Muestra Del Libro 8e

Dennis G. Zill

Warren S. Wright

Octava edicin

Ecuaciones diferenciales

con problemas con valores en la frontera

OCTAVA EDICIN

ECUACIONESDIFERENCIALEScon problemas con valores en la frontera

DENNIS G. ZILLLoyola Marymount University

WARREN S. WRIGHTLoyola Marymount University

MICHAEL R. CULLEN

Antiguo miembro de la Loyola Marymount University

TRADUCCIN

Dra. Ana Elizabeth Garca Hernndez

Profesor invitado UAM-Azcapotzalco

REVISIN TCNICA

Dr. Edmundo Palacios Pastrana

Universidad Iberoamericana

Australia Brasil Corea Espaa Estados Unidos Japn Mxico Reino Unido Singapur

Impreso en Mxico1 2 3 4 5 6 7 17 16 15 14

Ecuaciones diferenciales con problemas con valores en la fronteraOctava edicinDennis G. Zill y Warren S. Wright

Presidente de Cengage Learning Latinoamrica:Fernando Valenzuela Migoya

Director Editorial, de Produccin y de Plataformas Digitales para Latinoamrica:Ricardo H. Rodrguez

Editora de Adquisiciones para Latinoamrica:Claudia C. Garay Castro

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D.R. 2015 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V., una Compaa de Cengage Learning, Inc.Corporativo Santa FeAv. Santa Fe nm. 505, piso 12Col. Cruz Manca, Santa FeC.P. 05349, Mxico, D.F.Cengage Learning es una marca registrada usada bajo permiso.

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Traducido del libro Differential Equations withBoundary-Value Problems, Eighth EditionPublicado en ingls por Brooks/Cole, CengageLearning 2013

Datos para catalogacin bibliogrca:Zill, Dennis G. y Warren S. WrightEcuaciones diferenciales con problemas con valores en la frontera, octava edicinISBN: 978-607-519-443-1

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vCONTENIDO

1 INTRODUCCIN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES 1

Prefacio xi

Proyectos P-1

1.1 'HQLFLRQHV\WHUPLQRORJtD

1.2 3UREOHPDVFRQYDORUHVLQLFLDOHV

1.3 (FXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHVFRPRPRGHORVPDWHPiWLFRV

REPASO DEL CAPTULO 1 32

2 ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN 34

2.1 &XUYDVVROXFLyQVLQXQDVROXFLyQ

2.1.1 &DPSRVGLUHFFLRQDOHV

2.1.2 ('DXWyQRPDVGHSULPHURUGHQ

2.2 9DULDEOHVVHSDUDEOHV

2.3 (FXDFLRQHVOLQHDOHV

2.4 Ecuaciones exactas 61

2.5 6ROXFLRQHVSRUVXVWLWXFLyQ

2.6 Un mtodo numrico 73


3 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN 81

3.1 0RGHORVOLQHDOHV

3.2 0RGHORVQROLQHDOHV

3.3 0RGHODGRFRQVLVWHPDVGH('GHSULPHURUGHQ


vi l CONTENIDO

4 ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR 113

4.1 7HRUtDSUHOLPLQDU(FXDFLRQHVOLQHDOHV

4.1.1 3UREOHPDVFRQYDORUHVLQLFLDOHV\FRQYDORUHVHQODIURQWHUD

4.1.2 (FXDFLRQHVKRPRJpQHDV

4.1.3 (FXDFLRQHVQRKRPRJpQHDV

4.2 5HGXFFLyQGHRUGHQ

4.3 (FXDFLRQHVOLQHDOHVKRPRJpQHDVFRQFRHFLHQWHVFRQVWDQWHV

4.4 &RHFLHQWHVLQGHWHUPLQDGRV0pWRGRGHVXSHUSRVLFLyQ

4.5 &RHFLHQWHVLQGHWHUPLQDGRV0pWRGRGHODQXODGRU

4.6 9DULDFLyQGHSDUiPHWURV

4.7 (FXDFLyQGH&DXFK\(XOHU

4.8 Funciones de Green 164

4.8.1 3UREOHPDVFRQYDORUHVLQLFLDOHV

4.8.2 3UREOHPDVFRQYDORUHVHQODIURQWHUD

4.9 6ROXFLyQGHVLVWHPDVGH('OLQHDOHVSRUHOLPLQDFLyQ

4.10 (FXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHVQROLQHDOHV


5 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR 186

5.1 0RGHORVOLQHDOHV3UREOHPDVFRQYDORUHVLQLFLDOHV

5.1.1 6LVWHPDVUHVRUWHPDVD0RYLPLHQWROLEUHQRDPRUWLJXDGR

5.1.2 6LVWHPDVUHVRUWHPDVD0RYLPLHQWROLEUHDPRUWLJXDGR

5.1.3 6LVWHPDVUHVRUWHPDVD0RYLPLHQWRIRU]DGR

5.1.4 &LUFXLWRHQVHULHDQiORJR

5.2 0RGHORVOLQHDOHV3UREOHPDVFRQYDORUHVHQODIURQWHUD

5.3 0RGHORVQROLQHDOHV


6.1 Repaso de series de potencias 226

6.2 6ROXFLRQHVUHVSHFWRDSXQWRVRUGLQDULRV

6.3 6ROXFLRQHVHQWRUQRDSXQWRVVLQJXODUHV

6.4 )XQFLRQHVHVSHFLDOHV


SOLUCIONES EN SERIES DE ECUACIONES LINEALES 225 6

CONTENIDO l vii

7 LA TRANSFORMADA DE LAPLACE 265

7.1 'HQLFLyQGHODWUDQVIRUPDGDGH/DSODFH

7.2 7UDQVIRUPDGDVLQYHUVDV\WUDQVIRUPDGDVGHGHULYDGDV

7.2.1 7UDQVIRUPDGDVLQYHUVDV

7.2.2 7UDQVIRUPDGDVGHGHULYDGDV

7.3 3URSLHGDGHVRSHUDFLRQDOHV,

7.3.1 7UDVODFLyQHQHOHMHs

7.3.2 7UDVODFLyQHQHOHMHt

7.4 3URSLHGDGHVRSHUDFLRQDOHV,,

7.4.1 'HULYDGDVGHXQDWUDQVIRUPDGD

7.4.2 7UDQVIRUPDGDVGHLQWHJUDOHV

7.4.3 7UDQVIRUPDGDGHXQDIXQFLyQSHULyGLFD

7.5 /DIXQFLyQGHOWDGH'LUDF

7.6 6LVWHPDVGHHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHVOLQHDOHV


8 SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN 317

8.1 7HRUtDSUHOLPLQDU6LVWHPDVOLQHDOHV

8.2 6LVWHPDVOLQHDOHVKRPyJHQHRV

8.2.1 (LJHQYDORUHVUHDOHVGLVWLQWRV

8.2.2 (LJHQYDORUHVUHSHWLGRV

8.2.3 (LJHQYDORUHVFRPSOHMRV

8.3 6LVWHPDVOLQHDOHVQRKRPyJHQHRV

8.3.1 &RHFLHQWHVLQGHWHUPLQDGRV

8.3.2 9DULDFLyQGHSDUiPHWURV

8.4 0DWUL]H[SRQHQFLDO


9 SOLUCIONES NUMRICAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS 353

9.1 0pWRGRVGH(XOHU\DQiOLVLVGHHUURUHV

9.2 0pWRGRVGH5XQJH.XWWD

9.3 0pWRGRVPXOWLSDVRV

9.4 Ecuaciones y sistemas de orden superior 366

9.5 3UREOHPDVFRQYDORUHVHQODIURQWHUDGHVHJXQGRRUGHQ


SISTEMAS AUTNOMOS PLANOS 376

10.1 6LVWHPDVDXWyQRPRV

10.2 (VWDELOLGDGGHVLVWHPDVOLQHDOHV

10.3 /LQHDOL]DFLyQ\HVWDELOLGDGORFDO

10.4 6LVWHPDVDXWyQRPRVFRPRPRGHORVPDWHPiWLFRV


11 SERIES DE FOURIER 410

11.1 )XQFLRQHVRUWRJRQDOHV

11.2 Series de Fourier 416

11.3 Series de Fourier de cosenos y de senos 422

11.4 3UREOHPDGH6WXUP/LRXYLOOH

11.5 6HULHVGH%HVVHO\/HJHQGUH

11.5.1 6HULHGH)RXULHU%HVVHO

11.5.2 6HULHGH)RXULHU/HJHQGUH


12 PROBLEMAS CON VALORES EN LA FRONTERA EN COORDENADAS RECTANGULARES 445

12.1 (FXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHVSDUFLDOHVVHSDUDEOHV

12.2 ('3FOiVLFDV\SUREOHPDVFRQYDORUHVHQODIURQWHUD

12.3 (FXDFLyQGHFDORU

12.4 (FXDFLyQGHRQGD

12.5 (FXDFLyQGH/DSODFH

12.6 3UREOHPDVQRKRPRJpQHRVFRQYDORUHVHQODIURQWHUD

12.7'HVDUUROORVHQVHULHVRUWRJRQDOHV

12.8 3UREOHPDVGLPHQVLRQDOHVGHRUGHQVXSHULRU


10

viii l CONTENIDO

CONTENIDO l ix

13 PROBLEMAS CON VALORES EN LA FRONTERA EN OTROS SISTEMAS COORDENADOS 483

13.1 &RRUGHQDGDVSRODUHV

13.2 &RRUGHQDGDVSRODUHV\FLOtQGULFDV

13.3 &RRUGHQDGDVHVIpULFDV


14 TRANSFORMADA INTEGRAL 500

14.1 )XQFLyQHUURU

14.2 7UDQVIRUPDGDGH/DSODFH

14.3 ,QWHJUDOGH)RXULHU

14.4 Transformadas de Fourier 516


15 SOLUCIONES NUMRICAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES 524

15.1 (FXDFLyQGH/DSODFH

15.2 (FXDFLyQGHFDORU

15.3 (FXDFLyQGHRQGD


APNDICES

I )XQFLyQJDPPD $3(1

II 0DWULFHV $3(3

III 7UDQVIRUPDGDVGH/DSODFH $3(21

5HVSXHVWDVDORVSUREOHPDVVHOHFFLRQDGRVFRQQXPHUDFLyQLPSDU RES-1

ndice I-1

P-1

PROYECTO

PARA LA SECCIN 3.1

Invariablemente el SIDA es una enfermedad fatal?

por Ivan Kramer(VWHHQVD\RDERUGDUi\UHVSRQGHUiDODVLJXLHQWHSUHJXQWD(OVtQGURPHGHLQPXQRGHFLHQ-FLDDGTXLULGD6,'$TXHHVODHWDSDQDOGHODLQIHFFLyQSRUHOYLUXVGHLQPXQRGHFLHQFLDKXPDQD9,+HVLQYDULDEOHPHQWHXQDHQIHUPHGDGIDWDO"

&RPRRWURVYLUXVHO9,+QRWLHQHQLQJ~QPHWDEROLVPR\QRSXHGHUHSURGXFLUVHIXHUDGHXQDFpOXODYLYD/DLQIRUPDFLyQJHQpWLFDGHOYLUXVHVWiFRQWHQLGDHQGRVKHEUDVLGpQWLFDVGHO$513DUDUHSURGXFLUVHHO9,+GHEHXWLOL]DUHODSDUDWRUHSURGXFWLYRGHODFpOXOD LQ-YDGLpQGRODHLQIHFWiQGRODSDUDSURGXFLUFRSLDVH[DFWDVGHO$51YLUDO8QDYH]TXHSHQHWUDHQXQDFpOXODHO9,+WUDQVFULEHVX$51HQHO$'1PHGLDQWHXQDHQ]LPDWUDQVFULSWDVDLQYHUVDFRQWHQLGDHQHOYLUXV(O$'1GHGREOHFDGHQDYLUDOPLJUDGHQWURGHOQ~FOHRGHODFpOXODLQYDGLGD\VHLQVHUWDHQHOJHQRPDGHODFpOXODFRQODD\XGDGHRWUDHQ]LPDYLUDOLQ-WHJUDVD(QWRQFHVHO$'1YLUDO\HO$'1GHODFpOXODLQYDGLGDVHLQWHJUDQ\ODFpOXODHVWiLQIHFWDGD&XDQGRVHHVWLPXODDODFpOXODLQIHFWDGDSDUDUHSURGXFLUVHVHWUDQVFULEHHO$'1SURYLUDOHQHO$'1YLUDO\VHVLQWHWL]DQQXHYDVSDUWtFXODVYLUDOHV3XHVWRTXHORVPHGLFD-PHQWRVDQWLUUHWURYLUDOHVFRPROD]LGRYXGLQDLQKLEHQODHQ]LPDGHO9,+GHODWUDQVFULSWDVDLQYHUVD\GHWLHQHQODVtQWHVLVGHFDGHQD$'1SURYLUDOHQHOODERUDWRULRHVWRVIiUPDFRVTXHJHQHUDOPHQWHVHDGPLQLVWUDQHQFRPELQDFLyQUHWUDVDQODSURJUHVLyQGHO6,'$HQDTXHOODVSHUVRQDVTXHHVWiQLQIHFWDGDVFRQHO9,+DQWULRQHV

/RTXHKDFHWDQSHOLJURVDDODLQIHFFLyQSRU9,+HVHOKHFKRGHTXHGHELOLWDIDWDOPHQWHDOVLVWHPDLQPXQHGHXQDQWULyQXQLHQGRDODPROpFXOD&'HQODVXSHUFLHGHODVFpOXODVYLWDOHVSDUDODGHIHQVDFRQWUDODHQIHUPHGDGLQFOX\HQGRODVFpOXODV7DX[LOLDUHV\XQDVXE-SREODFLyQGHFpOXODVDVHVLQDVQDWXUDOHV6HSRGUtDGHFLUTXHODVFpOXODV7DX[LOLDUHVFpOXODV7&'RFpOXODV7VRQ ODVFpOXODVPiV LPSRUWDQWHVGHOVLVWHPDLQPXQROyJLFR\DTXHRUJDQL]DQODGHIHQVDGHOFXHUSRFRQWUDORVDQWtJHQRV(OPRGHODGRVXJLHUHTXHODLQIHFFLyQSRU9,+GHODVFpOXODVDVHVLQDVQDWXUDOHVKDFHTXHVHDimposible mediante una terapia an-tirretroviral moderna eliminar el virus [1@$GHPiVGHODPROpFXOD&'XQYLULyQQHFHVLWDSRUORPHQRVGHXQSXxDGRGHPROpFXODVFRUUHFHSWRUDVSRUHMHPSOR&&5\&;&5HQODVXSHUFLHGHODFpOXODREMHWLYRSDUDSRGHUXQLUVHDpVWDSHQHWUDUHQVXPHPEUDQDHLQ-IHFWDUOD'HKHFKRDOUHGHGRUGHOGHORVFDXFiVLFRVFDUHFHQGHPROpFXODVFRUUHFHSWRUDV\SRUORWDQWRVRQWRWDOPHQWHinmunesDLQIHFWDUVHGH9,+

8QDYH]HVWDEOHFLGDODLQIHFFLyQODHQIHUPHGDGHQWUDHQODHWDSDGHLQIHFFLyQDJXGDGXUDQWHXQDVVHPDQDVVHJXLGDVSRUXQSHULRGRGHLQFXEDFLyQTXHSXHGHGXUDUGRVGpFDGDVRPiV$XQTXH ODGHQVLGDGGHFpOXODV7DX[LOLDUHVGHXQDQWULyQFDPELDFXDVLHVWiWLFD-PHQWHGXUDQWHHOSHULRGRGHLQFXEDFLyQOLWHUDOPHQWHPLOHVGHPLOORQHVGHFpOXODV7LQIHF-WDGDV\SDUWtFXODVGH9,+VRQGHVWUXLGDV\UHHPSOD]DGDVGLDULDPHQWH(VWRHVFODUDPHQWHXQDJXHUUDGHGHVJDVWHHQODFXDOLQHYLWDEOHPHQWHSLHUGHHOVLVWHPDLQPXQROyJLFR

8QPRGHORGHDQiOLVLVGHODGLQiPLFDHVHQFLDOTXHRFXUUHGXUDQWHHOperiodo de in-cubacin TXH LQHYLWDEOHPHQWHFDXVD6,'$HVHO VLJXLHQWH >1@

plazoHUDQSRVLEOHPHQWHLQPXQHVDGHVDUUROODUHO6,'$SHURODHYLGHQFLDGHOPRGHODGRVXJLHUHTXHQDOPHQWHHVWRVDQWULRQHVORGHVDUUROODUiQ>1@

(QPiVGHO GH ORV DQWULRQHV HO VLVWHPD LQPXQROyJLFRSLHUGHJUDGXDOPHQWH VXODUJDEDWDOODFRQHOYLUXV/DGHQVLGDGGHFpOXODV7HQODVDQJUHSHULIpULFDGHORVDQWULRQHVFRPLHQ]DDGLVPLQXLUGHVGHVXQLYHOQRUPDOHQWUH\FpOXODVPP3DFHURORTXHLQGLFDHOQDOGHOSHULRGRGHLQFXEDFLyQ(ODQWULyQOOHJDDODHWDSDGHODLQIHFFLyQGH6,'$ya seaFXDQGRXQDGHODVPiVGHYHLQWHLQIHFFLRQHVRSRUWXQLVWDVFDUDFWHUtVWLFDVGHO6,'$VHGHVDUUROOD6,'$FOtQLFRRFXDQGRODGHQVLGDGGHFpOXODV7FDHSRUGHEDMRGHFpOXODVPP3 XQDGHQLFLyQDGLFLRQDOGHO6,'$SURPXOJDGDSRUHO&'&HQ/DLQIHFFLyQGHO9,+KDOOHJDGRDVXHWDSDSRWHQFLDOPHQWHIDWDO

3DUDPRGHODUODVXSHUYLYHQFLDGHO6,'$HOWLHPSRtHQHOFXDOXQDQWULyQGHVDUUROOD6,'$VHUiGHQRWDGDSRUt 8QPRGHORGHVXSHUYLYHQFLDSRVLEOHSDUDXQDFRKRUWHGHSDFLHQWHVFRQ6,'$SRVWXODTXHHO6,'$QRHVXQDFRQGLFLyQIDWDOSDUDXQDIUDFFLyQGHODFRKRUWHGHQRWDGDSRUSiTXHVHOODPDUiDTXtODfraccin inmortal3DUDODSDUWHUHVWDQWHGH ODFRKRUWHODSUREDELOLGDGGHPRULUSRUXQLGDGGHWLHPSRDOWLHPSRtVHVXSRQHXQDFRQVWDQWHkGRQGHSRUVXSXHVWRkVHUiSRVLWLYD3RUORWDQWRODIUDFFLyQGHVXSHUYLYHQFLDStSDUDHVWHPRGHORHVXQDVROXFLyQGHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOGHSULPHURUGHQOLQHDO

dS(t)dt

k[S(t) Si]

8VDQGRHOPpWRGRGHOIDFWRUGHLQWHJUDFLyQTXHVHDQDOL]DHQODVHFFLyQYHPRVTXHODVROXFLyQGHODHFXDFLyQGHODIUDFFLyQGHVXSHUYLYHQFLDHVWiGDGDSRU

S(t) Si [1 Si]e kt

En lugar del parmetro kTXHDSDUHFHHQODHFXDFLyQVHSXHGHQGHQLUGRVQXHYRVSDUiPHWURVSDUDXQDQWULyQSDUDHOFXDOHO6,'$HVIDWDOHOtiempo promedio de superviven-cia Tprom dado por Tprom k y la supervivencia de vida media Tdada por T OQk/DVXSHUYLYHQFLDGHYLGDPHGLDGHQLGDFRPRODPLWDGGHWLHPSRUHTXHULGRSDUDHOFRKRUWHDPRULUHVWRWDOPHQWHDQiORJDDODYLGDHQGHFDLPLHQWRUDGLDFWLYRQXFOHDU9HDHOSUREOHPDHQHOHMHUFLFLR(QWpUPLQRVGHHVWRVSDUiPHWURVODGHSHQGHQFLDFRPSOHWDGHOWLHPSRHQVHSXHGHHVFULELUFRPR

e kt e t Tprom 2 t T1 2

8WLOL]DQGRXQSURJUDPDGHPtQLPRVFXDGUDGRVSDUDDMXVWDUODIXQFLyQGHODIUDFFLyQGHVXSHUYLYHQFLDHQDORVGDWRVUHDOHVGHVXSHUYLYHQFLDSDUDORVKDELWDQWHVGH0DU\ODQGTXHGHVDUUROODURQ6,'$HQVHREWLHQHHOYDORUGHODIUDFFLyQLQPRUWDOGHSi \XQYDORUGHYLGDPHGLDGHVXSHUYLYHQFLDGHT DxRVLHQGRHOWLHPSRSURPHGLRGHVXSHUYLYHQFLDTprom DxRV>2@9HDODJXUDO3RUORWDQWRVyORFHUFDGHOGHODVSHUVRQDVGH0DU\ODQGTXHGHVDUUROODURQ6,'$HQVREUHYLYLHURQWUHVDxRVFRQHVWDFRQGLFLyQ/DFXUYDGHVXSHUYLYHQFLDGHO6,'$GHHQ0DU\ODQGHVSUiFWLFDPHQWHLGpQ-WLFDDODVGH\(OSULPHUIiUPDFRDQWLUUHWURYLUDOTXHVHHQFRQWUyHIHFWLYRFRQWUDHO9,+IXHOD]LGRYXGLQDDQWHULRUPHQWHFRQRFLGDFRPR$=73XHVWRTXHOD]LGRYXGLQDQRHUDFRQRFLGDSRUWHQHUXQLPSDFWRHQODLQIHFFLyQSRUHO9,+DQWHVGH\QRHUDXQDWHUDSLDFRP~QDQWHVGHHVUD]RQDEOHFRQFOXLUTXHODVXSHUYLYHQFLDGHORVSDFLHQWHVGH6,'$GH0DU\ODQGGHQR IXH VLJQLFDWLYDPHQWH LQXHQFLDGDSRU OD WHUDSLDFRQ]LGRYXGLQD

(OYDORUSHTXHxRSHURGLVWLQWRGHFHURGHODIUDFFLyQLQPRUWDOSi obtenido de los datos GH0DU\ODQGVHGHEHSUREDEOHPHQWHDOPpWRGRTXH0DU\ODQG\RWURVHVWDGRVXVDQSDUDGH-WHUPLQDUODVXSHUYLYHQFLDGHVXVFLXGDGDQRV/RVUHVLGHQWHVFRQ6,'$TXHFDPELDURQVXQRPEUH\OXHJRPXULHURQRTXLHQHVPXULHURQHQHOH[WUDQMHURSRGUtDQKDEHUVLGRFRQWDGRVFRPRYLYRVSRUHO'HSDUWDPHQWRGH6DOXGH+LJLHQH0HQWDOGH0DU\ODQG3RU OR WDQWRHOYDORUGHODIUDFFLyQLQPRUWDOGHSi REWHQLGRDSDUWLUGHORVGDWRVGH0DU\ODQGHVWiFODUDPHQWHHQHOOtPLWHVXSHULRUGHVXYHUGDGHURYDORUTXHSUREDEOHPHQWHVHDFHUR

P-2 l PROYECTO 3.1 INVARIABLEMENTE EL SIDA ES UNA ENFERMEDAD FATAL?

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0_16 16 48 80 112 144 176 208 240 272

Tiempo de supervivencia t(w)

S(t)

Fraccin de supervivenciaAjuste del modelo de dos parmetros

FIGURA 1 &XUYDGHODIUDFFLyQGHVXSHUYLYHQFLDSt(Q(DVWHUEURRN\FRODERUDGRUHVSXEOLFDURQGDWRVGHWDOODGRVDFHUFDGHODVXSHU-

YLYHQFLDGHDQWULRQHVLQIHFWDGRVTXHIXHURQWUDWDGRVFRQ]LGRYXGLQD\FX\DVGHQ-VLGDGHVFHOXODUHV7FD\HURQSRUGHEDMRGHORVYDORUHVQRUPDOHV>3@&RPRVXVGHQVLGDGHVGHFpOXODV7FDHQDFHURHVWDVSHUVRQDVGHVDUUROODQHO6,'$FOtQLFR\HPSLH]DQDPRULU/RVVREUHYLYLHQWHVPiVORQJHYRVGHHVWDHQIHUPHGDGYLYHQSDUDYHUTXHVXVGHQVLGDGHV7VRQLQIHULRUHVDFpOXODVPP36LHOWLHPSRt HVUHGHQLGRORTXHVLJQLFDHOPRPHQ-WRHQTXHODGHQVLGDGFHOXODU7GHXQDQWULyQFDHSRUGHEDMRGHFpOXODVPP3HQWRQFHVODVXSHUYLYHQFLDGHHVWRVDQWULRQHVIXHGHWHUPLQDGDSRU(DVWHUEURRNHQ\WUDQVFXUULGRHOWLHPSRGHXQDxRXQDxR\PHGLR\GRVDxRVUHVSHFWLYDPHQWH

&RQXQDMXVWHGHPtQLPRVFXDGUDGRVGHODIXQFLyQGHODIUDFFLyQGHVXSHUYLYHQFLDHQDORVGDWRVGH(DVWHUEURRNSDUD9,+ORVDQWULRQHVLQIHFWDGRVFRQGHQVLGDGFHOXODU7HQHOUDQJRGHFpOXODVPP3SURGXFHQXQYDORUGHODIUDFFLyQLQPRUWDOGHSi \XQDYLGDPHGLDGHVXSHUYLYHQFLDGHT DxR>4@HQIRUPDHTXLYDOHQWHHOWLHPSRSURPHGLRGHVXSHUYLYHQFLDHVTprom DxRV(VWRVUHVXOWDGRVPXHVWUDQFODUDPHQWHTXHOD]LGRYXGLQDQRHVHFD]SDUDGHWHQHUODUHSOLFDFLyQGHWRGDVODVFHSDVGHO9,+\DTXHTXLHQHVUHFLEL-HURQHVWH IiUPDFRQDOPHQWHPXULHURQFDVLDOPLVPRULWPRTXHTXLHQHVQR OR UHFLELHURQ(QUHDOLGDGODSHTXHxDGLIHUHQFLDGHPHVHVHQODYLGDPHGLDGHVXSHUYLYHQFLDSDUDORVDQWULRQHVGHFRQGHQVLGDGHVFHOXODUHV7SRUGHEDMRGHFpOXODVPP3FRQWHUDSLDGH]LGRYXGLQDT DxR\ODGHLQIHFWDGRVGHHQ0DU\ODQGTXHQRWRPDURQ]LG-RYXGLQDTDxRVHSXHGHGHEHUWRWDOPHQWHDXQDPHMRUKRVSLWDOL]DFLyQ\DPHMRUDVHQHOWUDWDPLHQWRGHODVLQIHFFLRQHVRSRUWXQLVWDVUHODFLRQDGDVFRQHO6,'$HQHOWUDQVFXUVRGHHVRVDxRV$VtHQ~OWLPDLQVWDQFLDGHVDSDUHFHODFDSDFLGDGLQLFLDOGH]LGRYXGLQDSDUDSUR-ORQJDUODVXSHUYLYHQFLDFRQODHQIHUPHGDGSRU9,+\ODLQIHFFLyQUHDQXGDVXSURJUHVLyQ6HKDHVWLPDGRTXHODWHUDSLDGH]LGRYXGLQDDPSOtDODFDSDFLGDGGHVXSHUYLYHQFLDGHXQSDFLHQWHLQIHFWDGRFRQ9,+TXL]iSRURPHVHVHQSURPHGLR>4@

3RU~OWLPRMXQWDQGRORVUHVXOWDGRVDQWHULRUHVGHPRGHODGRSDUDDPERVFRQMXQWRVGHGDWRVHQFRQWUDPRVTXHHOYDORUGHODIUDFFLyQLQPRUWDOVHHQFXHQWUDHQDOJ~QOXJDUGHQWURGHOUDQJR Si \HOWLHPSRSURPHGLRGHVXSHUYLYHQFLDVHHQFXHQWUDGHQWURGHOUDQJRDxRV Tprom DxRV$VtHOSRUFHQWDMHGHSHUVRQDVSDUDTXLHQHVHO6,'$QRHVXQDHQIHUPHGDGPRUWDOHVPHQRUGH\SXHGHVHUFHUR(VWRVUHVXOWDGRVFRLQ-FLGHQFRQXQHVWXGLRGHVREUHODKHPROLDDVRFLDGDFRQFDVRVGH6,'$HQ(VWDGRV8QLGRVTXHHQFRQWUyTXHODGXUDFLyQPHGLDQDGHODVXSHUYLYHQFLDGHVSXpVGHGLDJQyVWLFRGH6,'$IXHGHPHVHV>5@8QHVWXGLRPiVUHFLHQWH\FRPSOHWRGHKHPRItOLFRVFRQ6,'$FOtQLFRXWLOL]DQGRHOPRGHORHQHQFRQWUyTXHODIUDFFLyQLQPRUWDOIXHSi y los WLHPSRVGHVXSHUYLYHQFLDPHGLDSDUDDTXHOORVHQWUH\DxRVGHHGDGYDULyHQWUHORV\ORVPHVHVGHSHQGLHQGRGHODFRQGLFLyQDVRFLDGDDO6,'$>6@Aunque los trasplantes de mdula sea que usan clulas madre del donante homocigtico para la supresin del delta 32 CCR5 podran conducir a curas, los datos clnicos resultantes consistente-mente muestran que el SIDA es una enfermedad invariablemente fatal.

PROYECTO 3.1 INVARIABLEMENTE EL SIDA ES UNA ENFERMEDAD FATAL? l P-3

PROBLEMAS RELACIONADOS1. 6XSRQJDPRVTXHODIUDFFLyQGHXQDFRKRUWHGHSDFLHQWHVFRQ6,'$TXHVREUHYLYHXQ

tiempo tGHVSXpVGHGLDJQyVWLFRGH6,'$HVWiGDGDSRUStH[Skt'HPXHVWUHTXHHOWLHPSRSURPHGLRGHVXSHUYLYHQFLDTpromGHVSXpVGHOGLDJQyVWLFRGH6,'$SDUDXQPLHPEURGHHVWDFRKRUWHHVWiGDGRSRUTprom k

2. /DIUDFFLyQGHXQDFRKRUWHGHSDFLHQWHVFRQ6,'$TXHVREUHYLYHDXQWLHPSRtGHVSXpVGHOGLDJQyVWLFRGH6,'$HVWiGDGDSRUStH[Skt6XSRQJDPRVTXHODVXSHUYL-YHQFLDPHGLDGHXQDFRKRUWHGHKHPRItOLFRVGLDJQRVWLFDGRVFRQ6,'$DQWHVGHVHHQFRQWUyGHTprom PHVHV4XpIUDFFLyQGHODFRKRUWHVREUHYLYLyFLQFRDxRVGHVSXpVGHOGLDJQyVWLFRGH6,'$"

3. /DIUDFFLyQGHXQDFRKRUWHGHSDFLHQWHVGH6,'$TXHVREUHYLYHDXQWLHPSRtGHVSXpVGHGLDJQyVWLFRGH6,'$HVWiGDGDSRUStH[Skt(OWLHPSRTXHWDUGDStSDUDDOFDQ-]DUHOYDORUGHVHGHQHFRPRHOSHULRGRGHVXSHUYLYHQFLD\HVWiGHQRWDGRSRUTa) 'HPXHVWUHTXHStVHSXHGHHVFULELUHQODIRUPDSttTb) 'HPXHVWUHTXHT TpromOQGRQGHTpromHVHOWLHPSRSURPHGLRGHVXSHUYLYHQFLD

GHQLGRHQHOSUREOHPD3RUORWDQWRHVFLHUWRVLHPSUHTXHT Tprom4. $SUR[LPDGDPHQWHHOGHORVSDFLHQWHVGHFiQFHUGHSXOPyQVHFXUDQGHODHQIHU-

PHGDGHVGHFLUVREUHYLYHQFLQFRDxRVGHVSXpVGHOGLDJQyVWLFRFRQQLQJXQDHYLGHQFLDGH TXH HO FiQFHU KD UHJUHVDGR 6yOR HO GH ORV SDFLHQWHV GH FiQFHU GH SXOPyQVREUHYLYHQFLQFRDxRVGHVSXpVGHOGLDJQyVWLFR6XSRQJDTXHODIUDFFLyQGHSDFLHQWHVFRQFiQFHUSXOPRQDU LQFXUDEOHTXHVREUHYLYHQXQ WLHPSR tGHVSXpVGH ODGLDJQRVLVHVWiGDGDSRUH[Skt(QFXHQWUHXQDH[SUHVLyQSDUDODIUDFFLyQStGHSDFLHQWHVFRQFiQFHUGHSXOPyQTXHVREUHYLYHQXQWLHPSRtGHVSXpVGHVHUGLDJQRVWLFDGRVFRQODHQ-IHUPHGDG$VHJ~UHVHGHGHWHUPLQDUORVYDORUHVGHODVFRQVWDQWHVHQVXUHVSXHVWD4XpIUDFFLyQGHSDFLHQWHVFRQFiQFHUSXOPRQDUVREUHYLYHGRVDxRVFRQODHQIHUPHGDG"

REFERENCIAS1. .UDPHU,YDQ:KDWWULJJHUVWUDQVLHQW$,'6LQWKHDFXWHSKDVHRI+,9LQIHFWLRQDQGFKURQLF

$,'6DWWKHHQGRIWKHLQFXEDWLRQSHULRG"HQComputational and Mathematical Methods in MedicineYROQ~PMXQSS

2. .UDPHU,YDQ,V$,'6DQLQYDULDEOHIDWDOGLVHDVH"$PRGHODQDO\VLVRI$,'6VXUYLYDOFXUYHVen Mathematical and Computer ModellingQ~PSS

3. (DVWHUEURRN3KLOLSSD-et al.,3URJUHVVLYH&'FHOOGHSOHWLRQDQGGHDWKLQ]LGRYXGLQHWUHDWHGSDWLHQWVHQJAIDSGHDJRVWRGHQ~PSS

4. .UDPHU,YDQ7KHLPSDFWRI]LGRYXGLQH$=7WKHUDS\RQWKHVXUYLYDELOLW\RIWKRVHZLWKSURJUHVVLYH+,9LQIHFWLRQHQMathematical and Computer ModellingYROQ~PIHEGHSS

5. 6WHKU*UHHQ-.5&+ROPDQ0$0DKRQH\6XUYLYDODQDO\VLVRIKHPRSKLOLDDVVRFLDWHG$,'6FDVHVLQWKH86HQAm. J. Public HealthMXOGHDxRQ~PSS

6. *DLO0LWFKHO+et al6XUYLYDODIWHU$,'6GLDJQRVLVLQDFRKRUWRIKHPRSKLOLDSDWLHQWVHQJAIDSGHDJRGHQ~PSS

ACERCA DEL AUTOR

Ivan KramerREWXYRODOLFHQFLDWXUDHQ)tVLFD\0DWHPiWLFDVHQHO&LW\&ROOHJHGH1XHYD

1INTRODUCCIN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

1.1 'HQLFLRQHV\WHUPLQRORJtD1.2 3UREOHPDVFRQYDORUHVLQLFLDOHV1.3 (FXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHVFRPRPRGHORVPDWHPiWLFRVREPASO DEL CAPTULO 1

(VFLHUWRTXHODVSDODEUDVecuaciones\diferencialesVXJLHUHQDOJXQDFODVHGHHFXDFLyQTXHFRQWLHQHGHULYDGDVy, y$OLJXDOTXHHQXQFXUVRGHiOJHEUD\WULJRQRPHWUtDHQORVTXHVHLQYLHUWHEDVWDQWHWLHPSRHQODVROXFLyQGHHFXDFLRQHVWDOHVFRPRx2 5x 4 SDUDODLQFyJQLWDxHQHVWHFXUVRunaGHODVWDUHDVVHUiUHVROYHUHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHVGHOWLSRy 2y y SDUDODIXQFLyQLQFyJQLWDy (x).

(OSiUUDIRDQWHULRUQRVGLFHDOJRSHURQRODKLVWRULDFRPSOHWDVREUHHOFXUVRTXHHVWiSRULQLFLDU&RQIRUPHHOFXUVRVHGHVDUUROOHYHUiTXHKD\PiVHQHOHVWXGLRGHODVHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHVTXHVRODPHQWHGRPLQDUORVPpWRGRVTXHDOJXLHQKDLQYHQWDGRSDUDUHVROYHUODV

3HURYDPRVHQRUGHQ3DUDOHHUHVWXGLDU\SODWLFDUVREUHXQWHPDHVSHFLDOL]DGRHVQHFHVDULRDSUHQGHUODWHUPLQRORJtDGHHVWDGLVFLSOLQD(VDHVODLQWHQFLyQGHODVGRVSULPHUDVVHFFLRQHVGHHVWHFDStWXOR(QOD~OWLPDVHFFLyQH[DPLQDUHPRVEUHYHPHQWHHOYtQFXORHQWUHODVHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHV\HOPXQGRUHDO/DVSUHJXQWDVSUiFWLFDVFRPRqu tan rpido se propaga una enfermedad? \ qu tan rpido cambia una poblacin?LPSOLFDQUD]RQHVGHFDPELRRGHULYDGDV$VtODGHVFULSFLyQPDWHPiWLFDRPRGHORPDWHPiWLFRGHH[SHULPHQWRVREVHUYDFLRQHVRWHRUtDVSXHGHVHUXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDO

1

2 l CAPTULO 1 INTRODUCCIN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

DEFINICIONES Y TERMINOLOGA

REPASO DE MATERIALl 'HQLFLyQGHGHULYDGDl 5HJODVGHGHULYDFLyQl 'HULYDGDFRPRXQDUD]yQGHFDPELRl &RQH[LyQHQWUHODSULPHUDGHULYDGD\FUHFLPLHQWRGHFUHFLPLHQWRl &RQH[LyQHQWUHODVHJXQGDGHULYDGD\FRQFDYLGDG

INTRODUCCIN /DGHULYDGDdydxGHXQDIXQFLyQy (xHVRWUDIXQFLyQ(xTXHVHHQ-FXHQWUDFRQXQDUHJODDSURSLDGD/DIXQFLyQy e0.1x2HVGHULYDEOHHQHOLQWHUYDOR, \XVDQGRODUHJODGHODFDGHQDVXGHULYDGDHVdydx 0.2xe0.1x26LVXVWLWXLPRVe0.1x2HQHOODGRGHUHFKRGHOD~OWLPDHFXDFLyQSRUyODGHULYDGDVHUi

dy

dx0.2xy (1)

$KRUD LPDJLQHPRVTXHXQDPLJRFRQVWUX\yVXHFXDFLyQ XVWHGQR WLHQH LGHDGHFyPRODKL]R \VHSUHJXQWDcul es la funcin representada con el smbolo y?6HHQIUHQWDHQWRQFHVDXQRGHORVSUREOHPDVEiVLFRVGHHVWHFXUVR

Cmo resolver una ecuacin para la funcin desconocida y (x)?

1.1

UNA DEFINICIN $ODHFXDFLyQVHOHGHQRPLQDecuacin diferencial$QWHVGHSURVHJXLUFRQVLGHUHPRVXQDGHQLFLyQPiVH[DFWDGHHVWHFRQFHSWR

DEFINICIN 1.1.1 Ecuacin diferencial

6HGHQRPLQDecuacin diferencial (ED)DODHFXDFLyQTXHFRQWLHQHGHULYDGDVGHXQDRPiVYDULDEOHVUHVSHFWRDXQDRPiVYDULDEOHVLQGHSHQGLHQWHV

3DUD KDEODU DFHUFD GH HOODV FODVLFDUHPRV D ODV HFXDFLRQHV GLIHUHQFLDOHV SRU tipo, orden\linealidad.

CLASIFICACIN POR TIPO 6LXQDHFXDFLyQFRQWLHQHVyORGHULYDGDVGHXQDRPiVYDULDEOHVGHSHQGLHQWHVUHVSHFWRDXQDVRODYDULDEOHLQGHSHQGLHQWHVHGLFHTXHHVXQDecuacin diferencial ordinaria (EDO)8QDHFXDFLyQTXHLQYROXFUDGHULYDGDVSDUFLD-OHVGHXQDRPiVYDULDEOHVGHSHQGLHQWHVGHGRVRPiVYDULDEOHVLQGHSHQGLHQWHVVHOODPDecuacin diferencial parcial (EDP)1XHVWURSULPHUHMHPSORLOXVWUDYDULDVHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHVGHFDGDWLSR

EJEMPLO 1 Tipos de ecuaciones diferenciales

8QD('2SXHGHFRQWHQHU PiVGHXQDYDULDEOHGHSHQGLHQWH

dydx

5y ex, d 2y

dx2dy

dx6y 0, y

dx

dt

dy

dt2x y

o o (2)

b)/DVVLJXLHQWHVVRQHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHVSDUFLDOHV

2u

x2

2u

y20,

2u

x2

2u

t22

u

t, y

u

y

v

x (3)

2EVHUYHTXHHQODWHUFHUDHFXDFLyQKD\GRVYDULDEOHVGHSHQGLHQWHV\GRVYDULDEOHVLQGH-SHQGLHQWHVHQOD('3(VWRVLJQLFDTXHu\vGHEHQVHUIXQFLRQHVGHGRVRPiVYDULDEOHVLQGHSHQGLHQWHV

a)/DVHFXDFLRQHV

VRQHMHPSORVGHHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHVRUGLQDULDV

NOTACIN $ORODUJRGHOOLEURODVGHULYDGDVRUGLQDULDVVHHVFULELUiQXVDQGRODnota-cin de Leibniz dydx, d2ydx2, d3ydx3RODnotacin prima y, y, y8VDQGRHVWD~OWLPDQRWDFLyQODVSULPHUDVGRVHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHVHQVHSXHGHQHVFULELUHQXQDIRUPDXQSRFRPiVFRPSDFWDFRPRy 5y ex\y y 6y (QUHDOLGDGODQRWDFLyQSULPDVHXVDSDUDGHQRWDUVyORODVSULPHUDVWUHVGHULYDGDVODFXDUWDGHULYDGDVHGHQRWDy(4)HQOXJDUGHy(QJHQHUDOODnpVLPDGHULYDGDGHyVHHVFULEHFRPRdnydxnR\(n)$XQTXHHVPHQRVFRQYHQLHQWHSDUDHVFULELURFRPSRQHUWLSRJUiFDPHQWHODQRWDFLyQGH/HLEQL]WLHQHXQDYHQWDMDVREUHODQRWDFLyQSULPDPXHVWUDFODUDPHQWHDPEDVYDULDEOHVODVGHSHQGLHQWHV\ODVLQGHSHQGLHQWHV3RUHMHPSORHQODHFXDFLyQ

d 2x

dt 2 16x 0

funcin incgnita o variable dependiente

variable independiente VHDSUHFLDGHLQPHGLDWRTXHDKRUDHOVtPERORxUHSUHVHQWDXQDYDULDEOHGHSHQGLHQWHPLHQWUDVTXHODYDULDEOHLQGHSHQGLHQWHHVt7DPELpQVHGHEHFRQVLGHUDUTXHHQLQJHQLH UtD\HQFLHQFLDVItVLFDVODnotacin de puntoGH1HZWRQQRPEUDGDGHVSHFWLYDPHQWHQRWDFLyQGHSXQWLWRDOJXQDVYHFHVVHXVDSDUDGHQRWDUGHULYDGDVUHVSHFWRDOWLHP SRt$VtODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOd2sdt2 VHUis &RQIUHFXHQFLDODVGHUL-YDGDVSDUFLDOHVVHGHQRWDQPHGLDQWHXQDnotacin de subndiceTXHLQGLFDODVYDULDEOHVLQGHSHQGLHQWHV3RUHMHPSORFRQODQRWDFLyQGHVXEtQGLFHVODVHJXQGDHFXDFLyQHQVHUiuxx utt 2ut.

CLASIFICACIN POR ORDEN (Oorden de una ecuacin diferencial \D VHD('2R('3HVHORUGHQGHODPD\RUGHULYDGDHQODHFXDFLyQ3RUHMHPSOR

primer ordensegundo orden

5( )3 4y exdydxd 2ydx 2 HVXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDORUGLQDULDGHVHJXQGRRUGHQ(QHOHMHPSORODSULPHUD\ODWHUFHUDHFXDFLyQHQVRQ('2GHSULPHURUGHQPLHQWUDVTXHHQODVSULPHUDVGRVHFXDFLRQHVVRQ('3GHVHJXQGRRUGHQ$YHFHVODVHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHVRUGLQDULDVGHSULPHURUGHQVHHVFULEHQHQODIRUPDGLIHUHQFLDOM(x, y) dx N(x, y) dy 3RUHMHPSORVLVXSRQHPRVTXHyGHQRWDODYDULDEOHGHSHQGLHQWHHQ(y x) dx 4xdy 0, HQWRQFHVy dydxSRUORTXHDOGLYLGLUHQWUHODGLIHUHQFLDOdxREWHQHPRVODIRUPDDOWHUQD4xy y x.

6LPEyOLFDPHQWHSRGHPRVH[SUHVDUXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDORUGLQDULDGHnpVLPRRUGHQFRQXQDYDULDEOHGHSHQGLHQWHSRUODIRUPDJHQHUDO

,F(x, y, y , . . . , y(n)) 0 (4)GRQGHFHVXQDIXQFLyQFRQYDORUHVUHDOHVGHn YDULDEOHVx, y, y, , y(n)3RUUD-]RQHVWDQWRSUiFWLFDVFRPRWHyULFDVGHDKRUDHQDGHODQWHVXSRQGUHPRVTXHHVSRVLEOHUHVROYHUXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDORUGLQDULDHQODIRUPDGHODHFXDFLyQ~QLFDPHQWHSDUDODPD\RUGHULYDGDy(n)HQWpUPLQRVGHODVn YDULDEOHVUHVWDQWHV/DHFXDFLyQGLIHUHQFLDO

,dny

dxnf (x, y, y , . . . , y(n 1)) (5)

GRQGHfHVXQDIXQFLyQFRQWLQXDFRQYDORUHVUHDOHVVHFRQRFHFRPRODforma normalGHODHFXDFLyQ$VtTXHSDUDQXHVWURVSURSyVLWRVXVDUHPRVODVIRUPDVQRUPDOHVFXDQGRVHDDGHFXDGR

dydx

f (x, y) y d 2y

dx2f (x, y, y )

([FHSWRHVWDVHFFLyQGHLQWURGXFFLyQHQEcuaciones diferenciales con aplicaciones de modeladoGpFLPDHGLFLyQVyORVHFRQVLGHUDQHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHVRUGLQDULDV(QHVHOLEURODSDODEUDecuacin\ODDEUHYLDWXUD('VHUHHUHQVyORDODV('2/DVHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHVSDUFLDOHVR('3VHFRQVLGHUDQHQHOYROXPHQDPSOLDGREcuaciones diferenciales con problemas con valores en la fronteraRFWDYDHGLFLyQ

1.1 DEFINICIONES Y TERMINOLOGA l 3


SDUDUHSUHVHQWDUHQJHQHUDOODVHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHVRUGLQDULDVGHSULPHU\VHJXQGRRUGHQ3RUHMHPSORODIRUPDQRUPDOGHODHFXDFLyQGHSULPHURUGHQxy y xHVy (x y)4xODIRUPDQRUPDOGHODHFXDFLyQGHVHJXQGRRUGHQy y 6y 0 HVy y 6y9HDHOLQFLVRiv)HQORVComentarios.

CLASIFICACIN POR LINEALIDAD 6H GLFH TXH XQD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO GHn-pVLPRRUGHQHVlinealVLFHVOLQHDOHQy, y, . . . , y(n)(VWRVLJQLFDTXHXQD('2GHn-pVLPRRUGHQHVOLQHDOFXDQGRODHFXDFLyQHVan(x)y

(n) an1(x)y(n1) a1

(x)y a0(x)y g(x) R

.an(x)dny

dxnan 1(x)

dn 1y

dxn 1a1(x)

dy

dxa0(x)y g(x) (6)

'RVFDVRV HVSHFLDOHV LPSRUWDQWHVGH OD HFXDFLyQ VRQ ODV(' OLQHDOHVGHSULPHURUGHQn \GHVHJXQGRRUGHQn

.a1(x)

dy

dxa0(x)y g(x) y a2(x)

d 2y

dx2a1(x)

dy

dxa0(x)y g(x)

(7)

(QODFRPELQDFLyQGHODVXPDGHOODGRL]TXLHUGRGHODHFXDFLyQYHPRVTXHODVGRVSURSLHGDGHVFDUDFWHUtVWLFDVGHXQD('2VRQODVVLJXLHQWHV

/DYDULDEOHGHSHQGLHQWHy\WRGDVVXVGHULYDGDVy, y, . . . , y(n)VRQGHSULPHUJUDGRHVGHFLUODSRWHQFLDGHFDGDWpUPLQRTXHFRQWLHQHyHVLJXDOD

/RV FRHFLHQWHV GH a0, a1, . . . , an GH y, y, . . . , y(n) GHSHQGHQ GH OD YDULDEOH

LQGHSHQGLHQWHx.8QDHFXDFLyQGLIHUHQFLDORUGLQDULDno linealHVVLPSOHPHQWHXQDTXHQRHVOLQHDO/DVIXQFLRQHVQROLQHDOHVGHODYDULDEOHGHSHQGLHQWHRGHVXVGHULYDGDVWDOHVFRPRVHQyRe y, QRSXHGHQDSDUHFHUHQXQDHFXDFLyQOLQHDO

EJEMPLO 2 EDO lineal y no lineal

(y x)dx 4xydy 0, y 2y y 0, y d 3ydx3

xdydx

5y exx3

VRQUHVSHFWLYDPHQWHHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHVlinealesGHSULPHUVHJXQGR\WHUFHURUGHQ$FDEDPRVGHPRVWUDUTXHODSULPHUDHFXDFLyQHVOLQHDOHQODYDULDEOHyFXDQGRVHHVFULEHHQODIRUPDDOWHUQDWLYDxy y x.

trmino no lineal: coeficiente depende de y

trmino no lineal: funcin no lineal de y

trmino no lineal: el exponente es diferente de 1

(1 y)y 2y e x, sen y 0, yd 2ydx 2 y

2 0d 4ydx 4

VRQHMHPSORVGHHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHVRUGLQDULDVno linealesGHSULPHUVHJXQGR\FXDUWRRUGHQUHVSHFWLYDPHQWH

SOLUCIONES &RPR\DVHKDHVWDEOHFLGRXQRGH ORVREMHWLYRVGHHVWHFXUVRHVUHVROYHURHQFRQWUDUVROXFLRQHVGHHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHV(QODVLJXLHQWHGHQLFLyQFRQVLGHUDPRVHOFRQFHSWRGHVROXFLyQGHXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDORUGLQDULD

DEFINICIN 1.1.2 Solucin de una EDO

6HGHQRPLQDXQDsolucinGHODHFXDFLyQHQHOLQWHUYDORDFXDOTXLHUIXQFLyQ, GHQLGDHQXQLQWHUYDORI\TXHWLHQHDOPHQRVnGHULYDGDVFRQWLQXDVHQIODVFXDOHVFXDQGRVHVXVWLWX\HQHQXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDORUGLQDULDGHnpVLPRRUGHQUHGXFHQODHFXDFLyQDXQDLGHQWLGDG

(QRWUDVSDODEUDVXQDVROXFLyQGHXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDORUGLQDULDGHnpVLPRRUGHQHVXQDIXQFLyQTXHSRVHHDOPHQRVnGHULYDGDVSDUDODVTXH

a)/DVHFXDFLRQHV

b)/DVHFXDFLRQHV

F(x, (x), (x), . . . , (n)(x)) 0 para toda x en I.

'HFLPRVTXH satisfaceODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOHQI3DUDQXHVWURVSURSyVLWRVVXSRQGUH-PRVTXHXQDVROXFLyQHVXQDIXQFLyQFRQYDORUHVUHDOHV(QQXHVWURDQiOLVLVGHLQWUR-GXFFLyQYLPRVTXHy e0.1x 2HVXQDVROXFLyQGHdydx 0.2xyHQHOLQWHUYDOR, ).

2FDVLRQDOPHQWHVHUiFRQYHQLHQWHGHQRWDUXQDVROXFLyQFRQHOVtPERORDOWHUQDWLYR\(x).

INTERVALO DE DEFINICIN 1RSRGHPRVSHQVDUHQODsolucinGHXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDORUGLQDULDVLQSHQVDUVLPXOWiQHDPHQWHHQXQintervalo(OLQWHUYDORIHQODGH-QLFLyQWDPELpQVHFRQRFHFRQRWURVQRPEUHVFRPRVRQLQWHUYDORGHGHQLFLyQ, intervalo de existencia, intervalo de validezRdominio de la solucin\SXHGHVHUXQLQWHUYDORDELHUWRa, bXQLQWHUYDORFHUUDGR>a, b@XQLQWHUYDORLQQLWRa, HWFpWHUD

EJEMPLO 3 9HULFDFLyQGHXQDVROXFLyQ

9HULTXHTXHODIXQFLyQLQGLFDGDHVXQDVROXFLyQGHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOGDGDHQHOLQWHUYDOR, ).

a) dydx xy ; y 116 12 x4 b) y 2y y 0; y xex

SOLUCIN 8QDIRUPDGHYHULFDUTXHODIXQFLyQGDGDHVXQDVROXFLyQFRQVLVWHHQREVHUYDUXQDYH]TXHVHKDVXVWLWXLGRVLFDGDODGRGHODHFXDFLyQHVHOPLVPRSDUDWRGDxHQHOLQWHUYDOR

a) (Q

lado derecho: xy1/2 x1

16x 4

1/2

x1

4x 2

1

4x 3,

lado izquierdo:dy

dx

1

16 (4 x 3)

1

4x 3,

YHPRVTXHFDGDODGRGHODHFXDFLyQHVHOPLVPRSDUDWRGRQ~PHURUHDOx2EVHUYHTXHy1/2 14 x

2HVSRUGHQLFLyQODUDt]FXDGUDGDQRQHJDWLYDGH 116 x4.

b) (Q ODVGHULYDGDVy xex ex\y xex 2ex WHQHPRVTXHSDUD WRGRQ~PHURUHDOx,

lado derecho: .0 lado izquierdo: y 2y y (xex 2ex) 2(xex ex) xex 0,

(QHOHMHPSORREVHUYHWDPELpQTXHFDGDHFXDFLyQGLIHUHQFLDOWLHQHODVROXFLyQFRQVWDQWHy 0, x $ODVROXFLyQGHXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDOTXHHVLJXDODFHURHQXQLQWHUYDORIVHOHFRQRFHFRPRODsolucin trivial.

CURVA SOLUCIN /DJUiFD GH XQD VROXFLyQ GH XQD('2 VH OODPDcurva solucin. 3XHVWRTXHHVXQDIXQFLyQGHULYDEOHHVFRQWLQXDHQVXLQWHUYDORGHGHQL-FLyQ I3XHGHKDEHUGLIHUHQFLDHQWUHODJUiFDGHODfuncin \ODJUiFDGHODsolucin (VGHFLUHOGRPLQLRGHODIXQFLyQQRQHFHVLWDVHULJXDODOLQWHUYDORGHGHQLFLyQ IRGRPLQLRGHODVROXFLyQ(OHMHPSORPXHVWUDODGLIHUHQFLD

EJEMPLO 4 Funcin contra solucin

(OGRPLQLRGHy 1xFRQVLGHUDGRVLPSOHPHQWHFRPRXQDfuncinHVHOFRQMXQWRGHWRGRVORVQ~PHURVUHDOHVxH[FHSWRHO&XDQGRWUD]DPRVODJUiFDGHy 1xGLEXMD-PRVORVSXQWRVHQHOSODQRxyFRUUHVSRQGLHQWHVDXQMXLFLRVRPXHVWUHRGHQ~PHURVWRPD-GRVGHOGRPLQLR/DIXQFLyQUDFLRQDOy 1xHVGLVFRQWLQXDHQHQODJXUDDVH

1.1 DEFINICIONES Y TERMINOLOGA l 5


PXHVWUDVXJUiFDHQXQDYHFLQGDGGHORULJHQ/DIXQFLyQy 1xQRHVGHULYDEOHHQx \DTXHHOHMHyFX\DHFXDFLyQHVx HVXQDDVtQWRWDYHUWLFDOGHODJUiFD

$KRUDy 1xHVWDPELpQXQDVROXFLyQGHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOOLQHDOGHSULPHURUGHQxy y FRPSUXHEH3HURFXDQGRGHFLPRVTXHy 1xHVXQDsolucinGHHVWD('VLJQLFDTXHHVXQDIXQFLyQGHQLGDHQXQLQWHUYDORIHQHOTXHHVGHULYDEOH\VDWLVIDFHODHFXDFLyQ(QRWUDVSDODEUDVy 1xHVXQDVROXFLyQGHOD('HQcualquier LQWHUYDORTXHQRFRQWHQJDWDOFRPR3, 1), (1

2, 10), (R3RUTXHODV

FXUYDVVROXFLyQGHQLGDVSRUy 1xSDUD3 x \12 x VRQVLPSOH-

PHQWHWUDPRVRSDUWHVGHODVFXUYDVVROXFLyQGHQLGDVSRUy 1xSDUD x 0 \ x UHVSHFWLYDPHQWHHVWRKDFHTXH WHQJDVHQWLGR WRPDUHO LQWHUYDOR I WDQJUDQGHFRPRVHDSRVLEOH$VtWRPDPRVI\DVHDFRPRR/DFXUYDVR-OXFLyQHQHVFRPRVHPXHVWUDHQODJXUDE

SOLUCIONES EXPLCITAS E IMPLCITAS 'HEHHVWDUIDPLOLDUL]DGRFRQORVWpU-PLQRV funciones explcitas\ funciones implcitasGHVXFXUVRGHFiOFXOR$XQDVR-OXFLyQHQODFXDO ODYDULDEOHGHSHQGLHQWHVHH[SUHVDVyORHQWpUPLQRVGHODYDULDEOHLQGHSHQGLHQWH\ ODVFRQVWDQWHVVH OHFRQRFHFRPRsolucin explcita3DUDQXHVWURVSURSyVLWRVFRQVLGHUHPRVXQDVROXFLyQH[SOtFLWDFRPRXQDIyUPXODH[SOtFLWDy (x) TXHSRGDPRVPDQHMDUHYDOXDU\GHULYDUXVDQGRODVUHJODVXVXDOHV$FDEDPRVGHYHUHQORVGRV~OWLPRVHMHPSORVTXHy 116 x

4, y xex\y 1xVRQVROXFLRQHVH[SOtFL-WDVUHVSHFWLYDPHQWHGHdydx xy, y 2y y \xy y $GHPiVODVROXFLyQWULYLDOy HVXQDVROXFLyQH[SOtFLWDGHFDGDXQDGHHVWDVWUHVHFXDFLRQHV&XDQGROOHJXHPRVDOSXQWRGHUHDOPHQWHUHVROYHUODVHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHVRUGLQD-ULDVYHUHPRVTXHORVPpWRGRVGHVROXFLyQQRVLHPSUHFRQGXFHQGLUHFWDPHQWHDXQDVR-OXFLyQH[SOtFLWDy (x(VWRHVSDUWLFXODUPHQWHFLHUWRFXDQGRLQWHQWDPRVUHVROYHUHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHVGHSULPHURUGHQ&RQIUHFXHQFLDWHQHPRVTXHFRQIRUPDUQRVFRQXQDUHODFLyQRH[SUHVLyQG(x, y) TXHGHQHXQDVROXFLyQLPSOtFLWDPHQWH

DEFINICIN 1.1.3 Solucin implcita de una EDO

6HGLFHTXHXQDUHODFLyQG(x, y) HVXQDsolucin implcita GHXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDORUGLQDULDHQXQLQWHUYDORIVXSRQLHQGRTXHH[LVWHDOPHQRVXQDIXQFLyQTXHVDWLVIDFHODUHODFLyQDVtFRPRODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOHQI.

(VWiIXHUDGHODOFDQFHGHHVWHFXUVRLQYHVWLJDUODFRQGLFLyQEDMRODFXDOODUHODFLyQG(x, y) GHQHXQDIXQFLyQGHULYDEOH3RUORTXHVXSRQGUHPRVTXHVLLPSOHPHQWDUIRUPDOPHQWHXQPpWRGRGHVROXFLyQQRVFRQGXFHDXQDUHODFLyQG(x, y) HQWRQFHVH[LVWHDOPHQRVXQDIXQFLyQTXHVDWLVIDFHWDQWRODUHODFLyQTXHHVG(x, (x)) 0) FRPRODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOHQHOLQWHUYDORI6LODVROXFLyQLPSOtFLWDG(x, y) HVEDVWDQWHVLPSOHSRGHPRVVHUFDSDFHVGHGHVSHMDUDyHQWpUPLQRVGHx\REWHQHUXQDRPiVVROXFLRQHVH[SOtFLWDV9HDHQLQFLVRi)HQORVComentarios.

EJEMPLO 5 Comprobacin de una solucin implcita

/DUHODFLyQx2 y2 HVXQDVROXFLyQLPSOtFLWDGHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDO

dy

dx

x

y (8)

HQHOLQWHUYDORDELHUWR'HULYDQGRLPSOtFLWDPHQWHREWHQHPRV

.d

dx x2

d

dx y2

d

dx 25 o 2x 2y

dy

dx0

5HVROYLHQGR OD ~OWLPD HFXDFLyQ SDUD dydx VH REWLHQH $GHPiV UHVROYLHQGRx2 y2 SDUDyHQWpUPLQRVGHxVHREWLHQHy 225 x2 /DVGRVIXQFLRQHV

2(x) 125 x2y 1(x) 125 x2 y y VDWLVIDFHQ OD UHODFLyQ TXH HV

1

x

y

1

a) funcin y 1/x, x 0

b) solucin y 1/x, (0, )

1

x

y

1

FIGURA 1.1.1 /DIXQFLyQy 1xQRHVODPLVPDTXHODVROXFLyQy 1x.

x2 12 \x2 2

2 \VRQODVVROXFLRQHVH[SOtFLWDVGHQLGDVHQHOLQWHU-YDOR/DVFXUYDVVROXFLyQGDGDVHQODVJXUDVE\FVRQWUDPRVGHODJUiFDGHODVROXFLyQLPSOtFLWDGHODJXUDD

&XDOTXLHUUHODFLyQGHOWLSRx2 y2 c HV formalmente VDWLVIDFWRULDSDUDFXDO-TXLHUFRQVWDQWHc6LQHPEDUJRVHVREUHQWLHQGHTXHODUHODFLyQVLHPSUHWHQGUiVHQWLGRHQHOVLVWHPDGHORVQ~PHURVUHDOHVDVtSRUHMHPSORVLc QRSRGHPRVGHFLUTXHx2 y2 25 HVXQDVROXFLyQLPSOtFLWDGHODHFXDFLyQ3RUTXpQR"

'HELGRDTXHODGLIHUHQFLDHQWUHXQDVROXFLyQH[SOtFLWD\XQDVROXFLyQLPSOtFLWDGHEHUtDVHULQWXLWLYDPHQWHFODUDQRGLVFXWLUHPRVHOWHPDGLFLHQGRVLHPSUH$TXtHVWiXQDVROXFLyQH[SOtFLWDLPSOtFLWD

FAMILIAS DE SOLUCIONES (OHVWXGLRGHHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHVHVVLPLODUDOGHOFiOFXORLQWHJUDO(QDOJXQRVOLEURVDXQDVROXFLyQHVHOHOODPDDYHFHVintegral de la ecuacin\DVXJUiFDVHOHOODPDcurva integral&XDQGRREWHQHPRVXQDDQWL-GHULYDGDRXQDLQWHJUDOLQGHQLGDHQFiOFXORXVDPRVXQDVRODFRQVWDQWHcGHLQWHJUD-FLyQ'HPRGRVLPLODUFXDQGRUHVROYHPRVXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDOGHSULPHURUGHQF(x, y, y) 0, normalmenteREWHQHPRVXQDVROXFLyQTXHFRQWLHQHXQDVRODFRQVWDQWHDUELWUDULDRSDUiPHWURc8QDVROXFLyQTXHFRQWLHQHXQDFRQVWDQWHDUELWUDULDUHSUHVHQWDXQFRQMXQWRG(x, y, c) GHVROXFLRQHVOODPDGRfamilia de soluciones uniparam-trica&XDQGRUHVROYHPRVXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDOGHRUGHQn, F(x, y, y, . . . , y(n)) 0, EXVFDPRVXQDfamilia de soluciones n-paramtrica G(x, y, c1, c2, . . . , cn) (VWRVLJQLFDTXHXQDVRODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOSXHGHWHQHUXQQ~PHURLQQLWRGHVROX-cionesTXHFRUUHVSRQGHQDXQQ~PHURLOLPLWDGRGHHOHFFLRQHVGHORVSDUiPHWURV8QDVROXFLyQGHXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDOTXHHVWi OLEUHGH ODHOHFFLyQGHSDUiPHWURVVHOODPDsolucin particular.

EJEMPLO 6 Soluciones particulares

a)/DIDPLOLDXQLSDUDPpWULFDy cx xFRVxHVXQDVROXFLyQH[SOtFLWDGHODHFXDFLyQOLQHDOGHSULPHURUGHQ

xy y x2VHQx HQHOLQWHUYDOR, FRPSUXHEH/DJXUDPXHVWUDODVJUiFDVGHDOJXQDVGHODVVROXFLRQHVHQHVWDIDPLOLDSDUDGLIHUHQWHVHOHFFLRQHVGHc/DVROXFLyQy x FRVxODFXUYDD]XOHQODJXUDHVXQDVROXFLyQSDUWLFXODUFRUUHVSRQGLHQWHDc 0.

b)/DIDPLOLDGHVROXFLRQHVGHGRVSDUiPHWURVy c1ex c2xexHVXQDVROXFLyQH[SOt-FLWDGHODHFXDFLyQOLQHDOGHVHJXQGRRUGHQ

y 2y y 0 GHOLQFLVREGHOHMHPSORFRPSUXHEH(QODJXUDKHPRVPRVWUDGRVLHWHGHODVGREOHPHQWHLQQLWDVVROXFLRQHVGHODIDPLOLD/DVFXUYDVVROXFLyQHQURMRYHUGH\D]XOVRQODVJUiFDVGHODVVROXFLRQHVSDUWLFXODUHVy 5[Hx (c1 0, c2 5), y 3xe

x (c1 3, c2 \y 5e

x 2xex (c1 5, c2 UHVSHFWLYDPHQWH

$OJXQDVYHFHVXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDO WLHQHXQD VROXFLyQTXHQRHVPLHPEURGHXQDIDPLOLD GH VROXFLRQHV GH OD HFXDFLyQ HV GHFLU XQD VROXFLyQ TXH QR VH SXHGH REWHQHUXVDQGRXQSDUiPHWURHVSHFtFRGHODIDPLOLDGHVROXFLRQHV(VDVROXFLyQH[WUDVHOODPD solucin singular3RUHMHPSORYHPRVTXHy 116 x4\y VRQVROXFLRQHVGHODHFXD-FLyQGLIHUHQFLDOdydx xy HQ , (Q OD VHFFLyQGHPRVWUDUHPRVDO UHVRO-YHUOD UHDOPHQWH TXH OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDOdydx xy WLHQH OD IDPLOLD GH VROXFLR-QHVXQLSDUDPpWULFD y (14 x2 c)2&XDQGRc ODVROXFLyQSDUWLFXODU UHVXOWDQWHHVy 116 x

43HURREVHUYHTXH OD VROXFLyQ WULYLDOy HVXQD VROXFLyQ VLQJXODU\DTXH QRHVXQPLHPEURGHODIDPLOLDy (14 x2 c)2SRUTXHQRKD\PDQHUDGHDVLJQDUOHXQYDORUDODFRQVWDQWHcSDUDREWHQHUy 0.

y

x

5

5

y

x

5

5

y

x

5

5

5

a) solucin implcita

x2 y2 25

b) solucin explcita

y1 25 x2, 5 x 5

c) solucin explcita

y2 25 x2, 5 x 5

FIGURA 1.1.2 8QDVROXFLyQLPSOtFLWD\GRVVROXFLRQHVH[SOtFLWDVGHHQHOHMHPSOR

FIGURA 1.1.3 $OJXQDVVROXFLRQHVGHOD('GHOLQFLVRDGHOHMHPSOR

y

x

c>0

c


(QWRGRVORVHMHPSORVDQWHULRUHVKHPRVXVDGRx\ySDUDGHQRWDUODVYDULDEOHVLQGHSHQGLHQWH\GHSHQGLHQWHUHVSHFWLYDPHQWH3HURGHEHUtDDFRVWXPEUDUVHDYHU\WUD-EDMDUFRQRWURVVtPERORVTXHGHQRWDQHVWDVYDULDEOHV3RUHMHPSORSRGUtDPRVGHQRWDUODYDULDEOHLQGHSHQGLHQWHSRUt\ODYDULDEOHGHSHQGLHQWHSRUx.

EJEMPLO 7 Usando diferentes smbolos

/DVIXQFLRQHVx c1 FRVt\x c2 VHQtGRQGHc1\c2VRQFRQVWDQWHVDUELWUDULDVRSDUiPHWURVVRQDPEDVVROXFLRQHVGHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOOLQHDO

x 16x 0.

3DUDx c1FRVtODVGRVSULPHUDVGHULYDGDVUHVSHFWRDtVRQx 4c1VHQt\x 16c1FRVt.6XVWLWX\HQGRHQWRQFHVDx\xVHREWLHQH

x 16x 16c1 cos 4t 16(c1 cos 4t) 0.

'HPDQHUDSDUHFLGDSDUDx c2VHQtWHQHPRVx 16c2VHQt\DVt

x 16x 16c2 sen 4t 16(c2 sen 4t) 0.

)LQDOPHQWHHVVHQFLOORFRPSUREDUGLUHFWDPHQWHTXHODFRPELQDFLyQOLQHDOGHVROXFLR-QHVRODIDPLOLDGHGRVSDUiPHWURVx c1FRVt c2VHQtHVWDPELpQXQDVROXFLyQGHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDO

(OVLJXLHQWHHMHPSORPXHVWUDTXHODVROXFLyQGHXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDOSXHGHVHUXQDIXQFLyQGHQLGDSRUSDUWHV

EJEMPLO 8 8QDVROXFLyQGHQLGDSRUSDUWHV

/DIDPLOLDXQLSDUDPpWULFDGHIXQFLRQHVPRQRPLDOHVFXiUWLFDVy cx4HVXQDVROXFLyQH[SOtFLWDGHODHFXDFLyQOLQHDOGHSULPHURUGHQ

xy 4y 0 HQHOLQWHUYDOR, &RPSUXHEH/DVFXUYDVVROXFLyQD]XO\URMDTXHVHPXHVWUDQHQODJXUDDVRQODVJUiFDVGHy = x4\y = x4\FRUUHVSRQGHQDODVHOHFFLRQHVGHc \c = UHVSHFWLYDPHQWH

/DIXQFLyQGHULYDEOHGHQLGDSRUWUDPRV

yx4, x 0x4, x 0

HVWDPELpQXQDVROXFLyQSDUWLFXODUGHODHFXDFLyQSHURQRVHSXHGHREWHQHUGHODIDPL-OLDy cx4SRUXQDVRODHOHFFLyQGHcODVROXFLyQVHFRQVWUX\HDSDUWLUGHODIDPLOLDHOLJLHQGRc SDUDx \c SDUDx 9HDODJXUDE

SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES +DVWDHVWHPRPHQWRKHPRVDQD-OL]DGR VyOR HFXDFLRQHV GLIHUHQFLDOHV TXH FRQWLHQHQ XQD IXQFLyQ LQFyJQLWD 3HUR FRQIUHFXHQFLDHQODWHRUtDDVtFRPRHQPXFKDVDSOLFDFLRQHVGHEHPRVWUDWDUFRQVLVWHPDVGHHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHV8Qsistema de ecuaciones diferenciales ordinariasWLHQHGRVRPiVHFXDFLRQHVTXHLPSOLFDQGHULYDGDVGHGRVRPiVIXQFLRQHVLQFyJQLWDVGHXQDVRODYDULDEOHLQGHSHQGLHQWH3RUHMHPSORVLx\yGHQRWDQDODVYDULDEOHVGHSHQGLHQWHV\t GHQRWDDODYDULDEOHLQGHSHQGLHQWHHQWRQFHVXQVLVWHPDGHGRVHFXDFLRQHVGLIHUHQ-FLDOHVGHSULPHURUGHQHVWiGDGRSRU

dy

dtg(t, x, y).

dx

dtf(t, x, y)

(9)

FIGURA 1.1.5 $OJXQDVVROXFLRQHVGHOD('GHOHMHPSOR

y

x

FIGURA 1.1.4 $OJXQDVVROXFLRQHVGHOD('GHOLQFLVREGHOHMHPSOR

a) dos soluciones explicitas

b) solucin definida en partes

c 1

c 1x

y

c 1,x 0d

c 1,x0

x

y

81

3.1 Modelos lineales3.2 Modelos no lineales3.3 Modelado con sistemas de ED de primer ordenREPASO DEL CAPTULO 3

En la seccin 1.3 vimos como se podra utilizar una ecuacin diferencial de primer orden como modelo matemtico en el estudio del crecimiento poblacional, el decaimiento radiactivo, el inters compuesto continuo, el enfriamiento de cuerpos PH]FODVODVUHDFFLRQHVTXtPLFDVHOGUHQDGRGHOXLGRGHXQWDQTXHODYHORFLGDGde un cuerpo que cae y la corriente en un circuito en serie. Utilizando los mtodos del captulo 2, ahora podemos resolver algunas de las ED lineales (seccin 3.1) y ED no lineales (seccin 3.2) que aparecen comnmente en las aplicaciones. El captulo concluye con el siguiente paso natural: En la seccin 3.3 examinamos cmo surgen sistemas de ED como modelos matemticos en sistemas fsicos acoplados (por ejemplo, una poblacin de depredadores como los zorros que interactan con una poblacin de presas como los conejos).

MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN3

82 l CAPTULO 3 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

MODELOS LINEALES

REPASO DE MATERIALl Ecuacin diferencial como modelo matemtico en la seccin 1.3.l Leer nuevamente solucin de una ecuacin diferencial lineal de primer orden, en la seccin 2.3.

INTRODUCCIN En esta seccin resolvemos algunos de los modelos lineales de primer orden que se presentaron en la seccin 1.3.

3.1

CRECIMIENTO Y DECAIMIENTO El problema con valores iniciales

,dxdt

kx, x(t0) x0 (1)donde k es una constante de proporcionalidad, sirve como modelo para diferentes fe-nmenos que tienen que ver con el crecimiento o el decaimiento. En la seccin 1.3 vimos que en las aplicaciones biolgicas la razn de crecimiento de ciertas pobla-ciones (bacterias, pequeos animales) en cortos periodos de tiempo es proporcional a la poblacin presente al tiempo t. Si se conoce la poblacin en algn tiempo inicial arbitrario t0, la solucin de la ecuacin (1) se puede utilizar para predecir la pobla-cin en el futuro, es decir, a tiempos t t0. La constante de proporcionalidad k en la ecuacin (1) se determina a partir de la solucin del problema con valores iniciales, usando una medida posterior de x al tiempo t1 t0. En fsica y qumica la ecuacin (1) se ve en la forma de una reaccin de primer orden, es decir, una reaccin cuya razn, o velocidad, dxdt es directamente proporcional a la cantidad x de sustancia que no se ha convertido o que queda al tiempo t. La descomposicin, o decaimiento, de U-238 (uranio) por radiactividad en Th-234 (torio) es una reaccin de primer orden.

EJEMPLO 1 Crecimiento de bacterias

Inicialmente un cultivo tiene un nmero P0 de bacterias. En t 1 h se determina que el nmero de bacterias es 32P0. Si la razn de crecimiento es proporcional al nmero de bacterias P(t) presentes en el tiempo t, determine el tiempo necesario para que se triplique el nmero de bacterias.

SOLUCIN Primero se resuelve la ecuacin diferencial (1), sustituyendo el smbolo x por P. Con t0 0 la condicin inicial es P(0) P0. Entonces se usa la observacin emprica de que P(1) 32P0 para determinar la constante de proporcionalidad k.

Observe que la ecuacin diferencial dPdt kP es separable y lineal. Cuando se pone en la forma estndar de una ED lineal de primer orden,

,

dPdt

kP 0

se ve por inspeccin que el factor integrante es ekt. Al multiplicar ambos lados de la ecuacin e integrar, se obtiene, respectivamente,

.ddt

[ekt ktP cP] 0 y e De este modo, P(t) cekt. En t 0 se tiene que P0 ce

0 c, por tanto P(t) P0ekt. En

t 1 se tiene que 32P0 P0ek, o ek 32. De la ltima ecuacin se obtiene k 1n 32

0.4055, por tanto P(t) P0e0.4055t. Para determinar el tiempo en que se ha triplicado el

nmero de bacterias, resolvemos 3P0 P0e0.4055t para t. Entonces 0.4055t 1n 3, o

.t ln 3

0.4055 2.71 h 9HDODJXUD

Observe en el ejemplo 1 que el nmero real P0 de bacterias presentes en el tiempo t 0 no tiene que ver con el clculo del tiempo que se requiri para que el nmero de

t

P

3P0

P0

t = 2.71

P(t) = P0e0.4055t

FIGURA 3.1.1 Tiempo en que se triplica la poblacin en el ejemplo 1.

3.1 MODELOS LINEALES l 83

bacterias en el cultivo se triplique. El tiempo necesario para que se triplique una pobla-cin inicial de, digamos, 100 o 1 000 000 de bacterias es de aproximadamente 2.71 horas.

&RPRVHPXHVWUDHQ ODJXUD OD IXQFLyQH[SRQHQFLDOekt aumenta conforme crece t para k 0 y disminuye conforme crece t para k 0. As los problemas que descri-ben el crecimiento (ya sea de poblaciones, bacterias o an de capital) se caracterizan por un valor positivo de k, en tanto que los problemas relacionados con el decaimiento (como en la desintegracin radiactiva) tienen un valor k negativo. De acuerdo con esto, decimos que k es una constante de crecimiento (k 0) o una constante de decaimiento (k 0).

VIDA MEDIA En fsica la vida media es una medida de la estabilidad de una sustancia radiactiva. La vida media es simplemente, el tiempo que tarda en desintegrarse o transmu-tarse en otro elemento la mitad de los tomos en una muestra inicial A0. Mientras mayor sea la vida media de una sustancia, ms estable es la sustancia. Por ejemplo, la vida media del radio altamente radiactivo Ra-226 es de aproximadamente 1 700 aos. En 1 700 aos la mitad de una cantidad dada de Ra-226 se transmuta en radn, Rn-222. El istopo ms comn del uranio, U-238, tiene una vida media de 4 500 000 000 aos. En aproximadamente 4.5 miles de millones de aos, la mitad de una cantidad de U-238 se transmuta en plomo 206.

EJEMPLO 2 Vida media del plutonio

Un reactor de cra convierte uranio 238 relativamente estable en el istopo plutonio 239. Despus de 15 aos, se ha determinado que el 0.043% de la cantidad inicial A0 de plutonio se ha desintegrado. Determine la vida media de ese istopo, si la razn de desintegracin es proporcional a la cantidad que queda.

SOLUCIN Sea A(t) la cantidad de plutonio que queda al tiempo t. Como en el ejem-plo 1, la solucin del problema con valores iniciales

dAdt

kA, A(0) A0

es A(t) A0ekt. Si se ha desintegrado 0.043% de los tomos de A0, queda

99.957%. Para encontrar la constante k, usamos 0.99957A0 A(15), es decir, 0.99957A0 A0e

15k. Despejando k se obtiene k 115 ln 0.99957 0.00002867. Por tanto A(t) A0e

t. Ahora la vida media es el valor del tiempo que le corresponde a A(t) 12 A0. Despejando t se obtiene

12 A0 A0e

t o 12 et. De la ltima ecuacin se obtiene

.tln 2

0.0000286724 180 aos

DATADO CON CARBONO Alrededor de 1950, el qumico Willard Libby invent un mtodo que utiliza carbono radiactivo para determinar las edades aproximadas de los fsiles. La teora del datado con carbono se basa en que el istopo carbono 14 se produce en la atmsfera por accin de la radiacin csmica sobre el nitrgeno. La razn de la cantidad de C-l4 con el carbono ordinario en la atmsfera parece ser constante y, en consecuencia, la cantidad proporcional del istopo presente en todos los organismos vivos es igual que la de la atmsfera. Cuando muere un organismo cesa la absorcin del C-l4 ya sea por respiracin o por alimentacin. As, al comparar la cantidad propor-cional de C-14 presente, por ejemplo, en un fsil con la razn constante que hay en la atmsfera, es posible obtener una estimacin razonable de la edad del fsil. El mtodo se basa en que se sabe la vida media del C-l4. Libby calcul el valor de la vida media de aproximadamente 5 600 aos, pero actualmente el valor aceptado comnmente para la vida media es aproximadamente 5 730 aos. Por este trabajo, Libby obtuvo el Premio Nobel de qumica en 1960. El mtodo de Libby se ha utilizado para fechar los muebles de madera en las tumbas egipcias, las envolturas de lino de los rollos del Mar Muerto y la tela del enigmtico sudario de Torino.

t

ekt, k > 0crecimiento

ekt, k < 0crecimiento

y

FIGURA 3.1.2 Crecimiento (k 0) y decaimiento (k 0).

FIGURA 3.1.3 Una pgina del evangelio gnstico de Judas.


EJEMPLO 3 Edad de un fsil

Se encuentra que un hueso fosilizado contiene 0.1% de su cantidad original de C-14. Determine la edad del fsil.

SOLUCIN El punto de partida es A(t) A0e kt. Para determinar el valor de la constante de

decaimiento k, partimos del hecho de que A0 A(5730) o A0 A0e5730k1212 . Esta ecua-

cin implica que 5730k ln 12 ln2 y obtenemos k (1n2)5730 0.00012097, por tanto A(t) A0e

0.00012097t. Con A(t) 0.001A0 tenemos que 0.001A0 A0e0.00012097t y

0.00012097t ln(0.001) ln 1000. As

tln 1000

0.0001209757 100 aos

La fecha determinada en el ejemplo 3 est en el lmite de exactitud del mtodo. Normalmente esta tcnica se limita a aproximadamente 10 vidas medias del istopo, que son aproximadamente 60,000 aos. Una razn para esta limitante es que el anlisis qu-mico necesario para una determinacin exacta del C-l4 que queda presenta obstculos formidables cuando se alcanza el punto de 0.001A0. Tambin, en este mtodo se necesita destruir una gran parte de la muestra. Si la medicin se realiza indirectamente, basndose en la radiactividad existente en la muestra, es muy difcil distinguir la radiacin que pro-cede del fsil de la radiacin de fondo normal.* Pero recientemente, con los aceleradores GHSDUWtFXODVORVFLHQWtFRVKDQSRGLGRVHSDUDUDO&OGHOHVWDEOH&&XDQGRVHFDO-cula la relacin exacta de C-l4 a C-12, la exactitud de este mtodo se puede ampliar de 70 000 a 100 000 aos. Hay otras tcnicas isotpicas, como la que usa potasio 40 y argn 40, adecuadas para establecer edades de varios millones de aos. A veces, tambin es posible aplicar mtodos que se basan en el empleo de aminocidos.

LEY DE NEWTON DEL ENFRIAMIENTO/CALENTAMIENTO En la ecuacin (3) de la seccin 1.3 vimos que la formulacin matemtica de la ley emprica de Newton del enfriamiento/calentamiento de un objeto, se expresa con la ecuacin dife-rencial lineal de primer orden

,dTdt

k(T Tm) (2)donde k es una constante de proporcionalidad, T(t) es la temperatura del objeto para t 0, y Tm es la temperatura ambiente, es decir, la temperatura del medio que rodea al objeto. En el ejemplo 4 suponemos que Tm es constante.

EJEMPLO 4 Enfriamiento de un pastel

Al sacar un pastel del horno, su temperatura es 300 F. Tres minutos despus su tempe-ratura es de 200 F. Cunto tiempo le tomar al pastel enfriarse hasta la temperatura ambiente de 70 F?

SOLUCIN (QODHFXDFLyQLGHQWLFDPRVTm 70. Debemos resolver el problema con valores iniciales

dTdt

k(T 70), T(0) 300 (3)y determinar el valor de k tal que T(3) 200.

La ecuacin (3) es tanto lineal como separable. Si separamos las variables

,dT

T 70 k dt

* El nmero de desintegraciones por minuto por gramo de carbono se registra usando un contador Geiger. El nivel mnimo de deteccin es de aproximadamente 0.1 desintegraciones por minuto por gramo.


se obtiene ln|T 70| kt c1, y as T 70 c2ekt. Cuando t 0, T 300, as

300 70 c2 da c2 230. Por tanto T 70 230 ekt. Por ltimo, la medicin de

T(3) 200 conduce a ln 1323 0.1901813e

3k 1323, o k . As

.T (t) 70 230e0.19018t (4)2EVHUYDPRV TXH OD HFXDFLyQ QR WLHQH XQD VROXFLyQ QLWD D T(t) 70 porque lm to T(t) 70. No obstante, en forma intuitiva esperamos que el pastel se enfre al transcurrir un intervalo razonablemente largo. Qu tan largo es largo? Por supuesto, no nos debe inquietar el hecho de que el modelo (3) no se apegue mucho a nuestra LQWXLFLyQItVLFD/RVLQFLVRVD\EGHODJXUDPXHVWUDQFODUDPHQWHTXHHOSDVWHOestar a temperatura ambiente en aproximadamente media hora.

La temperatura ambiente en la ecuacin (2) no necesariamente es una constante pero podra ser una funcin Tm(t) del tiempo t. Vea el problema 18 de los ejercicios 3.1.

MEZCLAS $OPH]FODUGRVXLGRVDYHFHVVXUJHQHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHVOLQHDOHVde primer orden. Cuando describimos la mezcla de dos salmueras en la seccin 1.3, supusimos que la razn con que cambia la cantidad de sal A(t) en el tanque de mezcla es una razn neta

.dAdt R

entra Rsale (5)

En el ejemplo 5 resolveremos la ecuacin (8) de la seccin 1.3.

EJEMPLO 5 Mezcla de dos soluciones de sal

Recordemos que el tanque grande de la seccin 1.3 contena inicialmente 300 galones de una solucin de salmuera. En el tanque entraba y sala sal porque se bombeaba XQDVROXFLyQDXQXMRGHJDOPLQVHPH]FODEDFRQODVROXFLyQRULJLQDO\VDOtDGHOWDQTXHFRQXQXMRGHJDOPLQ/DFRQFHQWUDFLyQGHODVROXFLyQHQWUDQWHHUDGHOEgal, por consiguiente, la entrada de sal era Rentra (2 lb/gal) (3 gal/min) 6 lb/min y sala del tanque con una razn Rsale (A300 lb/gal) (3 gal/min) Al00 lb/min. A partir de esos datos y de la ecuacin (5), obtuvimos la ecuacin (8) de la seccin 1.3. Permtanos preguntar: si haba 50 lb de sal disueltas en los 300 galones iniciales, cunta sal habr en el tanque despus de un periodo largo?

SOLUCIN Para encontrar la cantidad de sal A(t) en el tanque al tiempo t, resolve-mos el problema con valores iniciales

.dAdt

1

100A 6, A(0) 50

Aqu observamos que la condicin adjunta es la cantidad inicial de sal A(0) 50 en el tanque y no la cantidad inicial de lquido. Ahora, como el factor integrante de esta ecuacin diferencial lineal es et/100, podemos escribir la ecuacin como

.ddt

[et/100A] 6et/100

Integrando la ltima ecuacin y despejando A se obtiene la solucin general A(t) 600 cet/100. Conforme t 0, A 50, de modo que c 550. Entonces, la cantidad de sal en el tanque al tiempo t est dada por .A(t) 600 550et/100 (6)/DVROXFLyQVHXVySDUDFRQVWUXLUODWDEODGHODJXUDE(QODHFXDFLyQ\HQODJXUDDWDPELpQVHSXHGHYHUTXHA(t) 600 conforme t . Por supuesto, esto es lo que se esperara intuitivamente en este caso; cuando ha pasado un gran tiempo la cantidad de libras de sal en la solucin debe ser (300 ga1)(2 lb/gal) = 600 lb.

En el ejemplo 5 supusimos que la razn con que entra la solucin al tanque es la misma que la razn con la que sale. Sin embargo, el caso no necesita ser siempre el mismo; la

t

T

15 30

300

150 T = 70

a)

T(t) t (min)

75 20.174 21.373 22.872 24.971 28.670.5 32.3

b)

FIGURA 3.1.4 La temperatura de enfriamiento del pastel tdel ejemplo 4.

t

A A = 600

500

a)

t (min) A (lb)

50 266.41100 397.67150 477.27200 525.57300 572.62400 589.93

b)

FIGURA 3.1.5 Libras de sal en el tanque del ejemplo 5.


salmuera mezclada se puede sacar con una razn rsale que es mayor o menor que la razn rentra con la que entra la otra salmuera. El siguiente ejemplo presenta un caso cuando la mezcla se bombea a una razn menor que la razn con la que se bombea dentro del tanque.

EJEMPLO 6 Vuelta al ejemplo 5

Si la solucin bien mezclada del ejemplo 5 se bombea hacia afuera con una razn ms lenta, digamos rsale 2 gal/min, eentonces se acumular en el tanque con la razn rentra rsale (3 2) gal/min 1 gal/min. Despus de t minutos

(1 gal/min) (t min) t gal se acumularn, por lo que en el tanque habr 300 t galones de salmuera. La concen-WUDFLyQGHOXMRGHVDOLGDHVHQWRQFHVc(t) A(300 t) y la razn con que sale la sal es Rsale c(t) rsale, o

.R A300 t lb/gal (2 gal/min)

2A300 t

lb/minsale Por tanto, la ecuacin (5) se convierte en

.

dAdt

6 2A

300 t o

dAdt

2

300 tA 6

El factor integrante para la ltima ecuacin es

e 2dt>(300 t) e2 ln(300 t) eln(300 t)2 (300 t)2

Y as despus de multiplicar por el factor, la ecuacin se reescribe en la forma ddt [(300 t)2 A] 6(300 t)2.

Al integrar la ltima ecuacin se obtiene (300 + t)2A 2(300 t)3 c. Si aplicamos la condicin inicial A(0) 50, y despejamos A se obtiene la solucin A(t) 600 2t (4.95 107)(300 t)2&RPRHUDGHHVSHUDUHQODJXUDVHPXHVWUDTXHcon el tiempo se acumula la sal en el tanque, es decir, A conforme t .

CIRCUITOS EN SERIE Para un circuito en serie que slo contiene un resistor y un inductor, la segunda ley de Kirchhoff establece que la suma de la cada de voltaje a travs del inductor (L(didt)) ms la cada de voltaje a travs del resistor (iR) es igual al voltaje aplicado (E(tDOFLUFXLWR9HDODJXUD

Por lo tanto, obtenemos la ecuacin diferencial lineal que para la corriente i(t),

,Ldidt

Ri E(t) (7)donde L y R son constantes conocidas como la inductancia y la resistencia, respectiva-mente. La corriente i(t) se llama, tambin respuesta del sistema.

La cada de voltaje a travs de un capacitor de capacitancia C es q(t)C, donde q HVODFDUJDGHOFDSDFLWRU3RUWDQWRSDUDHOFLUFXLWRHQVHULHTXHVHPXHVWUDHQODJXUD3.1.8, la segunda ley de Kirchhoff da

.Ri 1C

q E(t) (8)Pero la corriente i y la carga q estn relacionadas por i dqdt, as, la ecuacin (8) se convierte en la ecuacin diferencial lineal

.R dqdt

1C

q E(t) (9)

EJEMPLO 7 Circuito en serie

Una batera de 12 volts se conecta a un circuito en serie en el que el inductor es de 12 henry y la resistencia es de 10 ohms. Determine la corriente i, si la corriente inicial es cero.

FIGURA 3.1.7 Circuito en serie LR.

EL

R

R

C

E

FIGURA 3.1.8 Circuito en serie RC.

t

A

50

250

500

100

FIGURA 3.1.6 *UiFDGHA(t) del ejemplo 6.


SOLUCIN De la ecuacin (7) debemos resolver

,12

didt

10 i 12

sujeta a i(0) 0. Primero multiplicamos la ecuacin diferencial por 2, y vemos que el factor integrante es e20t. Entonces sustituyendo

.

ddt

[e20ti] 24e20t

Integrando cada lado de la ltima ecuacin y despejando i se obtiene i(t) ce20t.65 Ahora i(0) 0 implica que 0 c 65

65 o c . . Por tanto la respuesta es

i(t) e20t.6565

De la ecuacin (4) de la seccin 2.3, podemos escribir una solucin general de (7):

.i(t) e(R/L)t

L

e(R/L)tE(t) dt ce(R/L)t (10)

En particular, cuando E(t) E0 es una constante, la ecuacin (l0) se convierte en

.i(t) E0R ce(R/L)t (11)

Observamos que conforme t , el segundo trmino de la ecuacin (11) tiende a cero. A ese trmino usualmente se le llama trmino transitorio; los dems trminos se llaman parte de estado estable de la solucin. En este caso, E0R tambin se llama corriente de estado estable; para valores grandes de tiempo resulta que la corriente est determinada tan slo por la ley de Ohm (E iR).

COMENTARIOS

La solucin P(t) P0e0.4055t del problema con valores iniciales del ejemplo 1

describe la poblacin de una colonia de bacterias a cualquier tiempo t 0. Por supuesto, P(t) es una funcin continua que toma todos los nmeros reales del intervalo P0 P . Pero como estamos hablando de una poblacin, el sentido comn indica que P puede tomar slo valores positivos. Adems, no esperaramos que la poblacin crezca continuamente, es decir, cada segundo, cada microsegundo, etc., como lo predice nuestra solucin; puede haber inter-valos de tiempo [t1, t2], en los que no haya crecimiento alguno. Quiz, entonces, ODJUiFDTXHVHPXHVWUDHQODJXUDDVHDXQDGHVFULSFLyQPiVUHDOGHPTXHODJUiFDGHXQDIXQFLyQH[SRQHQFLDO&RQIUHFXHQFLDXVDUXQDIXQFLyQcontinua para describir un fenmeno discreto es ms conveniente que exacto. 6LQ HPEDUJR SDUD FLHUWRVQHV QRV SRGHPRV VHQWLU VDWLVIHFKRV VL HOPRGHORdescribe con gran exactitud el sistema, considerado macroscpicamente en el WLHPSRFRPRVHPXHVWUDHQODVJXUDVE\FPiVTXHPLFURVFySL-FDPHQWHFRPRVHPXHVWUDHQODJXUDD

FIGURA 3.1.9 El crecimiento poblacional es un proceso discreto.

t1t1 t2

P

P0

t1

P

P0

a)

b)

c)

t1

P

P0


EJERCICIOS 3.1 Las respuestas a los problemas seleccionados con nmero impar comienzan en la pgina RES-3.

Crecimiento y decrecimiento

1. Se sabe que la poblacin de una comunidad crece con una razn proporcional al nmero de personas presentes en el tiempo t. Si la poblacin inicial P0 se duplic en 5 aos, En cunto tiempo se triplicar y cuadruplicar?

2. Suponga que se sabe que la poblacin de la comunidad del problema 1 es de 10 000 despus de tres aos. Cul era la poblacin inicial P0? Cul ser la poblacin en 10 aos? Qu tan rpido est creciendo la poblacin en t 10?

3. La poblacin de un pueblo crece con una razn propor-cional a la poblacin en el tiempo t. La poblacin inicial de 500 aumenta 15% en 10 aos. Cul ser la poblacin pasados 30 aos? Qu tan rpido est creciendo la po-blacin en t 30?

4. La poblacin de bacterias en un cultivo crece a una razn proporcional a la cantidad de bacterias presentes al tiempo t. Despus de tres horas se observa que hay 400 bacterias presentes. Despus de 10 horas hay 2 000 bacte-rias presentes. Cul era la cantidad inicial de bacterias?

5. El istopo radiactivo del plomo Pb-209, decae con una razn proporcional a la cantidad presente al tiempo t y tiene un vida media de 3.3 horas. Si al principio haba 1 gramo de plomo, cunto tiempo debe transcurrir para que decaiga 90%?

6. Inicialmente haba 100 miligramos de una sustancia ra-diactiva. Despus de 6 horas la masa disminuy 3%. Si la razn de decaimiento, en cualquier momento, es propor-cional a la cantidad de la sustancia presente al tiempo t, determine la cantidad que queda despus de 24 horas.

7. Calcule la vida media de la sustancia radiactiva del pro-blema 6.

8. a) El problema con valores iniciales dAdt kA, A(0) A0 es el modelo de decaimiento de una sustancia radiactiva. Demuestre que, en general, la vida media T de la sustancia es T (ln 2)k.

b) Demuestre que la solucin del problema con valores iniciales del inciso a) se puede escribir como A(t) A02

t/T.c) Si una sustancia radiactiva tiene la vida media T dada

en el inciso a), cunto tiempo le tomar a una canti-dad inicial A0 de sustancia decaer a

18 A0?

9. Cuando pasa un rayo vertical de luz por un medio trans-parente, la razn con que decrece su intensidad I es pro-porcional a I(t), donde t representa el espesor, en pies, del medio. En agua limpia de mar, la intensidad a 3 pies de-EDMR GH OD VXSHUFLH HV GH OD LQWHQVLGDG LQLFLDO I0 del rayo incidente. Cul es la intensidad del rayo a 15 SLHVGHEDMRGHODVXSHUFLH"

10. Cuando el inters es compuesto continuamente, la can-tidad de dinero aumenta con una razn proporcional a

la cantidad presente S al tiempo t, es decir, dSdt rS, donde r es la razn de inters anual.a) &DOFXOHODFDQWLGDGUHXQLGDDOQDOGHDxRVFXDQGR

se depositan $5 000 en una cuenta de ahorro que rinde el 5.75% de inters anual compuesto continuamente.

b) En cuntos aos se habr duplicado el capital inicial?c) Utilice una calculadora para comparar la cantidad ob-

tenida en el inciso a) con la cantidad S 5 000(1 14(0.0575))

5(4) que se rene cuando el inters se com-pone trimestralmente.

Datado con carbono

11. Los arquelogos utilizan piezas de madera quemada o carbn vegetal, encontradas en el lugar para datar pintu-ras prehistricas de paredes y techos de una caverna en /DVFDX[)UDQFLD9HDODJXUD8WLOLFHODLQIRUPD-cin de la pgina 84 para precisar la edad aproximada de una pieza de madera quemada, si se determin que 85.5% de su C-l4 encontrado en los rboles vivos del mismo tipo se haba desintegrado.

FIGURA 3.1.10 Pintura en una caverna del problema 11.

P

rehi

stor

ic/T

he B

ridge

man

Art

Libr

ary/

Get

ty Im

ages

12. El sudario de Turn muestra el negativo de la imagen del FXHUSRGHXQKRPEUHTXHSDUHFHTXHIXHFUXFLFDGRPX-chas personas creen que es el sudario del entierro de Jess GH1D]DUHW9HDODJXUD(QHO9DWLFDQRFRQ-cedi permiso para datar con carbono el sudario. Tres la-ERUDWRULRVFLHQWtFRVLQGHSHQGLHQWHVDQDOL]DURQHOSDxR\concluyeron que el sudario tena una antigedad de 660 aos,* una antigedad consistente con su aparicin hist-

FIGURA 3.1.11 Imagen del sudario del problema 12.

B

ettm

ann/

Cor

bis

* Algunos eruditos no estn de acuerdo con este hallazgo. Para ms informacin de este fascinante misterio vea la pgina del Sudario de Turn en la pgina http://www.shroud.com


rica. Usando esta antigedad determine qu porcentaje de la cantidad original de C-14 quedaba en el pao en 1988.

Ley de Newton enfriamiento/calentamiento

13. Un termmetro se cambia de una habitacin cuya tempera-tura es de 70 F al exterior, donde la temperatura del aire es de 10 F. Despus de medio minuto el termmetro indica 50 F. Cul es la lectura del termmetro en t 1 min? Cunto tiempo le tomar al termmetro alcanzar los 15 F?

14. Un termmetro se lleva de una habitacin hasta el am-biente exterior, donde la temperatura del aire es 5 F. Despus de 1 minuto, el termmetro indica 55 F y des-pus de 5 minutos indica 30 F. Cul era la temperatura inicial de la habitacin?

15. Una pequea barra de metal, cuya temperatura inicial era de 20 C, se deja caer en un gran tanque de agua hir-viendo. Cunto tiempo tardar la barra en alcanzar los 90 C si se sabe que su temperatura aument 2 en 1 se-gundo? Cunto tiempo tardar en alcanzar los 98 C?

16. Dos grandes tanques A y B del mismo tamao se llenan con XLGRVGLIHUHQWHV/RVXLGRVHQORVWDQTXHVA y B se man-tienen a 0 C y a 100 C, respectivamente. Una pequea barra de metal, cuya temperatura inicial es 100 C, se su-merge dentro del tanque A. Despus de 1 minuto la tem-peratura de la barra es de 90 C. Despus de 2 minutos se VDFDODEDUUDHLQPHGLDWDPHQWHVHWUDQVHUHDORWURWDQTXHDespus de 1 minuto en el tanque B la temperatura se eleva 10 C. Cunto tiempo, medido desde el comienzo de todo el proceso, le tomar a la barra alcanzar los 99.9 C?

17. Un termmetro que indica 70 F se coloca en un horno pre-calentado a una temperatura constante. A travs de una ven-tana de vidrio en la puerta del horno, un observador registra que el termmetro lee 110 F despus de 12 minuto y 145 F despus de 1 minuto. Cul es la temperatura del horno?

18. Al tiempo t 0 un tubo de ensayo sellado que contiene una sustancia qumica est inmerso en un bao lquido. La temperatura inicial de la sustancia qumica en el tubo de ensayo es de 80 F. El bao lquido tiene una temperatura controlada (medida en grados Fahrenheit) dada por Tm(t) 100 40e0.1t, t 0, donde t se mide en minutos.a) Suponga que k 0.1 en la ecuacin (2). Antes de

resolver el PVI, describa con palabras cmo espera que sea la temperatura T(t) de la sustancia qumica a corto plazo, y tambin a largo plazo.

b) Resuelva el problema con valores iniciales. Use un SURJUDPDGHJUDFDFLyQSDUDWUD]DUODJUiFDGHT(t) HQGLIHUHQWHVLQWHUYDORVGHWLHPSR/DVJUiFDVFRQ-cuerdan con sus predicciones del inciso a)?

19. Un cadver se encontr dentro de un cuarto cerrado en una casa donde la temperatura era constante a 70 F. Al tiempo del descubrimiento la temperatura del corazn del cadver se determin de 85 F. Una hora despus una segunda me-

dicin mostr que la temperatura del corazn era de 80 F. Suponga que el tiempo de la muerte corresponde a t 0 y que la temperatura del corazn en ese momento era de 98.6 F. Determine cuntas horas pasaron antes de que se encontrara el cadver. [Sugerencia: Sea que t1 0 de-note el tiempo en que se encontr el cadver.]

20. La razn con la que un cuerpo se enfra tambin depende GHVXiUHDVXSHUFLDOH[SXHVWDS. Si S es una constante, HQWRQFHVXQDPRGLFDFLyQGHODHFXDFLyQHV

dTdt

kS(T Tm),

donde k 0 y Tm es una constante. Suponga que dos tazas A y B estn llenas de caf al mismo tiempo. Inicialmente ODWHPSHUDWXUDGHOFDIpHVGH)(OiUHDVXSHUFLDOGHOcaf en la taza BHVGHOGREOHGHOiUHDVXSHUFLDOGHOFDIpen la taza A. Despus de 30 min la temperatura del caf en la taza A es de 100 F. Si Tm 70 F, entonces cul es la temperatura del caf de la taza B despus de 30 min?

Mezclas

21. Un tanque contiene 200 litros de un lquido en el que se han disuelto 30 g de sal. Salmuera que tiene 1 g de sal por litro entra al tanque con una razn de 4 L/min; la so-lucin bien mezclada sale del tanque con la misma razn. Encuentre la cantidad A(t) de gramos de sal que hay en el tanque al tiempo t.

22. Resuelva el problema 21 suponiendo que al tanque entra agua pura.

23. Un gran tanque de 500 galones est lleno de agua pura. Le entra salmuera que tiene 2 lb de sal por galn a razn de 5 gal/min. La solucin bien mezclada sale del tanque con la misma razn. Determine la cantidad A(t) de libras de sal que hay en el tanque al tiempo t.

24. En el problema 23, cul es la concentracin c(t) de sal en el tanque al tiempo t? Y al tiempo t 5 min? Cul es la con-centracin en el tanque despus de un largo tiempo, es decir, conforme t ? Para qu tiempo la concentracin de sal en el tanque es igual a la mitad de este valor lmite?

25. Resuelva el problema 23 suponiendo que la solucin sale con una razn de 10 gal/min. Cundo se vaca el tanque?

26. Determine la cantidad de sal en el tanque al tiempo t en el ejemplo 5 si la concentracin de sal que entra es variable y est dada por centra(t) 2 sen(t4) lb/gal. Sin trazar la JUiFDLQHUDDTXpFXUYDVROXFLyQGHO39,VHSDUHFHUtD'HVSXpVXWLOLFHXQSURJUDPDGHJUDFDFLyQSDUDWUD]DUODJUiFDGHODVROXFLyQHQHOLQWHUYDOR>@5HSLWDSDUDHOLQWHUYDOR>@\FRPSDUHVXJUiFDFRQODTXHVHPXHVWUDHQODJXUDD

27. Un gran tanque est parcialmente lleno con 100 galones de XLGRHQORVTXHVHGLVROYLHURQOLEUDVGHVDO/DVDOmuera


tiene 12 de sal por galn que entra al tanque a razn de 6 gal/min. La solucin bien mezclada sale del tanque a razn de 4 gal/min. Determine la cantidad de libras de sal que hay en el tanque despus de 30 minutos.

28. En el ejemplo 5, no se dio el tamao del tanque que tiene la solucin salina. Suponga, como en el anlisis siguiente al ejemplo 5, que la razn con que entra la solucin al tan-que es de 3 gal/min pero que la solucin bien mezclada sale del tanque a razn de 2 gal/min. Esta es la razn por la cual dado que la salmuera se est acumulando en el tanque a razn de 1 gal/min, cualquier tanque de tamao QLWRWHUPLQDUiGHUUDPiQGRVH$KRUDVXSRQJDTXHHOWDQ-que est destapado y tiene una capacidad de 400 galones.a) Cundo se derramar el tanque?b) Cuntas libras de sal habr en el tanque cuando co-

mience a derramarse?c) Suponga que el tanque se derrama, que la salmuera

contina entrando a razn de 3 gal/min, que la solu-cin est bien mezclada y que la solucin sigue sa-liendo a razn de 2 gal/min. Determine un mtodo para encontrar la cantidad de libras de sal que hay en el tanque al tiempo t 150 min.

d) Calcule la cantidad de libras de sal en el tanque con-forme t . Su respuesta coincide con su intuicin?

e) 8WLOLFHXQSURJUDPDGHJUDFDFLyQSDUDWUD]DUODJUi-FDGHA(t) en el intervalo [0, 500).

Circuitos en serie

29. Se aplica una fuerza electromotriz de 30 volts a un cir-cuito en serie LR con 0.1 henrys de inductancia y 50 ohms de resistencia. Determine la corriente i(t), si i(0) 0. Determine la corriente conforme t .

30. Resuelva la ecuacin (7) suponiendo que E(t) E0 sen Zt y que i(0) i0.

31. Se aplica una fuerza electromotriz de 100 volts a un cir-cuito en serie RC, en el que la resistencia es de 200 ohms y la capacitancia es de l04 farads. Determine la carga q(t) del capacitor, si q(0) 0. Encuentre la corriente i(t).

32. Se aplica una fuerza electromotriz de 200 volts a un cir-cuito en serie RC, en el que la resistencia es de 1000 ohms y la capacitancia es de 5 106 farads. Determine la carga q(t) en el capacitor, si i(0) 0.4 amperes. Determine la carga y la corriente en t 0.005 s. Encuentre la carga conforme t .

33. Se aplica una fuerza electromotriz

E(t) 120,0, 0 t 20 t 20

a un circuito en serie LR en el que la inductancia es de 20 henrys y la resistencia es de 2 ohms. Determine la co-rriente i(t), si i(0) 0.

34. Suponga que un circuito en serie RC tiene un resistor va-riable. Si la resistencia al tiempo t est dada por R k1 k2t, donde k1 y k2 son constantes positivas, entonces la ecuacin (9) se convierte en

.(k1 k2t) dqdt

1C

q E(t)

Si E(t) E0 y q(0) q0, donde E0 y q0 son constantes, muestre que

.q(t) E0C (q0 E0C ) k1k1 k2t1/Ck2

Modelos lineales adicionales

35. Resistencia del aire En la ecuacin (14) de la seccin 1.3 vimos que una ecuacin diferencial que describe la velocidad v de una masa que cae sujeta a una resistencia del aire proporcional a la velocidad instantnea es

,m dvdt

mg kv

donde k 0 es una constante de proporcionalidad. La direccin positiva se toma hacia abajo.

a) Resuelva la ecuacin sujeta a la condicin inicial v(0) v0.

b) Utilice la solucin del inciso a) para determinar la velocidad lmite o terminal de la masa. Vimos cmo determinar la velocidad terminal sin resolver la ED del problema 40 en los ejercicios 2.1.

c) Si la distancia s, medida desde el punto en el que se suelta la masa se relaciona con la velocidad v por dsdt v(t), determine una expresin explcita para s(t), si s(0) 0.

36. Qu tan alto? (Sin resistencia del aire) Suponga que una pequea bala de can que pesa 16 libras se dispara YHUWLFDOPHQWHKDFLD DUULED FRPRVHPXHVWUD HQ ODJXUD3.1.12, con una velocidad inicial de v0 300 pies/s. La res-puesta a la pregunta Qu tanto sube la bala de can?, depende de si se considera la resistencia del aire.

a) Suponga que se desprecia la resistencia del aire. Si la direccin es positiva hacia arriba, entonces un modelo para la bala del can est dado por d 2sdt 2 g (ecuacin (12) de la seccin 1.3). Puesto que dsdt v(t) la ltima ecuacin diferencial es la

FIGURA 3.1.12 Determinacin de la altura mxima de la bala de can del problema 36.

nivel del suelo

mg


misma que la ecuacin dvdt g, donde se toma g 32 pies/s2. Encuentre la velocidad v(t) de la bala de can al tiempo t.

b) Utilice el resultado que se obtuvo en el inciso a) para determinar la altura s(t) de la bala de can medida desde el nivel del suelo. Determine la altura mxima que alcanza la bala.

37. Qu tan alto? (Resistencia lineal del aire) Repita el problema 36, pero esta vez suponga que la resistencia del aire es proporcional a la velocidad instantnea. Esta es la razn por la que la altura mxima que alcanza la bala del can debe ser menor que la del inciso b) del pro-blema 36. Demuestre esto suponiendo que la constante de proporcionalidad es k 0.0025. [Sugerencia:0RGLTXHligeramente la ED del problema 35.]

38. Paracaidismo Una paracaidista pesa 125 libras y su paracadas y equipo juntos pesan otras 35 libras. Despus de saltar del avin desde una altura de 15 000 pies, la paracaidista espera 15 segundos y abre su paracadas. Suponga que la constante de proporcionalidad del mo-delo del problema 35 tiene el valor k 0.5 durante la cada libre y k 10 despus de que se abri el paraca-das. Suponga que su velocidad inicial al saltar del avin es igual a cero. Cul es la velocidad de la paracaidista y qu distancia ha recorrido despus de 20 segundos de TXHVDOWyGHODYLyQ"9HDODJXUD&yPRVHFRP-para la velocidad de la paracaidista a los 20 segundos con su velocidad terminal? Cunto tarda en llegar al suelo? [Sugerencia: Piense en funcin de dos diferentes PVI.]

a) Determine v(t) si la gota de lluvia cae a partir del re-poso.

b) Vuelva a leer el problema 36 de los ejercicios 1.3 y demuestre que el radio de la gota de lluvia en el tiempo t es r(t) (kU)t r0.

c) Si r0 0.01 pies y r 0.007 pies, 10 segundos des-pus de que la gota cae desde una nube, determine el tiempo en el que la gota de lluvia se ha evaporado por completo.

40. 3REODFLyQXFWXDQWH La ecuacin diferencial dPdt (k cos t)P, donde k es una constante positiva, es un modelo matemtico para una poblacin P(tTXHH[SHULPHQWDXF-tuaciones anuales. Resuelva la ecuacin sujeta a P(0) P0. 8WLOLFHXQSURJUDPDGHJUDFDFLyQSDUDWUD]DUODJUiFDGHla solucin para diferentes elecciones de P0.

41. Modelo poblacional En un modelo del cambio de po-blacin de P(t) de una comunidad, se supone que

,

dPdt

dBdt

dDdt

donde dBdt y dDdt son las tasas de natalidad y mortan-dad, respectivamente.

a) Determine P(t) si dBdt k1P y dDdt k2P. b) Analice los casos k1 k2, k1 k2 y k1 k2.

42. Modelo de cosecha constante Un modelo que describe la poblacin de una pesquera en la que se cosecha con una razn constante est dada por

dPdt

kP h,

donde k y h son constantes positivas. a) Resuelva la ED sujeta a P(0) P0. b) Describa el comportamiento de la poblacin P(t)

conforme pasa el tiempo en los tres casos P0 hk, P0 hk y 0 P0 hk.

c) Utilice los resultados del inciso b) para determinar si la poblacin de peces desaparecer en un tiempo QLWRHVGHFLUVLH[LVWHXQWLHPSRT 0 tal que P(T) 0. Si la poblacin desaparecer, entonces deter-mine en qu tiempo T.

43. Propagacin de una medicina Un modelo matemtico para la razn con la que se propaga una medicina en el torrente sanguneo est dado por

dxdt

r kx,

donde r y k son constantes positivas. Sea x(t) la funcin que describe la concentracin de la medicina en el to-rrente sanguneo al tiempo t.

a) Ya que la ED es autnoma, utilice el concepto de esquema de fase de la seccin 2.1 para determinar el valor de x(t) conforme t .

FIGURA 3.1.13 Clculo del tiempo que tarda en llegar al suelo del problema 38.

cada libre

el paracadas se abre

la resistencia del aire es 0.5v

la resistencia del aire es 10 v

t = 20 s

39. Evaporacin de una gota de lluvia Cuando cae una gota de lluvia, sta se evapora mientras conserva su forma esf-rica. Si se hacen suposiciones adicionales de que la rapidez a la que se evapora la gota de lluvia es proporcional a su rea VXSHUFLDO\TXHVHGHVSUHFLDODUHVLVWHQFLDGHODLUHHQWRQ-ces un modelo para la velocidad v(t) de la gota de lluvia es

.

dvdt

3(k/)

(k/)t r0 v g

Aqu U es la densidad del agua, r0 es el radio de la gota de lluvia en t 0, k 0 es la constante de proporcionalidad y la direccin hacia abajo se considera positiva.


b) Resuelva la ED sujeta a x(0) 'LEXMHODJUiFDde x(t) y compruebe su prediccin del inciso a). En cunto tiempo la concentracin es la mitad del valor lmite?

44. Memorizacin Cuando se considera la falta de memo-ria, la razn de memorizacin de un tema est dada por

,

dAdt

k1(M A) k2A

donde k1 0, k2 0, A(t) es la cantidad memorizada al tiempo t, M es la cantidad total a memorizarse y M A es la cantidad que falta por memorizar.a) Puesto que la ED es autnoma, utilice el concepto de es-

quema de fase de la seccin 2.1 para determinar el valor lmite de A(t) conforme t ,QWHUSUHWHHOUHVXOWDGR

b) Resuelva la ED sujeta a A(0) 'LEXMHODJUiFDGHA(t) y compruebe su prediccin del inciso a).

45. Marcapasos de corazn (QODJXUDVHPXHVWUDun marcapasos de corazn, que consiste en un interruptor, una batera, un capacitor y el corazn como un resistor. Cuando el interruptor S est en P, el capacitor se carga; cuando S est en Q el capacitor se descarga, enviando estmulos elctricos al corazn. En el problema 53 de los ejercicios 2.3 vimos que durante este tiempo en que se estn aplicado estmulos elctricos al corazn, el voltaje E a travs del corazn satisface la ED lineal

.

dEdt

1

RC E

a) Suponga que en el intervalo de tiempo de duracin t1, 0 t t1, el interruptor S est en la posicin P como VHPXHVWUD HQ ODJXUD\HO FDSDFLWRU VH HVWicargando. Cuando el interruptor se mueve a la posi-cin Q al tiempo t1 el capacitor se descarga, enviando un impulso al corazn durante el intervalo de tiempo de duracin t2: t1 t t1 t2. Por lo que el intervalo inicial de carga descarga 0 t t1 t2 el voltaje en el corazn se modela realmente por la ecuacin dife-UHQFLDOGHQLGDHQSDUWHV

.

dEdt

0, 1RC

E,

0 t t1

t1 t t1 t2

Al moverse S entre P y Q, los intervalos de carga y descarga de duraciones t1 y t2 VH UHSLWHQ LQGHQLGD-mente. Suponga que t1 4 s, t2 2 s, E0 12 V, E(0) 0, E(4) 12, E(6) 0, E(10) 12, E(12) 0, etc. Determine E(t) para 0 t 24.

b) Suponga para ilustrar que R C 1. Utilice un pro-JUDPDGHJUDFDFLyQSDUDWUD]DUODJUiFDGHODVROX-cin del PVI del inciso a) para 0 t 24.

46. Caj a deslizndose a) Una caja de masa m se desliza hacia abajo por un plano inclinado que forma un n-gulo TFRQODKRUL]RQWDOFRPRVHPXHVWUDHQODJXUD3.1.15. Determine una ecuacin diferencial para la velocidad v(t) de la caja al tiempo t para cada uno de los casos siguientes:

i) No hay friccin cintica y no hay resisten-cia del aire.

ii) Hay friccin cintica y no hay resistencia del aire.

iii) Hay friccin cintica y hay resistencia del aire.

En los casos ii) y iii) utilice el hecho de que la fuerza de friccin que se opone al movimiento es PN, donde PHVHOFRHFLHQWHGHIULFFLyQFLQpWLFD\N es la com-ponente normal del peso de la caja. En el caso iii) suponga que la resistencia del aire es proporcional a la velocidad instantnea.

b) En el inciso a), suponga que la caja pesa 96 libras, que el ngulo de inclinacin del plano es T 30, que el FRHFLHQWHGHIULFFLyQFLQpWLFDHV

13 4, y que la fuerza de retardo debida a la resistencia del aire es numricamente igual a 14v. Resuelva la ecuacin dife-rencial para cada uno de los tres casos, suponiendo que la caja inicia desde el reposo desde el punto ms alto a 50 pies por encima del suelo.

corazn

C

QP S

interruptor

E0

R

FIGURA 3.1.14 Modelo de un marcapasos del problema 45.

FIGURA 3.1.15 Caja deslizndose hacia abajo del plano inclinado del problema 46.

50 piesmovimiento

friccin

W = mg

47. Continuacin de caja deslizndose a) En el problema 46 sea s(t) la distancia medida hacia abajo del plano

inclinado desde el punto ms alto. Utilice dsdt v(t) y la solucin de cada uno de los tres casos del inciso b) del problema 46 para determinar el tiempo que le toma a la caja deslizarse completamente hacia abajo del plano inclinado. Aqu puede ser til un pro-grama para determinar races con un SAC.

3.2 MODELOS NO LINEALES l 93

b) En el caso en que hay friccin (P 0) pero no hay re-sistencia del aire, explique por qu la caja no se des-liza hacia abajo comenzando desde el reposo desde el punto ms alto arriba del suelo cuando el ngulo de inclinacin satisface a tan T P.

c) La caja se deslizar hacia abajo del plano con-forme tan T P si a sta se le proporciona una velocidad inicial v(0) v0 0. Suponga que

13 4 y 23. Compruebe que tan P. Qu distancia se deslizar hacia abajo del plano si v0 1 pie/s?

d) Utilice los valores 13 4 y T 23 para aproximar la menor velocidad inicial v0 que puede tener la caja, para que a partir del reposo a 50 pies arriba del suelo, se deslice por todo el plano incli-

nado. Despus encuentre el tiempo que tarda en des-lizarse el plano.

48. Todo lo que sube . . . a) Es bien conocido que el mo-delo que desprecia la resistencia del aire, inciso a) del problema 36, predice que el tiempo ta que tarda la bala de can en alcanzar su altura mxima es el mismo tiempo td que tarda la bala de can en llegar al suelo. Adems la magnitud de la velocidad de impacto vi es igual a la velocidad inicial v0 de la bala de can. Compruebe ambos resultados.

b) Despus, utilizando el modelo del problema 37 que considera la resistencia del aire, compare el valor de ta con td y el valor de la magnitud de vi con v0. Aqu puede ser til un programa para determinar races FRQXQ6$&RXQDFDOFXODGRUDJUDFDGRUD

MODELOS NO LINEALES

REPASO DE MATERIALl Ecuaciones (5), (6) y (10) de la seccin 1.3 y problemas 7, 8, 13, 14 y 17 de los ejercicios 1.3.l Separacin de variables de la seccin 2.2.

INTRODUCCIN Terminamos nuestro estudio de ecuaciones diferenciales de primer orden sim-ples con el anlisis de algunos modelos no lineales.

3.2

DINMICA POBLACIONAL Si P(t) es el tamao de una poblacin al tiempo t, el modelo del crecimiento exponencial comienza suponiendo que dPdt kP para cierta k 0. En este modelo, la WDVDHVSHFtFDo relativa de crecimiento,GHQLGDSRU

dP>dt

P (1)

es una constante k. Es difcil encontrar casos reales de un crecimiento exponencial durante largos periodos, porque en cierto momento los recursos limitados del ambiente ejercern restricciones sobre el crecimiento de la poblacin. Por lo que para otros modelos, se puede esperar que la razn (1) decrezca conforme la poblacin P aumenta de tamao.

La hiptesis de que la tasa con que crece (o decrece) una poblacin slo depende del nmero presente P y no de mecanismos dependientes del tiempo, tales como los fen-menos estacionales (vea el problema 33, en los ejercicios 1.3), se puede enunciar como:

.dP>dt

PdPdt

Pf (P) f (P) o (2)Esta ecuacin diferencial, que se adopta en muchos modelos de poblacin de anima-les, se denomina hiptesis de dependencia de densidad.

ECUACIN LOGSTICA Supngase que un medio es capaz de sostener, como mximo, una cantidad K determinada de individuos en una poblacin. La cantidad K se llama capacidad de sustento del ambiente. As para la funcin f en la ecuacin (2) se tiene que f (K) 0 y simplemente hacemos f (0) r(QODJXUDYHPRVWUHVIXQFLR-nes que satisfacen estas dos condiciones. La hiptesis ms sencilla es que f (P) es lineal, es decir, f (P) c1P c2. Si aplicamos las condiciones f (0) r y f (K) 0, tenemos que c2 r y c1 rK, respectivamente, y as f adopta la forma f (P) r (rK)P. Entonces la ecuacin (2) se convierte en

.dPdt

Pr rKP (3)5HGHQLHQGRODVFRQVWDQWHVODHFXDFLyQQROLQHDOHVLJXDOD

P

f(P)

r

K

FIGURA 3.2.1 La suposicin ms simple para f (P) es una recta (color azul).


.dPdt

P(a bP) (4)Alrededor de 1840, P. F. Verhulst, matemtico y bilogo belga, investig mo-

delos matemticos para predecir la poblacin humana en varios pases. Una de las ecuaciones que estudi fue la (4), con a 0 y b 0. Esa ecuacin se lleg a conocer como ecuacin logstica y su solucin se denomina funcin logstica/DJUiFDGHuna funcin logstica es la curva logstica.

La ecuacin diferencial dPdt kP QR HV XQPRGHORPX\HO GH OD SREODFLyQcuando sta es muy grande. Cuando las condiciones son de sobrepoblacin, se presen-tan efectos negativos sobre el ambiente como contaminacin y exceso de demanda de alimentos y combustible, esto puede tener un efecto inhibidor en el crecimiento para la poblacin. Como veremos a continuacin, la solucin de la ecuacin (4) est acotada conforme t . Si se rescribe (4) como dPdt aP bP2, el trmino no lineal bP2, b 0 se puede interpretar como un trmino de inhibicin o competencia. Tambin, en la mayora de las aplicaciones la constante positiva a es mucho mayor que b.

Se ha comprobado que las curvas logsticas predicen con bastante exactitud el cre-cimiento de ciertos tipos de bacterias, protozoarios, pulgas de agua (Dafnia) y moscas de la fruta ('URVyOD) en un espacio limitado.

SOLUCIN DE LA ECUACIN LOGSTICA Uno de los mtodos para resolver la ecuacin (4) es por separacin de variables. Al descomponer el lado izquierdo de dPP(a bP) dt en fracciones parciales e

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