thiện đáp ứng quá độ và sai số xác lập của hệ

thống.


Khâu hiệu chỉnh : Sớm trễ pha


Bước 1: Thiết kế khâu sớm pha )(1 sGC để thỏa mãn yêu cầu về đáp ứng quá

độ (xem phƣơng pháp thiết kế khâu hiệu chỉnh sớm pha ở mục 6.3.1).

Bước 2: Đặt )()()( 11 sGsGsG C

Thiết kế khâu hiệu chỉnh trễ pha )(2 sGC mắc nối tiếp vào )(1 sG để thỏa


126

mãn yêu cầu về sai số xác lập mà không thay đổi đáng kể đáp ứng quá độ

của hệ thống sau khi đã hiệu chỉnh sớm pha (xem phƣơng pháp thiết kế khâu

hiệu chỉnh trễ pha ở mục 6.3.2).

Thí dụ 6.6: Thiết kế khâu hiệu chỉnh sớm trễ pha dùng phương pháp QĐNS.

Hãy thiết kế khâu hiệu chỉnh GC(s) sao cho hệ thống sau khi hiệu chỉnh có cặp cực

phức với 5,5.0 n (rad/sec); hệ số vận tốc 80VK .

Lời giải:

Hệ chƣa hiệu chỉnh có 2,125.0 n (rad/sec); 8VK . Vì yêu cầu thiết kế bộ hiệu

chỉnh để cải thiện đáp ứng quá độ và sai số xác lập nên GC(s) là khâu hiệu chỉnh sớm trễ

pha.

)()()( 211 sGsGsG CC

Bước 1: Thiết kế khâu hiệu chỉnh sớm pha )(1 sGC :

1

111 1

1

)(

Ts

Ts

KsG CC

- Cặp cực quyết định sau khi hiệu chỉnh:

2

2*

2,1

5.01555.0

1

j

js nn

33.45.2*

2,1 js

- Góc pha cần bù:

000

21

0*

115120180

180

0* 55

Hình

6.21. Góc pha cần bù

- Chọn zero của khâu sớm pha trùng với cực 5.0s của G(s) để hạ bậc hệ thống

sau khi hiệu chỉnh.

5.01

1

T


127

Từ cực *

1s vẽ hai nữa đƣờng thẳng tạo với nhau một góc là * nhƣ hình 6.21. Cực của

khâu sớm pha tại điểm B.

OBT

1

1

Ta có: ABOAOB

PAB

BPAPAAB

OA

sin

ˆsin

5.0

Dễ thấy: 76.433.42 22 PA

000*

2

0*

6055115

55

PAB

APB

Nên: 5.460sin

55sin76.4

0

0

AB

55.45.01

1

OBT

Do đó:

5

5.0)( 11

s

sKsG CC

- Tính 1CK :

1)()( *1 ssC sGsG

25.6

133.45.2

4.

533.45.2

1

1)5.0(

4.

5

5.0

1

1

33.45.2

`

C

C

js

C

K

jjK

sss

sK

Vậy: 5

5.025.6)(1

s

ssGC

Hàm truyền hở sau khi hiệu chỉnh sớm pha là:

)5.0(

4

5

5.025.6)()()( 11

sss

ssGsGsG C

)5(

25)(1

sssG

Bước 2: Thiết kế khâu hiệu chỉnh trễ pha )(2 sGC :

2

222 1

1

)(

Ts

Ts

KsG CC


128

- Xác định :

Hệ số vận tốc của hệ sau khi hiệu chỉnh sớm pha:

5)5(

25lim)(lim

01

0

sssssGK

ssV

Hệ số vận tốc mong muốn:

80* VK

Suy ra:

16

1

80

5*

V

V

K

K K

- Xác định zero của khâu trễ pha:

5.2)33.45.2Re()Re(1 *

2

jsT

Chọn 16.01

2

T

- Xác định cực của khâu trễ pha:

01.016.0.16

111

22

TT

01.0

16.0)( 22

s

sKsG CC

- Tính KC2:

1)()( *12 ssC sGsG

01.0

16.001.1)(

01.1992.4

995.4

101.033.45.2

16.033.45.2

1)(

1)()(

2

2

2

2

12

*

**

s

ssG

K

j

jK

sG

sGsG

C

C

C

ssC

ssssC

Tóm lại khâu hiệu chỉnh sớm trễ pha cần thiết kế là:

1.0

16.001.1

5

5.025.6)()()( 21

s

s

s

ssGsGsG CCC

01.05

16.05.031.6)(

ss

sssGC

6.4. THIẾT KẾ HỆ THỐNG DÙNG PHƢƠNG PHÁP BIỂU ĐỒ BODE

6.4.1 Hiệu chỉnh sớm pha

Hàm truyền khâu hiệu chỉnh sớm pha cần thiết kế có dạng:


129

1( ) 1

1C C

TsG s K

Ts

Bài toán đặt ra là chọn giá trị KC, va T để đáp ứng của hệ thống thỏa mãn yêu cầu

về độ dự trữ biên, độ dự trữ pha và sai số xác lập.


Khâu hiệu chỉnh : Sớm pha

Phương pháp thiết kế : Biểu đồ Bode

Bước 1: Xác định KC để thỏa mãn yêu cầu thiết kế về sai số xác lập

Bước 2: Đặt 1( ) ( )CG s K G s . Vẽ biểu đồ Bode của G1(s) .

Bước 3: Xác định tần số cắt biên của 1( )G s từ điều kiện:

0)(1 CL hoặc 1)(1 CjG

Bước 4: Xác định độ dự trữ pha của 1( )G s (độ dự trữ pha của hệ trƣớc khi hiệu chỉnh):

1180 CM

Bước 5: Xác định góc pha cần bù

*

max M M

Trong đó: *M là độ dự trữ pha mong muốn 0 05 20

Bước 6: Tính bằng cách áp dụng công thức:

max

max

1 sin

1 sin

Bước 7: Xác định tần số cắt mới (tần số cắt của hệ sau khi hiệu chỉnh) từ điều kiện:

lg10)( '

1 CL hoặc /1)( '

1 CjG

Bước 8: Tính hằng số thời gian T từ điều kiện:

1

C

T

Bước 9: Kiểm tra lại hệ thống có thỏa mãn điều kiện về độ dự trữ biên hay không? Nếu

không thỏa mãn thì trở lại bƣớc 6.

Chú ý: Trong trƣờng hợp hệ thống quá phức tạp khó tìm đƣợc lời giải giải tích thì có thể

xác định ωC (bƣớc 3), M (bƣớc 4) và C (bƣớc 7) bằng cách dựa vào biểu đồ Bode.

Thí dụ 6.7. Thiết kế khâu hiệu chỉnh sớm pha dùng PP biểu đồ Bode.

Hãy thiết kế khâu hiệu chỉnh sớm pha sao cho hệ thống sau khi hiệu chỉnh có * 0 *20; 50 ; 10VK M GM dB .


130

Hàm truyền khâu hiệu chỉnh sớm pha cần thiết kế là:

1( )

1C C

TsG s K

Ts

(α >1)

Bước 1: Xác định KC

Hệ số vận tốc của hệ sau khi hiệu chỉnh là:

*

0 0

*

1 4lim ( ) ( ) lim . 2

1 ( 2)

20

2 2

10

V C C Cs s

VC

C

TsK sG s G s sK K

Ts s s

KK

K

Bước 2:

Đặt:

1

1

4( ) ( ) 10.

( 2)

20( )

(0.5 1)

CG s K G ss s

G ss s

Biểu đồ Bode của G1(s) vẽ ở trang sau.

Bước 3: Tần số cắt của hệ trƣớc khi hiệu chỉnh:

1

2

4 2

1

40 401

2 4

4 1600 0

6.17

C

C C C C

C C

C

G j

j j


131

Hình 6.22. Biểu đồ Bode của hệ thống trước và sau khi hiệu chỉnh sớm pha

Bước 4: Độ dự trữ pha của hệ khi chƣa hiệu chỉnh:

1

0 0 0

0 0 0 0 0

0

180

40180 arg 180 90 arctan

2 2

6.17180 90 arctan 180 90 72

2

18

C

C

C C

M

Mj j

M

M

1180M

Bước 5: Góc pha cần bù:

* 0

max

0 0 0

max

0

max

5

50 18 5

37

M M

Bước 6: Tính


132

0

max

0

max

1 sin 1 sin 37

1 sin 1 sin 37

4

Bước 7: Tính số cắt mới:

1

2

4 2

1

40 1 40 1

2 4 44

4 6400 0

8.83

C

C CC C

C C

C

G j

j j

(rad/sec)

Bước 8: Tính T:

1 1

8.83 4

0.057

4 0.057 0.228

C

T

T

T

Vậy: 1 0.228

( ) 101 0.057

C

sG s

s

Bước 9: Kiểm tra lại điều kiện về biên độ:

Vì tần số cắt pha ω-π trƣớc và sau khi hiệu chỉnh đều bằng vô cùng nên độ dự trữ

biên của hệ trƣớc và sau khi hiệu chỉnh đều bằng vô cùng (>10dB).

Kết luận: Khâu hiệu chỉnh cần thiết kế là có hàm truyền nhƣ trên.

6.4.2 Hiệu chỉnh trễ pha

Hàm truyền khâu hiệu chỉnh sớm pha cần thiết kế có dạng:

1

( ) 11

C C

TsG s K

Ts

Bài toán đặt ra là chọn giá trị KC, va T để đáp ứng của hệ thống thỏa mãn yêu

cầu về độ dự trữ biên, độ dự trữ pha và sai số xác lập.


Khâu hiệu chỉnh : Trễ pha

Phương pháp thiết kế : Biểu đồ Bode

Bước 1: Xác định KC để thỏa mãn yêu cầu thiết kế về sai số xác lập

Bước 2: Đặt 1( ) ( )CG s K G s . Vẽ biểu đồ Bode của 1( )G s

Bước 3: Xác định tần số cắt biên C của hệ sau khi hiệu chỉnh từ điều kiện:

0 *

1 180C M

Trong đó: *M là độ dự trữ pha mong muốn 0 05 20


133

Bước 4: Tính α từ điều kiện:

1

1

20lg

1

C

C

L

G j

Bước 5: Chọn zero của khâu hiệu chỉnh trễ pha sao cho: 1

C TT

Bước 6: Tính hằng số thời gian T:

1 1T

T T

Bước 7: Kiểm tra lại hệ thống có thỏa mãn điều kiện về độ dự trữ biên hay không? Nếu

không thỏa mãn thì trở lại bƣớc 3.

Chú ý: Trong trƣờng hợp hệ thống quá phức tạp khó tìm đƣợc lời giải giải tích thì có thể

xác định 1 ,C C (bƣớc 3) và 1 CL (bƣớc 4) bằng cách dựa vào biểu đồ Bode.

Thí dụ 6.8: Thiết kế khâu hiệu chỉnh trễ pha dùng PP biểu đồ Bode.

Hãy thiết kế khâu hiệu chỉnh trễ pha sao cho hệ thống sau khi hiệu chỉnh có: * *5; 40 ; 10VK M GM dB .

Lời giải:

Hàm truyền khâu hiệu chỉnh trễ pha cần thiết kế là:

1

( ) 11

C C

TsG s K

Ts

Bước 1: Xác định KC

Hệ số vận tốc của hệ sau khi hiệu chỉnh là:

*

0 0

*

1 1lim ( ) ( ) lim .

1 ( 1) 0.5 1

5

V C C Cs s

C V

C

TsK sG s G s sK K

Ts s s s

K K

K

Bước 2:

Đặt:

1

1

1( ) ( )

( 1) 0.5 1

1( )

( 1) 0.5 1

CG s K G ss s s

G ss s s

Biểu đồ Bode của 1( )G s vẽ ở trang sau.


134

Bước 3: Xác định tần số cắt mới:

Cách 1: Tìm '

C bằng phƣơng pháp giải tích. Ta có:

0 *

1 180C M

0 0 0 0

0

0

2

90 arctan arctan 0.5 180 40 5

arctan arctan 0.5 45

0.5tan 45 1

1 0.5

0.5 1.5 1 0

0.56

C C

C C

C C

C

C C

C

(rad/sec)

Hình 6.23. Biểu đồ Bode của hệ thống trước và sau khi hiệu chỉnh trễ pha


135

Cách 2: Dựa vào biểu đồ Bode

Ta có:

0 *

1

0

1

0

1

180

180 40 5

135

C

C

C

M

Vẽ đƣờng thẳng có hoành độ 0135 . Hoành độ giao điểm của đƣờng thẳng này với

biểu đồ Bode về pha 1 chính là giá trị tần số cắt mới.

Theo hình vẽ ta thấy: 0.5C (rad/sec)

Bước 4:

Cách 1: Tính α từ điều kiện:

1

2 2

1

5 1

( 1)(0.5 1)

5 1

0.56 0.56 1 0.5 0.56 1

5 1

0.56 0.56 1 0.28 1

5 1

0.56 11.46 1.038

0.133

C

C

s j

G j

s s s

j j j

Cách 2: Tính α từ điều kiện:

1 20lgCL

Dựa vào biểu đồ Bode ta thấy:

1 18CL dB

0.9

18 20lg

lg 0.9

10

0.126

Bước 5: Chọn zero của khâu trễ pha:

10.56

10.05

20

CT

T

T

Bước 6: Tính thời hằng T


136

1 10.133 0.05 0.067

150

T T

T

Vậy: (20 1)

( ) 5(150 1)

C

sG s

s

Bước 7: Kiểm tra lại điều kiện biên độ:

Dựa vào biểu đồ Bode ta thấy độ dự trữ biên sau khi hiệu chỉnh là: * 10GM dB

Kết luận: Khâu hiệu chỉnh vừa thiết kế đạt yêu cầu về độ dự trữ biên.

Nhận xét:

Qua hai thí dụ thiết kế khâu hiệu chỉnh sớm pha và trễ pha dùng phƣơng pháp biểu

đồ Bode ta có nhận xét sau:

- Nếu G(s) là hệ bậc 2 thì bài thiết kế khâu hiệu chỉnh sớm pha và trễ pha hoàn toàn

có thể giải đƣợc bằng các công thức giải tích, bƣớc vẽ biểu đồ Bode không thật sự cần

thiết.

- Nếu G(s) là hệ bậc 3 trở lên thì các công thức giải tích để tìm tần số cắt biên, tần

số cắt pha, độ dự trữ biên, độ dự trữ pha… trở nên phức tạp, trong trƣờng hợp này nên vẽ

biểu đồ Bode và xác định các thông số dựa vào biểu đồ Bode vừa vẽ.

Biểu đồ Bode biên độ đƣợc vẽ bằng các đƣờng tiệm cận, biểu đồ Bode về pha đƣợc

vẽ bằng cách phân tích định tính và thay một số giá trị tần số ω biểu thức φ(ω) để có giá

trị định lƣợng.

- Để ý băng thông của hệ sau khi hiệu chỉnh sớm pha và trễ pha. Sau khi hiệu chỉnh

sớm pha băng thông của hệ thống đƣợc mở rộng, đáp ứng của hệ đối với tín hiệu tần số

cao tốt hơn, đáp ứng quá độ đƣợc cải thiện; trong khi đó sau khi hiệu chỉnh trễ pha băng

thông của hệ thống bị thu hẹp, đáp ứng của hệ đối với tín hiệu tần số cao kém đi, đáp ứng

quá độ của hệ thống bị chậm lại. Vì vậy cần nhấn mạnh rằng hai khâu hiệu chỉnh sớm pha

và trễ pha có đặc điểm hoàn toàn khác nhau, không thể sử dụng lẫn lộn đƣợc.

6.5. THIẾT KẾ HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN HỒI TIẾP TRẠNG THÁI

6.5.1. Điều khiển hồi tiếp trạng thái


Cho đối tƣợng điều khiển mô tả bởi phƣơng trình trạng thái:

( ) ( ) ( )

( ) ( )

x t Ax t Bu t

c t Ax t

(6.30)

Hệ thống điều khiển hồi tiếp trạng thái (xem hình 6.24) là hệ thống trong đó tín hiệu

điều khiển xác định bởi:

( ) ( ) ( )u t r t Kx t (6.32)


137

Thay (6.31) vào (6.32) ta đƣợc:

( ) ( ) [ ( ) ( )]

( ) ( )

( ) ( ) ( )]

( ) ( )

x t Ax t B r t Kx t

c t Cx t

x t A BK x t Br t

c t Cx t

(6.32)

Thiết kế hệ thống hồi tiếp trạng thái là chọn vector hồi tiếp trạng thái K sao cho hệ

thống kín mô tả bởi biểu thức (6.32) thỏa mãn yêu cầu chất lƣợng mong muốn.

6.5.2. Tính điều khiển đƣợc và quan sát đƣợc

Để có thể thiết kế đƣợc hệ thống hồi tiếp trạng thái (6.32) điều kiện cần là tất cả các

trạng thái của hệ thống phải đo lƣờng đƣợc (quan sát đƣợc) và hệ sẳn sàng nhận tín hiệu

điều khiển (điều khiển đƣợc). Mục này sẽ trình bày cụ thể về khái niệm điều khiển đƣợc

và quan sát đƣợc cũng nhƣ các kiểm tra toán học để đánh giá hệ có thể điều khiển đƣợc và

quan sát đƣợc hay không.

6.5.2.1. Tính điều khiển được

Hệ thống (6.30) được gọi là điều khiển được hoàn toàn nếu tồn tại luật điều khiển

u(t) có khả năng chuyển hệ từ trạng thái đầu tại 0x t t đến trạng thái cuối fx t bất kỳ

trong khoảng thời gian hữu hạn 0 ft t t .

Một cách định tính, điều này có nghĩa là hệ thống có thể điều khiển đƣợc nếu mỗi

biến trạng thái của hệ đều có thể bị ảnh hƣởng bởi tín hiệu điều khiển u(t). Tuy nhiên, nếu

một hoặc vài biến trạng thái không bị ảnh hƣởng bởi u(t) hì các biến trạng thái này không

thể bị điều khiển bởi u(t) trong khoảng thời gian hữu hạn và trong trƣờng hợp này hệ

thống không điều khiển đƣợc hoàn toàn.

Để ví dụ về hệ thống không điều khiển đƣợc hoàn toàn, chúng ta xét hệ thống mô tả

bởi sơ đồ dòng tín hiệu ở hình 6.25. Hệ này gồm 4 trạng thái, chỉ có hai trạng thái x1(t) và

x2(t) bị ảnh hƣởng bởi u(t), còn hai trạng thái x3(t) và x4(t) không bị ảnh hƣởng bởi u(t).

Do đó x3(t) và x4(t) không thể điều khiển đƣợc, điều này có nghĩa là u(t) không thể làm

thay đổi x3(t) và x4(t) từ trạng thái đầu x3(0) và x4(0) đến trạng thái cuối x3(tf) và x4(tf)

trong khoảng thời gian hữu hạn. Vì vậy hệ không điều khiển đƣợc hoàn toàn.

Hình 6.25: Sơ đồ dòng tín hiệu của một hệ thốngkhông điều khiển được hoàn toàn

Để kiểm tra tính điều khiển đƣợc của hệ thống (6.30) chúng ta thành lập ma trận C,

gọi là ma trận điều khiển đƣợc:

2 1nC B AB A B A B (6.33)


138

Điều kiện cần và đủ để hệ thống điều khiển đƣợc là:

( )rank C n (6.34)

Đối với hệ thống một đầu vào một đầu ra (SISO) thì ma trận C là ma trận vuông cấp

n. Do đó điều kiện (6.34) trở thành:

det( ) 0C (6.35)

Thí dụ 6.9: Cho hệ thống mô tả bởi phƣơng trình trạng thái:

( ) ( ) ( )

( ) ( )

x t Ax t Bu t

c t Cx t

trong đó: 0 1 5

1 32 3 2

A B C

Hãy đánh giá tính điều khiển đƣợc của hệ thống trên.

Lời giải

Đối với hệ bậc hai, ma trận điều khiển đƣợc là: C = [A AB]

162

25

2

5

32

10

2

5C

det( ) 84 0

( ) 2

C

rank C

Do đó hệ thống trên điều khiển đƣợc hoàn toàn.

6.5.2.2. Tính quan sát được

Hệ thống (6.30) được gọi là quan sát được hoàn toàn nếu cho tín hiệu điều khiển

u(t) và đầu ra c(t) trong khoảng fttt 0 ta có thể xác định được trạng thái đầu x(t0) .

Một cách định tính, hệ thống là quan sát đƣợc nếu mỗi biến trạng thái của hệ đều ảnh

hƣởng đến đầu ra c(t). Thƣờng chúng ta muốn xác định thông tin về trạng thái của hệ

thống dựa vào việc đo c(t). Tuy nhiên nếu chúng ta không quan sát đƣợc một hay nhiều

trạng thái từ việc đo c(t) thì hệ không điều khiển đƣợc hoàn toàn.

Để ví dụ về hệ không quan sát đƣợc hoàn toàn, chúng ta xét hệ thống có sơ đồ dòng

tín hiệu ở hình 6.26. Hệ này gồm 4 trạng thái, trong đó chỉ có hai trạng thái x1(t) và x2(t) là

ảnh hƣởng đến c(t) nên có thể quan sát đƣợc.

Hai trạng thái còn lại x3(t) và x4(t) không ảnh hƣởng đến c(t) nên không thể quan sát

đƣợc. Do đó hệ thống ở hình 6.26 không quan sát đƣợc hoàn toàn.

Hình 6.26: Sơ đồ dòng tín hiệu của một hệ thống không quan sát được hoàn toàn


139

Để ý rằng mặc dù hệ thống ở hình 6.26 không quan sát đƣợc hoàn toàn nhƣng lại

điều khiển đƣợc hoàn toàn vì tín hiệu điều khiển u(t) ảnh hƣởng đến tất cả các trạng thái

của hệ thống. Ngƣợc lại, hệ thống ở hình 6.27 mặc dù không điều khiển đƣợc hoàn toàn

nhƣng lại quan sát đƣợc hoàn toàn do tất cả các trạng thái của hệ thống đều ảnh hƣởng

đến tín hiệu ra c(t).

Để kiểm tra tính quan sát đƣợc của hệ thống (6.30) chúng ta thành lập ma trận O, gọi

là ma trận quan sát đƣợc:

1nCA

CA

C

O

Điều kiện cần và đủ để hệ thống quan sát đƣợc là:

rank(O ) = n (6.37)

Đối với hệ thống một đầu vào một đầu ra (SISO) thì ma trận O là ma trận vuông cấp

n. Do đó điều kiện (6.37) trở thành:

det(O ) ≠ 0 (6.38)

Thí dụ 6.10: Hãy đánh giá tính quan sát đƣợc của hệ thống ở thí dụ 6.9.

Lời giải:

Ma trận quan sát đƣợc của hệ thống ở thí dụ 6.9 là:

CA

CO

Do đó hệ thống quan sát đƣợc hoàn toàn. Tính điều khiển đƣợc và quan sát đƣợc có

ý nghĩa rất quan trọng trong lý thuyết điều khiển tối ƣu hiện đại, các tính chất này quyết

định sự tồn tại của lời giải cho bài toán điều khiển tối ƣu. Độc giả có thể tham khảo thêm

các tài liệu về lý thuyết điều khiển hiện đại để nắm đƣợc phần chứng minh điều kiện cần

và đủ để hệ thống điều khiển đƣợc và quan sát đƣợc, đồng thời có đƣợc hiểu biết đầy đủ

hơn về hai khái niệm quan trọng này.

6.5.3 Phƣơng pháp phân bố cực

Nếu hệ thống (6.30) điều khiển đƣợc và quan sát đƣợc thì có thể xác định đƣợc luật

điều khiển u(t) = r(t) - Kx(t) để phƣơng trình đặc tính của hệ hồi tiếp trạng thái (6.32) có

nghiệm bất kỳ.

Phƣơng trình đặc tính của hệ hồi tiếp trạng thái (6.32) là:

det[sI - A + BK] = 0 (6.39)

Phƣơng pháp chọn vector hồi tiếp trạng thái K để phƣơng trình đặc tính (6.39) có

nghiệm tại vị trí mong muốn gọi là phƣơng pháp phân bố cực.

Có nhiều cách thiết kế bộ điều khiển phân bố cực, trong giáo trình này giới thiệu hai

cách thƣờng sử dụng nhất.

• Cách 1: Tính K bằng cách cân bằng các hệ số của phƣơng trình đặc trƣng.


140

Cách này trực quan, dễ hiểu hơn các phƣơng pháp khác và cũng rất dễ áp dụng trong

trƣờng hợp hệ bậc thấp (bậc 3 trở xuống).


Bộ điều khiển : Hồi tiếp trạng thái

Phương pháp thiết kế : Phân bố cực bằng cách cân bằng các hệ số

của phƣơng trình đặc trƣng

Bước 1: Kiểm tra tính điều khiển đƣợc (và quan sát đƣợc).

- Nếu hệ không điều khiển đƣợc thì kết thúc vì bài toán phân bố cực không có lời

giải.

- Nếu hệ điều khiển đƣợc thì tiếp tục bƣớc 2.

Bước 2: Viết phƣơng trình đặc tính của hệ thống hồi tiếp trạng thái:

det[sI - A + BK] = 0 (1)

Bước 3: Viết phƣơng trình đặc tính mong muốn:

0)(1

n

i

pis

Trong đó pi (_____

...1 ni ) là các cực mong muốn.

Bước 4: Cân bằng các hệ số của hai phƣơng trình đặc tính (1) và (2) sẽ tìm đƣợc vector

hồi tiếp trạng thái K.

Thí dụ 6.11. Cho đối tƣợng điều khiển mô tả bởi hệ phƣơng trình biến trạng thái:

)()(

)(

tCxtc

BuAxtx

Với: 100

1

3

0

374

100

010

CBA

Hãy xác định luật điều khiển u(t) = r(t) - Kx(t) sao cho hệ thống kín có cặp cực phức

với ξ = 0,6; ωn =10 và cực thứ ba là cực thực tại - 20 .

Lời giải:

Phƣơng trình đặc tính của hệ hồi tiếp trạng thái là:

det[sI - A + BK] =

0

1

3

0

374

100

010

100

010

001

det 321

kkks

0333

000

374

10

01

det

321

321

kkk

kkk

s

s

s

s


141

0

374

3133

01

det

321

321

kskk

kksk

s

0)31)(4()3(3

)31)(7()3)(3(

3131

3232

kkksk

kkskskss

0)21104()211037()33( 31321

2

32

3 kkskkkskks (1)

Phƣơng trình đặc tính mong muốn là:

02)(20( 22 nnsss

010106,02)(20( 22 sss

0200034032 23 sss (2)

Cân bằng các hệ số của hai phƣơng trình đặc tính (1) và (2), suy ra:

200012104

340211037

3233

21

321

32

kk

kkk

kk

Giải hệ phƣơng trình trên, ta đƣợc:

482,17

839,3

578,220

3

2

1

k

k

k

Vậy: ]482,17839,3578,220[K

• Cách 2: Tính K bằng cách áp dụng công thức Ackermann.

6.6. THIẾT KẾ BỘ ĐIỀU KHIỂN PID

Về nguyên tắc có thể thiết kế bộ điều khiển PID bằng phƣơng pháp QĐNS hoặc

phƣơng pháp biểu đồ Bode. Tuy nhiên trong thực tế áp dụng các phƣơng pháp trên để tìm

thông số của bộ điều khiển PID gặp nhiều khó khăn nếu không có sự trợ giúp của máy

(vi) tính. Phƣơng pháp thiết kế bộ điều khiển PID đƣợc thƣờng sử dụng trong thực tế là

phƣơng pháp Zeigler–Nichols.

Phƣơng pháp Zeigler-Nichols

Phƣơng pháp Zeigler – Nichols là phƣơng pháp thực nghiệm để thiết kế bộ điều

khiển PI, PD hoặc PID.

Cho đối tƣợng có đáp ứng đối với tín hiệu vào là hàm nấc nhƣ hình vẽ:


142

Thông số bộ điều khiển PI, PD, PID đƣợc chọn nhƣ sau:

Thí dụ 6.12: Hãy thiết kế bộ điều khiển PID điều khiển nhiệt độ của lò nhiệt, biết đặc tính

quá độ của lò nhiệt nhƣ sau:

Một phƣơng pháp khác cũng thƣờng dùng để thiết kế bộ điều khiển PID là phƣơng

pháp giải tích. Sau đây là một thí dụ:

Thí dụ 6.13: Cho hệ thống điều khiển nhƣ hình vẽ:

Hãy xác định thông số của bộ điều khiển PID sao cho hệ thống thỏa mãn yêu cầu:

- Hệ có cặp nghiệm phức với ξ = 0.5, ωn=8

- Hệ số vận tốc KV = 100. Lời giải:

• Hàm truyền bộ điều khiển PID cần thiết kế:

sKs

KKsG D

IPC )(

• Hệ số vận tốc của hệ sau khi hiệu chỉnh:

IV

DI

PCs

V

KK

sssK

s

KKssGssGK

10010

100lim)()(lim

20


143

Theo yêu cầu đề bài KV = 100 nên suy ra:

KI = 100

• Phƣơng trình đặc tính của hệ sau khi hiệu chỉnh là:

0

10010

1001

0)()(1

2

sssK

s

KK

sGsG

DI

P

C

0)(100)10010( 22 IPD KsKsKsss

0100)100100()10010( 23 IPD KsKsKs (1)

Để hệ thống có cặp cực phức với ξ = 0.5, ωn = 8 thì phƣơng trình đặc tính (1) phải

có dạng:

0)648)((

0)2)((

2

22

ssas

nssas n

064)648()8(( 23 asasas (2)

Cân bằng các hệ số hai phƣơng trình (1) và (2), suy ra:

aK

aK

aK

I

P

D

64100

648100100

810010

Với KI = 100, giải hệ phƣơng trình trên ta đƣợc:

54,1

14,12

25,156

D

P

K

K

a

Vậy hàm truyền của khâu hiệu chỉnh PID cần thiết kế là:

ss

sGC 54,1100

64,12)(

Chương 7: Mô tả toán học hệ thống điều khiển rời rạc

144

CChhưươơnngg 77

MMÔÔ TTẢẢ TTOOÁÁNN HHỌỌCC

HHỆỆ TTHHỐỐNNGG ĐĐIIỀỀUU KKHHIIỂỂNN RRỜỜII RRẠẠCC

7.1 HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC

7.1.1 Khái niệm

Chƣơng này đề cập đến một loại hệ thống điều khiển có hồi tiếp, trong đó tín hiệu tại

một hay nhiều điểm là một chuỗi xung, không phải là hàm liên tục theo thời gian. Tùy

thuộc vào phƣơng pháp lƣợng tử hóa tín hiệu mà ta có các loại hệ thống xử lý tín hiệu

khác nhau. Phƣơng pháp lƣợng tử hóa theo thời gian cho tín hiệu có biên độ liên tục, thời

gian rời rạc. Hệ thống xử lý loại tín hiệu này đƣợc gọi là hệ thống rời rạc. Nếu phép lƣợng

tử hóa đƣợc tiến hành theo thời gian và cả theo biên độ thì kết quả nhận đƣợc là tín hiệu

số. Hệ thống xử lý tín hiệu số gọi là hệ thống số. Trong hệ thống rời rạc và hệ thống số,

thông số điều khiển – biên độ của tín hiệu chỉ xuất hiện tại các thời điểm rời rạc cách đều

nhau đúng bằng một chu kỳ lấy mẫu tín hiệu. Vì có thời gian trễ tất yếu do lấy mẫu, việc

ổn định hệ thống trở nên phức tạp hơn so với hệ liên tục, do đó đòi hỏi những kỹ thuật

phân tích và thiết kế đặc biệt.

Sự phát triển mạnh mẽ của kỹ thuật số, kỹ thuật vi xử lý và kỹ thuât máy tính làm

cho ngày càng có nhiều hệ thống điều khiển số đƣợc sử dụng để điều khiển các đối tƣợng.

Hệ thống điều khiển số có nhiều ƣu điểm so với hệ thống điều khiển liên tục nhƣ uyển

chuyển, linh hoạt, dễ dàng thay đổi thuật toán điều khiển, dễ dàng áp dụng các thuật toán

điều khiển phức tạp bằng cách lập trình. Máy tính số còn có thể điều khiển nhiều đối

tƣợng cùng một lúc. Ngoài ra, giá máy tính ngày càng hạ trong khi đó tốc độ xử lý, độ tin

cậy ngày càng tăng lên cũng góp phần làm cho việc sử dụng các hệ thống điều khiển số

trở nên phổ biến. Hiện nay các hệ thống điều khiển số đƣợc sử dụng rất rộng rãi, từ các bộ

điều khiển đơn giản nhƣ điều khiển nhiệt độ, điều khiển động cơ DC, AC, … đến các hệ

thống điều khiển phức tạp nhƣ điều khiển robot, máy bay, tàu vũ trụ, các hệ thống điều

khiển quá trình công nghệ hóa học và các hệ thống tự động cho những ứng dụng khác

nhau.

Hình 7.1 trình bày sơ đồ khối của hệ thống điều khiển số thƣờng gặp, trong hệ thống

có hai loại tín hiệu: tín hiệu liên tục )(),( tutc R , và tín hiệu số )(),(),( kTukTckTr ht . Trung

tâm của hệ thống là máy tính số, máy tính có chức năng xử lý thông tin phản hồi từ cảm

biến, và xuất ra tín hiệu điều khiển đối tƣợng. Vì cảm biến và đối tƣợng là hệ thống liên

tục nên cần sử dụng bộ chuyển đổi A/D và D/A để giao tiếp với máy tính. Do đó để phân

tích và thiết kế hệ thống điều khiển số trƣớc tiên ta phải mô tả toán học đƣợc quá trình

chuyển đổi A/D và D/A. Tuy nhiên, hiện nay không có phƣơng pháp nào cho phép mô tả


145

chính xác quá trình chuyển đổi A/D và D/A do sai số lƣợng tử hóa biên độ, vì vậy thay vì

khảo sát hệ thống số ở hình 7.1 ta khảo sát hệ rời rạc ở hình 7.2.

Hình 7.1. Sơ đồ khối hệ thống điều khiển số

Hình 7.2. Sơ đồ khối hệ thống điều khiển rời rạc

Trong giáo trình này, chúng ta phát triển các phƣơng pháp phân tích và thiết kế hệ

thống điều khiển liên tục cho hệ thống điều khiển rời rạc. Nếu độ phân giải của phép

lƣợng tử hóa biên độ đủ nhỏ để có thể bỏ qua sai số thì ta có thể xem tín hiệu số là tín

hiệu rời rạc, điều đó có nghĩa là lý thuyết điều khiển rời rạc trình bày trong giáo trình này

hoàn toàn có thể áp dụng để phân tích và thiết kế các hệ thống điều khiển số.

7.1.2 Đặc điểm lấy mẫu

Lấy mẫu là biến đổi tín hiệu liên tục theo thời gian thành tín hiệu rời rạc theo thời

gian. Xét bộ lấy mẫu có đầu vào là tín hiệu liên tục x(t) và đầu ra là tín hiệu rời rạc )(* tx

(xem hình 7.3). Quá trình lấy mẫu có thể mô tả bởi biểu thức toán học sau:

)().()(* tstxtx (7.1)

trong đó s(t) là chuỗi xung dirac:

k

kTtts )()( (7.2)

Thay (7.2) vào (7.1) , đồng thời giả sử rằng e(t) = 0 khi t <0, ta đƣợc:

0

*

0

*

)()()(

)()()(

k

k

kTtkTxtx

kTttxtx

(7.3)

Biến đổi Laplace hai vế phƣơng trình (7.3) , ta đƣợc:

0

* )()(k

kTsekTxsX (7.4)

Biểu thức (7.4) chính là biểu thức toán học mô tả quá trình lấy mẫu.

Xử lý rời rạc Giữ dữ liệu

Cảm biến

r(kT) u(kT)

cht(kT)

c(t)

Lấy mẫu

Đối tƣợng uR(t)

Máy tính số D/A Đối tƣợng

A/D Cảm biến

r(kT) u(kT) uR(t)

cht(kT)

c(t)


146

Hình 7.3. Quá trình lấy mẫu dữ liệu

Định lý Shannon: Để có thể phục hồi dữ liệu sau khi lấy mẫu mà không bị méo dạng thì

tần số lấy mẫu phải thỏa điều kiện:

cfT

f 21 (7.5)

trong đó là fC tần số cắt của tín hiệu cần lấy mẫu.

Trong các hệ thống điều khiển thực tế, nếu có thể bỏ qua đƣợc sai số lƣợng tử hóa

thì các khâu chuyển đổi A/D chính là các khâu lấy mẫu.

7.1.3 Khâu giữ dữ liệu

Khâu giữ dữ liệu là khâu chuyển tín hiệu rời rạc theo thời gian thành tín hiệu liên tục

theo thời gian.

Khâu giữ dữ liệu có nhiều dạng khác nhau, đơn giản nhất và đƣợc sử dụng nhiều

nhất trong các hệ thống điều khiển rời rạc là khâu giữ bậc 0 (Zero-Order Hold – ZOH),

xem hình 7.4.


147

Hình 7.4. Khâu giữ bậc 0 (ZOH)

Ta tìm hàm truyền của khâu ZOH. Để ý rằng nếu tín hiệu vào của khâu ZOH là xung

dirac thì tín hiệu ra là xung vuông có độ rộng bằng T (hình 7.4b). Ta có:

R(s)=1 (vì r(t) là hàm dirac)

s

ee

ssTtutuLtcLsC

TsTs

111

)()()()(

Theo định nghĩa: )(

)()(

sR

sCsGZOH

Do đó: s

esG

Ts

ZOH

1)(

Biểu thức (7.6) chính là hàm truyền của khâu giữ bậc 0. Trong các hệ thống điều

khiển thực tế, nếu có thể bỏ qua đƣợc sai số lƣợng tử hóa thì các khâu chuyển đổi D/A

chính là các khâu giữ bậc 0 (ZOH).

NHẬN XÉT:

Bằng cách sử dụng phép biến đổi Laplace ta có thể mô tả quá trình lấy mẫu và giữ

dữ liệu bằng các biểu thức toán học (7.4) và (7.6). Tuy nhiên các biểu thức toán học này

lại chứa hàm ex nên nếu ta sử dụng để mô tả hệ rời rạc thì khi phân tích, thiết kế hệ thống

sẽ gặp nhiều khó khăn. Ta cần mô tả toán học khác giúp khảo sát hệ thống rời rạc dễ dàng

hơn, nhờ phép biến đổi Z trình bày dƣới đây chúng ta sẽ thực hiện đƣợc điều này.

7.2 PHÉP BIẾN ĐỔI Z

7.2.1 Định nghĩa:

Cho x(k) là chuỗi tín hiệu rời rạc. Biến đổi Z của x(k) là:

k

kzkxkxzX )()()( (7.7)


148

Trong đó: Tsez (s là biến Laplace)

Ký hiệu: )()( zXkx Z

Nếu 0,0)( kkx thì biểu thức định nghĩa trở thành:

0

)()()(k

kzkxkxzX (7.8)

Miền hội tụ: (Region of convergence – ROC)

ROC là tập hợp tất cả các giá trị z sao cho X(z) hữu hạn.

Ý nghĩa của phép biến đổi Z: Giả sử x(t) là tín hiệu liên tục trong miền thời gian, lấy mẫu x(t) với chu kỳ lấy mẫu

T ta đƣợc chuỗi rời rạc x(k) = x(kT)

Biểu thức lấy mẫu x(t):

k

kTsekTxsX )()(* (7.9)

Biểu thức biến đổi Z:

k

kzkxzX )()( (7.10)

Vì Tsez nên vế phải của hai biểu thức (7.9) và (7.10) là nhƣ nhau, do đó bản chất

của việc biến đổi Z một tín hiệu chính là rời rạc hóa tín hiệu đó.

Phép biến đổi Z ngược Cho X(z) là hàm theo biến phức z. Biến đổi Z ngƣợc của X(z) là:

C

k dzzzXj

kx 1).(2

1)(

Với C là đƣờng cong kín bất kỳ nằm trong miền hội tụ ROC của X(z) và bao gốc tọa

độ.

7.2.2 Tính chất của phép biến đổi Z:

1. Tính tuyến tính:

Nếu )()(

)()(

22

11

zXkx

zXkx

Thì )()()()( 22112211 zXakXakxakxa (7.11)

2. Dời trong miền thời gian

Nếu )()( zXkx

Thì )()( 0

0 zXzkkxk (7.12)

Nhận xét:

Nếu trong miền Z ta nhân X(z) voi thì tƣơng đƣơng với trong miền thời gian ta là trễ

tín hiệu chu kỳ lấy mẫu.

Vì )()1( 01zXzkx

Nên đƣợc gọi là toán tử làm trễ 1chu kỳ lấy mẫu

3. Tỉ lệ trong miền Z

Nếu )()( zXkx


149

Thì )()( 1zaXkxak (7.13)

4. Đạo hàm trong miền Z

Nếu )()( zXkx

Thì dz

zdXzkkx

)()(

(7.14)

5. Định lý giá trị đầu

Nếu )()( zXkx

Thì )(lim)0( zXxz

(7.15)

6. Định lý giá trị cuối

Nếu )()( zXkx

Thì )()1(lim)( 1

1zXzx

z

(7.16)

7.2.3 Biến đổi Z của các hàm cơ bản

7.2.3.1 Hàm dirac

00

01)(

k

kk

Theo định nghĩa:

k

k zzkk 1)0()()( 0

Vậy 1)( k

(ROC: toàn bộ mặt phẳng Z)

7.2.3.2 Hàm nấc đơn vị

Hàm nấc đơn vị (liên tục trong miền

thời gian):

00

01)(

t

ttu

Lấy mẫu u (t) với chu kỳ lấy mẫu T, ta

đƣợc:

00

01)(

k

kku

Theo định nghĩa:

k k

kk zzzzkuzkuku 211)()()(

Nếu 11 z thì biểu thức trên là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn. Áp dụng công thức

tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn, ta dễ dàng suy ra:

11

1)(

1

z

z

zku


150

Vậy:

1:(11

1)(

1

zROCz

z

zku )

7.2.3.3 Hàm dốc đơn vị:

Hàm dốc đơn vị (liên tục trong miền

thời gian)

00

01)(

t

ttr

Lấy mẫu r(t) với chu kỳ lấy mẫu là T, ta

đƣợc

)()(

00

0)(

kkTukr

k

kkTkr

Ta tìm biến đổi Z của r(k) bằng cách áp dụng tính chất tỉ lệ trong miền Z:

Ta có:

121

1

21

1

1

1

11)(

11

1)(

1

1)(

z

Tz

z

TzkkTu

z

z

zdz

dzkku

zku

Vậy

1

11)()(

121

1

zROC

z

Tz

z

TzkkTukr

7.2.3.4 Hàm mũ

Hàm mũ liên tục trong miền thời gian:

00

0)(

t

tetx

at

Lấy mẫu r(t) với chu kỳ lấy mẫu là T, ta

đƣợc

)()(

00

0)(

kuekx

k

kekx

kaT

kaT

Theo định nghĩa


151

21

221

1

1)()()(

zeze

zezezkxzkxkx

aTaT

k

aTaT

k

kk

Nếu 1zeaT <1 thì biểu thức trên là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn. Áp dụng công

thức tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn, ta suy ra:

aTaT ez

z

zekx

11

1)(

Vậy

aTaT

aTaT

kaT ezzeROCez

z

zekue

0:1

1)()(

1

Kết quả trên ta dễ dàng suy ra:

az

z

azkuak

11

1)(

7.2.4 Các phƣơng pháp tìm biến đổi Z ngƣợc:

Cho hàm X(z), bài toán đặt ra là tìm x(k). Theo công thức biến đổi Z ngƣợc, ta có:

C

k dzzzXj

kx 1).(2

1)(

Với C là đƣờng cong kín bất kỳ nằm trong ROC của X(z) và bao gốc tọa độ.

Tìm x(k) bằng công thức trên rất phức tạp, thực tế ta thƣờng áp dụng các cách sau:

Cách 1: Phân tích X(z) thành tổng các hàm cơ bản, sau đó tra bảng biến đổi Z

Thí dụ 7.1:

Cho .

)3)(2()(

zz

zzX

Tìm x(k)

Lời giải

Phân tích X(z), ta đƣợc:

)3()2()(

z

z

z

zzX

Tra bảng biến đổi Z:

az

zkuak

)(

Suy ra: )()32()( kukx kk

Cách 2: Phân tích X(z) thành chuỗi lũy thừa: Theo định nghĩa biến đổi Z:

0

3210 ).3().2().1().0()()(k

k zxzxzxzxzkxzX

Do đó nếu phân tích X(z) thành tổng của chuỗi lũy thừa ta sẽ đƣợc giá trị x(k) chính là

hệ số của thành phần kz

Thí dụ 7.2:


152

Cho )3)(2(

)(

zz

zzX . Tìm x(k)

Lời giải

65)3)(2()(

2

zz

z

zz

zzX

Chia đa thức, ta đƣợc

4321 65195)( zzzzzX

Suy ra ,....65)4(;19)3(;5)2(;1)1(;0)0( xxxxx

Cách 3: Tính x(k) bằng công thức đệ qui

Thí dụ 7.3:

Cho )3)(2(

)(

zz

zzX . Tìm x(k)

Lời giải

Ta có:

121

121

21

1

2

)(6)(5)(

)(651

65165)3)(2()(

zzXzzXzzX

zzXzz

zz

z

zz

z

zz

zzX

Biến đổi Z ngƣợc hai vế phƣơng trình trên (để ý tính chất dời trong miền thời gian), ta

đƣợc:

)1()2(6)1(5)(

)1()2(6)1(5)(

kkxkxkx

kkxkxkx

Với điều kiện đầu:

0)2(

0)1(

kx

kxx

Thay vào công thức trên ta đƣợc: 65)4(;19)3(;5)2(;1)1(;0)0( xxxxx

Cách 4: Áp dụng công thức thặng dư:

)(

11)(Re)(

zXzcuacuccactai

kkzXzskx

Nếu 0z là cực bậc 1 thì :

0

0)()()(Re 1

0

1

zz

k

zz

k zXzzzzXzs

Nếu 0z là cực bậc p thì:

00

)()!1(

1)(Re 1

01

11

zz

kp

p

p

zz

k zXzzzdz

d

pzXzs

Thí dụ 7.4:

Cho )3)(2(

)(

zz

zzX . Tìm x (k)

Lời giải:

Áp dụng công thức thặng dƣ, ta đƣợc:


153

3

1

2

1 )(Re)(Re)(

z

k

z

k zXzszXzskx

Mà

k

z

k

z

k

z

k

z

k

k

z

k

z

k

z

k

z

k

z

z

zz

zzz

zXzzzXzs

z

z

zz

zzz

zXzzzXzs

3)2(

)3)(2()3(

)()3()(Re

2)3(

)3)(2()2(

)()2()(Re

3

3

1

3

1

3

1

2

2

1

2

1

2

1

Do đó: kkkx 32)(

7.3. MÔ TẢ HỆ THỐNG RỜI RẠC BẰNG HÀM TRUYỀN

7.3.1 Hàm truyền của hệ rời rạc

Quan hệ giữa tín hiệu vào tín hiệu ra của hệ thống rời rạc đƣợc mô tả bằng phƣơng

trình sai phân:

)()1()1()(

)()1()1()(

110

110

krbkrbmkrbmkrb

kcakcankcankca

mm

nn

(7.17)

Trong đó mn , n gọi là bậc của hệ thống rời rạc

Biến đổi Z hai vế phƣơng trình (7.17), ta đƣợc:

nn

nn

mm

mm

mm

mm

nn

nn

mm

mm

nn

nn

azazaza

bzbzbzb

zR

zC

zRbzbzbzbzCazazaza

zRbzzRbzRzbzRzb

zCazzCazCzazCza

1

1

10

1

1

10

1

1

101

1

10

1

1

10

1

1

10

)(

)(

)()(

)()()()(

)()()()(

Đặt

nn

nn

mm

mm

azazaza

bzbzbzb

zR

zCzG

1

1

10

1

1

10

)(

)()(

(7.18)

G(z) đƣợc gọi là hàm truyền của hệ thống rời rạc

Hàm truyền (7.18) có thể biến đổi tƣơng đƣơng về dạng:

n

n

n

n

m

m

m

m

mn

zazazaa

zbzbzbbz

zR

zCzG

1

1

1

10

1

1

1

10

)(

)(

)()(

(7.19)

Hai cách biểu diễn trên hoàn toàn tƣơng đƣơng nhau, trong thực tế hàm truyền dạng

thứ 2 đƣợc sử dụng nhiều hơn

Thí dụ 7.5: Cho hệ thống rời rạc mô tả bởi phƣơng trình sai phân: )()2(2)(3)1(5)2(2)3( krkrkckckckc


154

Tìm hàm truyền của hệ thống

Lời giải:

Biến đổi Z hai vế phƣơng trình sai phân mô tả hệ thống, ta đƣợc:

321

21

23

2

223

3521

)2(

)(

)()(

352

12

)(

)()(

)()(2)(3)(5)(2)(

zzz

zz

zR

zCzG

zzz

z

zR

zCzG

zRzRzzCzzCzCzzCz

7.3.2 Tính hàm truyền hệ rời rạc từ sơ đồ khối

Khi thêm vào hệ thống liên tục các khâu lấy mẫu, khâu giữ dữ liệu (và bộ điều khiển

số) ta đƣợc hệ thống điều khiển rời rạc. Bài toán đặt ra là tìm hàm truyền hệ rời rạc theo

biến z từ sơ đồ khối có các khâu lấy mẫu. Xét một số sơ đồ thƣờng gặp sau đây:

7.3.2.1 Hai khâu nối tiếp cách nhau bởi khâu lấy mẫu

Hình 7.6. Hai khâu nối tiếp cách nhau bởi khâu lấy mẫu

)()()(

)()( 21 zGzG

zR

zCzG (7.20)

trong đó

)()(

)()(

22

11

sGzG

sGzG

Thí dụ 7.6

Cho bs

sGas

sG

1

)(;1

)( 21 . tìm hàm truyền tƣơng đƣơng của hai hệ thống có sơ

đồ khối ở hình 7.6.

Lời giải:

Tra bảng biến đổi Z, ta có:

bT

aT

ez

z

bssGzG

ez

z

assGzG

1)()(

1)()(

22

11

Do đó dễ dàng suy ra:

bTaT ezez

zzGzG

2

21 )()(

7.3.2.2 Hai khâu nối tiếp không cách nhau bởi khâu lấy mẫu


155

Hình 7.7. Hai khâu nối tiếp không cách nhau bởi khâu lấy mẫu

)()(

)()( 21 zGG

zR

zCzG

Trong đó: )()()( 2121 sGsGzGG

Cần chú ý là: )()()()()()()( 21212121 zGGsGsGsGsGzGzG

Thí dụ dƣới đây sẽ minh họa điều này

Thí dụ 7.7

Chobs

sGas

sG

1

)(;1

)( 21 . Tìm hàm truyền tƣơng đƣơng của hai hệ thống có sơ

đồ khối ở hình 7.7

Lời giải:

Tra bảng biến đổi Z, ta có:

bTaT

aTbT

bTaT

ezezab

eezzGG

ez

z

baez

z

ab

asbaasab

bsassGsGzGG

)(

11

1111

1)()()(

21

2121

Rõ ràng kết quả tính hàm truyền tƣơng đƣơng của hai hệ thống ở thí dụ 7.6 và 7.7

hoàn toàn khác nhau.

7.3.2.3 Hệ thống hồi tiếp có khâu lấy mẫu trong kênh sai số

)(1

)(

)(

)()(

zGH

zG

zR

zCzGk

(7.22)

Trong đó )().()(

)()(

sHsGzGH

sGzG

Trƣờng hợp H(s) =1 (hệ thống hồi tiếp âm đơn vị) ta có:

)(1

)(

)(

)()(

zG

zG

zR

zCzGk

(7.23)

Thí dụ 7.8:

Chobs

sHas

sG

1

)(;1

)( . Tìm hàm truyền tƣơng đƣơng của hai hệ thống có sơ đồ

khối ở hình 7.7.

Lời giải:


156

Thực hiện phép biến đổi Z tƣơng tự nhƣ đã làm ở thí dụ 7.6 và 7.7, ta dễ dàng tính

đƣợc:

bTaT

aTbT

bT

ezezab

eez

bsassHsGzGH

ez

z

assGzG

1.

1)()()(

1)()(

Thay vào công thức (7.22) ta đƣợc

aTbTbTaT

bT

k

bTaT

aTbT

aT

k

eezezezab

ezabzG

ezezab

eez

ez

z

zGH

zG

zR

zCzG

)(

1)(1

)(

)(

)()(

7.3.2.4 Hệ thống nối tiếp có khâu lấy mẫu trong vòng hồi tiếp:

Trƣờng hợp này không tìm đƣợc biểu thức hàm truyền, quan hệ giữa tín hiệu vào và

tín hiệu ra nhƣ sau:

)()(1

)()(

zHzG

zRGzC

(7.24)

Trong đó:

)(()()()(

)()()(

sHsGzHzG

sGsRzRG

7.3.2.5 Hệ thống hồi tiếp có các khâu lấy mẫu đồng bộ trong nhánh thuận

Hình 7.10: Hệ thống hồi tiếp có các khâu lấy mẫu đồng bộ trong nhánh thuận

)()(1

)(

)(

)()(

zHzG

zG

zR

zCzGk

(7.25)

Trong đó:

)()(

)()(

sHzH

sGzG

7.3.2.6 Hệ thống hồi tiếp có các khâu lấy mẫu đồng bộ và các khâu nối tiếp ở nhánh

thuận


157

Hình 7.11: Hệ thống hồi tiếp có các khâu lấy mẫu đồng bộ và các khâu nối tiếp ở nhánh

thuận

)()(1

)()(

)(

)()(

21

21

zGzG

zGzG

zR

zCzGk

Trong đó:

)()()(

)()(

)()(

22

22

11

sHsGzHG

sGzG

sGzG

7.3.2.7 Sơ đồ dòng tín hiệu – Công thức Mason cho hệ rời rạc

Có thể mở rộng khái niệm sơ đồ dòng tín hiệu đã trình bày trong chƣơng 2 cho hệ liên

tục để áp dụng vào hệ rời rạc với một vài thay đổi nhỏ. Để sử dụng công thức Mason cho

hệ rời rạc cần để ý các nguyên tắc dƣới nhƣ sau:

Nếu không có lấy bộ mẫu giữa đầu vào R(s) và khâu đầu tiên trong vòng thuận (ví

dụ nhƣ G(s) thì không thể tách biệt biến đổi Z của đầu vào và khâu đầu tiên và ta

luôn có số hạng RG(z). Do đó trong trƣờng hợp này không thể tính đƣợc hàm

truyền bằng tỉ lệ giữa biến đổi Z tín hiệu ra và tín hiệu vào của hệ thống.

Nếu một khâu trong vòng thuận hay trong vòng hồi tiếp phân biệt với đầu vào, đầu

ra của hệ thống và với các khâu khác bởi các bộ lấy mẫu ở đầu vào và đầu ra của

nó thì nó hoàn toàn độc lập về biến đổi Z.

Nếu một khâu trong vòng thuận hay vòng hồi tiếp không phân biệt với các khâu kế

cận hay với đầu vào của hệ thống bởi bộ lấy mẫu thì phải thực hiện phép biến đổi

Z của hàm truyền kết hợp của hai khâu hay giữa khâu đó với đầu vào.

Dùng lý thuyết Mason và ba nguyên tắc trên cho hệ rời rạc, sinh viên có thể kiểm

chứng đƣợc các công thức tính hàm truyền đã dẫn ra trong mục 7.3.2 này.

7.4 MÔ TẢ HỆ THỐNG RỜI RẠC BẰNG PHƢƠNG TRÌNH TRẠNG THÁI

7.4.1 Thành lập phƣơng trình trạng thái từ phƣơng trình sai phân

7.4.1.1 Vế phải của phương trình sai phân không chứa sai phân của tín hiệu vào

Xét hệ thống rời rạc có quan hệ giữa tín hiệu vào và tín hiệu ra mô tả bởi phƣơng trình

sai phân:

)()()1()1()( 011 krbkcakcankcankc nn (7.26)

Chú ý: ở phƣơng trình trên hệ số . Nếu ta chia hai vế cho để đƣợc phƣơng trình sai phân

có dạng (7.26).

Tƣơng tự nhƣ đã làm đối với hệ liên tục, ta đặt các biến trạng thái để biến đổi tƣơng

đƣơng phƣơng trình sai phân bậc n ở trên thành hệ n phƣơng trình sai phân bậc 1.



158

)(1)1()()1()(

)2()()1()(

)1()()1()(

)()(

1

323

212

1

nkckxnkckxkxkx

kckxkxkx

kckxkxkx

kckx

nnnn

Thay vào phƣơng trình (7.26) ta đƣợc:

)()()()()1(

)()()()()1(

01211

01211

krbkxakxakxakx

krbkxakxakxakx

nnnn

nnnn

Kết hợp phƣơng trình trên với các biểu thức đặt biến trạng thái ta đƣợc hệ phƣơng trình

sau:

)()()()()1(

)()1(

)()1(

)()1(

0121

1

32

21

krbkxakxakaxkx

kxkx

kxkx

kxkx

nnnn

nn


)(

0

0

0

)(

)(

)(

)(

10000

00100

00010

)1(

)1(

)1(

)1(

0

1

2

1

1221

1

2

1

kr

bkx

kx

kx

kx

aaaaakx

kx

kx

kx

n

n

nnnn

n


)(

)(

)(

)(

0001)()(

1

1

1

1

kx

kx

kx

kx

kxkc

n

n

Đặt:

1221

1

2

1

10000

00100

00010

)1(

)1(

)1(

)1(

)(

aaaaa

A

kx

kx

kx

kx

kx

nnn

d

n

n


159

0001

0

0

0

0

dd D

b

B

Ta đƣợc hệ phƣơng trình biến thái:

)()(

)()()1(

kxDkc

krBkxAkx

d

dd

Thí dụ 7.9:

Cho hệ thống điều khiển rời rạc mô tả bởi phƣơng trình sai phân: )(3)(4)1(5)2()3(2 krkckckckc

Hãy viết hệ phƣơng trình biến trạng thái mô tả hệ thống.

Lời giải:

Ta có:

)(5.1)(2)1(5.2)2(5.0)3(

)(3)(4)1(5)2()3(2

krkckckckc

krkckckckc

Đặt biến trạng thái nhƣ sau

)1()(

)1()(

)()(

23

12

1

kxkx

kxkx

kckx

Hệ phƣơng trình biến trạng thái mô tả hệ thống đã cho là:

)()(

)()()1(

kxDkc

krBkxAkx

d

dd

Trong đó:

001

5.1

0

0

0

0

5.05.22

100

010

100

010

)(

)(

)(

)(

0

123

3

2

1

d

d

d

D

b

B

aaa

A

kx

kx

kx

kx

7.4.1.2 Vế phải của phương trình sai phân có chứa sai phân của tín hiệu vào

Xét hệ thống rời rạc có quan hệ giữa tín hiệu vào và tín hiệu ra mô tả bởi phƣơng trình

sai phân:

)()1()1()(

)()1()1()(

110

11

krbkrbnkrbnkrb

kcakcankcankc

nn

nn

(7.27)


160

Chú ý: Ở phƣơng trình trên hệ số 10 a . Nếu 10 a ta chia hai vế cho để đƣợc phƣơng

trình sai phân có dạng (7.27).


)()1()(

)()1()(

)()1()(

)()()(

11

223

112

01

krkxkx

krkxkx

krkxkx

krkckx

nnn

Từ cách biến trạng thái trên ta rút ra phƣơng trình sau:

)()()()()1( 1211 krkxakxakxakx nnnnn

Trong đó:

0111

00

ab

b

021122 aab

01144332211

0413223144

03122133

nnnnnnnn aaaaaab

aaaab

aaab

Do đó hệ phƣơng trình biến trạng thái mô tả hệ thống có dạng:

)()()(

)()()1(

krEkxDkc

krBkxAkx

dd

dd

Trong đó:

)(

)(

)(

)(

)(

1

2

1

kx

kx

kx

kx

kx

n

n

1221

10000

00100

00010

aaaaa

A

nnn

d

0

1

2

1

0001

dd

n

n

d EDB

Thí dụ 7.10:

Cho hệ thống rời rạc mô tả bởi phƣơng trình sai phân: )(3)2()(4)1(5)2()3(2 krkrkckckckc

Hãy viết hệ phƣơng trình trạng thái mô tả hệ thống trên.

Lời giải:

Ta có:


161

)(5.1)2(5.0)(2)1(5.2)2(5.0)3(

)(3)2()(4)1(5)2()3(2

krkrkckckckc

krkrkckckckc

Đặt các biến trạng thái:

)()()()()1(

)()1()(

)()1()(

)()()(

33122133

223

112

01

krkxakxakxakx

krkxkx

krkxkx

krkckx

Trong đó:

5.005.05.0

0

0111

00

ab

b

25.005.25.05.00021122 aab

375.05.05.225.05.05.103122133 aaab

Hệ phƣơng trình biến trạng thái có dạng:

)()()(

)()()1(

krEkxDkc

krBkxAkx

dd

dd

Trong đó:

0001

375.0

25.0

5.0

5.05.22

100

010

100

010

)(

)(

)(

)(

123

3

2

1

ddd

d

EDB

aaa

A

kx

kx

kx

kx

7.4.2 Thành lập phƣơng trình trạng thái từ hàm truyền hệ rời rạc

Cho hệ thống mô tả bởi hàm truyền:

nn

nn

mm

mm

azazaz

bzbzbzb

zR

zCzG

1

1

1

1

1

10

)(

)()(

(7.28)

Chú ý: Ở hàm truyền trên hệ số 10 a . Nếu 10 a ta chia tử số và mẫu số cho a0 để đƣợc

hàm truyền có dạng (7.28).

Cách 1: Biến đổi tƣơng đƣơng hàm truyền về dạng phƣơng trình sai phân:

nn

nn

mm

mm

azazaz

bzbzbzb

zR

zCzG

1

1

1

1

1

10

)(

)()(

)()1()1()(

)()1()1()(

)()(

110

11

1

1

101

1

1

krbkrbmkrbmkrb

kcakcankcankc

zRbzbzbzbzCazazaz

nn

nn

mm

mm

nn

nn


162

Áp dụng phƣơng pháp đã trình bày ở mục 7.4.1.2 ta rút ra đƣợc hệ phƣơng trình

biến trạng thái.

Thí dụ 7.11 Hãy thành lập hệ phƣơng trình trạng thái mô tả hệ thống có hàm truyền là:

452

3

)(

)()(

23

2

zzz

z

zR

zCzG

Lời giải:

Cách 1: Hàm truyền đã cho tƣơng đƣơng với:

25.25.0

5.15.0

)(

)()(

23

2

zzz

z

zR

zCzG

)(5.1)2(5.0)(2)1(5.2)2(5.0)3(

)(5.15.0)(25.25.0 223

krkrkckckckc

zRzzCzzz

Xem tiếp lời giải đã trình bày ở thí dụ 7.10.

Cách 2: Do nn

nn

mm

mm

azazaz

bzbzbzb

zR

zCzG

1

1

1

1

1

10

)(

)()(

nên ta có thể đặt biến phụ E(z) sao cho:

)()( 1

1

10 zEbzbzbzbzC mm

mm

(7.29)

)()( 1

1

1 zEazazazzR nn

nn

(7.30)

(7.30) )()()1()1()( 11 krkeakeankeanke nn

Áp dụng phƣơng pháp đã trình bày ở mục 7.4.1.1, đặt các biến trạng thái:

)()1()1()()1()(

)2()()1()(

)1()()1()(

)()(

1

323

212

1

nkekxnkekxkxkx

kekxkxkx

kekxkxkx

kekx

nnnn

Ta đƣợc phƣơng trình:

)(

0

0

0

)(

)(

)(

)(

10000

00100

00010

)1(

)1(

)1(

)1(

0

1

2

1

1221

1

2

1

kr

bkx

kx

kx

kx

aaaaakx

kx

kx

kx

n

n

nnnn

n

)(

)(

)(

)(

00)(

)()()()()(

)()1)(1()1()()()29.7(

1

2

1

011

121110

110

kx

kx

kx

kx

bbbbkc

kxbkxbkxbkxbkc

kebkkebmkebmkebkc

n

n

mm

mmmm

mm

Tóm lại ta đƣợc hệ phƣơng trình trạng thái:


163

)()(

)()()1(

kxDkc

krBkxAkx

d

dd

Trong đó:

)(

)(

)(

)(

)(

1

2

1

kx

kx

kx

kx

kx

n

n

1221

10000

00100

00010

aaaaa

A

nnn

d

00

1

0

0

0

011 bbbbDB mmdd

Thí dụ 7.12: Cho hệ thống mô tả bởi hàm truyền:

452

3

)(

)()(

23

2

zzz

z

zR

zCzG

Hãy thành lập hệ phƣơng trình trạng thái.

Lời giải: Hàm truyền đã cho tƣơng đƣơng với:

25.25.0

5.15.0

)(

)()(

23

2

zzz

z

zR

zCzG

Đặt biến phụ E(z) sao cho:

)(2)1(5.2)2(5.0)3()(

)(5.1)2(5.0)(

)(25.25.0)(

)(5.15.0)(

23

2

kekekekezr

kckckc

zEzzzzR

zEzzC

Đặt biến trạng thái:

)1()(

)1()(

)()(

23

12

1

kxkx

kxkx

kekx

Ta đƣợc hệ phƣơng trình:

)()(

)()()1(

kxDkc

krBkxAkx

d

dd

Trong đó:

)(

)(

)(

)(

3

2

1

kx

kx

kx

kx


164

5.05.22

100

010

100

010

123 aaa

Ad

5.005.1

1

0

0

012

bbbD

B

d

d

Thí dụ 7.13: Hãy thành lập hệ phƣơng trình trạng thái mô tả hệ thống có hàm truyền là:

352

12

)(

)()(

234

zzzz

z

zR

zCzG

Lời giải: Đặt biến phụ E(z) sao cho:

)(3)1(5)2()3(2)4()(

)()1(2)(

352)(

)()12()(234

kekekekekezr

kekekc

zzzzzR

zEzzC

Đặt biến trạng thái:

)1()(

)1()(

)1()(

)()(

34

23

12

1

kxkx

kxkx

kxkx

kekx

Ta đƣợc hệ phƣơng trình

)()(

)()()1(

kxDkc

krBkxAkx

d

dd

Trong đó:

)(

)(

)(

)(

)(

4

3

2

1

kx

kx

kx

kx

kx

2153

1000

0100

0010

1000

0100

0010

1234 aaaa

Ad

002100

1

0

0

0

01

bbDB dd

7.4.3 Thành lập phƣơng trình trạng thái hệ rời rạc từ phƣơng trình trạng thái hệ

liên tục:

Phƣơng pháp này chỉ áp dụng đƣợc cho hệ thống có sơ đồ khối nhƣ sau:


165

TRÌNH TỰ THÀNH LẬP PHƢƠNG TRÌNH TRẠNG THÁI

Bước 1: Thành lập hệ phƣơng trình biến trạng thái hệ liên tục:

)()(

)()()(

tDxtc

tBetAxtx R

Bước 2: Tính ma trận quá độ của hệ liên tục:

)()( 1 sLt

Với: 1)()( AsIs

Bước 3: Rời rạc hóa phƣơng trình biến trạng thái ở bƣớc 1, ta đƣợc:

)()(

)()()1(

kTxDkTc

kTrBkTxATkx

d

dd

Trong đó:

DD

BdB

TA

d

T

d

d

0

)(

Bước 4: Hệ phƣơng trình biến trạng thái của hệ rời rạc cần tìm với tín hiêu vào

r(kT) là:

)()(

)()()1(

kTxDkTc

kTrBkTxDBATkx

d

dddd

Chứng minh:

Bước 1 và bước 2 thành lập phƣơng trình trạng thái và tính ma trận quá độ của hệ liên tục

không có gì phải chứng minh. Ta chứng minh từ bƣớc 3, ở bƣớc này ta suy ra phƣơng

trình trạng thái của hệ rời rạc từ phƣơng trình trạng thái của hệ liên tục.

Bước 3: Ở chƣơng 2, ta đã biết nghiệm của phƣơng trình trạng thái hệ liên tục cho bởi

công thức:

T

R dBetxtttx0

00 )()()(

Tổng quát:

T

R dBettxtttx0

000 )()()(

Áp dụng công thức trên với:

Tkt

kTt

)1(

0


166

Ta đƣợc:

Tk

kT

R dBekTkTxTTtkx

)1(

)()()(

Ta lại có:

TkkTkTeeR )1(:),(

(do )(Re là tín hiệu ở ngõ ra của khâu giữ ZOH)

Thay vào công thức trên, ta đƣợc:

Tk

kT

dkTBekTkTxTTtkx

)1(

)()()(

Do e(kT) không phụ thuộc vào biến lấy tích phân nên:

kTeBdkTkTxTTtkx

Tk

kT

)1(

)()()(

Đổi biến phép tính lấy tích phân, ta đƣợc:

kTeBdkTxTTtkx R

B

T

A

d

d

0

)()()( (7.31)

Rời rạc hóa phƣơng trình ngõ ra của hệ liên tục, ta đƣợc:

)()( kTxDkTc d

Bước 4: Theo sơ đồ khối của hệ thống, ta thấy:

)()()()()( kTxDkTrkTckTrkTe d

Thay vào phƣơng trình (7.31) ta đƣợc kết quả cần chứng minh.

Thí dụ 7.14 Cho hệ thống rời rạc có sơ đồ nhƣ hình vẽ. Hãy thành lập hệ phƣơng trình

biến trạng thái mô tả hệ thống với các biến trạng thái đƣợc xác định trên hình vẽ.

Lời giải:

Bước 1: Thành lập hệ phƣơng trình biến trạng thái mô tả hệ liên tục:

Theo hình vẽ ta có:

)()()(

)( 212

1 sXssXs

sXsX

)()( 21 txtx (7.32)

)()()()(

)( 22 sEsXasas

sEsX R

R

)()()( 22 tetaxtx R

)()()( 22 tetaxtx R (7.33)

Kết hợp (7.32) và (7.33) ta đƣợc hệ phƣơng trình:


167

)t(e1

0

)t(x

)t(x

a0

10

)t(x

)t(x

)t(e)t(ax)t(x

)t(x)t(x

R

2

1

2

1

R22

21

)()()( tBetAxtx R (7.34)


)()(

)(0)()(

2

1

1 tDxtx

txKtKxtc

Do đó: 01

0

0

10KDB

aA

Bước 2: Tính ma trận quá độ

as

asss

s

as

ass

as

s

asAsIs

10

)(

11

0

1

)(

1

0

1

0

10

10

01)()(

1

1

aT

aT

e

ea

asL

assL

sL

as

asssLsLt

0

11

1

10

)(

11

10

)(

11

)()(1

11

11

Bước 3: Rời rạc hóa các phƣơng trình trạng thái của hệ liên tục, ta đƣợc:

)()(

)()()1(

kTxDkTc

kTeBkTxATkx

d

dd

Trong đó:

aT

aT

Tt

at

at

d

e

ea

e

eaTA

0

)1(1

1

0

)1(1

1)(

T

a

aT

a

aT

d d

e

ead

e

eaBdB

0001

0)1(1

1

0

0

)1(1

1)(

aa

e

aa

aTe

a

T

a

e

a

e

aaT

T

a

a

1

122

0

2


168

0KDDd

Bước 4: Hệ phƣơng trình biến trạng thái mô tả hệ thống rời rạc với tín hiệu vào r(kT) là:

)()(

)()()1(

kTxDkTc

kTrBkTxDBATkx

d

dddd

Trong đó:

01

1

0

)1(1

1 22

K

aa

e

aa

e

a

T

e

eaDBA

aT

aT

aT

aT

ddd

01

01

0

)1(1

122

aa

eK

aa

e

a

TK

e

ea aT

aT

aT

aT

aTaT

aTaT

ddd

eaa

eK

eaaa

e

a

TK

DBA1

1(11

122

Thí dụ bằng số cụ thể: a =2, T = 0.5 sec, K =10

Bước 1: 0101

0

20

10

DBA

Bước 2:

t

t

at

at

e

e

e

eat

2

2

0

)1(2

11

0

)1(1

1)(

Bước 3:

368.00

316.01

0

)1(2

11

0

)1(1

1

5.02

5.02

e

e

e

eaAd

aT

aT

010

216.0

092.0

2

1

2

2

1

22

5.0

1

1

5.02

22

5.02

22

DDd

e

e

aa

e

aa

e

a

T

BdaT

aT

Bước 4:


169

010316.0

092.0

368.00

316.01

ddd DBA

368.0160.3

316.0080.0

0160.3

0920.0

368.00

316.01

Kết luận: Hệ phƣơng trình biến trạng thái cần tìm là:

)(

)(010)(

)(316.0

092.0

)(

)(

368.0160.3

316.0080.0

)1(

)1(

2

1

2

1

2

1

kx

kxkc

krkx

kx

kx

kx

7.4.4 Tính hàm truyền hệ rời rạc từ hệ phƣơng trình trạng thái

Cho hệ thống rời rạc mô tả bởi hệ phƣơng trình biến trạng thái:

)()(

)()()1(

kxDkc

krBkxAkx

d

dd

Bài toán đặt ra là tìm hàm truyền: )(

)()(

zR

zCzG

Biến đổi Z hệ phƣơng trình trạng thái, ta đƣợc:

)()(

)()()(

zXDzC

zRBzXAzzX

d

dd

)()(

)()()(

zXDzC

zRBzXAzI

d

dd

)()(

)(][)( 1

zXDzC

zRBAzIzX

d

dd

)(][)( 1 zRBAzIDzC ddd

Lập tỉ số, ta đƣợc:

ddd BAzIDzR

zCzG 1][

)(

)()( (7.35)

Thí dụ 7.15: Cho hệ thống mô tả bởi phƣơng trình trạng thái:

)()(

)()()1(

kTxDkTc

kTrBkTxDBATkx

d

dddd

Trong đó: 01;2

0;

1.07.0

10

DDBA ddd

Hãy viết hàm truyền của hệ thống trên.

Lời giải:

Áp dụng công thức (7.35), hàm truyền của hệ thống là:

ddd BAzIDzR

zCzG

1

)(

)()(

Ta có:


170

zzz

z

zzBAzI

z

zz

z

z

z

zAzI

dd

d

2

2

7.0)1.0(

1

2

0

1.07.0

11.0

7.0)1.0(

1

1.07.0

11.0

7.0)1.0(

1

1.07.0

1

1.07.0

10

0

0

1

11

1

7.0)1.0(

2

2

2]01[

7.0)1.0(

11

zzzzzBAzID ddd

Vậy:7.01.0

2)(

2

zzzG

Chương 8: Phân tích và thiết kế hệ rời rạc

171

CChhưươơnngg 88

PPHHÂÂNN TTÍÍCCHH VVÀÀ TTHHIIẾẾTT KKẾẾ RRỜỜII RRẠẠCC

8.1 KHẢO SÁT TÍNH ỔN ĐỊNH

8.1.1 Khái niệm về tính ổn định của hệ rời rạc

Ở chƣơng 4 chúng ta đã xét khái niệm ổn định của hệ liên tục, hệ thống đƣợc gọi là

ổn định nếu tín hiệu vào bị chặn thì tín hiệu ra bị chặn. Chúng ta cũng đã dẫn ra đƣợc điều

kiện để hệ liên tục ổn định là tất cả các nghiệm của phƣơng trình đặc trƣng đều nằm bên

trái mặt phẳng thức theo biến s, nói cách khác tất cả các nghiệm của phƣơng trình đặc

trƣng của hệ liên tục phải có phần thực âm. Do phép biến đổi Z và phép biến đổi Laplace

có mối liên hệ Tsez (với T là chu kỳ lấy mẫu) nên s có phần thực âm tƣơng đƣơng với

1z , hay z nằm trong vòng tròn đơn vị. Vì vậy điều kiện để hệ rời rạc ổn định là tất cả

các nghiệm của phƣơng trình đặc trƣng đều phải nằm bên trong vòng tròn đơn vị của mặt

phẳng phức theo biến z. Hình 8.1 minh hoạ miền ổn định của hệ liên tục và hệ rời rạc.

Nhƣ vậy tƣơng tự nhƣ đã làm đối với hệ liên tục, để đánh giá tính ổn định của hệ

rời rạc ta chỉ cần khảo sát phƣơng trình đặc trƣng. Sau đây là phƣơng trình đặc trƣng của

hai dạng mô tả hệ rời rạc thƣờng gặp:

- Hệ thống rời rạc cho bởi sơ đồ khối:

Phƣơng trình đặc trƣng là:

0)(1 zGH (8.1)

- Hệ thống rời rạc cho hệ phƣơng trình biến trạng thái:

)()(

)()()1(

kxDkc

krBkxAkx

d

dd

Phƣơng trình đặc trƣng là :

0)det( dAzI (8.2)

Đối với các hệ rời rạc có mô tả toán học khác hai dạng trên, tham khảo chƣơng 7

để rút ra phƣơng trình đặc trƣng.

Để thiết kế hệ điều khiển rời rạc, yêu cầu tối thiểu trƣớc tiên là hệ phải ổn định. Về

cơ bản, kỹ thuật phân tích và đánh giá độ ổn định của hệ tuyến tính liên tục cũng có thể áp

dụng cho hệ rời rạc với một số sửa đổi cần thiết. Đó là những tiêu chuẩn ổn định tần số

Nyquist – Bode, phƣơng pháp quỹ đạo nghiệm số … Đối với hệ điều khiển rời rạc còn có

thêm tiêu chuẩn đại số Jury đƣợc sử dụng để kiểm tra tính ổn định của hệ. Song cũng nhƣ

các tiêu chuẩn ổn định đại số khác nhƣ Routh – Hurwitz, kết luận của tiêu chuẩn Jury

cũng chỉ cho biết hệ có ổn định hay không, nhƣng không cho biết vị trí các nghiệm trong


172

mặt phẳng Z. Nếu kết quả cho thấy hệ ổn định thì có thể khẳng định đƣợc tất cả các

nghiệm đều nằm trong vòng tròn đơn vị nhƣ thế nào. Trái với tiêu chuẩn ổn định đại số,

phƣơng pháp phân tích đáp ứng tần số không chỉ xác định tính ổn định mà còn chỉ ra cần

thiết kế nhƣ thế nào để hệ từ không ổn định trở nên đạt chỉ tiêu chất lƣợng mong muốn.

Sau đây chúng ta sẽ lần lƣợt trình bày các kỹ thuật đánh giá tính ổn định đã kể trên.

8.1.2 Tiêu chuẩn Routh – Hurwitz mở rộng

Tiêu chuẩn Routh – Hurwitz cho phép đánh giá phƣơng trình đại số

0... 1

1

10

nn

nn axaxaxa có nghiệm nằm bên phải mặt phẳng phức hay không. Ở

chƣơng 4 ta đã sử dụng kết quả này để đánh giá số nghiệm nằm bên phải mặt phẳng phức

của phƣơng trình đặc trƣng của hệ liên tục 0... 1

1

10

nn

nn asasasa . Nếu phƣơng

trình nói trên có nghiệm nằm bên phải mặt phẳng phức thì hệ liên tục không ổn định. Tuy

nhiên, ta không thể sử dụng trực tiếp tiêu chuẩn Routh-Hurwitz để đánh giá tính ổn định

của hệ rời rạc vì miền ổn định của hệ rời rạc nằm bên trong đƣờng tròn đơn vị. Muốn

dùng tiêu chuẩn Routh – Hurwitz để đánh giá tính ổn định của hệ rời rạc ta phải thực hiện

phép biến đổi:

1

1

w

wz (8.3)

1

1

z

zw (8.4)

Với cách biến đổi nhƣ trên, miền nằm trong vòng trong đơn vị của mặt phẳng z

biến nửa trái của mặt phẳng w(xem hình 8.2). Sau đó ta áp dụng tiêu chuẩn Routh –

Hurwitz đối với phƣơng trình đặc trƣng theo biến, nếu không tồn tại nghiệm w nằm bên

phải mặt phẳng phức thì không tồn tại nghiệm z nằm ngoài vòng tròn đơn vị, khi đó ta kết

luận hệ rời rạc ổn định. Tiêu chuẩn xét ổn định nhƣ trên gọi là tiêu chuẩn Routh-Hurwitz

mở rộng.

Thí dụ 8.1: Cho hệ thống rời rạc có phƣơng trình đặc trƣng:

01325 23 zzz

Xét tính ổn định của hệ thống trên

Lời giải: Đổi biến 1

1

w

wz , phƣơng trình đặc trƣng trở thành:

05131111

013313121335

0111311215

011

13

1

12

1

15

23

23232323

3223

23

www

wwwwwwwwwwww

wwwwww

w

w

w

w

w

w

Đến đây ta có thể dùng tiêu chuẩn Routh hoặc tiêu chuẩn Hurwitz

Cách 1: Bảng Routh 3w 11 13 2w 11 5 1w 8 0 0w 5


173

Do tất cả các hệ số ở cột 1 bảng Routh đều dƣơng nên hệ ổn định.

Cách 2: Ma trận Hurwitz

05

01151311

011

5110

01311

0511

0

0

0

23

2

1

31

20

31

xx

aa

aa

aa

Do các định thức con của ma trận Hurwitz đều dƣơng nên hệ ổn định

8.1.3 Tiêu chuẩn Jury

Xét hệ rời rạc có phƣơng trình đặc trƣng:

0... 1

1

10

nn

nn azazaza

Để đánh giá tính ổn định của hệ rời rạc có phƣơng trình đặc trƣng (8.5) bằng tiêu

chuẩn Jury, trƣớc tiên ta phải lập bảng Jury theo qui tắc sau:

1. Bảng Jury gồm có (2n+1) hàng. Hàng 1 là các hệ số của phƣơng trình đặc

trƣng (8.5) theo thứ tự chỉ số tăng dần.

2. Hàng chẳn (bất kỳ) gồm các hệ số của hàng lẻ trƣớc đó viết theo thứ tự ngƣợc

lại.

3. Hàng lẻ thứ )1(12 kki gồm có )1( kn phần tử, phần tử ijc ở hàng i cột j

xác định công thức:

2,11,1

2,21,2

1,2

1

kjnii

kjnii

i

ij cc

cc

cc (8.6)

Phát biểu tiêu chuẩn Jury

Điều khiển cần và đủ để hệ thống rời rạc có phƣơng trình đặc trƣng (8.5) ổn

định là tất cả các hệ số ở hàng lẻ, cột 1 của bảng Jury đều dƣơng.

Thí dụ 8.2: Cho hệ thống rời rạc có phƣơng trình đặc trƣng ở thí dụ 8.1:

01325 23 zzz

Xét tính ổn định của hệ thống trên dùng tiêu chuẩn Jury.

Lời giải:

Bảng Jury

Hàng 1 5 2 3 4

Hàng 2 1 3 2 5

Hàng 3 8.4

51

15

5

1 4.1

21

35

5

1 6.2

31

25

5

1

Hàng 4 2.6 1.4 4.8

Hàng 5 39.3

8.46.2

6.28.4

8.4

1 61.0

4.16.2

4.18.4

8.4

1

Hàng 6 0.61 3.39


174

Hàng 7 28.3

39.361.0

61.039.3

39.3

1 39.3

8.46.2

6.28.4

8.4

1

Do các hệ số ở hàng Jury đều dƣơng nên hệ thống ổn định. Kết luận này hoàn toàn

phù hợp với kết luận ở thí dụ 8.1.

8.1.4 Quỹ đạo nghiệm số

Tƣơng tự nhƣ hệ liên tục, đối với hệ rời rạc chúng ta cũng có khái niệm quỹ đạo

nghiệm số (QĐNS). QĐNS là tập hợp tất cả các nghiệm của phƣơng trình đặc trƣng của

hệ thống khi có một thông số nào đó trong hệ thay đổi từ o .

Xét hệ thống rời rạc có phƣơng trình đặc trƣng là:

0)(

)(1

zD

zNK (8.7)

Đặt: )(

)()(0

zD

zNKzG (8.8)

Gọi n là số cực của )(0 zG , m là số zero của )(0 zG

(8.7) 0)(1 0 zG (8.9)

(8.10) (8.10)

Vì dạng phƣơng trình đặc trƣng của hệ liên tục đã khảo sát ở chƣơng 4 và phƣơng trình

đặc trƣng (8.7) là nhƣ nhau (chỉ thay biến s bằng biến z) nên qui tắc vẽ QĐNS là nhƣ

nhau, chỉ khác ở qui tắc 8, thay vì đối với hệ liên tục ta tìm giao điểm của QĐNS với trục

ảo thì đối với hệ rời rạc ta tìm giao điểm của QĐNS với đƣờng tròn đơn vị. Sau đây là 11

qui tắc vẽ quỹ đạo nghiệm số của hệ thống rời rạc cớ phƣơng trình đặc trƣng có dạng

(8.7).

Chú ý: Nếu phƣơng trình đặc trƣng của hệ không có dạng (8.7) thì ta phải biến đổi tƣơng

đƣơng về dạng (8.7) trƣớc khi áp dụng các qui tắc vẽ QĐNS.

Qui tắc 1: Số nhánh của quỹ đạo nghiệm số = bậc của phƣơng trình đặc trƣng = số cực

của nzG )(0

Qui tắc 2: Khi K=0: các nhánh của quỹ đạo nghiệm số xuất phát từ các cực của )(0 zG

Khi K tiến đến : nhánh của quỹ đạo nghiệm số tiến đến m zero của )(0 zG ,

n-m nhánh còn lại tiến đến theo các tiệm cận xác định bởi qui tắc 5 và 6.

Qui tắc 3: Quỹ đạo nghiệm số đối xứng qua trục thực.

Qui tắc 4: Một điểm trên trục thực thuộc về quỹ đạo nghiệm số nếu tổng số cực và zero

của )(0 zG bên phải nó là một số lẻ.

Qui tắc 5: Góc tạo bởi các đƣờng tiệm cận của quỹ đạo nghiệm số với trục thực xác định

bởi:

),2,1,0()12(

l

mn

l (8.11)

Qui tắc 6: Giao điểm giữa các tiệm cận với trục thực là điểm A có toạ độ xác định bởi:

)12()(

1)(

0

0

lzG

zG

Điều kiện biên độ

Điều kiện pha


175

mn

zp

mn

zerocucOA

n

i

m

i

ii

1 1 (8.12)

( ip va iz là các cực và các zero của )(0 zG )

Qui tắc 7: Điểm tách nhập (nếu có) của quỹ đạo nghiệm số nằm trên trục thực và là

nghiệm của phƣơng trình:

0dz

dK (8.13)

Qui tắc 8: Giao điểm của quỹ đao nghiệm số với đƣờng tròn đơn vị có thể xác định bằng

1 trong 2 cách sau đây:

- Áp dụng tiêu chuẩn Routh – Hurwitz mở rộng hoặc tiêu chuẩn Jury.

- Thay jbaz (điều kiện 122 ba do giao điểm nằm trên đƣờng tròn đơn vị)

vào phƣơng trình đặc trƣng (8.7), cân bằng phần thực và phần ảo sẽ tìm đƣợc giao điểm

giữa QĐNS với đƣờng tròn đơn vị và giá trị .ghK

Qui tắc 9: Góc xuất phát của quỹ đạo nghiệm số tại cực phức ip đƣợc xác định bởi

)(arg)arg(1801 1

0

ij

m

i

n

jii

ijj ppzp

(8.14)


0180j góc từ các zero đến cực ip

(-Σgóc từ các cực còn lại đến cực ip ) (8.15)

Qui tắc 10: Tổng các nghiệm là hằng số khi K thay đổi từ 0 .

Qui tắc 11: Hệ số khuếch đại dọc theo quỹ nghiệm số có thể xác định từ điều kiện biên

độ:

1)(

)(

zD

zNK (8.16)

Sau đây chúng ta xét một thí dụ áp dụng các qui tắc vẽ QĐNS trên.

Thí dụ 8.3: Cho hệ thống điều khiển rời rạc có sơ đồ khối nhƣ hình vẽ.

Biết rằng:

- Hàm truyền khâu liên tục là )5(

)(

ss

KsG

- Chu kỳ lấy mẫu sec1.0T

- Hãy vẽ QĐNS của hệ thống tren khi K thay đổi từ 0 đến . Tính ghK .

Lời giải:

Phƣơng trình đặc trƣng của hệ có sơ đồ khối nhƣ trên là: 0)(1 zG


176

Trong đó:

5.02

5.05.05.0

2

1

15

5.0115.01

5

5

51

5

)5(

1

)()()(

ezz

eezez

z

zK

ssZz

K

ss

K

s

eZ

sGsGzG

Ts

ZOH

607.01

018.0021.0)(

zz

zKzG

Phƣơng trình đặc trƣng là:

0)607.0)(1(

0036.00042.01

zz

zK (*)

- Các cực )2(607.0,1 21 npp

- Các zero: )1(857.01 mz

- Góc tạo bởi tiệm cận và trục thực:

012

)12()12(

l

l

mn

l

- Giao điểm giữa tiệm cận với trục thực:

464.2

12

857.0607.01

mn

zerocucOA

- Điểm tách nhập là nghiệm của phƣơng trình: 0dz

dK

Ta có:

22

2

2

2

2

018.0021.0

042.0036.0021.0

018.0021.0

021.0607.0607.0018.0021.0607.12

018.0021.0

607.0607.1

018.0021.0

607.0607.1

018.0021.0

607.01*

z

zz

z

zzzz

z

zz

dz

dK

z

zz

z

zzK

Do đó:

792.0

506.20

2

1

z

z

dz

dK

Cả hai nghiệm đều thuộc QĐNS nên QĐNS có 2 điểm tách nhập.

- Giao điểm của QĐNS với đƣờng tròn đơn vị:

(*) 0018.0021.0607.01 zKzz

0607.0018.0607.1021.02 KzKz (**)

Cách 1: Dùng tiêu chuẩn Routh-Hurwitz mở rộng:


177

Đổi biến 1

1

w

wz , thay vào phƣơng trình (**) ta đƣợc:

0003.0214.3036.0786.0039.0

0607.0018.01

1607.1021.0

1

1

2

2

KwKKw

Kw

wK

w

w

Điều kiện để hệ thống ổn định là:

83.21

1071

83.21

0

0003.0214.3

0036.0786.0

0

ghK

K

K

K

K

K

K

Thay 83.21ghK vào phƣơng trình (**), ta đƣợc:

8187.05742.0011485.12 jzzz

Vậy giao điểm của QĐNS với vòng tròn đơn vị là: 8187.05742.0 jz

Cách 2: Thay vào jbaz phƣơng trình (**), ta đƣợc:

0607.1021.02

0607.0018.0607.1021.0

0607.0018.0607.1021.0607.1021.02

0607.0018.0607.1021.0

22

22

2

bKjabj

KaKba

KbKjaKbabja

KjbaKjba

Kết hợp với điều kiện 122 ba ta đƣợc hệ phƣơng trình:

0

0607.1021.02

0607.0018.0607.1021.0

22

22

ba

bKjabj

KaKba

Giải hệ phƣơng trình trên, ta đƣợc 4 giao điểm là:

1z

tƣơng ứng với K = 1071 tƣơng ứng với K = 0

1z

tƣơng ứng với K = 21.8381 8187.05742.0 jz

Vậy Kgh = 21.83

Hình 8.3. QĐNS của hệ thống ở thí dụ 8.3


178

8.2 CHẤT LƢỢNG HỆ RỜI RẠC

8.2.1 Đáp ứng hệ rời rạc

Tuỳ theo mô tả toán học hệ rời rạc mà ta có thể xác định đƣợc đáp ứng của hệ rời

rạc bằng một trong hai cách sau đây:

Cách 1: Nếu hệ rời rạc mô tả bởi hàm truyền thì trƣớc tiên ta tính (C(z), sau đó dùng phép

biến đổi Z ngƣợc để tìm c(k).

Cách 2: Nếu hệ rời rạc mô tả bởi phƣơng trình trạng thái thì trƣớc tiên ta tính nghiệm x(k)

của phƣơng trình trạng thái, sau đó suy ra c(k).

Tƣơng tự nhƣ hệ liên tục ta cũng có khái niệm cực quyết định cho hệ rời rạc. Đối

với hệ lien tuc cặp cực quyết định là cặp cực nằm gần vòng tròn đơn vị nhất. Do quan hệ

,Tsez , nên đối với hệ rời rạc cặp cực quyết định là cặp cực nằm gần vòng tròn đơn vị

nhất. Hệ bậc cao có thể xấp xỉ gần đúng về hệ bậc hai với 2 cực là cặp cực quyết định.

8.2.2 Chất lƣợng quá độ

Có hai cách để đánh giá chất lƣợng quá độ của hệ rời rạc.

Cách 1: Đánh giá chất lƣợng quá độ dựa vào đáp ứng của hệ thống.

Trƣớc tiên ta phải tính đƣợc đáp ứng c(k) của hệ thống (xem mục 8.2.1) sau áp

dụng các công thức sau:

Tính độ vọt lố: dùng biểu thức định nghĩa:

%100max

xl

xl

c

ccPOT

(8.17)

trong đó: maxc là giá trị cực đại của c(k).

xlc là giá trị xác lập của c(k).

Tính thời gian quá độ: gọi qdk là thời điểm lấy mẫu mà từ đó trở đi đáp ứng c(k) của

hệ thống biến thiên không quá % so với giá trị xác lập xlc , nghĩa là:

qdxl

xl kkc

ckc ,100

.)(

(8.18)

qdxlxl kkckcc

,

1001)(

1001

(8.19)

Thời gian quá độ đƣợc xác định bằng công thức:

Tkt qdqd . (8.20)

trong đó T là chu kỳ lấy mẫu của hệ rời rạc.

Cách 2: Đánh giá chất lƣợng quá độ dựa vị trí cặp cực quyết định.

Cách này chỉ cho kết quả gần đúng và chỉ áp dụng đƣợc khi chu kỳ lấy mẫu T đủ

nhỏ. Khi biết cặp cực quyết định jrez * của hệ rời rạc là dựa vào quan hệ Tsez để suy

ra nghiệm *s , từ đó tính đƣợc hệ số tắt và tần số dao động tự nhiên n , bằng các công

thức:

22ln

ln

r

r (8.21)

22ln

1 r

Tn (8.22)


179

Sau đó áp dụng các công thức đã trình bày trong chƣơng 5 để tính độ vọt lố, thời

gian quá độ,…

8.2.3 Sai số xác lập

Theo định lý giá trị cuối, ta có:

)()1(lim)(lim 1

1zEzekee

zkxl

(8.23)

Công thức trên là công thức tổng quát, có thể áp dụng cho mọi hệ rời rạc. Sau đây

chúng ta khảo sát biểu thức sai số xác lập của hệ rời rạc lấy mẫu trong kênh sai số (hình

8.4), đây là hệ rời rạc thƣờng gặp nhất trong thực tế.

Hình 8.4. Hệ rời rạc lấy mẫu trong kênh sai số

Nếu không có khâu lấy mẫu, biểu thức sai số là:

)()(1

)()(

sHsG

sRsE

(8.24)

Áp dụng các nguyên tắc đã trình bày ở mục 7.3.2.7, rời rạc hoá biểu thức (8.24) với

khâu lấy mẫu nằm trong kênh sai số, ta đƣợc:

)(1

)()(

zGH

zRzE

(8.25)

Thay vào biểu thức (8.23), ta đƣợc

)(1

)()1(lim 1

1 zGH

zRze

zxl

(8.26)

Ta thấy sai số không chỉ phụ thuộc vào cấu trúc và thông số của hệ thống mà còn

phụ thuộc vào tín hiệu vào.

Nếu tín hiệu vào là hàm nấc đơn vị: 11

1)(

zzR , thay vào biểu thức (8.26) ta đƣợc:

)(lim1

1

)(1

1lim

1

1 zGHzGHe

z

zxl

(8.27)

Đặt: )(lim1

zGHKz

p

(8.28)

pK gọi là hệ số vị trí. Thay pK vào biểu thức (8.27) ta đƣợc:

p

xlK

e

1

1 (8.29)

Nếu tín hiệu vào là hàm dốc đơn vị: 21

1

)1()(

z

TzzR thay vào biểu thức (8.26) ta

đƣợc:

)()1(lim)(1

1

1lim

1

1

1

1

1 zGHz

T

zGHz

Tze

z

zxl

(8.30)


180

Đặt: )()1(lim1 1

1zGHz

TK

zv

(8.31)

Kv gọi là hệ số vận tốc. Thay vào biểu thức (8.31) ta đƣợc:

v

xlK

e1

(8.32)

Chúng ta vừa khảo sát các phƣơng pháp đánh giá chất lƣợng hệ rời rạc. Sau đây là

một số thí dụ áp dụng.

Thí dụ 8.4: Cho hệ thống điều khiển rời rạc có sơ đồ khối nhƣ hình vẽ,

Trong đó:

- Hàm truyền khâu liên tục: )3,2,10())((

)(

baKbsas

KzG

- Chu kỳ lấy mẫu: T =0.1 sec

1. Tìm hàm truyền kín )(zGk

2. Tính đáp ứng của hệ đối với tín hiệu vào là hàm nấc đơn vị.

3. Đánh giá chất lƣợng của hệ thống: độ vọt lố, thời gian quá độ, sai số xác lập.

Lời giải:

1. Hàm truyền của hệ rời rạc:

)(1

)()(

zG

zGzGk

Trong đó:

))()(1(

)(1

))((

1)1(

))((

1

)()()(

1

bTaT

Ts

ZOH

ezezz

BAzz

z

zK

bsassZzK

bsas

K

s

eZ

sGsGzG

Với

)(

)1()1(

)(

)1()1(

abab

ebeeaeB

abab

eaebA

aTbTbTaT

bTaT

Thay K=10, a =2, b=3, T=0.1,ta đƣợc:

)741.0)(819.0(

036.0042.0)(

zz

zzG


181

Do đó:

)741.0)(819.0(

036.0042.01

)741.0)(819.0()(

zz

z

zzzGk

643.0518.1

036.0042.0)(

2

zz

zzGk

2. Đáp ứng của hệ:

)(

643.0518.11

036.0042.0)(

643.0518.1

036.0042.0

)()()(

21

21

2zR

zz

zzzR

zz

z

zRzGzC k

)()036.0042.0()()643.0518.11( 2121 zRzzzCzz

)2(036.0)1(042.0)2(643.0)1(518.1)( krkrkckckc

)2(036.0)1(042.0)2(643.0)1(518.1)( krkrkckckc

Với điều kiện đầu: 0)2()1( cc

0)2()1( rr

Thay vào công thức đệ qui trên, ta tính đƣợc:

...}0;6191.0;6251.0;6341.0;6461.0;6606.0;6760.0;6898.0;6985.0;6975.0

;...6817.0;6459.0;5860.0;5003.0;3909.0;2662.0;418.0;0420;0{)( kc

Hình 8.5. Đáp ứng nấc đơn vị của hệ thống khảo sát ở thí dụ 8.4

3. Đánh giá chất lƣợng của hệ thống:

Giá trị xác lập của đáp ứng quá độ là:

624.0

643.0518.1

036.0042.0lim

1

1

643.0518.1

036.0042.0)1(lim

)()()1(lim

)()1(lim

21

12

1

1

1

1

1

1

xl

z

z

kz

zxl

c

zz

z

zzz

zz

zRzGz

zCzc

• Độ lọt lố:


182

%100624.0

624.06985.0%100max

xl

xl

c

ccPOT

%94.11 POT

• Thời gian quá độ theo chuẩn 5%.

Theo kết quả tính đáp ứng của hệ thống ở trên ta thấy:

xlxl ckcc )05.01()()05.01(

sec4.1

1.014

14

14,655.0)(593.0

qd

qdqd

qd

t

Tkt

k

kkc

• Sai số xác lập: do hệ hồi tiếp âm đơn vị nên ta có thể tính sai số xác lập bằng

công thức

624.01 xlxlxl cre

376.0 xle

Để so sánh ta có thể tính lại độ vọt lố và thời gian quá độ dựa vào vị trí cặp cực

phức. Cặp cực phức của hệ là nghiệm của phƣơng trình đặc trƣng:

0643.0518.12 zz 3285.08019.02587.07590.0 jz

Do đó:

3958.03285.0)8019.0(ln1.0

1)(ln

1

5579.03285.0)8019.0(ln

8019.0ln

)(ln

ln

2222

2222

rT

r

r

n

Vì vậy:

sec36.13958.05579.0

33

%11.12%1005579.01

14.35579.0exp%100

1exp

22

xt

xPOT

n

qd

Kết quả trên cho thấy hai phƣơng pháp đánh giá chất lƣợng quá độ dựa vào đáp

ứng của hệ thống và dựa vào vị trí cặp cực phức quyết định cho kết quả hoàn toàn phù

hợp nhau.

Thí dụ 8.5: Cho hệ thống điều khiển rời rạc có sơ đồ khối nhƣ hình vẽ:

Trong đó:

- Hàm truyền khâu liên tục: ))((

)()(

csbs

asKsG

)3,2,5,2( cbaK

- Chu kỳ lấy mẫu: T=0.1 sec


183

1. Thành lập hệ phƣơng trình trạng thái mô tả hệ thống trên.

2. Tính đáp ứng của hệ đối với tín hiệu vào là hàm nấc đơn vị (điều kiện đầu bằng 0).

dựa vào phƣơng trình trạng thái vừa tìm đƣợc.

3. Tính độ vọt lố, thời gian quá độ, sai số xác lập.

Lời giải:

1. Thành lập hệ phƣơng trình trạng thái mô tả hệ thống theo trình tự 4 bƣớc đã trình

bày ở mục 7.4.3.

Bước 1: Hệ phƣơng trình trạng thái của khâu liên tục:

Có nhiều cách thành lập phƣơng trình trạng thái hệ liên tục, trong thí dụ này ta áp

dụng phƣơng pháp toạ độ pha. Ta có:

65

102

)3)(2(

)5(2

)(

)()(

2

ss

s

ss

s

sE

sCsG

R

Đặt biến phụ Y(s) sao cho:

(**))(6)(5)()()()65()(

(*))(10)(2)()()102()(

2 tytytytesYsssE

tytytcsYssC

RR

Đặt: )()(1 tytx

)()()()()( 212 tytxtytxtx

Thay vào biến trạng thái vào phƣơng trình (**), ta đƣợc:

)(6)(5)()( 122 txtxtxteR

)()(5)(6)( 212 tetxtxtx R

Kết hợp phƣơng trình trên với cách đặt biến trạng thái, ta đƣợc hệ phƣơng trình

trạng thái viết dƣới dạng ma trận nhƣ sau:

)(

2

1

2

1

1

0

)(

)(

56

10

)(

)(tR

BA

etx

tx

tx

tx

Thay các biến trạng thái vào phƣơng trình (*) ta đƣợc:

x

txtxtxtc

D

)(210)(2)(10)(

1

21

Bước 2: Tính ma trận quá độ:


184

3

3

2

2

3

6

2

6

3

1

2

1

3

2

2

3

)3)(2()32)(2(

6

)3)(2(

1

)3)(2(

5

)()(

)3)(2()32)(2(

6

)3)(2(

1

)3)(2(

5

6

15

6)5(

1

56

1

56

10

10

01)()(

11

11

11

11

1

ssL

ssL

ssL

ssL

ss

s

s

ssss

s

LsLt

ss

s

s

ssss

s

s

s

ss

s

ssAsIs

)3)32

)32)32

32(66(

(23()(

tettt

tttt

eeee

eeeet

Bước 3: Rời rạc hoá các phƣơng trình trạng thái của hệ liên tục, ta đƣợc:

)()(

)()(])1[(

kTxDkTc

kTeBkTxATkx

x

Rdd

Trong đó:

T T

d

d

Tt

tettt

tttt

d

deeee

eeeeBdB

A

eeee

eeeeTA

0 0

3232

3232

1.0

)3)32

)32)32

1

0

3266

23)(

5850.04675.0

0779.09746.0

32(66(

(23()(

T

dee

ee

0

32

32

32

1.0

0

32

32

32

ee

ee

0779.0

0042.0dB 210 DDd

Bước 4: Hệ phƣơng trình biến trạng thái mô tả hệ thống rời rạc với tín hiệu vào r(kT)

là:

)()(

)()()1(

kTxDkTc

kTrBkTxDBATkx

d

dddd


185

Trong đó:

2100779.0

0042.0

5850.04675.0

0779.09746.0

ddd DBA

4292.02465.1

0695.09326.0ddd DBA

Vậy phƣơng trình trạng thái cần tìm là:

)(

)(210)(

***)(0779.0

0042.0

)(

)(

4292.02465.1

0695.09326.0

)1(

)1(

2

1

2

1

2

1

kx

kxkc

kTrkx

kx

kx

kx

2. Đáp ứng của hệ thống:

Trƣớc tiên ta tìm nghiệm của phƣơng trình trạng thái:

)(0779.0)(4292.0)(2465.1)1(

)(0042.0)(0695.0)(9326.0)1(***

212

11

trkxkxkx

krkxkxkx x

Với điều kiện đầu 0)1()1( 21 xx , thay vào hai công thức đệ qui trên, ta đƣợc

nghiệm của phƣơng trình trạng thái là:

...}4.0;5.0;5.0;3.0;3.0;4.3;5.6;4.11

;5.18;3.28;2.41;2.57;4.75;5.93;6.106;1.106;9.77;0{10)(

;...}6.62;6.62;7.62;7.62;8.62;8.62;7.62;5.62;0.62;2.61

;7.59;4.57;0.54;1.49;6.42;2.34;2.24;5.13;2.4;0{10)(

3

2

3

1

kx

kx


)(2)(10)(

)(210)( 21

2

1kxkx

kx

kxkc

...}625.0;625.0;626.0;627.0;627.0;629.0;632.0;634.0;635.0

;634.0;631.0;622.0;606.0;577.0;529.0;455.0;348.0;198.0;0{)( kc


3. Đánh giá chất lƣợng của hệ thống

Theo kết quả tính đáp ứng ở trên ta thấy:

- Giá trị cực đại của đáp ứng là: 635.0max c


186

- Giá trị xác lập của đáp ứng là: 635.0xlc

Độ vọt lố của hệ thống là:

%100625.0

625.0635.0%100max

xl

xl

c

ccPOT

%6.1 POT

Thời gian quá độ theo tiêu chuẩn 5%.

Theo kết quả tính đáp ứng của hệ thống ở trên ta thấy:

xlxl ckcc )05.01()()05.01(

sec6.0

1.06

qd

qdqd

t

Tkt

Sai số xác lập là: 6,656.0)(594.0 kkc

6 qdk

625.01 xlxlxl cre

375.0 xle

8.2.4 Ảnh hƣởng của chu kỳ lấy mẫu đến chất lƣợng hệ rời rạc

Chu kỳ lấy mẫu T ảnh hƣởng rất lớn đến tính ổn định và chất lƣợng của hệ rời rạc.

T càng lớn thì hệ thống càng dao động, độ vọt lố càng cao, thời gian quá độ càng lớn. Nếu

T lớn hơn một giá trị giới hạn nào đó thì hệ thống sẽ trở nên mất ổn định. Vì vậy chọn chu

kỳ lấy mẫu thích hợp có ý nghĩa rất lớn khi thiết kế hệ rời rạc. Định lý Shannon khẳng

định tần số lấy mẫu chỉ cần lớn hơn 2 lần tần số cắt của hệ thống thì có thể phục hồi đƣợc

dữ liệu mà không bị méo dạng, tuy nhiên tín hiệu chỉ không bị méo dạng nếu ta phục hồi

dữ liệu bằng khâu giữ có dạng hàmx

x)sin(, độc giả tham khảo thêm các tài liệu về xử lý

tín hiệu số để biết thêm chi tiết về vấn đề này. Trong các hệ thống điều khiển thực tế do ta

thƣờng phục hồi dữ liệu bằng khâu giữ ZOH nên để việc lấy mẫu ảnh hƣởng khâu đáng

kể đến chất lƣợng của hệ thống ta cần chọn tần số lấy mẫu lớn hơn 10 lần tần số cắt của

hệ thống. Thí dụ dƣới đây minh hoạ ảnh hƣởng của chu kỳ lấy mẫu T.

Thí dụ 8.6: Cho hệ thống điều khiển có sơ đồ khối nhƣ hình vẽ:

Trong đó hàm truyền khâu liên tục là 1,10)(

)(

aKas

KsG

1. Xác định giá trị chu kỳ lấy mẫu giới hạn ghT .

2. Khảo sát đáp ứng của hệ thống khi tín hiệu vào là hàm nấc đơn vị trong các trƣờng

hợp ghghgh TTTTTT 1.1;5.0;1.0 .

Lời giải:

1. Xác định chu kỳ lấy mẫu giới hạn ghT

Hàm truyền kín của hệ thống:


187

)(1

)()(

zG

zGzG

h

k

(*)

Trong đó:

)(

1)1(

)(

1

)()()(

1

asszK

as

K

s

e

sGsGzG

Ts

ZOHh

))(1(

)1()1( 1

aT

aT

ezza

ezzK

)(

)1()(

aT

aT

heza

eKzG

Thay vào (*) ta đƣợc:

)1()(

)1()(

aTaT

aT

keKeza

eKzG

Phƣơng trình đặc trƣng của hệ thống là:

0)1()( aTaT eKeza

Giải phƣơng trình trên, ta đƣợc cực của hệ là:

)1() aT

aKaT eez

Điều kiện để hệ thống ổn định là cực phải nằm trong vòng tròn đơn vị: 1z

a

Ke

a

K

a

K

ea

Ke

aT

aTaT

111

1)1(1

1

aTe

aK

aK (**)

Nếu Ka dễ dàng thấy rằng (**) luôn thoả mãn với mọi T nên hệ thống luôn ổn định.

Nếu a<K, giải (**) ta đƣợc:

aK

aK

aT ln

1

Suy ra:

aK

aK

aTgh ln

1

Thay số cụ thể K = 10, a = 1, ta đƣợc:

sec2.0ghT

2. Khảo sát đáp ứng của hệ thống khi T=0.02; T=0.1; T=0.12; T=0.22,

Đáp ứng của hệ thống là:


188

)(

1)(

)1)(/(1

)1)(/(

)()1()(

)1()()()(

1

1

1

1

zRBz

AzzR

zeeaK

zeaK

zReKeza

eKzRzGzC

aTaT

aT

aTaT

aT

k

trong đó: )1)(/( aTeaKA

aTaT eeaKB )1)(/(

Suy ra:

)()1( 11 zRAzCzBz

)1()1()( kArkBckc (***)

Thay giá trị cụ thể K, a, T ta tính đƣợc các hệ số A và B, sau đó sử dụng công thức

đệ qui (***) với điều kiện đầu bằng 0 và tín hiệu vào r(k) là hàm nấc đơn vị ta tính đƣợc

giá trị cụ thể của đáp ứng c(k).


Hình 8.7 minh hoạ đáp ứng của hệ thống. Ta thấy khi T rất nhỏ hơn ghT thì đáp ứng

của hệ rời rạc gần giống đáp ứng của hệ liên tục, T càng tăng độ vọt lố càng lớn, T lớn

hơn ghT thì hệ thống không ổn định.

8.3 THIÉT KẾ HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC

8.3.1 Khái niệm

Có nhiều sơ đồ điều khiển khác nhau có thể áp dụng cho hệ rời rạc, trong đó sơ đồ

điều khiển thông dụng nhất là hiệu chỉnh nối tiếp (hình 8.8) với bộ điều khiển )(zGC là bộ

điều khiển sớm–trễ pha số, PID số,…Một sơ đồ điều khiển khác cũng đƣợc sử dụng rất

phổ biến là điều khiển hồi tiếp trạng thái (hình 8.9).

Hình 8.8. Hiệu chỉnh nối tiếp dùng bộ điều khiển rời rạc


189


Thiết kế bộ điều khiển rời rạc là xác định hàm truyền )(zGC hoặc độ lợi hồi tiếp

trạng thái K để hệ thống thoả mãn yêu cầu về độ ổn định, chất lƣợng quá độ, sai số xác

lập. Thực tế trong đa số trƣờng hợp bộ điều khiển số các thuật toán phần mềm chạy trên

máy tính PC hoặc vi xử lý. Từ hàm truyền )(zGC hoặc giá trị độ lợi K ta suy ra đƣợc

phƣơng trình sai phân mô tả quan hệ giữa ngõ vào và ngõ ra của bộ điều khiển. Quan hệ

này đƣợc sử dụng để lập trình phần mềm điều khiển chạy trên máy tính hoặc vi xử lý.

Có nhiều phƣơng pháp đƣợc sử dụng để thiết kế bộ điều khiển số, trong giáo trình

này chỉ đề cập phƣơng pháp thiết kế dùng quỹ đạo nghiệm số, phƣơng pháp thiết kế bộ

điều khiển PID, phƣơng pháp phân bố cực thiết kế bộ điều khiển hồi tiếp trạng thái và

phƣơng pháp giải tích.

8.3.2 Hàm truyền của các khâu hiệu chính

8.3.2.1 Khâu tỉ lệ:

PP KzG )( (8.33)

8.3.2.2 Khâu vi phân:

Hình 8.10. Khâu vi phân

• Khâu vi phân liên tục: dt

tdeKtu D

)()(

• Khâu vi phân rời rạc: đƣợc tính bằng các công thức sai phân, có 3 cách tính:

- Sai phân tới:

T

kekeKku D

)()1()(

)()1()()(

)( zEzT

K

T

zEzzEKzU D

D

)1()(

)()( z

T

K

zE

zUzG D

D (8.34)

- Sai phân lùi:

T

kekeKku D

)1()()(

)()1()()(

)( 11

zEzT

K

T

zEzzEKzU D

D

z

z

T

Kz

T

K

zE

zUzG DD

D

1)1(

)(

)()( 1

(8.35)

- Sai phân giữa:


190

T

kekeKku D

2

)1()1()(

)()(22

)()()( 1

1

zEzzT

K

T

zEzzzEKzU D

D

z

z

T

Kzz

T

K

zE

zUzG DD

D

1

2)(

2)(

)()(

21 (8.36)

Công thức sai phân tới và sai phân giữa cần tín hiệu e(k+1) là tín hiệu sai số trong

tƣơng lai, mà trong các bài toán điều khiển thời gian thực ta không thể có đƣợc tín hiệu

trong tƣơng lai (trừ khi sử dụng bộ dự báo) nên thực tế chỉ có công thức sai phân lùi đƣợc

sử dụng phổ biến nhất, do đó trong giáo trình này chúng ta mô tả khâu vi phân bằng hàm

truyền:

z

z

T

KzG D

D

1)(

(8.37)

8.3.2.3 Khâu tích phân

Hình 8.11. Khâu tích phân

• Khâu tích phân liên tục:

t

dtteKtu0

1 )()(

• Khâu tích phân rời rạc:

kT Tk kT

Tk

III dtteKdtteKdtteKkTu0

)1(

0 )1(

)()()()(

kT

Tk

I dtteKTkukTu)1(

)()1()( (8.38)

Xét tích phân

kT

Tk

dtte)1(

)( : có 3 cách tính

Hình 8.12 Tích phân gần đúng

(a) Tích phân hình chữ nhật tới

(b) Tích phân hình chữ nhật lùi

(c) Tích phân hình thang

- Tích phân hình chữ nhật tới:

kT

Tk

kTTedtte)1(

)()( (8.39)

Thay vào công thức (8.38), ta đƣợc:


191

)(])1[()( kTTeKTkukTu I

)()()1(

)()()(

1

1

zTEKzUz

zTEKzUzzU

I

I

11

1

)(

)()(

zTK

zE

zUzG II (8.41)

- Tích phân hình chữ nhật lùi:

kT

Tk

TkTedtte)1(

])1[()( (8.40)


])1[(])1[()( TkTeKTkukTu I

)()()1(

)()()(

11

11

zETzKzUz

zETzKzUzzU

I

I

1

1

1)(

)()(

z

zTK

zE

zUzG II (8.41)

- Tích phân hình thang:

kT

Tk

kTeTkeTdtte

)1(2

)(])1[()( (8.42)


))(])1[((2

])1[()( kTeTkeTK

TkukTu I

)(12

)()1(

)()(2

)()(

11

11

zEzTK

zUz

zEzEzTK

zUzzU

I

I

1

1

21

1

2)(

)()(

1

1

z

zTK

z

zTK

zE

zUzG II

I (8.43)

Trong 3 cách tính tích phân trình bày ở trên, tích phân hình thang cho kết quả

chính xác nhất, do đó thực tế ngƣời ta thƣờng sử dụng công thức:

1

1

2)(

z

zTKzG I

I (8.44)

8.3.2.4 Bộ điều khiển PI, PD, PID rời rạc

Từ các hàm truyền rời rạc cơ bản vừa phân tích ở trên, ta rút ra đƣợc hàm truyền

của bộ điều khiển PI, PD, PID rời rạc nhƣ sau:

1

1

2)(

z

zTKKzG I

PPI (8.45)

z

z

T

KKzG D

PPD

1)(

(8.46)

z

z

T

K

z

zTKKzG DI

PPID

1

1

1

2)(

(8.47)


192

8.3.2.5 Bộ điều khiển bù pha (sớm pha, trễ pha)

Hình 8.13. Khâu hiệu chỉnh bù pha

Hàm truyền của bộ điều khiển bù pha liên tục có dạng:

bs

asKsGC

)( (8.48)

Nếu a>b thì là khâu trễ pha, a<b thì )(sGC là khâu sớm pha.

Rời rạc hoá quan hệ giữa ngõ vào và ngõ ra của bộ bù pha liên tục, sử dụng công

thức tích phân hình thang, ta suy ra đƣợc hàm truyền của bộ bù pha rời rạc có dạng:

)2()2(

)2()2()(

bTzbT

aTzaTKzGC (8.49)

Hàm truyền trên có thể viết lại dƣới dạng:

C

CCC

pz

zzKzG

)( (8.50)

trong đó Cz là zero và Cp là cực của khâu hiệu chỉnh.

)1(

)1(2

)2(

)2(

C

CC

z

zaT

aT

aTz

(8.51)

)1(

)1(2

)2(

)2(

C

CC

p

pbT

bT

bTp

(8.52)

Do aT, bT dƣơng từ quan hệ (8.51) và (8.52) suy ra cực và zero của khâu hiệu

chỉnh phải thoả mãn điều kiện:

1

1

C

C

p

z (8.53)

Từ các quan hệ (8.51) và (8.52) ta cũng suy ra đƣợc CC pz nếu )(zGC là khâu sớm

pha và CC pz nếu )(zGC là khâu trễ pha.

8.3.3 Thiết kế hệ rời rạc dùng phƣơng pháp QĐNS

8.3.3.1 Thiết kế bộ điều khiển sớm pha

Phƣơng trình đặc trƣng của hệ thống trƣớc khi hiệu chỉnh là:

0)(1 zGH

Phƣơng trình đặc trƣng của hệ thống sau khi hiệu chỉnh là:

0)()(1 zGHzGC

Khâu hiệu chỉnh sớm pha có dạng:


193

C

CCC

pz

zzKzG

)(

Bài toán đặt ra là chọn giá trị CCC pzK ,, để đáp ứng của hệ thống thoả mãn yêu cầu

về chất lƣợng quá độ (chất lƣợng quá độ thể hiện qua vị trí của cặp cực quyết định).

Nguyên tắc thiết kế tƣơng tự nhƣ thiết kế hệ liên tục, nghĩa là sử dụng khâu hiệu chỉnh

)(zGC để sửa dạng QĐNS của hệ thống sao cho QĐNS đi qua cặp cực mong muốn. Sau

đây là trình tự thiết kế:


Bƣớc 1: Xác định cặp cực quyết định từ yêu cầu thiết kế về chất lƣợng của hệ

thống trong quá trình quá độ:

2**

*

2,1

2*

2,1

1

1...

*

n

weT

Ts

n

n

Tzezr

ezjsdoquagianThoi

POTlovotDo

n

Bƣớc 2: Xác định góc pha cần bù để cặp cực quyết định nằm trên QĐNS của hệ

thống sau khi hiệu chỉnh bằng công thức:

n

i

m

i

ii zzpz1 1

**0* argarg180


*

*0*

)(

)(180

zcucdenzGHcuazerocactugoc

zcucdenzGHcuacuccactugoc

Bƣớc 3: Xác định vị trí cực và zero của khâu hiệu chỉnh

Vẽ 2 nửa đƣờng thẳng bất kỳ xuất phát từ cực quyết định *z sao cho 2 nửa

đƣờng thẳng này tạo với nhau một góc bằng * . Giao điểm của hai nủa đƣờng

thẳng này với trục thực là vị trí cực và zero của khâu hiệu chỉnh.

Đối với hệ rời rạc, ngƣời ta thƣờng áp dụng phƣơng pháp triệt tiêu nghiệm

cực của hệ thống để chọn cực và zero của khâu hiệu chỉnh.

Bƣớc 4: Tính K bằng cách áp dụng công thức:

1)()( * zzC zGHzG

Thí dụ 8.7 : Cho hệ thống điều khiển rời rạc có sơ đồ khối nhƣ hình vẽ:

trong đó:

- Hàm truyền khâu liên tục: )5(

10)(

sssG

- Chu kỳ lấy mẫu: T = 0.1 sec


194

- Hãy thiết kế khâu hiệu chỉnh sớm pha sao cho hệ thống sao khi hiệu chỉnh có cặp

cực quyết định với 10,707.0 n (rad/sec)

Lời giải:

Phƣơng trình đặc trƣng của hệ trƣớc khi hiệu chỉnh: 0)(1 zG

trong đó:

)607.0)(1(

18.021.0)(

15

5.0115.01

)5(

1)1(

)5(

1

)()()(

5.02

5.05.05.0

2

1

zzzG

ezz

eezez

z

zK

sszK

ss

K

s

e

sGsGzG

Ts

ZOH

• Cặp cực quyết định mong muốn:

jrez *

2,1

Trong đó:

320.0375.0493.0

)707.0sin()707.0cos(493.0493.0

707.0707.0110.01

493.0

707.0*

2,1

707.0*

2,1

22

10707.01.0

jez

jez

T

eer

j

j

n

T n

• Góc pha cần bù:

321

* 180

Dễ dàng tính đƣợc: 0

1 9.152

0

3

0

2

6.14

9.125

0* 846.14)9.1259.152(180

• Chọn cực và zero của khâu hiệu chỉnh bằng phƣơng pháp triệt tiêu nghiệm.

607.0607.0 CC zz

Tính cực của khâu hiệu chỉnh:

Ta có:PAB

PBABsin

sin *

Mà: 388.0320.0)375.0607.0( 22 PB

578.09.41sin

84sin388.0

9.41849.125

0

0

000*

2

^

AB

PAB


195

029.0

029.0578.0607.0

C

C

p

ABOBOAp

029.0

607.0)(

z

zKzG CC

• Tính CK từ điều kiện:

1)()( * zzC zGzG

24.1267.0

702.0471.0

702.0471.0

267.0

1702.0471.0

267.0

1)1320.0375.0)(029.0320.0375.0(

18.0320.0375.021.0

1)607.0)(1)(029.0(

)18.021.0(

)029.0(

)607.0(

320.0375.0

C

C

C

jz

C

K

K

jj

jK

zzz

z

z

zK

Vậy: 029.0

607.024.1)(

z

zzGC

Nhận xét:


196

Quỹ đạo nghiệm số của hệ thống trƣớc khi hiệu chỉnh không qua điểm z*, do đó hệ

thống sẽ không bao giờ đặt đƣợc chất lƣợng đáp ứng quá độ nhƣ yêu cầu dù có thay đổi

hệ số khuếch đại của hệ thống.

Bằng cách sử dụng khâu hiệu chỉnh sớm pha, quỹ đạo nghiệm số của hệ thống bị sửa

dạng và qua điểm *z , do đó bằng cách chọn hệ số khuếch đại thích hợp (bƣớc 4) hệ thống

sẽ có cặp cực quyết định nhƣ mong muốn do đó đáp ứng quá độ đạt yêu cầu thiết kế.

a) QĐNS trước khi hiệu chỉnh b) QĐNS sau khi hiệu chỉnh

Hình 8.14 QĐNS của hệ thống ở thí dụ 8.7

8.3.3.2 Thiết kế bộ điều khiển trễ pha

Ta sử dụng khâu hiệu chỉnh trễ pha khi muốn làm giảm sai số xác lập của hệ thống

Xét hệ thống điều khiển có sơ đồ nhƣ hình vẽ.

Khâu hiệu chỉnh là khâu trễ pha:

C

C

Cpz

zzKzG

)( )( CC pz

Bài toán đặt ra là chọn giá trị KC, zC và pC để làm giảm sai số xác lập của hệ thống

mà không ảnh hƣởng đáng kể đến chất lƣợng đáp ứng quá độ.

Đặt: C

C

z

p

1

1

Tƣơng tự nhƣ đã làm đối với hệ liên tục, ta có trình tự thiết kế khâu hiệu chỉnh trễ

pha cho hệ rời rạc nhƣ sau:


197


Bƣớc 1: Xác định từ yêu cầu về sai số xác lập

• Nếu yêu cầu về sai số xác lập cho dƣới dạng hệ số vị trí *

PK thì *

P

P

K

K

( PK : hệ số vị trí của hệ trƣớc khi hiệu chỉnh)

( *

PK : hệ số vị trí mong muốn)

Nếu yêu cầu về sai số xác lập cho dƣới dạng hệ số vận tốc *

vK thì:

*v

v

K

K

( VK : hệ số vận tốc của hệ trƣớc khi hiệu chỉnh *

VK : hệ số vận tốc mong muốn)

Bƣớc 2: Chọn zero của khâu hiệu chỉnh rất gần điểm +1 để không làm ảnh

hƣởng đáng kể đến dạng QĐNS, suy ra:

11 CC zz

(Chú ý điều kiện: 1Cz )

Bƣớc 3: Tính cực của khâu hiệu chỉnh:

CC zp 11

Bƣớc 4: Tính KC bằng cách áp dụng công thức:

1)()( * zzC zGHzG

Trong *

2,1z là cặp cực quyết định của hệ thống sau khi hiệu chỉnh. Do yêu cầu thiết

kế không làm ảnh hƣởng đáng kể đến đáp ứng quá độ nên có thể tính gần đúng:

2,1

*

2,1 zz

với 2,1z là cặp cực quyết định của hệ thống trƣớc khi hiệu chỉnh.

Thí dụ 8.8: Cho hệ thống điều khiển rời rạc có sơ đồ khối nhƣ hình vẽ.

Hàm truyền khâu liên tục: )5(

10)(

sssG , chu kỳ lấu mẫu : T = 0.1 sec.

Hãy thiết kế khâu hiệu chỉnh trễ pha sao cho hệ thống sao khi hiệu chỉnh có hệ số

vận tốc là 100* VK .

Lời giải:

• Phƣơng trình đặc trƣng của hệ trƣớc khi hiệu chỉnh: 0)(1 zG

Trong đó:


198

)607.0)(1(

18.021.0)(

)1(5

5.0115.01

)5(

1)1(

)5(

1

)()()(

5.02

5.05.05.0

2

1

zz

zzG

ezz

eezez

z

zK

sszK

ss

K

s

e

sgsGzG

eT

ZOH

Cặp cực quyết định của hệ thống trƣớc khi hiệu chỉnh là nghiệm của phƣơng trình:

547.0699.00)607.0)(1(

18.021.01 2,1 jz

zz

z

Hệ số vận tốc của hệ thống trƣớc khi hiệu chỉnh là:

)()1(lim1 1

1zGHz

TK

zV

9.9

)607.0)(1(

18.021.0)1(lim

1.0

1 1

1

V

zV

K

zz

zzK

Do đó:

099.0100

9.9*

V

V

K

K

Chọn zero của khâu hiệu chỉnh rất gần điểm +1:

99.099.0 CC zz

Suy ra cực của khâu hiệu chỉnh:

)99.01(099.01)1(1 CC zp

999.0

99.0)(

999.0

z

zKzG

p

CC

C

Tính CK từ điều kiện:

1007.16196.0

6239.0

1)999.0547.0699.0(

)99.0547.0699.0(

1)607.0)(1(

)18.021.0(

)999.0(

)99.0(

547.0699.0

C

C

jz

C

K

j

jK

zz

z

z

zK

Vậy: 999.0

99.0)(

z

zzGC

Nhận xét:


199

QĐNS của hệ thống trƣớc và sau khi hiệu chỉnh gần giống nhau nên đáp ứng quá độ

gần nhƣ không thay đổi.

a) QĐNS trước khi hiệu chỉnh b) QĐNS sau khi hiệu chỉnh

Hình 8.15 QĐNS của hệ thống ở thí dụ 8.8

8.3.3.3 Thiết kế bộ điều khiển sớm trễ pha

Hàm truyền khâu hiệu chỉnh sớm trễ pha cần thiết kế có dạng:

)()()( 21 zGzGzG CCC

Trong đó )(1 zGC là khâu hiệu chỉnh sớm pha.

)(2 zGC là khâu hiệu chỉnh trễ pha.

Bài toán đặt ra thiết kế )(zGC để cải thiện đáp ứng quá độ và sai số xác lập của hệ thống.


Bƣớc 1: Thiết kế khâu sớm pha để thoả mãn yêu cầu về đáp ứng quá độ (xem

phƣơng pháp thiết kế khâu hiệu chỉnh sớm pha ở mục 8.3.3.1)

Bƣớc 2: Đặt )()()( 11 zGzGzG C

Thiết kế khâu hiệu chỉnh trễ pha )(2 zGC mắc nối tiếp vào )(1 zGC để thoả mãn

yêu cầu về sai số xác lập mà không thay đổi đáng kể đáp ứng quá độ của hệ thống

sau khi đã hiệu chỉnh sớm pha (xem phƣơng pháp thiết kế khâu hiệu chỉnh trễ pha

ở mục 8.3.3.2)

8.3.4. THIẾT KẾ BỘ ĐIỀU KHIỂN HỒI TIẾP TRẠNG THÁI

Cho đối tƣợng điều khiển đƣợc mô tả bởi phƣơng trình trạng thái:


200

)()(

)()()1(

kxDkc

kuBkxAkx

d

dd

Tín hiệu điều khiển trong hệ hồi tiếp trạng thái là: )()()( kKxkrku

Hệ phƣơng trình biến trạng thái mô tả hệ hồi tiếp trạng thái:

)()(

)]()([)()1(

kxDkc

kKxkrBkxAkx

d

dd

)()(

)()(][)1(

kxDkc

krBkxKBAkx

d

ddd

Phƣơng trình đặc trƣng của hệ hồi tiếp trạng thái:

0]det[ KBAzI dd (*)

Ngƣời ta CM đƣợc rằng: Nếu rank (P)= n, với n là bậc của hệ thống và

d

n

dddddd BABABABP 12 thì HT trên điều khiển đƣợc, khi đó có thể tìm đƣợc

vector K để phƣơng trình đặc trƣng (*) có nghiệm bất kỳ.


Bƣớc 1: Viết phƣơng trình đặc trƣng của hệ thống sau khi hiệu chỉnh:

0]det[ KBAzI dd (1)

Bƣớc 2: Viết phƣơng trình đặc trƣng mong muốn:

0)(1

n

i

ipz (2)

Trong đó nipi ..1 là các cực mong muốn

Bƣớc 3: Cân bằng các hệ số của hai phƣơng trình đặc trƣng (1) và (2) tìm đƣợc

vector độ lợi hồi tiếp K.

Thí dụ 8.9 : Cho hệ thống rời rạc nhƣ hình vẽ:

Hệ phƣơng trình biến trạng thái mô tả đối tƣợng là:

)()(

)()()1(

kxDkc

kuBkxAkx

d

dd

Trong đó:

010316.0

092.0

368.00

316.01

ddd DBA

Hãy tính vector độ lợi hồi tiếp trạng thái sao cho hệ kín có cặp cực phức với

707.0 và 10n rad/sec

Lời giải: Phƣơng trình đặc trƣng của hệ thống kín là:


201

0]det[ KBAzI dd

0092.0316.0316.0316.0368.0092.01

0316.0368.0316.0

092.0316.0092.01det

0316.0

092.0

368.00

316.01

10

01det

2121

21

21

21

kkkzkz

kzk

kkz

kkz

0316.0066.0368.1316.0092.0 2121

2 kkzkkz (1)

Cặp cực quyết định mong muốn:

jrez *

2,1

Trong đó:

707.0707.01101.01

493.0

22

10707.01.0

T

eer nT

320.0375.0493.0

707.0sin707.0cos493.0493.0

707.0*

2,1

707.0*

2,1

jez

jez

j

j

Phƣơng trình đặc trƣng mong muốn:

0320.0375.0)320.0375.0( jzjz

0243.075.02 zz (2)

Cân bằng các hệ số ở hai phƣơng trình (1) và (2), ta đƣợc:

243.0368.0316.0066.0

75.0368.1316.0092.0

21

21

kk

kk


047.1

12.3

2

1

k

k

Vậy 047.112.3K

Thí dụ 8.10: Cho hệ thống điều khiển rời rạc có sơ đồ nhƣ hình vẽ:

Hãy xác định vector hồi tiếp trạng thái 21 kkK sao co hệ thống có cặp nghiệm

phức với 5.0 ; 8n (rad/sec).

Lời giải:

- Hệ phƣơng trình trạng thái mô tả khâu liên tục:


202

Theo hình vẽ ta có:

• )()()()()(

)( 21212

1 txtxsXssXs

sXsX (1)

• )()()1(1

)()( 22 sUsXs

s

sUsX R

R

)()()( 22 tutxtx R

)()()( 22 tutxtx R (2)

Kết hợp (1) và (2) ta đƣợc hệ phƣơng trình:

)(1

0

)(

)(

10

10

)(

)(

2

1

2

1tu

tx

tx

tx

txR


)()(

)(010)(10)(

2

1

1 tDxtx

txtxtc

Do đó:

10

10A

1

0B 010C

- Ma trận quá độ:

•

11

1

10

1

10

10

10

01)()(

s

ssAsIs

1

10

)1(

11

0

11

)1(

1

s

sss

s

s

ss

•

1

10

)1(

11

10

)1(

11

)()(1

11

11

sL

ssL

sL

as

sssLsLt

t

t

e

et

0

11)(

- Rời rạc hoá các phƣơng trình trạng thái của hệ liên tục, ta đƣợc:

)()(

)()()1(

kxDkc

kuBkxAkx

d

dd

Trong đó:

•

905.00

095.01

0

11)(

1.0

1.0

e

eTAd


203

•

1.0

0

1.0

00

1

1

0

0

11

de

ed

e

eBdB

T

d

095.0

005.0

1

11.01.0

1.01.0

0e

e

e

e

• 010 DDd

- Phƣơng trình đặc trƣng của hệ thống kín:

0]det[ KBAzI dd

0005.0095.0905.0095.0905.0005.01

0095.0905.0095.0

005.0095.0005.01det

0095.0

005.0

905.00

095.01

10

01det

2121

21

21

21

kkkzkz

kzk

kkz

kkz

0905.0095.00045.0905.1095.0005.0 2121

2 kkzkkz (1)

Cặp cực quyết định mong muốn:

jrez *

2,1

Trong đó:

693.05.0181.01

493.0

22

85.01.0

n

T

T

eer n

428.0516.0

693.0sin693.0cos67.067.0

*

2,1

693.0*

2,1

jz

jez j

Phƣơng trình đặc trƣng mong muốn: 0)428.0516.0)(428.0516.0( jzjz

0448.003.12 zz (2)

Cân bằng các hệ số ở hai phƣơng trình (1) và (2), ta đƣợc:

448.0905.0095.00045.0

03.1905.1095.0005.0

21

21

kk

kk


895.6

0.44

2

1

k

k

Vậy 958.8805.4K

8.3.4 Thiết kế bộ điều khiển PID

8.3.4.1 Phương pháp Zeigler-Nichol

Hàm truyền bộ điều khiển PID:

z

z

T

K

z

zTKKzG DI

PPID

1

1

1

2)(


204

Nếu chu kỳ lấy mẫu T đủ nhỏ để không làm ảnh hƣởng đến chất lƣợng của hệ thống

(xem mục 8.2.4) thì DIP KKK ,, các hệ số có thể chọn bằng phƣơng pháp thực nghiệm

Zeigler-Nichol nhƣ đã trình bày ở chƣơng 6.

8.3.4.2 Phương pháp giải tích

Từ yêu cầu thiết kế về đáp ứng quá độ (vị trí nghiệm của phƣơng trình đặc trƣng) và

sai số xác lập, có thể tính toán giải tích để chọn thông số bộ điều khiển PID số. Sau đây

là một số thí dụ.

Thí dụ 1: Cho hệ thống điều khiển có sơ đồ nhƣ hình vẽ:

sec2;05.0)(;110

10)(

TsH

ssG

Thiết kế khâu hiệu chỉnh )(zGC để hệ thống có cặp cực phức với 707.0 ;

2n rad/sec và sai số xác lập đối với tín hiệu vào là hàm nấc đơn vị bằng 0.

Lời giải:

Do yêu cầu sai số xác lập đối với tín hiệu vào là hàm nấc bằng 0 nên ta sử dụng khâu

hiệu chỉnh )(zGC là khâu PI.

1

1

2)(

z

zTKKzG I

PC

Phƣơng trình đặc trƣng của hệ thống sau khi hiệu chỉnh là:

0)()(1 zGHzGC

Trong đó:

• )()()()( sHsGsGzGH ZOH

)819.0(

091.0)(

))(1(1.0

)1(05.01

)1.0(

05.01

110

05.0101

2.0

2.01

1

zzGH

ezz

ezz

ssz

ss

e Ts

Do đó phƣơng trình đặc trƣng của hệ thống là:

0819.0

091.0

1

1

21

zz

zTKK I

P

0819.0

091.0

1

1

21

zz

zTKK I

P


205

Thay T=2, ta suy ra:

0819.0091.0091.0819.1091.0091.0 11

2 KKzKKz PP (1)

Cặp cực quyết định mong muốn là:

jrez *

2,1

Với:

828.2707.01221

059.0

22

2707.02

n

T

T

eer n

018.0056.0

828.2sin828.2cos059.0059.0

*

2,1

828.2*

2,1

jz

jez j

Phƣơng trình đặc trƣng mong muốn là: 0)018.0056.0)(018.0056.0( jzjz

00035.0112.02 zz (2)

So sánh (1) và (2), suy ra:

0035.0819.0091.0091.0

112.0819.1091.0091.0

IP

IP

KK

KK


13.6

09.15

I

P

K

K

Vậy: 1

113.609.15)(

z

zzGC

Chương 9: Hệ thống điều khiển phi tuyến

206

CChhưươơnngg 99

HHỆỆ TTHHỐỐNNGG ĐĐIIỀỀUU KKHHIIỂỂNN PPHHII TTUUYYẾẾNN

9.1. KHÁI NIỆM VỀ HỆ THỐNG PHI TUYẾN

9.1.1. Khái niệm về hệ phi tuyến

Hệ phi tuyến là hệ thống trong đó quan hệ vào – ra không thể mô tả bằng phƣơng

trình vi phân/sai phân tuyến tính

Phần lớn các đối tƣợng điều khiển trong tự nhiên mang tính phi tuyến. Các hệ

thống

Hệ thống thủy khí (TD: bồn chứa chất lỏng…)

Hệ thống nhiệt động học (TD: lò nhiệt …)

Hệ thống cơ khí (TD: cánh tay máy …)

Hệ thống điện – tử (TD: động cơ, mạch khuếch đại …)

Hệ thống vật lý có cấu trúc hỗn hợp …

Đều có tính phi tuyến.

9.1.2. Tính chất của hệ phi tuyến

Hệ phi tuyến không thỏa mãn nguyên lý xếp chồng.

Tính ổn định của hệ phi tuyến không chỉ phụ thuộc vào cấu trúc, thông số của hệ

thống mà còn phụ thuộc vào tín hiệu vào.

Nếu tín hiệu vào hệ phi tuyến là tín hiệu hình sin thì tín hiệu ra ngoài thành phần

tần số cơ bản (bằng tần số tín hiệu vào) còn có các thành phần hài bậc cao (là bội

số của tần số tín hiệu vào).

Hệ phi tuyến có thể xảy ra hiện tƣợng dao động tự kích.

9.1.3. Mô tả toán học hệ phi tuyến dùng phƣơng trình vi phân

Tùy theo dạng tín hiệu bên trong hệ thống mà hệ phi tuyến có thể chia làm 2 loại:

Hệ phi tuyến liên tục

Hệ phi tuyến rời rạc

Nội dung môn học chỉ đề cấp đến hệ phi tuyến liên tục.

Tổng quát, quan hệ vào – ra của hệ phi tuyến liên tục có thể biểu diễn dƣới dạng

phƣơng trình vi phân phi tuyến bậc n:

)(,)(

,,)(

),(,)(

,,)()(

1

1

1

1

tudt

tdu

dt

tudty

dt

tdy

dt

tydg

dt

tydm

m

n

n

n

n

Trong đó: u(t) là tín hiệu vào

y(t) là tín hiệu ra

g(.) là hàm phi tuyến


207

9.1.3. Mô tả toán học hệ phi tuyến dùng phƣơng trình trạng thái

Hệ phi tuyến liên tục có thể mô tả bằng phƣơng trình trạng thái

))(),(()(

))(),(()(

tutxhty

tutxftx

trong đó:

u(t) là tín hiệu vào

y(t) là tín hiệu ra

x(t) là vector trạng thái, Tn txtxtxtx )(,),(),()( 21

f(.), h(.) là các hàm phi tuyến

9.1.4. Các khâu vi tuyến cơ bản

Khâu relay 2 vị trí Khâu replay 3 vị trí

)sgn(uYy m

)(0

)()sgn(

Du

DunYy

m

Khâu khuếch đại bão hòa Khâu khuếch đại có miền chết


208

)/(

)(

)()sgn(

DYK

DuKu

DunYy

m

m

)(0

)()sgn((

Du

DuuDuKy

Khâu relay 2 vị trí trễ Khâu relay 3 vị trí trễ

DuneunY

DuneunYy

m

m

)sgn(

)sgn(

Khâu khuếch đại bão hòa có trễ

Một số ví dụ đối tƣợng phi tuyến

- Hệ bốn chứa chất lỏng

)(2)(1

)( tghatkuA

th


209

h(t) độ cao mực chất lỏng trong bồn chứa

u(t) điện áp điều khiển máy bơm

A: tiết diện ngang bồn chứa

a: tiết diện van xả

k: hệ số tỉ lệ với công suất máy bơm

- Hệ bốn chứa chất lỏng nối tiếp

)(2)()(21

)(

)()(2)(1

)(

2221122

21121

tghaththgaA

th

ththgatkuA

th

- Hệ con lắc ngƣợc

Chú thích:

M: trọng lƣợng xe [Kg] m: trọng lƣợng con lắc [Kg]

L: chiều dài con lắc [m] u: lực tác động vào xe [N]

g: gia tốc trọng trƣờng [m/s2] x: vị trí xe [m]


210

θ: góc giữa con lắc và phƣơng thẳng đứng [rad]

lmMml

mlgmMF

mmM

mgmlFx

)()(cos

)sin(cos)(sin)(cos

cos

sincossin

2

2

2

2

9.2. CÁC PHƢƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU HỆ PHI TUYẾN

Không có phƣơng pháp nào có thể áp dụng hiệu quả cho mọi hệ phi tuyến.

Môn học đề cập đến một số phƣơng pháp thƣờng dùng sau đây:

Phƣơng pháp tuyến tính hóa

Phƣơng pháp hàm mô tả

Phƣơng pháp Lyapunov

Phƣơng pháp tuyến tính hóa

Xét hệ phi tuyến mô tả bởi phƣơng trình trạng thái:

))(),(()(

))(),(()(

tutxhty

tutxftx

Khai triển Taylor xung quanh điểm làm việc tĩnh ),(

ux a có thể mô tả hệ thống bằng

phƣơng trình trạng thái tuyến tính:

)(~)(~)(~)(~)(~)(~

tuDtxCty

tuBtxAtx (*)

Trong đó

),()()(~)()(~)()(~

uxhyytyty

ututu

xtxtx

Các ma trận trạng thái của hệ tuyến tính gần đúng đƣợc tính nhƣ sau:


211

uxuxn

ux

n

uxn

nn

n

n

n

n

n

n

u

hD

x

h

x

h

x

hC

u

f

u

fu

f

B

x

f

x

f

x

f

x

f

x

f

x

f

x

f

x

f

x

f

A

,,21

,

2

1

,2

2

2

1

2

2

2

1

1

Có thể áp dụng các phƣơng pháp khảo sát hệ tuyến tính để phân tích, thiết kế hệ

thống phi tuyến xung quanh điểm tĩnh dùng mô hình tuyến tính (*).

9.3. PHƢƠNG PHÁP TUYẾN TÍNH HOÁ ĐIỀU HOÀ

Phƣơng pháp hàm mô tả (Phƣơng pháp tuyến tính hóa điều hòa)

Khái niệm

Phƣơng pháp hàm mô tả mở rộng gần đúng hàm truyền đạt của hệ tuyến tính sang hệ

phi tuyến.

Phƣơng pháp hàm mô tả là phƣơng pháp khảo sát trong miền tần số có thể áp dụng

cho các hệ phi tuyến bậc cao (n>2) do dễ thực hiện và tƣơng đối giống tiêu chuẩn

Nyquist.

Chỉ áp dụng đƣợc để khảo sát chế độ dao động trong hệ phi tuyến gồm có khâu phi

tuyến nối tiếp với khâu tuyến tính theo sơ đồ khối nhƣ sau:

Phƣơng trình cân bằng điều hòa

tMte sin)( )()()( 21 tututu


212

Để khảo sát khả năng tồn tại dao động tuần hoàn không tắt trong hệ, ở đầu vào khâu

phi tuyến ta cho tác động sóng điều hòa.

tMte sin)(

Tín hiệu ra khâu phi tuyến không phải là tín hiệu hình sin. Phân tích Fourier ta thấy

u(t) chứa thành phần tần số cơ bản ω và các thành phần hài bậc cao 2ω, 3ω.

1

0 cossin2

)(k

kk tkBtkAA

tu

Các hệ số Fourier xác định theo các công thức sau:

)(cos)(1

)(sin)(1

)()(1

0

tdtntuB

tdtktuA

tdtuA

k

k

Giả thiết G(s) là bộ lọc thông thấp, các thành phần hài bậc cao ở ngõ ra của khâu

tuyến tính không đáng kể so với thành phần tần số cơ bản, khi đó tín hiệu ra của khâu

tuyến tính gần đúng bằng:

11 sin)( tYty

Điều kiện để trong hệ có dao động ổn định với tần số là:

11 sin)()(sin tYtytetM

Suy ra:

1

1 MY

Hàm mô tả

Xét khâu phi tuyến:

Do khi tín hiệu vào của khâu phi tuyến là tín hiệu hình sin:

tMte sin)(

Phƣơng trình cân bằng biên độ

Phƣơng trình cân bằng pha


213

Tín hiệu ra u(t) xấp xỉ thành phần tần số cơ bản (do ta bỏ qua các thành phần hài bậc

cao)

tBtAtutu cossin)()( 111

Nên ta có thể coi khâu phi tuyến nhƣ là một khâu khuếch đại có hệ số khuếch đại là:

M

jBAMN 11)(

Tổng quát N(M) là một hàm phức nên ta gọi là hệ số khuếch đại phức của khâu phi

tuyến. Vì quan hệ vào ra của khâu phi tuyến có thể mô tả gần đúng bằng hệ số khuếch đại

phức N(M) nên N(M) còn đƣợc gọi là hàm mô tả của khâu phi tuyến.

Định nghĩa: Hàm mô tả (hay còn gọi là hệ số khuếch đại phức) là tỉ số giữa thành

phần sóng hài cơ bản của tín hiệu ra của khâu phi tuyến và tín hiệu vào hình sin

M

jBAMN 11)(

)(sin)(1

1 tdtktuA

)(cos)(1

1 tdtntuB

Trong các công thức trên u(t) là tín hiệu ra của khâu phi tuyến khi tín hiệu vào là

)sin( tM . Nếu u(t) là hàm lẻ thì:

0)(sin)(2

11

BtdtktuA

Hàm mô tả của các khâu phi tuyến cơ bản

- Khâu relay 2 vị trí


214

Do u(t) là hàm lẻ nên:

0

4cos

2)()(sin

2)(sin)(

2

1

00

1

B

Vt

VtdtVtdttuA m

t

mm

Do đó hàm mô tả của khâu relay 2 vị trí là:

M

V

M

jBAMN m

4)( 11

- Khâu relay 3 vị trí

Do u(t) là hàm lẻ nên 01 B


215

0

cos4

cos2

)()(sin2

)(sin)(2

1

1

B

Vt

VtdtVtdttuA m

t

mm

Theo đồ thị ta có: 2

2

1cossinsinM

D

M

DMD

2

2

1 14

M

DVA m

Do đó hàm mô tả của khâu relay 3 vị trí là:

2

2

11 14

)(M

D

M

V

M

jBAMN m

- Khâu khuếch đại bão hòa


0

2/

2

2/

00

1

)(sin)(sin4

cos4

cos2

)(sin)(4

)(sin)(2

tdtVtdtD

MV

Vt

VtdttutdttuA

mm

m

t

m


216

2sin2cos2

2sin

2

4

)(cos2

2sin

2

4

2/

0

2/2/

0

D

VMV

D

MV

tdtVt

tD

MV

m

m

t

m

tm

t

m

Do đó hàm mô tả của khâu khuếch đại bão hòa là:

M

D

M

V

M

jBAMN m

sin2sin2)( 11

- Khâu khuếch đại có vùng chết


tKMt

M

Dtt

KM

tdtDtMKtdttuA

2sin21cos

2

2sin4

)(sinsin4

)(sin)(2

2/

2/

00

1

Do đó hàm mô tả của khâu khuếch đại có vùng chết là:

M

DtK

M

jBAMN

sin

2sin21)( 11

- Khâu relay 2 vị trí có trễ:


217

Ta có:

sin4

)(cos2

)(cos)(2

cos4

)(sin2

)(sin)(2

2

1

2

1

mm

mm

VtdtVtdttuB

VtdtVtdttuA

Do đó hàm mô tả của khâu relay 2 vị trí có trể là:

M

Dj

V

M

jBAMN m

sinsincos

4)( 11

Khảo sát chế độ dao động điều hòa trong hệ phi tuyến

Xét hệ phi tuyến có sơ đồ nhƣ sau:

Phƣơng trình đặc trƣng của hệ thống là:

)(

1)(0)()(1

MNjGjGMN (*)

Phƣơng trình trên đƣợc gọi là phƣơng trình cân bằng điều hòa. Phƣơng trình này sẽ

đƣợc dùng để xác định biên độ và tần số của dao động điều hòa trong hệ phi tuyến.


218

Nếu ),( ** M là nghiệm của phƣơng trình (*) thì trong hệ phi tuyến có dao động với

tần số * , biên độ *M .

Về mặt hình học, nghiệm ),( ** M là nghiệm của phƣơng trình (*) chính là giao điểm

của đƣờng cong Nyquist )( jG của khâu tuyến tính và đƣờng đặc tính -1/N(M)của khâu

phi tuyến.

Dao động trong hệ phi tuyến là ổn định nếu đi theo chiều tăng của đặc tính

)(/1 MN của khâu phi tuyến chuyển từ vùng không ổn định sang vùng ổn định của khâu

tuyến tính )( jG .

Trình tự khảo sát chế độ dao động trong hệ phi tuyến

Bước 1: Xác định hàm mô tả của khâu phi tuyến (nếu khâu phi tuyến không phải là các

khâu cơ bản).

Bước 2: Điều kiện tồn tại dao động trong hệ: đƣờng cong Nyquist )( jG và đƣờng đặc

tính )(/1 MN phải cắt nhau.

Bước 3: Biên độ, tần số dao động (nếu có) là nghiệm của phƣơng trình:

)(

1)(

MNjG (*)

Nếu N(M) là hàm thực thì:

- Tần số dao động chính là tần số cắt pha của khâu tuyến tính )( jG .

)( jG

- Biên độ dao động là nghiệm của phƣơng trình:

)()(

1 jG

MN

Thí dụ 1:



219

Hàm truyền của khâu tuyến tính là:

)12)(12.0(

10)(

ssssG

Khâu phi tuyến là khâu relay 2 vị trí có 6mV .

Hãy xác định biên độ vào tần số dao động tự kích

trong hệ (nếu có).

Giải:

Hàm mô tả của khâu relay 2 vị trí là:

M

VMN m

4)(

Do đƣờng cong Nyquist )( jG và đƣờng đặc tính )(/1 MN luôn luôn cắt nhau (xem

hình vẽ) nên trong hệ phi tuyến luôn luôn có dao động.

Tần số dao động là tần số cắt pha của )( jG :

sec/58.102.2.012.2.01

22.0

22arctan)2.0arctan(2arctan)2.0arctan(

2

)12)(12.0(

10arg)(

rad

jjjjG

Biên độ dao động là nghiệm của phƣơng trình:

90.1382.14

82.1

58.121)58.12.0(158.1

10

)(

1

22

MV

M

jGMN

m

Kết luận: Trong hệ phi tuyến có dao động )58.1sin(90.13)( tty

Thí dụ 2:



220

Hàm truyền của khâu tuyến tính là:

)12)(12.0(

10)(

ssssG

Khâu phi tuyến là khâu relay 3 vị trí.

1. Hãy tìm điều kiện để trong hệ phi

tuyến có dao động.

2. Hãy xác định biên độ và tần số dao

động khi 1.0,6 DVm .

Giải:

Hàm mô tả của khâu relay 3 vị trí là2

2

11 14

)(M

D

M

V

M

jBAMN m

Điều kiện để trong hệ thống có dao

động là đƣờng cong Nyquist )( jG và

đƣờng đặc tính 1-N(M) phải cắt nhau.

Điều này xảy ra khi:

jGMN )(

1

Giải:

Tần số cắt pha )( jG của (xem cách tính ở thí dụ 1).

sec)/(58.1 rad

Để dao động xảy ra ta phải có điều kiện:

82.1)58.12(1)58.12.0(158.1

10

)(

1

22

jG

MN

55.0)( MN (*)

Theo bất đẳng thức Cauchy:


221

D

V

M

D

M

D

D

V

M

D

M

VMN mmm

21

2

21

4)(

2

22

2

2

Do đó điều kiện (*) đuợc thỏa mãn khi:

864.055.02

D

V

D

V mm

Vậy điều kiện để trong hệ có dao động tự kích là: 864.0D

Vm

Biên độ dao động là nghiệm của phƣơng trình:

55.014

55.0)(82.1)(

12

2

M

D

M

VMN

MN

m

Khi 1.0,6 DVm , giải phƣơng trình trên ta đƣợc M= 13.90

Vậy dao động trong hệ là: )58.1sin(90.13)( tty

9.4. PHƢƠNG PHÁP LYAPUNOV

9.4.1. Giới thiệu

- Phƣơng pháp Lyapunov cung cấp điều kiện đủ để đánh giá tính ổn định của hệ phi

tuyến.

- Có thể áp dụng cho hệ phi tuyến bậc cao bất kỳ.

- Có thể dùng phƣơng pháp Lyapunov để thiết kế các bộ điểu khiển phi tuyến.

- Hiện nay phƣơng pháp Lyapunov là phƣơng pháp đƣợc sử dụng rộng rãi nhất để

phân tích và thiết kế hệ phi tuyến.

9.4.2. Một số định nghĩa

Xét hệ phi tuyến mô tả bởi phƣơng trình trạng thái sau:

),( uxfx

Định nghĩa: Một điểm trạng thái *x đuợc gọi là điểm cân bằng nếu nhƣ khi đang ở

điểm trạng thái *x và không có tác động nào từ bên ngoài thì hệ sẽ nằm nguyên tại đó.

Dễ thấy điểm cân bằng phải là nghiệm của phƣơng trình:

0),(0

uuxfx

Hệ phi tuyến có thể có nhiều điểm cân bằng họăc không có điểm cân bằng nào. Điều

này hòan tòan khác so với hệ tuyến tính, hệ tuyến tính luôn luôn có 1 điểm cân bằng là *x = 0


222

Định nghĩa: Một hệ thống đƣợc gọi là ổn định (tiệm cận) tại điểm cân bằng *x nếu

nhƣ có một tác động tức thời đánh bật hệ ra khỏi *x và đƣa đến đƣợc 0x thuộc lân cận nào

đó của thì sau đó hệ có khả năng tự quay đƣợc về điểm cân bằng *x ban đầu.

Chú ý: Tính ổn định của hệ phi tuyến chỉ có nghĩa khi đi cùng với điểm cân bằng.

Có thể hệ ổn định tại điểm cân bằng này nhƣng không ổn định tại điểm cân bằng khác.

Định nghĩa: Cho hệ phi tuyến không kích thích mô tả bởi phƣơng trình trạng thái:

0),(0

uuxfx (1)

Giả sử hệ thống có điểm cân bằng *x = 0

Hệ thống đƣợc gọi là ổn định Lyapunov tại điểm cân bằng 0 nếu với 0 bất kỳ bao

giờ cũng tồn tại phụ thuộc sao cho nghiệm x(t) của phƣơng trình (1) với điều kiện

đầu x(0) thỏa mãn:

0,)()0( ttxx

Hệ thống đƣợc gọi là ổn định tiệm cận Lyapunov tại điểm cân bằng 0 nếu 0 với

bất kỳ bao giờ cũng tồn tại phụ thuộc sao cho nghiệm x(t) của phƣơng trình (1) với

điều kiện x(0) thỏa mãn:

0)(lim

txt

9.4.3. Phƣơng pháp tuyến tính hóa Lyapunov

Cho hệ thống tuyến phƣơng trình trạng thái:

),( uxfx (1)

Giả sử xung quanh cân bằng, hệ thống (1) có thể tuyến tính hóa về dạng:

uBxAx ~~~ (2)

Định lý:

Nếu hệ thống tuyến tính hóa (2) ổn định thì hệ phi tuyến (1) ổn định tiệm cận tại

điểm cân bằng *x .

Nếu hệ thống tuyến tính hóa (2) không ổn định thì hệ phi tuyến (1) không ổn định tại

điểm cân bằng *x .

Nếu hệ thống tuyến tính hóa (2) ở biên giới ổn định thì không kết luận đƣợc gì về

tính ổn định của hệ phi tuyến tại điểm cân bằng *x .

Phƣơng pháp trực tiếp Lyapunov

Định lý: Cho hệ phi tuyến không kích thích mô tả bởi phƣơng trình trạng thái:

0),(0

uuxfx (1)


223

Giả sử hệ thống có điểm cân bằng *x = 0

Nếu tồn tại hàm V(x) sao cho:

0,0)()

0,0)()

0)0()

xxViii

xxVii

Vi

Thì hệ thống (1) ổn định Lyapunov tại điểm 0.

Chú ý: Hàm V(x) thƣờng đƣợc chọn là hàm toàn phƣơng theo biến trạng thái.

Phụ lục

224

Bảng biến đổi Laplace và biến đổi Z

STT Hàm Laplace F(s) Hàm thời gian f(t) Hàm z f(z)

1 1 Hàm Dirac (t) 1

2

s

1

Hàm nấc đơn vị u(t)= 1(t)

1z

z

3 2

1

s

t 2)1( z

Tz

4 3

1

s

2

2t

3

2

)1(2

)1(

z

zzT

5 1

1ns

!n

t n

aTn

nn

a ez

z

animl

!

)1(

0

6

as

1

e-at

aTez

z

7 2)(

1

as

t.e-at

2)( aT

aT

ez

Tze

8

)( ass

a

1 - e-at

))(1(

)1(aT

aT

ezz

ze

9

))((

1

bsas )(

)(

1 btat eeab

)((

)(bTaT

bTaT

ezez

zee

10 2)(

1

ass teat

a

)1(1

2

2)(

)]1([aT

aT

ez

aTezz

11

)(2 ass

a

a

et

at

1

)()1(

)]1()1[(2 aT

aTaTaT

ezza

aTeezeaTz

12

22 as

a

sinat

1cos2

sin2 aTzz

aTz

Phụ lục

225

13 22 as

s

cosat

1)cos2(

)cos(2

zaTz

aTzz

14 22)(

as

e-at

sin t

aTaT

aT

eTzez

Tez22 cos2

sin

15 22)(

as

as

e-at

cos t

aTaT

aT

eTzez

Tzez22

2

cos2

cos

16 2

2

)( ass

a

1 - (1+ at)e-at

2)(1 Tez

zaTe

ez

z

z

za

aT

aT

17

))((

1

bsass

)()(

1

abb

be

baa

e

ab

btat

)(

)1()1(

)(

)1()1(

)1)()((

)(

abab

ebeeaeB

abab

eaebA

zezez

zBAz

aTbTbTaT

bTaT

bTaT

226

- Tài liệu tham khảo

[1]. Nguyễn Phƣơng Hà, Lí thuyết Điều khiển Tự động, NXB ĐH Quốc gia, 2005.

[2]. Lƣơng Văn Lăng, Cơ sở tự động, NXB ĐH Quốc gia, 2002.

[3]. Benjamin C. Kuo, Automatic Control Systems, Prentice-Hall, 2002.

[4]. Katsuhiko Ogata, Modern Control Engineering, Prentice-Hall, 2002.

.

Documents

MỤC LỤC - · PDF fileii LỜI NÓI ĐẦU Lý thuyết điều khiển tự động là môn học dành cho sinh viên ngành Điện tử - Tự động. Giáo trình Lý thuyết