MUESTREO

Teorema del muestreo: se puede reconstruir una señal analógica a partir de sus valores instantáneos (muestras) equies-paciados. A partir de estos valores existen ∞ señales que pasan por esos puntos, pero si la señal original es de bandalimitada (?) y las muestras son tomadas los suficientemente cercanas (?), entonces hay una sóla señal que se puedeextrapolar de esas muestras (se determina unívocamente).

MUESTREO IDEAL

s(t) es un tren de impulsos de período Ts (intervalo de muesteo) ∑∞

−∞=−=

nnTtts )()( sδ

-2Ts -Ts 0 Ts 2Ts0

0.5

1

1.5

tiempo

p(t)

xs(t) = x(t) · s(t) ⇒ ( )[ ]ωωπ

ω SXX s ∗= )(21)(

∑ −=k

ss kXT

X )(1)(s

ωωω∑ −=k

skT

S )(2)(s

ωωδπω ωs = 2π/Ts = 2πfs ⇒

La señal x(t) es multiplicada por la función de muestreo s(t), obteniendo los valores muestra xs(t) ⇒x(t) xs(t)

s(t)

X(ω)

S(ω)

Xs(ω)

Xs(ω)

MUESTREO

Teorema del muestreo: se puede reconstruir una señal analógica a partir de sus valores instantáneos (muestras) equies-paciados. A partir de estos valores existen ∞ señales que pasan por esos puntos, pero si la señal original es de bandalimitada (?) y las muestras son tomadas los suficientemente cercanas (?), entonces hay una sóla señal que se puedeextrapolar de esas muestras (se determina unívocamente).

si ωs < 2ωm existe solapamiento (ALIASING). Si ωs ≥ 2ωm se puede recuperar X(ω) con un LPF ideal de ganancia Ts

MUESTREO IDEAL

s(t) es un tren de impulsos de período Ts (intervalo de muesteo) ∑∞

−∞=−=

nnTtts )()( sδ

-2Ts -Ts 0 Ts 2Ts0

0.5

1

1.5

tiempo

p(t)

xs(t) = x(t) · s(t) ⇒ ( )[ ]ωωπ

ω SXX s ∗= )(21)(

∑ −=k

ss kXT

X )(1)(s

ωωω∑ −=k

skT

S )(2)(s

ωωδπω ωs = 2π/Ts = 2πfs ⇒

fs = frecuencia de Nyquist

La señal x(t) es multiplicada por la función de muestreo s(t), obteniendo los valores muestra xs(t) ⇒x(t) xs(t)

s(t)

X(ω)

S(ω)

Xs(ω)

Xs(ω)

MUESTREO

Teorema del muestreo: se puede reconstruir una señal analógica a partir de sus valores instantáneos (muestras) equies-paciados. A partir de estos valores existen ∞ señales que pasan por esos puntos, pero si la señal original es de bandalimitada (?) y las muestras son tomadas los suficientemente cercanas (?), entonces hay una sóla señal que se puedeextrapolar de esas muestras (se determina unívocamente).

si ωs < 2ωm existe solapamiento (ALIASING). Si ωs ≥ 2ωm se puede recuperar X(ω) con un LPF ideal de ganancia Ts

MUESTREO IDEAL

Teorema de Nyquist: si una señal de banda limitada es muestreada a una frecuencia de

por lo menos el doble de su máxima componente, ENTONCES es posible recuperarla

unívocamente (a partir de sus puntos muestra) con un filtro pasabajos ideal.

s(t) es un tren de impulsos de período Ts (intervalo de muesteo) ∑∞

−∞=−=

nnTtts )()( sδ

-2Ts -Ts 0 Ts 2Ts0

0.5

1

1.5

tiempo

p(t)

xs(t) = x(t) · s(t) ⇒ ( )[ ]ωωπ

ω SXX s ∗= )(21)(

∑ −=k

ss kXT

X )(1)(s

ωωω∑ −=k

skT

S )(2)(s

ωωδπω ωs = 2π/Ts = 2πfs ⇒

fs = frecuencia de Nyquist

La señal x(t) es multiplicada por la función de muestreo s(t), obteniendo los valores muestra xs(t) ⇒x(t) xs(t)

s(t)

MUESTREO PRACTICO

Pulsos: en general se emplea la técnica de muestreo y retención (Sample and Hold ≡ S&H) ⇒ Retenedor Orden Cero

⇒ P(f) ‘pesa’al espectro de la señal muestreada y lo distorsiona en las frecuencias superiores ≡ efecto de apertura. Si el

efecto es muy grande se puede corregir por medio de un filtro ecualizador Heq(f) = 1/P(f) (si 1/τ >> W no es necesario).

La onda muestreadora está formada por pulsos que tienen amplitud y duración finitas.

Los mensajes son limitados en tiempo ⇒ no pueden ser limitados en banda.

Los filtros de reconstrucción prácticos difieren de los ideales (banda o zona de transición).

x[t]ROC xp[t]

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⋅∗=−⋅= ∑∑ )()()()()()( s

nss

nsp nTtnTxtpnTtpnTxtx δ )()()()()( fXfPkffXffPfX s

kssp ⋅=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−= ∑

x(t) xs(t)

s(t)

xp(t)p(t)

Ts t

1

X(ω)

Xp(ω)Xs(ω)

P(ω)

Para el ROC: p(t)

Ts t

1

⎩⎨⎧

∀≤≤

= t

Tttp s

00 1

)(( )

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡= −

2/ sin2)( 2/

ωωω ω sTj TeP s

)( 1)( ωω PHeq =⇒

1

ωωs /2-ωs /2

Heq(ω)

MUESTREO PRACTICO

Pulsos: en general se emplea la técnica de muestreo y retención (Sample and Hold ≡ S&H) ⇒ Retenedor Orden Cero

Filtros de reconstrucción reales: se recurre al empleo de bandas de seguridad ⇒ incrementar ωs

⇒ P(f) ‘pesa’al espectro de la señal muestreada y lo distorsiona en las frecuencias superiores ≡ efecto de apertura. Si el

efecto es muy grande se puede corregir por medio de un filtro ecualizador Heq(f) = 1/P(f) (si 1/τ >> W no es necesario).

La onda muestreadora está formada por pulsos que tienen amplitud y duración finitas.

Los mensajes son limitados en tiempo ⇒ no pueden ser limitados en banda.

Los filtros de reconstrucción prácticos difieren de los ideales (banda o zona de transición).

Señal NO limitada en banda: se debe asegurar que la señal no tenga componentes superiores a ωs/2 ⇒ se aplica unfiltro pasabajos en la entrada ≡ Filtro anti-aliasing (es el peor inconveniente porque modifica la información).

x[t]ROC xp[t]

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⋅∗=−⋅= ∑∑ )()()()()()( s

nss

nsp nTtnTxtpnTtpnTxtx δ )()()()()( fXfPkffXffPfX s

kssp ⋅=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−= ∑

x(t) xs(t)

s(t)

xp(t)p(t)

Ts t

1

Submuestreo

Sea la señal x(t) = cos(ω0t)

muestreada a ωS constante

(ωS < 2ω0). Se analiza que

sucede a medida que ω0↑

Para ω0 > ωS/2 se produce el

traslape y la frecuencia original

original asume la identidad de

una frecuencia inferior (ωS - ω0).

Para ωS/2 < ω0 < ωS , a medida

que ω0↑ la frecuencia de salida

(ωS-ω0)↓ ≡ efecto estroboscópico

(uso: osciloscopio de muestreo,

voltímetro vectorial).

INTERPOLACION

Interpolación ≡ reconstrucción (aproximada ó exacta) de una función a partir de sus muestras.

600 700 800 900 1000 1100 1200 1300 1400

-1

-0.5

0

0.5

1

Señal muestreada

tiempoA

mpl

itud

Retenedor de Orden Cero:retiene el valor de la muestrahasta la próxima. Es el mássimple.

600 700 800 900 1000 1100 1200 1300 1400

-1

-0.5

0

0.5

1

Interpolación Orden Cero

tiempo

Ampl

itud

600 700 800 900 1000 1100 1200 1300 1400

-1

-0.5

0

0.5

1

Interpolación Primer Orden

tiempo

Ampl

itud

Interpolación Lineal: lospuntos adyacentes se conectancon una línea recta.

Interpolación de mayor Orden:los puntos se unen mediantepolinomios de grado mayor uotras funciones matemáticas.

600 700 800 900 1000 1100 1200 1300 1400

-1

-0.5

0

0.5

1

Interpolación Sinc

tiempo

Ampl

itud

Interpolación Sinc: cada muestracorresponde al peso de una sinccentrada en el instante de muestreo,y los valores intermedios se otienen sumando las contribuciones de cada una de estas funciones.

INTERPOLACION SINC

Xs(ω)Xr(ω)

H(ω)

Para reconstruir espectralmente la señal se emplea un LPF ideal

⇒ Xr(f) = Xs(f)·H(f) con H(f) = rect [f /( 2fc)] y fc = fs/2

∑

∑−⋅=

−⋅∗=

∗=

nss

nss

str

nTthnTx

nTtnTxth

thtxx

)()(

)()()(

)()()(

δ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

πω

πω tTth ccs

r sinc)(

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −= ∑ πω

πω )(sinc)()( sccs

nsr

nTtTnTxtx

considerando fc = fs/2:

( )ntfnTxtx sn

sr −⋅= ∑ sinc)()(-0.5

0

0.5

1

tiempo

CALCULO DE LA INTERPOLACION SINC

Cantidad de muestras por ciclo de la máxima componente de la señal ⇒ n_muestras

Cantidad de valores a intercalar entre dos valores muestra consecutivos ⇒ n_puntos

Cantidad de muestras a considerar como “historia” (valores pasados y futuros) de la señal ⇒ n_historia

Para la implementación de la expresión deben fijarse parámetros para sustiruir la variable

contínua t por su equivalente discreta:

( )ntfnTxtx sn

sr −⋅= ∑ sinc)()(

Cada intervalo de muestreo debe dividirse en (n_puntos + 1) intervalos: Ts = (n_puntos+1)·Δtx• ••x • Δt

Ts

∑+−=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

+⋅=Δ⋅

n_historia

1n_historia 1n_puntossinc)()(

nnknTxtkx srReemplazando t por k·Δt (1 ≤ k ≤ n_puntos):

Debe agregarse otro índice para el desplazamientodentro del registro de valores adquiridos (j) ⇒ ∑

+−=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

+⋅+=Δ⋅+

n_historia

1n_historia 1n_puntossinc))(()(

nnkTnjxtkjTx ssr

%programa para reconstruir señales muestreadas%reconstructor de orden ceroclearn0=99;f=10; %frecuenciahist=4; %cantidad de sinc para reconstruciónd=0.2; % distancia entre puntos interpolados (0 y 1- 0.2 indica 5 puntos)n=0:n0;Y=[];y=sin(2*pi*f*n/(n0+1));subplot(2,2,1)plot(y,'.')title 'Puntos Muestra'for k=1:n0+1,for i=1:(1/d)-1;

y1(i)=y(k); endY=[Y y1];endsubplot(2,2,2) plot(Y)title 'Reconstructor de Orden 0'

%reconstructor linealY2=[];for k=1:n0,

i1=1;for i=1+d:d:2,

y2(i1)=(y(k+1)-y(k))*i-y(k+1)+2*y(k);i1=i1+1;

endY2=[Y2 y2];

endsubplot(2,2,3)plot(Y2)title 'Reconstructor lineal'

%reconstructor sincY5=[];for k=1+hist:n0-hist,

for u=0:d:1-d;sum=0;for s=-hist:hist,

sum=sum+y(k+s)*sinc(u-s);endY5=[Y5 sum];

endendsubplot(2,2,4)plot(Y5)title 'Reconstructor sinc'

CAMBIO DE LA FRECUENCIA DE MUESTREO

Ejemplo: si ωs = 4 ωmax , el máximo diezmado para no tener solapamiento es M = 2

La señal de tiempo contínuo xc(t) puede representarse por una secuencia x[n] = xc[nTs]. Se quiere cambiar fs obteniendo

una nueva secuencia x’[n] = xc[nTs’]. El método indirecto sería: (complejo!!)x[n] xc(t) x’[n]

fs fs’DAC +

Filtro Interp. ADC

DIEZMADO por un factor entero: se disminuye la frecuencia de muestreo (“muestreándola” cada M valores).

xd[n] = x[nM] = xc[nMTs] ≡ compresor de frecuencia de muestreo

⇒ xd[n] es la que se obtendría muestreando xc(t) con período Ts’= M·Ts

x[n] xd[n]

Ts Ts’= M·Ts

↓M

∑∑ −=−=kk

s TkX

TkX

TX ) 2(1)(1)(

sss

πωωωωRecordando el espectro X(ω) de la secuencia x[n] (valores muestra):

análogamente puede escribirse el espectro Xd(ω) para xd[n] : ∑∑ −=−=r

s

sr ssd M

rXMTT

rXT

X ) (1) 2(1)( ''ωωπωω

para que no exista solapamiento (ωs/M) ≥ ωmax ⇒ la frecuencia de Nyquist original debe ser M veces mayor !!

Si se quiere utilizar un M superior habrá que garantizar

que la señal no tenga un contenido espectral mayor que

ωs/M mediante el empleo de un filtro pasabajos digital .

Diezmado con M = 2.

Se verifica que no existe

solapamiento.

x[n]

Ts Ts Ts’= M·T↓M

LPFG =1

ωc=π/M

][~ nx ][~][~ nMxnxd =

Sistema para reducir la frecuencia de muestreo en M

Diezmado con M = 3.

Aparece solapamiento.

Diezmado con M = 3 y

filtrado previo para evitar

el solapamiento.

⇒ La Transformada de Fourier de la salida del expansor es una versión escalada en frecuencia de la T.F. de la entrada.

INTERPOLACION por un factor entero: se aumenta la frecuencia de muestreo (insertando L valores entre muestras).

los valores intermedios se generan mediante una función de reconstrucción ≡ LPF de ganancia L y ωc = π/L

⎪⎩

⎪⎨⎧ ±±=

=resto elen 0

2, ,0 ]/[][

LLnLnxnxe ∑ −⋅=≡

ke kLnkxnx ][][][ δ

El análisis en el dominio de la frecuencia se realiza mediante el cálculo de la Transformada de Fourier (TF), definida por:

)(][][][)( LXekxekLnkxXu

Luj

u

nj

ke ωδω ωω =⋅=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= ∑∑ ∑ −−∑ −⋅=

n

njenxX ][)( ωω ⇒

x[n] xe[n] xi[n]

Ts Ts’= Ts/L Ts’= Ts/L↑L

LPFG =L

ωc=π/L

Sistema para incrementar la frecuencia de muestreo en L

xi[n] = x[n/L] = xc[nTs/L] ≡ expansor de frecuencia demuestreo

La fórmula de interpolación para xi[n] en función de x[n] es: Ln

Lnsennhi /)/(][

ππ=

En algunos casos se pueden utilizar funciones más simples, como la lineal: ⎪⎩

⎪⎨⎧ ≤−

=resto 0

/1][

LnLnnhi

Interpolación en el dominio de la frecuencia

CAMBIO DE LA FRECUENCIA DE MUESTREO POR UN FACTOR NO ENTERO

Es una combinación de las técnicas de diezmado e interpolación.

Funciones utilizadas en Matlab®:

DECIMATE: Resample data at a lower rate after lowpass filtering.

INTERP: Resample data at a higher rate using lowpass interpolation

RESAMPLE: Change the sampling rate of a signal.

↑LLPFG =L

ωc=π/L↓M

LPFG =1

ωc=π/M

][~ nxi ][~ nxdxc[n]

Interpolador

x[n] xi[n]

Ts Ts/L TsM/LTs/L Ts/L

Diezmador

Ts

LPFG =L

ωc=min(π/L, π/M)↑L ↓M

x[n]

TsM/L

][~ nxd

//Programa que efectua la conversión ADC - DAC

// Declaración de las variables

unsigned int VIK=0;

// Ajuste de los conversores ADC y DAC

void setup(){analogReadResolution(12);analogWriteResolution(12);

}

// Lazo de ejecución continua

void loop(){VIK = analogRead(A0); analogWrite(DAC0, VIK);}

LABORATORIO 1-Muestreo