Técnicas de Muestreo Clase 2: Introducción (segunda parte)

Tipos de Variables Aleatorias: En general la información total obtenida de la muestra debe resumirse mediante:

- Tablas, - Gráficos, - Medidas (estimadores, estadísticos).

Tanto los estimadores como los estadísticos son variables aleatorias, por lo cual tienen una distribución (llamada distribución muestral, ya que su variabilidad se debe a que la muestra es aleatoria). Las variables aleatorias corresponden a características numéricas de los individuos. Cada variable aleatoria tiene asociado un Recorrido, el recorrido es el conjunto de valores posibles, valores que puede asumir esta característica. Cada uno de los valores que pueden asumir estas variables aleatorias, es decir, cada elemento del recorrido, tiene asociada una función de probabilidad, es decir una función matemática que indica cuán posible es que se obtenga tal valor. Esta función matemática se conoce como Distribución de Probabilidad. Las variables aleatorias (v.a.) y pueden ser de dos tipos:

- Discretas, - Continuas.

Un conjunto es contable si es finito, es decir, se puede contar sus elementos. Un conjunto es numerable si se puede numerar sus elementos en algún orden, es decir, asignarle un número a cada elemento. Un conjunto numerable no necesariamente es finito, hipotéticamente uno podría numerar infinitamente sus elementos, ya que tienen un orden específico. Las v.a. discretas son aquellas cuyo recorrido es numerable o contable. Ejemplos: Número de hijos de una mujer, Número de años de servicio de un empleado, Edad (años cumplidos), Años de estudio, etc. Las v.a. continuas son aquellas cuyo recorrido no es numerable ni contable, sino que entre cada par de valores posibles existen infinitos valores más. Ejemplos: Estatura, peso de una persona. En ocasiones una variable continua puede medirse mediante una escala de medición discreta. Ejemplos: Edad real (25 años, dos meses, 13 días, 5 horas, 3 minutos, 5 segundos, etc.)

Edad en años cumplidos (25 años) Sueldo líquido real ($354.211,6666…) Sueldo líquido en pesos ($354.212). En otras ocasiones una variable continua o discreta se puede medir en intervalos.

Ejemplos: • Marque a qué categoría de sueldo pertenece usted: a. Menos de $300.000 b. $300.001 a $800.000 c. Más de $800.000. • En qué grupo etáreo se ubica el jefe de hogar: a. Menos de 30 años b. Entre 30 y 45 años c. Entre 46 y 60 años d. Más de 60 años

Finalmente hay variables que se categorizan, es decir, los números se transforman en una clasificación no numérica. Si se trata sólo de dos categorías, se dice que la variable se ha dicotomizado.

• Grupo etáreo del jefe de hogar: Joven (18-40), Adulto (41-59), Adulto mayor (más de 60).

• Grupo de nivel socioeconómico: A, B, C. D. E. • ¿Viven menores de edad en el domicilio? Sí (1 ó más menores de edad),

No (0 menores de edad). • ¿El sueldo per cápita es superior a $200.000? Si ($200.000 ó más), No

(menos de $200.000). Distribuciones de Probabilidad importantes: Variable Aleatoria Discreta Importante: Binomial: Un experimento es cualquier situación que genera diversos resultados. Un experimento Bernoulli es un experimento dicotómico a cuyos resultados se denomina éxito y fracaso, para el cual las realizaciones son independientes (si la muestra es aleatoria se asegura la independencia) y la probabilidad de éxito es constante (si la muestra es extraía de una población o subpoblación homogénea se asegura que la probabilidad de éxito es igual para todos los individuos). La probabilidad de éxito se denota por p. Una v.a. Binomial se puede definir como: “número de éxitos en n realizaciones de un experimento Bernoulli”. Se denota por X ~ b(n, p). El nº de realizaciones n es fijo. Ejemplo: Se encuesta a 100 personas extraídas al azar (independientes) de la fuerza de trabajo femenina de la ciudad de Concepción (¿será homogéneo este grupo?), para consultarles respecto una modificación en la ley laboral (experimento), que les afecta. Población: fuerza laboral femenina de la ciudad. X: “Nº de personas (de un total de 100 encuestadas) que están a favor (éxito) de la modificación.” X ~ b(n=100, p), donde p es la proporción real en la población de personas a favor de la modificación. Histograma: Gráfico de barras verticales, que ubica en el eje horizontal los valores de la variable en intervalos de tamaño constante, y en el eje vertical la frecuencia o el número de ocurrencias en cada intervalo (se puede reemplazar la frecuencia por el porcentaje).

Ejemplo:

% d

e in

divi

duos

Edad

Variables aleatorias Continuas Importantes:Uniforme: Todos los valores son igualmente probables. Si se construye un histograma la figura es semejante a la siguiente:

Pro

babi

lidad

X

Exponencial: Los valores bajos son altamente probables y las probabilidades decrecen rápidamente para valores altos. Si se construye un histograma la figura es semejante a la siguiente: Normal: El histograma resulta simétrico (un lado corresponde al reflejo del otro, como visto en un espejo) y unimodal (un solo valor máximo). Los valores centrales son más probables y las probabilidades decrecen rápidamente para valores alejados del centro. Si se construye un histograma la figura es semejante a la siguiente:

Pro

babi

lidad

X

Pro

babi

lidad

X

Verificación de Modelos:Para verificar si un modelo es binomial, se debe realizar un análisis intelectual del problema. Para verificar los modelos continuos en cambio, es conveniente realizar la gráfica del histograma. Parámetros y Estimadores Binomial: El parámetro de interés es la proporción poblacional p y el estimador es la proporción muestral . El cálculo de p requiere un cálculo sobre toda la población, cuyo tamaño es N: p =

p̂

Npoblación laen éxitos Nº . En poblaciones

homogéneas, p=ˆnesrealizacio Nº

muestra laen éxitos NºnX = .

Normal: El parámetro de interés es la media poblacional o esperanza µ y el estimador es la media muestral o promedio µ . ˆ

El cálculo de µ se realiza sobre toda la población, de tamaño N: µ = N

XN

1ii∑

= .

En poblaciones homogéneas, para una muestra de tamaño n, X=µ̂ =n

Xn

1ii∑

= .

La distribución normal además tiene otro parámetro, es la varianza poblacional σ2. Su estimador es la varianza muestral = S2σ̂ 2. La raíz cuadrada de la varianza poblacional es la desviación estándar σ, medida de la variabilidad o dispersión de los valores poblacionales. La raíz cuadrada de la varianza muestral es la desviación estándar S, medida de la variabilidad o dispersión de los valores muestrales. El cálculo de σ2 se realiza sobre toda la población, cuyo tamaño es N:

σ2 = N

)X(XN

1i

2i∑

=

−. En poblaciones homogéneas, si el tamaño de muestra es n, se

tiene que = S2σ̂ 2 = 1-n

)X(Xn

1i

2i∑

=

−.

Medidas: Proporción, media y varianza no son las únicas medidas que existen. Las medidas, en general, se dividen en medidas de localización y variabilidad, y se pueden clasificar del modo siguiente:

Características de las Distribuciones: Muestra Aleatoria: Conjunto de variables aleatorias (valores medidos en los individuos) independientes (los individuos fueron extraídos al azar) y con igual distribución (provienen de la misma Población homogénea). Esto se denota como m.a. ó i.i.d. Notación: θ Parámetro; Estimador. θ̂Distribución normal: Parámetro µ Estimador µ=⎯X. ˆ Parámetro σ2 Estimador = S2σ̂ 2. Distribución binomial: Parámetro p Estimador p=ˆ

nX .

Media Poblacional o Esperanza:

E(X) = N

XN

1ii∑

= es el promedio de la variable en la Población.

El estadístico análogo es la media muestral ⎯X. Propiedades: Sea a, b constantes y X, X1, …, Xn variables.

• E(a) = a, • E(a X) = a E(X), • E(a X + b) = a E(X) + b,

• E(∑ ) = = n E(X). =

n

1iiX ∑

=

n

1ii )E(X

Igual Distribución Varianza Poblacional:

V(X) = N

)X(XN

1i

2i∑

=

− es el promedio de las desviaciones cuadradas respecto de la

media en la Población. El estadístico análogo es la varianza muestral S2. Propiedades: Sea a, b constantes y X, X1, …, Xn variables.

• V(a) = 0, • V(a X) = a2 V(X), • V(a X + b) = a2 V(X),

• V(∑ ) = ∑ = n V(X). =

n

1iiX

=

n

1ii )V(X

Independencia Igual Distribución Propiedades de Bondad de los Estimadores:

• Insesgamiento: E(θ ) = θ La distribución muestral de se ubica ˆ θ̂alrededor de θ ó centrada en θ.

• Varianza pequeña: V( ) La distribución muestral de θ es θ̂ ˆ poco dispersa, está concentrada alrededor de θ.

Resultados Importantes: Normal: X ∼ N(µ, σ2) E(X) = µ; V(X) = σ2.

E(⎯X ) = )E(n

Xn

1ii∑

= = )E(∑=

n

1iiX

n1 = ∑

=

n

1ii )E(X

n1 = )E(Xn

n1

i⋅⋅ = E(X) = µ.

⎯X es estimador insesgado de E(X) = µ.

V(⎯X ) = )(n

Xn

1ii

V∑

= = )(∑=

n

1ii2 XV

n1 = ∑

=

n

1ii2 )V(X

n1 = )V(Xn

n1

i2 ⋅⋅ = n

V(X) =nσ 2

.

la varianza de⎯X decrece a medida que el tamaño de muestra crece. E(S2) = V(X) = σ2 S2 es estimador insesgado de V(X) = σ2. Binomial: X ∼ b(n, p) E(X) = n p; V(X) = n p (1- p).

E(p ) = ˆ )E(nX = )E(X

n1 = pn

n1

⋅⋅ = p.

p es estimador insesgado de p. ˆ

V(p ) =ˆ )(nXV = )(XV

n12 = p)(1pn

n12 −⋅⋅⋅ =

np)(1p −⋅ .

la varianza de p decrece a medida que el tamaño de muestra crece. ˆ Características de la Distribución Normal: Teorema del Límite Central TLC: Para muestras grandes (n ≥ 30 ó n ≥ 50), se tiene que, independiente de la

distribución original de las observaciones: ⎯X ≈ N(E(X), n

V(X) ).

Algunas consecuencias y observaciones importantes son las siguientes:

• Si la distribución de origen es normal: ⎯X ∼ N(µ,nσ2

).

• Si la distribución de origen es continua no normal: ⎯X ≈ N(E(X), n

V(X) ).

• Si la distribución de origen es binomial: p ≈ N(p, ˆn

p)-(1p ⋅ ).

Teorema de Chebyshev: Para muestras de cualquier tamaño (en particular pequeñas), se tiene que,

independiente de la distribución original: P(|θ - θ| ≤ B) ≥ 1 – ˆ2B)θV( ˆ.

Algunas consecuencias y observaciones importantes son las siguientes:

nσ• Distrib. normal u otra continua: P(|⎯X – µ| ≤ 2)XV(

) ≥ 1– )X V(4

)XV( = ¾ .

)pV(ˆ

• Distrib. binomial: P(|p – p| ≤ 2ˆ np)(1p −⋅

Error de Estimación e Intervalo de Confianza: El error de estimación es la diferencia absoluta estimado de un parámetro E = |θ - θ|. ˆEn el caso normal, corresponde a E = |µ - µ|. ˆEn el caso binomial, corresponde a E = |p - p|. ˆ Se denota por B al error máximo permitido y por (1la estimación. Esto se resume en la siguiente expr P(|θ - θ| ≤ B) = 1 – α. ˆEsta expresión también es análoga a decir que, cose tiene que el verdadero valor θ pertenece al Inte

[θ - B, θ+ B]. ˆ ˆEl nivel de confianza quiere decir que, si se consintervalos, cada uno basado en una muestra exvalor del parámetro estaría contenido en el porcen Intervalos de Confianza y TLC Para tamaños de muestra grande, podemos decir

• Con 95% de confianza, µ está en el interva• Con 95% de confianza, p está en el interva

Como σ es un valor desconocido, se puede aproxla muestra es grande. De igual forma, p se puede a Intervalos de Confianza y Teorema de Tchebys Para tamaños de muestra cualquiera (pequeño), p

• Con 75% de confianza, µ está en el interva• Con 75% de confianza, p está en el interva

También en este caso se pueden aproximar σ y existen alternativas para S (se verán más adelanteel valor medio 0,5.

2

) ≥ 1– )p V(4

)pV(ˆ

ˆ= ¾ .

2

entre el valor real y el valor

– α) al nivel de confianza en esión:

n un nivel de confianza (1- α) rvalo de Confianza

truyeran un gran número de traída al azar, el verdadero taje dado por 1 – α de ellos.

que: lo [⎯X - 2 nσ ;⎯X + 2 nσ ] lo [p-2ˆ

np)(1p −⋅ ;p+2ˆ

np)(1p −⋅ ]

imar por S, especialmente si proximar por p . ˆ

hev

odemos decir que: lo [⎯X - 2 nσ ;⎯X + 2 nσ ] lo [p-2ˆ

np)(1p −⋅ ;p+2ˆ

np)(1p −⋅ ]

p. Si la muestra es pequeña, )y p se puede aproximar por

Ejercicios: 1) Considere el conjunto dado a continuación y correspondiente a los sueldos

de los 50 empleados de una repartición. a. Calcule los valores poblacionales µ = E(X) y σ = V(X) . b. Realice el histograma de los datos. c. Obtenga 20 muestras de tamaño 5.

i. Para cada una calcule ⎯X, S y el intervalo de confianza para µ. ii. Vea a cuántos intervalos pertenece el valor real de µ. iii. Realice el histograma de valores de ⎯X. iv. Comente.

d. Obtenga 20 muestras de tamaño 30. i. Para cada una calcule ⎯X, S y el intervalo de confianza para µ. ii. Vea a cuántos intervalos pertenece el valor real de µ. iii. Realice el histograma de valores de ⎯X. iv. Comente.

2) Considere el conjunto dado a continuación y correspondiente a la postura

de los 50 empleados de una repartición respecto de las nuevas políticas de la empresa.

a. Calcule el valor poblacional p. b. Realice el histograma de los datos (codifique como 1: a favor y

0: en contra). c. Obtenga 20 muestras de tamaño 5.

i. Para cada una calcule p y el intervalo de confianza para p. ˆii. Vea a cuántos intervalos pertenece el valor real de p. iii. Realice el histograma de valores de p . ˆiv. Comente.

d. Obtenga 20 muestras de tamaño 30. i. Para cada una calcule p y el intervalo de confianza para p. ˆii. Vea a cuántos intervalos pertenece el valor real de p. iii. Realice el histograma de valores de p . ˆiv. Comente.

Ayuda para trabajo en Excell Datos Problema 1 (sueldos de los 50 empleados de una repartición, ordenados):

156.000 279.000 340.000 414.000 546.000 173.000 279.000 343.000 423.000 557.000 178.000 287.000 346.000 430.000 570.000 215.000 290.000 352.000 440.000 580.000 218.000 297.000 353.000 451.000 605.000 235.000 298.000 356.000 459.000 649.000 240.000 319.000 367.000 477.000 684.000 250.000 320.000 386.000 490.000 699.000 269.000 323.000 391.000 510.000 716.000 278.000 332.000 412.000 530.000 740.000

a) Ubique los datos en una columna de Excell, con el título Sueldos

(columna A). A

Sueldos 156.000 173.000 178.000

Etc. b) Utilice los siguientes intervalos para los datos: 151.000-200.000,

201.000-250.000, 251.000, 300.000, etc. Escríbalos en una columna de Excell con el título Intervalos (columna B).

B Intervalos 151-200 201-250 251-300

Etc. Para utilizar estos intervalos, se debe ubicar en una columna de Excell los límites superiores de los intervalos: 200.000, 250.000, 300.000, etc. Llame a esa columna Clases (columna C).

C Clases 200.000 250.000 300.000

Etc. c) Debajo de la Columna Sueldos calcule promedio y desviación estándar

(poblacional), con las fórmulas en el ejemplo: 50 716.00051 740.00052 Promedio 53 =promedio(A2:A51) 54 Varianza Poblacional 55 =varp(A2:A51) 56 Desv. Est. Poblacional 57 =raiz(A55)

d) Para el histograma de los datos, se utiliza la columna Clases. Presione los Menú Herramientas – Complementos – marque Herramientas para Análisis – Aceptar (esto se hace una sola vez, después quedan activadas las opciones estadísticas). Luego para acceder a las herramientas estadísticas, presione los Menú Herramientas – Análisis de Datos – Histograma. Se abre un cuadro de diálogo donde se debe completar la información como en el siguiente ejemplo:

e) La imagen obtenida será la que se muestra en el siguiente ejemplo:

Haciendo clic sobre las barras se marcarán las columnas fuente del gráfico, la idea es ubicarse con el Mouse sobre la columna destacada en morado, presionar botón izquierdo del Mouse, y mover el cuadr morado a la columna de los Intervalos:

f) Obtenga las frecuencias relativas o porcentajes, calculando, al lado de las Frecuencias, con la fórmula en el ejemplo:

D E F Clases Frecuencia Porcentaje

200000 3 =E2/50 250000 5

Arrastre la fórmula de la celda F2 hacia abajo, desde la esquina inferior derecha hasta F13 y presione el Menú de porcentaje:

g) Ahora presione otra vez las barras del gráfico y mueva la columna azul a la de porcentajes. Finalmente reduzca con el Mouse el largo de las columnas de fuente de los datos:

h) Finalmente el gráfico se puede mejorar eliminando la Leyenda (el cuadro

que dice Frecuencia), ensanchando las columnas (botón derecho sobre las barras, Formato de Serie de Datos – Opciones – Ancho del Rango: 0 – Aceptar), cambiando dirección o tamaño de las letras (botón derecho sobre eje horizontal, Formato de Ejes – Fuente – Tamaño 7 – Alineación: 0 grados – Aceptar) y cambiando los títulos.

Distribución de Sueldos de Empleados de una Repartición

0%

2%

4%

6%

8%

10%

12%

14%

16%

18%

151-200 201-250 251-300 301-350 351-400 401-450 451-500 501-550 551-600 601-650 651-700 701-750

Intervalos de Sueldos

Por

cent

aje

i) Para generar las muestras, en la Hoja 2 copie la columna A de la Hoja 1.

Luego cree una columna de Probabilidades (columna C). Como todos los datos deben tener la misma probabilidad de salir elegidos y son 50, la probabilidad es 1/50=0,02:

A B 1 Sueldos Probabilidades2 156.000 0,023 173.000 0,024 178.000 0,02

Luego presione los Menú: Herramientas – Análisis de Datos – Generación de Números Aleatorios y rellene los datos del cuadro de diálogo como en la figura: j) Luego ponga título a cada columna en que se presenta una muestra

extraída del conjunto: A B C D 1 Sueldos Probabilidades Muestra 1 Muestra 2 2 156.000 0,02 477000 352000 3 173.000 0,02 414000 279000 4 178.000 0,02 716000 451000 5 215.000 0,02 386000 319000 6 218.000 0,02 546000 740000

k) En las filas inferiores calcule los estimadores para cada muestra: promedio (=promedio(…)), desviación estándar muestral (=desvest(…)), y construya las fórmulas del límite inferior y superior de cada intervalo, recordando que n=5.

Datos Problema 2 (postura de los 50 empleados de una repartición, respecto de una nueva política de la empresa): En contra En contra En contra En contra A favor En contra A favor En contra En contra En contra En contra En contra En contra En contra A favor En contra A favor A favor A favor En contra En contra A favor A favor En contra En contra A favor En contra En contra En contra En contra En contra En contra A favor En contra En contra En contra A favor A favor En contra A favor En contra En contra En contra En contra En contra En contra En contra En contra En contra En contra

Los desarrollos en este caso son muy semejantes a los del problema 1, pero presentan algunas diferencias, en primer lugar, que es factible definir la distribución de probabilidad poblacional a ojo o con la función Contar.si (vea el ejemplo) y luego dividiendo por 50 para calcular la probabilidad:

A B C 1 Postura Resultados Frecuencia 2 En contra A favor =CONTAR.SI(A2:A51;"A Favor") 3 En contra En contra 4 En contra Codificación Probabilidad 5 En contra 1 =C1/50 6 En contra 0 7 A favor

Entonces, en la generación de muestras (números aleatorios) sólo se usarán como fuente de los datos Codificación y Probabilidad: .

Técnicas de Muestreo Clase 3: Elementos del Problema de Muestreo

Tamaño de la Muestra: Cada elemento de la población contiene una cierta cantidad de información relativa a ella, a las variables en juego, a sus distribuciones y a sus parámetros; sin embargo cada unidad muestreada implica un costo, lo que motiva la determinación del mínimo tamaño muestral que permita el logro de los objetivos de la estimación (precisión y confianza deseadas), dada la variabilidad (desviación estándar del estimador) existente y el tamaño de la Población. De estos cuatro factores, dos son propios del problema y no se pueden alterar (variabilidad, tamaño de la población), mientras que los otros dos son definidos por el investigador (precisión y confianza). El ideal es que se pueda contar con que las mediciones hayan sido realizadas en forma exacta. En caso contrario, se habla de error de medición. Este tipo de error debe minimizarse. Definiciones importantes: Elemento: Objeto al cual se le pueden tomar (y eventualmente se le toman) las mediciones. Población: Colección de elementos acerca de los cuales se desea realizar inferencias. Unidades de muestreo: Colecciones no traslapadas de elementos que cubren la población completa. Marco muestral: Lista de unidades de muestreo. Muestra: Una colección de unidades seleccionadas de uno o de varios marcos muestrales. Diseño del Muestreo: El objetivo del muestreo es la estimación de parámetros de la población. La estimación se basa en la información muestral. La precisión de esta estimación es determinada por el investigador como el error máximo de estimación B.

E = |θ – | ≤ B. θ̂ La probabilidad 1 – α de que la estimación tenga un error que no supere a esta cota se denomina nivel de confianza.

P( E ≤ B) = P(|θ – | ≤ B) = 1 – α. θ̂

Como se vio anteriormente, si consideramos B = 2·σ( ) y: θ̂• el tamaño de muestra n es grande, o la distribución es normal, se tiene

que la probabilidad es 1 – α = 0,95 (95%); • el tamaño de muestra n es pequeño, se tiene que la probabilidad es

1 – α = 0,75 (75%).